Konstrukcija pravca na određenoj udaljenosti od točke. Određivanje udaljenosti

Određivanje udaljenosti

Udaljenosti od točke do točke i od točke do linije

Udaljenost od točke do točke određen je duljinom pravca koji povezuje te točke. Kao što je prikazano gore, ovaj se problem može riješiti metodom pravokutnog trokuta ili zamjenom ravnina projekcije pomicanjem segmenta na položaj linije razine.

Udaljenost od točke do linije mjereno odsječkom okomice povučene iz točke na pravac. Isječak ove okomice prikazan je u punoj veličini na ravnini projekcije ako je povučen na projekcijsku liniju. Dakle, prvo treba ravnu crtu prenijeti u izbočeni položaj, a zatim na nju spustiti okomicu iz zadane točke. Na sl. 1 prikazuje rješenje ovog problema. Za izravni prijevod opći položaj AB u poziciji izravne razine provesti x14 IIA1 B1. Zatim se AB prebacuje u položaj projiciranja uvođenjem dodatne ravnine projiciranja P5, za koju se izvodi nova os projiciranja x45 \ A4 B4.

Slika 1

Slično točkama A i B, točka M projicira se na ravninu projekcije P5.

Projekcija K5 osnovice K okomice spuštene iz točke M na pravac AB, na ravninu projekcije P5, podudarat će se s odgovarajućim projekcijama točaka.

A i B. Projekcija M5 K5 okomice MK prirodna je vrijednost udaljenosti od točke M do pravca AB.

U sustavu ravnina projekcija P4 / P5, okomica MK bit će ravnina, budući da leži u ravnini paralelnoj s ravninom projekcija P5. Stoga je njegova projekcija M4 K4 na ravninu P4 paralelna s x45 , tj. okomito na projekciju A4 B4. Ovi uvjeti određuju položaj projekcije K4 baze okomice K, koja se nalazi povlačenjem ravne crte od M4 paralelne s x45 dok se ne siječe s projekcijom A4 B4. Preostale projekcije okomice nalaze se projiciranjem točke K na ravninu projekcija P1 i P2.

Udaljenost od točke do ravnine

Rješenje ovog problema prikazano je na sl. 2. Udaljenost od točke M do ravnine (ABC) mjeri se isječkom okomice spuštene s točke na ravninu.

Slika 2

Budući da je okomica na ravninu projiciranja ravnina, prevodimo u ovaj položaj dana ravnina, uslijed čega na novouvedenu projekcijsku ravninu P4 dobivamo degeneriranu projekciju C4 B4 ravnine ABC. Zatim projiciramo točku M na P4. Prirodna vrijednost udaljenosti od točke M do ravnine određena je segmentom okomice

[MK]=[M4 K4]. Ostale projekcije okomice konstruiramo na isti način kao u prethodnom zadatku, tj. uzimajući u obzir činjenicu da je segment MK u sustavu ravnina projekcija P1 / P4 ravnina i da je njegova projekcija M1 K1 paralelna s osi

x14.

Udaljenost između dviju ravnih linija

Najkraća udaljenost između kosih linija mjeri se segmentom zajedničke okomice na njih, odsječene tim linijama. Problem se rješava izborom (kao rezultat dviju uzastopnih promjena) ravnine projekcije okomite na jedan od presječnih pravaca. U tom će slučaju željeni segment okomice biti paralelan s odabranom ravninom projekcije i bit će prikazan na njoj bez izobličenja. Na sl. Slika 3 prikazuje dvije ravne crte koje se sijeku određene segmentima AB i CD.

Slika 3

Pravci se na početku projiciraju na ravninu projekcije P4, paralelno s jednom (bilo kojom) od njih, npr. AB, a okomito na P1.

Na ravnini projekcija P4 segment AB bit će prikazan bez izobličenja. Zatim se segmenti projiciraju na novu ravninu P5 okomitu na istu ravninu AB i ravninu P4. Na ravninu projekcija P5, projekcija segmenta AB okomito na nju degenerira u točku A5 =B5, a željena vrijednost N5 M5 segmenta NM je okomita na C5 D5 i prikazana je u punoj veličini. Pomoću odgovarajućih komunikacijskih linija projekcije segmenta MN grade se na inicijal

crtanje. Kao što je ranije pokazano, projekcija N4 M4 željenog segmenta na ravninu P4 paralelna je s osi projekcije x45, budući da je to linija ravnine u sustavu ravnina projekcija P4 / P5.

Zadatak određivanja udaljenosti D između dviju paralelnih pravaca AB i CD - poseban slučaj prethodnog (slika 4).

Slika 4

Dvostrukom zamjenom ravnina projiciranja paralelni pravci se prenose u položaj projiciranja, uslijed čega ćemo na ravninu projiciranja P5 imati dvije degenerirane projekcije A5 = B5 i C5 = D5 pravaca AB i CD. Udaljenost između njih D bit će jednaka prirodnoj vrijednosti.

Udaljenost od ravne crte do ravnine koja je s njom paralelna mjeri se segmentom okomice spuštene iz bilo koje točke na ravnini na ravninu. Dakle, dovoljno je ravninu općeg položaja transformirati u položaj projicirajuće ravnine, uzeti izravnu točku, pa će se rješenje problema svesti na određivanje udaljenosti od točke do ravnine.

Da bi se odredila udaljenost između paralelnih ravnina, potrebno ih je prevesti u projicirani položaj i konstruirati okomicu na degenerirane projekcije ravnina, čiji će segment između njih biti tražena udaljenost.

155*. Odredite stvarnu veličinu segmenta AB ravne linije u općem položaju (Sl. 153, a).

Riješenje. Kao što znate, projekcija segmenta ravne linije na bilo koju ravninu jednaka je samom segmentu (uzimajući u obzir mjerilo crteža), ako je paralelan s ovom ravninom

(Slika 153, b). Iz ovoga proizlazi da je pretvorbom crteža potrebno postići paralelnost ovog segmenta pl. V ili mn. H ili dopuniti sustav V, H drugom ravninom okomitom na kvadrat. V ili na mn. H i istovremeno paralelan sa zadanim segmentom.

Na sl. 153, c prikazuje uvođenje dodatne ravnine S, okomite na kvadrat. H i paralelna sa zadanim segmentom AB.

Projekcija a s b s jednaka je prirodnoj vrijednosti odsječka AB.

Na sl. 153, d prikazuje drugu metodu: segment AB se rotira oko ravne crte koja prolazi kroz točku B i okomita na kvadrat. H, u paralelni položaj

kvadrat V. U tom slučaju točka B ostaje na mjestu, a točka A zauzima novi položaj A 1 . Horizont na novoj poziciji. projekcija a 1 b || x os. Projekcija a "1 b" jednaka je prirodnoj vrijednosti segmenta AB.

156. Dana je piramida SABCD (slika 154). Odredite prirodnu veličinu bridova piramide AS i CS metodom promjene ravnina projiciranja, a bridova BS i DS metodom rotacije te uzmite os rotacije okomitu na kvadrat. H.

157*. Odredite udaljenost od točke A do pravca BC (slika 155, a).

Riješenje. Udaljenost od točke do pravca mjeri se isječkom okomice povučenom iz točke na pravac.

Ako je pravac okomit na bilo koju ravninu (sl. 155.6), tada se udaljenost od točke do pravca mjeri razmakom između projekcije točke i točka projekcije pravac na ovoj ravnini. Ako ravna crta zauzima opći položaj u sustavu V, H, tada da bi se odredila udaljenost od točke do prave linije promjenom ravnina projekcije, potrebno je u sustav V, H uvesti još dvije dodatne ravnine.

Prvo (slika 155, c) ulazimo u kvadrat. S, paralelna s dužicom BC (nova os S/H je paralelna s projekcijom bc), te konstruiramo projekcije b s c s i a s . Zatim (slika 155, d) uvodimo još jedan kvadrat. T okomito na liniju BC (nova T/S os okomita na b s c s). Gradimo projekcije pravca i točke - s t (b t) i t. Udaljenost između točaka a t i c t (b t) jednaka je udaljenosti l od točke A do pravca BC.

Na sl. 155e, istu zadaću ostvaruje metoda rotacije u svom obliku, koja se naziva metoda paralelnog gibanja. Najprije se pravac BC i točka A, zadržavajući svoj međusobni položaj nepromijenjenim, okreću oko nekog (na crtežu nije označen) pravca okomitog na kvadrat. H, tako da je pravac BC paralelan s kvadratom. V. Ovo je ekvivalentno pomicanju točaka A, B, C u ravninama paralelnim s kvadratom. H. Istodobno, horizont. projekcija danom sustavu(BC + A) ne mijenja se ni u veličini ni u konfiguraciji, mijenja se samo njegov položaj u odnosu na x-os. Postavite horizont. projekciju pravca BC paralelnu s osi x (položaj b 1 c 1) i odredite projekciju a 1, odvajajući c 1 1 1 \u003d c-1 i a 1 1 1 \u003d a-1, te a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Crtajući ravne linije b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 paralelne s osi x, nalazimo prednju stranu na njima. projekcije b "1, a" 1, c "1. Zatim pomičemo točke B 1, C 1 i A 1 u ravninama paralelnim s kvadratom V (također bez promjene njihovog međusobnog položaja), tako da dobijemo B 2 C 2 ⊥ područje H. U ovom slučaju, projekcija pravca na prednju stranu bit će okomita na osi x,b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, a za izgradnju projekcije a" 2, trebate uzeti b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, nacrtati 2 "a" 2 ⊥ b " 2 c" 2 i stavite na stranu a" 2 2" 2 \u003d a" 1 2" 1. Sada, prevlačenjem od 1 do 2 i 1 a 2 || x 1 dobivamo projekcije b 2 c 2 i a 2 te željenu udaljenost l od točke A do pravca BC. Udaljenost od A do BC možete odrediti okretanjem ravnine definirane točkom A i pravcem BC oko horizontale te ravnine u položaj T || kvadrat H (Slika 155, e).

U ravnini zadanoj točkom A i pravcem BC nacrtamo vodoravnu liniju A-1 (slika 155, g) i oko nje zakrenemo točku B. Točka B se pomakne u kvadrat. R (dano na crtežu nakon R h), okomito na A-1; u točki O je središte rotacije točke B. Sada odredimo prirodnu vrijednost polumjera rotacije VO, (slika 155, c). U traženom položaju, tj. kada pl. T određen točkom A i pravcem BC postat će || kvadrat H, točka B će ispasti na R h na udaljenosti Ob 1 od točke O (može postojati još jedan položaj na istoj stazi R h, ali s druge strane O). Točka b 1 je horizont. projekcija točke B nakon njenog pomicanja u položaj B 1 u prostoru, kada je ravnina određena točkom A i pravcem BC zauzela položaj T.

Povukavši (si. 155, i) ravnu liniju b 1 1, dobivamo horizont. projekcija pravca BC, koja se već nalazi || kvadrat H je u istoj ravnini kao A. U tom položaju udaljenost od a do b 1 1 jednaka je željenoj udaljenosti l. Ravnina P, u kojoj leže zadani elementi, može se kombinirati s kvadratom. H (Sl. 155, j), okrećući kvadrat. P oko njezina obzora. trag. Prešavši od postavljanja ravnine točkom A i pravcem BC do postavljanja pravaca BC i A-1 (sl. 155, l), nalazimo tragove tih pravaca i kroz njih povlačimo tragove P ϑ i P h. Gradimo (slika 155, m) u kombinaciji s trgom. H položaj naprijed. trag - P ϑ0 .

Nacrtajte horizont kroz točku a. frontalna projekcija; kombinirana frontala prolazi kroz točku 2 na tragu R h paralelno s R ϑ0 . Točka A 0 - u kombinaciji s pl. H je položaj točke A. Slično nalazimo točku B 0 . Izravno sunce u kombinaciji s pl. H pozicija prolazi točkom B 0 i točkom m (vodoravni trag pravca).

Udaljenost od točke A 0 do pravca B 0 C 0 jednaka je željenoj udaljenosti l.

Navedenu konstrukciju moguće je izvesti pronalaženjem samo jednog traga P h (sl. 155, n i o). Cijela je konstrukcija slična okretanju oko horizontale (vidi sl. 155, f, c, i): trag P h je jedna od vodoravnih linija kvadrata. R.

Od metoda za pretvaranje crteža danih za rješavanje ovog problema, poželjna je metoda rotacije oko vodoravne ili frontalne.

158. Dana je piramida SABC (slika 156). Odredite udaljenosti:

a) od vrha B baze do njezine stranice AC metodom paralelnog gibanja;

b) od vrha S piramide do stranica BC i AB baze rotacijom oko horizontale;

c) s vrha S na stranicu AC baze mijenjanjem ravnina projiciranja.

159. Dana je prizma (slika 157). Odredite udaljenosti:

a) između bridova AD i CF promjenom ravnina projekcija;

b) između rebara BE i CF rotacijom oko prednje strane;

c) između bridova AD i BE metodom paralelnog gibanja.

160. Odredi stvarnu veličinu četverokuta ABCD (sl. 158) spajanjem s kvadratom. N. Koristite samo horizontalni trag ravnine.

161*. Odredite udaljenost između linija koje se sijeku AB i CD (slika 159, a) i konstruirajte projekcije zajedničke okomice na njih.

Riješenje. Udaljenost između linija križanja mjeri se segmentom (MN) okomice na obje linije (slika 159, b). Očito, ako je jedna od linija postavljena okomito na bilo koji kvadrat. T tada

odsječak MN okomice na oba pravca bit će paralelan s kvadratom. Njegova projekcija na ovu ravninu će prikazati traženu udaljenost. Projekcija pravi kut maenada MN n AB na trgu. Također se ispostavlja da je T pravi kut između m t n t i a t b t , budući da je jedna od stranica pravog kuta AMN, odnosno MN. paralelno s kvadratom. T.

Na sl. 159, c i d, željena udaljenost l određena je metodom promjene ravnina projekcija. Prvo uvodimo dodatni kvadrat. projekcije S, okomite na kvadrat. H i paralelna s ravnom linijom CD (slika 159, c). Zatim uvodimo još jedan dodatni kvadrat. T, okomito na kvadrat. S i okomito na istu liniju CD (slika 159, d). Sada možete graditi projekciju zajedničke okomice povlačenjem m t n t iz točke c t (d t) okomito na projekciju a t b t . Točke m t i n t su projekcije točaka presjeka te okomice s pravcima AB i CD. Od točke m t (Sl. 159, e) nalazimo m s na a s b s: projekcija m s n s treba biti paralelna s osi T / S. Nadalje, od m s i n s nalazimo m i n na ab i cd, a od njih m "i n" na a "b" i c "d".

Na sl. 159, u prikazano je rješenje ovog problema metodom paralelnih gibanja. Prvo, ravnu liniju CD postavimo paralelno s kvadratom. V: projekcija c 1 d 1 || X. Zatim pomičemo pravce CD i AB iz položaja C 1 D 1 i A 1 B 1 u položaje C 2 B 2 i A 2 B 2 tako da je C 2 D 2 okomit na H: projekcija c "2 d" 2 ⊥ x. Isječak tražene okomice nalazi se || kvadrat H, pa stoga m 2 n 2 izražava željenu udaljenost l između AB i CD. Nalazimo položaj projekcija m "2, i n" 2 na "2 b" 2 i c "2 d" 2, zatim projekcije i m 1 i m "1, n 1 i n" 1, konačno, projekcije m "i n", m i n.

162. Dana je piramida SABC (slika 160). Odredite udaljenost brida SB i stranice AC baze piramide i konstruirajte projekcije zajedničke okomice na SB i AC, koristeći metodu promjene ravnina projekcija.

163. Dana je piramida SABC (slika 161). Odredite udaljenost brida SH i stranice BC baze piramide te metodom paralelnog pomaka konstruirajte projekcije zajedničke okomice na SX i BC.

164*. Odredite udaljenost od točke A do ravnine u slučajevima kada je ravnina dana: a) trokutom BCD (slika 162, a); b) tragovi (slika 162, b).

Riješenje. Kao što znate, udaljenost od točke do ravnine mjeri se veličinom okomice povučene iz točke na ravninu. Ta se udaljenost projicira na bilo koji kvadrat. projekcije u prirodnoj veličini, ako je zadana ravnina okomita na kvadrat. projekcije (slika 162, c). Ova situacija se može postići pretvaranjem crteža, na primjer, promjenom kvadrata. projekcije. Predstavimo trg. S (sl. 16ts, d), okomito na kvadrat. trokut BCD. Da bismo to učinili, provodimo na trgu. trokut vodoravno B-1 i os projekcija S postaviti okomito na projekciju b-1 vodoravno. Gradimo projekcije točke i ravnine - a s i odsječka c s d s . Udaljenost od a s do c s d s jednaka je željenoj udaljenosti l točke od ravnine.

U Riju. 162, d primjenjuje se metoda paralelnog kretanja. Cijeli sustav pomičemo dok B-1 horizontala ravnine ne postane okomita na V ravninu: projekcija b 1 1 1 mora biti okomita na x-os. U tom će položaju ravnina trokuta postati projicirana sprijeda, a udaljenost l od točke A do nje postat će kvadrat. V bez izobličenja.

Na sl. 162b ravnina je dana tragovima. Uvodimo (slika 162, e) dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. P: os S/H je okomita na P h . Ostalo je jasno iz crteža. Na sl. 162, dobro je problem riješen uz pomoć jednog pomaka: pl. P prelazi u položaj P 1, odnosno postaje prednji stršeći. Staza. P 1h je okomit na x-os. Gradimo prednju stranu u ovom položaju ravnine. trag horizontale je točka n "1, n 1. Trag P 1ϑ će prolaziti kroz P 1x i n 1. Udaljenost od a" 1 do P 1ϑ jednaka je željenoj udaljenosti l.

165. Dana je piramida SABC (vidi sl. 160). Metodom paralelnog pomaka odredite udaljenost od točke A do plohe SBC piramide.

166. Dana je piramida SABC (vidi sl. 161). Odredite visinu piramide metodom paralelnog pomaka.

167*. Odredite udaljenost između linija koje se sijeku AB i CD (vidi sliku 159, a) kao udaljenost između paralelnih ravnina povučenih kroz te linije.

Riješenje. Na sl. 163, a prikazane su medusobno paralelne ravnine P i Q, od kojih pl. Q je povučen kroz CD paralelno s AB, a pl. P - kroz AB paralelno s kvadratom. P. Razmak između takvih ravnina smatra se razmakom između kosih pravaca AB i CD. Međutim, možete se ograničiti na izgradnju samo jedne ravnine, na primjer Q, paralelne s AB, a zatim odrediti udaljenost barem od točke A do te ravnine.

Na sl. 163c prikazuje ravninu Q kroz CD paralelnu s AB; u projekcijama označenim s "e" || a"b" i se || ab. Korištenje metode mijenjanja kvadrata. projekcije (slika 163, c), uvodimo dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. V i u isto vrijeme

okomito na kvadrat. Q. Za crtanje S/V osi, uzimamo frontalni D-1 u ovoj ravnini. Sada crtamo S / V okomito na d "1" (Sl. 163, c). pl. Q će biti prikazan na kvadratu. S kao ravna linija sa s d s . Ostalo je jasno iz crteža.

168. Dana je piramida SABC (vidi sliku 160). Odredite udaljenost bridova SC i AB.Primijenite: 1) metodu promjene površine. projekcije, 2) metoda paralelnog kretanja.

169*. Odredite udaljenost između paralelnih ravnina, od kojih je jedna zadana ravnim linijama AB i AC, a druga ravnim linijama DE i DF (slika 164, a). Također izvedite konstrukciju za slučaj kada su ravnine dane tragovima (Sl. 164, b).

Riješenje. Udaljenost (slika 164, c) između paralelnih ravnina može se odrediti povlačenjem okomice iz bilo koje točke jedne ravnine na drugu ravninu. Na sl. 164, g uveo dodatni trg. S okomito na kvadrat. H i na obje zadane ravnine. S.H os je okomita na horizont. projekcija vodoravne crte povučene u jednoj od ravnina. Gradimo projekciju ove ravnine i točke U drugoj ravnini na Sq. 5. Udaljenost točke d s do pravca l s a s jednaka je željenoj udaljenosti između paralelnih ravnina.

Na sl. 164, d dana je druga konstrukcija (prema metodi paralelnog kretanja). Da bi ravnina izražena siječnim pravcima AB i AC bila okomita na kvadrat. V, horizont. postavimo horizontalnu projekciju te ravnine okomito na x-os: 1 1 2 1 ⊥ x. Razmak između prednjih. projekcija d "1 točke D i pravca a" 1 2 "1 (čeona projekcija ravnine) jednaka je željenoj udaljenosti između ravnina.

Na sl. 164, e prikazuje uvođenje dodatnog kvadrata. S, okomito na pl.H i na zadane ravnine P i Q (os S/H je okomita na tragove P h i Q h). Konstruiramo tragove R s i Q s. Udaljenost između njih (vidi sliku 164, c) jednaka je željenoj udaljenosti l između ravnina P i Q.

Na sl. 164, g prikazuje kretanje ravnina P 1 n Q 1, do položaja P 1 i Q 1 kada horizont. ispada da su tragovi okomiti na x-os. Udaljenost između nove fronte. tragova P 1ϑ i Q 1ϑ jednaka je željenoj udaljenosti l.

170. Dan je paralelopiped ABCDEFGH (slika 165). Odredite udaljenosti: a) između osnovica paralelopipeda - l 1; b) između ploha ABFE i DCGH - l 2 ; c) između ADHE i BCGF-l 3 lica.

U te zadatke spadaju: zadaci za određivanje udaljenosti od točke do pravca, do ravnine, do plohe; između paralelnih i križnih linija; između paralelnih ravnina itd.

Sve ove zadatke ujedinjuju tri okolnosti:

Prvo, jer najkraća udaljenost između takvih figura je okomica, onda se sve svode na konstrukciju međusobno okomitih linija i ravnina.

Drugo, u svakom od ovih zadataka potrebno je odrediti prirodnu duljinu segmenta, odnosno riješiti drugi glavni metrički problem.

Treće, to su složeni zadaci, rješavaju se u više faza, a u svakoj se fazi rješava zaseban, mali specifičan zadatak.

Razmotrimo rješenje jednog od ovih problema.

Zadatak: Odredite udaljenost od točke M up to line opći položaj A(Slika 4-26).

Algoritam:

1. faza: Udaljenost od točke do pravca je okomica. Budući da je izravna A- općeg položaja, pa je za konstrukciju okomice na njega potrebno riješiti zadatak sličan onom danom na stranicama M4-4 ovog modula, dakle prvo kroz točku M držati avion S, okomito A. Postavili smo ovaj avion, kao i obično, hÇ f, pri čemu h1^ a 1, a f2^ a 2

Faza 2: Da biste konstruirali okomicu, morate joj pronaći drugu točku. Ovo će biti poanta DO koji pripadaju liniji A. Da biste ga pronašli, morate riješiti položajni problem, odnosno pronaći točku sjecišta linije A s avionom S. 1GPZ rješavamo prema trećem algoritmu (sl. 4-28):

Predstavljamo avion – posrednika G, G^^ P 1 , GÉ aÞ G 1 = a 1;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = G 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- b 2Z a 2 = K 2Þ K 1.

Faza 3: Pronalaženje stvarne veličine MK metoda pravokutnog trokuta

Kompletno rješenje problema prikazano je na sl. 4-30 (prikaz, ostalo).

Algoritamska notacija rješenja:

1. S^a,S = hZ f = M, h 1^ a 1 , f 2^ a 2 .

2. Predstavljamo avion – posrednika G,

- G^^ P 1 , GÉ aÞ G 1 = a 1 ;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = G 1 , bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- b 2Z a 2 = K 2Þ K 1 .

3. Pronalaženje stvarne veličine MK.

Zaključci:

1. Rješenje svih metričkih problema svodi se na rješavanje prvog osnovnog metričkog problema - o međusobnoj okomitosti pravca i ravnine.

2. Pri određivanju udaljenosti između geometrijski oblici uvijek se koristi drugi glavni metrički problem – odrediti prirodnu veličinu segmenta.

3. Ravnina koja dodiruje plohu u jednoj točki može se definirati s dvije crte koje se sijeku, od kojih je svaka tangenta na zadanu plohu.

Kontrolna pitanja

1. Koji se zadaci nazivaju metričkim?

2. Koja dva glavna metrička zadatka poznajete?

3. Što je povoljnije postaviti ravninu okomitu na ravnu crtu u općem položaju?

4. Kako se zove ravnina okomita na jednu od niveleta?

5. Kako se zove ravnina okomita na jedan od projiciranih pravaca?

6. Što se naziva ravnina tangenta na plohu?

Potrebno je odrediti udaljenost od točke do pravca. Opći plan rješavanje problema:

- kroz dana točka nacrtati ravninu okomitu na zadani pravac;

- pronaći točku susreta linije

s avionom;

- odrediti prirodnu vrijednost udaljenosti.

Kroz zadanu točku povučemo ravninu okomitu na pravac AB. Ravnina je postavljena horizontalom i frontalom koja se siječe, čije su projekcije građene prema algoritmu okomitosti (inverzni problem).

Nađi točku susreta pravca AB s ravninom. Ovaj tipičan zadatak o sjecištu pravca s ravninom (vidi odjeljak "Sjecište pravca s ravninom").

Okomitost ravnine

Ravnine su međusobno okomite ako jedna od njih sadrži pravac okomit na drugu ravninu. Dakle, da biste nacrtali ravninu okomitu na drugu ravninu, prvo morate povući okomicu na ravninu, a zatim kroz nju povući željenu ravninu. Na dijagramu ravninu zadaju dvije prave koje se sijeku, od kojih je jedna okomita na ravninu ABC.

Ako su ravnine zadane tragovima, tada su mogući sljedeći slučajevi:

- ako dvoje okomite ravnine strše, tada su njihovi skupni tragovi međusobno okomiti;

- ravnina u općem položaju i projicirajuća ravnina su okomite ako je skupni trag projicirane ravnine okomit na istoimeni trag ravnine u općem položaju;

- ako su slični tragovi dviju ravnina u općem položaju okomiti, tada ravnine nisu okomite jedna na drugu.

Metoda zamjene ravnina projekcija

	zamjene ravnine projekcije
leži u činjenici da avioni
dijelovi se zamjenjuju drugim ravnim
	tako da	geometrijski
objekt u novi sustav avionima
projekcije su počele poprimati privatni -by
položaj, što omogućuje pojednostavljenje ponovnog
rješavanje problema. U prostornom mjerilu
ket prikazuje zamjenu ravnine V po
novi V 1 . Također je prikazano
točka A na izvornim ravninama
projekcije i novu projekcijsku ravninu
V1. Kod zamjene ravnina projekcija
očuvana je ortogonalnost sustava.

Pretvorimo prostorni raspored u planarni raspored rotirajući ravnine duž strelica. Dobivamo tri ravnine projekcije spojene u jednu ravninu.

Zatim uklonimo projekcijske ravnine i
		projekcije
Iz zapleta poente slijedi pravilo: kada
zamjenjujući V sa V 1 kako bi se
		frontalni
točka, potrebno je od nove osi
ostaviti po strani primijenjenu točku preuzetu iz
prethodni sustav ravnina
dionice. Slično se može dokazati
	zamjena H sa H 1 je neophodna
postaviti ordinatu točke.

Prvi tipični problem metode zamjene projekcijskih ravnina

Prva tipična zadaća metode zamjene projekcijskih ravnina je transformacija pravca u općem položaju, prvo u ravninu, a zatim u projicirajuću liniju. Ovaj problem je jedan od glavnih, jer se koristi u rješavanju drugih problema, na primjer, u određivanju udaljenosti između paralelnih i kosih linija, u određivanju diedralni kut itd.

Napravimo promjenu V → V 1 .
os je povučena paralelno s horizontalom
		projekcije.
frontalna projekcija izravna, za
				odgoditi
točke aplikacije. Nova fronta
projekcija pravca je pravac HB.
Sama ravna linija postaje frontal.
Određuje se kut α °.

Vršimo zamjenu H → H 1. Nacrtajte novu okomitu os prednja projekcija ravno. Gradimo novi horizontalna projekcija pravac, za koji izdvajamo ordinate pravca preuzete iz prethodnog sustava ravnina projiciranja s nove osi. Crta postaje vodoravno projicirana crta i "degenerira" se u točku.

Udaljenost od točke do pravca je duljina okomice iz točke na pravac. U nacrtna geometrija to je definirano grafički prema donjem algoritmu.

Algoritam

1. Pravac se prenosi u položaj u kojem će biti paralelan s bilo kojom ravninom projekcije. Da biste to učinili, primijenite metode transformacije ortogonalnih projekcija.
2. Nacrtaj okomicu iz točke na pravac. U srži ovu konstrukciju je teorem o pravokutnoj projekciji.
3. Duljina okomice određuje se preračunavanjem njezinih projekcija ili metodom pravokutnog trokuta.

Sljedeća slika je složeni crtež točke M i linije b, zadan segmentom CD. Morate pronaći udaljenost između njih.

Prema našem algoritmu, prva stvar koju treba učiniti je pomaknuti liniju na poziciju paralelno s ravninom projekcije. Važno je razumjeti da se nakon transformacija stvarna udaljenost između točke i linije ne bi trebala promijeniti. Zato je ovdje zgodno koristiti metodu zamjene ravnine koja ne uključuje pokretne figure u prostoru.

Rezultati prve faze izgradnje prikazani su u nastavku. Slika prikazuje kako se uvodi dodatna frontalna ravnina P 4 paralelna s b. U novom sustavu (P 1 , P 4) točke C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 su na istoj udaljenosti od X 1 osi kao C"", D"", M"" od osi os x.

Provodeći drugi dio algoritma, iz M"" 1 spuštamo okomicu M"" 1 N"" 1 na ravnu liniju b"" 1, budući da je pravi kut MND između b i MN projiciran na ravninu P 4 u punoj veličini. Odredimo položaj točke N" duž komunikacijske linije i nacrtamo projekciju M"N" segmenta MN.

Na završna faza potrebno je odrediti vrijednost segmenta MN njegovim projekcijama M"N" i M"" 1 N"" 1 . Za ovo gradimo pravokutni trokut M"" 1 N"" 1 N 0 , čiji je krak N"" 1 N 0 jednak razlici (Y M 1 – Y N 1) udaljavanja točaka M" i N" od X 1 osi. Duljina hipotenuze M"" 1 N 0 trokuta M"" 1 N"" 1 N 0 odgovara željenoj udaljenosti od M do b.

Drugi način rješavanja

• Paralelno s CD uvodimo novu frontalnu ravninu P 4 . Ona siječe P 1 duž X 1 osi, a X 1 ∥C"D". U skladu s metodom zamjene ravnina određujemo projekcije točaka C "" 1, D"" 1 i M"" 1, kao što je prikazano na slici.
• Okomito na C "" 1 D "" 1 gradimo dodatnu vodoravnu ravninu P 5 na koju je ravna linija b projicirana u točku C" 2 \u003d b" 2.
• Udaljenost između točke M i pravca b određena je duljinom odsječka M "2 C" 2 označenog crvenom bojom.

Povezani zadaci: