Primjeri derivata proizvoda s rješenjem. Pravila za izračunavanje izvedenica

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, razmotrimo odmah inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim", a za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:

Primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive izvoda. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.

Pravila razlikovanja

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim povećanjem funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je izvučena iz predznaka izvoda.

Ako - neki stalni broj (konstanta), tada.

Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u točki;
2. u točki;
3. u točki;
4. u točki.

rješenja:

1. (derivacija je ista u svim točkama, jer je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedimo novu funkciju i pronađemo njezin inkrement:

izvedenica:

Primjeri:

1. Nađite derivacije funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u točki.

rješenja:

Derivacija eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili što je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo izvod funkcije, pa pokušajmo reducirati našu funkciju na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristit ćemo se jednostavnim pravilom: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Dogodilo se?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferenciranja:

U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:

Derivacija logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Moramo svesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Samo što ćemo sada umjesto toga napisati:

Nazivnik je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobiva vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivacija složene funkcije.

Što je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako vam je logaritmiranje teško, pročitajte temu “Logaritmi” i bit ćete dobro), ali s matematičke točke gledišta, riječ “kompleksno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Rezultat je složeni objekt: čokoladna pločica omotana i zavezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti obrnute korake obrnutim redoslijedom.

Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati dobiveni broj. Dakle, dan nam je broj (čokolada), ja mu pronađem kosinus (omot), a ti onda kvadriraš ono što sam ja dobio (zaveži vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvodimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što je proizašlo iz prve.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer,.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadrirate, a ja zatim tražim kosinus dobivenog broja: . Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Pozvat će se radnja koju obavimo posljednju "vanjsku" funkciju, a radnja koja je prva izvedena - prema tome "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju radnju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, a tek onda kubirajte. To znači da je to unutarnja funkcija, ali vanjska.
   A izvorna funkcija je njihov sastav: .
2. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
3. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
4. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
5. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladicu i potražiti izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na izvorni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interno: ;

Vanjski: ;

2) Interno: ;

(Samo ga nemojte pokušavati prerezati do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interno: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da je riječ o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo ovu funkciju "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo redoslijed radnji.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Trg. .

5. Sve zajedno:

DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni priraštaj argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je izuzeta iz predznaka izvoda:

Derivacija zbroja:

Derivat proizvoda:

Derivacija kvocijenta:

Derivacija složene funkcije:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

1. Definiramo “unutarnju” funkciju i nalazimo njezinu derivaciju.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge točke.

Što je derivacija funkcije - to je osnovni matematički koncept koji je na istoj razini kao i integrali u analizi. Ova funkcija u određenoj točki daje karakteristiku brzine promjene funkcije u ovoj točki.
Koncepti kao što su diferencijacija i integracija, prvi se dešifrira kao radnja traženja derivata, drugi, naprotiv, vraća funkciju počevši od danog derivata.
Derivacijski izračuni igraju važnu ulogu u diferencijalnim izračunima.
Za jasan primjer, oslikajmo derivaciju na koordinatnoj ravnini.

u funkciji y=f(x) fiksiramo točke M u kojima (x0; f(X0)) i N f (x0+?x) svakoj apscisi postoji prirast u obliku?x. Inkrement je proces kada se mijenja apscisa, a zatim se mijenja i ordinata. Označava se kao?y.
Nađimo tangens kuta u trokutu MPN koristeći točke M i N za to.

tg? = NP/MP = ?u/?x.

As?x ide na 0. Sjecište MN sve je bliže tangenti MT i kutu? htjeti?. Stoga, tg? maksimalna vrijednost za tg?.

tg? = lim od?x-0 tg ? = lim od?x-0 ?y/?x

Tablica izvedenica

Ako izgovorite formulaciju svake formule izvedenica. Tablicu ćete lakše zapamtiti.
1) Derivacija konstantne vrijednosti je 0.
2) X s prostim brojem jednak je jedan.
3) Ako postoji konstantan faktor, jednostavno ga izvadimo kao izvod.
4) Da biste pronašli izvedenu potenciju, trebate pomnožiti eksponent dane potencije s potencijom s istom bazom, čiji je eksponent za 1 manji.
5) Traženje korijena jednako je jedan podijeljeno s 2 od ovih korijena.
6) Derivacija jednog podijeljenog s X jednaka je jedan podijeljenom s X na kvadrat, s predznakom minus.
7) P sinus je kosinus
8) P kosinus jednak je sinusu s predznakom minus.
9) P tangens je jedan podijeljen kosinusom na kvadrat.
10) P kotangens je jednak jedan s predznakom minus, podijeljen sa sinusom na kvadrat.

Postoje i pravila u razlikovanju, koja se također lakše uče izgovaranjem naglas.

1) Vrlo jednostavno, n članova jednako je njihovom zbroju.
2) Derivacija u množenju jednaka je množenju prve vrijednosti s drugom, pribrajajući sebi množenje druge vrijednosti s prvom.
3) Derivacija pri dijeljenju jednaka je množenju prve vrijednosti s drugom, oduzimajući množenje druge vrijednosti s prvom. Razlomak podijeljen drugom vrijednošću na kvadrat.
4) Formulacija je poseban slučaj treće formule.

Neka su funkcije u definirane u nekoj okolini točke i neka imaju derivacije u točki. Tada njihov umnožak ima izvod u točki, koji je određen formulom:
(1) .

Dokaz

Uvedimo sljedeću oznaku:
;
.
Ovdje i su funkcije varijabli i . Ali radi lakšeg bilježenja, izostavit ćemo oznake njihovih argumenata.

Zatim to primjećujemo
;
.
Prema uvjetu, funkcije i imaju derivacije u točki, a to su sljedeće granice:
;
.
Iz postojanja izvodnica slijedi da su funkcije i neprekidne u točki. Zato
;
.

Promotrimo funkciju y varijable x, koja je umnožak funkcija i:
.
Razmotrimo prirast ove funkcije u točki:



.
Sada nalazimo izvod:


.

Tako,
.
Pravilo je dokazano.

Umjesto varijable možete koristiti bilo koju drugu varijablu. Označimo to kao x. Tada ako postoje derivacije i , tada je derivacija umnoška dviju funkcija određena formulom:
.
Ili u kraćoj verziji
(1) .

Posljedica

Neka su to funkcije nezavisne varijable x. Zatim
;
;
itd...

Dokažimo prvu formulu. Prvo primjenjujemo formulu derivacije produkta (1) za funkcije i , a zatim za funkcije i :

.

Druge slične formule dokazuju se na sličan način.

Primjeri

Primjer 1

Nađi izvedenicu
.

Primjenjujemo pravilo za razlikovanje umnoška dviju funkcija
(1) .
.

Iz tablice izvedenica nalazimo:
;
.
Zatim
.

Konačno imamo:
.

Primjer 2

Odredite izvod funkcije iz varijable x
.

Primjenjujemo formulu za derivaciju umnoška dviju funkcija:
(1) .
.

Primjenjujemo formulu za derivaciju zbroja i razlike funkcija:
.
.

Primjenjujemo pravila za razlikovanje konstanti:
;
.
;
.

U ovoj lekciji nastavljamo proučavati derivacije funkcija i prelazimo na napredniju temu, naime derivacije umnožaka i kvocijenata. Ako ste gledali prethodnu lekciju, vjerojatno ste shvatili da smo razmatrali samo najjednostavnije konstrukcije, naime derivaciju potencije, zbroj i razliku. Konkretno, naučili smo da je derivacija zbroja jednaka njihovom zbroju, a derivacija razlike jednaka njihovoj razlici. Nažalost, u slučaju derivata kvocijenta i produkta, formule će biti mnogo kompliciranije. Počet ćemo s formulom za derivaciju produkta funkcija.

Derivacije trigonometrijskih funkcija

Za početak, da napravim malu lirsku digresiju. Činjenica je da ćemo osim standardne funkcije stepena - $y=((x)^(n))$, u ovoj lekciji susresti i druge funkcije, naime $y=\sin x$, kao i $ y=\ cos x$ i druga trigonometrija - $y=tgx$ i, naravno, $y=ctgx$.

Ako svi savršeno dobro znamo derivaciju funkcije potencije, naime $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, onda što se tiče trigonometrijske funkcije, potrebno je posebno spomenuti. Zapišimo to:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\lijevo(tgx \desno))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\lijevo( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Ali ti jako dobro znaš ove formule, idemo dalje.

Što je derivat proizvoda?

Prvo, ono najvažnije: ako je funkcija produkt dviju drugih funkcija, na primjer, $f\cdot g$, tada će derivacija ove konstrukcije biti jednaka sljedećem izrazu:

Kao što vidite, ova je formula znatno drugačija i složenija od formula koje smo ranije gledali. Na primjer, derivacija zbroja izračunava se na elementarni način - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ili derivacija razlika, koja se također izračunava na elementarni način - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Pokušajmo primijeniti prvu formulu za izračunavanje derivacija dviju funkcija koje su nam zadane u zadatku. Počnimo s prvim primjerom:

Očito, sljedeća konstrukcija djeluje kao produkt, točnije, kao množitelj: $((x)^(3))$, možemo ga smatrati $f$, i $\left(x-5 \right) $ možemo smatrati $g$. Tada će njihov proizvod biti upravo proizvod dviju funkcija. Mi odlučujemo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \lijevo(x-5 \desno)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Sada pobliže pogledajmo svaki od naših pojmova. Vidimo da i prvi i drugi član sadrže stupanj $x$: u prvom slučaju to je $((x)^(2))$, au drugom je $((x)^(3)) $. Izvadimo najmanji stupanj iz zagrada, ostavljajući u zagradama:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \lijevo(x-5 \desno)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\lijevo(3\cdot 1\lijevo(x-5 \desno)+x \desno)= \\& =((x)^(2))\lijevo(3x-15+x \desno)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(align)\]

To je to, pronašli smo odgovor.

Vratimo se našim problemima i pokušajmo ih riješiti:

Dakle, prepišimo:

Opet napominjemo da govorimo o umnošku umnoška dviju funkcija: $x$, koja se može označiti s $f$, i $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, koja se može označiti s $g$.

Dakle, opet imamo pred sobom produkt dviju funkcija. Da bismo pronašli derivaciju funkcije $f\left(x \right)$ ponovno ćemo koristiti našu formulu. Dobivamo:

\[\begin(align)& (f)"=\lijevo(x \desno)"\cdot \lijevo(\sqrt(x)-1 \desno)+x\cdot ((\lijevo(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Odgovor je pronađen.

Zašto faktorizirati izvedenice?

Upravo smo upotrijebili nekoliko vrlo važnih matematičkih činjenica, koje same po sebi nisu vezane uz derivacije, ali bez njihovog poznavanja svako daljnje proučavanje ove teme jednostavno nema smisla.

Prvo, rješavajući prvi problem i nakon što smo se već riješili svih znakova izvedenica, iz nekog smo razloga počeli faktorizirati ovaj izraz.

Drugo, pri rješavanju sljedećeg zadatka nekoliko smo puta prelazili s korijena na potenciju s racionalnim eksponentom i natrag, koristeći formulu 8-9 razreda, koju bi vrijedilo posebno ponoviti.

Što se tiče faktorizacije - zašto su potrebni svi ti dodatni napori i transformacije? Zapravo, ako problem jednostavno kaže "pronađi derivaciju funkcije", tada ti dodatni koraci nisu potrebni. Međutim, u stvarnim problemima koji vas čekaju na svim vrstama ispita i kolokvija jednostavno pronalaženje izvedenice često nije dovoljno. Činjenica je da je derivacija samo alat s kojim možete saznati, na primjer, porast ili pad funkcije, a za to morate riješiti jednadžbu i faktorizirati je. I ovdje će ova tehnika biti vrlo prikladna. I općenito, puno je prikladnije i ugodnije raditi s funkcijom faktoriziranom u budućnosti ako su potrebne bilo kakve transformacije. Stoga, pravilo br. 1: ako se izvod može faktorizirati, to je ono što trebate učiniti. I odmah pravilo br. 2 (zapravo, ovo je gradivo za 8-9. razred): ako zadatak sadrži korijen n-tog stupnja, a korijen je jasno veći od dva, tada se taj korijen može zamijeniti običnim stupnjem s racionalnim eksponentom, a u eksponentu će se pojaviti razlomak, gdje n― upravo taj stupanj ― bit će u nazivniku ovog razlomka.

Naravno, ako ispod korijena postoji neki stupanj (u našem slučaju to je stupanj k), onda ne ide nigdje, nego jednostavno završi u brojniku upravo tog stupnja.

Sad kad sve ovo razumijete, vratimo se na derivacije umnoška i izračunajmo još nekoliko jednadžbi.

Ali prije nego što prijeđem izravno na izračune, želio bih vas podsjetiti na sljedeće obrasce:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Razmotrimo prvi primjer:

Ponovno imamo produkt dviju funkcija: prva je $f$, druga je $g$. Da vas podsjetim na formulu:

\[((\lijevo(f\cdot g \desno))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Odlučimo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\lijevo(\sin x \desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\lijevo(3\sin x+x\cdot \cos x \desno) \\\end(align)\]

Prijeđimo na drugu funkciju:

Opet, $\left(3x-2 \right)$ je funkcija od $f$, $\cos x$ je funkcija od $g$. Ukupno će derivacija umnoška dviju funkcija biti jednaka:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ lijevo(\cos x \desno))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\lijevo(3x-2 \desno)\cdot \lijevo(-\sin x \desno)=3\ cos x-\lijevo(3x-2 \desno)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\lijevo(((x)^(2))\cdot \cos x \desno))^(\prime ))+((\lijevo(4x\sin x \desno)) ^(\prime ))\]

Zapišimo to zasebno:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \desno)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\lijevo(\cos x \desno))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \lijevo(-\sin x \desno)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Ovaj izraz ne faktoriziramo jer ovo još nije konačan odgovor. Sada moramo riješiti drugi dio. Zapišimo to:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\lijevo(\sin x \desno))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Sada se vratimo našem izvornom zadatku i stavimo sve zajedno u jednu strukturu:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

To je to, ovo je konačan odgovor.

Prijeđimo na posljednji primjer - bit će najsloženiji i najobimniji u smislu izračuna. Dakle, primjer:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Računamo svaki dio zasebno:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Vraćajući se na izvornu funkciju, izračunajmo njezinu derivaciju kao cjelinu:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

To je zapravo sve što sam vam htio reći o izvedenicama. Kao što vidite, glavni problem s formulom nije njezino pamćenje, već činjenica da uključuje prilično veliku količinu izračuna. Ali to je u redu, jer sada prelazimo na izvod kvocijenta, gdje ćemo se morati jako potruditi.

Što je derivacija kvocijenta?

Dakle, formula za izvod kvocijenta. Ovo je možda najsloženija formula u školskom tečaju derivata. Recimo da imamo funkciju oblika $\frac(f)(g)$, gdje su $f$ i $g$ također funkcije iz kojih također možemo ukloniti prost broj. Tada će se izračunati prema sljedećoj formuli:

Brojnik nas donekle podsjeća na formulu za izvod umnoška, ​​ali postoji znak minus između članova, a nazivniku je dodan i kvadrat izvornog nazivnika. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi:

Pokušajmo riješiti:

\[(f)"=((\lijevo(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \desno))^(\prime ))=\frac(((\lijevo (((x)^(2))-1 \desno))^(\prime ))\cdot \lijevo(x+2 \desno)-\lijevo(((x)^(2))-1 \desno )\cdot ((\lijevo(x+2 \desno))^(\prime )))(((\lijevo(x+2 \desno))^(2)))\]

Predlažem da ispišete svaki dio posebno i zapišete:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ desno))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\lijevo(x+2 \desno))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]

Prepišimo naš izraz:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 1) (((\lijevo(x+2 \desno))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\lijevo(x+2 \desno))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\lijevo(x+2 \desno) ))^(2))) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor. Prijeđimo na drugu funkciju:

Sudeći po činjenici da je njegov brojnik samo jedan, izračuni će ovdje biti malo jednostavniji. Dakle, napišimo:

\[(y)"=((\lijevo(\frac(1)(((x)^(2))+4) \desno))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \lijevo(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot ((\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(\prime )))(( (\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Izračunajmo svaki dio primjera zasebno:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Prepišimo naš izraz:

\[(y)"=\frac(0\cdot \lijevo(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot 2x)(((\lijevo(((x)^(2) )+4 \desno))^(2)))=-\frac(2x)(((\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Našli smo odgovor. Kao što se i očekivalo, pokazalo se da je količina izračuna znatno manja nego za prvu funkciju.

Koja je razlika između oznaka?

Pažljivi studenti vjerojatno već imaju pitanje: zašto u nekim slučajevima funkciju označavamo kao $f\left(x \right)$, au drugim slučajevima jednostavno pišemo $y$? Zapravo, s gledišta matematike nema apsolutno nikakve razlike – imate pravo koristiti i prvu i drugu oznaku, a na ispitima i kolokvijima neće biti nikakvih kazni. Za one koje još zanima objasnit ću zašto autori udžbenika i zadataka u nekim slučajevima pišu $f\left(x \right)$, au drugim (mnogo češće) jednostavno $y$. Činjenica je da pisanjem funkcije u obliku \ implicitno nagovještavamo onima koji čitaju naše izračune da govorimo upravo o algebarskoj interpretaciji funkcionalne ovisnosti. Odnosno, postoji određena varijabla $x$, razmatramo ovisnost o toj varijabli i označavamo je $f\lijevo(x \desno)$. U isto vrijeme, nakon što je vidio takvu oznaku, onaj tko čita vaše izračune, na primjer, inspektor, podsvjesno će očekivati ​​da ga u budućnosti čekaju samo algebarske transformacije - bez grafikona i bez geometrije.

S druge strane, korištenjem zapisa u obliku \, tj. označavanjem varijable jednim jedinim slovom, odmah dajemo do znanja da nas ubuduće zanima geometrijska interpretacija funkcije, tj. zanima nas, prije svega, sve, u svom grafikonu. Sukladno tome, kada se suoči sa zapisom forme, čitatelj ima pravo očekivati ​​grafičke izračune, tj. grafikone, konstrukcije itd., ali, ni u kojem slučaju, analitičke transformacije.

Također bih želio skrenuti vašu pozornost na jednu značajku dizajna zadataka koje danas razmatramo. Mnogi učenici misle da sam dao previše detaljne izračune, a mnoge bi mogli preskočiti ili jednostavno riješiti u glavi. Međutim, upravo tako detaljan zapis omogućit će vam da se riješite uvredljivih pogrešaka i značajno povećate postotak točno riješenih zadataka, na primjer, u slučaju samostalne pripreme za testove ili ispite. Stoga, ako još uvijek niste sigurni u svoje sposobnosti, ako tek počinjete proučavati ovu temu, nemojte žuriti - detaljno opišite svaki korak, zapišite svaki faktor, svaki potez i vrlo brzo ćete naučiti bolje rješavati takve primjere nego mnogi školski učitelji. Nadam se da je ovo jasno. Nabrojimo još nekoliko primjera.

Nekoliko zanimljivih zadataka

Ovaj put, kao što vidimo, trigonometrija je prisutna u izvedenicama koje se izračunavaju. Stoga vas podsjećam na sljedeće:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Naravno, ne možemo bez izvoda kvocijenta, naime:

\[((\lijevo(\frac(f)(g) \desno))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Razmotrimo prvu funkciju:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Dakle, pronašli smo rješenje za ovaj izraz.

Prijeđimo na drugi primjer:

Očito je da će njezina derivacija biti složenija, makar samo zato što je trigonometrija prisutna i u brojniku i u nazivniku ove funkcije. Mi odlučujemo:

\[(y)"=((\lijevo(\frac(x\sin x)(\cos x) \desno))^(\prime ))=\frac(((\lijevo(x\sin x \desno) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Imajte na umu da imamo izvedenicu proizvoda. U ovom slučaju to će biti jednako:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ desno))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Vratimo se našim izračunima. Zapisujemo:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\lijevo(\sin x+x\cos x \desno)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \lijevo(-\sin x \desno) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\lijevo(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \desno))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

To je sve! Računali smo.

Kako derivaciju kvocijenta svesti na jednostavnu formulu za derivaciju umnoška?

I ovdje bih želio dati jednu vrlo važnu napomenu koja se tiče trigonometrijskih funkcija. Činjenica je da naša izvorna konstrukcija sadrži izraz u obliku $\frac(\sin x)(\cos x)$, koji se jednostavno može zamijeniti s $tgx$. Dakle, izvodimo kvocijent na jednostavniju formulu za izvod umnoška. Izračunajmo ponovno ovaj primjer i usporedimo rezultate.

Dakle, sada moramo razmotriti sljedeće:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Napišimo ponovno našu izvornu funkciju $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ uzimajući u obzir ovu činjenicu. Dobivamo:

Računajmo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Sada, ako dobiveni rezultat usporedimo s onim što smo ranije dobili pri računanju na drugačiji način, uvjerit ćemo se da smo dobili isti izraz. Dakle, bez obzira na koji način idemo kod izračuna derivacije, ako je sve točno izračunato, odgovor će biti isti.

Važne nijanse pri rješavanju problema

Zaključno, želio bih vam reći još jednu suptilnost u vezi s izračunavanjem derivata kvocijenta. Ono što ću vam sada reći nije bilo u izvornom scenariju video lekcije. Međutim, par sati prije snimanja učio sam s jednim od svojih studenata i baš smo razgovarali o temi kvocijentnih derivata. I, kako se pokazalo, mnogi studenti ne razumiju ovu točku. Dakle, recimo da trebamo izračunati hod uklanjanja sljedeće funkcije:

U principu, na prvi pogled u tome nema ničeg nadnaravnog. Međutim, u procesu izračuna možemo napraviti mnoge glupe i uvredljive pogreške, o kojima bih sada želio razgovarati.

Dakle, izračunavamo ovu derivaciju. Prije svega, napominjemo da imamo izraz $3((x)^(2))$, pa je prikladno podsjetiti se sljedeće formule:

\[((\lijevo(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Osim toga, imamo izraz $\frac(48)(x)$ - njime ćemo se baviti kroz izvod kvocijenta, naime:

\[((\lijevo(\frac(f)(g) \desno))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Dakle, odlučimo:

\[(y)"=((\lijevo(\frac(48)(x) \desno))^(\prime ))+((\lijevo(3((x)^(2)) \desno)) ^(\prime ))+10(0)"\]

S prvim terminom nema problema, pogledajte:

\[((\lijevo(3((x)^(2)) \desno))^(\prime ))=3\cdot ((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Ali s prvim članom, $\frac(48)(x)$, trebate raditi odvojeno. Činjenica je da mnogi učenici brkaju situaciju kada trebaju pronaći $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ i kada trebaju pronaći $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Odnosno, zbunjuju se kada je konstanta u nazivniku, a kada je konstanta u brojniku, odnosno kada je varijabla u brojniku ili u nazivniku.

Počnimo s prvom opcijom:

\[((\lijevo(\frac(x)(48) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(\frac(1)(48)\cdot x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

S druge strane, ako pokušamo učiniti isto s drugim razlomkom, dobit ćemo sljedeće:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\lijevo(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Međutim, isti bi se primjer mogao izračunati drugačije: u fazi u kojoj smo prešli na izvod kvocijenta, $\frac(1)(x)$ možemo smatrati potencijom s negativnim eksponentom, tj. dobivamo sljedeće :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

I tako, i tako smo dobili isti odgovor.

Tako se još jednom uvjeravamo u dvije važne činjenice. Prvo, ista derivacija može se izračunati na potpuno različite načine. Na primjer, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ može se smatrati i izvodom kvocijenta i izvodom funkcije potencije. Štoviše, ako su svi izračuni izvedeni ispravno, odgovor će uvijek biti isti. Drugo, kada se računaju izvedenice koje sadrže i varijablu i konstantu, fundamentalno je važno gdje se varijabla nalazi - u brojniku ili u nazivniku. U prvom slučaju, kada je varijabla u brojniku, dobivamo jednostavnu linearnu funkciju koju je lako izračunati. A ako je varijabla u nazivniku, tada dobivamo složeniji izraz s popratnim izračunima danim ranije.

U ovom trenutku lekcija se može smatrati završenom, pa ako ne razumijete ništa o izvedenicama kvocijenta ili proizvoda, i općenito, ako imate bilo kakvih pitanja o ovoj temi, ne oklijevajte - idite na moju web stranicu , pišite, zovite, a ja ću svakako pokušati mogu li vam pomoći.

Derivacije same po sebi nisu složena tema, ali su vrlo opsežne, a ono što sada proučavamo koristit ćemo u budućnosti pri rješavanju složenijih problema. Zato je bolje sve nesporazume vezane uz izračun derivata kvocijenta ili umnoška identificirati odmah, odmah. Ne kada su golema gruda nesporazuma, nego kada su mala teniska loptica s kojom se lako nositi.

Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje derivata: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može uzeti iz predznaka derivacije. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o derivatima za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.