Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi. Algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi

Danas ćemo smisliti kako riješiti frakcijske racionalne jednadžbe.

Da vidimo: iz jednadžbi

(1) 2x + 5 = 3(8 – x),

(3)

(4)

Samo (2) i (4) su frakcijske racionalne jednadžbe, a (1) i (3) su cijele jednadžbe.

Predlažem riješiti jednadžbu (4) i zatim formulirati pravilo.

Budući da je jednadžba razlomljena, moramo pronaći zajednički nazivnik. U ovoj jednadžbi izraz je 6(x – 12)(x – 6). Zatim obje strane jednadžbe množimo zajedničkim nazivnikom:

Nakon redukcije dobivamo cijelu jednadžbu:

6(x – 6) 2 – 6(x – 12) 2 = 5(x – 12)(x – 6).

Nakon rješavanja ove jednadžbe potrebno je provjeriti da li dobiveni korijeni čine da nazivnici razlomaka u izvornoj jednadžbi nestaju.

Proširivanje zagrada:
6x 2 – 72x + 216 – 6x 2 + 144x – 864 = 5x 2 – 90x + 360, pojednostavite jednadžbu: 5x 2 – 162x + 1008 = 0.

Pronalaženje korijena jednadžbe
D = 6084, √D = 78,
x 1 = (162 – 78)/10 = 84/10 = 8,4 i x 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

Za x = 8,4 i 24, zajednički nazivnik je 6(x – 12)(x – 6) ≠ 0, što znači da su ti brojevi korijeni jednadžbe (4).

Odgovor: 8,4; 24.

Rješavanjem predložene jednadžbe dolazimo do sljedećeg odredbe:

1) Pronalaženje zajedničkog nazivnika.

2) Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom.

3) Rješavamo dobivenu cijelu jednadžbu.

4) Provjeravamo kojim od korijena zajednički nazivnik nestaje i isključujemo ih iz rješenja.

Pogledajmo sada primjer kako funkcioniraju rezultirajuće odredbe.

Riješite jednadžbu:

1) Zajednički nazivnik: x 2 – 1

2) Pomnožimo obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom, dobit ćemo cijelu jednadžbu: 6 – 2(x + 1) = 2(x 2 – 1) – (x + 4)(x – 1)

3) Riješite jednadžbu: 6 – 2x – 2 = 2x 2 – 2 – x 2 – 4x + x + 4

x 2 – x – 2 = 0

x 1 = - 1 i x 2 = 2

4) Za x = -1, zajednički nazivnik je x 2 – 1 = 0. Broj -1 nije korijen.

Kada je x = 2, zajednički nazivnik x 2 – 1 ≠ 0. Broj 2 je korijen jednadžbe.

Odgovor: 2.

Kao što vidite, naše odredbe funkcioniraju. Ne boj se, uspjet ćeš! Najvažniji ispravno pronađite zajednički nazivnik I pažljivo izvršite konverzije. Nadamo se da ćete pri rješavanju razlomljenih racionalnih jednadžbi uvijek dobiti točne odgovore. Ako imate pitanja ili želite vježbati rješavanje sličnih jednadžbi, prijavite se za lekcije kod autora ovog članka, mentora.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Za pojednostavljenje ove jednadžbe koristi se najmanji zajednički nazivnik. Ova metoda je primjenjiva kada nije moguće zadanu jednadžbu napisati s jednim racionalnim izrazom na svakoj strani jednadžbe (i koristiti metodu unakrsnog množenja). Ova metoda se koristi kada je dana racionalna jednadžba s tri ili više razlomaka (u slučaju dva razlomka, bolje je koristiti unakrsno množenje).

Pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka (ili najmanji zajednički višekratnik). NOZ je najmanji broj koji je ravnomjerno djeljiv sa svakim nazivnikom.

Ponekad je NPD očit broj. Na primjer, ako je dana jednadžba: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, tada je očito da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 2 i 6 6.
Ako NCD nije očit, zapišite višekratnike najvećeg nazivnika i pronađite među njima onaj koji će biti višekratnik ostalih nazivnika. Često se NOD može pronaći jednostavnim množenjem dvaju nazivnika. Na primjer, ako je jednadžba dana x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tada je NOS = 8*9 = 72.
Ako jedan ili više nazivnika sadrži varijablu, proces postaje nešto kompliciraniji (ali ne i nemoguć). U ovom slučaju, NOC je izraz (koji sadrži varijablu) koji se dijeli sa svakim nazivnikom. Na primjer, u jednadžbi 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), jer je ovaj izraz podijeljen sa svakim nazivnikom: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Pomnožite i brojnik i nazivnik svakog razlomka s brojem jednakim rezultatu dijeljenja NOC-a s odgovarajućim nazivnikom svakog razlomka. Budući da i brojnik i nazivnik množite istim brojem, zapravo množite razlomak s 1 (na primjer, 2/2 = 1 ili 3/3 = 1).

Dakle, u našem primjeru pomnožite x/3 s 2/2 da biste dobili 2x/6, a 1/2 pomnožite s 3/3 da biste dobili 3/6 (razlomak 3x +1/6 ne treba množiti jer nazivnik je 6).
Nastavite slično kada je varijabla u nazivniku. U našem drugom primjeru, NOZ = 3x(x-1), pa pomnožite 5/(x-1) sa (3x)/(3x) da biste dobili 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x pomnoženo s 3(x-1)/3(x-1) i dobivate 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnoženo s (x-1)/(x-1) i dobivate 2(x-1)/3x(x-1).

Pronađite "x". Sada kada ste sveli razlomke na zajednički nazivnik, možete se riješiti nazivnika. Da biste to učinili, pomnožite svaku stranu jednadžbe zajedničkim nazivnikom. Zatim riješite dobivenu jednadžbu, odnosno pronađite "x". Da biste to učinili, izolirajte varijablu na jednoj strani jednadžbe.

U našem primjeru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Možete zbrojiti dva razlomka s istim nazivnikom, pa napišite jednadžbu kao: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnožite obje strane jednadžbe sa 6 i riješite se nazivnika: 2x+3 = 3x +1. Riješite i dobit ćete x = 2.
U našem drugom primjeru (s varijablom u nazivniku), jednadžba izgleda ovako (nakon svođenja na zajednički nazivnik): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Množenjem obje strane jednadžbe s N3, riješit ćete se nazivnika i dobiti: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ili 15x = 3x - 3 + 2x -2, ili 15x = x - 5 Riješite i dobijete: x = -5/14.

"Racionalne jednadžbe s polinomima" jedna je od najčešćih tema u ispitnim zadacima Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Iz tog razloga njihovom ponavljanju treba posvetiti posebnu pozornost. Mnogi učenici susreću se s problemom pronalaženja diskriminante, prijenosa pokazatelja s desne strane na lijevu i dovođenja jednadžbe na zajednički nazivnik, zbog čega rješavanje takvih zadataka izaziva poteškoće. Rješavanje racionalnih jednadžbi u pripremi za Jedinstveni državni ispit na našoj web stranici pomoći će vam da se brzo nosite s problemima bilo koje složenosti i položite test s najboljim ocjenama.

Odaberite obrazovni portal Shkolkovo za uspješnu pripremu za Jedinstveni ispit iz matematike!

Kako biste upoznali pravila za izračunavanje nepoznanica i jednostavno dobili točne rezultate, koristite našu online uslugu. Portal Shkolkovo je jedinstvena platforma na kojoj se prikupljaju materijali potrebni za pripremu za Jedinstveni državni ispit. Naši učitelji su sistematizirali i predstavili u razumljivom obliku sva matematička pravila. Osim toga, pozivamo školarce da se okušaju u rješavanju standardnih racionalnih jednadžbi, čija se osnova stalno ažurira i proširuje.

Za učinkovitiju pripremu za testiranje preporučujemo da slijedite našu posebnu metodu i počnete s ponavljanjem pravila i rješavanjem jednostavnih zadataka, postupno prelazeći na složenije. Tako će diplomant moći identificirati najteže teme za sebe i usredotočiti se na njihovo proučavanje.

Počnite se pripremati za završni test sa Shkolkovom danas, a rezultati neće dugo čekati! Odaberite najlakši primjer od ponuđenih. Ako brzo svladate izraz, prijeđite na teži zadatak. Na taj način možete unaprijediti svoje znanje do točke rješavanja USE zadataka iz matematike na specijaliziranoj razini.

Obuka je dostupna ne samo diplomantima iz Moskve, već i školarcima iz drugih gradova. Provedite nekoliko sati dnevno učeći na našem portalu, na primjer, i vrlo brzo ćete se moći nositi s jednadžbama bilo koje složenosti!

Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi

Ako ste učenik osmog razreda, a iznenada vam se dogodilo da ste propustili sat ili zanemarili ono o čemu vam je učitelj govorio, ovaj članak je za vas!

Prvo, shvatimo što je to - frakcijske racionalne jednadžbe? Svaki udžbenik ima sljedeću definiciju: Frakcijsko-racionalna jednadžba je jednadžba oblika\(fxg(x)=0\) .

I naravno, ova definicija vam ništa ne govori. Zatim ja dajem primjere, a vi pokušavate identificirati obrazac, pronaći nešto zajedničko.

\(((-2x-4)\preko (x^2-4))=((x+5)\preko (x-2))\)\(((3x^2-6)\preko 2(x+1)) =x-1\)\((x\preko x-2 ) + (8\preko (4-x^2)) - (1\preko x+2)=0\)

A ove jednadžbe nisu frakcijsko racionalne:

\(3x^2+x-25=0 \) \(((2-x)\preko (2))+((3x\preko 5))=4\)\(((2x-1)\preko 2)+(5x\preko 6)-(1-x\preko 3)=3x-2\)

Posljednje dvije jednadžbe definitivno nisu frakcijsko racionalne, unatoč činjenici da se sastoje od razlomaka. Ali najvažnije je da nema varijable (slova) u nazivniku. Ali u razlomačkoj racionalnoj jednadžbi uvijek postoji varijabla u nazivniku.

Dakle, nakon što ste točno odredili koja je jednadžba ispred vas, počnimo je rješavati. Prvo što treba učiniti označeno je s tri velika slova,O.D.Z.Što ova slova znače?OKO područje D izostavljeno Zpostignuća. Neću sada objašnjavati što to znači u matematici, cilj nam je naučiti rješavati jednadžbe, a ne ponavljati temu “Algebarski razlomci”. Ali za našu svrhu to znači sljedeće: uzmemo nazivnik ili nazivnike naših razlomaka, zapišemo ih odvojeno i primijetimo da nisu jednaki nuli.

Ako koristimo naše jednadžbe kao primjer\(((-2x-4)\preko x^2-4)=(x+5\preko x-2)\), napravi to:

ODZ: \(x^2-4≠0\)

\(x-2≠0\)

\((3x^2-6\preko 2(x+1)) =x-1 \)

ODZ: \(x+1≠0\)

Zašto nisu naveli množitelj 2? Tako je jasno da je 2≠0

\((x\preko x-2)+(8\preko 4-x^2)-(1\preko x+2)=0\)

ODZ: \(x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)

Za sada se sve čini jednostavno. Što je sljedeće? Sljedeći korak ovisit će o tome koliko ste napredni u matematici. Ako možete, riješite ove jednadžbe s predznakom, a ako ne možete, ostavite za sada kako jest. I idemo dalje.

Zatim, svi razlomci uključeni u jednadžbe moraju biti predstavljeni kao jedan razlomak. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik razlomka. I na kraju upišite što se dogodilo u brojniku i izjednačite ovaj izraz s nulom. I onda riješite jednadžbu.

Vratimo se našim primjerima:\((-2x-4\preko x^2-4)=(x+5 \preko x-2)\) ODZ: \(x^2-4≠0\)

\((-2x-4\preko x^2-4)-(x+5 \preko x-2)=0 \)\(x-2≠0\)

Razlomak smo pomaknuli ulijevo, a ujedno promijenili predznak. Primjećujemo da je nazivnik\(x^2-4\) može se faktorizirati pomoću formule za skraćeno množenje\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) , au brojniku možete uzeti zajednički faktor “-2” iz zagrada.

\((-2(x+2)\preko (x+2)(x-2)) -(x+5\preko x-2)=0\)

Pogledajmo opet ODZ, imamo li ga? Jesti! Tada možete prvi razlomak smanjiti za x+2 . Ako nema ODZ-a, ne možete ga smanjiti! Dobivamo:

\((-2\preko x-2)-(x+5 \preko x-2)=0\)

Razlomci imaju zajednički nazivnik, što znači da se mogu oduzeti:

\((-2-x-5\preko x-2)=0\)

Imajte na umu da budući da oduzimamo razlomke, znak "+" u drugom razlomku mijenjamo u minus! Slične pojmove prikazujemo u brojniku:

\((-x-7 \preko x-2)=0\)

Podsjetimo se da je razlomak jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije jednak nuli. U ODZ-u smo naznačili da nazivnik nije nula. Vrijeme je da označimo da je brojnik nula:

\(-x-7=0\)

Ovo je linearna jednadžba, pomaknite "-7" udesno, promijenite predznak:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Podsjetimo se na ODZ:\(x^2-4≠0\) \(x-2≠0\). Ako ste to mogli riješiti, onda ste to riješili ovako:\(x^2≠4\) \(x≠2\)

\(x_1≠2\) \(x_2≠-2\)

A ako nismo mogli riješiti, onda u ODZ umjesto "x" zamijenimo ono što smo dobili. Imamo\(x=-7\)

Zatim: \((-7)^2-4≠0\) ? Izvedena? Izvedena!

Dakle, odgovor na našu jednadžbu je:\(x=-7\)

Razmotrite sljedeću jednadžbu: \((3x^2-6\preko 2(x+1))=(x-1)\)

Rješavamo ga na isti način. Prvo označavamo ODZ:\(x+1≠0\)

Zatim se pomaknemo x-1 lijevo, ovom izrazu odmah pridružujemo nazivnik 1; to se može učiniti, budući da nazivnik 1 ne utječe ni na što.

Dobivamo: \((3x^2-6\preko 2(x+1)) -(x-1\preko 1)=0\)

Tražimo zajednički nazivnik, ovo\(2(x+1)\) . Drugi razlomak množimo ovim izrazom.

dobio: \((3x^2-6\preko2(x+1)) -((x-1)⋅2(x+1)\preko2(x+1)) =0\)

\(( 3x^2-6-2x^2+2\preko 2(x+1)) =0 \)

Ako je teško, dopustite da objasnim:\(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \) A budući da drugom razlomku prethodi znak "-", kada kombiniramo ove razlomke u jedan, mijenjamo znakove u suprotne.

Primjećujemo da \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) i prepišite ovako:\(((x-2)(x+2)\preko 2(x+1)) =0\)

Zatim koristimo definiciju razlomka jednakog nuli. Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula. U ODZ smo naznačili da nazivnik nije jednak nuli, naznačit ćemo da je brojnik jednak nuli.\((x-2)(x+2)=0\) . I riješimo ovu jednadžbu. Sastoji se od dva faktora x-2 i x+2 . Zapamtite da je umnožak dva faktora jednak nuli kada je jedan od faktora jednak nuli.

Dakle: x+2 =0 ili x-2 =0

Iz prve jednadžbe dobivamo x=-2 , od drugog x=2 . Prenosimo broj i mijenjamo predznak.

U posljednjoj fazi provjeravamo ODZ: x+1≠0

Umjesto x, zamijenite brojeve 2 i -2.

Dobivamo 2+1≠0 . Izvedena? Da! Dakle, x=2 je naš korijen. Provjerimo sljedeće:-2+1≠0 . Izvedena. Da. To znači da je x=-2 također naš korijen. Dakle, odgovor je: 2 i -2.

Riješimo posljednju jednadžbu bez objašnjenja. Algoritam je isti:

Za korištenje pregleda stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Pregled:

Lekcija na temu "Rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi." 8. razred

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

učvršćivanje pojma razlomljene racionalne jednadžbe;
razmotriti različite načine rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi;
razmotriti algoritam za rješavanje razlomačkih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet da je razlomak jednak nuli;
naučiti rješavati razlomačke racionalne jednadžbe pomoću algoritma.

Razvojni:

razvijanje sposobnosti ispravnog rukovanja stečenim znanjem i logičkog razmišljanja;
razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, usporedba i generalizacija;
razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka i ne zaustavljanja na tome;
razvoj kritičkog mišljenja;
razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

poticanje kognitivnog interesa za predmet;
poticanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema;
njegovanje volje i ustrajnosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije : sat - konsolidacija i usustavljivanje znanja, vještina i sposobnosti.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Danas ćemo u lekciji pogledati različite načine rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi. Na ploči su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe?

1. 7 x – 14 = 0

Jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana razlomački racionalni izrazi nazivaju se razlomačke racionalne jednadžbe. Što mislite što ćemo danas učiti na satu? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi.”

2. Obnavljanje znanja. Frontalno ispitivanje, usmeni rad s razredom, rješavanje jednadžbi

Molimo odgovorite na sljedeća pitanja:

Kako se zove jednadžba broj 1? ( Linearno .) Metoda rješavanja linearnih jednadžbi. (Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednadžbe, sve brojeve na desnu. Navedite slične pojmove. Pronađite nepoznati faktor).

Riješimo jednadžbu br

Kako se zove jednadžba broj 3? ( Kvadrat. ) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. (Izdvajanje potpunog kvadrata pomoću formula koje koriste Vietin teorem i njegove korolare.)

Riješimo jednadžbu br.3

Što je jednadžba #2? ( Proporcija ). Što je proporcija? (Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. (Ako je udio točan, tada je umnožak njegovih krajnjih članova jednak umnošku srednjih članova.)

Riješimo jednadžbu br.2

Riješenje:

9 x = 18 ∙ 5

9 x = 90

X = 90:9

X = 10

Odgovor: 10

Koju razlomljenu racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5). Ali budući da ova jednadžba ima nazivnik koji sadrži nepoznanicu, potrebno je napisati ...? ODZ.

Riješenje:

ODZ: x ≠ − 2, x ≠ 4

(x – 2)(x – 4) = (x + 2)(x + 3)

X 2 – 4 x – 2 x + 8 = x 2 + 3 x + 2 x + 6

x 2 – 6 x – x 2 – 5 x = 6 – 8

11 x = -2

X = -2: (-11)

Odgovor:

Riješimo jednadžbu br.4. Koja se svojstva koriste za rješavanje ove jednadžbe? (Ako se obje strane jednadžbe pomnože s istim brojem koji nije nula, dobit ćete jednadžbu koja je ekvivalentna danoj.)

Riješenje:

| ∙ 6

3 x – 3 + 4 x = 5x

7 x – 5 x = 3

2 x = 3

x = 3:2

x = 1,5

Odgovor: 1.5

Koja se razlomljena racionalna jednadžba može riješiti množenjem obje strane jednadžbe s nazivnikom? (br. 6).

Riješenje:

| ∙ (7 – x)

12 = x (7 – x)

12 = 7 x – x 2

x 2 – 7 x + 12 = 0

D = 1 > 0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Odgovor: 3; 4.

Sada riješimo jednadžbu br. 7 na dva načina.

Riješenje:

1 način:

ODZ: x ≠ 0, x ≠ 5

Kada je razlomak jednak nuli? (Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula..)

x ² − 3 x – 10 = 0

D = 49 > 0, x 1 = 5, x 2 = − 2

x = 5 ne zadovoljava ODZ. Kažu da je 5 vanjski korijen.

Odgovor: − 2

Riješenje:

Metoda 2:

| ∙ x (x – 5) ODZ: x ≠ 0, x ≠ 5

x (x – 3) + x – 5 = x + 5

x ² − 3 x + x – 5 – x – 5 = 0

x ² − 3 x – 10 = 0

D = 49 > 0, x 1 = 5, x 2 = − 2

x = 5 ne zadovoljava ODZ. 5 – strani korijen.

Odgovor: − 2

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Pomaknite sve na lijevu stranu.
Svedi razlomke na zajednički nazivnik.
Riješite jednadžbu prema pravilu: razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula.
Uklonite iz korijena one koji čine nazivnik nestalim (pomoću ODZ-a ili provjere)
Zapiši odgovor.

Još jedno rješenje.

Algoritam za rješavanje razlomljenih racionalnih jednadžbi:

1. Nađite zajednički nazivnik razlomaka uključenih u jednadžbu;

2. Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom; ne zaboravite napisati ODZ

3. Riješite dobivenu cijelu jednadžbu;

4. Eliminirajte iz korijena one koji čine zajednički nazivnik nestalim (pomoću ODZ-a ili provjere)

5. Zapišite odgovor.

Jednadžbu također možete riješiti pomoću osnovnog svojstva proporcije, ne zaboravljajući iz njezinih korijena isključiti one koji čine nazivnik nestalim (pomoću ODZ-a ili provjere)

8. Sažimanje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali s frakcijskim racionalnim jednadžbama i naučili rješavati te jednadžbe na razne načine. Na sljedećem satu, kod kuće, imat ćete priliku učvrstiti stečeno znanje.

Koja je metoda rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, što biste trebali zapamtiti? U čemu je "lukavstvo" razlomljenih racionalnih jednadžbi?

Hvala svima, lekcija je gotova.