"primjena svojstava funkcije u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi". “Rješavanje jednadžbi nestandardnim metodama korištenjem svojstava funkcija

Tema: Metode korištenja ograničenih funkcija.
Život je dobar zbog onoga što je u njemu možeš računati. (Leonard Euler)Ciljevi: razvoj novog, nekonvencionalnog načina razmišljanja koji se može uspješno primijeniti u drugim područjima ljudska djelatnost(kibernetika, računalna tehnika, ekonomija, radiofizika, kemija itd.).
Zadaci: - osposobljavanje za ocjenjivanje objektivne i subjektivne težine zadataka i razuman izbor tih zadataka na ispitu;

Stvaranje “kasice prasice” nekonvencionalnog i neobičnog zaključivanja.

Napredak lekcije:

Org. trenutak. Učenici formuliraju temu lekcije ispunjavanjem dijelova A i B zadataka Jedinstvenog državnog ispita i dešifriranjem teme silaznim redoslijedom primljenih odgovora. (Šifriraj 12 kartica numeriranih od -2 do 10 kao pretpostavljene riječi) (Dodatak 1 i 2)

ograničenja

2. Podijelite učenike u 2 skupine, podijelite im komplet “Teorija + 10 zadataka” (prilozi 3 i 4), zamolite ih da odaberu one zadatke koje mogu riješiti za ovaj teorijski dio i obrazlože svoj izbor.3. Pokažite napredak ovih zadataka na ploči od strane učenika: Noskova K., Dedevshin I., Veselov I.4. Podijelite zadatke s kartice u 2 skupine za rješavanje, a zatim samoprovjeru na listu gotova rješenja. (Dodatak 5)5. Podijelite listove skupinama s opisom novih nestandardnih metoda za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi za odabir sljedeća tema(kao domaće zadaće pronaći ih u zbirkama Zadaci Jedinstvenog državnog ispita, koji se može riješiti ovom metodom (prilog 6)6. Refleksija učenika (ispunjavanje tablice) F.I. student

Dodatak 1.
Riješite ove zadatke i poredajte odgovore silaznim redoslijedom, na temelju odgovora skupite temu naše lekcije.

Odredite apscisu točke na grafu funkcije y=3x 2 -7x+7, u kojoj je tangens tangentnog kuta jednak -1.

Dodatak 2.
9 2 0 7Proučavanje funkcija pomoću derivacija. 10 5 1 -1 Metoda korištenja ograničenih funkcija. 4 -2 8 12Rješavanje nejednadžbi grafički.
3 11 6Rješenja funkcionalnih jednadžbi.
Studija

Dodatak 3.

Jedan od učinkovite metode rješavanje jednadžbi ili nejednadžbi je metoda koja se temelji na korištenju ograničenih funkcija. Najpoznatijem ograničene funkcije uključuju, na primjer, neke trigonometrijske; obrnuti trigonometrijske funkcije; funkcije koje sadrže modul, stupanj, korijen c čak stupanj i drugi.

Najčešće nejednakosti su sljedeće:

│f(x) │≥ 0, -1 ≤ sinx ≤ 1, -1 ≤ cosx ≤ 1, -

-

, a f ( x ) >0, (f (x) ± g(x)) 2 n ≥ 0,
, a+ ≥ 2, b+ ≤ -2 i mnogi drugi. Ovdje n -prirodni broj, h(x) ≥ 0, a>0, b 0.

Osim gore navedenih najjednostavnijih nejednakosti, postoje i one složenije, posebice trigonometrijske nejednakosti -,

,

a nejednadžbe s modulima oblika
.

Primjer 1.Riješite jednadžbu:

Otopina: istaknimo savršen kvadrat na desnoj strani jednadžbe, tj. . Iz toga slijedi da
. Pošto u ovom slučaju grijehπx ≤ 1, tada dobivamo sustav jednadžbi

Rješavanjem druge jednadžbe sustava dobivamo da je x=. Zamjenom u prvu jednadžbu osiguravamo da je pronađena vrijednost x rješenje sustava, a time i rješenje izvorne jednadžbe.

Odgovor: x=.

Primjer 2.Riješite jednadžbu:

Otopina: budući Međutim sin2 π x ≤ 1. Dakle, 5+4 sin2 π x ≤ 9. Dakle, dobivamo sustav jednadžbi:

Odavde dobivamo sustav jednadžbi
, iz prve jednadžbe nalazimo x=. Zamijenimo ga u drugu jednadžbu sustava i uvjerimo se da je x = rješenje sustava, a time i rješenje izvorne jednadžbe.

Odgovor: x=

Dodatak 4. S predloženog popisa zadataka odaberite one koje je moguće riješiti metodom ograničene funkcije. 1. Riješite jednadžbu x 2 -4 x=(2-cos
2. Pronađite količinu cjelobrojna rješenja nejednakosti x 2ctg 2
3. Riješite jednadžbu
4. Riješite jednadžbu 3-(5. Pronađite broj cjelobrojnih rješenja nejednadžbe 16's 2 ≥0 koja zadovoljavaju uvjet 3 tg 2
6. Riješite jednadžbu
7. Riješite jednadžbu -25x 2 +40x-23=( cos
8. Nađite umnožak korijena jednadžbe x
9. Riješite jednadžbu
10. Riješite jednadžbu 3- jer 2

List za samotestiranje. Dodatak 5. 1. Riješite jednadžbu Rješenje: jer , onda jer a zatim
dobivamo sustav jednadžbi

riješite prvu jednadžbu, dobijete x=, zamijenite ovu vrijednost u drugu jednadžbu

2 . Riješite jednadžbu 3- cos 2 Rješenje: jer , onda jer a zatim
dobivamo sustav jednadžbi

riješite drugu jednadžbu, dobijete x=, zamijenite ovu vrijednost u prvu jednadžbu

to znači da je x= rješenje izvorne jednadžbe. Odgovor: x=
3. Odredite broj cjelobrojnih rješenja nejednadžbe x 2 +7x-8≤0, zadovoljavajući uvjet ctg 2 Rješenje: jer a zatim za bilo koje dopuštene vrijednosti x pronaći ćemo nulte točke kvadratnog trinoma, koristeći Vietin teorem nejednadžbu ćemo riješiti metodom intervala
Da. mi to znamo
cjelobrojne vrijednosti x su eliminirani brojevi. Odgovor: 8 cjelobrojnih rješenja 4. Pronađite broj cjelobrojnih rješenja nejednadžbe 16's 2 ≥0 koja zadovoljavaju uvjet 3 tg 2 Rješenje: jer a zatim za sve dopuštene vrijednosti x, nalazimo nule izraza, x = i x = Riješite nejednadžbu metodom intervala
Da. mi to znamo

cjelobrojne vrijednosti x su eliminirani brojevi. Odgovor: 7 cjelobrojnih rješenja
Dodatak 6.

Metoda korištenja monotonosti funkcija. Prilikom rješavanja jednadžbe poput f(x)=g(x) u nekim je slučajevima učinkovita metoda koja koristi monotonost funkcija y= f(x) i y= g(x). Ako je funkcija y= f(x) neprekidna i povećava (smanjuje) na segmentu a≤ x ≤ b, a funkcija u= g(x) je kontinuirana i opada (raste) na istom segmentu, tada je jednakost f(x)=g(x) na segmentu a≤ x ≤ b ne može imati više od jednog korijena, što znači da je potrebno ili pokušati pronaći jedini korijen jednadžbe odabirom ili pokazati da takav korijen ne postoji. Ova metoda je posebno učinkovita u slučaju kada su obje strane jednadžbe f(x) = g(x) "nezgodne" funkcije za zajedničko proučavanje. Komentar: Ako je funkcija y= f(x) raste, a funkcija y= g(x) opada za a≤ x ≤ b I istovremeno f(a)>g(A), tada su korijeni jednadžbe među a≤ x ≤ b Ne.

Primjer: Riješite jednadžbuOtopina: Raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe je x
. Lako je vidjeti da u ovom području lijeva strana jednadžbe raste, a desna strana opada, tj. funkcijaf(x)=
se povećava, a funkcijag(x)=
- smanjuje se. U tom smislu, izvorna jednadžba može imati samo jedan korijen (ako ga ima). Izborom nalazimo ovaj korijen jednadžbe x = 2.Odgovor: x=2
Metoda rješavanja funkcionalnih jednadžbi. Među naj složeni zadaci Jedinstveni državni ispit uključuje probleme čije se rješavanje svodi na razmatranje funkcionalnih jednadžbi oblika f(f(….f(x)…))=x ili f(g(x))=f(h(x)), gdje su f(x),g(x),h(x) neke funkcije i n≥ 2
Metode za rješavanje ovih funkcionalnih jednadžbi temelje se na primjeni mnogih teorema, razmotrimo jedan od njih.
Teorem 1. Korijeni jednadžbe f(x)=0 su korijeni jednadžbe f(f(….f(x)…))=x
Primjer: Riješite jednadžbu x=
, Gdje kvadratni korijen uzetinjednom in≥ 1 Otopina: Iz uvjeta problema slijedi da je x> 0. Nekaf(x)=
, tada se naša jednadžba može prikazati kao funkcional f( f(…. f( x)…))= x. Budući da je u x> 0 funkcijaf(x)= povećava if(x) > 0, tada je jednadžba x= ekvivalentna jednadžbif(x)= x, tj. =x čije je pozitivno rješenje x=
Odgovor: x=

Pripremila i vodila učiteljica matematike

MCOU "Srednja škola br. 1" Povorino

Voronješka regija

Kartashova S. A.

2014

Tema lekcije:„Rješavanje jednadžbi nestandardne metode koristeći svojstva funkcija"

Oblik nastave je predavanje nakon kojeg slijedi utvrđivanje. Dizajniran za 2 lekcije

(Slajd br. 1)

Ciljevi lekcije:

Ponoviti i generalizirati znanja o temi: “Svojstva funkcija”

Naučiti koristiti funkcionalnu metodu za rješavanje jednadžbi

Razviti logično razmišljanje, opažanje

Poticati aktivnost i kreativnu inicijativu.

(slajd br. 2)

Oprema: interaktivna ploča, računalo s prezentacijom.

Plan lekcije:

Organizacijski trenutak.

Motivacija obrazovne aktivnosti(poruka teme, ciljevi lekcije).

Obnavljanje temeljnih znanja (ponavljanje svojstava osnovnih funkcija).

Učenje novog gradiva (funkcionalna metoda rješavanja jednadžbi).

Učvršćivanje znanja (rješavanje vježbi).

Sažimajući. Ocjene.

Napredak lekcije.

Učitelj:

Za rješavanje većine jednadžbi s kojima se susrećemo na ispitima dovoljno je savladati školski tečaj matematike, ali istovremeno je potrebno biti sposoban rješavati ne samo korištenjem standardnih tehnika namijenjenih potpunom određene vrste jednadžbe, ali i “nestandardne” metode o kojima ćemo govoriti danas na satu. Jedna od tih metoda rješavanja jednadžbi je funkcionalna, koja se temelji na korištenju svojstava funkcija. Za razliku od grafička metoda, poznavanje svojstava funkcija omogućuje vam pronalaženje točnih korijena jednadžbe, bez potrebe za konstruiranjem grafova funkcija. Korištenje svojstava funkcija pomaže u racionalizaciji rješenja jednadžbi.

(slajd br. 3)

Odgovorimo na pitanja:

Kako se zove jednadžba?

Što je korijen jednadžbe?

Što znači riješiti jednadžbu?

Kako se zove funkcija?

Što je domena funkcije?

Što je raspon funkcije?

(slajd br. 4)

Razmotrimo(slajd br. 5)

PRIMJER 1. Riješite jednadžbu:

Rješenje: ODZ:

Odgovor: nema rješenja.

(slajd br. 6)

PRIMJER 2. Riješite jednadžbu:

Rješenje: ODZ:

ODZ se sastoji od jedne točke x=1. Ostaje provjeriti je li x=1 korijen jednadžbe. Zamjenom vidimo da je x=1 korijen jednadžbe.

Odgovor: x=1.

Učitelj:

Ponekad se ispostavlja da je dovoljno uzeti u obzir ne cijelu domenu definicije funkcije, već samo njen podskup, na kojem funkcija uzima vrijednosti koje zadovoljavaju određene uvjete (na primjer, samo nenegativne vrijednosti)

(slajd br. 7 )

PRIMJER 3.

Otopina. Nađimo sjecište područja definicije funkcija na desnoj i lijevoj strani jednadžbe:

D 1

Ograničimo skupD, uzimajući u obzir da je lijeva strana jednadžbe nenegativna i stoga bi trebala biti ista desna strana yu Da bismo to učinili, moramo razmotriti sjecište skupaDs mnogo rješenja nejednadžbe , odnosno s mnogima . Dakle, dovoljno je razmotriti jednadžbu na skupu .

Zamjenom osiguravamo da oba elementa služe kao rješenje jednadžbe.

Odgovor: -3; 2.

(slajd br. 8 )

PRIMJER 4.

Otopina.

S obzirom na to Korijen jednadžbe je x=4.

Odgovor: 4.

Učitelj:

Prijeđimo na rješavanje jednadžbi koristeći koncept raspona vrijednosti funkcije.

(slajd br. 9-br. 10)

(slajd br. 11)

PRIMJER 1.

Otopina. Jer , tada jednadžba nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

PRIMJER 2.

Otopina. ODZ:

Odgovor: nema rješenja.

Učitelj:

Ako funkcija f ( x ) na intervalu X ograničena je odozgo, a funkcija g ( x ) je ograničena ispod, tada je jednadžba f ( x ) = g ( x ) ekvivalentan je sustavu

(slajd br. 12)

PRIMJER 3.

Otopina. Po definiciji,

Jednakost se postiže ako

Riješimo prvu jednadžbu sustava:

arccos (x-1) =π, x-1 = -1, x=0.

Kada je x=0, druga se jednadžba pretvara u pravu numeričku jednakost.

Stoga je rješenje sustava i ove jednadžbe x=0.

Odgovor: 0.

(slajd br. 13-14)

PRIMJER 4.

Otopina.

Nađimo maksimum ove funkcije na intervalu (2;4) pomoću derivacije.

= 0,

g’ + -

g 2 3 4 x

Maks

g(3)=2.imamo

Zatim dana jednadžba ekvivalentan sustavu

Rješavanjem prve jednadžbe sustava dobivamo x=3, provjerom, zamjenom u drugu jednadžbu uvjerit ćemo se da je x=3 rješenje sustava i ove jednadžbe.

Odgovor: 3.

(slajd br. 15)

Učitelj:

Ova se metoda često nalazi na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike. Ova metoda leži u tome što je jedan dio jednadžbe ograničen odozgo određenim brojem M, a drugi dio jednadžbe ograničen je odozdo istim brojem M. Broj M se obično nazivamajorante , a ova metoda jemajorantna metoda . U majorantnoj metodi, kao što ste možda pogodili, morate dobro razumjeti što je funkcija i biti u stanju proučavati svojstva funkcija.

(slajd br. 16)

Vježbe za konsolidaciju, razvoj vještina.

Razred je podijeljen u 2 grupe prema opcijama.

Opcija 1.

Dokažite da jednadžba nema korijena.

Riješite jednadžbe: Odgovor: 2.6.

Odgovor: 2.

Učitelj:

Danas smo pogledali nestandardnu ​​metodu za rješavanje jednadžbi pomoću svojstava funkcija, koja je primjenjiva i za rješavanje nejednadžbi, ali o tome ćemo govoriti u nekoliko sljedećih lekcija.

Sumiranje, ocjene.

(slajd br. 17)

domaća zadaća:

“Domena definicije funkcije” - Domena definicije kvadratna funkcija– bilo koji pravi broj. Funkcija se naziva logaritamska ako promjenjiva količina stoji ispod znaka logaritma. Logaritamska funkcija. Funkcija čija je varijabla u eksponentu naziva se eksponencijalna. Kvadratna funkcija.

"Opća svojstva funkcija" - Opća svojstva funkcije. Odredi domenu definicije funkcije. Ravnomjerna funkcija. Je li ova funkcija parna ili neparna. Pomoću grafa odredite skup vrijednosti funkcije. Pomoću grafa odredite vrijednosti X. Pomoću grafa odredite intervale opadanja funkcije. Funkcija f(x) je rastuća. Zadana je funkcija y=f(x).

“Funkcija povećanja i opadanja” - Funkcija povećanja i opadanja sinusa. Pogledajmo još jedan primjer. Intervali opadajućeg kosinusa su segmenti, n je cijeli broj. Neka je npr. funkcija f parna i rastuća na intervalu gdje je b>a?0. Rastuće i padajuće funkcije. Rastuća i padajuća kosinusna funkcija. Slika ispod prikazuje graf funkcije definirane na intervalu [-1;10].

"Primjena kontinuiteta" - značenje izraza. Geometrijsko značenje izvedenica. Metoda intervala. Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije. Tangenta na graf funkcije. Graf je blizu tangente. Formula. Izračunajmo pomoću formule. Tangenta na krivulju u danoj točki M je granični položaj sekante NM. Hiperbola.

“Ekstremum funkcije” - Ovisnost tlaka plina o temperaturi. Tema lekcije: “Znakovi rastućih i opadajućih funkcija. Test. Promjena jakosti struje kada se strujni krug otvori. Istraživanje funkcije do ekstrema". Promijeniti AC. Plan: Ovisnost struje o naponu. Ovisnost tlaka plina o volumenu. Tema: “Znakovi rastućih i padajućih funkcija.

“Funkcije i njihova svojstva” - Nezavisna varijabla naziva se argument. Povećanje funkcije. Definicija funkcije. Čak i neparne funkcije. Monotonost funkcije. Vrijednosti zavisne varijable nazivaju se vrijednostima funkcije. Sve vrijednosti nezavisne varijable čine domenu definicije funkcije -D (f). 1. Vrijednosti funkcije su pozitivne.

Ukupno ima 23 prezentacije

Izborna aktivnost"Primjena svojstva ograničenih funkcija"

Gradivo koje se odnosi na jednadžbe i nejednadžbe čini značajan dio školskog tečaja matematike, ali nam vremenski okvir nastave ne dopušta da razmotrimo sva pitanja.

Osim toga, utvrđuje se obvezni minimum sadržaja nastave matematike, određen državnim standardom za osnovnu školu obrazovni materijal za obvezno razmatranje, ali ne i za obvezno svladavanje (primjerice, nestandardne metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi, metode rješavanja jednadžbi i nejednadžbi s parametrom itd.).

Zbog važnosti i opsežnosti materijala koji se odnosi na pojmove jednadžbi i nejednakosti, njihovo proučavanje u modernim metodama matematika je organizirana u sadržajno-metodičku liniju – liniju jednadžbi i nejednadžbi. Postoje tri glavna smjera za razvoj ove linije školski tečaj matematika.

Primijenjeni smjer pravca jednadžbi i nejednadžbi otkriva se uglavnom tijekom učenja algebarska metoda rješenja problemi s riječima. Jednadžbe i nejednadžbe glavni su dio matematičkih alata koji se koriste u rješavanju tekstualnih problema.

Teorijsko-matematičko usmjerenje otkriva se u dva aspekta: u proučavanju najvažnijih klasa jednadžbi, nejednadžbi i njihovih sustava, te u proučavanju generaliziranih pojmova i metoda vezanih uz liniju kao cjelinu.

Linija jednadžbi i nejednakosti također je usko povezana s funkcionalnom linijom. S jedne strane, postoji primjena metoda razvijenih na liniji jednadžbi i nejednakosti na proučavanje funkcija. S druge strane, funkcionalna crta ima značajan utjecaj kako na sadržaj linije jednadžbi i nejednadžbi tako i na stil njezina proučavanja. Konkretno, funkcionalni prikazi služe kao osnova za privlačenje grafičke jasnoće u rješavanje i proučavanje jednadžbi i nejednadžbi.

U kolegiju algebre koji proučavamo pod uredništvom Mordkovicha, funkcionalno-grafička linija je izabrana kao prioritet. Sav materijal izgrađen je prema krutoj shemi: funkcija-jednadžbe-transformacije.

Vrlo često na Jedinstvenom državnom ispitu postoje zadaci koji se mogu riješiti pomoću svojstava funkcija. Stoga je preporučljivo ovaj materijal uvrstiti u izborne predmete. Ali ipak, radije razmatram neke od ovih zadataka na lekcijama, počevši od 9. razreda.

Primjena svojstava funkcija pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi

Korištenje svojstva ograničenosti.

Korištenje opsega funkcije.

Korištenje monotonosti funkcija za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi.

Korištenje koncepta područja promjene funkcije.

- Korištenje svojstava parnog ili neparnog i periodičnosti funkcija.

SLAJD 2.

Moje izlaganje posvećeno je samo jednoj od nestandardnih metoda rješavanja jednadžbi i nejednadžbi koja se temelji na svojstvu ograničenosti funkcija uključenih u jednadžbu (nejednadžba). Zadaci koje predlažem mogu se uzeti u obzir u lekcijama rezerviranim za pripremu učenika za Jedinstveni državni ispit (tri ili četiri lekcije), ili možete koristiti jedan ili dva problema po lekciji, također ovaj materijal mogu se koristiti u izbornoj nastavi (ili u izbornom kolegiju).

Već u 9. razredu, proučavajući svojstvo ograničenosti, skrenuo sam pozornost na važnost ovog svojstva i mogućnosti korištenja u

Pronalaženje najmanje i najveće vrijednosti funkcije;

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije.

SLIDE3.

Razmatraju se rješenja nekih zadataka. Najprije treba ponoviti osnovne definicije. SLAJD 4.

Slajdovi 5-9 ispituju zadatke za pronalaženje najmanjih ili najvećih vrijednosti funkcije.

SLAJD 10.

Primjena svojstva ograničenosti funkcija na rješavanje jednadžbi i nejednadžbi.

1. MAJORANT METODA (METODA OCJENJIVANJA)

Glavna ideja majorantne metode je sljedeća:

Neka imamo jednadžbu i postoji takav broj M to za bilo koga X iz domene definicije https://pandia.ru/text/78/376/images/image003_26.gif" width="160" height="23">. Tada je jednadžba ekvivalentna sustavu https://pandia .ru/text/78 /376/images/image005_16.gif" width="96" height="35 src=">.

Otopina. Procijenimo obje strane jednadžbe.

Za sve vrijednosti X nejednakosti https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_10.gif" width="188" height="59 src="> su točne.

Rezultirajući sustav nema rješenja, jer https://pandia.ru/text/78/376/images/image009_6.gif" width="20" height="20">

Primjer 1.2 ..gif" width="157" height="20">.gif" width="75" height="51 src=">.

Rješenje prve jednadžbe sustava su vrijednosti https://pandia.ru/text/78/376/images/image014_3.gif" width="201" height="48 src=">.

Stoga, sustavno rješenje.

Odgovor: .

Primjer 1.3. Riješite nejednadžbu https://pandia.ru/text/78/376/images/image016_0.gif" width="56" height="19">.gif" width="84" height="21">.gif" width="156 height=61" height="61">.

Obrnuta zamjena: X + 1 = 0 .

Odgovor: - 1.

Primjer 1.4. Pronađite sve vrijednosti parametara A, od kojih svaka jednadžba ima rješenja. Pronađite ova rješenja.

Otopina.

Prepišimo jednadžbu u obliku . Za sve vrijednosti X izraz dakle https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_0.gif" width="87" height="19 src="> i ..gif" width="405" height="91">

Odgovor: https://pandia.ru/text/78/376/images/image031_0.gif" width="51" height="41 src=">

2. “SUSRET NA RUBU”

Varijanta majorantne metode su problemi (" susret na rubu") u kojem skupovi vrijednosti lijeve i desne strane jednadžbe ili nejednadžbe imaju jedinstvenu zajednička točka, što je najveća vrijednost za jedan dio, a najmanja za drugi.

Kako krenuti u rješavanje takvih problema? Prije svega – donesite zadane jednadžbe ili nejednakost na više jednostavan pogled: rastavljanjem na faktore, uklanjanjem modula, logaritama, itd. Zatim morate ponovno pažljivo pročitati zadatak, pokušati nacrtati grafičku sliku funkcija uključenih u zadatak.

Primjer 2.1. Riješite jednadžbu.

Otopina. Korijen jednadžbe lako je pogoditi – jest x= 1. Ali nije moguće dokazati njegovu jedinstvenost iz razmatranja monotonosti, jer ni lijeva ni desna strana jednadžbe nisu monotone funkcije. Ovdje se koristi druga ideja..gif" width="191" height="51">. Najveća vrijednost desne strane rezultirajuće jednadžbe je 1 i uzima se u točki x= 1..gif" width="185" height="52 src=">). Prema tome, lijeva strana doseže do x= 1 tvoj najniža vrijednost, koji je također jednak 1. Zaključak: jednakost je zadovoljena ako i samo ako su obje strane istovremeno jednake 1, tj. x = 1.

Primjer 2.2. Riješite jednadžbu.

1 način.

Otopina: Imajte na umu da lijeva strana jednadžbe nije veća od jedan, dok desna strana nije manja od jedan. Dakle, izvorna jednadžba ima rješenje samo ako su joj obje strane jednake jedan. To je moguće samo s .

Odgovor: .

Metoda 2. Ova se jednadžba može riješiti grafički. Da bismo to učinili, konstruirajmo grafove desne i lijeve strane jednadžbe u jednom koordinatnom sustavu, odnosno graf funkcije i graf funkcije https://pandia.ru/text/78/376/images /image008_7.gif" width="37" height=" 19">.

Odgovor: .

Primjer 2. 3. Riješite jednadžbu https://pandia.ru/text/78/376/images/image042_0.gif" width="301" height="35 src=">

tada je ova jednadžba zadovoljena samo ako je sustav zadovoljen . Prva jednadžba sustava ima jedan korijen X= 1, ali ovaj korijen ne zadovoljava drugu jednadžbu. Dakle, sustav nema rješenja.

Odgovor: Æ

Primjer 2.4. Riješite jednadžbu https://pandia.ru/text/78/376/images/image045_0.gif" width="105" height="21">, tada lijeva strana jednadžbe poprima vrijednost od do 2. .gif" width=" 137" height="53">..gif" width="217" height="24"> ima rješenje.

Otopina.

Procijenimo obje strane nejednakosti. Da bismo to učinili, transformiramo desnu stranu nejednadžbe odabirom cijelog kvadrata ..gif" width="71" height="19">.gif" width="121" height="24 src=">.gif " width="51" height ="41">(odnosno postoji “sastanak na rubu”).

Odgovor:

Primjer 2.6. Pronađite sve vrijednosti parametara A za koje jednadžba

Galaeva Ekaterina, učenica 11. razreda srednje škole MAOU br. 149 u Nižnjem Novgorodu

Rad je primijenjene i istraživačke naravi. Radi cjelovitosti, studije su pregledane sljedeća pitanja:

– Kako se svojstva funkcije odražavaju pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi?

– Koje se jednadžbe i nejednadžbe rješavaju određivanjem svojstava domene definicije, skupa vrijednosti, invarijantnosti?

– Koji je algoritam rješenja?

– Razmotreni zadaci s parametrima predloženim u materijalima KIM-a u pripremi za Jedinstveni državni ispit.

Ekaterina je u svom radu ispitivala širok raspon problema i sistematizirala ih prema izgled.

preuzimanje:

Pregled:

https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Riješite nejednadžbu Rješenje. Funkcija f (x) = monotono raste na cijelom brojevnom pravcu, a funkcija g (x) = monotono pada na cijelom području definicije. Stoga je nejednakost f (x) > g (x) zadovoljena ako je x >

Hvala na pozornosti!

Pregled:

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Primjena svojstava funkcije pri rješavanju jednadžbi i nejednakosti Završio je posao: Galaeva Ekaterina MBOU Srednja škola br. 149 Moskovskog okruga Učenici razreda 11 "A" Znanstveni voditelj: Fadeeva I. A. Učiteljica matematike

Glavni smjerovi: Proučavanje svojstava funkcije: monotonost, ograničenost, domena definicije i invarijantnost Naučiti osnovne izjave koje se najčešće koriste pri rješavanju jednadžbi, nejednadžbi i sustava Rješavanje problema iz CMM materijala za pripremu za Jedinstveni državni ispit

Monotonost Funkcija raste ako višu vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije. Funkcija opada ako manjoj vrijednosti funkcije odgovara veća vrijednost argumenta. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

Tvrdnja 1. Ako je funkcija y = f (x) monotona, tada jednadžba f (x) = c ima najviše jedan korijen. x =2 f(x) = - monotono opadajuća, što znači da nema drugih rješenja. Odgovor: x =2

Tvrdnja 2. Ako funkcija y = f (x) monotono raste, a funkcija y = g (x) monotono opada, tada jednadžba f (x) = g (x) ima najviše jedan korijen. 2 - x = log (x +11) + 1 g (x) = 2 - x je monotono padajuća, a funkcija f (x) = log (x + 11) + 1 monotono rastuća na domeni definicije, što znači da jednadžba f (x ) = g (x) ima najviše jedan korijen. Izborom utvrđujemo da je x = -1. Gornja izjava opravdava jedinstvenost rješenja.

a) f (x) ≤ g (x) ako i samo ako je x ϵ (- ∞ ; x 0 ]; b) f (x) ≥ g (x) ako i samo ako je x ϵ [x 0 ; +∞). Vizualno značenje ove tvrdnje je očito. Tvrdnja 3. Ako funkcija y = f (x) monotono raste na cijelom brojevnom pravcu, funkcija y = g (x) monotono opada na cijelom brojevnom pravcu i f (x 0) = g (x 0), tada su sljedeće tvrdnje točne:

Riješite nejednadžbu Rješenje. Funkcija f (x) = monotono raste na cijelom brojevnom pravcu, a funkcija g (x) = monotono pada na cijelom području definicije. Dakle, nejednakost f (x) > g (x) je zadovoljena ako je x > 2. Dodajmo domenu definicije nejednadžbe. Dakle, dobivamo odgovor sustava: (2; 5).

Tvrdnja 4. Ako funkcija y = f (x) monotono raste, tada jednadžbe f (x) = x i f (f (x)) = x imaju isti skup korijena, bez obzira na broj ugrađivanja. Posljedica. Ako je n prirodan broj, a funkcija y = f (x) monotono raste, tada jednadžbe f (x) = x i n puta imaju isti skup korijena.

Riješite jednadžbu. Odgovor: Rješenje. Za x ≥1, desna strana jednadžbe nije manja od 1, a lijeva strana je manja od 1. Stoga, ako jednadžba ima korijene, tada je bilo koji od njih manji od 1. Za x ≤0, desna strana strana jednadžbe je nepozitivna, a lijeva strana je pozitivna, zbog činjenice da je . Dakle, bilo koji korijen ove jednadžbe pripada intervalu (0; 1) Množenjem obje strane ove jednadžbe s x i dijeljenjem brojnika i nazivnika lijeve strane s x, dobivamo.

Od =. Označavajući s t, gdje je t 0, dobivamo jednadžbu = t. Razmotrimo funkciju f (t)= 1+ koja raste na svojoj domeni definicije. Rezultirajuća jednadžba može se napisati u obliku f (f (f (f (t))))= t, a prema korolariji tvrdnje 4, ima isti skup rješenja kao jednadžba f (t)= t, tj. jednadžba 1 + = t, odakle. Jedini pozitivan korijen ova kvadratna relativna jednadžba je. To znači gdje, tj. , ili. Odgovor:

Tvrdnja 1. Ako je max f (x) = s i min g (x) = s, tada jednadžba f (x) = g (x) ima isti skup rješenja kao i sustav Ograničenost Maksimalna vrijednost lijeve strane je 1 i minimalna vrijednost desna strana od 1, što znači da se rješenje jednadžbe svodi na sustav jednadžbi: , iz druge jednadžbe nalazimo mogućeg kandidata x=0, te smo uvjereni da je to rješenje prve jednadžbe. Odgovor: x=1 .

Riješite jednadžbu Rješenje. Budući da sin3x≤1 i cos4x≤1, lijeva strana ove jednadžbe ne prelazi 7. Može biti jednaka 7 ako i samo ako je gdje gdje k ​​, n ϵ Z . Ostaje utvrditi da li postoje cijeli brojevi k i n takvi da najnoviji sustav ima rješenja. Odgovor: Z

U problemima s nepoznanicama x i parametrom a, domena definicije se shvaća kao skup svih uređenih parova brojeva (x; a), od kojih je svaki takav da nakon zamjene odgovarajućih vrijednosti x i a u sve relacije uključeni u problem, utvrdit će se. Primjer 1. Za svaku vrijednost parametra a riješiti nejednadžbu Rješenje. Nađimo domenu definicije ove nejednakosti. Iz čega je jasno da sustav nema rješenja. To znači da područje definiranja nejednadžbe ne sadrži nijedan par brojeva x i a, pa stoga nejednadžba nema rješenja. Opseg odgovora:

Invarijantnost, tj. nepromjenjivost jednadžbe ili nejednakosti u odnosu na zamjenu varijable bilo kojom algebarski izraz iz ove varijable. Najjednostavniji primjer invarijantnosti je paritet: ako – ravnomjerna funkcija, tada je jednadžba nepromjenjiva prema zamjeni x i – x, budući da je = 0. Invarijantnost

Pronađite korijene jednadžbe. Otopina. Imajte na umu da je par nepromjenjiv u odnosu na supstituciju. Zamjenom u jednakosti, dobivamo. Množenjem obje strane te jednakosti s 2 i oduzimanjem jednakosti član po član od dobivene jednakosti, nalazimo 3, odakle. Sada ostaje riješiti jednadžbu, odakle su korijeni jednadžbe brojevi. Odgovor: .

Pronađite sve vrijednosti a za svaku od kojih jednadžba ima više od tri razna rješenja. Rješavanje problema sa svojstvom monotonosti parametra

|x|= pozitivno X= |x|= Da bi postojala dva korijena, brojnik mora biti pozitivan. Stoga, Kada se korijeni prve i druge jednadžbe podudaraju, što ne ispunjava uvjet uvjeta: prisutnost više od tri korijena. Odgovor: .

Pronađite sve vrijednosti a za svaku od kojih jednadžba ima dva korijena. Transformirajmo jednadžbu u oblik I razmotrimo funkciju f(x) = definiranu i kontinuiranu na cijelom brojevnom pravcu. Graf ove funkcije je izlomljena linija koja se sastoji od odsječaka ravnice i poluge, od kojih je svaka karika dio prave linije oblika y= kt+l. f(x)= Za bilo koju vrijednost, otkrivanje modula prvog izraza k ne prelazi 8, stoga će povećanje i smanjenje funkcije f(x) ovisiti o otkrivanju drugog modula. Pri x f(x) će se smanjivati, a pri x povećavati. To jest, za x=3 funkcija će uzeti najveća vrijednost. Da bi jednadžba imala dva korijena, potrebno je f(3) svojstvo monotonosti

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Odgovor: a

Nađite sve vrijednosti parametra a, za svaku od kojih vrijedi nejednakost za bilo koju stvarnu vrijednost x. Prepišimo nejednakost u obliku, uvedimo novu varijablu t = i razmotrimo definiranu funkciju f (t) =. a neprekidan na cijelom brojevnom pravcu. Graf ove funkcije je izlomljena linija koja se sastoji od odsječaka i zraka, od kojih je svaka karika dio linije oblika, gdje

Budući da je t ϵ [-1; 1]. Zbog monotonog opadanja funkcije y = f (t) dovoljno je provjeriti lijevi rub ovog segmenta. Z. A je istinito. To znači da je moguće samo ako su brojevi i i v istog predznaka ili je jedan od njih jednak nuli. , = () () 0. Faktoriziranjem kvadratnih trinoma dobivamo nejednadžbu (, iz koje nalazimo da je a ϵ (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞). Odgovor: (- ∞ 1] U (2) U )