vjerojatnost p = 0,7. Nađite najvjerojatniji broj m 0 ljudi koji će prisustvovati sastanku i odgovarajuću vjerojatnost P n (m 0 ) .

Riješenje. Budući da je P 50 (m 0 )= C 50 m 0 (0,7) m 0 (0,3) 50 − m 0 , zadatak je pronaći nenegativan cijeli broj m 0 ≤ 50 koji daje maksimum funkcije P 50 (m 0 ). Gore smo vidjeli da je takav broj dan formulom (6.4). U

P 50 (35) = C 50 35 (0,7) 35 (0,3) 15 ≈ 0,123.

6.4. Poissonova formula

Formule (6.1) i (6.3) daju točne vrijednosti vjerojatnosti povezanih s nezavisnom Bernoullijevom testnom shemom. Međutim, izračuni pomoću ovih formula, posebno kada velike vrijednosti n njima, vrlo su teški. Od velikog je praktičnog interesa dobiti dovoljno jednostavne približne formule za izračunavanje odgovarajućih vjerojatnosti. Prvi sličnu formulu izašao je 1837 francuski matematičar i fizičar Simon Poisson (1781–1840). Ispod je formulacija Poissonovog rezultata.

Razmotrimo Bernoullijev neovisni dizajn ispitivanja u kojem je broj pokušaja n "relativno velik", vjerojatnost "uspjeha" p je "relativno mala", a umnožak λ = np nije "ni mali ni velik"41. Pod ovim uvjetima formula je važeća

Ovo je poznata Poissonova aproksimacija za binomna distribucija. Dokaz formule (6.6) bit će dan u dodatku ovom odjeljku.

41 Točno značenje pojmova u navodnicima bit će objašnjeno u nastavku, posebno u § 6e.

Poziva se funkcija s desne strane formule (6.6).

Poissonova distribucija:

Uz ovaj zapis, p(k, λ) će biti približni izraz za vjerojatnost b(k;n, λn) kada je n "dovoljno velik".

Prije rasprave o formuli (6.6), predstavljamo vrlo ilustrativni primjeri njegovu upotrebu.

Vrijednosti binomne distribucije i vrijednosti Poissonove distribucije za n = 100, p = 0,01, λ = 1 prikazane su u tablici. 6.2. Kao što vidimo, točnost približne formule je prilično visoka.

Što je veći n, veća je točnost Poissonove formule. To jasno ilustrira sljedeći primjer. Izračunajmo vjerojatnost p k da je u društvu od 500 ljudi točno k ljudi rođeno na isti dan u godini. Ako se tih 500 ljudi izabere nasumično, tada se može primijeniti Bernoullijev dizajn od n = 500 pokušaja s vjerojatnošću "uspjeha" p = 1365. Izračuni pomoću točne formule (6.1) i približne formule (6.6) za λ= 500365≈ 1,3699 prikazani su u tablici. 6.3. Kao što vidimo, greška je tek na četvrtoj decimali, što je za praksu sasvim prihvatljivo.

			Tablica 6.2
	b(k; 100, 1.100)		p(k;1)

Tablica 6.3.

		b (k; 500,1/365)	p(k, λ)
Razmotrite sljedeći tipični primjer primjene formule
Poisson.

Neka se zna da je vjerojatnost “kvara” u radu telefonske centrale pri svakom pozivu 0,002. Primljeno 1000 poziva. Odredite vjerojatnost da će se dogoditi 7 "kvarova".

Riješenje. Prirodno je pretpostaviti da u normalnim uvjetima pozivi koji stižu na telefonsku centralu neovisni su jedan o drugome. Neuspjeh telefonske centrale smatrajmo "uspjehom" na testu - izazovu. Vjerojatnost neuspjeha (p = 0,002) može se smatrati "prilično malom", a broj poziva (n = 1000) je "prilično velikim". Dakle, nalazimo se u uvjetima Poissonovog teorema. Za parametar λ dobivamo vrijednost

Raspravimo sada o granicama primjenjivosti Poissonove formule. Na

Koristeći bilo koju približnu formulu, prirodno se postavlja pitanje granica njezine primjenjivosti. Pritom se susrećemo s dva aspekta problema. Prvo, prirodno je pitanje: pod kojim je stvarnim uvjetima primjenjiv Poissonov zakon? Iskustvo pokazuje da jednostavna Poissonova distribucija ima relativno univerzalnu primjenjivost. Općenito, sa stajališta primjene, matematički teoremi su dobri i loši u sljedećem smislu: dobri teoremi nastavljaju se primjenjivati ​​čak i ako su njihovi uvjeti prekršeni, a loši teoremi odmah prestaju biti istiniti ako su uvjeti njihovog izvođenja prekršeni . Poissonov teorem (6.6) je dobar, pa čak i odličan u tom smislu. Naime, Poissonov zakon nastavlja djelovati čak i kada su prekršeni uvjeti Bernoullijeve sheme (tj. može se pretpostaviti varijabilna vjerojatnost uspjeha pa čak i ne prevelika ovisnost rezultata pojedinih testova)42. Moglo bi se čak tvrditi da Poissonova distribucija ima relativno univerzalnu primjenjivost. Ovo se mora shvatiti u smislu da ako eksperimentalni podaci pokazuju da se Poissonov zakon ne primjenjuje, dok, prema zdrav razum, trebao je djelovati, bilo bi prirodnije dovoditi u pitanje statističku stabilnost naših podataka nego tražiti neki drugi zakon distribucije. Drugim riječima, Poissonova distribucija vrlo je uspješna matematička formulacija jednog od univerzalnih (unutar primjenjivosti teorije vjerojatnosti) zakona prirode.

Drugo, postavlja se pitanje o redovima veličina onih parametara koji su uključeni u Poissonovu formulu, a za koje smo gore koristili nejasne izraze „relativno veliki“, „relativno mali“, „nemali i mali“. Opet, objašnjeni odgovori osiguravaju praksa primjene formule (6.6). Ispostavilo se da je Poissonova formula prilično točna za praktična aplikacija, ako je broj testova n reda

42 Naravno, ove značajke Poissonove distribucije ne treba zlorabiti. Na primjer, Poissonov zakon očito se krši u situacijama jake ovisnosti rezultata pojedinačnih testova.

nekoliko desetaka (po mogućnosti stotina), a vrijednost parametra λ = np je u rasponu od 0 do 10.

Za ilustraciju primjene Poissonove formule, razmotrite još jedan primjer.

Neka se zna da je za pečenje 1000 slatkih peciva s grožđicama potrebno 10.000 grožđica. Trebate pronaći raspodjelu broja grožđica u nekoj nasumično odabranoj lepinji.

Riješenje. Slijed neovisnih testova formiramo na sljedeći način. Ukupno će biti n = 10 000 pokušaja (prema broju grožđica), naime: ogled broj k sastojat će se od utvrđivanja je li grožđica s brojem k pala u našu nasumično odabranu lepinju43. Zatim, budući da ima ukupno 1000 kiflica, vjerojatnost da je k-ta grožđica završila u našoj kifli je p = 1/1000 (pod pretpostavkom da je tijesto dovoljno dobro umiješano prilikom pripreme kiflica). Sada primijenimo Poissonovu distribuciju s parametrom λ= np = 10000 11000= 10. Dobivamo:

P 10000 (k)≈ p (k,10)= 10 k e − 10.

Naime, vjerojatnost da ćemo uopće dobiti pecivo bez grožđica (k = 0) jednaka je e − 10 ≈ 0,5 10− 4 . Najvjerojatniji broj grožđica bit će, prema formuli (6.4), jednak 10. Odgovarajuća vjerojatnost

P 10000(10) ≈ 10 10 e − 10 ≈ 0,125 . 10!

Primjer peciva i grožđica, unatoč svojoj mondenoj formulaciji, vrlo je opći karakter. Dakle, umjesto o grožđicama u pecivima, možemo govoriti, na primjer, o broju bakterija u kapi vode izvađene iz dobro promiješane kante. Još jedan primjer. Pretpostavimo da atomi radioaktivna tvar raspadaju neovisno jedan o drugom, a tijekom određenog vremenskog intervala dolazi do raspada danog atoma

43 Imajte na umu da se kupnja punđe u trgovini može smatrati slučajnim odabirom.

Neka se eksperiment izvede ponovno testiranje prema Bernoullijevoj shemi i broj pokusa je velik, vjerojatnost pojave promatranog događaja u jednom pokusu je mala, a parametar je konstantna vrijednost. Tada za vjerojatnost - vjerojatnost da će se događaj jednom pojaviti u testovima vrijedi sljedeća relacija:

. (3.1)

Kada izračunavate vjerojatnost u takvom slučajnom eksperimentu, možete koristiti približnu formulu

, (3.2)

koji se zove Poissonova formula, a broj je Poissonov parametar.

Zadatak 3.1. Vjerojatnost nedostataka u proizvodnji određenog proizvoda je 0,008. Nađite vjerojatnost da tijekom kontrole među 500 proizvoda neće biti više od dva neispravna.

Rješenje: budući da je vjerojatnost mala, a broj pokušaja velik, možemo primijeniti Poissonovu formulu s parametrom . Tražena vjerojatnost je vjerojatnost zbroja tri događaja: bila su dva, jedan ili nijedan neispravan proizvod. Zato

Definicija 3.1

Tijek događaja je niz događaja koji se događaju u nasumično odabrano vrijeme.

Na primjer, tijek događaja bit će pozivi koji stižu na PBX, signali tijekom sesije radijske komunikacije, poruke koje stižu na poslužitelj itd.

Definicija 3.2

Tok događaja se zove Poisson(najjednostavnije) ako ima sljedeća svojstva:

1. Svojstvo stacionarnosti, tj. intenzitet protoka- konstantno.

2. Svojstvo običnosti, oni. gotovo je nemoguće dogoditi dva ili više događaja u kratkom vremenskom razdoblju.

3. Svojstvo bez naknadnog učinka, oni. vjerojatnost događaja koji će se dogoditi tijekom određenog vremenskog razdoblja ne ovisi o tome koliko se događaja dogodilo u bilo kojem drugom području.

Ako označimo vjerojatnost pojavljivanja događaja Poissonovog toka s intenzitetom u vremenu , tada vrijedi formula:

. (3.3)

Problem 3.2. Osiguravajuće društvo opslužuje 10.000 klijenata. Vjerojatnost da će klijent kontaktirati tvrtku unutar jednog dana je 0,0003. Kolika je vjerojatnost da vam se u roku od dva dana jave 4 klijenta?

Riješenje: Intenzitet protoka kupaca tijekom jednog dana jednak je

Stoga, .

Rješavanje problema 3.1 i 3.2 u okruženju Mathcad prikazano na sl. 3.

Problem 3.3. Vjerojatnost da će se čitač okretne šipke podzemne željeznice pokvariti unutar sat vremena je mala. Nađite tu vjerojatnost ako je vjerojatnost da će se dogoditi barem jedan kvar u 8 sati 0,98, te ako se zna da prosječno 1000 ljudi prođe kroz okretište na sat?

Riješenje: Prema formulama (1.3) i (3.3), pri vjerojatnosti da će doći do najmanje jednog kvara unutar 8 sati jednaka je:

Pomoću simboličkih naredbi, a zatim se određuje željena vjerojatnost.

Razmotrimo jednadžbu

Gdje je funkcija definirana na .

Ova jednadžba određuje širenje putujućeg vala u n-dimenzionalnom homogenom mediju brzinom a u trenucima vremena t > 0 .

Da bi rješenje bilo jednoznačno, potrebno je odrediti početne uvjete. Početni uvjeti određuju stanje prostora (ili, kažu, "početni poremećaj") u određenom trenutku t = 0 :

Tada generalizirana Kirchhoffova formula daje rješenje ovog problema.

Sam Kirchhoff razmatrao je samo trodimenzionalni slučaj.

Ideja dobivanja rješenja

Jednostavno izvođenje rješenja glavnog problema koristi Fourierovu transformaciju. Generalizirana Kirchhoffova formula ima sljedeći pogled:

.

Ako valna jednadžba sadrži desni dio f, izraz će se pojaviti na desnoj strani formule:

Fizičke posljedice

Prednja i stražnja valna fronta od poremećaja lokaliziranog u prostoru djeluju na promatrača u ograničenom vremenskom razdoblju

Pustiti unutra početni trenutak vrijeme t= 0 na nekom kompaktnom skupu M postoji lokalni poremećaj ( i/ili ). Ako smo na određenoj točki, tada ćemo, kao što se vidi iz formule (regija integracije), osjetiti poremećaj nakon vremena .

Izvan vremenskog razdoblja gdje , funkcija u(x 0 , t) jednaka je nuli.

Dakle, početni poremećaj lokaliziran u prostoru uzrokuje djelovanje lokalizirano u vremenu u svakoj točki prostora, odnosno poremećaj se širi u obliku vala s prednjom i zaostalom frontom, što izražava Huygensov princip). U avionu se ovo načelo krši. Obrazloženje za to je činjenica da nositelj poremećaja, kompaktan u , više neće biti kompaktan u , već će tvoriti beskonačni cilindar, pa će stoga poremećaj biti vremenski neograničen (y cilindrični valovi nema zadnjeg ruba).

Poisson-Parsevalova formula

Rješenje jednadžbe vibracija membrane

(funkcija f(x,t)

s početnim uvjetima

daje se formulom:

tex" alt=" +\frac(\partial)(\partial t)\frac(1)(2\pi a)\iint\limits_(r .

Formula D'Alemberta

Jednodimenzionalno rješenje valna jednadžba

(funkcija f(x,t) odgovara uvjerljivoj vanjskoj sili)

s početnim uvjetima

izgleda kao

U regiju II karakteristike dolaze iz samo jedne obitelji

Kada se koristi D'Alembertova formula, treba uzeti u obzir da ponekad rješenje ne mora biti jedinstveno u cijelom promatranom području. Rješenje valne jednadžbe predstavlja se kao zbroj dviju funkcija: u(x,t) = f(x + at) + g(x − at) , odnosno određuju ga dvije obitelji karakteristika: . Primjer prikazan na slici desno ilustrira valnu jednadžbu za polubeskonačni niz, a početni uvjeti u njoj navedeni su samo na zelenoj liniji x≥0. Jasno je da na području ja stižu i ξ-karakteristike i η-karakteristike, dok u regiji II postoje samo ξ-karakteristike. Odnosno na području II D'Alembertova formula ne funkcionira.

Primjena formula

U opći pogled Kirchhoffova formula je prilično glomazna, a samim time i rješenje problema matematička fizika korištenje je obično teško. Međutim, možete koristiti linearnost valne jednadžbe s početnim uvjetima i tražiti rješenje u obliku zbroja triju funkcija: u(x,t) = A(x,t) + B(x,t) + C(x,t) , koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:

Sama po sebi takva operacija ne pojednostavljuje korištenje Kirchhoffove formule, ali je za neke probleme moguće odabrati rješenje, ili zamjenom varijabli višedimenzionalni problem svesti na jednodimenzionalni. Na primjer, neka . Zatim, izrada zamjene ξ = x + 3g − 2z , jednadžba za problem "C" će imati oblik:

Tako smo došli do jednodimenzionalne jednadžbe, što znači da možemo koristiti D’Alembertovu formulu:

Zbog pariteta početno stanje, rješenje će zadržati svoj izgled na cijelom području t > 0 .

Književnost

Mikhailov V.P., Mikhailova T.V., Shabunin M.I. Kolekcija tipični zadaci u kolegiju Jednadžbe matematičke fizike. - M.: MIPT, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Linkovi

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što je "Poissonova formula" u drugim rječnicima:

Kirchhoffova formula je analitički izraz za rješavanje hiperboličke parcijalne diferencijalne jednadžbe (tzv. "valne jednadžbe") kroz trodimenzionalni prostor. Koristeći metodu spuštanja (to jest, smanjenje dimenzije) iz njega možete... ... Wikipedia

Kirchhoffova formula je analitički izraz za rješavanje hiperboličke parcijalne diferencijalne jednadžbe (tzv. “valne jednadžbe”) u cijelom prostoru. Metodom spuštanja (odnosno smanjivanjem dimenzionalnosti) moguće je dobiti rješenja dvodimenzionalnih... ... Wikipedia

Formula koja predstavlja jedinstvo. klasični rješenje u(x, t) Cauchyjevog problema za valnu jednadžbu u trodimenzionalnom vremenskom prostoru, (gdje je c brzina širenja signala) u slučaju kada su početni podaci f(x), p(x) tri puta i dva puta..... Fizička enciklopedija

Formula za izračunavanje zbroja niza oblika Ako je Fourierova transformacija (nešto drukčija od uobičajene, normalizirana) funkcije F (x), tada su (m i n cijeli brojevi). Ovo je P. f. S.; ona može biti…… Velika sovjetska enciklopedija

Formula P. f. S. događa se ako je npr. funkcija g(x) apsolutno integrabilna na intervalu, ima ograničenu varijaciju i funkcija funkcija. S. također se može napisati u obliku gdje su a i b bilo koja dva pozitivni brojevi, koji zadovoljava uvjet ab=2p, a c(u).je... ... Matematička enciklopedija

1) Isto kao Poissonov integral. 2) Formula koja daje integralni prikaz rješenja Cauchyjevog problema za valnu jednadžbu u prostoru: i ima oblik (1) gdje je prosječna vrijednost funkcije j na sfera smještena u prostoru (x, y, z) radijusa na S… … Matematička enciklopedija

Beskonačno djeljiva distribucija u teoriji vjerojatnosti je distribucija nasumična varijabla takav da se može prikazati u obliku proizvoljnog broja neovisnih, identično raspoređenih članova. Sadržaj 1 Definicija 2 ... ... Wikipedia

Gdje je λ jednak prosječnom broju pojavljivanja događaja u identičnim nezavisni testovi, tj. λ = n × p, gdje je p vjerojatnost događaja u jednom pokušaju, e = 2,71828.

Niz distribucije Poissonovog zakona ima oblik:

Svrha usluge. Online kalkulator koristi se za konstruiranje Poissonove distribucije i izračunavanje svih karakteristika serije: matematičko očekivanje, varijancu i standardnu ​​devijaciju. Zapisnik s odlukom sastavlja se u Word formatu.

Broj testova: n= , Vjerojatnost p =
Izračunajte vjerojatnost za: m =
doći će jednom
manje jednom
ne manje jednom
više jednom
ne više jednom
ne manje i nema više jednom
dogodit će se barem jednom

U slučaju kada je n velik i λ = p n > 10, Poissonova formula daje vrlo grubu aproksimaciju, a za izračun P n (m) koriste se lokalni i integralni teoremi Moivre-Laplacea.

Numeričke karakteristike slučajne varijable X

Očekivanje Poissonove distribucije
M[X] = λ

Varijanca Poissonove distribucije
D[X] = λ

Primjer br. 1. Sjemenke sadrže 0,1% korova. Kolika je vjerojatnost da ćete pronaći 5 sjemenki korova ako nasumično odaberete 2000 sjemenki?
Riješenje.
Vjerojatnost p je mala, ali je broj n velik. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Očekivana vrijednost: M[X] = λ = 2
Disperzija: D[X] = λ = 2

Primjer br. 2. Među sjemenkama raži ima 0,4% sjemena korova. Napravite zakon raspodjele broja korova slučajnim odabirom 5000 sjemenki. Pronaći očekivana vrijednost i varijance ove slučajne varijable.
Riješenje. Matematičko očekivanje: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Disperzija: D[X] = λ = 20
Zakon distribucije:

x	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Primjer br. 3. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 1/200. Odredite vjerojatnost da će se među 200 veza dogoditi sljedeće:
a) točno jedan netočan spoj;
b) manje od tri netočna spajanja;
c) više od dva neispravna spoja.
Riješenje. Prema uvjetima problema, vjerojatnost događaja je mala, pa koristimo Poissonovu formulu (15).
a) Zadano je: n = 200, p = 1/200, k = 1. Nađimo P 200 (1).
Dobivamo: . Tada je P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Zadano je: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Imamo: a = 1.

c) Zadano je: n = 200, p = 1/200, k > 2. Odredite P 200 (k > 2).
Ovaj se problem može riješiti jednostavnije: pronaći vjerojatnost suprotni događaj, jer u ovom slučaju treba izračunati manje članova. Uzimajući u obzir prethodni slučaj, imamo

Razmotrimo slučaj u kojem je n dovoljno veliko, a p dovoljno malo; stavimo np = a, gdje je a neki broj. U ovom slučaju, željena vjerojatnost određena je Poissonovom formulom:

Vjerojatnost pojavljivanja k događaja tijekom vremenskog trajanja t također se može pronaći pomoću Poissonove formule:
gdje je λ intenzitet toka događaja, odnosno prosječan broj događaja koji se pojave u jedinici vremena.

Primjer br. 4. Vjerojatnost da je dio neispravan je 0,005. Provjerava se 400 dijelova. Navedite formulu za izračun vjerojatnosti da su više od 3 dijela neispravna.

Primjer br. 5. Vjerojatnost da se neispravni dijelovi pojave kada jesu masovna proizvodnja jednako str. odredite vjerojatnost da serija od N dijelova sadrži a) točno tri dijela; b) ne više od tri neispravna dijela.
p=0,001; N = 4500
Riješenje.
Vjerojatnost p je mala, ali je broj n velik. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Slučajna varijabla X ima raspon vrijednosti (0,1,2,...,m). Vjerojatnosti ovih vrijednosti mogu se pronaći pomoću formule:

Nađimo distribucijski niz X.
Ovdje je λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Tada je vjerojatnost da serija od N dijelova sadrži točno tri dijela jednaka:

Tada je vjerojatnost da serija od N dijelova ne sadrži više od tri neispravna dijela:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Primjer br. 6. Automatska telefonska centrala u prosjeku primi N poziva po satu. Odredite vjerojatnost da će u određenoj minuti primiti: a) točno dva poziva; b) više od dva poziva.
N=18
Riješenje.
U jednoj minuti automatska telefonska centrala prima prosječno λ = 18/60 min. = 0,3
Pretpostavljajući da je slučajni broj X poziva primljenih na PBX u jednoj minuti,
pokorava se Poissonovom zakonu, pomoću formule ćemo pronaći željenu vjerojatnost

Nađimo distribucijski niz X.
Ovdje je λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Vjerojatnost da će primiti točno dva poziva u određenoj minuti je:
P(2) = 0,03334
Vjerojatnost da će primiti više od dva poziva u određenoj minuti je:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Primjer br. 7. Razmatraju se dva elementa koji djeluju neovisno jedan o drugom. Trajanje rada bez kvara ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ1 = 0,02 za prvi element i λ2 = 0,05 za drugi element. Odredite vjerojatnost da će za 10 sati: a) oba elementa raditi bez kvara; b) samo Vjerojatnost da element br. 1 neće otkazati za 10 sati:
Odluka.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187

Vjerojatnost da element br. 2 neće otkazati za 10 sati:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

a) oba elementa će raditi besprijekorno;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) otkazat će samo jedan element.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Primjer br. 7. Proizvodnja proizvodi 1% grešaka. Kolika je vjerojatnost da od 1100 proizvoda uzetih na istraživanje ne bude odbijeno više od 17?
Bilješka: budući da je ovdje n*p =1100*0.01=11 > 10, potrebno je koristiti

U mnogim praktičnim problemima moramo se baviti slučajnim varijablama raspodijeljenim prema neobičnom zakonu koji se naziva Poissonov zakon.

Razmotrimo diskontinuiranu slučajnu varijablu koja može imati samo cjelobrojne, nenegativne vrijednosti:

Štoviše, niz ovih vrijednosti je teoretski neograničen.

Kaže se da je slučajna varijabla raspodijeljena prema Poissonovom zakonu ako je vjerojatnost da je potrebno specifična vrijednost, izražava se formulom

gdje je a neka pozitivna veličina koja se naziva parametar Poissonovog zakona.

Niz distribucije slučajne varijable raspodijeljen prema Poissonovom zakonu ima oblik:

Uvjerimo se, prije svega, da niz vjerojatnosti zadan formulom (5.9.1) može biti serija distribucije, tj. da je zbroj svih vjerojatnosti jednak jedan. Imamo:

.

Na sl. 5.9.1 prikazuje poligone distribucije slučajne varijable raspodijeljene prema Poissonovom zakonu, odgovarajući različita značenja parametar Dodatak Tablica 8 prikazuje vrijednosti za različite .

Odredimo glavne karakteristike - matematičko očekivanje i varijancu - slučajne varijable raspodijeljene prema Poissonovom zakonu. Prema definiciji matematičkog očekivanja

.

Prvi član zbroja (koji odgovara ) jednak je nuli, stoga zbrajanje može započeti s:

Označimo ; Zatim

. (5.9.2)

Dakle, parametar nije ništa više od matematičkog očekivanja slučajne varijable.

Da bismo odredili disperziju, prvo pronalazimo drugi početni moment veličine:

Prema prethodno dokazanom

Osim,

Dakle, varijanca slučajne varijable raspodijeljena prema Poissonovom zakonu jednaka je njezinom matematičkom očekivanju.

Ovo svojstvo Poissonove distribucije često se koristi u praksi kako bi se odlučilo je li vjerojatna hipoteza da je slučajna varijabla raspodijeljena prema Poissonovom zakonu. Da bi se to postiglo, statističke karakteristike - matematičko očekivanje i disperzija - slučajne varijable određuju se iz iskustva. Ako su njihove vrijednosti bliske, to može poslužiti kao argument u korist hipoteze Poissonove distribucije; oštra razlika u tim karakteristikama, naprotiv, govori protiv hipoteze.

Odredimo za slučajnu varijablu raspodijeljenu prema Poissonovom zakonu vjerojatnost da će poprimiti vrijednost koja nije manja od zadane. Označimo ovu vjerojatnost:

Očito, vjerojatnost se može izračunati kao zbroj

Međutim, puno ga je lakše odrediti iz vjerojatnosti suprotnog događaja:

(5.9.4)

Konkretno, vjerojatnost da će količina uzeti pozitivna vrijednost, izražava se formulom

(5.9.5)

Već smo spomenuli da mnogi problemi iz prakse rezultiraju Poissonovom distribucijom. Razmotrimo jedan od tipični zadaci takve vrste.

Neka su točke nasumično raspoređene na x-osi Ox (slika 5.9.2). Pretpostavimo da slučajna raspodjela točaka zadovoljava sljedeće uvjete:

1. Vjerojatnost da određeni broj točaka padne na segment ovisi samo o duljini tog segmenta, ali ne ovisi o njegovom položaju na apscisnoj osi. Drugim riječima, točke su raspoređene na x-osi s istom prosječnom gustoćom. Označimo tu gustoću (tj. matematičko očekivanje broja točaka po jedinici duljine) s .

2. Točke su raspoređene na x-osi neovisno jedna o drugoj, tj. vjerojatnost pada jednog ili drugog broja bodova na dati segment ne ovisi o tome koliko njih pada na bilo koji drugi segment koji se s njim ne preklapa.

3. Vjerojatnost da dvije ili više točaka pogode malo područje je zanemariva u usporedbi s vjerojatnošću da jedna točka pogodi (ovaj uvjet znači praktičnu nemogućnost da se dvije ili više točaka poklope).

Odaberimo određeni duljinski segment na apscisnoj osi i razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu - broj točaka koje padaju na taj segment. Moguće vrijednosti bit će

Budući da točke padaju na segment neovisno jedna o drugoj, teoretski je moguće da ih tamo bude onoliko koliko se želi, tj. niz (5.9.6) nastavlja se neograničeno.

Dokažimo da slučajna varijabla ima Poissonov zakon distribucije. Da bismo to učinili, izračunavamo vjerojatnost da će na segmentu biti točno točaka.

Najprije riješimo više jednostavan zadatak. Uzmimo malo područje na Ox osi i izračunajmo vjerojatnost da će barem jedna točka pasti na to područje. Rezonirati ćemo na sljedeći način. Matematičko očekivanje broja točaka koje padaju na ovu dionicu očito je jednako (budući da prosjek točaka pada po jedinici duljine). Prema uvjetu 3, za mali segment možemo zanemariti mogućnost da na njemu padnu dvije ili više točaka. Stoga će matematičko očekivanje broja točaka koje će pasti na površinu biti približno jednako vjerojatnosti da jedna točka padne na nju (ili, što je u našim uvjetima ekvivalentno, barem jedna).

Dakle, do infinitezimalnog višeg reda, kada možemo smatrati da je vjerojatnost da će jedna (barem jedna) točka pasti na mjestu jednaka , a vjerojatnost da nijedna neće pasti jednaka je .

Iskoristimo ovo da izračunamo vjerojatnost da točne točke padnu na segment. Podijelite segment na jednake dijelove duljina . Dogovorimo se da elementarni segment nazovemo "praznim" ako ne sadrži niti jednu točku, a "zauzetim" ako se pojavi barem jedna. Prema gore navedenom, vjerojatnost da će segment biti “zauzet” je približno jednaka ; vjerojatnost da će biti “prazna” jednaka je . Budući da su, prema uvjetu 2, točke koje padaju u segmente koji se ne preklapaju neovisne, tada se naših n segmenata može smatrati neovisnim "eksperimentima", u svakom od kojih segment može biti "zauzet" s vjerojatnošću. Nađimo vjerojatnost da će među segmentima biti točno “zauzeto”. Prema teoremu o ponavljanju pokusa ta je vjerojatnost jednaka

ili, označavajući,

(5.9.7)

Kada je dovoljno velika, ta je vjerojatnost približno jednaka vjerojatnosti da točne točke padnu na segment, jer je vjerojatnost da dvije ili više točaka padnu na segment zanemariva. Da biste pronašli točnu vrijednost, morate ići do granice u izrazu (5.9.7) na:

(5.9.8)

Transformirajmo izraz pod znakom granice:

(5.9.9)

Prvi razlomak i nazivnik zadnjeg razlomka u izrazu (5.9.9) za , očito teže jedinici. Izraz ne ovisi o. Brojnik posljednjeg razlomka može se transformirati na sljedeći način:

(5.9.10)

Kada i izraz (5.9.10) teži . Dakle, dokazano je da je vjerojatnost da točne točke padnu u segment izražena formulom

gdje, tj. vrijednost X raspoređuje se prema Poissonovom zakonu s parametrom .

Imajte na umu da je vrijednost prosječan broj bodova po segmentu.

Magnituda (vjerojatnost da će vrijednost X poprimiti pozitivnu vrijednost) u u ovom slučaju izražava vjerojatnost da će barem jedna točka pasti na segment:

Stoga smo uvjereni da se Poissonova distribucija pojavljuje tamo gdje neke točke (ili drugi elementi) zauzimaju slučajni položaj neovisno jedna o drugoj, a broj tih točaka koje padaju u neko područje se broji. U našem slučaju, takva "regija" je segment na apscisnoj osi. No, naš se zaključak lako može proširiti na slučaj raspodjele točaka na ravnini (slučajno ravno polje točaka) iu prostoru (slučajno prostorno polje točaka). Nije teško dokazati da ako su ispunjeni uvjeti:

1) točke su statistički ravnomjerno raspoređene u polju s prosječnom gustoćom;

2) točke neovisno padaju u područja koja se ne preklapaju;

3) točke se pojavljuju pojedinačno, a ne u parovima, trojkama itd., tada se broj točaka koje padaju u bilo koje područje (ravno ili prostorno) raspoređuje prema Poissonovom zakonu:

gdje je prosječan broj točaka koje padaju u područje.

Za ravno kućište

gdje je područje regije; za prostorne

gdje je volumen regije.

Imajte na umu da je za Poissonovu distribuciju broja točaka koje padaju u segment ili regiju uvjet konstantne gustoće () nevažan. Ako su druga dva uvjeta ispunjena, tada Poissonov zakon i dalje vrijedi, samo parametar a u njemu poprima drugačiji izraz: ispada da nije jednostavno množenje gustoću duljinom, površinom ili volumenom regije, te integracijom varijable gustoće po segmentu, površini ili volumenu. (Za više o tome, vidi br. 19.4)

Prisutnost nasumičnih točaka razbacanih na liniji, ravnini ili volumenu nije jedini uvjet pod kojim se pojavljuje Poissonova distribucija. Može se, na primjer, dokazati da je Poissonov zakon ograničavajući za binomnu distribuciju:

, (5.9.12)

ako u isto vrijeme broj eksperimenata teži beskonačnosti, a vjerojatnost ide na nulu, a njihov umnožak zadržava konstantnu vrijednost:

Doista, ovo ograničavajuće svojstvo binomne distribucije može se napisati kao:

. (5.9.14)

Ali iz uvjeta (5.9.13) slijedi da

Zamjenom (5.9.15) u (5.9.14) dobivamo jednakost

, (5.9.16)

što smo upravo dokazali drugom prilikom.

Ovo ograničavajuće svojstvo binomnog zakona često se koristi u praksi. Pretpostavimo da je proizveden veliki broj nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih događaj ima vrlo nisku vjerojatnost. Zatim za izračunavanje vjerojatnosti da će se događaj pojaviti točno jednom, možete upotrijebiti približnu formulu:

, (5.9.17)

gdje je parametar Poissonovog zakona koji približno zamjenjuje binomnu distribuciju.

Iz ove osobine Poissonovog zakona - da izrazi binomnu distribuciju s velikim brojem eksperimenata i malom vjerojatnošću događaja - potječe njegov naziv, koji se često koristi u udžbenicima statistike: zakon rijetke pojave.

Pogledajmo nekoliko primjera vezanih uz Poissonovu distribuciju iz raznih područja prakse.

Primjer 1. Automatska telefonska centrala prima pozive s prosječnom gustoćom poziva po satu. Pretpostavljajući da je broj poziva u bilo kojem vremenskom razdoblju raspoređen prema Poissonovom zakonu, pronađite vjerojatnost da točno tri poziva stignu na stanicu u dvije minute.

Riješenje. Prosječan broj poziva u dvije minute je:

m2 Da biste pogodili metu, dovoljan je barem jedan fragment da je pogodite. Odredite vjerojatnost pogotka mete na zadanoj poziciji prijelomne točke.

Riješenje. . Pomoću formule (5.9.4) nalazimo vjerojatnost pogađanja barem jednog fragmenta:

(Za izračun vrijednosti eksponencijalna funkcija koristimo se tablicom 2 iz priloga).

Primjer 7. Prosječna gustoća patogeni mikrobi u jednom metar kubni zrak je 100. Uzmite 2 kubna metra za ispitivanje. dm zraka. Nađite vjerojatnost da će se u njemu naći barem jedan mikrob.

Riješenje. Prihvaćajući hipotezu o Poissonovoj distribuciji broja mikroba u volumenu, nalazimo:

Primjer 8. Na određenu metu ispaljeno je 50 neovisnih hitaca. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,04. Iskorištavati ograničavanje imovine binomna raspodjela (formula (5.9.17)), pronađite približno vjerojatnost da će cilj biti pogođen: nijedan projektil, jedan projektil, dva projektila.

Riješenje. Imamo. Pomoću tablice 8 u dodatku nalazimo vjerojatnosti.