Jednak površini bočne površine piramide. Bočna površina piramide

Koju figuru nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u podnožju ovog poliedra nalazi se proizvoljni poligon, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se skupljaju na jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo razumjeli pojam, saznajmo kako pronaći površinu piramide.

Jasno je da je površina takvog geometrijskog tijela sastavljena od zbroja površina baze i cijele njegove bočne površine.

Izračunavanje površine baze piramide

Odabir formule za izračun ovisi o obliku poligona ispod naše piramide. Može biti pravilan, odnosno sa stranicama iste duljine, ili nepravilan. Razmotrimo obje opcije.

U osnovi je pravilan poligon

Iz školskog tečaja znamo:

• površina kvadrata bit će jednaka duljini njegove stranice na kvadrat;
• Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljenom s 4 i pomnoženoj s kvadratnim korijenom iz tri.

Ali postoji i opća formula za izračunavanje površine bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti opseg ovog poligona (P) s polumjerom kruga upisanog u njega (r), a zatim podijeliti rezultat za dva: Sn=1/2P*r .

U osnovi je nepravilan poligon

Shema za pronalaženje njegove površine je prvo podijeliti cijeli poligon na trokute, izračunati površinu svakog od njih pomoću formule: 1/2a*h (gdje je a baza trokuta, h je visina spuštena na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.

Bočna površina piramide

Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbroj površina svih njegovih bočnih stranica. Ovdje također postoje 2 opcije.

1. Neka imamo proizvoljnu piramidu, tj. jedan s nepravilnim poligonom u svojoj osnovi. Zatim biste trebali izračunati površinu svakog lica zasebno i zbrojiti rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trokuti, izračun se provodi pomoću gore navedene formule: S=1/2a*h.
2. Neka je naša piramida ispravna, tj. u njenoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njenom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne plohe (Sb), dovoljno je pronaći polovicu umnoška opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) bočne strane (isto za sva lica ): Sb = 1/2 P*h. Opseg mnogokuta određuje se zbrajanjem duljina svih njegovih stranica.

Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njezine baze s površinom cijele bočne površine.

Primjeri

Na primjer, izračunajmo algebarski površine nekoliko piramida.

Površina trokutaste piramide

U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Pomoću formule So=1/2a*h nalazimo površinu baze. Koristimo istu formulu za pronalaženje površine svakog lica piramide, koja također ima trokutasti oblik, i dobivamo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbroj svih površina: Sb = S1+ S2+ S3. Zbrajanjem površina stranica i baze dobivamo ukupnu površinu željene piramide: Sp= So+ Sb.

Površina četverokutne piramide

Površina bočne površine je zbroj 4 člana: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule za površinu trokuta. A područje baze morat će se tražiti, ovisno o obliku četverokuta - pravilnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide opet se dobije zbrajanjem površine baze i ukupne površine date piramide.

Definicija. Bočni rub- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a suprotna strana se podudara sa stranom baze (poligon).

Definicija. Bočna rebra- ovo su uobičajene strane bočnih strana. Piramida ima onoliko bridova koliko kutova ima mnogokut.

Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do baze piramide.

Definicija. Apotema- ovo je okomica na bočnu stranu piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.

Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.

Definicija. Ispravna piramida je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.

Volumen i površina piramide

Formula. Volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:

Svojstva piramide

Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada se oko baze piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).

Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada su nagnuti prema ravnini baze pod istim kutovima.

Bočni bridovi su jednaki kada tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se oko baze piramide može opisati kružnica.

Ako su bočne strane nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide projicira se u njezino središte.

Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, onda su apoteme bočnih ploha jednake.

Svojstva pravilne piramide

1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.

2. Svi bočni rubovi su jednaki.

3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim kutom u odnosu na bazu.

4. Apoteme svih bočnih lica su jednake.

5. Površine svih bočnih ploha su jednake.

6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.

7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane sfere bit će sjecište okomica koje prolaze kroz sredinu bridova.

8. Kuglu možete uklopiti u piramidu. Središte upisane sfere bit će točka presjeka simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.

9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravninskih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π/n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.

Veza piramide i kugle

Oko piramide se može opisati sfera kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će sjecište ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.

Uvijek je moguće opisati sferu oko bilo koje trokutaste ili pravilne piramide.

U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.

Odnos piramide i stošca

Kaže se da je stožac upisan u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.

Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide međusobno jednake.

Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.

Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.

Odnos piramide i valjka

Piramida se naziva upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.

Oko piramide se može opisati cilindar ako se oko baze piramide može opisati kružnica.

Definicija. Krnja piramida (piramidalna prizma) je poliedar koji se nalazi između baze piramide i presječne ravnine paralelne s bazom. Tako piramida ima veću bazu i manju bazu koja je slična većoj. Bočna lica su trapezoidna.

Definicija. Trokutasta piramida (tetraedar) je piramida u kojoj su tri lica i baza proizvoljni trokuti.

Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, pri čemu bilo koja dva brida nemaju zajedničke vrhove, ali se ne dodiruju.

Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutasti kut.

Segment koji spaja vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).

Bimedijan naziva segment koji spaja središta suprotnih rubova koji se ne dodiruju (KL).

Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju bimedijane se dijele na pola, a medijane se dijele u omjeru 3:1 počevši od vrha.

Definicija. Kosa piramida je piramida kojoj jedan od bridova s ​​bazom tvori tupi kut (β).

Definicija. Pravokutna piramida je piramida u kojoj je jedna od bočnih strana okomita na bazu.

Definicija. Oštrokutna piramida- piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.

Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.

Definicija. Pravilni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru svi kutovi diedra (između ploha) i kutovi triedra (u vrhu) su jednaki.

Definicija. Pravokutni tetraedar naziva se tetraedar u kojem između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti) ima pravi kut. Formiraju se tri lica rectangular trokutasti kut a plohe su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljan trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.

Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su bočne strane međusobno jednake, a baza je pravilan trokut. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokračni trokuti.

Definicija. Ortocentrični tetraedar zove se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.

Definicija. Zvjezdana piramida zove se poliedar čija je baza zvijezda.

Definicija. Bipiramida- poliedar koji se sastoji od dvije različite piramide (piramide mogu biti i odrezane), imaju zajedničku bazu, a vrhovi leže na suprotnim stranama ravnine baze.

Piramida- jedna od varijanti poliedra formiranog od poligona i trokuta koji leže u podnožju i njegova su lica.

Štoviše, na vrhu piramide (tj. u jednoj točki) sva su lica ujedinjena.

Da bi se izračunala površina piramide, vrijedi utvrditi da se njezina bočna površina sastoji od nekoliko trokuta. I lako možemo pronaći njihova područja pomoću

razne formule. Ovisno o tome koje podatke znamo o trokutima, tražimo njihovu površinu.

Navodimo neke formule koje se mogu koristiti za pronalaženje površine trokuta:

1. S = (a*h)/2 . U ovom slučaju znamo visinu trokuta h , koji je spušten na stranu a .
2. S = a*b*sinβ . Ovdje su stranice trokuta a , b , a kut između njih je β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Ovdje su stranice trokuta a, b, c . Polumjer kruga upisanog u trokut je r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Polumjer opisane kružnice oko trokuta je R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Ovu formulu treba primijeniti samo kada je trokut pravokutan.
6. S = (a²*√3)/4 . Ovu formulu primjenjujemo na jednakostranični trokut.

Tek nakon što izračunamo površine svih trokuta koji su lica naše piramide, možemo izračunati površinu njezine bočne površine. Da bismo to učinili, koristit ćemo gornje formule.

Da biste izračunali površinu bočne površine piramide, nema poteškoća: morate saznati zbroj površina svih trokuta. Izrazimo to formulom:

Sp = ΣSi

Ovdje Si je površina prvog trokuta, i S P - područje bočne površine piramide.

Pogledajmo primjer. S obzirom na pravilnu piramidu, njezine bočne stranice čine nekoliko jednakostraničnih trokuta,

« Geometrija je najmoćniji alat za izoštravanje naših mentalnih sposobnosti».

Galileo Galilei.

a kvadrat je baza piramide. Štoviše, rub piramide ima duljinu od 17 cm. Nađimo površinu bočne površine ove piramide.

Rezoniramo ovako: znamo da su lica piramide trokuti, jednakostranični. Također znamo kolika je duljina brida ove piramide. Slijedi da svi trokuti imaju jednake stranice i da im je duljina 17 cm.

Da biste izračunali površinu svakog od ovih trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Dakle, budući da znamo da kvadrat leži u osnovi piramide, ispada da imamo četiri jednakostrana trokuta. To znači da se površina bočne površine piramide može lako izračunati pomoću sljedeće formule: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Naš odgovor je sljedeći: 500,548 cm² - ovo je površina bočne površine ove piramide.

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama i cilindričnom plohom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema kao primjer.

Cilindar ima tri površine: vrh, bazu i bočnu površinu.

Vrh i baza cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2. Stoga će formula za površinu dva kruga (vrh i baza cilindra) biti πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljena stijenka cilindra. Kako bismo bolje zamislili ovu plohu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična konzerva koja nema ni gornji ni donji poklopac. Napravimo okomiti rez na bočnoj stijenci od vrha do baze limenke (korak 1 na slici) i pokušajmo otvoriti (ispraviti) dobivenu figuru što je više moguće (korak 2).

Nakon što se staklenka potpuno otvori, vidjet ćemo poznatu figuru (3. korak), ovo je pravokutnik. Površina pravokutnika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak na izvorni cilindar. Vrh izvornog valjka je kružnica, a znamo da se opseg izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označen crvenom bojom.

Kada se bočna stijenka cilindra potpuno otvori, vidimo da opseg postaje duljina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice tog pravokutnika bit će opseg (L = 2πr) i visina valjka (h). Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegovih stranica - S = duljina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje površine bočne površine cilindra.

Formula za bočnu površinu cilindra
S strana = 2πrh

Ukupna površina cilindra

Na kraju, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobivamo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini baze cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identično formuli 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – polumjer cilindra, h – visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra pomoću primjera.

1. Polumjer baze cilindra je 2, visina je 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina izračunava se po formuli: S strana. = 2πrh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočna površina cilindra je 37,68.

2. Kako pronaći površinu valjka ako je visina 4, a polumjer 6?

Ukupna površina izračunava se pomoću formule: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Površina bočne površine proizvoljne piramide jednaka je zbroju površina njezinih bočnih stranica. Ima smisla dati posebnu formulu za izražavanje ove površine u slučaju pravilne piramide. Dakle, neka nam je dana pravilna piramida u čijoj osnovi leži pravilan n-kut sa stranicom jednakom a. Neka je h visina bočne strane, koja se također naziva apotema piramide. Površina jedne bočne plohe jednaka je 1/2ah, a cijela bočna ploha piramide ima površinu jednaku n/2ha. Kako je na opseg baze piramide, možemo napisati pronađenu formulu u obliku:

Bočna površina pravilne piramide jednak je umnošku njezina apotema i polovice opsega baze.

O ukupna površina, tada jednostavno dodamo površinu baze bočnoj.

Upisana i opisana sfera i lopta. Treba napomenuti da središte sfere upisane u piramidu leži u sjecištu simetrala unutarnjih diedarskih kutova piramide. Središte sfere opisane u blizini piramide nalazi se u sjecištu ravnina koje prolaze središtima bridova piramide i okomite su na njih.

Krnja piramida. Ako je piramida presječena ravninom paralelnom s bazom, tada se dio između rezne ravnine i baze naziva krnja piramida. Na slici je prikazana piramida; odbacivanjem njenog dijela koji leži iznad rezne ravnine, dobivamo krnju piramidu. Jasno je da je mala odbačena piramida homotetična velikoj piramidi sa središtem homotetije na vrhu. Koeficijent sličnosti jednak je omjeru visina: k=h 2 /h 1, odnosno bočnih bridova, odnosno drugih odgovarajućih linearnih dimenzija obiju piramida. Znamo da su površine sličnih likova međusobno povezane poput kvadrata linearnih dimenzija; pa su površine baza obiju piramida (tj. površina baza krnje piramide) povezane kao

Ovdje je S 1 područje donje baze, a S 2 područje gornje baze krnje piramide. Bočne plohe piramida su u istom odnosu. Slično pravilo postoji i za volumene.

Volumeni sličnih tijela međusobno su povezani kao kocke svojih linearnih dimenzija; na primjer, volumeni piramida povezani su kao umnožak njihovih visina i površine baza, iz čega se odmah dobiva naše pravilo. Posve je općenite naravi i izravno proizlazi iz činjenice da volumen uvijek ima dimenziju treće potencije duljine. Koristeći ovo pravilo, izvodimo formulu koja izražava volumen krnje piramide kroz visinu i površinu baza.

Neka je zadana krnja piramida visine h i baza S 1 i S 2 . Ako zamislimo da se produži na punu piramidu, tada se koeficijent sličnosti između pune piramide i male piramide lako može pronaći kao korijen omjera S 2 /S 1 . Visina krnje piramide izražava se kao h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Sada imamo za volumen krnje piramide (V 1 i V 2 označavaju volumen pune i male piramide)

formula za volumen krnje piramide

Izvedimo formulu za površinu S bočne plohe pravilne krnje piramide kroz opsege P 1 i P 2 baza i duljinu apoteme a. Rezoniramo na potpuno isti način kao kod izvođenja formule za volumen. Piramidu dopunimo gornjim dijelom, imamo P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, gdje je k koeficijent sličnosti, P 1 i P 2 su perimetri baza, a S 1 i S 2 su površine bočnih ploha cijele dobivene piramide i njezinog gornjeg dijela prema tome. Za bočnu površinu nalazimo (a 1 i a 2 su apoteme piramida, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula za bočnu površinu pravilne krnje piramide