Bočna površina kugle i stošca. Površina bočne i ukupne površine stošca

Površina stošca (ili jednostavno površina stošca) jednaka je zbroju površina baze i bočne površine.

Površina bočne površine konusa izračunava se formulom: S = πR l, gdje je R polumjer baze stošca, i l- formiranje stošca.

Budući da je površina baze stošca jednaka πR 2 (kao površina kruga), površina ukupne površine stošca bit će jednaka: πR 2 + πR l= πR(R+ l).

Dobivanje formule za područje bočne površine stošca može se objasniti sljedećim razmišljanjem. Neka crtež prikazuje razvoj bočne plohe stošca. Podijelimo luk AB na što više jednakih dijelova i spojimo sve djelbene točke sa središtem luka, a susjedne međusobno tetivama.

Dobivamo niz jednakih trokuta. Površina svakog trokuta je Ah / 2 gdje A- duljina baze trokuta, a h- njegova visoka.

Zbroj površina svih trokuta bit će: Ah / 2 n = anh / 2 gdje n- broj trokuta.

S velikim brojem podjela, zbroj površina trokuta postaje vrlo blizu području razvoja, tj. području bočne površine stošca. Zbroj baza trokuta, tj. an, postaje vrlo blizu duljini luka AB, tj. opsegu baze stošca. Visina svakog trokuta postaje vrlo blizu polumjeru luka, tj. generatrisi stošca.

Zanemarujući manje razlike u veličinama ovih veličina, dobivamo formulu za površinu bočne površine stošca (S):

S=C l / 2, gdje je C opseg baze stošca, l- formiranje stošca.

Znajući da je C = 2πR, gdje je R polumjer kružnice baze stošca, dobivamo: S = πR l.

Bilješka. U formuli S = C l / 2 postoji predznak točne, a ne približne jednakosti, iako bismo na temelju gornjeg razmišljanja ovu jednakost mogli smatrati približnom. Ali u višim razredima srednje škole dokazuje se ta jednakost

S=C l / 2 je točan, a ne približan.

Teorema. Bočna površina stošca jednaka je umnošku opsega baze i polovice generatrise.

Upišimo neku pravilnu piramidu u stožac (sl.) i označimo je slovima R I l brojevi koji izražavaju duljine opsega baze i apoteme ove piramide.

Tada će njegova bočna površina biti izražena umnoškom 1/2 R l .

Pretpostavimo sada da se broj stranica poligona upisanog u bazu neograničeno povećava. Zatim perimetar Rće težiti granici koja se uzima kao duljina C osnovnog opsega, a apotem l imat će kao granicu generatrisu stošca (kako je ΔSAK slijedi SA - SK
1 / 2 R l, težit će granici od 1/2 C L. Ova granica se uzima kao veličina bočne površine stošca. Označavajući bočnu površinu stošca slovom S, možemo napisati:

S = 1/2 C L = C 1/2 L

Posljedice.
1) Kako je C = 2 π R, tada se bočna površina stošca izražava formulom:

S = 1/2 2π R L= π R.L.

2) Dobivamo punu površinu stošca ako dodamo bočnu površinu na površinu baze; dakle, označavajući kompletnu površinu s T, imat ćemo:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Bočna površina krnjeg stošca jednaka je umnošku polovice zbroja duljina kružnica baza i generatora.

Upišimo neku pravilnu krnju piramidu u krnji stožac (sl.) i označimo je slovima r, r 1 i l brojevi koji u identičnim linearnim jedinicama izražavaju duljine opsega donje i gornje baze i apoteme ove piramide.

Tada je bočna površina upisane piramide jednaka 1/2 ( p + str 1) l

Neograničenim povećanjem broja bočnih stranica upisane piramide, perimetri R I R 1 teže granicama koje se uzimaju kao duljine C i C 1 osnovnih kružnica i apotema l ima kao limit generator L krnjeg stošca. Prema tome, veličina bočne plohe upisane piramide teži granici jednakoj (C + C 1) L. Ta granica se uzima kao veličina bočne plohe krnjeg stošca. Označavajući bočnu plohu krnjeg stošca slovom S, imamo:

S = 1 / 2 (C + C 1) L

Posljedice.
1) Ako R i R 1 znače polumjere krugova donje i gornje baze, tada će bočna površina krnjeg stošca biti:

S = 1/2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R + R 1) L.

2) Ako u trapezu OO 1 A 1 A (sl.), čijom se rotacijom dobije krnji stožac, povučemo srednju liniju BC, tada dobivamo:

BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),

R + R 1 = 2VS.

Stoga,

S=2 π BC L,

tj. bočna ploha krnjeg stošca jednaka je umnošku opsega središnjeg odsječka i generatrise.

3) Ukupna površina T krnjeg stošca izrazit će se na sljedeći način:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: sat učenja novoga gradiva s elementima problemsko-razvojne nastavne metode.

Ciljevi lekcije:

obrazovni:
- upoznavanje s novim matematičkim pojmom;
- formiranje novih centara za obuku;
- formiranje praktičnih vještina rješavanja problema.
razvoj:
- razvoj samostalnog mišljenja učenika;
- razvoj vještina pravilnog govora školaraca.
obrazovni:
- razvijanje vještina timskog rada.

Oprema za nastavu: magnetska ploča, računalo, platno, multimedijski projektor, model stošca, prezentacija lekcije, materijali.

Ciljevi lekcije (za učenike):

upoznati novi geometrijski pojam – stožac;
izvesti formulu za izračunavanje površine stošca;
naučiti primijeniti stečena znanja pri rješavanju praktičnih problema.

Tijekom nastave

Stadij I. Organizacijski.

Predaja bilježnica s domaćim testom iz obrađene teme.

Učenici su pozvani da rješavanjem zagonetke saznaju temu nadolazeće lekcije (slajd 1):

Slika 1.

Najava teme i ciljeva sata učenicima (slajd 2).

Stadij II. Objašnjenje novog gradiva.

1) Predavanje nastavnika.

Na ploči je tablica sa slikom stošca. Novo gradivo objašnjeno je uz programski materijal „Stereometrija“. Na ekranu se pojavljuje trodimenzionalna slika stošca. Nastavnik daje definiciju stošca i govori o njegovim elementima. (slajd 3). Kaže se da je stožac tijelo koje nastaje rotacijom pravokutnog trokuta u odnosu na krak. (slajdovi 4, 5). Pojavljuje se slika skenirane bočne površine stošca. (slajd 6)

2) Praktičan rad.

Aktualizacija osnovnih znanja: ponoviti formule za izračunavanje površine kruga, površine isječka, duljine kruga, duljine kružnog luka. (slajdovi 7-10)

Razred je podijeljen u grupe. Svaka skupina dobiva sken bočne plohe stošca izrezanog na papiru (sektor kruga s dodijeljenim brojem). Učenici poduzimaju potrebna mjerenja i izračunavaju površinu dobivenog sektora. Na ekranu se pojavljuju upute za izvođenje rada, pitanja - problemi (slajdovi 11–14). Predstavnik svake skupine zapisuje rezultate izračuna u tablicu pripremljenu na ploči. Sudionici svake grupe lijepe model stošca prema uzorku koji imaju. (slajd 15)

3) Izjava i rješenje problema.

Kako izračunati bočnu površinu stošca ako su poznati samo polumjer baze i duljina generatrixa stošca? (slajd 16)

Svaka skupina vrši potrebna mjerenja i pokušava izvesti formulu za izračun potrebne površine koristeći dostupne podatke. Pri izvođenju ovog rada učenici trebaju uočiti da je opseg baze stošca jednak duljini luka isječka – razvijenosti bočne plohe ovog stošca. (slajdovi 17–21) Pomoću potrebnih formula izvodi se željena formula. Argumenti učenika trebali bi izgledati otprilike ovako:

Polumjer zahvata sektora jednak je l, stupanjska mjera luka – φ. Područje sektora izračunava se formulom: duljina luka koji ograničava ovaj sektor jednaka je polumjeru baze konusa R. Duljina kruga koji leži na bazi konusa je C = 2πR . Imajte na umu da budući da je površina bočne površine stošca jednaka površini razvoja njegove bočne površine, tada

Dakle, površina bočne površine konusa izračunava se formulom S BOD = πRl.

Nakon izračuna površine bočne površine modela stošca koristeći neovisno izvedenu formulu, predstavnik svake skupine zapisuje rezultat izračuna u tablicu na ploči u skladu s brojevima modela. Rezultati izračuna u svakom retku moraju biti jednaki. Na temelju toga nastavnik utvrđuje točnost zaključaka svake skupine. Tablica rezultata trebala bi izgledati ovako:

Model br.	I zadatak	II zadatak

	(125/3)π ~ 41,67 π

	(425/9)π ~ 47,22 π
	(539/9)π ~ 59,89 π

Parametri modela:

l=12 cm, φ =120°
l=10 cm, φ =150°
l=15 cm, φ =120°
l=10 cm, φ =170°
l=14 cm, φ =110°

Aproksimacija izračuna povezana je s pogreškama mjerenja.

Nakon provjere rezultata, na ekranu se pojavljuje ispis formula za površine bočne i ukupne površine stošca (slajdovi 22–26), učenici vode bilješke u bilježnicama.

Stadij III. Konsolidacija proučavanog materijala.

1) Učenicima se nudi zadaci za usmeno rješavanje na gotovim crtežima.

Odredite površine potpunih ploha stožaca prikazanih na slikama (slajdovi 27–32).

2) Pitanje: Jesu li površine ploha stožaca nastalih rotacijom jednog pravokutnog trokuta oko različitih krakova jednake? Učenici postavljaju hipotezu i testiraju je. Hipotezu provjerava rješavanjem zadataka, a učenik je zapisuje na ploču.

dano:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

VAA", AVV" – rotacijska tijela.

Pronaći: S PPK 1, S PPK 2.

Slika 5. (slajd 33)

Riješenje:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S glavni 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Ako je S PPK 1 = S PPK 2, tada a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Jer a, b, c – pozitivnih brojeva (duljina stranica trokuta), jednakost je istinita samo ako a =b.

Zaključak: Površine dvaju stožaca jednake su samo ako su stranice trokuta jednake. (slajd 34)

3) Rješenje zadatka iz udžbenika: br.565.

Faza IV. Sažimanje lekcije.

Domaća zadaća: paragrafi 55, 56; br. 548, br. 561. (slajd 35)

Objava dodijeljenih ocjena.

Zaključci tijekom lekcije, ponavljanje glavnih informacija primljenih tijekom lekcije.

Književnost (slajd 36)

Geometrija 10–11 razredi – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., “Prosveshchenie”, 2008.
"Matematičke zagonetke i šarade" - N.V. Udaltsova, biblioteka “Prvi rujan”, serija “MATEMATIKA”, broj 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Znamo što je stožac, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto trebate riješiti takav problem? Na primjer, morate razumjeti koliko će tijesta otići u izradu korneta za vafle? Ili koliko je cigli potrebno za izradu krova dvorca od opeke?

Mjerenje bočne površine stošca jednostavno se ne može učiniti. Ali zamislimo isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i položiti na stol. Rezultat je ravna figura, kojoj možemo pronaći površinu.

Riža. 1. Odsjek stošca po generatrisi

Učinimo isto s konusom. "Odsjecimo" njegovu bočnu površinu duž bilo koje generatrise, na primjer (vidi sliku 1).

Sada "odmotajmo" bočnu površinu na ravninu. Dobivamo sektor. Središte tog sektora je vrh stošca, polumjer sektora jednak je generatrisi stošca, a duljina njegovog luka podudara se s opsegom baze stošca. Taj se sektor naziva razvojem bočne površine stošca (vidi sliku 2).

Riža. 2. Razvoj bočne površine

Riža. 3. Mjerenje kuta u radijanima

Pokušajmo pronaći područje sektora koristeći dostupne podatke. Prvo, uvedimo oznaku: neka kut na vrhu isječka bude u radijanima (vidi sliku 3).

Često ćemo imati problema s kutom na vrhu zamaha. Za sada pokušajmo odgovoriti na pitanje: ne može li ovaj kut biti veći od 360 stupnjeva? Odnosno, ne bi li ispalo da bi se zamah sam po sebi preklapao? Naravno da ne. Dokažimo ovo matematički. Pustite skeniranje da se "superponira" na sebe. To znači da je duljina zahvatnog luka veća od duljine kruga polumjera . Ali, kao što je već spomenuto, duljina luka zahvata je duljina kruga polumjera . A radijus baze stošca je, naravno, manji od generatrise, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze

Zatim se prisjetimo dvije formule iz tečaja planimetrije: duljina luka. Područje sektora: .

U našem slučaju ulogu igra generator , a duljina luka jednaka je opsegu baze stošca tj. Imamo:

Na kraju dobivamo: .

Uz bočnu površinu može se pronaći i ukupna površina. Da biste to učinili, područje baze mora se dodati području bočne površine. Ali baza je krug polumjera, čija je površina prema formuli jednaka .

Konačno imamo: , gdje je radijus baze cilindra, je generatrisa.

Riješimo nekoliko zadataka pomoću zadanih formula.

Riža. 4. Potreban kut

Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor s kutom na vrhu. Odredite taj kut ako je visina stošca 4 cm, a polumjer baze 3 cm (vidi sliku 4).

Riža. 5. Pravokutni trokut koji tvori stožac

Prvom radnjom, prema Pitagorinom poučku, nalazimo generator: 5 cm (vidi sl. 5). Dalje, to znamo .

Primjer 2. Površina osnog presjeka stošca jednaka je , visina je jednaka . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).