Kompletna trigonometrijska tablica. Sinus, kosinus, tangens i kotangens - sve što trebate znati na OGE i USE

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom istoku. Prve trigonometrijske omjere razvili su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentirali se prema zvijezdama. Ovi izračuni odnosili su se na sfernu trigonometriju, dok se u školskom tečaju proučava omjer stranica i kut ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom stranica i kutova trokuta.

Tijekom procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću nove ere, znanje se proširilo od starog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije zasluga su ljudi arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski znanstvenik al-Marazvi uveo je takve funkcije kao što su tangens i kotangens, sastavio je prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Pojam sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Mnogo je pažnje posvećeno trigonometriji u djelima velikih ličnosti antike kao što su Euklid, Arhimed i Eratosten.

Osnovne veličine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija u formulaciji: "Pitagorejske hlače, jednake u svim smjerovima", budući da se dokaz daje na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a predstavimo kao umnožak sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, tada ćemo dobiti sljedeće formule za tangens i kotangens:

trigonometrijski krug

Grafički se odnos navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija ima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će biti sa znakom "+" ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0 ° do 180 °. Uz α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje količina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih izračunavaju se i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova je vrijednost uvedena kako bi se uspostavio univerzalni odnos; kada se računa u radijanima, stvarna duljina polumjera u cm nije važna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π puni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Da bismo razmotrili i usporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrite usporednu tablicu svojstava za sinusni val i kosinusni val:

sinusoida	kosinusni val
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; jedan]	ODZ [-1; jedan]
sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 1, za x = 2πk, gdje je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, tj. neparna funkcija	cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna
	funkcija je periodična, najmanji period je 2π
sin x › 0, pri čemu x pripada četvrtinama I i II ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemu x pripada četvrtima I i IV ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtinama III i IV ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtinama II i III ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
raste na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
opada na intervalima [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	smanjuje u intervalima
izvod (sin x)' = cos x	izvod (cos x)’ = - sin x

Određivanje je li neka funkcija parna ili nije vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na OX os. Ako su predznaci isti, funkcija je parna; u protivnom je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje glavnih svojstava sinusoide i kosinusnog vala omogućuju nam da donesemo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti pregledom tablica ili praćenjem krivulja funkcije za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangentoida

Grafovi funkcija tangensa i kotangensa bitno se razlikuju od sinusoide i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna drugoj.

Y = tgx.
Tangens teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
Tg x = 0, za x = πk.
Funkcija se povećava.
Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivacija (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Razmotrite grafički prikaz kotangentoida u nastavku teksta.

Glavna svojstva kotangentoida:

Y = ctgx.
Za razliku od sinusne i kosinusne funkcije, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
Kotangentoid teži vrijednostima y pri x = πk, ali ih nikada ne doseže.
Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
Funkcija se smanjuje.
Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivacija (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fiks

Proučavanje trigonometrije započinjemo pravokutnim trokutom. Definirajmo što su sinus i kosinus, kao i tangens i kotangens oštrog kuta. Ovo su osnove trigonometrije.

Prisjetite se toga pravi kut je kut jednak 90 stupnjeva. Drugim riječima, polovica rasklopljenog kuta.

Oštar kut- manje od 90 stupnjeva.

Tup kut- veći od 90 stupnjeva. U odnosu na takav kut, "tupo" nije uvreda, već matematički pojam :-)

Nacrtajmo pravokutni trokut. Pravi kut obično se označava . Imajte na umu da je strana nasuprot kutu označena istim slovom, samo malim. Dakle, označena je stranica koja leži nasuprot kutu A.

Kut je označen odgovarajućim grčkim slovom.

Hipotenuza Pravokutni trokut je stranica nasuprot pravog kuta.

Noge- strane nasuprot oštrim kutovima.

Noga nasuprot kutu se zove suprotan(u odnosu na kut). Druga noga, koja leži s jedne strane ugla, zove se susjedni.

Sinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Kosinus oštri kut u pravokutnom trokutu - omjer susjedne noge i hipotenuze:

Tangens akutni kut u pravokutnom trokutu - omjer suprotne noge prema susjednoj:

Druga (ekvivalentna) definicija: tangens oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

Kotangens akutni kut u pravokutnom trokutu - omjer susjedne noge prema suprotnoj (ili, ekvivalentno, omjer kosinusa i sinusa):

Obratite pozornost na osnovne omjere za sinus, kosinus, tangens i kotangens, koji su navedeni u nastavku. Oni će nam biti od koristi u rješavanju problema.

Dokažimo neke od njih.

U redu, dali smo definicije i napisali formule. Ali zašto su nam potrebni sinus, kosinus, tangens i kotangens?

Mi to znamo zbroj kutova bilo kojeg trokuta je.

Znamo odnos između stranke pravokutni trokut. Ovo je Pitagorin teorem: .

Ispada da znajući dva kuta u trokutu, možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane u pravokutnom trokutu, možete pronaći treću. Dakle, za kutove - njihov omjer, za strane - vlastite. Ali što učiniti ako su u pravokutnom trokutu poznati jedan kut (osim pravog) i jedna strana, ali morate pronaći druge strane?

S tim su se ljudi suočavali u prošlosti, izrađujući karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće izravno izmjeriti sve strane trokuta.

Sinus, kosinus i tangens - oni se također nazivaju trigonometrijske funkcije kuta- dati omjer između stranke i kutovi trokut. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente kutova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.

Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za "dobre" kutove od do.

Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tablici. Za odgovarajuće vrijednosti kutova tangens i kotangens ne postoje.

Analizirajmo nekoliko problema iz trigonometrije iz zadataka Banke FIPI.

1. U trokutu je kut , . Pronaći .

Problem je riješen za četiri sekunde.

Jer , .

2. U trokutu, kut je , , . Pronaći .

Nađimo po Pitagorinom teoremu.

Problem riješen.

Često u problemima postoje trokuti s kutovima i ili s kutovima i . Napamet naučite osnovne omjere za njih!

Za trokut s kutovima i krakom nasuprot kutu na jednak je polovica hipotenuze.

Trokut s kutovima i jednakokračan je. U njemu je hipotenuza puta veća od katete.

Razmatrali smo probleme za rješavanje pravokutnih trokuta - odnosno za pronalaženje nepoznatih stranica ili kutova. Ali to nije sve! U varijantama ispita iz matematike ima dosta zadataka u kojima se pojavljuje sinus, kosinus, tangens ili kotangens vanjskog kuta trokuta. Više o tome u sljedećem članku.

Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangensa (), kotangensa () neraskidivo su povezani s pojmom kuta. Da bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa) i da bismo se uvjerili da “vrag nije tako strašan kako ga slikaju”, krenimo od samog početka. i razumjeti pojam kuta.

Pojam kuta: radijan, stupanj

Pogledajmo sliku. Vektor se "okrenuo" u odnosu na točku za određeni iznos. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početni položaj bit će kutak.

Što još trebate znati o pojmu kuta? Pa, jedinice kuta, naravno!

Kut se, kako u geometriji tako iu trigonometriji, može mjeriti u stupnjevima i radijanima.

Kut pri (jedan stupanj) je središnji kut u krugu, zasnovan na kružnom luku jednakom dijelu kruga. Dakle, cijela se kružnica sastoji od "komada" kružnih lukova ili je kut koji opisuje kružnica jednak.

Odnosno, gornja slika prikazuje kut koji je jednak, odnosno taj kut se temelji na kružnom luku veličine opsega.

Kut u radijanima naziva se središnji kut u krugu, koji se temelji na kružnom luku, čija je duljina jednaka polumjeru kruga. Pa, jeste li razumjeli? Ako ne, onda pogledajmo sliku.

Dakle, slika prikazuje kut jednak radijanu, odnosno taj kut se temelji na kružnom luku čija je duljina jednaka polumjeru kruga (duljina je jednaka duljini ili polumjer jednak duljina luka). Dakle, duljina luka izračunava se formulom:

Gdje je središnji kut u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži kut opisan kružnicom? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za opseg kruga. Evo je:

Pa, povežimo sada ove dvije formule i ustanovimo da je kut opisan kružnicom jednak. To jest, korelirajući vrijednost u stupnjevima i radijanima, dobivamo to. Odnosno,. Kao što vidite, za razliku od "stupnjeva", riječ "radijan" je izostavljena, jer je mjerna jedinica obično jasna iz konteksta.

Koliko radijana ima? Tako je!

kužiš Zatim pričvrstite naprijed:

Ima li poteškoća? Onda pogledajte odgovori:

Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta

Dakle, s konceptom kuta smo shvatili. Ali što je sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta? Hajdemo shvatiti. U tome će nam pomoći pravokutni trokut.

Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta? Tako je, hipotenuza i noge: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru, ovo je stranica); kraci su dvije preostale stranice i (one koje su susjedne pravom kutu), štoviše, ako katete promatramo s obzirom na kut, tada je krak susjedni krak, a krak suprotni. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?

Sinus kuta je omjer suprotne (daleke) noge prema hipotenuzi.

u našem trokutu.

Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.

u našem trokutu.

Kutna tangenta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge u odnosu na susjednu (blizu).

u našem trokutu.

Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daleko).

u našem trokutu.

Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens i kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus i kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

kosinus→dodir→dodir→susjedni;

Kotangens→dodir→dodir→susjedni.

Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod jednim kutom). Ne vjeruj? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta. Po definiciji, iz trokuta: , ali možemo izračunati kosinus kuta iz trokuta: . Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!

Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.

Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut.

Jedinična (trigonometrijska) kružnica

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmotrili smo krug čiji je polumjer jednak. Takav se krug zove singl. Vrlo je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga se malo detaljnije zadržavamo na njemu.

Kao što vidite, ovaj krug je izgrađen u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Polumjer kružnice jednak je jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi (u našem primjeru to je polumjer).

Svakoj točki kruga odgovaraju dva broja: koordinata duž osi i koordinata duž osi. Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da biste to učinili, sjetite se razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut. Pravokutan je jer je okomit na os.

Što je jednako iz trokuta? Tako je. Osim toga, znamo da je polumjer jedinične kružnice, i prema tome, . Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:

A čemu je jednako iz trokuta? Pa naravno, ! Zamijenite vrijednost polumjera u ovu formulu i dobijte:

Dakle, možete li mi reći koje su koordinate točke koja pripada krugu? Pa nema šanse? A ako to shvatite i samo su brojke? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinata! Kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordiniraj! Dakle, točka.

I što su onda jednaki i? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijemo to, a.

Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:

Što se promijenilo u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, ponovno se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut: kut (kao susjedni kutu). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati; vrijednost kosinusa kuta - koordinate; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije su primjenjive na sve rotacije radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi. Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i kut određene veličine, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a kada se okreće u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga ili. Je li moguće rotirati radijus vektor za ili za? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan potpuni krug i zaustaviti se na položaju ili.

U drugom slučaju, odnosno, radijus vektor će napraviti tri potpuna kruga i zaustaviti se na poziciji ili.

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Donja slika prikazuje kut. Ista slika odgovara kutu, i tako dalje. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jediničnu kružnicu, pokušajte odgovoriti čemu su jednake vrijednosti:

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Ima li poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:

Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, počnimo redom: kut na odgovara točki s koordinatama, dakle:

Ne postoji;

Nadalje, držeći se iste logike, otkrivamo da kutovi u odgovaraju točkama s koordinatama, odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

Ne postoji

Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:

Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i, dane u donjoj tablici, mora se zapamtiti:

Ne bojte se, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavno pamćenje odgovarajućih vrijednosti:

Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta (), kao i vrijednost tangensa kuta u. Poznavajući ove vrijednosti, vrlo je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, to jest:

Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojnik " " će odgovarati i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti cijelu vrijednost iz tablice.

Koordinate točke na kružnici

Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na kružnici, poznavanje koordinata središta kruga, njegovog polumjera i kuta zakreta?

Pa naravno da možete! Iznesimo opća formula za pronalaženje koordinata točke.

Evo, na primjer, imamo takav krug:

Zadano nam je da je točka središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom točke za stupnjeve.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata točke odgovara duljini segmenta. Duljina segmenta odgovara koordinati središta kruga, odnosno jednaka je. Duljina segmenta može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

Onda to imamo za koordinatu točke.

Po istoj logici nalazimo vrijednost y koordinate za točku. Na ovaj način,

Dakle, općenito, koordinate točaka određene su formulama:

Koordinate centra kruga,

radijus kruga,

Kut rotacije radijus vektora.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta nula, a radijus je jednak jedan:

Pa, probajmo ove formule za okus, vježbajući pronalaženje točaka na kružnici?

1. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj okretanjem točke.

2. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke na.

3. Odredite koordinate točke na jediničnoj kružnici dobivenoj okretanjem točke.

4. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

5. Točka - središte kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate točke dobivene rotacijom početnog radijus vektora za.

Imate problema s pronalaženjem koordinata točke na kružnici?

Riješite ovih pet primjera (ili dobro razumite rješenje) i naučit ćete kako ih pronaći!

Vidi se da. A znamo što odgovara punom okretu početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:

2. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

Vidi se da. Znamo što odgovara dvjema potpunim rotacijama početne točke. Tako će željena točka biti u istom položaju kao kod okretanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate točke:

Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Pamtimo njihove vrijednosti i dobivamo:

Dakle, željena točka ima koordinate.

3. Krug je jedinica sa središtem u točki, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

Vidi se da. Oslikajmo razmatrani primjer na slici:

Polumjer čini kutove s osi jednake i. Znajući da su tablične vrijednosti kosinusa i sinusa jednake i utvrdivši da kosinus ovdje ima negativnu vrijednost, a sinus pozitivan, imamo:

Slični primjeri detaljnije se analiziraju pri proučavanju formula za redukciju trigonometrijskih funkcija u temi.

Dakle, željena točka ima koordinate.

Kut rotacije radijus vektora (po uvjetu)

Da bismo odredili odgovarajuće predznake sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:

Kao što vidite, vrijednost tj. je pozitivna, a vrijednost tj. negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobivamo da je:

Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađimo koordinate:

Dakle, željena točka ima koordinate.

5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku, gdje

Koordinate središta kruga (u našem primjeru,

Polumjer kruga (prema uvjetu)

Kut rotacije radijus vektora (po uvjetu).

Zamijenite sve vrijednosti u formulu i dobijte:

i - tablične vrijednosti. Sjećamo se i zamijenimo ih u formulu:

Dakle, željena točka ima koordinate.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Sinus kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka i hipotenuze.

Kosinus kuta je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.

Tangens kuta je omjer suprotnog (daljeg) kraka prema susjednom (bliskom).

Kotangens kuta je omjer susjednog (bliskog) kraka prema suprotnom (dalekom).

Odaberite rubriku Knjige Matematika Fizika Kontrola i upravljanje pristupom Zaštita od požara Korisno Dobavljači opreme Mjerni instrumenti (KIP) Mjerenje vlažnosti - dobavljači u Ruskoj Federaciji. Mjerenje tlaka. Mjerenje troškova. Mjerači protoka. Mjerenje temperature Mjerenje razine. Mjerila razine. Tehnologije bez iskopa Kanalizacijski sustavi. Dobavljači pumpi u Ruskoj Federaciji. Popravak pumpe. Pribor za cjevovode. Leptir ventili (disk ventili). Nepovratni ventili. Kontrolna armatura. Mrežasti filteri, sakupljači isplake, magnetno-mehanički filteri. Kuglasti ventili. Cijevi i elementi cjevovoda. Brtve za navoje, prirubnice itd. Elektromotori, električni pogoni... Priručnik Abecede, oznake, jedinice, šifre... Abecede, uklj. grčki i latinski. Simboli. Kodovi. Alfa, beta, gama, delta, epsilon… Oznake električnih mreža. Pretvorba jedinica decibel. San. Pozadina. Jedinice čega? Mjerne jedinice za tlak i vakuum. Pretvaranje jedinica tlaka i vakuuma. Jedinice duljine. Prijevod jedinica duljine (linearna veličina, udaljenosti). Jedinice volumena. Pretvorba jedinica volumena. Jedinice gustoće. Preračunavanje jedinica gustoće. Jedinice površine. Preračunavanje jedinica površine. Mjerne jedinice tvrdoće. Preračunavanje jedinica tvrdoće. Jedinice za temperaturu. Pretvorba temperaturnih jedinica u Kelvin / Celzijus / Fahrenheit / Rankine / Delisle / Newton / Reamure ljestvice Mjerne jedinice kutova ("kutne dimenzije"). Pretvorite jedinice kutne brzine i kutne akceleracije. Standardne pogreške mjerenja Plinovi su različiti kao radni mediji. Dušik N2 (rashladno sredstvo R728) Amonijak (rashladno sredstvo R717). Antifriz. Vodik H^2 (rashladno sredstvo R702) Vodena para. Zrak (Atmosfera) Prirodni plin - prirodni plin. Bioplin je kanalizacijski plin. Ukapljeni plin. NGL. LNG. Propan-butan. Kisik O2 (rashladno sredstvo R732) Ulja i maziva Metan CH4 (rashladno sredstvo R50) Svojstva vode. Ugljični monoksid CO. ugljični monoksid. Ugljični dioksid CO2. (Rashladno sredstvo R744). Klor Cl2 Klorovodik HCl, poznat i kao klorovodična kiselina. Rashladna sredstva (rashladna sredstva). Rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R11 - fluorotriklorometan (CFCI3) rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R12 - difluorodiklorometan (CF2CCl2) rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R125 - pentafluoroetan (CF2HCF3). Rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R134a - 1,1,1,2-tetrafluoroetan (CF3CFH2). Rashladno sredstvo (Rashladno sredstvo) R22 - Difluorklorometan (CF2ClH) Rashladno sredstvo (Rashladno sredstvo) R32 - Difluorometan (CH2F2). Rashladno sredstvo (rashladno sredstvo) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / postotak mase. ostalo Materijali - toplinska svojstva Abrazivi - granulacija, finoća, oprema za mljevenje. Tlo, zemlja, pijesak i drugo kamenje. Pokazatelji rastresitosti, skupljanja i gustoće tla i stijena. Skupljanje i labavljenje, opterećenja. Kutovi nagiba. Visine izbočina, odlagališta. Drvo. Klade. Drvena građa. Dnevnici. Drva za ogrjev… Keramika. Ljepila i spojevi ljepila Led i snijeg (vodeni led) Metali Aluminij i aluminijske legure Bakar, bronca i mjed Bronca Mjed Bakar (i klasifikacija bakrenih legura) Nikal i legure Sukladnost s klasama legura Čelici i legure Referentne tablice težina valjanih metalnih proizvoda i cijevi. +/-5% Težina cijevi. metalna težina. Mehanička svojstva čelika. Minerali lijevanog željeza. Azbest. Prehrambeni proizvodi i prehrambene sirovine. Svojstva, itd. Veza na drugi dio projekta. Gume, plastika, elastomeri, polimeri. Detaljan opis elastomera PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ , TFE/P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE modificirani), Čvrstoća materijala. Sopromat. Građevinski materijali. Fizikalna, mehanička i toplinska svojstva. Beton. Konkretno rješenje. Riješenje. Građevinski okovi. Čelik i drugi. Tablice primjenjivosti materijala. Otpornost na kemikalije. Primjenjivost temperature. Otpornost na koroziju. Brtveni materijali - brtvila za fuge. PTFE (fluoroplast-4) i derivati. FUM traka. Anaerobna ljepila Brtvila koja se ne suše (ne stvrdnjavaju). Silikonska brtvila (organosilicij). Grafit, azbest, paronit i izvedeni materijali paronit. Termički ekspandirani grafit (TRG, TMG), sastavi. Svojstva. Primjena. Proizvodnja. Lan sanitarni Brtve od gumenih elastomera Izolatori i toplinski izolacijski materijali. (link na dio projekta) Inženjerske tehnike i koncepti Zaštita od eksplozije. Zaštita okoliša. korozija. Klimatske izmjene (Tablice kompatibilnosti materijala) Klase tlaka, temperature, nepropusnosti Pad (gubitak) tlaka. — Inženjerski koncept. Zaštita od požara. požari. Teorija automatskog upravljanja (regulacije). TAU Mathematical Handbook Aritmetika, geometrijske progresije i zbrojevi nekih numeričkih nizova. Geometrijski likovi. Svojstva, formule: opseg, površina, volumen, duljina. Trokuti, pravokutnici itd. Stupnjevi u radijane. plošne figure. Svojstva, stranice, kutovi, predznaci, opseg, jednakosti, sličnosti, tetive, sektori, površine itd. Površine nepravilnih likova, volumeni nepravilnih tijela. Prosječna vrijednost signala. Formule i metode za izračunavanje površine. Grafikoni. Konstrukcija grafova. Čitanje grafikona. Integralni i diferencijalni račun. Tabularne derivacije i integrali. Tablica izvedenica. Tablica integrala. Tablica primitiva. Pronađite izvedenicu. Pronađite integral. Diffury. Kompleksni brojevi. imaginarna jedinica. Linearna algebra. (Vektori, matrice) Matematika za najmlađe. Dječji vrtić - 7. razred. Matematička logika. Rješenje jednadžbi. Kvadratne i bikvadratne jednadžbe. Formule. Metode. Rješenje diferencijalnih jednadžbi Primjeri rješenja običnih diferencijalnih jednadžbi reda višeg od prvog. Primjeri rješenja najjednostavnijih = analitički rješivih običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Koordinatni sustavi. Pravokutni kartezijanski, polarni, cilindrični i sferni. Dvodimenzionalni i trodimenzionalni. Sustavi brojeva. Brojevi i znamenke (realni, kompleksni, ....). Tablice brojevnih sustava. Redovi potencija Taylora, Maclaurina (=McLarena) i periodični Fourierovi redovi. Rastavljanje funkcija u nizove. Tablice logaritama i osnovne formule Tablice numeričkih vrijednosti Tablice Bradysa. Teorija vjerojatnosti i statistika Trigonometrijske funkcije, formule i grafovi. sin, cos, tg, ctg….Vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Formule za redukciju trigonometrijskih funkcija. Trigonometrijski identiteti. Numeričke metode Oprema - standardi, dimenzije Kućanski aparati, kućna oprema. Sustavi odvodnje i odvodnje. Kapaciteti, spremnici, spremnici, spremnici. Instrumentacija i upravljanje Instrumentacija i automatizacija. Mjerenje temperature. Transportne trake, trakasti transporteri. Kontejneri (link) Laboratorijska oprema. Pumpe i crpne stanice Pumpe za tekućine i pulpe. Inženjerski žargon. Rječnik. Probir. Filtriranje. Odvajanje čestica kroz rešetke i sita. Približna čvrstoća užadi, sajli, užadi, užadi od raznih plastičnih masa. Proizvodi od gume. Spojevi i prilozi. Promjeri uvjetni, nazivni, Du, DN, NPS i NB. Metrički i inčni promjeri. SDR. Ključevi i utori za ključeve. Komunikacijski standardi. Signali u sustavima automatizacije (I&C) Analogni ulazni i izlazni signali instrumenata, senzora, mjerača protoka i uređaja za automatizaciju. sučelja za povezivanje. Komunikacijski protokoli (komunikacije) Telefonija. Pribor za cjevovode. Dizalice, ventili, zasuni…. Duljine zgrada. Prirubnice i navoji. Standardi. Spojne dimenzije. niti. Oznake, dimenzije, uporaba, tipovi... (referentni link) Priključci ("higijenski", "aseptični") cjevovodi u prehrambenoj, mliječnoj i farmaceutskoj industriji. Cijevi, cjevovodi. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Izbor promjera cjevovoda. Brzine protoka. Troškovi. Snaga. Tablice odabira, pad tlaka. Bakrene cijevi. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijevi od polivinil klorida (PVC). Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijevi su polietilenske. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijevi od polietilena PND. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Čelične cijevi (uključujući nehrđajući čelik). Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijev je čelična. Cijev je nehrđajuća. Cijevi od nehrđajućeg čelika. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijev je nehrđajuća. Cijevi od ugljičnog čelika. Promjeri cijevi i druge karakteristike. Cijev je čelična. Uklapanje. Prirubnice prema GOST, DIN (EN 1092-1) i ANSI (ASME). Prirubnički spoj. Prirubnički spojevi. Prirubnički spoj. Elementi cjevovoda. Električne svjetiljke Električni priključci i žice (kabeli) Elektromotori. Elektromotori. Električni sklopni uređaji. (Veza na odjeljak) Standardi za osobni život inženjera Geografija za inženjere. Udaljenosti, rute, karte….. Inženjeri u svakodnevnom životu. Obitelj, djeca, rekreacija, odjeća i stanovanje. Djeca inženjera. Inženjeri u uredima. Inženjeri i drugi ljudi. Socijalizacija inženjera. Zanimljivosti. Odmaraju inženjeri. Ovo nas je šokiralo. Inženjeri i hrana. Recepti, korisnost. Trikovi za restorane. Međunarodna trgovina za inženjere. Učimo se razmišljati na seljački način. Prijevoz i putovanja. Privatni automobili, bicikli…. Fizika i kemija čovjeka. Ekonomija za inženjere. Bormotologiya financijeri - ljudski jezik. Tehnološki koncepti i crteži Papir za pisanje, crtanje, ured i kuverte. Standardne veličine fotografija. Ventilacija i klimatizacija. Vodovod i kanalizacija Opskrba toplom vodom (PTV). Opskrba pitkom vodom Otpadne vode. Opskrba hladnom vodom Galvanska industrija Hlađenje Parni vodovi/sustavi. Vodovi/sustavi kondenzata. Parni vodovi. Cjevovodi za kondenzat. Prehrambena industrija Opskrba prirodnim plinom Zavarivanje metala Simboli i oznake opreme na crtežima i dijagramima. Simbolički grafički prikazi u projektima grijanja, ventilacije, klimatizacije i opskrbe toplinom i hlađenjem, prema ANSI/ASHRAE standardu 134-2005. Sterilizacija opreme i materijala Opskrba toplinom Elektronička industrija Napajanje Fizička referenca Abeceda. Prihvaćene oznake. Osnovne fizikalne konstante. Vlažnost je apsolutna, relativna i specifična. Vlažnost zraka. Psihrometrijske tablice. Ramzinovi dijagrami. Vrijeme Viskoznost, Reynoldsov broj (Re). Jedinice viskoznosti. Plinovi. Svojstva plinova. Individualne plinske konstante. Tlak i vakuum Vakuum Dužina, udaljenost, linearna dimenzija Zvuk. Ultrazvuk. Koeficijenti apsorpcije zvuka (veza na drugi odjeljak) Klima. klimatski podaci. prirodni podaci. SNiP 23-01-99. Građevinska klimatologija. (Statistika klimatskih podataka) SNIP 23-01-99 Tablica 3 - Prosječna mjesečna i godišnja temperatura zraka, ° S. Bivši SSSR. SNIP 23-01-99 Tablica 1. Klimatski parametri hladnog razdoblja godine. RF. SNIP 23-01-99 Tablica 2. Klimatski parametri tople sezone. Bivši SSSR. SNIP 23-01-99 Tablica 2. Klimatski parametri tople sezone. RF. SNIP 23-01-99 Tablica 3. Prosječna mjesečna i godišnja temperatura zraka, ° C. RF. SNiP 23-01-99. Tablica 5a* - Prosječni mjesečni i godišnji parcijalni tlak vodene pare, hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 23-01-99. Tablica 1. Klimatski parametri hladne sezone. Bivši SSSR. Gustoća. Težina. Specifična gravitacija. Nasipna gustoća. Površinska napetost. Topljivost. Topljivost plinova i čvrstih tvari. Svjetlo i boja. Koeficijenti refleksije, apsorpcije i refrakcije Abeceda boja:) - Oznake (kodiranja) boje (boja). Svojstva kriogenih materijala i medija. Stolovi. Koeficijenti trenja za razne materijale. Toplinske veličine, uključujući temperature vrenja, taljenja, plamena, itd…… za više informacija pogledajte: Adijabatski koeficijenti (indikatori). Konvekcija i potpuna izmjena topline. Koeficijenti toplinskog linearnog širenja, toplinsko volumetrijsko širenje. Temperature, vrenje, taljenje, ostalo… Pretvorba jedinica za temperaturu. Zapaljivo. temperatura omekšavanja. Vrelišta Tališta Toplinska vodljivost. Koeficijenti toplinske vodljivosti. Termodinamika. Specifična toplina isparavanja (kondenzacije). Entalpija isparavanja. Specifična toplina izgaranja (kalorična vrijednost). Potreba za kisikom. Električne i magnetske veličine Električni dipolni momenti. Dielektrična konstanta. Električna konstanta. Duljine elektromagnetskih valova (priručnik drugog odjeljka) Snage magnetskog polja Pojmovi i formule za elektricitet i magnetizam. Elektrostatika. Piezoelektrični moduli. Električna čvrstoća materijala Električna struja Električni otpor i vodljivost. Elektronički potencijali Kemijski priručnik "Kemijska abeceda (rječnik)" - nazivi, kratice, prefiksi, oznake tvari i spojeva. Vodene otopine i smjese za obradu metala. Vodene otopine za nanošenje i uklanjanje metalnih premaza Vodene otopine za uklanjanje naslaga ugljika (katranske naslage, naslage ugljika iz motora s unutarnjim izgaranjem...) Vodene otopine za pasivizaciju. Vodene otopine za jetkanje - uklanjanje oksida s površine Vodene otopine za fosfatiranje Vodene otopine i smjese za kemijsku oksidaciju i bojanje metala. Vodene otopine i smjese za kemijsko poliranje Vodene otopine za odmašćivanje i organska otapala pH. pH tablice. Paljenje i eksplozije. Oksidacija i redukcija. Klase, kategorije, oznake opasnosti (toksičnosti) kemijskih tvari Periodni sustav kemijskih elemenata DI Mendelejeva. Periodni sustav elemenata. Gustoća organskih otapala (g/cm3) ovisno o temperaturi. 0-100 °S. Svojstva otopina. Konstante disocijacije, kiselost, bazičnost. Topljivost. Mješavine. Toplinske konstante tvari. Entalpija. entropija. Gibbsova energija… (link na kemijski priručnik projekta) Elektrotehnički regulatori Sustavi neprekidnog napajanja. Sustavi dispečerstva i upravljanja Sustavi strukturnog kabliranja Podatkovni centri

U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo da Ahilej trči deset puta brže od kornjače i da je tisuću koraka iza nje. Za vrijeme dok Ahil pretrči ovu udaljenost, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti unedogled, Ahil nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema ..."[Wikipedia," Zenonove aporije "]. Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu je prijevara.

S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko ja razumijem, matematički aparat za primjenu promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, inercijom mišljenja, primjenjujemo konstantne jedinice vremena na recipročne. S fizičke strane to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

Okrenemo li logikom na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Zenonovim jezikom to izgleda ovako:

U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahil će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača puzati sto koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nesavladivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku, uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još uvijek su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Ono što želim posebno istaknuti je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba miješati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 4. srpnja 2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, kod kojih je um odsutan od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta za vrijeme ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je ispod ruševina svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.

Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i rasporedimo ga na stolu u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzmemo po jednu novčanicu i damo matematičaru njegovu "matematičku plaću". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez istovrsnih elemenata nije jednak skupu s istovrsnim elementima. Ovdje počinje zabava.

Prije svega, proradit će zastupnička logika: "možete na druge, ali ne na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar izbezumljeno prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki je novčić jedinstven...

I sad imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost ovdje nije ni blizu.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo multiset. Ali ako uzmemo u obzir nazive istih stadiona, dobivamo puno, jer su nazivi različiti. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup u isto vrijeme. Kako u redu? I tu matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da bi svoje potomke naučili svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to elementarno mogu.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u brojčani grafički simbol. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku režemo na više slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Dobivene brojeve zbrojite. E sad, to je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa stajališta matematike nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima brojeva zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavarati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nisu samo brojke.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različitih rezultata nakon njihove usporedbe, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko izvodi tu radnju.

Znak na vratima Otvara vrata i kaže:

Joj! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neograničene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Aureola na vrhu i strelica prema dolje je muško.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.