Primjena određenog integrala, površina ravnog lika. Područje ravne figure

Predavanje 21 Primjene određeni integral(2h)

Geometrijske primjene

A) Područje figure

Kao što je navedeno u predavanju 19, numerički jednako površini zakrivljeni trapez, omeđen krivuljom na = f(x), ravno X = A, X = b i segment [ a, b] OX os. Štoviše, ako f(x) £ 0 na [ a, b], tada integral treba uzeti s predznakom minus.

Ako je uključeno dati segment funkcija na = f(x) mijenja predznak, a zatim da biste izračunali površinu figure zatvorene između grafa ove funkcije i osi OX, trebate podijeliti segment na dijelove, na svakom od kojih funkcija zadržava svoj predznak, i pronaći područje ​svaki dio figure. Traženo područje u ovom slučaju je algebarski zbroj integrala nad tim segmentima, a integrali koji odgovaraju negativnim vrijednostima funkcije uzimaju se u ovom zbroju s znakom minus.

Ako je lik omeđen dvjema krivuljama na = f 1 (x) I na = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), tada je, kao što slijedi sa slike 9, njegova površina jednaka razlici površina krivocrtnih trapeza A Sunce b I A OGLAS b, od kojih je svaki brojčano jednak integralu. Sredstva,

Imajte na umu da se površina slike prikazane na slici 10a nalazi pomoću iste formule: S = (dokažite!). Razmislite o tome kako izračunati površinu figure prikazane na slici 10b?

Govorili smo samo o krivocrtnim trapezima uz OX os. Ali slične formule vrijede i za figure koje graniče s OU osi. Na primjer, područje slike prikazane na slici 11 nalazi se formulom

Neka linija g=f(x), koja ograničava zakrivljeni trapez, može se dati parametarske jednadžbe , t O , i j(a)= A, j(b) = b, tj. na= . Tada je površina ovog krivocrtnog trapeza jednaka

.

b) Duljina luka krivulje

Neka je dana krivulja na = f(x). Promotrimo luk ove krivulje koji odgovara promjeni X na segmentu [ a, b]. Nađimo duljinu ovog luka. Da bismo to učinili, luk AB podijelimo na n dijelovi po točkama A = M 0, M 1, M 2, ..., M n= B (slika 14), što odgovara točkama X 1 , X 2 , ..., x n Î [ a, b].

Označimo D l ja duljina luka, dakle l= . Ako su duljine luka D l ja su dovoljno male, onda se mogu smatrati približno jednake duljine odgovarajući segmenti koji spajaju točke M ja-1, M ja. Ove točke imaju koordinate M ja -1 (x i -1, f (x i-1)), M ja(x i, f(x i)). Tada su duljine odsječaka jednake

Ovdje se koristi Lagrangeova formula. Stavimo x i – x i-1 =D x i, dobivamo

Zatim l = , gdje

l = .

Dakle, duljina luka krivulje na = f(x), što odgovara promjeni X na segmentu [ a, b], koji se nalazi po formuli

l = , (1)

Ako je krivulja određena parametarski, t O, tj. g(t) = f(x(t)), tada iz formule (1) dobivamo:

l=
.

To znači da ako je krivulja dana parametarski, tada je duljina luka te krivulje koja odgovara promjeni t O, nalazi se formulom

V) Volumen tijela revolucije.

sl.15

Razmotrimo zakrivljeni trapez A AB b, omeđen linijom na = f(x), ravno X = A, X = b i segment [ a,b] OX os (slika 15). Neka ovaj trapez rotira oko osi OX, rezultat će biti tijelo rotacije. Može se dokazati da će volumen ovog tijela biti jednak

Slično možemo izvesti formulu za volumen tijela dobivenog rotacijom krivocrtnog trapeza oko osi OU, ograničenog grafom funkcije X= j( na), ravno g = c , g = d i segment [ c,d] os op-amp (Sl. 15):

Fizičke primjene određeni integral

U 19. predavanju dokazali smo da je s fizičke točke gledišta integral numerički jednaka masi pravocrtan tanki nejednolik štap duljine l= b – a, s promjenjivom linearnom gustoćom r = f(x), f(x) ³ 0, gdje je X– udaljenost od vrha štapa do njegovog lijevog kraja.

Razmotrimo druge fizičke primjene određenog integrala.

Problem 1. Nađite rad potreban za ispumpavanje nafte iz okomitog cilindričnog spremnika visine H i polumjera baze R. Gustoća nafte je r.

Otopina. Hajdemo graditi matematički model ovog zadatka. Neka os OX prolazi duž osi simetrije valjka visine H i polumjera R, ishodište je u središtu gornje baze valjka (slika 17). Podijelimo cilindar na n male horizontalne dijelove. Onda gdje A i– rad crpljenja ja th sloj. Ova podjela cilindra odgovara podjeli segmenta promjene visine sloja na n dijelovi. Razmotrimo jedan od ovih slojeva koji se nalazi na udaljenosti x i od površine, širina D X(ili odmah dx). Ispumpavanje ovog sloja može se smatrati "podizanjem" sloja na visinu x i.

Tada je rad za ispumpavanje ovog sloja jednak

A i»P i x i, ,

gdje je P ja=rgV ja= rgpR 2 dx, R ja– težina, V ja– volumen sloja. Zatim A i» R i x i= rgpR 2 dx.x i, gdje

, i stoga .

Problem 2. Odredite moment tromosti

a) šuplji cilindar tankih stijenki u odnosu na os koja prolazi kroz njegovu os simetrije;

b) čvrsti cilindar u odnosu na os koja prolazi kroz njegovu os simetrije;

c) tanki štap duljine l u odnosu na os koja prolazi njegovom sredinom;

d) duljina tankog štapa l u odnosu na os koja prolazi kroz njegov lijevi kraj.

Otopina. Kao što je poznato, moment tromosti točke u odnosu na os jednak je J=gosp 2, i sustavi bodova.

a) Cilindar je tankih stijenki, što znači da se debljina stijenki može zanemariti. Neka je polumjer baze valjka R, njegova visina H, a gustoća mase na stijenkama jednaka je r.

Podijelimo cilindar na n dijelove i pronaći gdje J i– moment tromosti ja element pregrade.

Razmotrimo ja element pregrade (infinitezimalni cilindar). Sve njegove točke udaljene su R od osi l. Neka masa ovog cilindra t i, Zatim t i= rV ja» rS strana= 2prR dx i, Gdje x i O. Zatim J i» R 2 prR dx i, gdje

.

Ako je r konstanta, tada J= 2prR 3 N, a kako je masa cilindra jednaka M = 2prRN, tada je J=MR 2.

b) Ako je cilindar čvrst (napunjen), tada ga dijelimo na n vlo tanki cilindri međusobno povezani jedan u drugom. Ako n velik, svaki od ovih cilindara može se smatrati tankim stijenkama. Ova podjela odgovara podjeli segmenta na n dijelovi s točkama R ja. Pronađimo masu ja cilindar tankih stijenki: t i= rV ja, Gdje

V ja= pR ja 2 H – pR ja - 1 2 H = pH(R ja 2 –R ja -1 2) =

PH(R ja–R ja-1)(R ja+R ja -1).

Zbog činjenice da su stijenke cilindra tanke, možemo pretpostaviti da je R ja+R ja-1 » 2R ja i R ja–R ja-1 = DR ja, zatim V ja» pH2R ja D.R. ja, gdje t i» rpN×2R ja D.R. ja,

Onda konačno

c) Promotrimo štap duljine l, čija je gustoća mase jednaka r. Neka kroz njegovu sredinu prolazi os rotacije.

Štap modeliramo kao segment osi OX, tada je os rotacije štapa OU os. Razmotrimo elementarni segment, njegovu masu, udaljenost od osi možemo smatrati približno jednakima r i= x i. Tada je moment tromosti tog dijela jednak , odakle je moment tromosti cijelog štapa jednak . S obzirom da je masa štapa jednaka , tada

d) Neka sada os rotacije prolazi kroz lijevi kraj štapa, tj. Model štapa je segment osi OX. Zatim slično, r i= x i, , gdje , a od , onda .

Zadatak 3. Odredite silu pritiska tekućine gustoće r na pravokutni trokut s kracima A I b, okomito uronjen u tekućinu tako da noga A nalazi se na površini tekućine.

Otopina.

Izgradimo model problema. Neka vrh pravi kut trokut je u ishodištu, krak A poklapa se sa segmentom OU osi (OU os određuje površinu tekućine), OX os je usmjerena prema dolje, noga b poklapa se sa segmentom ove osi. Hipotenuza ovog trokuta ima jednadžbu , ili .

Poznato je da ako na horizontalnoj regiji površine S, uronjen u tekućinu gustoće r, pritisnut je stupom tekućine s vis h, tada je sila pritiska jednaka (Pascalov zakon). Iskoristimo ovaj zakon.

Definitivni integral (DI) naširoko se koristi u praktičnim primjenama matematike i fizike.

Konkretno, u geometriji se područja pronalaze pomoću ROI-a jednostavne figure i složene plohe, volumeni tijela rotacije i tijela proizvoljnog oblika, duljine krivulja u ravnini i prostoru.

U fizici i teorijska mehanika ROI se koriste za izračunavanje statičkih momenata, masa i centara mase materijalnih krivulja i površina, za izračunavanje rada varijabilne sile duž zakrivljene staze itd.

Područje ravne figure

Neka neka ravna figura u kartezijanskom pravokutni sustav koordinate $xOy$ ograničen je gore krivuljom $y=y_(1) \lijevo(x\desno)$, dolje krivuljom $y=y_(2) \lijevo(x\desno)$, a lijevo a desno okomitim ravnim linijama $ x=a$ odnosno $x=b$. U opći slučaj površina takve figure izražava se pomoću RO $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left(x \right)\right )\cdot dx $.

Ako je neka ravna figura u kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu $xOy$ omeđena s desne strane krivuljom $x=x_(1) \lijevo(y\desno)$, s lijeve strane krivuljom $x=x_(2) \lijevo(y\desno) $, a ispod i iznad horizontalnim ravnim linijama $y=c$ i $y=d$, tada se površina takve figure izražava pomoću ROI $S=\int \ograničenja _(c)^(d)\lijevo(x_(1 ) \lijevo(y\desno)-x_(2) \lijevo(y\desno)\desno)\cdot dy $.

Neka se ravna figura (krivolinijski sektor) razmatra u polarni sustav koordinate, čine graf kontinuirane funkcije $\rho =\rho \left(\phi \right)$, kao i dvije zrake koje prolaze pod kutovima $\phi =\alpha $ i $\phi =\beta $ , odnosno. Formula za izračunavanje površine takvog krivocrtnog sektora je: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \desno )\cdot d\phi $.

Duljina luka krivulje

Ako je na segmentu $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ krivulja je dana jednadžbom $\rho =\rho \left(\phi \right)$ u polarnom koordinatnom sustavu, a zatim se duljina njezina luka izračunava pomoću ILI $L=\int \limits _(\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \lijevo(\phi \desno)+\rho "^(2) \lijevo(\phi \desno)) \cdot d\ phi $.

Ako je krivulja na segmentu $\left$ dana jednadžbom $y=y\left(x\right)$, tada se duljina njezina luka izračunava pomoću ROI $L=\int \limits _(a) ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx $.

Ako je na segmentu $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ krivulja je specificirana parametarski, to jest, $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, tada se duljina njezina luka izračunava pomoću ROI $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \lijevo(t\desno)+y"^(2) \lijevo(t\desno)) \cdot dt $.

Izračunavanje obujma tijela iz površina paralelnih presjeka

Neka je potrebno pronaći obujam prostornog tijela čije koordinate točke zadovoljavaju uvjete $a\le x\le b$ i za koje su površine presjeka $S\left(x\right)$ ravnina okomitih na $Ox$ osi su poznati.

Formula za izračunavanje volumena takvog tijela je $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Volumen tijela revolucije

Neka je nenegativna kontinuirana funkcija $y=y\lijevo(x\desno)$ dana na segmentu $\lijevo$, tvoreći krivuljasti trapez (CrT). Ako ovaj KrT rotirate oko osi $Ox$, tada nastaje tijelo koje se zove tijelo rotacije.

Izračunavanje obujma tijela rotacije poseban je slučaj izračunavanja volumena tijela pomoću poznati trgovi njegove paralelne dijelove. Odgovarajuća formula je $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \lijevo(x\desno)\cdot dx $.

Neka je neka ravna figura u kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu $xOy$ odozgo ograničena krivuljom $y=y_(1) \lijevo(x\desno)$, odozdo krivuljom $y=y_(2) \lijevo (x\desno)$, gdje su $y_(1) \lijevo(x\desno)$ i $y_(2) \lijevo(x\desno)$ nenegativne kontinuirane funkcije, a lijevo i desno okomite ravne linije $x=a$ odnosno $x= b$. Tada se volumen tijela formiranog rotacijom ove figure oko $Ox$ osi izražava s RO $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1)^ (2) \lijevo(x \desno)-y_(2)^(2) \lijevo(x\desno)\desno)\cdot dx $.

Neka je neka ravna figura u kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu $xOy$ s desne strane ograničena krivuljom $x=x_(1) \lijevo(y\desno)$, s lijeve strane krivuljom $x=x_(2) \lijevo(y\desno)$, gdje su $x_(1) \lijevo(y\desno)$ i $x_(2) \lijevo(y\desno)$ nenegativne kontinuirane funkcije, a ispod i iznad horizontalne ravne linije $y=c$ i $y= d$ prema tome. Tada se volumen tijela formiranog rotacijom ove figure oko $Oy$ osi izražava sa RO $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1)^ (2) \lijevo(y \desno)-x_(2)^(2) \lijevo(y\desno)\desno)\cdot dy $.

Površina tijela rotacije

Neka je nenegativna funkcija $y=y\left(x\right)$ dana na segmentu $\left$ s kontinuiranom derivacijom $y"\left(x\right)$. Ova funkcija tvori CRT. Ako rotiramo ovaj CRT oko $Ox osi $, tada on sam tvori rotacijsko tijelo, a luk KrT je njegova površina. Površina takvog rotacijskog tijela izražava se formulom $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\lijevo( x\desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx $.

Pretpostavimo da je krivulja $x=\phi \left(y\right)$, gdje je $\phi \left(y\right)$ nenegativna funkcija definirana na segmentu $c\le y\le d $, se okreće oko osi $Oy$. U ovom slučaju, površina formiranog tijela rotacije izražava se s RO $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \lijevo(y\desno)) \cdot dy $.

Fizičke primjene ROI-a

1. Za izračun prijeđene udaljenosti u trenutku $t=T$ s promjenjivom brzinom kretanja $v=v\lijevo(t\desno)$ materijalne točke koja se počela kretati u trenutku $t=t_(0)$, upotrijebite ROI $S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
2. Za izračun rada varijable sila $F=F\lijevo(x\desno)$ primijenjena na materijalna točka, krećući se ravna staza duž osi $Ox$ od točke $x=a$ do točke $x=b$ (smjer sile poklapa se sa smjerom kretanja) koristite ROI $A=\int \limits _(a)^ (b)F\lijevo(x \desno)\cdot dx $.
3. Statički momenti relativni koordinatne osi materijalna krivulja $y=y\left(x\right)$ na intervalu $\left$ izražavaju se formulama $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y\ lijevo(x\ desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx $ i $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a) ^(b) x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, gdje se linearna gustoća $\rho $ ove krivulje smatra konstantnom.
4. Središte mase materijalne krivulje je točka u kojoj je sva njena masa uvjetno koncentrirana na takav način da su statički momenti točke u odnosu na koordinatne osi jednaki odgovarajućim statičkim momentima cijele krivulje kao cjeline.

Formule za izračunavanje koordinata središta mase ravninske krivulje imaju oblik $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^( 2) \lijevo(x\ desno)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx ) $ i $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\lijevo(x\desno)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno )) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \lijevo(x\desno)) \cdot dx ) $.

5. Statički momenti materijala ravna figura u obliku KpT u odnosu na koordinatne osi izražavaju se formulama $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \lijevo(x\ desno)\cdot dx $ i $M_(y) =\rho \cdot \int \granice _(a)^(b)x\cdot y\lijevo(x\desno)\cdot dx $.
6. Koordinate središta mase materijalne ravne figure u obliku KrT, koju tvori krivulja $y=y\left(x\right)$ na intervalu $\left$, izračunavaju se pomoću formula $x_( C) =\frac(\int \limits _(a )^(b)x\cdot y\left(x\desno)\cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)y\left( x\desno)\cdot dx ) $ i $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x \desno)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\lijevo(x\desno)\cdot dx ) $.

Predavanja 8. Primjene određenog integrala.

Primjena integrala na fizičke zadatke temelji se na svojstvu aditivnosti integrala nad skupom. Stoga se korištenjem integrala mogu izračunati količine koje su same aditivne u skupu. Na primjer, površina figure jednaka je zbroju površina njegovih dijelova, površina, volumen tijela i masa tijela imaju isto svojstvo. Stoga se sve te veličine mogu izračunati pomoću određenog integrala.

Za rješavanje problema možete koristiti dvije metode: metoda integralnih suma i metoda diferencijala.

Metoda integralnih suma ponavlja konstrukciju određenog integrala: konstruira se particija, označavaju se točke, na njima se izračunava funkcija, izračunava se integralna suma i izvodi se prijelaz na limes. U ovoj metodi glavna poteškoća je dokazati da je u limitu rezultat točno ono što je potrebno u problemu.

Diferencijalna metoda koristi neodređeni integral i Newton–Leibnizovu formulu. Izračunava se diferencijal veličine koju treba odrediti, a zatim se integracijom tog diferencijala dobiva tražena veličina pomoću Newton–Leibnizove formule. U ovoj metodi glavna poteškoća je dokazati da je izračunat diferencijal tražene vrijednosti, a ne nešto drugo.

Izračunavanje površina ravnih figura.

1. Slika je ograničena grafom funkcije navedene u Kartezijanski sustav koordinate

Do pojma određenog integrala došli smo iz problema površine zakrivljenog trapeza (u stvari, koristeći metodu integralnih suma). Ako funkcija samo prihvaća negativne vrijednosti, tada se površina ispod grafa funkcije na segmentu može izračunati pomoću određenog integrala. Imajte na umu da dakle, ovdje se može vidjeti i metoda diferencijala.

Ali funkcija također može poprimiti negativne vrijednosti na određenom segmentu, tada će integral nad tim segmentom dati negativno područje, što je u suprotnosti s definicijom područja.

Površinu možete izračunati pomoću formuleS=. To je ekvivalentno promjeni predznaka funkcije u onim područjima u kojima poprima negativne vrijednosti.

Ako trebate izračunati površinu figure ograničenu gore grafom funkcije, a dolje grafom funkcije, tada možete koristiti formuluS= , jer .

Primjer. Izračunajte površinu figure omeđene pravim linijama x=0, x=2 i grafovima funkcija y=x 2, y=x 3.

Uočimo da na intervalu (0,1) vrijedi nejednakost x 2 > x 3, a za x >1 nejednakost x 3 > x 2. Eto zašto

2. Slika je ograničena grafom funkcije zadane u polarnom koordinatnom sustavu.

Neka je graf funkcije dan u polarnom koordinatnom sustavu i želimo izračunati površinu krivocrtnog sektora omeđenog dvjema zrakama i graf funkcije u polarnom koordinatnom sustavu.

Ovdje možete koristiti metodu integralnih zbrojeva, računajući površinu krivocrtnog sektora kao granicu zbroja površina elementarnih sektora u kojima je graf funkcije zamijenjen kružnim lukom .

Također možete koristiti diferencijalnu metodu: .

Možeš razmišljati i ovako. Zamjena elementarnog krivocrtnog sektora koji odgovara središnji kut kružni sektor, imamo proporciju . Odavde . Integrirajući i koristeći Newton–Leibnizovu formulu, dobivamo .

Primjer. Izračunajmo površinu kruga (provjerite formulu). Vjerujemo. Površina kruga je .

Primjer. Izračunajmo površinu omeđenu kardioidom .

3 Slika je ograničena grafom funkcije definirane parametrijski.

Funkcija se može specificirati parametarski u obliku . Koristimo formulu S= , zamjenjujući u njega granice integracije preko nove varijable. . Obično se pri izračunavanju integrala identificiraju ona područja u kojima funkcija integranda ima određeni predznak i uzima se u obzir odgovarajuće područje s jednim ili drugim predznakom.

Primjer. Izračunajte površinu koju zatvara elipsa.

Koristeći simetriju elipse, izračunavamo površinu četvrtine elipse koja se nalazi u prvom kvadrantu. U ovom kvadrantu. Zato .

Izračunavanje volumena tijela.

1. Izračunavanje volumena tijela iz površina paralelnih presjeka.

Neka je potrebno izračunati obujam nekog tijela V iz poznatih površina presjeka tog tijela ravninama okomitim na pravac OX povučen kroz bilo koju točku x dužine OX.

Primijenimo metodu diferencijala. Uzimajući u obzir elementarni volumen iznad segmenta kao volumen pravog kružnog valjka s osnovnom površinom i visinom, dobivamo . Integracijom i primjenom Newton–Leibnizove formule dobivamo

2. Izračunavanje volumena tijela rotacije.

Neka je potrebno izračunati VOL.

Zatim .

Također, volumen tijela rotacije oko osiOY, ako je funkcija dana u obliku , može se izračunati pomoću formule .

Ako je funkcija navedena u obrascu i trebate odrediti volumen tijela rotacije oko osiOY, tada se formula za izračunavanje volumena može dobiti na sljedeći način.

Prelazeći na diferencijal i zanemarujući kvadratne članove, imamo . Integriranjem i primjenom Newton–Leibnizove formule imamo .

Primjer. Izračunaj obujam kugle.

Primjer. Izračunaj obujam pravilnog kružnog stošca omeđenog plohom i ravninom.

Izračunajmo volumen kao volumen rotacijskog tijela nastalog rotacijom oko osi OZ pravokutni trokut u ravnini OXZ, čiji kraci leže na osi OZ i pravcu z = H, a hipotenuza na pravcu.

Izražavajući x kroz z, dobivamo .

Izračunavanje duljine luka.

Kako bismo dobili formule za izračunavanje duljine luka, prisjetimo se formula izvedenih u 1. polugodištu za diferencijal duljine luka.

Ako je luk graf kontinuirano diferencijabilne funkcije, razlika duljine luka može se izračunati pomoću formule

. Eto zašto

Ako je glatki luk parametarski zadan, To

. Eto zašto .

Ako je luk zadan u polarnom koordinatnom sustavu, To

. Eto zašto .

Primjer. Izračunajte duljinu luka grafa funkcije, . .

Početna > Predavanje

Predavanje 18. Primjene određenog integrala.

18.1. Izračunavanje površina ravnih figura.

Poznato je da određeni integral na segmentu predstavlja površinu krivocrtnog trapeza omeđenog grafom funkcije f(x). Ako se graf nalazi ispod Ox osi, tj. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, tada područje ima znak "+".

Za pronalaženje ukupne površine koristi se formula.

Površina figure omeđene određenim linijama može se pronaći pomoću određenih integrala ako su poznate jednadžbe tih linija.

Primjer. Odredite površinu figure omeđene linijama y = x, y = x2, x = 2.

Potrebna površina (osjenčana na slici) može se pronaći pomoću formule:

18.2. Pronalaženje područja zakrivljenog sektora.

Da bismo pronašli područje krivuljastog sektora, uvodimo polarni koordinatni sustav. Jednadžba krivulje koja ograničava sektor u ovom koordinatnom sustavu ima oblik  = f(), gdje je  duljina radijus vektora koji povezuje pol s proizvoljna točka krivulja, a  je kut nagiba ovog radijus vektora prema polarnoj osi.

Područje krivuljastog sektora može se pronaći pomoću formule

18.3. Izračunavanje duljine luka krivulje.

y y = f(x)

S i y i

Duljina izlomljene linije koja odgovara luku može se pronaći kao
.

Tada je duljina luka
.

Iz geometrijska razmatranja:

Istovremeno

Tada se može pokazati da

one.

Ako je jednadžba krivulje dana parametarski, tada uzimajući u obzir pravila za izračunavanje parametarski zadane derivacije, dobivamo

,

gdje je x = (t) i y = (t).

Ako je postavljeno prostorna krivulja, i x = (t), y = (t) i z = Z(t), tada

Ako je krivulja dana u polarne koordinate, To

,  = f().

Primjer: Odredite opseg kružnice zadane jednadžbom x 2 + y 2 = r 2 .

1 način. Izrazimo varijablu y iz jednadžbe.

Nađimo izvod

Tada je S = 2r. Dobili smo dobro poznatu formulu za opseg kruga.

Metoda 2. Ako zadanu jednadžbu prikažemo u polarnom koordinatnom sustavu, dobivamo: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, tj. funkcija  = f() = r,
Zatim

18.4. Izračunavanje volumena tijela.

Izračunavanje obujma tijela iz poznatih površina njegovih paralelnih presjeka.

Neka postoji tijelo volumena V. Površina bilo kojeg poprečnog presjeka tijela Q poznata je kao kontinuirana funkcija Q = Q(x). Podijelimo tijelo na “slojeve” presjecima koji prolaze kroz točke x i particije segmenta . Jer funkcija Q(x) je kontinuirana na bilo kojem srednjem segmentu particije, tada zauzima najveći i najmanja vrijednost. Označimo ih M i odnosno m i .

Ako na tim najvećim i najmanjim presjecima konstruiramo cilindre s generatrisama paralelnim s osi x, tada će volumeni tih cilindara biti redom jednaki M i x i i m i x i ovdje x i = x i - x i -1.

Izradom takvih konstrukcija za sve segmente pregrade dobivamo cilindre čiji su volumeni jednaki, odnosno
I
.

Kako korak dijeljenja  teži nuli, ti zbrojevi imaju zajedničku granicu:

Dakle, volumen tijela može se pronaći pomoću formule:

Nedostatak ove formule je što je za pronalaženje volumena potrebno znati funkciju Q(x), što je vrlo problematično za složena tijela.

Primjer: Nađite obujam kugle polumjera R.

U presjeci lopta proizvodi krugove promjenjivog radijusa y. Ovisno o trenutnoj x koordinati, ovaj radijus se izražava formulom
.

Tada funkcija površine presjeka ima oblik: Q(x) = .

Dobijamo volumen lopte:

Primjer: Odredite obujam proizvoljne piramide visine H i osnovice S.

Kada se piramida presječe ravninama okomitim na visinu, u presjeku dobivamo likove slične osnovici. Koeficijent sličnosti ovih figura jednak je omjeru x/H, gdje je x udaljenost od presječne ravnine do vrha piramide.

Iz geometrije je poznato da je omjer površina sličnih likova jednak kvadratu koeficijenta sličnosti, tj.

Odavde dobivamo funkciju površina presjeka:

Određivanje volumena piramide:

18.5. Volumen tijela rotacije.

Promotrimo krivulju dana jednadžbom y = f(x). Pretpostavimo da je funkcija f(x) kontinuirana na intervalu. Ako se odgovarajući krivocrtni trapez s bazama a i b zakrene oko osi Ox, tada se dobiva tzv. tijelo revolucije.

Jer Svaki presjek tijela ravninom x = const je kružnica polumjera , tada se volumen rotacijskog tijela može lako pronaći pomoću gore dobivene formule:

18.6. Površina tijela rotacije.

M i B

Definicija: Površina rotacije krivulja AB oko zadane osi je granica kojoj teže površine rotacijskih površina izlomljenih linija upisanih u krivulju AB kada najveće duljine karika tih izlomljenih linija teže nuli.

Podijelimo luk AB na n dijelova s ​​točkama M 0, M 1, M 2, ..., M n. Koordinate vrhova dobivene izlomljene linije imaju koordinate x i i y i . Zakretanjem izlomljene crte oko svoje osi dobivamo plohu koju čine bočne plohe krnjih stožaca čija je površina jednaka P i. Ovo područje se može pronaći pomoću formule:

Ovdje je S i duljina svake tetive.

Primjenjujemo Lagrangeov teorem (vidi. Lagrangeov teorem) na stav
.

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije

savezna državna autonomna obrazovna ustanova

visoko stručno obrazovanje

"Sjeverni (Arktik) federalno sveučilište nazvan po M.V. Lomonosov"

Odjel za matematiku

NASTAVNI RAD

U disciplini Matematika

Pjatiševa Anastazija Andrejevna

Nadzornik

Umjetnost. učitelj

Borodkina T. A.

Arkhangelsk 2014

ZADATAK ZA NASTAVNI RAD

Primjene određenog integrala

POČETNI PODACI:

21. y=x 3 , y= ; 22.

UVOD

U ovom kolegiju dobio sam sljedeće zadatke: izračunati površine likova ograničenih grafovima funkcija, ograničena linijama, zadane jednadžbe, također ograničene linijama, zadane jednadžbe u polarnim koordinatama, izračunati duljine lukova krivulja, dane jednadžbama u pravokutnom koordinatnom sustavu, određeno parametarskim jednadžbama, određeno jednadžbama u polarnim koordinatama, te izračunati i volumene tijela ograničenih površinama, ograničenih grafovima funkcija, a nastalih rotacijom likova ograničenih grafovima funkcija oko polare os. Odabrao sam kolegij na temu „Određeni integral. U tom sam smislu odlučio saznati kako se lako i brzo mogu koristiti integralni izračuni i koliko se točno mogu izračunati zadaci koji su mi dodijeljeni.

INTEGRAL je jedan od najvažnijih pojmova matematike, koji je nastao u vezi s potrebom, s jedne strane, da se funkcije pronađu po njihovim izvodnicama (na primjer, da se na temelju brzine nađe funkcija koja izražava put koji prijeđe točka u gibanju). ove točke), a s druge strane, za mjerenje površina, volumena, duljina luka, rada sila u određenom vremenskom razdoblju itd.

Otkrivanje teme predmetni rad Izvršio sam sljedeći plan: definicija određenog integrala i njegovih svojstava; duljina luka krivulje; područje zakrivljenog trapeza; površina rotacije.

Za bilo koju funkciju f(x), kontinuiranu na intervalu, postoji antiderivacija na tom intervalu, što znači da postoji neodređeni integral.

Ako je funkcija F(x) bilo koja antiderivacija od kontinuirana funkcija f(x), onda je ovaj izraz poznat kao Newton-Leibnizova formula:

Osnovna svojstva određenog integrala:

Ako su donja i gornja granica integracije jednake (a=b), tada je integral jednak nuli:

Ako je f(x)=1, tada:

Prilikom preuređivanja granica integracije, određeni integral mijenja predznak u suprotan:

Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka određenog integrala:

Ako su funkcije integrabilne na, onda su njihov zbroj i integral zbroja integrabilni na jednak zbroju integrali:

Postoje i osnovne metode integracije, kao što je promjena varijable:

Diferencijalna korekcija:

Formula za integraciju po dijelovima omogućuje smanjenje izračuna integrala na izračun integrala, što se može pokazati jednostavnijim:

Geometrijsko značenje određenog integrala je da je on, za kontinuiranu i nenegativnu funkciju, u geometrijskom smislu površina odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Osim toga, koristeći određeni integral, možete pronaći područje regije ograničeno krivuljama, ravnim linijama i, gdje

Ako je krivuljasti trapez ograničen krivuljom definiranom parametrijskim pravcima x = a i x = b i osi Ox, tada se njegova površina nalazi po formuli koja se određuje iz jednakosti:

. (12)

Glavno područje, čije se područje nalazi pomoću određenog integrala, je krivuljasti sektor. Ovo je područje omeđeno dvjema zrakama i krivuljom, gdje su r i polarne koordinate:

Ako je krivulja graf funkcije gdje je, a funkcija je njena derivacija kontinuirana na ovom segmentu, tada se površina figure koja nastaje rotiranjem krivulje oko osi Ox može izračunati pomoću formule:

. (14)

Ako su funkcija i njezina derivacija neprekidne na segmentu, tada krivulja ima duljinu jednaku:

Ako je jednadžba krivulje dana u parametarskom obliku

gdje su x(t) i y(t) neprekidne funkcije s neprekidnim derivacijama i tada se duljina krivulje nalazi po formuli:

Ako je krivulja dana jednadžbom u polarnim koordinatama, gdje su i kontinuirani na segmentu, tada se duljina luka može izračunati na sljedeći način:

Ako zakrivljeni trapez, omeđen neprekinutim isječkom i ravnim linijama x = a i x = b, rotira oko osi Ox, tada će obujam tijela nastalog rotacijom tog trapeza oko osi Ox biti jednak:

Ako je zakrivljeni trapez ograničen grafom kontinuirane funkcije i pravcima x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Ako je lik ograničen krivuljama i (je "viši" od i ravnim linijama x = a, x = b), tada će volumen tijela rotacije oko osi Ox biti jednak:

i oko osi Oy (:

Ako se krivuljasti sektor okreće oko polarne osi, tada se površina dobivenog tijela može pronaći pomoću formule:

2. RJEŠAVANJE PROBLEMA

Zadatak 14: Izračunati površine likova omeđenih grafovima funkcija:

1) Rješenje:

Slika 1 - Grafikon funkcije

X se mijenja od 0 do

x 1 = -1 i x 2 = 2 su granice integracije (to se može vidjeti na slici 1).

3) Izračunajmo površinu figure pomoću formule (10).

Odgovor: S = .

Zadatak 15: Izračunajte površine likova omeđenih linijama zadanih jednadžbama:

1) Rješenje:

Slika 2 - Grafikon funkcije

Razmotrimo funkciju na intervalu .

Slika 3 - Tablica varijabli za funkciju

Budući da će ovo razdoblje odgovarati 1 luku. Ovaj luk se sastoji od središnjeg dijela (S 1) i bočnih dijelova. Središnji dio sastoji se od željenog dijela i pravokutnika (S r):. Izračunajmo površinu jednog središnjeg dijela luka.

2) Nađimo granice integracije.

i y = 6, dakle

Za interval – granice integracije.

3) Pronađite površinu figure pomoću formule (12).

krivulja integralni trapez

Zadatak 16: Izračunajte površine likova omeđenih linijama zadanih jednadžbama u polarnim koordinatama:

1) Rješenje:

Slika 4 - Grafikon funkcija,

Slika 5 - Tablica varijabilnih funkcija,

2) Nađimo granice integracije.

stoga -

3) Pronađite površinu figure pomoću formule (13).

Odgovor: S =.

Zadatak 17: Izračunajte duljine lukova krivulja zadanih jednadžbama u pravokutnom koordinatnom sustavu:

1) Rješenje:

Slika 6 - Grafikon funkcije

Slika 7 - Tablica varijabli funkcije

2) Nađimo granice integracije.

mijenja se iz ln u ln, to je očito iz uvjeta.

3) Odredite duljinu luka pomoću formule (15).

Odgovor: l =

Zadatak 18: Izračunajte duljine lukova krivulja zadanih parametarskim jednadžbama: 1)

1) Rješenje:

Slika 8 - Grafikon funkcije

Slika 11 - Tablica varijabli funkcije

2) Nađimo granice integracije.

c varira od, to je očito iz stanja.

Nađimo duljinu luka pomoću formule (17).

20. zadatak: Izračunajte volumene tijela omeđenih površinama:

1) Rješenje:

Slika 12 - Grafikon funkcije:

2) Nađimo granice integracije.

Z varira od 0 do 3.

3) Pronađite obujam figure pomoću formule (18)

Zadatak 21: Izračunati obujme tijela ograničenih grafovima funkcija, os rotacije Ox: 1)

1) Rješenje:

Slika 13 - Grafikon funkcije

Slika 15 - Tablica grafa funkcije

2) Nađimo granice integracije.

Točke (0;0) i (1;1) su zajedničke za oba grafa, dakle to su granice integracije, što je vidljivo na slici.

3) Odredite obujam figure pomoću formule (20).

Zadatak 22: Izračunajte površinu tijela koja nastaju rotacijom likova ograničenih grafovima funkcija oko polarne osi:

1) Rješenje:

Slika 16 - Grafikon funkcije

Slika 17 - Tablica varijabli za graf funkcije

2) Nađimo granice integracije.

c varira od

3) Pronađite površinu figure pomoću formule (22).

Odgovor: 3,68

ZAKLJUČAK

U procesu izrade kolegija na temu “Određeni integral” naučio sam izračunavati površine različita tijela, pronaći duljine različitih lukova krivulja, te također izračunati volumene. Ova prezentacija o radu s integralima, pomoći će mi u budućnosti profesionalne aktivnosti kako brzo i učinkovito izvesti razne akcije. Uostalom, sam integral je jedan od najvažnijih pojmova matematike, koji je nastao u vezi s potrebom, s jedne strane, da se funkcije pronađu po njihovim izvodnicama (primjerice, da se pronađe funkcija koja izražava put koji je prešao pokretni točka brzinom te točke), a s druge strane, za mjerenje površina, volumena, duljina luka, rada sila u određenom vremenskom razdoblju itd.

POPIS KORIŠTENIH IZVORA

1. Napisao, D.T. Bilješke s predavanja iz više matematike: 1. dio - 9. izd. - M.: Iris-press, 2008. - 288 str.

2. Bugrov, Ya.S., Nikolsky, S.M. Viša matematika. Diferencijalni i integralni račun: T.2 - M.: Bustard, 2004. - 512 str.

3. Zorich V. A. Matematička analiza. Dio I. -- Ed. 4. - M.: MTsNMO, 2002. -664 str.

4. Kuznjecov D.A. „Zbirka zadataka za viša matematika"Moskva, 1983

5. Nikolsky S. N. “Elementi matematička analiza" - M.: Nauka, 1981.

Slični dokumenti

Izračunavanje površina ravnih figura. Određivanje određenog integrala funkcije. Određivanje površine ispod krivulje, površine figure zatvorene između krivulja. Izračunavanje volumena tijela rotacije. Limit integralnog zbroja funkcije. Određivanje obujma cilindra.

prezentacija, dodano 18.09.2013


Značajke izračunavanja volumena tijela omeđenih plohama u geometrijskom smislu dvostruki integral. Određivanje površina ravnih likova omeđenih crtama metodom integracije u kolegiju Računa.

prezentacija, dodano 17.09.2013


Derivacija određenog integrala s obzirom na varijablu gornja granica. Izračun određenog integrala kao limesa integralnog zbroja pomoću Newton–Leibnizove formule, promjena varijable i integracija po dijelovima. Duljina luka u polarnom koordinatnom sustavu.

test, dodan 22.08.2009


Momenti i središta mase ravninskih krivulja. Guldenov teorem. Površina površine koja nastaje rotacijom luka ravninske krivulje oko osi koja leži u ravnini luka i ne presijeca je jednaka je umnošku duljine luka i duljine kruga.

predavanje, dodano 04.09.2003


Metodologija i glavne faze pronalaženja parametara: površina krivocrtnog trapeza i sektora, duljina luka krivulje, volumen tijela, površina tijela rotacije, rad promjenjive sile. Postupak i mehanizam izračuna integrala pomoću MathCAD paketa.

test, dodan 21.11.2010


Neophodno i dovoljan uvjet postojanje određenog integrala. Jednakost određenog integrala od algebarski zbroj(razlike) dviju funkcija. Teorem o srednjoj vrijednosti – korolar i dokaz. Geometrijsko značenje određenog integrala.

prezentacija, dodano 18.09.2013


Zadatak numerička integracija funkcije. Izračunavanje približne vrijednosti određenog integrala. Određivanje određenog integrala metodama pravokutnika, srednjeg pravokutnika i trapeza. Pogreška formula i usporedba metoda u pogledu točnosti.

priručnik za obuku, dodan 01.07.2009


Metode izračunavanja integrala. Formule i provjera neodređeni integral. Područje zakrivljenog trapeza. Neizvjesno, određeno i složeni integral. Osnovne primjene integrala. Geometrijsko značenje određenih i neodređenih integrala.

prezentacija, dodano 15.01.2014


Izračun površine figure ograničen zadane linije, koristeći dvostruki integral. Izračunavanje dvostrukog integrala odlaskom na polarne koordinate. Metoda određivanja krivocrtni integral druge vrste duž zadane linije i toka vektorskog polja.

test, dodan 14.12.2012


Pojam određenog integrala, izračunavanje površine, volumena tijela i duljine luka, statičkog momenta i težišta krivulje. Izračunavanje površine u slučaju pravokutne zakrivljene površine. Primjena krivocrtnih, površinskih i trostrukih integrala.