Rješenje kvadratne jednadžbe kroz. Kvadratne jednadžbe

Seoska srednja škola Kopyevskaya

10 načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Voditelj: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesorica matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

1.6 O Vietinom teoremu

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Književnost

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje područja kopna i zemljanih radova vojne prirode, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Kvadratne jednadžbe uspjeli su riješiti oko 2000 godina pr. e. Babilonci.

Primjenjujući suvremeni algebarski zapis, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima postoje, osim nepotpunih, i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Unatoč visokom stupnju razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i općih metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe.

Diofantova Aritmetika ne sadrži sustavno izlaganje algebre, ali sadrži sustavan niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih sastavljanjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Pri sastavljanju jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta problema proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, tada njihov umnožak ne bi bio 96, već 100. Dakle, jedan od njih bit će više od polovice njihovog zbroj, tj. 10+x, drugi je manji, tj. 10-ice. Razlika među njima 2x .

Otuda jednadžba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Riješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, budući da je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj zadatak riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznanice, tada ćemo doći do rješenja jednadžbe

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznanicu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednadžbe nalaze se već u astronomskom traktatu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), skicirao je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednadžbi (1), koeficijenti, osim za a, također može biti negativan. Brahmaguptina vladavina u biti se podudara s našom.

U staroj su Indiji javna natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: "Kao što sunce svojim sjajem nadmašuje zvijezde, tako će učena osoba zasjeniti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme." Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

Ovdje je jedan od problema slavnog indijskog matematičara XII stoljeća. Bhaskara.

Zadatak 13.

„Žesto jato majmuna i dvanaest u trsovima...

Nakon što je jeo moć, zabavio se. Počeli su skakati, viseći ...

Osmi dio njih na kvadratu Koliko je bilo majmuna,

Zabava na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednadžbi (slika 3).

Jednadžba koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinkom:

x 2 - 64x = -768

i, kako bi lijevu stranu ove jednadžbe dovršio do kvadrata, on zbraja obje strane 32 2 , dobivajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmi

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. sjekira 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi jednaki su kvadratima", tj. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednadžbi su pribrojnici, a ne oduzimanja. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednadžbi, koristeći metode al-jabra i al-muqabele. Njegove se odluke, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našima. Da ne spominjemo činjenicu da je čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Khorezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerojatno zato što ono nije važno u specifičnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja kompletnih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za rješavanje, a zatim geometrijske dokaze, koristeći posebne numeričke primjere.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pod pretpostavkom da je korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje ide otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobit ćete 5, pomnožite 5 samim sobom, od produkta oduzmite 21, ostaje 4. Izvadite korijen iz 4, dobit ćete 2. Oduzmete 2 od 5, dobit ćete dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 na 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sustavno navedena klasifikacija kvadratnih jednadžbi i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu al-Khorezmija u Europi su prvi put navedene u "Knjizi o abakusu", koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo opsežno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako zemalja islama, tako i antičke Grčke, odlikuje se potpunošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja zadataka i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige o abakusu" prešli su u gotovo sve europske udžbenike 16. - 17. stoljeća. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , S formulirao je u Europi tek 1544. M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima su u 16. stoljeću. Uzmite u obzir, osim pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII stoljeću. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, način rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan izgled.

1.6 O Vietinom teoremu

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njezinih korijena, koji nosi ime Vieta, formulirao je prvi put 1591. godine na sljedeći način: “Ako B + D pomnoženo s A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki NA i jednaki D ».

Da bismo razumjeli Vietu, moramo to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio ono nepoznato (naš x), samoglasnici NA, D- koeficijenti za nepoznate. U jeziku moderne algebre, gornja Vietina formulacija znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednadžbi općim formulama napisanim simbolima, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, simbolizam Viete još je daleko od svog modernog oblika. Nije prepoznavao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednadžbi razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstvena građevina algebre. Kvadratne jednadžbe naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednadžbi. Svi znamo rješavati kvadratne jednadžbe od škole (8. razred) do mature.

Ova se tema u početku može činiti kompliciranom zbog brojnih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se i korijeni nalaze pomoću diskriminante. Ukupno su tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule same zapamtiti.

Opći pogled na kvadratnu jednadžbu

Ovdje se predlaže njihova eksplicitna notacija, kada je najveći stupanj napisan prvi, a zatim - u silaznom redoslijedu. Često postoje situacije kada se pojmovi razlikuju. Tada je bolje prepisati jednadžbu silaznim redoslijedom stupnja varijable.

Uvedimo notaciju. Oni su prikazani u tablici ispod.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe svode se na sljedeću oznaku.

Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Označimo ovu formulu brojem jedan.

Kada je jednadžba dana, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:

• otopina će imati dva korijena;
• odgovor će biti jedan broj;
• Jednadžba uopće nema korijena.

I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi

Zadaci mogu imati različite unose. Neće uvijek izgledati kao opća formula kvadratne jednadžbe. Ponekad će nedostajati neki pojmovi. Gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći izraz, dobit ćete nešto drugo. Ovi zapisi se također nazivaju kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.

Štoviše, samo članovi za koje koeficijenti "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.

Diskriminanta i ovisnost broja korijena o njezinoj vrijednosti

Ovaj broj mora biti poznat da bi se izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminant, potrebno je koristiti dolje napisanu jednakost koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različitim predznacima. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. S negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednak nuli, odgovor će biti jedan.

Kako se rješava potpuna kvadratna jednadžba?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminantu. Nakon što je razjašnjeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, trebate koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, tada morate primijeniti takvu formulu.

Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.

Formula pet. Iz istog zapisa može se vidjeti da ako je diskriminant nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?

Ovdje je sve puno jednostavnije. Čak nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati oni koji su već napisani za diskriminant i nepoznato.

Prvo, razmotrite nepotpunu jednadžbu broj dva. U ovoj jednakosti treba nepoznatu vrijednost izvaditi iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobiva rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prenošenjem broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim treba podijeliti s koeficijentom ispred nepoznate. Ostaje samo izvući kvadratni korijen i ne zaboravite ga dva puta zapisati sa suprotnim predznacima.

Slijede neke radnje koje vam pomažu da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Pomoći će učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme "Kvadratne jednadžbe (8. razred)". Nakon toga, ove se radnje neće morati stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.

• Najprije morate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo pojam s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i posljednji - samo broj.

• Ako se prije koeficijenta "a" pojavi minus, početniku može zakomplicirati posao proučavanja kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu sve jednakosti moraju se pomnožiti s "-1". To znači da će svi članovi promijeniti predznak u suprotan.

• Na isti način, preporuča se riješiti frakcija. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon stavljanja u zagrade, ispada: x (x - 7) \u003d 0.

Prvi korijen poprima vrijednost: x 1 \u003d 0. Drugi će se naći iz linearne jednadžbe: x - 7 \u003d 0. Lako je vidjeti da je x 2 \u003d 7.

Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se ona rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon prijenosa 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i dolje, rješavanje kvadratnih jednadžbi započet će njihovim prepisivanjem u standardni oblik: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Sada je vrijeme da upotrijebimo drugu koristan savjet i sve pomnožite s minus jedan . Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, trebate izračunati diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivan broj. Iz gore rečenog ispada da jednadžba ima dva korijena. Potrebno ih je izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Zatim x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta jednaka je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminantu dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, naime: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da trebate donijeti slične članove, prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će takav izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon prebrojavanja sličnih članova, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično tome već je razmatrano malo više. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.

U nastavku teme “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku uvest će vas u kvadratne jednadžbe.

Razmotrimo sve detaljno: suštinu i zapis kvadratne jednadžbe, postavimo srodne pojmove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednadžbi, upoznamo se s formulom korijena i diskriminantom, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, i naravno dat ćemo vizualno rješenje praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c = 0, gdje x– varijabla, a , b i c su neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, jer je zapravo kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugog stupnja.

Navedimo primjer za ilustraciju date definicije: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koef a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, a c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najveći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti b i/ili c su negativni, tada se koristi skraćeni oblik 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ​​ako koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , tada možda neće eksplicitno sudjelovati u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 seniorski koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Prema vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne jednadžbe dijelimo na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba je nereducirana.

Evo nekoliko primjera: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, u svakoj od kojih je vodeći koeficijent 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje je prvi koeficijent različit od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem oba njezina dijela s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba će imati iste korijene kao i dana nereducirana jednadžba ili također neće imati korijene.

Razmatranje konkretnog primjera omogućit će nam da jasno pokažemo prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na smanjenu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Potrebno je izvornu jednadžbu pretvoriti u reducirani oblik.

Riješenje

Prema gornjoj shemi, oba dijela izvorne jednadžbe dijelimo s vodećim koeficijentom 6 . Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 i dalje: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0 . Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to naveli a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bio točno kvadrat, budući da a = 0 u biti pretvara u linearnu jednadžbu b x + c = 0.

U slučaju kada su koeficijenti b i c jednaki nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c \u003d 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b i c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se vrstama kvadratnih jednadžbi daju upravo takvi nazivi.

Za b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto što i a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 i c = 0 jednadžba će dobiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje odjednom. Zapravo, ta je činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbi - nepotpune.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, koeficijenti odgovaraju takvoj jednadžbi b = 0 i c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 za c = 0 .

Razmotrimo redom rješenja svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 \u003d 0

Kao što je već gore spomenuto, takva jednadžba odgovara koeficijentima b i c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x2 = 0, koju dobijemo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe s brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x2 = 0 je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se objašnjava svojstvima stupnja: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je istinita p2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p2 = 0 nikada neće biti dostignut.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0 postoji jedan korijen x=0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x2 = 0, njegov jedini korijen je x=0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Rješenje je sažeto kako slijedi:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rješenje jednadžbe a x 2 + c \u003d 0

Sljedeće na redu je rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b \u003d 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbi oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu prenošenjem člana s jedne strane jednadžbe na drugu, promjenom predznaka u suprotan i dijeljenjem obje strane jednadžbe s brojem koji nije jednak nuli:

• izdržati c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
• podijelite obje strane jednadžbe s a, dobivamo kao rezultat x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne, odnosno rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna originalnoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključka o korijenima jednadžbe. Od čega su vrijednosti a i c ovisi o vrijednosti izraza - c a: može imati znak minus (na primjer, if a = 1 i c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = -2 i c=6, tada je - c a = - 6 - 2 = 3); nije jednak nuli jer c ≠ 0. Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 \u003d - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 \u003d - c a. Lako je razumjeti da je broj - - c a - također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a .

Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo pokazati koristeći suprotnu metodu. Prvo, postavimo zapis korijena pronađenih gore kao x 1 i − x 1. Pretpostavimo da jednadžba x 2 = - c a također ima korijen x2, koji se razlikuje od korijena x 1 i − x 1. To znamo zamjenom u jednadžbu umjesto x njezine korijene, transformiramo jednadžbu u pravednu numeričku jednakost.

Za x 1 i − x 1 napiši: x 1 2 = - c a , i za x2- x 2 2 \u003d - c a. Na temelju svojstava numeričkih jednakosti oduzimamo jednu pravu jednakost od drugog člana po član, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Upotrijebite svojstva numeričkih operacija da prepišete posljednju jednakost kao (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dvaju brojeva nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz rečenog proizlazi da x1 − x2 = 0 i/ili x1 + x2 = 0, što je isto x2 = x1 i/ili x 2 = − x 1. Pojavila se očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x2 razlikuje se od x 1 i − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema drugih korijena osim x = - c a i x = - - c a .

Sažimamo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a , koja:

• neće imati korijene na - c a< 0 ;
• imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a kada je - c a > 0 .

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 . Potrebno je pronaći njegovo rješenje.

Riješenje

Slobodni član prenesemo na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 \u003d - 7.
Obje strane dobivene jednadžbe podijelimo s 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj s predznakom minus, što znači: navedena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijena.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Potrebno je riješiti jednadžbu − x2 + 36 = 0.

Riješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x2 = 36. Na desnoj strani je pozitivan broj, iz čega možemo zaključiti da x = 36 ili x = - 36 .
Izvadimo korijen i zapišemo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = -6.

Odgovor: x=6 ili x = -6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristimo metodu faktorizacije. Faktorizirajmo polinom, koji je na lijevoj strani jednadžbe, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, pak, ekvivalentna skupu jednadžbi x=0 i a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearna, a njen korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x=0 i x = − b a.

Učvrstimo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Riješenje

Izvadimo x izvan zagrada i dobijemo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x=0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sada biste trebali riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Ukratko, zapisujemo rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0, x = 3 3 7 .

Diskriminanta, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 a, gdje je D = b 2 − 4 a c je takozvani diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x \u003d - b ± D 2 a u biti znači da je x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bit će korisno razumjeti kako je navedena formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Provedimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

• podijeli obje strane jednadžbe brojem a, različito od nule, dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• odaberite puni kvadrat na lijevoj strani dobivene jednadžbe:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Tako smo došli do jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , koja je ekvivalentna izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

O rješavanju takvih jednadžbi raspravljali smo u prethodnim paragrafima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• za b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba ima oblik x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očit jedini korijen x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, točan je: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , što je isto kao x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 a c 4 · a 2 napisano s desne strane. A znak ovog izraza dat je znakom brojnika, (nazivnika 4 do 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno predznak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednadžbe i definira se slovo D kao njezina oznaka. Ovdje možete napisati bit diskriminante - po njegovoj vrijednosti i znaku zaključuju hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako hoće, koliko korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Prepišimo to koristeći diskriminacijski zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Rezimirajmo zaključke:

Definicija 9

• na D< 0 jednadžba nema pravih korijena;
• na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
• na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ili x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu napisati kao: x \u003d - b 2 a + D 2 a ili - b 2 a - D 2 a. A kada otvorimo module i svedemo razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminanta D izračunati po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju, kada je diskriminant veći od nule, da se odrede oba stvarna korijena. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule dat će isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, pokušavajući koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom izvlačenja kvadratnog korijena negativnog broja, što će nas odvesti dalje od realnih brojeva. S negativnom diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati prave korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu odmah koristeći formulu korijena, ali u osnovi se to radi kada je potrebno pronaći složene korijene.

U većini slučajeva, pretraga se obično ne odnosi na kompleksne, već na stvarne korijene kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe prvo odrediti diskriminantu i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim prijeći na izračunavanje vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći vrijednost diskriminante;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0 pronađite jedini korijen jednadžbe po formuli x = - b 2 · a ;
• za D > 0 odredite dva realna korijena kvadratne jednadžbe formulom x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a , ona će dati isti rezultat kao formula x = - b 2 · a .

Razmotrite primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Predstavljamo rješenja primjera za različite vrijednosti diskriminante.

Primjer 6

Potrebno je pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x - 6 = 0.

Riješenje

Zapisujemo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a \u003d 1, b \u003d 2 i c = − 6. Zatim postupamo prema algoritmu, tj. Počnimo računati diskriminantu, za koju ćemo zamijeniti koeficijente a , b i c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobili smo D > 0, što znači da će originalna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x \u003d - b ± D 2 · a, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Dobiveni izraz pojednostavljujemo izuzimanjem faktora iz predznaka korijena, nakon čega slijedi smanjenje razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riješenje

Definirajmo diskriminantu: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Odgovor: x = 3, 5.

Primjer 8

Potrebno je riješiti jednadžbu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Riješenje

Brojčani koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5 , b = 6 i c = 2 . Koristimo ove vrijednosti da bismo pronašli diskriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunata diskriminacija je negativna, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema realne korijene.

U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu korijena izvodeći operacije s kompleksnim brojevima:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ili x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i ili x = - 3 5 - 1 5 i .

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

U školskom kurikulumu standardno ne postoji zahtjev za traženje složenih korijena, stoga, ako je diskriminant definiran kao negativan tijekom odluke, odmah se bilježi odgovor da nema pravih korijena.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Korijenska formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja vam omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom pri x (ili s koeficijentom oblika 2 a n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako je ova formula izvedena.

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Ponašamo se prema algoritmu: odredimo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a zatim koristimo formulu korijena:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a c bude označen kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n imati oblik:

x \u003d - n ± D 1 a, gdje je D 1 \u003d n 2 - a c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1 , odnosno D 1 = D 4 . Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminante. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 također može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bi se pronašlo rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:

• nađi D 1 = n 2 − a c ;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• za D 1 = 0 jedini korijen jednadžbe odredite formulom x = - n a ;
• za D 1 > 0, odredite dva realna korijena pomoću formule x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Riješenje

Drugi koeficijent dane jednadžbe može se prikazati kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , gdje je a = 5 , n = − 3 i c = − 32 .

Izračunajmo četvrti dio diskriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Definiramo ih odgovarajućom formulom korijena:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom bi slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratna jednadžba 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 očito je prikladnija za rješavanje od 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Češće se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe izvodi množenjem ili dijeljenjem njezina oba dijela s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, dobiven dijeljenjem oba njezina dijela sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu relativno prosti brojevi. Tada se obično oba dijela jednadžbe dijele s najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definirajmo gcd apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se eliminiraju frakcijski koeficijenti. U ovom slučaju pomnožite s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada će biti napisana u jednostavnijem obliku x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na kraju napominjemo da se gotovo uvijek oslobađamo minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe, mijenjajući predznake svakom članu jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) oba dijela s −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, možete prijeći na njezinu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Već poznata formula za korijene kvadratnih jednadžbi x = - b ± D 2 · a izražava korijene jednadžbe preko njezinih numeričkih koeficijenata. Na temelju ove formule imamo mogućnost postaviti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije su formule Vieta teorema:

x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, po obliku kvadratne jednadžbe 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a produkt korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom ćemo članku razmotriti rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Ali prvo, ponovimo koje se jednadžbe nazivaju kvadratnim. Jednadžba oblika ax 2 + bx + c \u003d 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c neki brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat. Kao što vidimo, koeficijent kod x 2 nije jednak nuli, pa stoga koeficijenti kod x ili slobodni član mogu biti jednaki nuli, u ovom slučaju dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1) Ako je b \u003d 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c \u003d 0;

2) Ako je b ≠ 0, c \u003d 0, tada je ax 2 + bx \u003d 0;

3) Ako je b \u003d 0, c \u003d 0, tada je ax 2 \u003d 0.

• Pogledajmo kako će riješiti jednadžbe oblika ax 2 + c = 0.

Da bismo riješili jednadžbu, prenosimo slobodni član s na desnu stranu jednadžbe, dobivamo

sjekira 2 = ‒s. Budući da je a ≠ 0, tada oba dijela jednadžbe dijelimo s a, zatim x 2 \u003d -c / a.

Ako je ‒s/a > 0, tada jednadžba ima dva korijena

x = ±√(–c/a) .

Ako –c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokušajmo s primjerima razumjeti kako riješiti takve jednadžbe.

Primjer 1. Riješite jednadžbu 2x 2 - 32 = 0.

Odgovor: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Primjer 2. Riješite jednadžbu 2x 2 + 8 = 0.

Odgovor: Jednadžba nema rješenja.

• Pogledajmo kako će riješiti jednadžbe oblika ax 2 + bx = 0.

Da bismo riješili jednadžbu ax 2 + bx \u003d 0, rastavljamo je na faktore, odnosno, uzimamo x iz zagrada, dobivamo x (ax + b) \u003d 0. Proizvod je nula ako je barem jedan od faktora je nula. Tada je ili h = 0 ili ah + b = 0. Rješavanjem jednadžbe ah + b = 0 dobivamo ah = – b, odakle je h = – b/a. Jednadžba oblika ax 2 + bx \u003d 0 uvijek ima dva korijena x 1 \u003d 0 i x 2 \u003d - b / a. Pogledajte kako rješenje jednadžbi ovog tipa izgleda na dijagramu.

Učvrstimo svoje znanje na konkretnom primjeru.

Primjer 3. Riješite jednadžbu 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 ili 3x - 12 \u003d 0

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Jednadžbe trećeg tipa ax 2 = 0 riješeno vrlo jednostavno.

Ako je ax 2 \u003d 0, tada je x 2 \u003d 0. Jednadžba ima dva jednaka korijena x 1 \u003d 0, x 2 = 0.

Radi jasnoće, razmotrite dijagram.

Prilikom rješavanja primjera 4 pobrinut ćemo se da se jednadžbe ovog tipa rješavaju vrlo jednostavno.

Primjer 4 Riješite jednadžbu 7x 2 = 0.

Odgovor: x 1, 2 = 0.

Nije uvijek odmah jasno kakvu nepotpunu kvadratnu jednadžbu moramo riješiti. Razmotrite sljedeći primjer.

Primjer 5 riješiti jednadžbu

Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom, to jest s 30

Režimo

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Otvorimo zagrade

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Evo sličnih

Pomaknimo 99 s lijeve strane jednadžbe na desnu, mijenjajući predznak u suprotan

Odgovor: nema korijena.

Analizirali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća s takvim zadacima. Budite oprezni pri određivanju vrste nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.

Ako imate pitanja o ovoj temi, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo riješiti probleme.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

U modernom društvu, sposobnost rada s jednadžbama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim područjima djelovanja i naširoko se koristi u praksi u znanstvenom i tehničkom razvoju. O tome svjedoči dizajn morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Uz pomoć takvih izračuna određuju se putanje kretanja različitih tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogu vam zatrebati na kampiranju, na sportskim događanjima, u trgovinama pri kupnji iu drugim vrlo uobičajenim situacijama.

Rastavimo izraz na sastavne faktore

Stupanj jednadžbe određen je maksimalnom vrijednošću stupnja varijable koju zadani izraz sadrži. Ako je jednak 2, onda se takva jednadžba zove kvadratna jednadžba.

Ako govorimo jezikom formula, onda se ti izrazi, kako god izgledali, uvijek mogu dovesti do oblika kada se lijeva strana izraza sastoji od tri člana. Među njima su: ax 2 (odnosno varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznanica bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve je to na desnoj strani jednako 0. U slučaju kada takav polinom nema niti jedan od sastavnih članova, osim osi 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Najprije treba razmotriti primjere s rješenjem takvih problema u kojima nije teško pronaći vrijednost varijabli.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani izraza, točnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x stavljanjem varijable u zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Nadalje, postaje očito da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da umnožak dva faktora daje 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednadžbama ove vrste može se opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene točke, uzete kao ishodište. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme proteklo od trenutka kada se tijelo podigne do trenutka kada padne, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Rastavljanje izraza na faktore

Gore opisano pravilo omogućuje rješavanje ovih problema u složenijim slučajevima. Razmotrite primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi ove vrste.

X2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo transformiramo izraz i rastavljamo ga na faktore. Dva su: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućuju ovoj metodi pronalaženje varijable u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada desnu stranu rastavljamo na faktore s varijablom, postoje tri faktora, to jest (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Vađenje kvadratnog korijena

Drugi slučaj nepotpune jednadžbe drugog reda je izraz napisan jezikom slova na način da je desna strana izgrađena od komponenti ax 2 i c. Ovdje se za dobivanje vrijednosti varijable slobodni član prenosi na desnu stranu, a nakon toga se vadi kvadratni korijen s obje strane jednakosti. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednadžbe. Jedina iznimka su jednakosti koje uopće ne sadrže član c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada desna strana ispadne negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ove vrste.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe bit će brojevi -4 i 4.

Izračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim izračunima pojavila se u davnim vremenima, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima uvelike bio posljedica potrebe da se s najvećom točnošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Također bismo trebali razmotriti primjere s rješavanjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na temelju problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravokutni komad zemlje čija je duljina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta, ako je poznato da je njegova površina 612 m 2.

Prijelazeći na posao, prvo ćemo napraviti potrebnu jednadžbu. Označimo širinu presjeka kao x, tada će njegova duljina biti (x + 16). Iz napisanog slijedi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji prema uvjetu našeg zadatka iznosi 612. To znači da je x (x + 16) \u003d 612.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se učiniti na isti način. Zašto? Iako njegova lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov umnožak uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste druge metode.

Diskriminirajući

Prije svega, napravit ćemo potrebne transformacije, tada će izgled ovog izraza izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje a=1, b=16, c= -612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi preko diskriminante. Ovdje se izrađuju potrebni izračuni prema shemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna vrijednost ne samo da omogućuje pronalaženje željenih vrijednosti u jednadžbi drugog reda, već određuje broj mogućih opcija. U slučaju D>0, postoje dva od njih; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je: 256 - 4(-612) = 2704. To znači da naš problem ima odgovor. Ako znate, to, rješenje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj nedoumici ne može biti rješenje, jer se veličina parcele ne može mjeriti u negativnim vrijednostima, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18+16=34, a opseg 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. U nastavku će biti navedeni primjeri i detaljno rješenje nekoliko njih.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prenesimo sve na lijevu stranu jednakosti, napravimo transformaciju, odnosno dobijemo oblik jednadžbe koji se obično naziva standardni i izjednačimo ga s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodavši slične, određujemo diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Dakle, naša jednadžba će imati dva korijena. Izračunavamo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Saznajmo ima li ovdje uopće korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, polinom dovodimo u odgovarajući poznati oblik i izračunavamo diskriminantu. U ovom primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednadžbu, jer suština problema uopće nije u tome. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da stvarno nema korijena.

Vietin teorem

Pogodno je rješavati kvadratne jednadžbe pomoću gornjih formula i diskriminante, kada se kvadratni korijen izvlači iz vrijednosti potonje. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli u ovom slučaju. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Ime je dobio po čovjeku koji je živio u Francuskoj u 16. stoljeću i imao briljantnu karijeru zahvaljujući svom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret možete vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz primijetio bio je sljedeći. Dokazao je da je zbroj korijena jednadžbe jednak -p=b/a, a njihov umnožak odgovara q=c/a.

Sada pogledajmo konkretne zadatke.

3x2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Korištenjem Vieta teorema, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov umnožak je -18. Odavde dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se te vrijednosti varijabli stvarno uklapaju u izraz.

Graf i jednadžba parabole

Pojmovi kvadratne funkcije i kvadratnih jednadžbi usko su povezani. Primjeri toga već su ranije navedeni. Sada pogledajmo neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednadžba opisane vrste može se prikazati vizualno. Takva ovisnost, nacrtana u obliku grafikona, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njeni ogranci. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u točkama gdje se linija grafikona siječe s 0x. Koordinate vrha mogu se pronaći upravo navedenom formulom x 0 = -b / 2a. I, zamjenom dobivene vrijednosti u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koja pripada y-osi.

Sjecište grana parabole s osi apscisa

Postoji mnogo primjera s rješavanjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Razmotrimo ih. Jasno je da je sjecište grafa s 0x osi za a>0 moguće samo ako y 0 poprima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole također možete odrediti korijene. Vrijedi i obrnuto. Odnosno, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti dobivenu jednadžbu. A poznavajući točke sjecišta s osi 0x, lakše je crtati.

Iz povijesti

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže kvadratnu varijablu, u stara vremena, ne samo da su radili matematičke izračune i određivali površinu geometrijskih oblika. Starim ljudima su takvi izračuni bili potrebni za grandiozna otkrića na polju fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što moderni znanstvenici sugeriraju, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. Dogodilo se to četiri stoljeća prije početka naše ere. Naravno, njihovi izračuni bili su bitno drugačiji od onih koji su trenutno prihvaćeni i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također nisu bili upoznati s drugim suptilnostima koje su poznate bilo kojem studentu našeg vremena.

Možda čak i prije babilonskih znanstvenika, indijski mudrac Baudhayama prihvatio se rješavanja kvadratnih jednadžbi. To se dogodilo oko osam stoljeća prije dolaska Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode za rješavanje kojih je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, slična su pitanja u stara vremena zanimala i kineske matematičare. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, no kasnije su ih u svom radu koristili veliki znanstvenici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.