Za konstruiranje slika niza detalja potrebno je znati pronaći projekcije pojedinih točaka. Na primjer, teško je nacrtati pogled odozgo na dio prikazan na sl. 139 bez izgradnje horizontalnih projekcija točaka A, B, C, D, E, F itd.

Problem nalaženja projekcija točaka prema jednoj datoj na površini predmeta rješava se na sljedeći način. Prvo se pronađu projekcije plohe na kojoj se točka nalazi. Zatim se povlačenjem spojne linije na projekciju, gdje je ploha prikazana linijom, nalazi druga projekcija točke. Treća projekcija nalazi se na raskrižju komunikacijskih linija.

Razmotrite primjer.

Dane su tri projekcije dijela (slika 140, a). Dana je horizontalna projekcija a točke A koja leži na vidljivoj površini. Moramo pronaći druge projekcije ove točke.

Prije svega, morate nacrtati pomoćnu liniju. Ako su data dva pogleda, tada se mjesto pomoćne crte na crtežu odabire proizvoljno, desno od gornjeg pogleda, tako da pogled s lijeve strane bude na potrebnoj udaljenosti od glavnog pogleda (sl. 141).

Ako su već izgrađena tri pogleda (slika 142, a), tada se mjesto pomoćne linije ne može proizvoljno odabrati; morate pronaći točku kroz koju će proći. Da biste to učinili, dovoljno je nastaviti do međusobnog sjecišta vodoravne i profilne projekcije osi simetrije i kroz rezultirajuću točku k (Sl. 142, b) nacrtati segment ravne linije pod kutom od 45 °, koji bit će pomoćna ravna linija.

Ako nema osi simetrije, onda nastavite do raskrižja u točki k 1 vodoravne i profilne projekcije bilo kojeg lica projiciranog u obliku ravnih segmenata (Sl. 142, b).

Nakon što su nacrtali pomoćnu ravnu liniju, počinju graditi projekcije točke (vidi sl. 140, b).

Frontalna a" i profilna a" projekcija točke A moraju se nalaziti na odgovarajućim projekcijama plohe kojoj pripada točka A. Te se projekcije nalaze. Na sl. 140, b istaknuti su bojom. Nacrtajte komunikacijske linije kako je označeno strelicama. Na sjecištima komunikacijskih linija s projekcijama plohe nalaze se željene projekcije a" i a".

Konstrukcija projekcija točaka B, C, D prikazana je na sl. 140, u linijama komunikacije sa strelicama. Zadane projekcije točaka su obojene. Komunikacijske linije crtaju se na projekciju na kojoj je površina prikazana kao linija, a ne kao lik. Stoga se najprije pronalazi frontalna projekcija iz točke C. Profilna projekcija iz točke C određena je sjecištem komunikacijskih linija.

Ako površina nije prikazana linijom ni na jednoj projekciji, tada se za konstruiranje projekcija točaka mora koristiti pomoćna ravnina. Na primjer, dana je frontalna projekcija d točke A, koja leži na površini stošca (slika 143, a). Kroz točku paralelnu s bazom povuče se pomoćna ravnina, koja će kružno presijecati stožac; njegova frontalna projekcija je segment ravne linije, a horizontalna projekcija je krug s promjerom jednakim duljini ovog segmenta (slika 143, b). Povlačenjem komunikacijske linije do te kružnice iz točke a dobiva se horizontalna projekcija točke A.

Projekcija profila a" točke A nalazi se na uobičajeni način u sjecištu komunikacijskih linija.

Na isti način se mogu pronaći projekcije točke koja leži, na primjer, na površini piramide ili lopte. Kada se piramida presječe ravninom koja je paralelna s bazom i prolazi kroz danu točku, nastaje lik sličan bazi. Projekcije zadane točke leže na projekcijama tog lika.

Odgovori na pitanja

1. Pod kojim kutom je povučena pomoćna crta?

2. Gdje je povučena pomoćna linija ako su dani pogled sprijeda i odozgo, ali morate graditi pogled s lijeve strane?

3. Kako odrediti mjesto pomoćne linije u prisutnosti tri vrste?

4. Kako se konstruiraju projekcije točke prema jednoj zadanoj, ako je jedna od površina predmeta prikazana linijom?

5. Za koja se geometrijska tijela i u kojim slučajevima projekcije točke zadane na njihovoj površini nalaze pomoću pomoćne ravnine?

Zadaci § 20

Vježba 68

Zapišite u radnu bilježnicu koje projekcije točaka označenih brojevima na prikazima odgovaraju točkama označenim slovima na vizualnoj slici u primjeru koji vam je pokazao učitelj (slika 144, a-d).

Vježba 69

Na sl. 145, a-b slova označavaju samo jednu projekciju nekog od vrhova. Pronađite u primjeru koji vam je dao nastavnik preostale projekcije ovih vrhova i označite ih slovima. Konstruirajte u jednom od primjera nedostajuće projekcije točaka danih na rubovima predmeta (sl. 145, d i e). Označi bojom projekcije bridova na kojima se nalaze točke.Zadatak riješi na prozirnom papiru, prelijepi ga na stranicu udžbenika.Sl.145 nije potrebno ponovno crtati.

Vježba 70

Pronađi nedostajuće projekcije točaka zadanih jednom projekcijom na vidljivim površinama predmeta (sl. 146). Označite ih slovima. Zadane projekcije točaka označite bojom. Vizualna slika pomoći će vam da riješite problem. Zadatak se može rješavati iu radnoj bilježnici i na prozirnom papiru, nalijepiti ga na stranicu udžbenika. U potonjem slučaju, ponovno nacrtajte Sl. 146 nije potrebno.

Vježba 71

Na primjeru koji vam je dao učitelj nacrtajte tri vrste (slika 147). Konstruirajte nedostajuće projekcije zadanih točaka na vidljivim površinama predmeta. Zadane projekcije točaka označite bojom. Označite sve projekcije točaka. Za izradu projekcija točaka koristite pomoćnu ravnu liniju. Napravite tehnički crtež i na njemu označite zadane točke.

Točka, kao matematički pojam, nema dimenzija. Očito, ako je objekt projekcije nulti dimenzionalni objekt, onda je besmisleno govoriti o njegovoj projekciji.

Sl.9 Sl.10

U geometriji pod točkom preporučljivo je uzeti fizički objekt koji ima linearne dimenzije. Konvencionalno se kao točka može uzeti lopta beskonačno malog radijusa. Ovakvim tumačenjem pojma točke možemo govoriti o njezinim projekcijama.

Pri konstruiranju ortogonalnih projekcija točke treba se voditi prvim nepromjenjivim svojstvom ortogonalne projekcije: ortogonalna projekcija točke je točka.

Položaj točke u prostoru određen je s tri koordinate: X, Y, Z, pokazujući udaljenosti na kojima je točka udaljena od ravnina projekcije. Za određivanje tih udaljenosti dovoljno je odrediti točke susreta ovih linija s ravninama projekcija i izmjeriti odgovarajuće vrijednosti, koje će označavati vrijednosti apscise, odnosno. x, ordinate Y i aplikacijama Z točke (slika 10).

Projekcija točke je osnovica okomice spuštene iz točke na odgovarajuću ravninu projekcije. Horizontalna projekcija bodova a zovemo pravokutnu projekciju točke na vodoravnu ravninu projekcija, frontalna projekcija a /- odnosno na frontalnoj ravnini projekcija i profil a // – na ravninu projekcije profila.

Direktno Aa, Aa / i Aa // nazivaju se isturene linije. Istovremeno, izravni Ah, točka projiciranja ALI na vodoravnoj ravnini projekcija, tzv vodoravno projicirana linija, Aa / i Aa //- odnosno: frontalno i profilno projiciranje ravnih linija.

Dva projekcijska pravca prolaze točkom ALI definirati ravninu, koja se zove projektiranje.

Pri pretvorbi prostornog izgleda čeona projekcija točke A - a / ostaje na mjestu kao da pripada ravnini koja ne mijenja svoj položaj pod razmatranom transformacijom. Horizontalna projekcija - a zajedno s horizontalnom ravninom projekcije okretat će se u smjeru kretanja kazaljke na satu i nalazit će se okomito na os x s prednjom projekcijom. Projekcija profila - a //će se rotirati zajedno s profilnom ravninom i do kraja transformacije zauzeti položaj prikazan na slici 10. Istovremeno - a // bit će okomita na os Z izvučeno iz točke a / i bit će uklonjeni s osi Z iste udaljenosti kao horizontalna projekcija a daleko od osi x. Stoga se veza između horizontalne i profilne projekcije točke može uspostaviti pomoću dva ortogonalna segmenta aa y i a y a // i konjugirajući luk kružnice sa središtem u točki sjecišta osi ( O- porijeklo). Označenom vezom nalazi se projekcija koja nedostaje (za dvije zadane). Položaj profilne (horizontalne) projekcije prema zadanoj horizontalnoj (profilnoj) i frontalnoj projekciji može se pronaći pomoću ravne crte povučene pod kutom od 45 0 od ishodišta do osi. Y(ova simetrala se zove pravac) k je Mongeova konstanta). Prva od ovih metoda je poželjnija jer je točnija.

Stoga:

1. Točka u prostoru uklonjena:

od vodoravne ravnine H Z,

iz frontalne ravnine V po vrijednosti zadane koordinate Y,

iz profilne ravnine W po vrijednosti koordinate. x.

2. Dvije projekcije bilo koje točke pripadaju istoj okomici (jedan spojni pravac):

vodoravno i frontalno – okomito na os x,

horizontalno i profilno - okomito na Y os,

frontalno i profilno – okomito na Z os.

3. Položaj točke u prostoru potpuno je određen položajem njezinih dviju ortogonalnih projekcija. Stoga - iz bilo koje dvije zadane ortogonalne projekcije točke uvijek je moguće konstruirati njezinu treću projekciju koja nedostaje.

Ako točka ima tri određene koordinate, tada se takva točka naziva točka u općem položaju. Ako točka ima jednu ili dvije koordinate jednake nuli, tada se takva točka naziva privatna pozicija točka.

Riža. 11 sl. 12

Na slici 11 prikazan je prostorni crtež točaka određenog položaja, na slici 12 prikazan je složeni crtež (dijagram) tih točaka. Točka ALI pripada ravnini frontalne projekcije, točka NA– horizontalna ravnina projekcija, točka IZ– profilna ravnina projekcija i točka D– apscisna os ( x).

Poznato je da su plohe poliedara ograničene na ravne figure. Stoga su točke zadane na plohi poliedra barem jednom projekcijom, u općem slučaju, određene točke. Isto vrijedi i za plohe drugih geometrijskih tijela: valjka, stošca, lopte i torusa, omeđene zakrivljenim plohama.

Dogovorimo se da vidljive točke koje leže na površini tijela prikažemo kao krugove, nevidljive točke kao zacrnjene krugove (točke); Vidljive linije bit će prikazane kao pune linije, a nevidljive linije kao isprekidane linije.

Neka je dana horizontalna projekcija A 1 točke A koja leži na površini ravne trokutaste prizme (slika 162, a).

TPočetak-->TEnd-->

Kao što se može vidjeti iz crteža, prednja i stražnja baza prizme paralelne su s ravninom frontalne projekcije P 2 i projiciraju se na nju bez izobličenja, donja bočna strana prizme je paralelna s ravninom horizontalne projekcije P 1 i također se projicira bez izobličenja. Bočni rubovi prizme su frontalno projicirani pravci, pa se projiciraju na frontalnu projekcijsku ravninu P 2 u obliku točaka.

Budući da je projekcija A 1 . je prikazana svijetlim krugom, tada je točka A vidljiva i stoga se nalazi na desnoj strani prizme. Ova ploha je ravnina frontalne projekcije, a frontalna projekcija A2 točke mora koincidirati s frontalnom projekcijom ravnine prikazane ravnom crtom.

Povukavši konstantnu ravnu liniju k 123, nalazimo treću projekciju A 3 točke A. Kada se projicira na profilnu ravninu projekcija, točka A će biti nevidljiva, stoga je točka A 3 prikazana kao crni krug. Zadavanje točke frontalnom projekcijom B 2 je nedefinirano, jer ne određuje udaljenost točke B od prednje baze prizme.

Izgradimo izometrijsku projekciju prizme i točke A (slika 162, b). Pogodno je započeti konstrukciju s prednje baze prizme. Gradimo trokut baze prema dimenzijama preuzetim iz složenog crteža; duž y-osi "odvajamo veličinu brida prizme. Gradimo aksonometrijsku sliku A" točke A pomoću koordinatne polilinije zaokružene na oba crteža dvostrukom tankom linijom.

Neka je dana frontalna projekcija C 2 točke C, koja leži na površini pravilne četverokutne piramide, koju daju dvije glavne projekcije (slika 163, a). Potrebno je izgraditi tri projekcije točke C.

Iz frontalne projekcije se vidi da je vrh piramide viši od kvadratne baze piramide. Pod ovim uvjetom, sve četiri bočne strane bit će vidljive kada se projiciraju na horizontalnu ravninu projekcije P 1 . Pri projiciranju na ravninu frontalne projekcije P 2 bit će vidljiva samo prednja strana piramide. Budući da je projekcija C 2 na crtežu prikazana kao svijetli krug, točka C je vidljiva i pripada prednjoj plohi piramide. Da bismo izgradili horizontalnu projekciju C 1, nacrtamo pomoćnu liniju D 2 E 2 kroz točku C 2, paralelnu s linijom baze piramide. Nalazimo njenu horizontalnu projekciju D 1 E 1 i na njoj točku C 1. Ako postoji treća projekcija piramide, horizontalnu projekciju točke C 1 nalazimo jednostavnije: pronalazeći profilnu projekciju C 3, gradimo treću jedan pomoću dvije projekcije pomoću vodoravnih i vodoravno-okomitih komunikacijskih linija. Tijek izgradnje prikazan je na crtežu strelicama.

TPočetak-->
Njega-->

Izgradimo dimetričnu projekciju piramide i točke C (slika 163, b). Gradimo bazu piramide; za to, kroz točku O "uzetu na osi r", nacrtamo osi x" i y"; na x-osi "odvojili smo stvarne dimenzije baze, a na y-osi" - prepolovljeni. Kroz dobivene točke povlačimo ravne linije paralelne s osi x "i y". Na osi z nanesemo visinu piramide, dobivenu točku spojimo s točkama baze, vodeći računa o vidljivosti bridova. Za konstrukciju točke C koristimo koordinatnu poliliniju zaokruženu na crtežima s dvostruka tanka crta.Za provjeru točnosti rješenja povučemo ravnu liniju D "E" kroz pronađenu točku C, paralelnu x osi". Njegova duljina mora biti jednaka duljini ravne linije D 2 E 2 (ili D 1 E 1).

PROJEKCIJA TOČKE NA DVIJE RAVNINE PROJEKCIJA

Formiranje segmenta ravne linije AA 1 može se prikazati kao rezultat pomicanja točke A u bilo kojoj ravnini H (slika 84, a), a formiranje ravnine može se prikazati kao pomak segmenta ravne linije AB ( Slika 84, b).

Točka je glavni geometrijski element pravca i plohe, pa proučavanje pravokutne projekcije predmeta počinje konstrukcijom pravokutne projekcije točke.

U prostoru diedralnog kuta kojeg tvore dvije okomite ravnine - frontalna (vertikalna) ravnina projekcija V i vodoravna ravnina projekcija H, postavljamo točku A (slika 85, a).

Sjecište ravnina projekcija je pravac, koja se naziva os projekcije i označava se slovom x.

V ravnina je ovdje prikazana kao pravokutnik, a H ravnina kao paralelogram. Nagnuta stranica ovog paralelograma obično je nacrtana pod kutom od 45° u odnosu na njegovu horizontalnu stranu. Duljina nagnute stranice uzima se jednakom 0,5 njezine stvarne duljine.

Iz točke A spuštene su okomice na ravnine V i H. Točke a "i a sjecišta okomica s ravninama projekcija V i H su pravokutne projekcije točke A. Lik Aaa x a" u prostoru je pravokutnik. Bočna os ovog pravokutnika na vizualnoj slici smanjena je 2 puta.

Poravnajmo H ravninu s V ravninom rotirajući V oko linije presjeka x ravnina. Rezultat je složeni crtež točke A (Sl. 85, b)

Kako bi se pojednostavio složeni crtež, granice projekcijskih ravnina V i H nisu naznačene (slika 85, c).

Okomice povučene iz točke A na ravnine projiciranja nazivaju se projicirajući pravci, a osnovice tih projicirajućih pravaca - točke a i a "nazivaju se projekcije točke A: a" je čeona projekcija točke A, a je horizontalna projekcija točke A. točka A.

Pravac a "a naziva se okomiti pravac projekcijske veze.

Mjesto projekcije točke na složenom crtežu ovisi o položaju te točke u prostoru.

Ako točka A leži na ravnini horizontalne projekcije H (slika 86, a), tada se njena horizontalna projekcija a podudara s danom točkom, a frontalna projekcija a "nalazi se na osi. Kada se točka B nalazi na frontalnoj projekciji ravnini V, njena frontalna projekcija koincidira s tom točkom, a horizontalna projekcija leži na x-osi. Horizontalna i frontalna projekcija zadane točke C, koje leže na x-osi, koincidiraju s tom točkom.Složeni crtež točaka A , B i C prikazano je na sl. 86, b.

PROJEKCIJA TOČKE NA TRI RAVNINE PROJEKCIJA

U slučajevima kada je nemoguće zamisliti oblik predmeta iz dvije projekcije, on se projicira na tri projekcijske ravnine. U ovom slučaju uvodi se profilna ravnina projekcija W koja je okomita na ravnine V i H. Vizualni prikaz sustava triju projekcijskih ravnina dan je na si. 87 a.

Bridovi trostranog kuta (sjecišta ravnina projekcija) nazivaju se osi projekcija i označavaju se s x, y i z. Sjecište osi projiciranja naziva se početak osi projiciranja i označava se slovom O. Spustimo okomicu iz točke A na ravninu projiciranja W i označavajući osnovicu okomice slovom a dobivamo projekcija profila točke A.

Da bi se dobio složeni crtež, točke A ravnina H i W poravnaju se s ravninom V, rotirajući ih oko osi Ox i Oz. Složeni crtež točke A prikazan je na sl. 87b i c.

Odsječke projiciranih pravaca iz točke A na ravnine projekcija nazivamo koordinatama točke A i označavamo ih: x A, y A i z A.

Na primjer, koordinata z A točke A, jednaka segmentu a "a x (sl. 88, a i b), je udaljenost od točke A do horizontalne ravnine projekcije H. Koordinata u točki A, jednaka segment aa x, je udaljenost od točke A do frontalne ravnine projekcija V. Koordinata x A jednaka segmentu aa y je udaljenost od točke A do profilne ravnine projekcija W.

Dakle, udaljenost između projekcije točke i osi projekcije određuje koordinate točke i ključ je za čitanje njezina složenog crteža. Pomoću dviju projekcija točke mogu se odrediti sve tri koordinate točke.

Ako su dane koordinate točke A (na primjer, x A = 20 mm, y A = 22 mm i z A = 25 mm), tada se mogu izgraditi tri projekcije ove točke.

Da biste to učinili, od ishodišta koordinata O u smjeru osi Oz, koordinata z A je postavljena prema gore i koordinata y A je položena dolje. segmenti jednaki x koordinati A. Rezultirajuće točke a "i a su frontalne i horizontalne projekcije točke A.

Prema dvije projekcije a "i točki A, njegova projekcija profila može se konstruirati na tri načina:

1) iz ishodišta O povuče se pomoćni luk s polumjerom Oa y jednakim koordinati (sl. 87, b i c), iz dobivene točke a y1 povuče se pravac paralelan s osi Oz i položi a segment jednak z A;

2) iz točke a y povlači se pomoćna ravna linija pod kutom od 45 ° u odnosu na os Oy (slika 88, a), dobiva se točka a y1 itd.;

3) iz ishodišta O nacrtajte pomoćnu ravnu liniju pod kutom od 45 ° na os Oy (Sl. 88, b), dobijete točku a y1 itd.

Promotrimo projekcije točaka na dvije ravnine, za koje uzimamo dvije okomite ravnine (sl. 4), koje ćemo zvati horizontalne fronte i ravnine. Sjecište tih ravnina naziva se os projekcije. Jednu točku A projiciramo na razmatrane ravnine pomoću ravne projekcije. Za to je potrebno spustiti okomice Aa i A iz zadane točke na razmatrane ravnine.

Projekcija na horizontalnu ravninu naziva se tlocrt bodova ALI, i projekcija a? na frontalnoj ravni zove se prednja projekcija.

Točke koje se projiciraju u nacrtnoj geometriji obično se označavaju velikim latiničnim slovima. A, B, C. Mala slova koriste se za označavanje horizontalnih projekcija točaka. a, b, c... Frontalne projekcije označene su malim slovima s crtom na vrhu a?, b?, c?…

Također se koristi označavanje točaka rimskim brojevima I, II, ..., a za njihove projekcije - arapskim brojevima 1, 2 ... i 1?, 2? ...

Kada se horizontalna ravnina zakrene za 90°, može se dobiti crtež na kojem su obje ravnine u istoj ravnini (sl. 5). Ova slika se zove točkasti crtež.

Kroz okomite linije Ah i Ah? nacrtati ravninu (slika 4). Dobivena ravnina je okomita na frontalnu i horizontalnu ravninu jer sadrži okomice na te ravnine. Stoga je ta ravnina okomita na presjek ravnina. Dobivena ravna crta siječe horizontalnu ravninu u ravnoj liniji aa x, a frontalna ravnina - u ravnoj liniji ha? X. Ravno aah i ha? x su okomite na os presjeka ravnina. To je Aaah? je pravokutnik.

Pri kombinaciji horizontalne i frontalne projekcijske ravnine a i a? ležat će na jednoj okomitoj osi presjeka ravnina, jer kada horizontalna ravnina rotira, okomitost segmenata aa x i ha? x nije slomljen.

To dobivamo na dijagramu projekcije a i a? neka točka ALI leže uvijek na istoj okomici na os presjeka ravnina.

Dvije projekcije a i a? neke točke A može jednoznačno odrediti njezin položaj u prostoru (sl. 4). To potvrđuje činjenica da će okomica pri konstruiranju iz projekcije a na vodoravnu ravninu prolaziti kroz točku A. Slično, okomica iz projekcije a? na frontalnu ravninu proći će kroz točku ALI, tj. točka ALI leži na dvije određene linije u isto vrijeme. Točka A je njihova sjecišna točka, tj. ona je određena.

Razmotrimo pravokutnik Aaa x a?(Sl. 5), za koje vrijede sljedeće tvrdnje:

1) Udaljenost točke ALI od frontalne ravnine jednaka je udaljenosti njegove horizontalne projekcije a od osi presjeka ravnina, tj.

Ah? = aa X;

2) udaljenost točke ALI od horizontalne ravnine projekcija jednaka je udaljenosti njegove frontalne projekcije a? od osi presjeka ravnina, tj.

Ah = ha? X.

Drugim riječima, čak i bez same točke na plohi, koristeći samo njezine dvije projekcije, možete saznati na kojoj se udaljenosti od svake od ravnina projekcije ta točka nalazi.

Sjecište dviju projekcijskih ravnina dijeli prostor na četiri dijela koji se tzv četvrtine(slika 6).

Os presjeka ravnina dijeli horizontalnu ravninu na dvije četvrtine - prednju i stražnju, a frontalnu ravninu - na gornju i donju četvrtinu. Gornji dio frontalne ravnine i prednji dio horizontalne ravnine smatraju se granicama prve četvrtine.

Po primitku dijagrama, vodoravna ravnina rotira i poklapa se s frontalnom ravninom (slika 7). U tom će se slučaju prednja strana vodoravne ravnine podudarati s dnom frontalne ravnine, a stražnja strana vodoravne ravnine s vrhom frontalne ravnine.

Slike 8-11 prikazuju točke A, B, C, D koje se nalaze u različitim četvrtima prostora. Točka A je u prvoj četvrtini, točka B je u drugoj, točka C je u trećoj, a točka D je u četvrtoj.

Kada se bodovi nalaze u prvoj ili četvrtoj četvrtini njihove horizontalne projekcije nalaze se na prednjoj strani horizontalne ravnine, a na dijagramu će ležati ispod osi presjeka ravnina. Kada se točka nalazi u drugoj ili trećoj četvrtini, njena horizontalna projekcija ležat će na stražnjoj strani horizontalne ravnine, a na dijagramu će biti iznad osi presjeka ravnina.

Prednje projekcije točke koje se nalaze u prvoj ili drugoj četvrtini ležat će na gornjem dijelu frontalne ravnine, a na dijagramu će se nalaziti iznad osi presjeka ravnina. Kada se točka nalazi u trećoj ili četvrtoj četvrtini, njena frontalna projekcija je ispod osi presjeka ravnina.

Najčešće se u realnim konstrukcijama figura postavlja u prvu četvrtinu prostora.

U nekim posebnim slučajevima, točka ( E) može ležati na horizontalnoj ravnini (slika 12). U tom će se slučaju njegova horizontalna projekcija e i sama točka podudarati. Frontalna projekcija takve točke bit će na osi sjecišta ravnina.

U slučaju kada je točka Do leži na frontalnoj ravnini (slika 13), svojoj horizontalnoj projekciji k leži na osi presjeka ravnina, a front k? pokazuje stvarni položaj te točke.

Za takve točke znak da leži na jednoj od ravnina projekcija je da je jedna od njezinih projekcija na osi presjeka ravnina.

Ako točka leži na presječnoj osi projekcijskih ravnina, ona i obje njezine projekcije se podudaraju.

Kada točka ne leži na ravninama projekcija tzv točka općeg položaja. U nastavku, ako nema posebnih oznaka, razmatrana točka je točka u općem položaju.

2. Nedostatak osi projekcije

Da bismo objasnili kako na modelu dobiti projekcije točke na okomite ravnine projekcija (slika 4), potrebno je uzeti komad debelog papira u obliku izduženog pravokutnika. Treba ga saviti između projekcija. Preklopna linija će prikazati os sjecišta ravnina. Ako se nakon toga savijeni papir ponovno ispravi, dobit ćemo dijagram sličan ovom prikazanom na slici.

Kombinirajući dvije ravnine projekcije s ravninom za crtanje, ne možete prikazati liniju savijanja, tj. ne crtati osi sjecišta ravnina na dijagramu.

Kada konstruirate na dijagramu, uvijek trebate postaviti projekcije a i a? točku A na jednoj okomitoj liniji (slika 14), koja je okomita na os presjeka ravnina. Dakle, čak i ako položaj osi presjeka ravnina ostane nedefiniran, ali je njen smjer određen, os presjeka ravnina može biti samo okomita na ravnu crtu na dijagramu Ah?.

Ako na dijagramu točaka nema osi projekcije, kao na prvoj slici 14 a, možete zamisliti položaj te točke u prostoru. Da biste to učinili, nacrtajte bilo koje mjesto okomito na liniju Ah? os projekcije, kao na drugoj slici (sl. 14) i savijte crtež duž ove osi. Ako obnovimo okomice u točkama a i a? prije nego što se presjeku, možete dobiti bod ALI. Pri promjeni položaja osi projekcije dobivaju se različiti položaji točke u odnosu na ravnine projekcije, ali nesigurnost položaja osi projekcije ne utječe na međusobni položaj više točaka ili likova u prostoru.

3. Projekcije točke na tri projekcijske ravnine

Razmotrite profilnu ravninu projekcija. Projekcije na dvije okomite ravnine obično određuju položaj figure i omogućuju određivanje njezinih stvarnih dimenzija i oblika. Ali postoje trenuci kada dvije projekcije nisu dovoljne. Zatim primijenite konstrukciju treće projekcije.

Treća ravnina projiciranja izvodi se tako da je okomita na obje ravnine projiciranja istodobno (slika 15). Treći avion se zove profil.

U takvim se konstrukcijama naziva zajednička linija horizontalne i frontalne ravnine os x , zajednička linija vodoravne i profilne ravnine - os na , a zajednička ravna linija frontalne i profilne ravnine - os z . Točka O, koja pripada svim trima ravninama, naziva se ishodištem.

Slika 15a prikazuje točku ALI i tri njegove projekcije. Projekcija na ravninu profila ( a??) se zovu projekcija profila i označavaju a??.

Da bi se dobio dijagram točke A, koji se sastoji od tri projekcije a, a a, potrebno je presjeći trokut kojeg čine sve ravnine duž osi y (sl. 15b) i spojiti sve te ravnine s ravninom frontalne projekcije. Vodoravna ravnina mora se rotirati oko osi x, a ravnina profila je blizu osi z u smjeru označenom strelicom na slici 15.

Slika 16 prikazuje položaj projekcija ah ha? i a?? bodova ALI, dobiven kao rezultat spajanja sve tri ravnine s ravninom crteža.

Kao rezultat rezanja, y-os pojavljuje se na dijagramu na dva različita mjesta. Na vodoravnoj ravnini (slika 16) zauzima okomiti položaj (okomito na os x), a na ravnini profila - horizontalno (okomito na os z).

Slika 16 prikazuje tri projekcije ah ha? i a?? točke A imaju strogo definiran položaj na dijagramu i podložne su nedvosmislenim uvjetima:

a i a? mora uvijek biti smješten na jednoj okomitoj ravnoj liniji okomitoj na os x;

a? i a?? mora uvijek biti smješten na istoj horizontalnoj liniji okomito na os z;

3) kada se crta kroz horizontalnu projekciju i horizontalnu crtu, ali kroz profilnu projekciju a??- okomita ravna linija, konstruirane linije nužno će se presijecati na simetrali kuta između osi projekcije, budući da slika Oa na a 0 a n je kvadrat.

Pri konstruiranju triju projekcija točke potrebno je provjeriti ispunjenje sva tri uvjeta za svaku točku.

4. Koordinate točke

Položaj točke u prostoru može se odrediti pomoću tri broja koji se nazivaju it koordinate. Svaka koordinata odgovara udaljenosti točke od neke ravnine projekcije.

Udaljenost točke ALI ravnini profila je koordinata x, pri čemu x = ha?(Sl. 15), udaljenost do frontalne ravnine - koordinatom y, a y = ha?, a udaljenost do horizontalne ravnine je koordinata z, pri čemu z = aA.

Na slici 15 točka A zauzima širinu pravokutnog okvira, a mjere tog okvira odgovaraju koordinatama te točke, tj. svaka od koordinata prikazana je na slici 15 četiri puta, tj.

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Na dijagramu (slika 16) x i z koordinate se pojavljuju tri puta:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Svi segmenti koji odgovaraju koordinati x(ili z) su međusobno paralelne. Koordinirati na predstavljen dvaput okomitom osi:

y \u003d Oa y \u003d a x a

i dva puta - smješten vodoravno:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Ova razlika se pojavila zbog činjenice da je y-os prisutna na dijagramu u dva različita položaja.

Treba napomenuti da je položaj svake projekcije na dijagramu određen sa samo dvije koordinate, i to:

1) horizontalno - koordinate x i na,

2) frontalni – koordinate x i z,

3) profil – koordinate na i z.

Korištenje koordinata x, y i z, možete izgraditi projekcije točke na dijagramu.

Ako je točka A dana koordinatama, njihov zapis je definiran na sljedeći način: A ( X; y; z).

Pri konstruiranju projekcija točaka ALI moraju se provjeriti sljedeći uvjeti:

1) horizontalne i frontalne projekcije a i a? x x;

2) frontalne i profilne projekcije a? i a? treba biti smješten na istoj okomitoj na os z, budući da imaju zajedničku koordinatu z;

3) horizontalna projekcija i također uklonjena s osi x, poput projekcije profila a daleko od osi z, budući da je projekcija ah? i ha? imaju zajedničku koordinatu na.

Ako točka leži u nekoj od ravnina projekcije, tada je jedna od njezinih koordinata jednaka nuli.

Kada točka leži na osi projekcije, njene dvije koordinate su nula.

Ako se točka nalazi u ishodištu, sve tri njene koordinate su nula.