Područje bočne površine piramide. Kako izračunati površinu piramide: bazu, stranu i ukupnu površinu

je višestrani lik, čija je baza mnogokut, a preostala lica predstavljena su trokutima sa zajedničkim vrhom.

Ako je baza kvadrat, tada se zove piramida četverokutan, ako je trokut – onda trokutasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na bazu. Također se koristi za izračunavanje površine apotema– visina bočne strane, spuštena od njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbroj površina njezinih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ova metoda izračuna se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide izračunava se kroz obod baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračuna površine bočne površine piramide.

Neka je dana piramida s bazom ABCDE i vrhom F. AB =CD =DE =EA =3 cm. Nađi površinu bočne plohe piramide.
Nađimo opseg. Budući da su svi rubovi baze jednaki, opseg peterokuta bit će jednak:
Sada možete pronaći bočno područje piramide:

Površina pravilne trokutaste piramide

Pravilna trokutasta piramida sastoji se od baze u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake površine.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na različite načine. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračun pomoću perimetra i apoteme ili možete pronaći područje jednog lica i pomnožiti ga s tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i duljinu baze. Razmotrimo primjer izračuna bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Zadana je piramida s apotemom a = 4 cm i osnovnom plohom b = 2 cm. Odredite površinu bočne plohe piramide.
Prvo pronađite područje jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu:
Budući da su u pravilnoj piramidi sve strane iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbroju površina tri lica. Odnosno:

Površina krnje piramide

Krnji Piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide vrlo je jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbroja opsega baza i apoteme:

Paralelepiped je četverokutna prizma s paralelogramom u osnovi. Postoje gotove formule za izračunavanje bočne i ukupne površine figure, za koje su potrebne samo duljine triju dimenzija paralelopipeda.

Kako pronaći površinu bočne površine pravokutnog paralelopipeda

Potrebno je razlikovati pravokutni i ravni paralelopiped. Osnovica pravog lika može biti bilo koji paralelogram. Područje takve figure mora se izračunati pomoću drugih formula.

Zbroj S bočnih stranica pravokutnog paralelopipeda izračunava se pomoću jednostavne formule P*h, gdje je P opseg, a h visina. Slika pokazuje da su suprotne stranice pravokutnog paralelopipeda jednake, a visina h podudara se s duljinom bridova okomitih na bazu.

Površina kvadra

Ukupna površina figure sastoji se od strane i površine 2 baze. Kako pronaći površinu pravokutnog paralelopipeda:

Gdje su a, b i c dimenzije geometrijskog tijela.
Opisane formule su lako razumljive i korisne u rješavanju mnogih geometrijskih problema. Primjer tipičnog zadatka prikazan je na sljedećoj slici.

Pri rješavanju problema ove vrste treba imati na umu da se baza četverokutne prizme odabire proizvoljno. Ako kao bazu uzmemo lice dimenzija x i 3, tada će vrijednosti Sside biti drugačije, a Total će ostati 94 cm2.

Površina kocke

Kocka je pravokutni paralelopiped u kojem su sve 3 dimenzije jednake. U tom smislu, formule za ukupnu i bočnu površinu kocke razlikuju se od standardnih.

Opseg kocke je 4a, dakle, Sstrana = 4*a*a = 4*a2. Ovi izrazi nisu potrebni za pamćenje, ali značajno ubrzavaju rješavanje zadataka.

Piramida- jedna od varijanti poliedra formiranog od poligona i trokuta koji leže u podnožju i njegova su lica.

Štoviše, na vrhu piramide (tj. u jednoj točki) sva su lica ujedinjena.

Da bi se izračunala površina piramide, vrijedi utvrditi da se njezina bočna površina sastoji od nekoliko trokuta. I lako možemo pronaći njihova područja pomoću

razne formule. Ovisno o tome koje podatke znamo o trokutima, tražimo njihovu površinu.

Navodimo neke formule koje se mogu koristiti za pronalaženje površine trokuta:

S = (a*h)/2 . U ovom slučaju znamo visinu trokuta h , koji je spušten na stranu a .
S = a*b*sinβ . Ovdje su stranice trokuta a , b , a kut između njih je β .
S = (r*(a + b + c))/2 . Ovdje su stranice trokuta a, b, c . Polumjer kruga upisanog u trokut je r .
S = (a*b*c)/4*R . Polumjer opisane kružnice oko trokuta je R .
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ovu formulu treba primijeniti samo kada je trokut pravokutan.
S = (a²*√3)/4 . Ovu formulu primjenjujemo na jednakostranični trokut.

Tek nakon što izračunamo površine svih trokuta koji su lica naše piramide, možemo izračunati površinu njezine bočne površine. Da bismo to učinili, koristit ćemo gornje formule.

Da biste izračunali površinu bočne površine piramide, nema poteškoća: morate saznati zbroj površina svih trokuta. Izrazimo to formulom:

Sp = ΣSi

Ovdje Si je površina prvog trokuta, i S P - područje bočne površine piramide.

Pogledajmo primjer. S obzirom na pravilnu piramidu, njezine bočne stranice čine nekoliko jednakostraničnih trokuta,

« Geometrija je najmoćniji alat za izoštravanje naših mentalnih sposobnosti».

Galileo Galilei.

a kvadrat je baza piramide. Štoviše, rub piramide ima duljinu od 17 cm. Nađimo površinu bočne površine ove piramide.

Rezoniramo ovako: znamo da su lica piramide trokuti, jednakostranični. Također znamo kolika je duljina brida ove piramide. Slijedi da svi trokuti imaju jednake stranice i da im je duljina 17 cm.

Da biste izračunali površinu svakog od ovih trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Dakle, budući da znamo da kvadrat leži u podnožju piramide, ispada da imamo četiri jednakostranična trokuta. To znači da se površina bočne površine piramide može lako izračunati pomoću sljedeće formule: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Naš odgovor je sljedeći: 500,548 cm² - ovo je površina bočne površine ove piramide.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Definicija. Bočni rub- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a suprotna strana se podudara sa stranom baze (poligon).

Definicija. Bočna rebra- ovo su uobičajene strane bočnih strana. Piramida ima onoliko bridova koliko kutova ima mnogokut.

Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do baze piramide.

Definicija. Apotema- ovo je okomica na bočnu stranu piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.

Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.

Definicija. Ispravna piramida je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.

Volumen i površina piramide

Formula. Volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:

Svojstva piramide

Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada se oko baze piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).

Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada su nagnuti prema ravnini baze pod istim kutovima.

Bočni bridovi su jednaki kada tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se oko baze piramide može opisati kružnica.

Ako su bočne strane nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide projicira se u njezino središte.

Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, onda su apoteme bočnih ploha jednake.

Svojstva pravilne piramide

1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.

2. Svi bočni rubovi su jednaki.

3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim kutom u odnosu na bazu.

4. Apoteme svih bočnih lica su jednake.

5. Površine svih bočnih ploha su jednake.

6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.

7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane sfere bit će sjecište okomica koje prolaze kroz sredinu bridova.

8. Kuglu možete uklopiti u piramidu. Središte upisane sfere bit će točka presjeka simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.

9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravninskih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π/n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.

Veza piramide i kugle

Oko piramide se može opisati sfera kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će sjecište ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.

Uvijek je moguće opisati sferu oko bilo koje trokutaste ili pravilne piramide.

U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.

Odnos piramide i stošca

Kaže se da je stožac upisan u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.

Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide međusobno jednake.

Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.

Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.

Odnos piramide i valjka

Piramida se naziva upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.

Oko piramide se može opisati cilindar ako se oko baze piramide može opisati kružnica.

Definicija. Krnja piramida (piramidalna prizma) je poliedar koji se nalazi između baze piramide i presječne ravnine paralelne s bazom. Tako piramida ima veću bazu i manju bazu koja je slična većoj. Bočna lica su trapezoidna.

Definicija. Trokutasta piramida (tetraedar) je piramida u kojoj su tri lica i baza proizvoljni trokuti.

Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, pri čemu bilo koja dva brida nemaju zajedničke vrhove, ali se ne dodiruju.

Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutasti kut.

Segment koji spaja vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).

Bimedijan naziva segment koji spaja središta suprotnih bridova koji se ne dodiruju (KL).

Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju bimedijane se dijele na pola, a medijane se dijele u omjeru 3:1 počevši od vrha.

Definicija. Kosa piramida je piramida kojoj jedan od bridova s bazom tvori tupi kut (β).

Definicija. Pravokutna piramida je piramida u kojoj je jedna od bočnih strana okomita na bazu.

Definicija. Oštrokutna piramida- piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.

Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.

Definicija. Pravilni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru svi kutovi diedra (između ploha) i kutovi triedra (u vrhu) su jednaki.

Definicija. Pravokutni tetraedar naziva se tetraedar u kojem između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti) ima pravi kut. Formiraju se tri lica pravokutni trokutasti kut a plohe su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljan trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.

Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su bočne strane međusobno jednake, a baza je pravilan trokut. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokračni trokuti.

Definicija. Ortocentrični tetraedar zove se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.

Definicija. Zvjezdana piramida zove se poliedar čija je baza zvijezda.

Definicija. Bipiramida- poliedar koji se sastoji od dvije različite piramide (piramide mogu biti i odrezane), imaju zajedničku bazu, a vrhovi leže na suprotnim stranama ravnine baze.