Primjena grafova u rješavanju jednadžbi. Proučavanje osnovnih elementarnih funkcija u školskom kolegiju matematike

Znate da svakom uređenom paru brojeva postoji odgovarajući određena točka na koordinatna ravnina. Budući da je svako rješenje jednadžbe s dvije varijable x i y uređeni par brojeva, sva njena rješenja mogu se prikazati točkama na koordinatnoj ravnini. U tim točkama apscisa je vrijednost varijable x, a ordinata odgovarajuća vrijednost varijable y. Stoga dobivamo graf jednadžbe s dvije varijable.

Zapamtiti!

Graf jednadžbe s dvije varijable je slika na koordinatnoj ravnini svih točaka čije koordinate zadovoljavaju dana jednadžba.

Pogledajte slike 64 i 65. Vidite graf jednadžbe 0,5 x - y \u003d 2, gdje je x paran jednoznamenkasti broj (slika 64), i graf jednadžbe x 2 + y 2 \u003d 4 (slika 65). Prvi graf sadrži samo četiri točke, jer x i y mogu imati samo četiri vrijednosti. Drugi graf je pravac na koordinatnoj ravnini. Sadrži mnogo točaka, budući da varijabla x može poprimiti bilo koju vrijednost od -2 do 2, a takvih je brojeva mnogo. Postoji i mnogo odgovarajućih vrijednosti. Mijenjaju se iz 2 u 2.

Slika 66 prikazuje graf jednadžbe x + y \u003d 4. Za razliku od grafa jednadžbe x 2 + y 2 \u003d 4 (vidi sliku 65), svaka apscisa točaka ovog grafikona odgovara jednoj ordinati. A to znači da slika 66 prikazuje graf funkcije. Uvjerite se sami da je graf jednadžbe na slici 64 također graf funkcije.

Bilješka

nema svaka jednadžba graf funkcije, ali svaki graf funkcije je graf neke jednadžbe.

Jednadžba x + y = 4 je linearna jednadžba s dvije varijable. Rješavajući ga za y, dobivamo: y \u003d -x + 4. Rezultirajuća jednakost može se shvatiti kao formula koja definira linearnu funkciju y \u003d -x + 4. Graf takve funkcije je ravna linija. Dakle, grafikon Linearna jednadžba x + y \u003d 4, koji je prikazan na slici 66, je ravna linija.

Može li se tvrditi da je graf bilo koje linearne jednadžbe u dvije varijable ravna linija? Ne. Na primjer, linearna jednadžba 0 ∙ x + 0 ∙ y \u003d 0 zadovoljava bilo koji par brojeva, pa stoga graf ove jednadžbe sadrži sve točke koordinatne ravnine.

Otkrijmo što je graf linearne jednadžbe s dvije varijable ax + by + c = 0 ovisno o vrijednostima koeficijenata a, b i c. Takvi slučajevi su mogući.

Neka je a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Tada se jednadžba ax + by + c = 0 može prikazati kao:

Dobili smo jednakost koja definira linearnu funkciju y(x). Njegov graf, a time i graf ove jednadžbe, je pravac koji ne prolazi kroz ishodište (slika 67).

2. Neka je a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Tada jednadžba ax + by + c = 0 poprima oblik ax + by + 0 = 0, ili y = x.

Dobili smo jednakost, koja postavlja izravnu proporcionalnost na y(x). Njegov graf, a time i graf ove jednadžbe, je pravac koji prolazi kroz ishodište (slika 68).

3. Neka je a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Tada jednadžba ax + by + c = 0 ima oblik ax + 0 ∙ y + c = 0, odnosno x = -.

Dobivena jednakost ne postavlja funkciju y(). Ovu jednakost zadovoljavaju takvi parovi brojeva (x; y), u kojima je x \u003d, a y bilo koji broj. Na koordinatnoj ravnini te točke leže na pravoj liniji paralelnoj s osi OY. Dakle, graf ove jednadžbe je ravna linija paralelna s osi y (slika 69).

4. Neka je a ≠ 0, b = 0, c = 0. Tada jednadžba ax + by + c = 0 ima oblik ax + 0 ∙ y + 0 = 0, odnosno x = 0.

Ovu jednakost zadovoljavaju takvi parovi brojeva (x; y), u kojima je x \u003d 0, a y bilo koji broj. Na koordinatnoj ravnini te točke leže na osi OY. Dakle, graf ove jednadžbe s ravnom linijom koja se poklapa s osi y.

5. Neka je a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Tada jednadžba ax + by + c = 0 ima oblik 0 ∙ x + by + c = 0, odnosno y = -. Ova jednakost definira funkciju y(x), koja dobiva iste vrijednosti za bilo koju vrijednost x, odnosno konstantna je. Njegov graf, a time i graf ove jednadžbe, je pravac paralelan s osi x (slika 70).

6. Neka je a \u003d 0, b ≠ 0, c \u003d 0. Tada jednadžba ax + by + c \u003d 0 postaje 0 ∙ x + by + 0 = 0, ili b \u003d 0. Dobili smo stalna funkcija y(x), u kojem svaka točka grafa leži na x-osi. Dakle, graf ove jednadžbe je ravna linija koja koincidira s x-osom.

7. Neka je a = 0, b = 0, c ≠ 0. Tada jednadžba ax + by + c = 0 ima oblik 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, odnosno 0 ∙ x + 0 ∙ c = c . I takva linearna jednadžba nema rješenja, pa njezin graf ne sadrži niti jednu točku koordinatne ravnine.

8. Neka je a = 0, b = 0, c = 0. Tada jednadžba ax + by + c = 0 ima oblik 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0, odnosno 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Takva linearna jednadžba ima mnogo rješenja, tako da je grafički prikazana cijela koordinatna ravnina.

Možemo rezimirati dobivene rezultate.

Graf linearne jednadžbe s dvije varijable ax + bu + c = 0:

Direktan je ako je a ≠ 0 ili b ≠ 0;

Je li cijela ravnina ako je a = 0, b = 0 i c = 0;

Ne sadrži nijednu točku koordinatne ravnine ako je a = 0, b = 0 i c ≠ 0.

Zadatak. Nacrtajte jednadžbu 2x - y - 3 = 0

Rješenja. Jednadžba 2x - y - 3 = 0 je linearna. Stoga je njegov graf linija y \u003d 2x - 3. Da biste ga konstruirali, dovoljno je navesti dvije točke koje pripadaju ovoj liniji. Napravimo tablicu y vrijednosti za dvije proizvoljne vrijednosti x, na primjer, za x \u003d 0 i x \u003d 2 (tablica 27).

Tablica 27

Na koordinatnoj ravnini točke označimo koordinatama (0; -3) i (2; 1) i kroz njih povučemo ravnu crtu (slika 70). Ova linija je željeni graf jednadžbe 2x - y - 3 = 0.

Je li moguće identificirati graf linearne jednadžbe s dvije varijable i graf jednadžbe prvog stupnja s dvije varijable? Ne, budući da linearne jednadžbe postoje, one nisu jednadžbe prvog stupnja. Na primjer, to su jednadžbe 0 ∙ x + 0 ∙ y + c \u003d 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 \u003d 0.

Bilješka:

Graf linearne jednadžbe s dvije varijable može biti ravna linija, cijela ravnina ili ne sadržavati nijednu točku na koordinatnoj ravnini;

Graf jednadžbe prvog stupnja s dvije varijable uvijek je ravna linija.

Saznaj više

1. Neka je a ≠ 0. Tada zajednička odluka jednadžbe se također mogu predstaviti u ovom obliku: X \u003d - y -. Dobili smo linearnu funkciju x(y). Njegov graf je ravna linija. Za izgradnju takvog grafikona potrebno je složiti koordinatne osi na drugačiji način: prvi koordinatna os(neovisna varijabla) uzmite u obzir y-os, a druga (ovisna varijabla)

Osovina OH. Tada je y-os prikladno postavljen vodoravno, a x-os

Okomito (slika 72). Graf jednadžbe će i u ovom slučaju biti različito postavljen na koordinatnoj ravnini, ovisno o oznakama koeficijenata b i c. Istražite sami.

2. Nikolaj Nikolajevič Bogolyubov (1909-1992) - izvanredan ruski matematičar i mehaničar, teorijski fizičar, utemeljitelj znanstvene škole doktor nelinearne mehanike i teorijske fizike, akademik Akademije znanosti Ukrajinske SSR (1948.) i Akademije znanosti SSSR-a (od 1953.). Rođen u Nižnji Novgorod rusko carstvo. Godine 1921. obitelj se preselila u Kijev. Nakon što je završio sedmogodišnju školu, Bogolyubov je samostalno učio fiziku i matematiku, a od svoje 14. godine već je sudjelovao u seminaru odjela. matematička fizika Kijevsko sveučilište pod vodstvom akademika D. A. Gravea. Godine 1924., u dobi od 15 godina, Bogolyubov je napisao svoj prvi znanstveni rad, a god. slijedeće godine primljen je na postdiplomski studij Akademije znanosti Rusije akademicima. M. Krylova, na kojem je diplomirao 1929. godine, stekavši stupanj doktora matematičkih znanosti u dobi od 20 godina.

Godine 1929. str. MM. Bogoljubov postaje istraživač Ukrajinske akademije znanosti, a 1934. počinje predavati na Kijevskom sveučilištu (od 1936. bio je profesor). Od kasnih 40-ih godina XX. stoljeća. paralelno radio u Rusiji. Bio je ravnatelj Zajedničkog instituta za nuklearna istraživanja, a kasnije - ravnatelj Matematičkog instituta nazvanog po. A. Steklova u Moskvi, predavao na Mosk državno sveučilište nazvan po Mihailu Lomonosovu. Godine 1966. postao je prvi direktor Instituta za teorijsku fiziku Akademije znanosti Ukrajinske SSR, koji je osnovao u Kijevu, istodobno (1963.-1988.) bio je akademik - tajnik Odjela za matematiku Akademije znanosti SSSR-a.

MM. Bogolyubov - dvaput heroj Socijalistički rad(1969,1979), nagrađ Lenjinova nagrada(1958), Državna nagrada SSSR-a (1947,1953,1984), Zlatna medalja. Akademija znanosti M. V. Lomonosova SSSR-a (1985).

21. rujna 2009 na pročelju Crvene zgrade u Kijevu nacionalno sveučilište nazvan po Tarasu Ševčenku otvoren je Spomen ploča briljantnom akademiku Nikolaju Bogoljubovu u čast stote obljetnice njegova rođenja.

Godine 1992 Nacionalna akademija znanosti Ukrajine, utemeljena je nagrada N. M. Bogolyubov Nacionalne akademije znanosti Ukrajine, koju dodjeljuje Odjel za matematiku Nacionalne akademije znanosti Ukrajine za iznimne znanstveni rad iz matematike i teorijske fizike. U čast znanstvenika nazvan je mali planet "22616 Bogolyubov".

ZAPAMTITE GLAVNE STVARI

1. Što je graf linearne jednadžbe s dvije varijable?

2. U svakom slučaju, graf jednadžbe s dvije varijable je ravna linija; avion?

3. U kojem slučaju graf linearne jednadžbe s dvije varijable prolazi ishodištem?

RIJEŠITE IZAZOVE

1078 . Koja od slika 73-74 prikazuje graf linearne jednadžbe s dvije varijable? Obrazložite odgovor.

1079 . Pri kojim vrijednostima koeficijenata a, b i c je pravac ax + bu + c =0.

1) prolazi kroz ishodište;

2) paralelno s x-osi;

3) paralelno s osi y;

4) poklapa se s osi apscisa;

5) poklapa se s osi y?

1080 . Bez izvođenja konstrukcije odredite pripada li točka grafu linearne jednadžbe s dvije varijable 6x - 2y + 1 = 0:

1) A (-1; 2,5); 2)B(0;3,5); 3) C(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).

1081 . Bez izvođenja konstrukcije odredite pripada li točka grafu linearne jednadžbe s dvije varijable 3x + 3y - 5 = 0:

1) A (-1; ); 2) B(0; 1).

1082

1) 2x + y - 4 = 0 ako je x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0 ako je x = 2;

2) 4x - 2y + 5 = 0 ako je x = 0; 4) -5x - y + 6 \u003d 0 ako je x \u003d 2.

1083 . Za dana je linearna jednadžba s dvije varijable, pronađite vrijednost y koja odgovara po dana vrijednost X:

1) 3x - y + 2 = 0 ako je x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0 ako je x = 2.

1084

1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;

2) 6x - 2y + 12 = 0; 5) -x - 2y + 4 = 0; 8) -2y + 4 = 0;

3) 5x - 10y = 0; 6)x - y \u003d 0; 9) x - y \u003d 0.

1085 . Nacrtajte linearnu jednadžbu s dvije varijable:

1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;

2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;

3) -4x - 8y \u003d 0; 6) y - 3 = 0.

1086 . Odredite koordinate sjecišta grafa linearne jednadžbe s dvije varijable 2x - 3y - 18 = 0 s osi:

1) sjekire; 2) sjekire.

1087 . Odredite koordinate točke presjeka grafa linearne jednadžbe s dvije varijable 5x + 4y - 20 = 0 s osi:

1) sjekire; 2) sjekire.

1088 . Na ravnoj liniji, koja je graf jednadžbe 0,5 x + 2y - 4 = 0, označena je točka. Odredite ordinatu te točke ako je njezina apscisa:

5) 4 (x - y) \u003d 4 - 4y;

6) 7x - 2y \u003d 2 (1 + 3,5 x).

1094 . Graf linearne jednadžbe s dvije varijable prolazi točkom A (3; -2). Pronađite nepoznati koeficijent jednadžbe:

1) sjekira + 3y - 3 = 0;

2) 2x - za + 8 = 0;

3) -x + 3y - c = 0.

1095 . Odredite vrstu četverokuta čiji su vrhovi sjecišta grafova jednadžbi:

x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0

1096 . Nacrtajte jednadžbu:

1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ a + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

PRIMIJENITE U PRAKSI

1097 . Napravite linearnu jednadžbu s dvije varijable prema sljedećim podacima: 1) 3 kg slatkiša i 2 kg kolačića koštaju 120 UAH; 2) 2 olovke su skuplje od 5 olovaka za 20 UAH. Nacrtajte dobivenu jednadžbu.

1098 . Nacrtajte jednadžbu za problem: 1) broja djevojaka i mladića u vašem razredu; 2) kupnja bilježnica s crtama i kockicama.

ZADACI ZA PONAVLJANJE

1099. Turist je za sat vremena prešao 12 km. Koliko je sati potrebno turistu da istom brzinom prijeđe put od 20 km?

1100. Kolika bi trebala biti brzina vlaka po novom voznom redu da bi mogao prijeći udaljenost između dva kolodvora za 2,5 sata, ako ga je po starom voznom redu, krećući se brzinom od 100 km/h, prešao za 3 sata?

stranica 2

Konstruirajte graf jednadžbe x + y \u003d 3 i pomoću grafa pronađite nekoliko rješenja ove jednadžbe.

Nadalje, studentima se skreće pozornost da je graf linearne jednadžbe dvije varijable s dvije varijable lakše izgraditi ako se jednadžba pretvori u oblik y=kx+b, za što je pojam "linearna funkcija" koristi se. Kasnije im je rečeno da postoje i druge funkcije, kao što je y=x2 (7. poglavlje posvećeno je proučavanju).

Udžbenik uvodi teoreme bez dokaza, na primjer:

Teorem 2. Graf linearna funkcija y=kx+b je ravna linija.

Teorem 4. Pravac koji služi kao graf linearne funkcije y=kx+b paralelan je s pravcem koji služi kao graf izravne proporcionalnosti y=kx.

S kvadratnom funkcijom učenici u udžbenicima Sh.A. Alimova prvi put susreo u 8. razredu.

U §35 učenici se upoznaju s definicijom kvadratne funkcije. Navedeni su primjeri iz života gdje se događa kvadratna funkcija. Na primjer, ovisnost površine kvadrata o njegovoj strani je primjer funkcije y=x2.

U §36 predlaže se razmatranje funkcije y=x2, tj. kvadratna funkcija y=ax2+bx+c at, a=1, b=0, c=0.

Za izgradnju funkcije sastavlja se tablica, a zatim se točke označavaju na koordinatnoj ravnini i povezuju. Graf funkcije y=x2 naziva se parabola.

Zatim se saznaju neka svojstva funkcije y=x2.

U §37 od učenika se traži da nacrtaju funkciju y=ax2. Uspoređeni su grafovi funkcija y=ax2 i y=x2. Kažu da se graf funkcije y=ax2 dobije razvlačenjem grafa funkcije y=x2 od osi Ox duž osi Oy za puta.

Svojstva funkcije y=ax2, gdje je a¹0

1) ako je a>0, tada funkcija y=ax2 uzima pozitivne vrijednosti na x¹0;

ako a<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х¹0;

2) Parabola y=ax2 je simetrična u odnosu na y-osu;

3) Ako je a>0, tada funkcija y=ax2 raste kao x³0 i opada kao x£0;

Ako a<0, то функция y=ax2 убывает при х³0 и возрастает при х£0.

U §38 autor predlaže konstruiranje grafa kvadratne funkcije. Da biste to učinili, predlaže se korištenje metode punog kvadrata (dobili smo y=(x+m)2+n), a zatim usporedite dobiveni grafikon s grafikonom funkcije y=x2. Zaključuje se da dobivamo parabolu pomaknutu za m jedinica duž osi Ox i za n jedinica duž osi Oy.

§39 daje algoritam za iscrtavanje bilo koje kvadratne funkcije y=ax2+bx+c:

Konstruirajte vrh parabole (x0, y0) računajući x0, y0 pomoću formula .

Nacrtajte liniju kroz vrh parabole paralelnu s y-osi, - osi simetrije parabole.

Pronađite nulte točke funkcije, ako ih ima, i nacrtajte odgovarajuće točke parabole na x-osi.

Konstruirajte dvije točke parabole koje su simetrične u odnosu na njezinu os. Da biste to učinili, uzmite dvije točke na osi koje su simetrične u odnosu na točku x0 (x0 ¹ 0) i izračunajte odgovarajuće vrijednosti funkcije (ove vrijednosti su iste). Na primjer, možete graditi točke parabole s apscisama x=0 i x=2x0 (ordinate tih točaka su c)

Nacrtaj parabolu kroz konstruirane točke.

Prilikom proučavanja teme formira se sposobnost određivanja intervala rastućih funkcija, intervala konstantnosti predznaka, nula funkcija. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije i rješavanje problema pomoću njih nije obvezno.

U zaključku se učenicima daje mogućnost još jednom ponoviti rješavanje sustava dviju jednadžbi od kojih je jedna prvog, a druga drugog stupnja.

U udžbenicima Yu.N. Makarycheva i dr. s funkcijom y=x2 učenici se prvi put susreću u 7. razredu. Sve informacije razmatraju se u ovom odlomku slično udžbeniku Sh.A. Alimov za 8. razred.

Linearna jednadžba s dvije varijable je svaka jednadžba koja ima sljedeći oblik: a*x + b*y =c. Ovdje su x i y dvije varijable, a,b,c su neki brojevi.

Rješenje linearne jednadžbe a*x + b*y = c, je bilo koji par brojeva (x, y) koji zadovoljava ovu jednadžbu, odnosno pretvara jednadžbu s varijablama x i y u ispravnu numeričku jednakost. Linearna jednadžba ima beskonačan broj rješenja.

Ako se svaki par brojeva koji su rješenje linearne jednadžbe s dvije varijable prikaže na koordinatnoj ravnini kao točke, tada sve te točke čine graf linearne jednadžbe s dvije varijable. Naše vrijednosti x i y poslužit će kao koordinate za točke. U ovom slučaju vrijednost x bit će apscisa, a vrijednost y ordinata.

Graf linearne jednadžbe s dvije varijable

Graf linearne jednadžbe s dvije varijable je skup svih mogućih točaka koordinatne ravnine čije će koordinate biti rješenja te linearne jednadžbe. Lako je pogoditi da će grafikon biti ravna linija. Stoga se takve jednadžbe nazivaju linearnim.

Algoritam konstrukcije

Algoritam za crtanje linearne jednadžbe s dvije varijable.

1. Nacrtajte koordinatne osi, označite ih i označite jedinično mjerilo.

2. U linearnoj jednadžbi stavite x = 0 i riješite dobivenu jednadžbu za y. Označite dobivenu točku na grafikonu.

3. U linearnoj jednadžbi uzmite broj 0 kao y i riješite dobivenu jednadžbu za x. Dobivenu točku označite na grafu

4. Ako je potrebno, uzmite proizvoljnu vrijednost x i riješite dobivenu jednadžbu za y. Označite dobivenu točku na grafikonu.

5. Spojite primljene točke, nastavite graf za njih. Potpišite rezultirajući redak.

Primjer: Nacrtajte jednadžbu 3*x - 2*y =6;

Stavimo h=0, tada - 2*y=6; y=-3;

Stavimo y=0, tada je 3*x = 6; x=2;

Dobivene točke označimo na grafu, kroz njih povučemo ravnu liniju i potpišemo je. Pogledajte sliku ispod, grafikon bi trebao izgledati ovako.

CILJ: 1) Upoznati učenike s pojmom „jednadžbe s dvije varijable“;

2) Naučiti odrediti stupanj jednadžbe s dvije varijable;

3) Naučiti pomoću zadane funkcije odrediti koji je lik graf

dana jednadžba;

4) Razmotrite transformacije grafova s ​​dvije varijable;

zadana jednadžba s dvije varijable pomoću programa Agrapher;

6) Razvijati logičko mišljenje učenika.

I. Novo gradivo - objašnjavajuće predavanje s elementima razgovora.

(predavanje se izvodi pomoću autorovih slajdova; crtanje je rađeno u programu Agrapher)

U: Kada proučavate linije, postoje dva problema:

Na temelju geometrijskih svojstava zadanog pravca pronaći njegovu jednadžbu;

Inverzni zadatak: prema zadanoj jednadžbi pravca istražiti njegova geometrijska svojstva.

Prvi problem u tečaju geometrije razmatrali smo u odnosu na kružnicu i ravnu liniju.

Danas ćemo razmotriti inverzni problem.

Razmotrimo jednadžbe oblika:

a) x(x-y)=4; b) 2y-x 2 =-2 ; u) x(x+y 2 ) = x +1.

su primjeri jednadžbi s dvije varijable.

Jednadžbe s dvije varijable x i na ima oblik f(x,y)=(x,y), gdje f i – izrazi s varijablama x i g.

Ako je u jednadžbi x(x-y)=4 zamjena za varijablu x njegova vrijednost je -1, a umjesto na- vrijednost 3, tada će ispasti ispravna jednakost: 1*(-1-3)=4,

Par (-1; 3) vrijednosti varijable x i na je rješenje jednadžbe x(x-y)=4.

To je rješenje jednadžbe s dvije varijable se zove skup uređenih parova varijabilnih vrijednosti koje tvore ovu jednadžbu u pravu jednakost.

Jednadžba s dvije varijable obično ima beskonačan broj rješenja. Iznimkečine, na primjer, jednadžbe kao što su x 2 +(g 2 - 4) 2 = 0 ili

2x 2 + na 2 = 0 .

Prvi od njih ima dva rješenja (0; -2) i (0; 2), drugi ima jedno rješenje (0; 0).

Jednadžba x 4 + y 4 + 3 = 0 uopće nema rješenja. Zanimljivo je kada su vrijednosti varijabli u jednadžbi cijeli brojevi. Rješavajući takve jednadžbe s dvije varijable, pronađite parove cijelih brojeva. U takvim slučajevima se kaže da su jednadžbe riješene u cijelim brojevima.

Dvije jednadžbe koje imaju isti skup rješenja nazivaju se ekvivalentne jednadžbe. Na primjer, jednadžba x (x + y 2) \u003d x + 1 je jednadžba trećeg stupnja, budući da se može pretvoriti u jednadžbu xy 2 + x 2 - x-1 \u003d 0, desna strana koji je polinom standardnog oblika trećeg stupnja.

Stupanj jednadžbe s dvije varijable, predstavljen kao F(x, y) = 0, gdje je F(x, y) polinom standardnog oblika, stupanj je polinoma F(x, y).

Ako sva rješenja jednadžbe s dvije varijable prikažemo točkama u koordinatnoj ravnini, tada dobivamo graf jednadžbe s dvije varijable.

raspored Jednadžba s dvije varijable je skup točaka čije koordinate služe kao rješenja te jednadžbe.

Dakle, graf jednadžbe ax + by + c = 0 je pravac ako je barem jedan od koeficijenata a ili b nije jednak nuli (slika 1). Ako a=b=c=0, tada je graf ove jednadžbe koordinatna ravnina (slika 2), ako a=b=0, a c0, tada je graf prazan skup (slika 3).

Grafikon jednadžbe y = sjekira 2 + od + c je parabola (slika 4), graf jednadžbe xy=k (k0) – hiperbola (sl. 5). graf jednadžbe x 2 + g 2 = r, gdje su x i y varijable, r je pozitivan broj, is krug sa središtem u ishodištu i radijusom jednakim r(slika 6). Graf jednadžbe je elipsa, gdje a i b- velika i mala poluos elipse (slika 7).

Iscrtavanje nekih jednadžbi olakšava se korištenjem njihovih transformacija. Smatrati transformacije grafova jednadžbi s dvije varijable te formulirati pravila po kojima se izvode najjednostavnije transformacije grafova jednadžbi

1) Graf jednadžbe F (-x, y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 korištenjem simetrije oko osi g.

2) Graf jednadžbe F(x, -y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F(x, y) = 0 korištenjem simetrije oko osi x.

3) Graf jednadžbe F(-x, -y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F(x, y) = 0 korištenjem centralne simetrije oko ishodišta.

4) Graf jednadžbe F (x-a, y) = 0 dobijemo iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 pomicanjem paralelno s osi x za |a| jedinice (desno ako a> 0, a lijevo if a < 0).

5) Prikaz jednadžbe F(x, y-b) = 0 dobije se iz prikaza jednadžbe F(x, y) = 0 pomicanjem |b| jedinice paralelne s osi na(gore ako b> 0, i dolje if b < 0).

6) Graf jednadžbe F (ax, y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 skupljanjem na y-os i a puta ako a> 1, i istezanjem od y-osi u vremenima ako je 0< a < 1.

7) Graf jednadžbe F(x, by) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F(x, y) = 0 korištenjem kompresije na x-os u b puta ako b> 1, i istezanjem od x-osi u puta ako je 0 < b < 1.

Ako se graf neke jednadžbe zakrene za neki kut blizu ishodišta, tada će novi graf biti graf druge jednadžbe. Važni su pojedini slučajevi rotacije za kutove 90 0 i 45 0.

8) Graf jednadžbe F (x, y) \u003d 0 kao rezultat okretanja oko ishodišta za kut od 90 0 u smjeru kazaljke na satu prelazi u graf jednadžbe F (-y, x) \u003d 0, i suprotno od kazaljke na satu - u graf jednadžbe F (y , -x) = 0.

9) Graf jednadžbe F (x, y) = 0 kao rezultat okretanja oko ishodišta za kut od 45 0 u smjeru kazaljke na satu prelazi u graf jednadžbe F = 0, a suprotno od kazaljke na satu - u graf jednadžbe F = 0.

Iz pravila koja smo razmotrili za transformaciju grafova jednadžbi s dvije varijable lako se dobivaju pravila za transformaciju grafova funkcija.

Primjer 1. Pokažimo da je graf jednadžbe x 2 + g 2 + 2x - 8y + 8 = 0 je krug (slika 17).

Transformirajmo jednadžbu na sljedeći način:

1) grupirati pojmove koji sadrže varijablu x i koji sadrži varijablu na, i predstavite svaku grupu članova kao puni kvadrat trinoma: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 \u003d 0;

2) zapisujemo dobivene trinome kao kvadrat zbroja (razlike) dvaju izraza: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 \u003d 0;

3) analizirajte, prema pravilima za pretvaranje grafova jednadžbi s dvije varijable, jednadžbu (x + 1) 2 + (y - 4) 2 \u003d 3 2: graf ove jednadžbe je krug sa središtem u točka (-1; 4) i radijus od 3 jedinice.

Primjer 2. Nacrtajte jednadžbu x 2 + 4g 2 = 9 .

Predstavimo 4y 2 u obliku (2y) 2, dobivamo jednadžbu x 2 + (2y) 2 \u003d 9, čiji se grafikon može dobiti iz kruga x 2 + y 2 \u003d 9 kompresijom na x -osi za 2 puta.

Nacrtajmo krug sa središtem u ishodištu i radijusom od 3 jedinice.

Smanjimo 2 puta udaljenost svake njegove točke od X osi, dobit ćemo graf jednadžbe

x 2 + (2y) 2 = 9.

Lik smo dobili skupljanjem kruga na jedan od njegovih promjera (na promjer koji leži na x-osi). Takav se lik naziva elipsa (slika 18).

Primjer 3. Saznajte što predstavlja graf jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 8.

Upotrijebimo formulu F= 0.

Zamijenimo u ovu jednadžbu umjesto X i umjesto Y, dobivamo:

U: Što je graf jednadžbe y = ?

D: Graf jednadžbe y = je hiperbola.

Y: Pretvorili smo jednadžbu oblika x 2 - y 2 = 8 u jednadžbu y = .

Koja linija će biti graf ove jednadžbe?

D: Dakle, graf jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 8 je hiperbola.

Y: Koje su linije asimptote hiperbole y = .

D: Asimptote hiperbole y = su pravci y = 0 i x = 0.

Y: Kada dođe do okretanja, ove linije će ići u linije = 0 i = 0, tj. u linije y \u003d x i y \u003d - x. (sl.19).

Primjer 4: Otkrijmo kakav će oblik poprimiti jednadžba y \u003d x 2 parabole kada se zakrene oko ishodišta za kut od 90 0 u smjeru kazaljke na satu.

Koristeći formulu F (-y; x) \u003d 0, zamijenimo varijablu x s ​​- y u jednadžbi y \u003d x 2, a varijablu y s x. Dobivamo jednadžbu x \u003d (-y) 2, tj. x \u003d y 2 (slika 20).

Ispitali smo primjere grafova jednadžbi drugog stupnja s dvije varijable i otkrili da grafovi takvih jednadžbi mogu biti parabola, hiperbola, elipsa (osobito krug). Osim toga, graf jednadžbe drugog stupnja može biti par pravaca (koji se sijeku ili su paralelni).To je takozvani degenerirani slučaj. Dakle, graf jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 0 je par linija koje se sijeku (slika 21a), a graf jednadžbe x 2 - 5x + 6 + 0y \u003d 0 su paralelne linije.

II Konsolidacija.

(Učenicima se dijele „Kartice s uputama“ za izvođenje konstrukcije grafova jednadžbi s dvije varijable u programu Agrapher (prilog 2) i kartice „Praktični zadatak“ (prilog 3) s formulacijom zadataka 1-8 Nastavnik demonstrira grafove jednadžbe za zadatke 4-5 na slajdovima ).

Vježba 1. Koji od parova (5; 4), (1; 0), (-5; -4) i (-1; -) su rješenja jednadžbe:

a) x 2 - y 2 \u003d 0, b) x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y?

Odluka:

Zamjena u dana jednadžba, zauzvrat, koordinate tih točaka, osiguravamo da niti jedan zadani par nije rješenje jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 0, a rješenja jednadžbe x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y su parovi (5; 4), (1; 0) i (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (I)

125 - 1 \u003d -100 - 24 (L)

1 - 1 = - - (I)

Odgovor: a); b) (5; 4), (1; 0), (-1; -).

Zadatak 2. Pronađite takva rješenja jednadžbe xy 2 - x 2 y \u003d 12, u kojima je vrijednost x jednako 3.

Rješenje: 1) Zamijenite vrijednost 3 umjesto X u danoj jednadžbi.

2) Dobivamo kvadratnu jednadžbu u odnosu na varijablu Y koja ima oblik:

3g 2 - 9g = 12.

4) Riješimo ovu jednadžbu:

3y 2 - 9y - 12 = 0

D \u003d 81 + 144 \u003d 225

Odgovor: parovi (3; 4) i (3; -1) su rješenja jednadžbe xy 2 - x 2 y \u003d 12

Zadatak3. Odredite stupanj jednadžbe:

a) 2y 2 - 3x 3 + 4x \u003d 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 \u003d 0; d) (2y - x 2) 2 \u003d x (x 2 + 4xy + 1).

Odgovor: a) 3; b) 5; na 4; d) 4.

Zadatak 4. Koja slika je graf jednadžbe:

a) 2x \u003d 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x \u003d y - 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1,5) (x - 4) = 0; e) xy - 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 \u003d 9.

Zadatak 5. Napišite jednadžbu čiji je graf simetričan grafu jednadžbe x 2 - xy + 3 \u003d 0 (slika 24) u odnosu na: a) os x; b) sjekire na; c) pravac y \u003d x; d) pravac y \u003d -x.

Zadatak6. Napravite jednadžbu čiji se graf dobije rastezanjem grafa jednadžbe y \u003d x 2 -3 (slika 25):

a) od x-osi 2 puta; b) od y-osi 3 puta.

Programom Agrapher provjerite ispravnost zadatka.

Odgovor: a) y - x 2 + 3 = 0 (slika 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (slika 25b).

b) linije su paralelne, pomiču se paralelno s osi x za 1 jedinicu udesno i paralelno s osi y za 3 jedinice prema dolje (slika 26b);

c) pravci se sijeku, simetričan prikaz oko x-osi (slika 26c);

d) pravci se sijeku, simetričan prikaz oko y-osi (slika 26d);

e) linije su paralelne, simetrični prikaz u odnosu na ishodište (slika 26e);

f) linije se sijeku, okreću oko ishodišta za 90 u smjeru kazaljke na satu i prikazuju simetrično oko x-osi (slika 26f).

III. Samostalni rad obrazovnog karaktera.

(učenicima se dijele kartice „Samostalan rad“ i „Izvještaj o rezultatima samostalnog rada“ u koje učenici upisuju svoje odgovore i nakon samoprovjere ocjenjuju rad prema predloženoj shemi) Prilog 4..

I. opcija.

a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 \u003d 2 (x + y).

a) x 3 + y 3 -5x 2 \u003d 0; b) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 3 + y 4 \u003d 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x 2 -y 2 \u003d 1;

c) x - y 2 \u003d 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y \u003d 20.

Odredite koordinate središta kruga i njegov polumjer.

6. Kako treba pomaknuti hiperbolu y \u003d na koordinatnoj ravnini da njezina jednadžba poprimi oblik x 2 - y 2 \u003d 16?

Provjerite svoj odgovor grafičkim iscrtavanjem koristeći Agrapher.

7. Kako pomaknuti parabolu y \u003d x 2 na koordinatnoj ravnini tako da njezina jednadžba poprimi oblik x \u003d y 2 - 1

II opcija.

1. Odredite stupanj jednadžbe:

a) 3xy \u003d (y-x 3) (x 2 + y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 \u003d 0.

2. Je li par brojeva (-2; 3) rješenje jednadžbe:

a) x 2 -y 2 -3x \u003d 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 \u003d -1.

3. Pronađite skup rješenja jednadžbe:

x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 \u003d 0.

4. Koja je krivulja (hiperbola, kružnica, parabola) skup točaka ako jednadžba te krivulje ima oblik:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 \u003d 9

b) y 2 - x 2 \u003d 1

c) x \u003d y 2 - 1.

(provjeriti uz pomoć programa Agrapher ispravnost zadatka)

5. Pomoću programa Agrapher iscrtajte graf jednadžbe:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Kako treba pomaknuti hiperbolu y \u003d na koordinatnoj ravnini da njezina jednadžba poprimi oblik x 2 - y 2 \u003d 28?

7. Kako pomaknuti parabolu y \u003d x 2 na koordinatnoj ravnini tako da njezina jednadžba poprimi oblik x \u003d y 2 + 9.

ja ) Grafičko rješenje kvadratna jednadžba:

Razmotrimo zadanu kvadratnu jednadžbu: x2+px+q=0;

Prepišimo to ovako: x2=-px-q.(1)

Izgradimo grafove ovisnosti: y=x2 i y=-px-q.

Graf prve ovisnosti nam je poznat, to je parabola; drugi ovisnost – linearna; njegov graf je ravna linija. Iz jednadžbe (1) vidljivo je da su u slučaju kada je x njezino rješenje polumjeri točaka oba grafa međusobno jednaki. To znači da zadana vrijednost x odgovara istoj točki i na paraboli i na pravcu, odnosno da se parabola i pravac sijeku u točki s apscisom x.

Stoga sljedeći grafički način rješenje kvadratne jednadžbe: nacrtati parabolu y \u003d x2, nacrtati (po točkama) ravnu liniju y \u003d -px-q.

Ako se pravac i parabola sijeku, tada su apscise sjecišta korijeni kvadratne jednadžbe. Ova metoda je prikladna ako nije potrebna velika preciznost.

1. Riješite jednadžbu: 4x2-12x+7=0

Predstavimo to kao x2=3x-7/4.

Konstruirajmo parabolu y=x2 i ravnu liniju y=3x-7/4.

Slika 1.

Da biste izgradili ravnu liniju, možete uzeti, na primjer, točke (0;-7/4) i (2;17/4). Parabola i ravna linija sijeku se u dvije točke s apscisama x1=0,8 i x2=2,2 (vidi sliku 1).

2. Riješite jednadžbu: x2-x+1=0.

Napišimo jednadžbu u obliku: x2=x-1.

Nakon što smo izgradili parabolu y=x2 i ravnu liniju y=x-1, vidjet ćemo da se one ne sijeku (slika 2), što znači da jednadžba nema korijena.

Slika 2.

Idemo to provjeriti. Izračunajmo diskriminant:

D=(-1)2-4=-3<0,

I tako jednadžba nema korijena.

3. Riješite jednadžbu: x2-2x+1=0

Slika 3

Ako pažljivo nacrtamo parabolu y=x2 i ravnu liniju y=2x-1, vidjet ćemo da imaju jednu zajedničku točku (prava dodiruje parabolu, vidi sliku 3), x=1, y=1; jednadžba ima jedan korijen x=1 (to svakako provjerite računskim putem).

II ) Sustavi jednadžbi.

Graf jednadžbe s dvije varijable je skup točaka u koordinatnoj ravnini čije koordinate pretvaraju jednadžbu u pravu jednakost. Grafovi jednadžbi s dvije varijable vrlo su raznoliki. Na primjer, graf jednadžbe 2x+3y=15 je pravac, jednadžbe y=0,5x2 –2 je parabola, jednadžbe x2 + y2=4 je kružnica itd.

Stupanj cjelobrojne jednadžbe s dvije varijable definiran je na isti način kao i stupanj cijele jednadžbe s jednom varijablom. Ako je lijeva strana jednadžbe s dvije varijable polinom standardnog oblika, a desna je 0, tada se stupanj jednadžbe smatra jednakim stupnju polinoma. Da bismo saznali koliki je stupanj bilo koje jednadžbe s dvije varijable, ona se zamjenjuje ekvivalentnom jednadžbom, čija je lijeva strana polinom standardnog oblika, a desna nula. Razmotrite grafičko rješenje.

Primjer1: riješiti sustav ⌠ x2 +y2 =25 (1)

⌠y=-x2+2x+5 (2)

Konstruirajmo grafove jednadžbi u jednom koordinatnom sustavu (slika 4):

Izgradimo grafikone u jednom koordinatnom sustavu)

x2 + y2=25 i y=-x2+2x+5

Koordinate bilo koje točke konstruirane kružnice rješenje su jednadžbe 1, a koordinate bilo koje točke parabole rješenje su jednadžbe 2. Dakle, koordinate svake od točaka presjeka kružnice i parabole zadovoljavaju i prva jednadžba sustava i druga, tj. su rješenje razmatranog sustava. Pomoću slike nalazimo približne vrijednosti koordinata sjecišta grafikona: A (-2,2; -4,5), B (0; 5), C (2,2; 4,5), D (4; - 3) Dakle, sustav jednadžbi ima četiri rješenja:

x1≈-2,2, y1≈-4,5; x2≈0, y2≈5;

x3≈2,2, y3≈4,5; x4≈4, y4≈-3.

Zamjenom pronađenih vrijednosti u jednadžbe sustava možemo osigurati da su drugo i četvrto od ovih rješenja točni, a prvo i treće približne.

III) Trigonometrijske jednadžbe:

Trigonometrijske jednadžbe rješavaju se analitički i grafički. Razmotrite grafički način rješavanja primjera.

Slika5.

Primjer1: sinx+cosx=1. Izgradimo grafove funkcija y=sinx u y=1-cosx. (Slika 5)

Iz grafikona je vidljivo da jednadžba ima 2 rješenja: x=2πp, gdje je pÊZ i x=π/2+2πk, gdje je kÊZ (Ovo svakako provjerite izračunima). Slika 6

Primjer2: Riješite jednadžbu: tg2x+tgx=0. Ovu jednadžbu ćemo riješiti po principu rješavanja prethodne. Prvo, izgradimo grafove (vidi sliku 6) funkcija: y=tg2x u y=-tgx. Grafikon pokazuje da jednadžba ima 2 rješenja: x=πp, pÊZ u x=2πk/3, gdje je kÊZ. (Provjerite ovo izračunima)

Korištenje grafova u rješavanju nejednadžbi.

1) Nejednadžbe s modulom.

Riješite nejednadžbu |x-1|+|x+1|<4.

Na integralu (-1;-∞), po definiciji modula, imamo |x-1|=-x+1,|x+1|=-x-1, pa je stoga na ovom integralu nejednadžba je ekvivalentna linearnoj nejednadžbi –2x<4,которое справедливо при х>-2. Dakle, integral (-2;-1) je uključen u skup rješenja.Na segmentu [-1,1] izvorna nejednadžba je ekvivalentna ispravnoj numeričkoj nejednadžbi 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

Na integralu (1;+∞) ponovno dobivamo linearnu nejednadžbu 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Međutim, isti se rezultat može dobiti iz jasnih, au isto vrijeme rigoroznih geometrijskih razmatranja. Slika 7 prikazuje funkcije: y=f(x)=|x-1|+|x+1| i y=4.

Slika 7

Na integralu (-2;2) graf funkcije y=f(x) nalazi se ispod grafa funkcije y=4, što znači da nejednakost f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II) Nejednadžbe s parametrima.

Rješavanje nejednadžbi s jednim ili više parametara u pravilu je teži zadatak od problema u kojem nema parametara.

Na primjer, nejednadžba √a+x+√a-x>4, koja sadrži parametar a, prirodno zahtijeva mnogo više truda da se riješi nego nejednadžba √1+x + √1-x>1.

Što znači riješiti prvu od ovih nejednadžbi? To, u biti, znači rješavanje ne jedne nejednadžbe, već cijele klase, cijelog skupa nejednakosti koje se dobivaju dodjeljivanjem specifičnih numeričkih vrijednosti parametru a. Druga od napisanih nejednakosti poseban je slučaj prve jer se iz nje dobiva pri vrijednosti a=1.

Dakle, riješiti nejednadžbu koja sadrži parametre znači odrediti za koje vrijednosti parametara nejednadžba ima rješenja i za sve takve vrijednosti parametara pronaći sva rješenja.

Riješite nejednadžbu |x-a|+|x+a| 0.

Da bismo riješili ovu nejednadžbu s dva parametra aub, koristimo se geometrijskim razmatranjima. Na slikama 8 i 9 prikazani su grafovi funkcija.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| uy=b.

Očito, za b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, tada pravac y=b siječe graf funkcije y=f(x) u dvije točke (-b/2;b) u (b/2;b) (slika 6) i nejednakost u ovaj slučaj vrijedi za – b/2

Odgovor: Ako b<=2|a| , то решений нет,

Ako je b>2|a|, tada je x €(-b/2;b/2).

III ) Trigonometrijske nejednadžbe:

Pri rješavanju nejednadžbi s trigonometrijskim funkcijama bitno se koristi periodičnost tih funkcija i njihova monotonost na odgovarajućim intervalima. Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe. Funkcija sinx ima pozitivan period od 2π. Dakle, nejednakosti oblika: sinx>a, sinx>=a,

grijeh x

Dovoljno je prvo riješiti neki segment duljine 2π. Skup svih rješenja dobivamo tako da svakom od rješenja koja se nalaze na ovom segmentu dodamo brojeve oblika 2πp, pÊZ.

Primjer 1: Riješite nejednadžbu sinx>-1/2. (Slika 10)

Prvo rješavamo ovu nejednadžbu na intervalu [-π/2;3π/2]. Razmotrimo njegovu lijevu stranu - segment [-π / 2; 3π / 2]. Ovdje jednadžba sinx \u003d -1/2 ima jedno rješenje x \u003d -π / 6; a funkcija sinx je monotono rastuća. Dakle, ako je –π/2<=x<= -π/6, то sinx<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sinx>sin(-π/6) = -1/2. Sve ove vrijednosti x nisu rješenja nejednadžbe.

Na preostalom segmentu [π/2;3π/2] funkcija sinx monotono opada i jednadžba sinx = -1/2 ima jedno rješenje x=7π/6. Prema tome, ako je π/2<=x<7π/, то sinx>sin(7π/6)=-1/2, tj. sve ove vrijednosti x su rješenja nejednadžbe. Za x Ê imamo sinx<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

Zbog periodičnosti funkcije sinx s periodom od 2π, vrijednosti x iz bilo kojeg integrala oblika: (-π / 6 + 2πn; 7π / 6 + 2πn), nÊZ, također su rješenja nejednadžbe . Nijedna druga vrijednost x nije rješenje ove nejednakosti.

Odgovor: -π/6+2πn

Slika 10.