Proširenje e x u Taylorov red. Maclaurinov red i proširenje nekih funkcija

"Nađi Maclaurinov niz funkcije f(x)"- upravo tako zvuči zadatak iz više matematike koji neki studenti mogu napraviti, a drugi se ne snalaze s primjerima. Postoji nekoliko načina za proširenje niza u potencije; ovdje ćemo dati tehniku za proširenje funkcija u Maclaurinov red. Kada razvijate funkciju u nizu, morate biti dobri u izračunavanju derivacija.

Primjer 4.7 Proširi funkciju na potencije x

Proračuni: Provodimo proširenje funkcije prema Maclaurinovoj formuli. Prvo, proširimo nazivnik funkcije u niz

Na kraju pomnožite ekspanziju s brojnikom.
Prvi član je vrijednost funkcije na nuli f (0) = 1/3.
Nađimo derivacije funkcije prvog i višeg reda f (x) i vrijednost tih derivacija u točki x=0

Zatim, na temelju obrasca promjena vrijednosti izvedenica na 0, pišemo formulu za n-tu izvedenicu

Dakle, nazivnik predstavljamo u obliku proširenja u Maclaurinovom nizu

Pomnožimo s brojnikom i dobijemo željeno širenje funkcije u niz po x-potencijama

Kao što vidite, ovdje nema ništa komplicirano.
Sve ključne točke temelje se na sposobnosti izračuna derivacija i brze generalizacije vrijednosti derivacije višeg reda na nuli. Sljedeći primjeri pomoći će vam da naučite kako brzo rasporediti funkciju u niz.

Primjer 4.10 Nađite proširenje funkcije u Maclaurinov red

Izračuni: Kao što ste možda pogodili, kosinus ćemo staviti u brojnik u nizu. Da biste to učinili, možete koristiti formule za infinitezimalne količine ili izvesti kosinusnu ekspanziju pomoću derivacija. Kao rezultat toga, dolazimo do sljedećeg niza u potencijama x

Kao što vidite, imamo minimum izračuna i kompaktan prikaz proširenja niza.

Primjer 4.16 Proširite funkciju potencijama od x:
7/(12-x-x^2)
Računanje: U ovakvim primjerima potrebno je razlomak proširiti kroz zbroj prostih razlomaka.
Nećemo sada pokazivati kako to učiniti, ali ćemo uz pomoć neodređenih koeficijenata doći do zbroja razlomaka.
Zatim zapisujemo nazivnike u eksponencijalnom obliku

Ostaje proširiti pojmove pomoću Maclaurinove formule. Zbrajajući članove na istim potencijama "x", sastavljamo formulu za opći član širenja funkcije u nizu

Posljednji dio prijelaza na niz na početku je teško izvediv, jer je teško kombinirati formule za uparene i nesparene indekse (stupnjeve), ali s vježbom ćete to bolje postići.

Primjer 4.18 Nađite proširenje funkcije u Maclaurinov red

Izračuni: Nađimo izvod ove funkcije:

Proširimo funkciju u niz pomoću jedne od McLarenovih formula:

Zbrajamo seriju termin po termin na temelju činjenice da su oba apsolutno identična. Integrirajući cijeli niz član po član, dobivamo proširenje funkcije u niz po x-potencijama

Postoji prijelaz između zadnja dva retka proširenja koji će vam na početku oduzeti puno vremena. Generaliziranje formule serije nije lako za svakoga, stoga ne brinite da nećete moći dobiti lijepu, kompaktnu formulu.

Primjer 4.28 Pronađite proširenje funkcije u Maclaurinov red:

Zapišimo logaritam na sljedeći način

Koristeći Maclaurinovu formulu, proširujemo funkciju logaritma u niz s potencijama x

Konačna vijuga je na prvi pogled složena, ali izmjenom znakova uvijek ćete dobiti nešto slično. Ulazna lekcija na temu rasporeda funkcija u nizu je završena. Druge jednako zanimljive sheme dekompozicije bit će detaljno razmotrene u sljedećim materijalima.

Proširenje funkcije u niz Taylor, Maclaurin i Laurent na mjestu za vježbanje praktičnih vještina. Ovo proširenje funkcije u niz omogućuje matematičarima da procijene približnu vrijednost funkcije u nekoj točki u njezinoj domeni definicije. Puno je lakše izračunati takvu vrijednost funkcije u usporedbi s korištenjem Bredisove tablice, koja je tako nevažna u doba računalne tehnologije. Proširiti funkciju u Taylorov niz znači izračunati koeficijente linearnih funkcija tog niza i napisati ga u ispravnom obliku. Učenici brkaju ova dva niza, ne shvaćajući što je opći slučaj, a što poseban slučaj drugog. Podsjetimo vas jednom zauvijek da je Maclaurinov red poseban slučaj Taylorovog reda, odnosno ovo je Taylorov red, ali u točki x = 0. Sve kratke natuknice za proširenje poznatih funkcija, kao što su e^x, Sin(x), Cos(x) i drugi, to su proširenja u Taylorov niz, ali u točki 0 za argument. Za funkcije složenog argumenta, Laurentov niz je najčešći problem u TFCT-u, budući da predstavlja dvostrani beskonačni niz. To je zbroj dviju serija. Predlažemo da pogledate primjer dekompozicije izravno na web stranici; to je vrlo jednostavno učiniti klikom na "Primjer" s bilo kojim brojem, a zatim na gumb "Rješenje". Upravo je to proširenje funkcije u niz koji je povezan s majorizirajućim nizom koji ograničava izvornu funkciju u određenom području duž ordinatne osi ako varijabla pripada području apscise. Vektorsku analizu uspoređuju s još jednom zanimljivom disciplinom u matematici. Budući da svaki pojam treba ispitati, proces zahtijeva dosta vremena. Bilo koji Taylorov red može se povezati s Maclaurinovim nizom zamjenom x0 s nulom, ali za Maclaurinov red ponekad nije očito prikazati Taylorov red obrnutim redom. Kao da to nije potrebno učiniti u svom čistom obliku, zanimljivo je za opći samorazvoj. Svaki Laurentov niz odgovara dvostranom beskonačnom redu potencije u cjelobrojnim potencijama z-a, drugim riječima, nizu istog Taylorovog tipa, ali malo drugačijeg u izračunu koeficijenata. O području konvergencije Laurentovog niza govorit ćemo malo kasnije, nakon nekoliko teorijskih izračuna. Kao iu prošlom stoljeću, proširenje funkcije korak po korak u niz teško se može postići jednostavnim dovođenjem članova na zajednički nazivnik, budući da su funkcije u nazivnicima nelinearne. Približan izračun funkcionalne vrijednosti zahtijeva formulacija problema. Razmislite o činjenici da kada je argument Taylorovog niza linearna varijabla, tada se proširenje odvija u nekoliko koraka, ali slika je potpuno drugačija kada je argument funkcije koja se proširuje složena ili nelinearna funkcija, tada je proces predstavljanje takve funkcije u nizu potencije je očito, budući da je na ovaj način, dakle, lako izračunati, iako približnu vrijednost, u bilo kojoj točki u definicijskom području, s minimalnom pogreškom koja ima mali učinak na daljnje izračune. To se također odnosi i na seriju Maclaurin. kada je potrebno izračunati funkciju u nultočki. Međutim, sam Laurentov niz ovdje je predstavljen ekspanzijom na ravni sa imaginarnim jedinicama. Također, ispravno rješenje problema tijekom cjelokupnog procesa neće biti bez uspjeha. Ovaj pristup nije poznat u matematici, ali objektivno postoji. Kao rezultat toga, možete doći do zaključka tzv. pointwise podskupova, au ekspanziji funkcije u niz morate koristiti metode poznate za ovaj proces, kao što je primjena teorije derivacija. Još jednom se uvjeravamo da je učitelj bio u pravu kada je iznio svoje pretpostavke o rezultatima izračuna nakon izračunavanja. Napominjemo da Taylorov niz, dobiven prema svim kanonima matematike, postoji i definiran je na cijeloj numeričkoj osi, međutim, dragi korisnici usluge web mjesta, ne zaboravite vrstu izvorne funkcije, jer se može ispostaviti da je u početku potrebno utvrditi područje definicije funkcije, odnosno napisati i isključiti iz daljnjeg razmatranja one točke u kojima funkcija nije definirana u području realnih brojeva. Tako reći, to će pokazati vašu učinkovitost u rješavanju problema. Konstrukcija Maclaurinova niza s vrijednošću argumenta nula neće biti iznimka od rečenoga. Nitko nije otkazao proces pronalaženja domene definicije funkcije i ovoj matematičkoj operaciji morate pristupiti sa svom ozbiljnošću. U slučaju Laurentovog niza koji sadrži glavni dio, parametar "a" nazvat će se izolirana singularna točka, a Laurentov niz će se proširiti u prsten - to je sjecište područja konvergencije njegovih dijelova, dakle slijedit će odgovarajući teorem. Ali nije sve tako komplicirano kao što se na prvi pogled može činiti neiskusnom učeniku. Nakon što ste proučili Taylorov niz, lako možete razumjeti Laurentov niz - generalizirani slučaj za proširenje prostora brojeva. Bilo koje proširenje funkcije u niz može se izvesti samo u točki u domeni definicije funkcije. Treba uzeti u obzir svojstva funkcija kao što su periodičnost ili beskonačna diferencijabilnost. Također predlažemo da upotrijebite tablicu gotovih proširenja elementarnih funkcija u Taylorov niz, budući da jedna funkcija može biti predstavljena do desetcima različitih nizova potencije, kao što se može vidjeti korištenjem našeg online kalkulatora. Online Maclaurinovu seriju lako je odrediti, ako koristite jedinstvenu uslugu web stranice, samo trebate unijeti ispravnu napisanu funkciju i dobit ćete prezentirani odgovor za nekoliko sekundi, zajamčeno je točan i u standardni pisani oblik. Možete kopirati rezultat izravno u čistu kopiju za predaju učitelju. Ispravno bi bilo najprije utvrditi analitičnost dotične funkcije u prstenovima, a zatim nedvosmisleno ustvrditi da je ona proširiva u Laurentov niz u svim takvim prstenovima. Važno je ne izgubiti iz vida uvjete Laurentove serije koji sadrže negativne moći. Usredotočite se na ovo što je više moguće. Iskoristite Laurentov teorem o proširenju funkcije na cjelobrojne potencije.

Ako funkcija f(x) ima derivacije svih redova na određenom intervalu koji sadrži točku a, tada se na nju može primijeniti Taylorova formula:
,
Gdje r n– takozvani preostali član ili ostatak niza, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:
, gdje je broj x između x i a.

Pravila za unos funkcija:

Ako za neku vrijednost X r n→0 at n→∞, tada u limitu Taylorova formula postaje konvergentna za tu vrijednost Taylorova serija:
,
Stoga se funkcija f(x) može proširiti u Taylorov niz u točki x koja se razmatra ako:
1) ima izvedenice svih redova;
2) konstruirani niz konvergira u ovoj točki.

Kada je a = 0 dobivamo niz tzv blizu Maclaurina:
,
Proširenje najjednostavnijih (elementarnih) funkcija u Maclaurinov red:
Eksponencijalne funkcije
, R=∞
Trigonometrijske funkcije
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx se ne proširuje po x, jer ctg0=∞
Hiperboličke funkcije

Logaritamske funkcije
, -1
Binomni nizovi
.

Primjer br. 1. Proširite funkciju u potencijski niz f(x)= 2x.
Otopina. Nađimo vrijednosti funkcije i njezinih izvoda na X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x U 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ul n 2, f(n)( 0) = 2 0 ul n 2=ln n 2.
Zamjenom dobivenih vrijednosti izvedenica u formulu Taylorovog niza dobivamo:

Polumjer konvergencije ovog niza jednak je beskonačnosti, stoga ovo proširenje vrijedi za -∞<x<+∞.

Primjer br. 2. Napišite Taylorov red u potencijama ( X+4) za funkciju f(x)= e x.
Otopina. Nalaženje derivacija funkcije e x i njihove vrijednosti u točki X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Stoga traženi Taylorov red funkcije ima oblik:

Ova ekspanzija vrijedi i za -∞<x<+∞.

Primjer br. 3. Proširite funkciju f(x)=ln x u nizu snaga ( X- 1),
(tj. u Taylorovom nizu u blizini točke X=1).
Otopina. Nađite derivacije ove funkcije.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Zamjenom ovih vrijednosti u formulu dobivamo željeni Taylorov niz:

Koristeći d'Alembertov test, možete potvrditi da niz konvergira na ½x-1½<1 . Действительно,

Niz konvergira ako je ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 dobivamo izmjenični niz koji zadovoljava uvjete Leibnizova kriterija. Kada je x=0 funkcija nije definirana. Dakle, područje konvergencije Taylorovog niza je poluotvoreni interval (0;2].

Primjer br. 4. Proširite funkciju u potencijski niz.
Otopina. U ekspanziji (1) zamijenimo x s -x 2, dobivamo:
, -∞

Primjer br. 5. Proširite funkciju u Maclaurinov niz.
Otopina. imamo
Koristeći formulu (4), možemo napisati:

zamjenom –x umjesto x u formuli, dobivamo:

Odavde nalazimo: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Otvaranjem zagrada, preslagivanjem termina niza i donošenjem sličnih termina, dobivamo
. Ovaj niz konvergira u intervalu (-1;1), jer je dobiven iz dva niza od kojih svaki konvergira u tom intervalu.

Komentar .
Formule (1)-(5) također se mogu koristiti za proširenje odgovarajućih funkcija u Taylorov niz, tj. za proširivanje funkcija na pozitivne cijele potencije ( Ha). Za to je potrebno izvršiti takve identične transformacije na zadanoj funkciji da bi se dobila jedna od funkcija (1)-(5), u kojoj umjesto X košta k( Ha) m , gdje je k konstantan broj, m je pozitivan cijeli broj. Često je zgodno napraviti promjenu varijable t=Ha i proširiti rezultirajuću funkciju s obzirom na t u Maclaurinovom nizu.

Ova se metoda temelji na teoremu o jedinstvenosti proširenja funkcije u potencijski niz. Bit ovog teorema je da se u blizini iste točke ne mogu dobiti dva različita niza potencije koji bi konvergirali istoj funkciji, bez obzira kako se vrši njezino širenje.

Primjer br. 5a. Proširite funkciju u Maclaurinov niz i označite područje konvergencije.
Otopina. Prvo nalazimo 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
do osnovne:

Razlomak 3/(1-3x) može se smatrati zbrojem beskonačno opadajuće geometrijske progresije s nazivnikom 3x, ako je |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

s područjem konvergencije |x|< 1/3.

Primjer br. 6. Proširi funkciju u Taylorov niz u blizini točke x = 3.
Otopina. Ovaj problem se može riješiti, kao i prije, pomoću definicije Taylorovog niza, za koji moramo pronaći derivacije funkcije i njihove vrijednosti na X=3. Međutim, bit će lakše koristiti postojeće proširenje (5):
=
Rezultirajući niz konvergira na ili –3

Primjer br. 7. Napišite Taylorov red u potencijama (x -1) funkcije ln(x+2) .
Otopina.

Niz konvergira na , ili -2< x < 5.

Primjer br. 8. Proširite funkciju f(x)=sin(πx/4) u Taylorov niz u blizini točke x =2.
Otopina. Napravimo zamjenu t=x-2:

Koristeći ekspanziju (3), u kojoj zamijenimo π / 4 t umjesto x, dobivamo:

Rezultirajući niz konvergira zadanoj funkciji na -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞dakle,
, (-∞

Približni proračuni korištenjem potencijskih redova

Redovi potencija naširoko se koriste u približnim proračunima. Uz njihovu pomoć možete izračunati vrijednosti korijena, trigonometrijske funkcije, logaritme brojeva i određene integrale sa zadanom točnošću. Redovi se također koriste pri integraciji diferencijalnih jednadžbi.
Razmotrimo proširenje funkcije u niz potencija:

Kako bi se izračunala približna vrijednost funkcije u danoj točki X, koji pripadaju području konvergencije naznačenog niza, prvi ostaju u njegovom širenju nčlanovi ( n– konačan broj), a preostali članovi se odbacuju:

Za procjenu pogreške dobivene približne vrijednosti potrebno je procijeniti odbačeni ostatak rn (x) . Da biste to učinili, upotrijebite sljedeće tehnike:

ako je rezultirajući niz izmjeničan, tada se koristi sljedeće svojstvo: za izmjenični niz koji zadovoljava Leibnizove uvjete, ostatak niza u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi prvi odbačeni član.
ako je zadani niz konstantnog predznaka, tada se niz sastavljen od odbačenih članova uspoređuje s beskonačno padajućom geometrijskom progresijom.
u općem slučaju, za procjenu ostatka Taylorovog niza, možete koristiti Lagrangeovu formulu: a x ).

Primjer br. 1. Izračunajte ln(3) na najbližu 0,01.
Otopina. Upotrijebimo ekspanziju gdje je x=1/2 (pogledajte primjer 5 u prethodnoj temi):

Provjerimo možemo li odbaciti ostatak nakon prva tri člana proširenja da bismo to učinili, procijenit ćemo ga koristeći zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije:

Dakle, možemo odbaciti ovaj ostatak i dobiti

Primjer br. 2. Izračunajte do najbližih 0,0001.
Otopina. Upotrijebimo binomni niz. Budući da je 5 3 kub cijelog broja najbližeg 130, preporučljivo je predstaviti broj 130 kao 130 = 5 3 +5.

budući da je već četvrti član rezultirajućeg izmjeničnog niza koji zadovoljava Leibnizov kriterij manji od tražene točnosti:
, tako da se on i uvjeti nakon njega mogu odbaciti.
Mnogi praktično potrebni određeni ili nepravi integrali ne mogu se izračunati pomoću Newton-Leibnizove formule, jer je njezina primjena povezana s pronalaženjem antiderivacije, koja često nema izraz u elementarnim funkcijama. Također se događa da je pronalaženje antiderivata moguće, ali je nepotrebno naporno. Međutim, ako se funkcija integranda proširi u red potencija, a granice integracije pripadaju intervalu konvergencije tog niza, tada je moguć aproksimativni izračun integrala s unaprijed određenom točnošću.

Primjer br. 3. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 sin (x) x s točnošću od 10 -5 .
Otopina. Odgovarajući neodređeni integral ne može se izraziti elementarnim funkcijama, tj. predstavlja “nestalni integral”. Ovdje se ne može primijeniti Newton-Leibnizova formula. Izračunajmo približno integral.
Dijeljenje pojam po pojam serije za grijeh x na x, dobivamo:

Integrirajući ovaj niz član po član (ovo je moguće jer granice integracije pripadaju intervalu konvergencije ovog niza), dobivamo:

Budući da rezultirajući niz zadovoljava Leibnizove uvjete, dovoljno je uzeti zbroj prva dva člana kako bi se dobila željena vrijednost sa zadanom točnošću.
Dakle, nalazimo
.

Primjer br. 4. Izračunajte integral ∫ 0 1 4 e x 2 s točnošću od 0,001.
Otopina.
. Provjerimo možemo li odbaciti ostatak nakon drugog člana rezultirajućeg niza.
0,0001<0.001. Следовательно, .

16.1. Proširenje elementarnih funkcija u Taylorov red i

Maclaurin

Pokažimo da ako je proizvoljna funkcija definirana na skupu
, u blizini točke
ima mnogo izvodnica i zbroj je niza potencija:

tada možete pronaći koeficijente ove serije.

Zamijenimo u potencijski niz
. Zatim
.

Nađimo prvu derivaciju funkcije
:

Na
:
.

Za drugu derivaciju dobivamo:

Na
:
.

Nastavljajući ovaj postupak n kada dobijemo:
.

Tako smo dobili niz potencija oblika:

koji se zove pored Taylora za funkciju
u blizini točke
.

Poseban slučaj Taylorovog niza je serija Maclaurin na
:

Ostatak Taylor (Maclaurin) niza dobiva se odbacivanjem glavnog niza n prvi članovi i označava se kao
. Zatim funkcija
može se napisati kao zbroj n prvi članovi serije
a ostatak
:,

Ostatak je obično
izraženi različitim formulama.

Jedan od njih je u Lagrangeovom obliku:

, Gdje
.
.

Imajte na umu da se u praksi Maclaurinov niz češće koristi. Dakle, da bismo napisali funkciju
u obliku sume potencije potrebno je:

1) pronaći koeficijente Maclaurinovog (Taylorovog) reda;

2) pronaći područje konvergencije rezultirajućeg reda potencija;

3) dokazati da taj niz konvergira funkciji
.

Teorema1 (nužan i dovoljan uvjet za konvergenciju Maclaurinova reda). Neka radijus konvergencije niza
. Da bi ovaj niz konvergirao u intervalu
funkcionirati
, potrebno je i dovoljno da bi bio zadovoljen uvjet:
u navedenom intervalu.

Teorem 2. Ako izvodnice bilo kojeg reda funkcije
u nekom intervalu
ograničeno u apsolutnoj vrijednosti na isti broj M, odnosno
, tada u tom intervalu funkcija
može se proširiti u Maclaurinov niz.

Primjer1 . Proširi u Taylorov niz oko točke
funkcija.

Otopina.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Regija konvergencije
.

Primjer2 . Proširite funkciju u Taylorovom nizu oko točke
.

Otopina:

Odredite vrijednost funkcije i njezine derivacije pri
.

,
;

...........……………………………

,
.

Stavimo ove vrijednosti u red. Dobivamo:

ili
.

Nađimo područje konvergencije ovog niza. Prema d'Alembertovom testu, niz konvergira ako

Stoga, za bilo koji ova granica je manja od 1, pa će stoga opseg konvergencije niza biti:
.

Razmotrimo nekoliko primjera proširenja osnovnih elementarnih funkcija u Maclaurinov red. Podsjetimo se da je serija Maclaurin:

konvergira na intervalu
funkcionirati
.

Imajte na umu da je za proširenje funkcije u niz potrebno:

a) pronađite koeficijente Maclaurinovog reda za tu funkciju;

b) izračunajte radijus konvergencije za rezultirajući niz;

c) dokazati da dobiveni niz konvergira funkciji
.

Primjer 3. Razmotrite funkciju
.

Otopina.

Izračunajmo vrijednost funkcije i njezine derivacije pri
.

Tada brojčani koeficijenti niza imaju oblik:

za bilo koga n. Zamijenimo pronađene koeficijente u Maclaurinov red i dobijemo:

Nađimo radijus konvergencije rezultirajućeg niza, naime:

Stoga niz konvergira na intervalu
.

Ovaj niz konvergira funkciji za bilo koje vrijednosti , jer na bilo kojem intervalu
funkcija a njegove izvodnice apsolutne vrijednosti su ograničene brojem .

Primjer4 . Razmotrite funkciju
.

Otopina.

Lako je vidjeti da izvodnice parnog reda
, a izvodnice su neparnog reda. Zamijenimo pronađene koeficijente u Maclaurinov red i dobijemo proširenje:

Nađimo interval konvergencije ovog niza. Prema d'Alembertovom znaku:

za bilo koga . Stoga niz konvergira na intervalu
.

Ovaj niz konvergira funkciji
, jer su svi njegovi derivati ograničeni na jedinicu.

Primjer5 .
.

Otopina.

Nađimo vrijednost funkcije i njezine derivacije pri
:

Dakle, koeficijenti ove serije:
I
, dakle:

Slično prethodnom retku, područje konvergencije
. Niz konvergira funkciji
, jer su svi njegovi derivati ograničeni na jedinicu.

Napominjemo da funkcija
Proširivanje neparnih i nizova na neparne potencije, funkcija
– par i proširivanje u niz u parnim potencijama.

Primjer6 . Binomni niz:
.

Otopina.

Nađimo vrijednost funkcije i njezine derivacije pri
:

Iz ovoga se vidi da:

Zamijenimo ove vrijednosti koeficijenata u Maclaurinov niz i dobijemo proširenje ove funkcije u niz snaga:

Nađimo radijus konvergencije ovog niza:

Stoga niz konvergira na intervalu
. Na graničnim točkama na
I
niz može ili ne mora konvergirati ovisno o eksponentu
.

Proučavani niz konvergira na intervalu
funkcionirati
, odnosno zbroj serije
na
.

Primjer7 . Proširimo funkciju u Maclaurinovom nizu
.

Otopina.

Da proširimo ovu funkciju u niz, koristimo binomni niz na
. Dobivamo:

Na temelju svojstva redova potencije (red potencije se može integrirati u području njegove konvergencije) nalazimo integral lijeve i desne strane ovog niza:

Nađimo područje konvergencije ovog niza:
,

odnosno područje konvergencije ovog niza je interval
.

Odredimo konvergenciju niza na krajevima intervala. Na
. Ovaj niz je harmoničan niz, odnosno divergira. Na
.

dobivamo brojevni niz sa zajedničkim članom
.

Niz konvergira prema Leibnizovom testu. Dakle, područje konvergencije ovog niza je interval

16.2. Primjena redova potencija u aproksimativnim proračunima n U aproksimativnim proračunima, redovi potencija igraju izuzetno važnu ulogu. Uz njihovu pomoć sastavljene su tablice trigonometrijskih funkcija, tablice logaritama, tablice vrijednosti drugih funkcija koje se koriste u različitim područjima znanja, na primjer, u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. Osim toga, proširenje funkcija u potencijski red korisno je za njihovo teorijsko proučavanje. Glavni problem pri korištenju nizova snaga u aproksimativnim izračunima je problem procjene pogreške pri zamjeni zbroja niza sa zbrojem njegovog prvog

članova.

Razmotrimo dva slučaja:

funkcija je proširena u znakovno-izmjenični niz;

funkcija je proširena u niz konstantnog predznaka.

Izračun korištenjem izmjeničnih serija
Neka funkcija proširen u niz izmjeničnih potencija. Zatim pri izračunavanju ove funkcije za određenu vrijednost n dobivamo brojčani niz na koji možemo primijeniti Leibnizov kriterij. U skladu s ovim kriterijem, ako se zbroj niza zamijeni zbrojem njegovog prvog
.

Primjer8 . izrazi, tada apsolutna pogreška ne prelazi prvi član ostatka ovog niza, to jest:
Izračunati

Otopina.

s točnošću od 0,0001.
Koristit ćemo seriju Maclaurin za

, zamjenjujući vrijednost kuta u radijanima:

Usporedimo li prvi i drugi član niza sa zadanom točnošću, tada je: .

manja od navedene točnosti proračuna. Stoga, izračunati
dovoljno je ostaviti dva termina serije tj

ovako
.

Primjer9 . izrazi, tada apsolutna pogreška ne prelazi prvi član ostatka ovog niza, to jest:
s točnošću od 0,001.

Otopina.

Koristit ćemo formulu binomnog niza. Da bismo to učinili, napišimo
u obliku:
.

U ovom izrazu
,

Usporedimo svaki od članova niza s točnošću koja je navedena. Jasno je da
. Stoga, izračunati
dovoljno je ostaviti tri termina serije.

ili
.

Izračun korištenjem pozitivnih nizova

Primjer10 . Izračunaj broj s točnošću od 0,001.

Otopina.

U redu za funkciju
zamijenimo
. Dobivamo:

Procijenimo pogrešku koja nastaje pri zamjeni zbroja niza sa zbrojem prvog članova. Zapišimo očitu nejednakost:

to je 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Prema problemu, trebate pronaći n tako da vrijedi nejednakost:
ili
.

Lako je provjeriti da kada n= 6:
.

Stoga,
.

Primjer11 . izrazi, tada apsolutna pogreška ne prelazi prvi član ostatka ovog niza, to jest:
s točnošću od 0,0001.

Otopina.

Imajte na umu da se za izračunavanje logaritama može koristiti niz za funkciju
, ali ovaj niz vrlo sporo konvergira i za postizanje zadane točnosti bilo bi potrebno uzeti 9999 članova! Stoga se za izračunavanje logaritama u pravilu koristi niz za funkciju
, koji konvergira na intervalu
.