Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najlakši i najčešće korišteni je množenje visine s duljinom baze, a zatim dijeljenje rezultata s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta pomoću različitih formula.

Zasebno ćemo razmotriti metode za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njezinu bit.

Univerzalni načini za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrirat ćemo svaki od njih:

• a, b, c su duljine triju strana figure koju razmatramo;
• r je polumjer kruga koji se može upisati u naš trokut;
• R je polumjer kruga koji se može opisati oko njega;
• α - vrijednost kuta koji čine stranice b i c;
• β je kut između a i c;
• γ - vrijednost kuta koji čine stranice a i b;
• h je visina našeg trokuta, spuštena od kuta α na stranu a;
• p je polovica zbroja stranica a, b i c.

Logično je jasno zašto možete pronaći područje trokuta na ovaj način. Trokut se lako dovršava do paralelograma, u kojem će jedna strana trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma nalazi se množenjem duljine jedne od njegovih stranica s vrijednošću visine nacrtane na nju. Dijagonala dijeli ovaj uvjetni paralelogram na 2 identična trokuta. Stoga je sasvim očito da površina našeg izvornog trokuta treba biti jednaka polovici površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta nalazi se množenjem duljina njegovih dviju stranica, to jest a i b, sa sinusom kuta koji tvore. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Ako visinu s kuta β spustimo na stranicu b, tada, prema svojstvima pravokutnog trokuta, množenjem duljine stranice a sa sinusom kuta γ dobivamo visinu trokuta, odnosno h.

Područje figure koja se razmatra nalazi se množenjem polovice polumjera kruga, koji se u njega može upisati, s njegovim perimetrom. Drugim riječima, nalazimo umnožak poluperimetra i polumjera spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se pronaći dijeljenjem umnoška stranica figure s 4 radijusa kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne jer omogućuju određivanje površine bilo kojeg trokuta (razmjernog, jednakokračnog, jednakostraničnog, pravokutnog). To se može učiniti uz pomoć složenijih izračuna, na kojima se nećemo detaljnije zadržavati.

Površine trokuta s određenim svojstvima

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Značajka ove figure je da su dvije strane istovremeno njene visine. Ako su a i b katete, a c postaje hipotenuza, tada se površina nalazi na sljedeći način:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta? Ima dvije stranice duljine a i jednu stranicu duljine b. Stoga se njegova površina može odrediti dijeljenjem s 2 umnoška kvadrata stranice a i sinusa kuta γ.

Kako pronaći područje jednakostraničnog trokuta? U njemu je duljina svih stranica a, a vrijednost svih kutova α. Njegova je visina pola umnoška duljine stranice a puta kvadratnog korijena iz 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, trebate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom iz 3 i podijeliti s 4.

Trokut je jedan od najčešćih geometrijskih oblika, s kojim smo već upoznati u osnovnoj školi. Pitanje kako pronaći područje trokuta suočava se s svakim učenikom na nastavi geometrije. Dakle, koje se značajke pronalaženja područja dane figure mogu razlikovati? U ovom ćemo članku razmotriti osnovne formule potrebne za dovršenje takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.

Vrste trokuta

Područje trokuta možete pronaći na potpuno različite načine, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figura koje sadrže tri kuta. Ove vrste uključuju:

• tupi.
• Jednakostraničan (ispravan).
• Pravokutni trokut.
• Jednakokračan.

Pogledajmo pobliže svaku od postojećih vrsta trokuta.

Takav geometrijski lik smatra se najčešćim u rješavanju geometrijskih problema. Kada postane potrebno nacrtati proizvoljni trokut, ova opcija dolazi u pomoć.

U oštrokutnom trokutu, kao što naziv implicira, svi kutovi su oštri i zbroj njih iznosi 180°.

Takav je trokut također vrlo čest, ali je nešto rjeđi od trokuta s oštrim kutom. Na primjer, kada rješavate trokut (to jest, znate nekoliko njegovih stranica i kutova i trebate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li kut tup ili ne. Kosinus je negativan broj.

Vrijednost jednog od kutova prelazi 90 °, tako da preostala dva kuta mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15 ° ili čak 3 °).

Da biste pronašli područje trokuta ove vrste, morate znati neke od nijansi o kojima ćemo dalje govoriti.

Pravilni i jednakokračni trokut

Pravilan mnogokut je lik koji ima n kutova, u kojem su sve stranice i kutovi jednaki. Ovo je pravokutni trokut. Kako je zbroj svih kutova trokuta 180°, svaki od triju kutova iznosi 60°.

Pravokutni trokut, zbog svog svojstva, nazivamo i jednakostranični lik.

Također je vrijedno napomenuti da se u pravilan trokut može upisati samo jedna kružnica i samo jedna kružnica može biti opisana oko njega, a njihova središta se nalaze u jednoj točki.

Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokračni trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom su trokutu dvije stranice i dva kuta međusobno jednaki, a treća stranica (na koju prianjaju jednaki kutovi) je osnovica.

Na slici je prikazan jednakokračni trokut DEF kojemu su kutovi D i F jednaki, a DF je osnovica.

Pravokutni trokut

Pravokutni trokut je tako nazvan jer je jedan od njegovih kutova pravi kut, tj. jednak 90°. Zbroj druga dva kuta iznosi 90°.

Najveća stranica takvog trokuta, koja leži nasuprot kutu od 90 °, je hipotenuza, dok su druge dvije njegove strane noge. Za ovu vrstu trokuta primjenjiva je Pitagorina teorema:

Zbroj kvadrata duljina kateta jednak je kvadratu duljine hipotenuze.

Na slici je prikazan pravokutni trokut BAC s hipotenuzom AC i katetama AB i BC.

Da biste pronašli područje trokuta s pravim kutom, morate znati brojčane vrijednosti njegovih nogu.

Prijeđimo na formule za pronalaženje površine zadane figure.

Osnovne formule za određivanje površine

U geometriji se mogu razlikovati dvije formule koje su prikladne za pronalaženje površine većine vrsta trokuta, naime za oštrokutne, tupokutne, pravilne i jednakokračne trokute. Analizirajmo svaki od njih.

Po strani i visini

Ova formula je univerzalna za pronalaženje područja figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati duljinu stranice i duljinu visine nacrtane na nju. Sama formula (polovica umnoška baze i visine) je sljedeća:

gdje je A stranica zadanog trokuta, a H visina trokuta.

Na primjer, da biste pronašli područje oštrokutnog trokuta ACB, trebate pomnožiti njegovu stranu AB s visinom CD i podijeliti dobivenu vrijednost s dva.

Međutim, nije uvijek lako pronaći područje trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste upotrijebili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate nastaviti jednu njegovu stranicu i tek onda joj nacrtati visinu.

U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.

Dvije strane i kut

Ova je formula, kao i prethodna, prikladna za većinu trokuta i po svom je značenju posljedica formule za određivanje površine stranice i visine trokuta. Odnosno, formula koja se razmatra može se lako izvesti iz prethodne. Njegov tekst izgleda ovako:

S = ½*sinO*A*B,

gdje su A i B stranice trokuta, a O kut između stranica A i B.

Podsjetimo se da se sinus kuta može vidjeti u posebnoj tablici nazvanoj po izvanrednom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.

A sada prijeđimo na druge formule koje su prikladne samo za iznimne vrste trokuta.

Površina pravokutnog trokuta

Osim univerzalne formule, koja uključuje potrebu crtanja visine u trokutu, područje trokuta koji sadrži pravi kut može se pronaći iz njegovih nogu.

Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi kut je pola umnoška njegovih krakova, ili:

gdje su a i b katete pravokutnog trokuta.

pravokutni trokut

Ova vrsta geometrijskih figura razlikuje se po tome što se njezino područje može pronaći s navedenom vrijednošću samo jedne njegove strane (budući da su sve strane pravilnog trokuta jednake). Dakle, nakon što ste se susreli sa zadatkom "pronaći područje trokuta kada su strane jednake", morate koristiti sljedeću formulu:

S = A 2 *√3 / 4,

gdje je A stranica jednakostraničnog trokuta.

Heronova formula

Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati duljine triju stranica figure. Heronova formula izgleda ovako:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

gdje su a, b i c stranice zadanog trokuta.

Ponekad se daje zadatak: "površina pravilnog trokuta je pronaći duljinu njegove strane." U ovom slučaju trebate upotrijebiti već poznatu formulu za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njezinog kvadrata):

A 2 \u003d 4S / √3.

Ispitni problemi

Mnogo je formula u zadacima GIA iz matematike. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.

U ovom slučaju, najprikladnije je nacrtati visinu na jednu od strana figure, odrediti njezinu duljinu ćelijama i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje područja:

Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem površine trokuta bilo koje vrste.

Trokut je najjednostavniji geometrijski lik koji se sastoji od tri stranice i tri vrha. Zbog svoje jednostavnosti trokut se od davnina koristio za razna mjerenja, a danas lik može biti koristan za rješavanje praktičnih i svakodnevnih problema.

Značajke trokuta

Slika se koristila za izračune od davnih vremena, na primjer, geodeti i astronomi koriste svojstva trokuta za izračunavanje površina i udaljenosti. Kroz područje ove figure lako je izraziti područje bilo kojeg n-kuta, a ovo svojstvo koristili su drevni znanstvenici za izvođenje formula za površine poligona. Stalni rad s trokutima, posebno s pravokutnim trokutom, postao je osnova za cijeli dio matematike - trigonometriju.

geometrija trokuta

Svojstva geometrijskog lika proučavana su od davnina: najraniji podaci o trokutu pronađeni su u egipatskim papirusima starim 4000 godina. Zatim je lik proučavan u staroj Grčkoj, a najveći doprinos geometriji trokuta dali su Euklid, Pitagora i Heron. Proučavanje trokuta nikada nije prestalo, au 18. stoljeću Leonhard Euler uveo je koncept ortocentra figure i Eulerove kružnice. Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće, kada se činilo da se o trokutu zna apsolutno sve, Frank Morley je formulirao teorem o trisektorima kuta, a Vaclav Sierpinski predložio je fraktalni trokut.

Postoji nekoliko vrsta ravnih trokuta koji su nam poznati iz školskog tečaja geometrije:

• oštrokutni - svi kutovi figure su oštri;
• tup - lik ima jedan tupi kut (veći od 90 stupnjeva);
• pravokutni - lik sadrži jedan pravi kut jednak 90 stupnjeva;
• jednakokračan - trokut s dvije jednake stranice;
• jednakostraničan - trokut sa svim jednakim stranicama.
• U stvarnom životu postoje sve vrste trokuta, au nekim slučajevima možda ćemo morati izračunati površinu geometrijske figure.

Površina trokuta

Površina je procjena koliki dio ravnine figura ograničava. Površina trokuta može se pronaći na šest načina, pomoću stranica, visine, kutova, polumjera upisane ili opisane kružnice, kao i korištenjem Heronove formule ili izračunavanjem dvostrukog integrala duž linija koje ograničavaju ravninu. Najjednostavnija formula za izračunavanje površine trokuta je:

gdje je a stranica trokuta, h njegova visina.

Međutim, u praksi nam nije uvijek zgodno pronaći visinu geometrijske figure. Algoritam našeg kalkulatora omogućuje vam izračunavanje površine, znajući:

• tri strane;
• dvije stranice i kut između njih;
• jednu stranu i dva ugla.

Za određivanje površine u smislu tri strane koristimo Heronovu formulu:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdje je p poluopseg trokuta.

Izračun površine na dvije strane i kuta vrši se prema klasičnoj formuli:

S = a × b × sin(alfa),

gdje je alfa kut između stranica a i b.

Za određivanje površine kroz jednu stranicu i dva ugla koristimo relaciju koja:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Jednostavnom proporcijom odredimo duljinu druge stranice, nakon čega izračunamo površinu pomoću formule S = a × b × sin(alfa). Ovaj algoritam je potpuno automatiziran i samo trebate unijeti zadane varijable i dobiti rezultat. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

ploče za popločavanje

Recimo da želite popločiti pod trokutastim pločicama, a da biste odredili količinu potrebnog materijala, trebali biste saznati površinu jedne pločice i površinu poda. Pretpostavimo da trebate obraditi 6 četvornih metara površine pomoću pločice čije su dimenzije a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Očito, kalkulator koristi Heronovu formulu za izračunavanje površine trokuta i dati rezultat:

Dakle, površina jednog elementa pločice bit će 0,021 četvornih metara, a trebat će vam 6 / 0,021 \u003d 285 trokuta za poboljšanje poda. Brojevi 20, 21 i 29 čine Pitagorin trostruki broj koji zadovoljava . I to je točno, naš kalkulator također je izračunao sve kutove trokuta, a gama kut je točno 90 stupnjeva.

školski zadatak

U školskom problemu trebate pronaći površinu trokuta, znajući da je stranica a = 5 cm, a kutovi alfa i beta rane su 30, odnosno 50 stupnjeva. Da bismo ručno riješili ovaj problem, prvo bismo pronašli vrijednost stranice b koristeći omjer širine i visine stranice i sinuse suprotnih kutova, a zatim bismo odredili površinu pomoću jednostavne formule S = a × b × sin(alfa). Uštedimo vrijeme, unesi podatke u obrazac kalkulatora i dobij instant odgovor

Kada koristite kalkulator, važno je ispravno odrediti kutove i strane, inače će rezultat biti netočan.

Zaključak

Trokut je jedinstvena figura koja se pojavljuje iu stvarnom životu iu apstraktnim izračunima. Upotrijebite naš online kalkulator da biste pronašli površinu trokuta bilo koje vrste.

Površina trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su prikladni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili dimenzije. Formule su prikazane u obliku slike, a ovdje su objašnjenja za primjenu ili obrazloženje njihove ispravnosti. Također, posebna slika prikazuje korespondenciju slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (istokračan, pravokutan, jednakostraničan), možete koristiti donje formule, kao i dodatno posebne formule koje vrijede samo za trokute s ovim svojstvima:

• "Formule za područje jednakostraničnog trokuta"

Formule površine trokuta

Objašnjenja za formule:
a, b, c- duljine stranica trokuta čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- polumjer opisane kružnice oko trokuta
h- visina trokuta, spuštena na stranu
str- poluopseg trokuta, 1/2 zbroja njegovih stranica (opseg)
α - kut nasuprot stranici a trokuta
β - kut nasuprot stranici b trokuta
γ - kut nasuprot stranici c trokuta
h a, h b , h c- visina trokuta, spuštena na stranicu a, b, c

Imajte na umu da navedena oznaka odgovara gornjoj slici, tako da bi vam prilikom rješavanja stvarnog problema u geometriji bilo vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trokuta je polovica umnoška visine trokuta i duljine stranice na koju je ta visina spuštena(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logično. Visina spuštena na bazu razdvojit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih dovršimo do pravokutnika s dimenzijama b i h, tada će, očito, površina ovih trokuta biti jednaka točno polovici površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trokuta je polovica umnoška njegovih dviju stranica i sinusa kuta između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Spustimo li visinu s kuta B na stranicu b, ispada da je umnožak stranice a i sinusa kuta γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta nacrtanog s nas, što će nam dati prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trokuta preko raditi pola polumjera kruga upisanog u njega zbrojem duljina svih njegovih stranica(Formula 3), drugim riječima, trebate pomnožiti polumjer trokuta s polumjerom upisane kružnice (lakše je zapamtiti na ovaj način)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći dijeljenjem umnoška svih njegovih stranica s 4 radijusa kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta u smislu duljina njegovih stranica i njegovog poluopsega (polovica zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz duljine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa kutova uz ovu stranu podijeljenog s dvostrukim sinusom kuta nasuprot ovoj strani (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se pronaći kao umnožak dvaju kvadrata kruga opisanog oko njega i sinusa svakog od njegovih kutova. (Formula 8)
• Ako su poznati duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju, tada se površina trokuta može pronaći kao kvadrat ove stranice, podijeljen s dvostrukim zbrojem kotangenata ovih kutovi (Formula 9)
• Ako je poznata samo duljina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna duljinama tih visina, kao po Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućuje izračunavanje površina trokuta prema koordinatama njegovih vrhova, koje su dane kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se dobivena vrijednost mora uzeti modulo, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja zadataka iz geometrije za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, sličan onom koji nije ovdje - pišite o tome na forumu. U rješenjima se funkcija sqrt() može koristiti umjesto simbola "kvadratnog korijena", u kojem je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz naveden je u zagradama.Ponekad se simbol može koristiti za jednostavne radikalne izraze √

Zadatak. Odredite površinu datih dviju stranica i kut između njih

Stranice trokuta su 5 i 6 cm, a kut između njih je 60 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Odluka.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se pronaći kroz duljine dviju stranica i sinusa kuta između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Budući da imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), u formulu možemo samo zamijeniti vrijednosti iz tvrdnje problema:
S=1/2*5*6*sin60

U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija nalazimo i zamjenjujemo u izrazu vrijednost sinusa od 60 stupnjeva. Bit će jednako korijenu od tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovor: 7,5 √3 (ovisno o zahtjevima nastavnika, vjerojatno je moguće ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trokuta

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 3 cm.

Odluka .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a \u003d b \u003d c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta će imati oblik:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovor: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice učetverostruče?

Odluka.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, za rješavanje problema pretpostavit ćemo da su duljine stranica redom jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, nalazimo površinu ovog trokuta, a zatim nalazimo površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trokuta dat će nam odgovor na zadatak.

Zatim dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema u koracima. Međutim, na samom kraju, isto rješenje je prikazano u grafičkom obliku koji je pogodniji za percepciju. Oni koji žele mogu odmah ispustiti rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teoretskom dijelu lekcije). Ovako izgleda:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi redak slike ispod)

Duljine stranica proizvoljnog trokuta dane su varijablama a, b, c.
Ako se strane povećaju 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može staviti u zagrade iz sva četiri izraza prema općim pravilima matematike.
Zatim

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - u trećoj liniji slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Iz broja 256 savršeno je izvučen kvadratni korijen pa ćemo ga izvaditi ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte petu liniju donje slike)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u zadatku, dovoljno nam je podijeliti površinu dobivenog trokuta s površinom izvornog.
Omjere površina određujemo tako da izraze podijelimo jedan u drugi i smanjimo dobiveni razlomak.

Kao što se možda sjećate iz školskog kurikuluma iz geometrije, trokut je figura sastavljena od tri segmenta povezana s tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri ugla, odgovor će biti jednako točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, razlikuju se takvi trokuti kao što su jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, oštrokutni i tupokutni.

Postoje mnoge formule za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. koju formulu koristiti, samo vi. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Zato zapamtite:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trokuta,

h je visina trokuta,

R je polumjer opisane kružnice,

p je poluopseg.

Ovdje su osnovne oznake koje vam mogu dobro doći ako ste potpuno zaboravili tečaj geometrije. U nastavku će biti dane najrazumljivije i najkompliciranije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i dobro će vam doći kako za kućne potrebe, tako i za pomoć djeci. Sjetimo se kako izračunati površinu trokuta jednostavno kao guljenje krušaka:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 sq. cm. Upamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravokutni trokut je trokut čiji je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni trokut). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita odsječka). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut jer zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju međusobno podijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer, 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjetili ste se glavne stvari, ostaje naučiti kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najlakši način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U načelu, više nije potrebno provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer u svakodnevnom životu dobro će doći i samo ovaj će pomoći. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.

2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površina pravokutnog trokuta koje još uvijek možete koristiti:

Odlučili smo koristiti prvu formulu i to s malim mrljama (crtali smo u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo pravi izračun:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Dobili smo takve rezultate 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelije, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokračni trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja formule jednakokračnog trokuta, tada je najlakši način koristiti glavnu i, kao što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo područje jednakokračnog trokuta, saznat ćemo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut čije su dvije stranice jednake duljine. Ove dvije stranice nazivaju se stranice, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim, tj. jednakostranični trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na osnovici u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje saznati koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate: