Otvaranje kocke zbroja. Razlikovna kocka i razlika kubova: pravila za primjenu skraćenih formula za množenje

Formule skraćenog množenja. Trening.

Pokušajte procijeniti sljedeće izraze na ovaj način:

odgovori:

Ili, ako znate kvadrate osnovnih dvoznamenkastih brojeva, sjetite se koliko je to? Sjećaš li se? . Sjajno! Budući da kvadriramo, moramo pomnožiti s. Ispostavilo se da.

Zapamtite da formule kvadrata zbroja i kvadrata razlike vrijede ne samo za numeričke izraze:

Izračunajte sami sljedeće izraze:

odgovori:

Formule skraćenog množenja. Poanta.

Sažmimo malo i napišimo formule za kvadrat zbroja i razlike u jedan redak:

Vježbajmo sada "sastavljanje" formule iz dekomponiranog prikaza u prikaz. Ova će nam vještina trebati kasnije pri pretvaranju velikih izraza.

Recimo da imamo sljedeći izraz:

Znamo da je kvadrat zbroja (ili razlike). kvadrat jednog broja kvadrat drugog broja I dvostruki umnožak ovih brojeva.

U ovom zadatku lako je vidjeti kvadrat jednog broja - ovo. Prema tome, jedan od brojeva uključenih u zagradu je kvadratni korijen od, tj

Budući da drugi član sadrži, to znači da je ovo dvostruki umnožak jednog i drugog broja, redom:

Gdje je drugi broj uključen u našu zagradu.

Drugi broj u zagradi jednak je.

Provjerimo. treba biti jednak. Doista, to je tako, što znači da smo našli oba broja prisutna u zagradama: i. Ostaje odrediti znak koji stoji između njih. Što mislite kakav će znak biti tamo?

Pravo! Pošto mi dodati Ako je umnožak udvostručen, između brojeva će biti znak zbrajanja. Sada zapišite transformirani izraz. Jeste li uspjeli? Trebali biste dobiti sljedeće:

Napomena: promjena mjesta pojmova ne utječe na rezultat (nije bitno je li zbrajanje ili oduzimanje stavljeno između i).

Apsolutno nije nužno da izrazi u izrazu koji se pretvaraju budu onakvi kakvi su napisani u formuli. Pogledajte ovaj izraz: . Pokušajte ga sami pretvoriti. Dogodilo se?

Vježbajte - transformirajte sljedeće izraze:

odgovori: Jeste li uspjeli? Sredimo temu. Od donjih izraza odaberite one koji se mogu prikazati kao kvadrat zbroja ili razlike.

1. - dokazati da je ekvivalentan.

1. - ne može se prikazati kao kvadrat; moglo bi se zamisliti da umjesto toga postoji.

Razlika kvadrata

Još jedna skraćena formula množenja je razlika kvadrata.

Razlika kvadrata nije kvadrat razlike!

Razlika kvadrata dvaju brojeva jednaka je umnošku zbroja tih brojeva i njihove razlike:

Provjerimo je li ova formula točna. Da bismo to učinili, pomnožimo, kao što smo učinili kada smo izvodili formule za kvadrat zbroja i razlike:

Dakle, upravo smo potvrdili da je formula doista točna. Ova formula također pojednostavljuje složene računalne operacije. Evo primjera:

Potrebno je izračunati: . Naravno, možemo kvadrirati, pa kvadrirati i oduzimati jedno od drugog, ali formula nam olakšava:

Dogodilo se? Usporedimo rezultate:

Kao i kvadrat zbroja (razlike), formula razlike kvadrata može se koristiti ne samo s brojevima:

Znati kako izračunati razliku kvadrata pomoći će nam transformirati složene matematičke izraze.

Obratiti pažnju:

Budući da rastavljanjem razlike pravog izraza na kvadrat dobivamo

Budite oprezni i pogledajte koji se izraz kvadrira! Da biste učvrstili temu, transformirajte sljedeće izraze:

Jeste li to zapisali? Usporedimo dobivene izraze:

Sada kada ste svladali kvadrat zbroja i kvadrat razlike, kao i razliku kvadrata, pokušajmo riješiti primjere na kombinaciji ove tri formule.

Pretvorba elementarnih izraza (zbroj na kvadrat, razlika na kvadrat, razlika kvadrata)

Recimo da nam se da primjer

Ovaj izraz treba pojednostaviti. Pogledajte pažljivo, što vidite u brojniku? Tako je, brojnik je potpuni kvadrat:

Kada pojednostavljujete izraz, zapamtite da je ključ u kojem smjeru ići u pojednostavljenju nazivnik (ili brojnik). U našem slučaju, kada je nazivnik proširen i ništa se više ne može učiniti, možemo shvatiti da će brojnik biti ili kvadrat zbroja ili kvadrat razlike. Budući da zbrajamo, postaje jasno da je brojnik kvadrat zbroja.

Pokušajte sami pretvoriti sljedeće izraze:

Dogodilo se? Usporedite odgovore i krenite dalje!

Kocka zbroja i kub razlike

Formule kuba zbroja i kuba razlike izvode se na isti način kao kvadrat zbroja I kvadrat razlike: otvaranje zagrada kod međusobnog množenja pojmova.

Ako je kvadrat zbroja i kvadrat razlike vrlo lako zapamtiti, onda se postavlja pitanje: "kako zapamtiti kocke?"

Pažljivo pogledajte dvije opisane formule u usporedbi s kvadriranjem sličnih izraza:

Kakav uzorak vidite?

1. Kada je podignut u kvadrat imamo kvadrat prvi dan i kvadrat drugi; kad se podigne na kocku – da kocka isti broj i kocka drugi broj.

2. Kada je podignut u kvadrat, imamo udvostručen umnožak brojeva (brojevi podignuti na 1. potenciju, koja je za potenciju manja od one na koju dižemo izraz); tijekom izgradnje u kocka - utrostručio umnožak u kojem je jedan od brojeva kvadriran (što je također za 1 potenciju manje od potencije na koju podižemo izraz).

3. Kod kvadriranja znak u zagradi u otvorenom izrazu odražava se pri zbrajanju (ili oduzimanju) dvostrukog umnoška - ako je u zagradama zbrajanje, onda zbrajamo, ako je oduzimanje, oduzimamo; kod podizanja kocke vrijedi pravilo: ako imamo kocku zbroja, onda su svi predznaci “+”, a ako imamo kocku razlike, onda se predznaci izmjenjuju: “ ” - “ ” - “ ” - “ “ .

Sve navedeno, osim ovisnosti potencija pri množenju članova, prikazano je na slici.

Hoćemo li vježbati? Otvorite zagrade u sljedećim izrazima:

Usporedite dobivene izraze:

Razlika i zbroj kubova

Pogledajmo zadnji par formula: razlika i zbroj kubova.

Kao što se sjećamo, u razlici kvadrata množimo razliku i zbroj tih brojeva jedan s drugim. Također postoje dvije zagrade u razlici kubova i zbroju kocki:

1 zagrada - razlika (ili zbroj) brojeva na prvu potenciju (ovisno otkrivamo li razliku ili zbroj kubova);

2. zagrada je nepotpuni kvadrat (pažljivo pogledajte: kad bismo oduzeli (ili dodali) dvostruki umnožak brojeva, bio bi kvadrat), predznak kod množenja brojeva je suprotan od predznaka izvornog izraza.

Da pojačamo temu, riješimo nekoliko primjera:

Usporedite dobivene izraze:

Trening

odgovori:

Ukratko:

Postoji 7 skraćenih formula množenja:

NAPREDNA RAZINA

Formule skraćenog množenja su formule čije poznavanje može izbjeći izvođenje nekih standardnih radnji pri pojednostavljivanju izraza ili rastavljanju polinoma na faktore. Skraćene formule množenja treba znati napamet!

1. Kvadrat zbroja dva izraza jednaka su kvadratu prvog izraza plus dvostrukom umnošku prvog izraza i drugog plus kvadratu drugog izraza:
2. Kvadratna razlika dva izraza jednaka su kvadratu prvog izraza minus dva puta umnožak prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza:
3. Razlika kvadrata dva izraza jednaka je umnošku razlike tih izraza i njihovog zbroja:
4. Kocka zbroja dva izraza jednaka su kubu prvog izraza plus trostruki umnožak kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki umnožak prvog izraza i kvadrata drugog plus kub drugog izraza:
5. Kocka razlike dva izraza jednaka su kubu prvog izraza minus trostruki umnožak kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki umnožak prvog izraza i kvadrata drugog minus kub drugog izraza:
6. Zbroj kocki dva izraza jednaka je umnošku zbroja prvog i drugog izraza i nepunog kvadrata razlike tih izraza:
7. Razlika kocki dva izraza jednaka je umnošku razlike prvog i drugog izraza s nepotpunim kvadratom zbroja ovih izraza:

Sada dokažimo sve ove formule.

Formule skraćenog množenja. Dokaz.

1. .
Kvadrati izraz znači pomnožiti ga samim sobom:
.

Otvorimo zagrade i dajmo slične:

2. .
Radimo istu stvar: množimo razliku samu sobom, otvaramo zagrade i dajemo slične:
.

3. .
Uzmimo izraz s desne strane i otvorimo zagrade:
.

4. .
Kubirani broj može se predstaviti kao ovaj broj pomnožen svojim kvadratom:

Također:

U razlici kocki predznaci se izmjenjuju.

6. .

.

7. .
Otvorimo zagrade s desne strane:
.

Korištenje formula za skraćeno množenje za rješavanje primjera

Primjer 1:

Pronađite značenje izraza:

Riješenje:

1. Koristimo formulu kvadrata zbroja: .
2. Zamislimo taj broj kao razliku i upotrijebimo formulu za kvadrat razlike: .

Primjer 2:

Pronađite značenje izraza: .

Riješenje:

Koristeći formulu za razliku kvadrata dvaju izraza, dobivamo:

Primjer 3:

Pojednostavite izraz:

Rješenje na dva načina:

Poslužimo se formulama: kvadrat zbroja i kvadrat razlike:

Metoda II.

Upotrijebimo formulu za razliku kvadrata dvaju izraza:

SADA TVOJA RIJEČ...

Rekao sam ti sve što znam o formulama za skraćeno množenje.

Reci mi sada, hoćeš li ih koristiti? Ako ne, zašto ne?

Kako vam se sviđa ovaj članak?

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentarima. Čitamo sve komentare i na sve odgovaramo.

I sretno na ispitima!

U prethodnoj lekciji bavili smo se rastavljanjem na faktore. Savladali smo dvije metode: stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada i grupiranje. U ovoj lekciji - sljedeća moćna metoda: formule skraćenog množenja. Ukratko – FSU.

Skraćene formule množenja (kvadrat zbroja i razlike, kub zbroja i razlike, razlika kvadrata, zbroj i razlika kubova) iznimno su potrebne u svim granama matematike. Koriste se za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednadžbi, množenje polinoma, smanjivanje razlomaka, rješavanje integrala itd. i tako dalje. Ukratko, postoje svi razlozi za suočavanje s njima. Razumjeti odakle dolaze, zašto su potrebni, kako ih zapamtiti i kako ih koristiti.

Razumijemo li?)

Odakle potječu formule za skraćeno množenje?

Jednadžbe 6 i 7 nisu napisane na vrlo poznat način. Nekako je suprotno. Ovo je namjerno.) Svaka jednakost funkcionira i s lijeva na desno i s desna na lijevo. Ovaj unos pojašnjava odakle FSU dolaze.

Uzimaju se iz množenja.) Na primjer:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To je to, bez znanstvenih trikova. Jednostavno množimo zagrade i dajemo slične. Ovako ispada sve skraćene formule množenja. Skraćeno množenje je zato što u samim formulama nema množenja zagrada i smanjivanja sličnih. Skraćeno.) Odmah se daje rezultat.

FSU treba znati napamet. Bez prva tri, ne možete sanjati o C; bez ostalih, ne možete sanjati o B ili A.)

Zašto su nam potrebne formule skraćenog množenja?

Postoje dva razloga da naučite, čak i zapamtite, ove formule. Prvi je da gotov odgovor automatski smanjuje broj pogrešaka. Ali to nije glavni razlog. Ali ovaj drugi...

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Potenciranje je operacija blisko povezana s množenjem; ova operacija je rezultat opetovanog množenja broja samim sobom. Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an = an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Općenito, potenciranje se često koristi u raznim formulama u matematici i fizici. Ova funkcija ima više znanstvenu svrhu od četiri glavne: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.

Dizanje broja na potenciju

Dizanje broja na potenciju nije komplicirana operacija. S množenjem je povezan na sličan način kao odnos množenja i zbrajanja. Zapis an je kratki zapis n-tog broja brojeva "a" međusobno pomnoženih.

Razmotrite potenciranje koristeći najjednostavnije primjere, prelazeći na složene.

Na primjer, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Četiri na kvadrat (na drugu potenciju) jednako je šesnaest. Ako ne razumijete množenje 4 * 4, pročitajte naš članak o množenju.

Pogledajmo još jedan primjer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kubnih (na treću potenciju) jednako je sto dvadeset pet.

Drugi primjer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kubnih jednako je sedamsto dvadeset devet.

Formule za potenciranje

Da biste pravilno podigli na potenciju, trebate zapamtiti i znati dolje navedene formule. U tome nema ničeg ekstra prirodnog, glavna stvar je razumjeti suštinu i tada će se ne samo pamtiti, već će se činiti i lakima.

Dizanje monoma na potenciju

Što je monom? Ovo je proizvod brojeva i varijabli u bilo kojoj količini. Na primjer, dva je monom. A ovaj članak je upravo o dizanju takvih monoma na potencije.

Koristeći formule za potenciranje, neće biti teško izračunati stepenovanje monoma.

Na primjer, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ako podignete monom na potenciju, tada se svaka komponenta monoma podiže na potenciju.

Podizanjem varijable koja već ima potenciju na potenciju, potencije se množe. Na primjer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Podizanje na negativnu potenciju

Negativna potencija je recipročna vrijednost broja. Što je recipročni broj? Recipročna vrijednost bilo kojeg broja X je 1/X. To je X-1=1/X. Ovo je suština negativnog stupnja.

Razmotrimo primjer (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Zašto je to? Budući da je u stupnju minus, ovaj izraz jednostavno prenesemo u nazivnik, a zatim ga podignemo na treću potenciju. Jednostavno zar ne?

Podizanje na razlomak

Započnimo promatranjem problema na konkretnom primjeru. 43/2. Što znači stupanj 3/2? 3 – brojnik, označava dizanje broja (u ovom slučaju 4) na kocku. Broj 2 je nazivnik; to je izvlačenje drugog korijena broja (u ovom slučaju 4).

Zatim dobivamo kvadratni korijen od 43 = 2^3 = 8. Odgovor: 8.

Dakle, nazivnik razlomka može biti 3 ili 4 i do beskonačnosti bilo koji broj, a taj broj određuje stupanj kvadratnog korijena uzetog iz danog broja. Naravno, nazivnik ne može biti nula.

Uzdizanje korijena na snagu

Ako se korijen podigne na stupanj jednak stupnju samog korijena, tada će odgovor biti radikalan izraz. Na primjer, (√x)2 = x. I tako u svakom slučaju, stepen korijena i stepen podizanja korijena su jednaki.

Ako je (√x)^4. Tada je (√x)^4=x^2. Za provjeru rješenja pretvaramo izraz u izraz s razlomačkom potencijom. Budući da je korijen kvadratan, nazivnik je 2. A ako se korijen podigne na četvrtu potenciju, tada je brojnik 4. Dobivamo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

U svakom slučaju, najbolja opcija je jednostavno pretvoriti izraz u izraz s frakcijskom potencijom. Ako se razlomak ne poništava, onda je to odgovor, pod uvjetom da korijen zadanog broja nije izoliran.

Dizanje kompleksnog broja na potenciju

Što je kompleksan broj? Kompleksni broj je izraz koji ima formulu a + b * i; a, b su realni brojevi. i je broj koji, kada se kvadrira, daje broj -1.

Pogledajmo primjer. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se za tečaj "Ubrzajte mentalnu aritmetiku, NE mentalnu aritmetiku" kako biste naučili kako brzo i ispravno zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadrirati brojeve, pa čak i vaditi korijene. U 30 dana naučit ćete kako koristiti jednostavne trikove za pojednostavljivanje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Potenciranje online

Pomoću našeg kalkulatora možete izračunati dizanje broja na potenciju:

Potenciranje 7. razred

Školarci se počinju dizati na snagu tek u sedmom razredu.

Potenciranje je operacija blisko povezana s množenjem; ova operacija je rezultat opetovanog množenja broja samim sobom. Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an=an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primjeri rješenja:

Prezentacija potenciranja

Prezentacija o podizanju moći, namijenjena učenicima sedmog razreda. Prezentacija može razjasniti neke nejasne točke, ali te točke vjerojatno neće biti razjašnjene zahvaljujući našem članku.

Poanta

Pogledali smo samo vrh ledenog brijega, da biste bolje razumjeli matematiku - prijavite se za naš tečaj: Ubrzavanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.

Na tečaju ne samo da ćeš naučiti desetke tehnika za jednostavno i brzo množenje, zbrajanje, množenje, dijeljenje i izračunavanje postotaka, već ćeš ih i vježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno vježbaju prilikom rješavanja zanimljivih problema.

Skraćene izrazne formule vrlo se često koriste u praksi, pa ih je poželjno sve naučiti napamet. Do ovog trenutka vjerno će nam služiti, a preporučamo ga isprintati i uvijek ga imati pred očima:

Prve četiri formule iz sastavljene tablice skraćenih formula množenja omogućuju vam kvadriranje i kubiranje zbroja ili razlike dvaju izraza. Peti je namijenjen kratkom množenju razlike i zbroja dvaju izraza. A šesta i sedma formula koriste se za množenje zbroja dva izraza a i b njihovim nepotpunim kvadratom razlike (tako se naziva izraz oblika a 2 −a b+b 2) i razlike dva izraze a i b nepotpunim kvadratom njihovog zbroja (a 2 + a·b+b 2 ) redom.

Vrijedno je posebno napomenuti da je svaka jednakost u tablici identitet. Ovo objašnjava zašto se formule skraćenog množenja nazivaju i identiteti skraćenog množenja.

Pri rješavanju primjera, posebno u kojima je polinom faktoriziran, FSU se često koristi u obliku sa zamijenjenom lijevom i desnom stranom:

Zadnja tri identiteta u tablici imaju svoja imena. Poziva se formula a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b). formula razlike kvadrata, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - formula zbroja kubova, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - formula razlike kocki. Imajte na umu da odgovarajuće formule nismo imenovali preuređenim dijelovima iz prethodne tablice.

Dodatne formule

Ne bi škodilo dodati još nekoliko identiteta u tablicu skraćenih formula množenja.

Područja primjene formula za skraćeno množenje (FSU) i primjeri

Glavna svrha skraćenih formula množenja (fsu) objašnjena je njihovim nazivom, odnosno sastoji se u kratkom množenju izraza. Međutim, opseg primjene FSU je mnogo širi, i nije ograničen na kratko množenje. Nabrojimo glavne smjerove.

Nedvojbeno je da je središnja primjena formule za skraćeno množenje pronađena u izvođenju identičnih transformacija izraza. Najčešće se ove formule koriste u procesu pojednostavljivanje izraza.

Primjer.

Pojednostavite izraz 9·y−(1+3·y) 2 .

Riješenje.

U ovom izrazu kvadriranje se može izvesti skraćeno, imamo 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Ostaje samo otvoriti zagrade i donijeti slične termine: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Tri faktora, od kojih je svaki jednak x.(\displaystyle x.) Ova aritmetička operacija naziva se "kocka" i označava se njezin rezultat:

x 3 (\displaystyle x^(3))

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x) kocka Za kubni, obrnuta operacija je vađenje kubnog korijena. Geometrijsko ime trećeg stupnja " "je zbog činjenice da su drevni matematičari smatrali vrijednosti kocki kao kubični brojevi , posebna vrsta vitičastih brojeva (vidi dolje), budući da je kocka broja x (\displaystyle x) , posebna vrsta vitičastih brojeva (vidi dolje), budući da je kocka broja.

jednak volumenu kocke s duljinom brida jednakom

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Redoslijed kocki Zbroj prvih kubova n (\displaystyle n)

pozitivnih prirodnih brojeva izračunava se po formuli:

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\lijevo((\frac (n(n+1))(2))\desno) ^(2))

Formula za zbroj kubova može se izvesti pomoću tablice množenja i formule za zbroj aritmetičke progresije. Uzimajući u obzir dvije tablice množenja 5×5 kao ilustraciju metode, provest ćemo rezoniranje za tablice veličine n×n.

Tablica množenja i kocke s brojevima × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Tablica množenja i aritmetička progresija × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Zbroj brojeva u k-tom (k=1,2,...) odabranom području prve tablice:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k − 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))

I zbroj brojeva u k-tom (k=1,2,...) odabranom području druge tablice, koji predstavlja aritmetičku progresiju:

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

Zbrajanjem svih odabranih područja prve tablice dobivamo isti broj kao zbrajanjem svih odabranih područja druge tablice:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\zbroj _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1) ))(2))\zbroj _(k=1)^(n)k=\lijevo((\frac (n(n+1))(2))\desno)^(2))

Neka svojstva

• U decimalnom zapisu, kocka može završiti bilo kojom znamenkom (za razliku od kvadrata)
• U decimalnom zapisu, zadnje dvije znamenke kocke mogu biti 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 , 29, 31 , 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Ovisnost pretposljednje znamenke kocke o posljednji se može prikazati u sljedećoj tablici:

Kocke kao figurirani brojevi

"kubični broj" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3)) povijesno gledano kao vrsta prostorno figuriranih brojeva. Može se prikazati kao razlika kvadrata uzastopnih trokutastih brojeva T n (\displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 − (T n − 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\točke +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

Razlika između dva susjedna kubična broja je središnji šesterokutni broj.

Izražavanje kubnog broja kroz tetraedar Π n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).