Rješenje pravokutnog trokuta. Kako pronaći stranice pravokutnog trokuta? Osnove geometrije Kako pronaći katet poznavajući hipotenuzu i katet

Pomoću kalkulatora izvucite kvadratni korijen razlike između kvadrata hipotenuze i poznatog kraka također na kvadrat. Krak je stranica pravokutnog trokuta uz pravi kut. Ovaj izraz je izveden iz Pitagorinog poučka, koji kaže da je kvadrat hipotenuze trokuta jednak zbroju kvadrata kateta.

Prije nego pogledamo različite načine pronalaženja kraka u pravokutnom trokutu, usvojimo neke oznake. Provjerite koji od navedenih slučajeva odgovara uvjetu vašeg zadatka i, ovisno o tome, slijedite odgovarajući paragraf. Otkrijte koje količine poznajete u dotičnom trokutu. Koristite sljedeći izraz za izračunavanje kraka: a=sqrt(c^2-b^2), ako znate vrijednosti hipotenuze i drugog kraka.

Odnosi između stranica i kutova ovog geometrijskog lika detaljno su obrađeni u matematičkoj disciplini trigonometriji. Da biste primijenili ovu jednadžbu, trebate znati duljinu bilo koje dvije stranice pravokutnog trokuta.

Izračunaj duljinu jednog od kateta ako su poznate mjere hipotenuze i drugog kateta. Ako problem specificira hipotenuzu i jedan od oštrih kutova uz nju, koristite Bradisove tablice.

Unutarnji trokut bit će sličan vanjskom, jer su srednje linije paralelne s nogama i hipotenuzom, odnosno jednake su njihovim polovicama. Budući da je hipotenuza nepoznata, da biste pronašli središnju liniju M_c morate zamijeniti radikal iz Pitagorinog teorema.

Hipotenuza je najduža stranica pravokutnog trokuta. Leži nasuprot pravog kuta. Duljina hipotenuze može se pronaći na različite načine. Ako je poznata duljina obje noge, tada se njezina veličina izračunava pomoću Pitagorinog poučka: zbroj kvadrata dviju nogu jednak je kvadratu hipotenuze. Znajući da je zbroj svih kutova 180°, oduzmite pravi kut i već poznati.

Prilikom izračunavanja parametara pravokutnog trokuta važno je obratiti pozornost na poznate vrijednosti i riješiti problem pomoću najjednostavnije formule. Prvo, sjetimo se što je pravokutni trokut. Pravokutni trokut je geometrijski lik od tri segmenta koji spajaju točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji, a jedan od kutova ovog lika je 90 stupnjeva. Postoji nekoliko načina da saznate duljinu noge.

Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b katete

Ako znamo hipotenuzu i katet, tada možemo pronaći duljinu nepoznatog kateta koristeći Pitagorin teorem. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta." Postoje četiri opcije za pronalaženje kraka pomoću trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangens, kotangens. Sinus kuta (sin) je omjer suprotne strane i hipotenuze. Formula: sin=a/c, gdje je a krak nasuprot zadanom kutu, a c hipotenuza.

Neobična svojstva pravokutnih trokuta otkrio je starogrčki znanstvenik Pitagora, otkrivši da je kvadrat hipotenuze u takvim trokutima jednak zbroju kvadrata kateta

Visina je okomica koja se proteže iz bilo kojeg vrha trokuta na suprotnu stranicu (ili njegov nastavak, za trokut s tupim kutom). Visine trokuta sijeku se u jednoj točki koja se naziva ortocentar. Ako se radi o proizvoljnom pravokutnom trokutu, tada nema dovoljno podataka.

Također je korisno znati vrijednosti trigonometrijskih funkcija za najčešće kutove od 30, 45, 60, 90, 180 stupnjeva. Ako uvjeti određuju dimenzije kateta, pronađite duljinu hipotenuze. U životu ćemo se često morati baviti matematičkim problemima: u školi, na fakultetu, a onda i pomagati djetetu oko zadaće.

Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a=sin*c

Donja tablica pomoći će nam u rješavanju problema. Razmotrimo ove opcije. Zanimljiv je poseban slučaj kada je jedan od oštrih kutova jednak 30 stupnjeva.

Ljudi određenih profesija susrest će se s matematikom svakodnevno.

Također možete pronaći nepoznati krak ako su poznate bilo koja druga stranica i bilo koji oštri kut pravokutnog trokuta. Odredite stranicu pravokutnog trokuta pomoću Pitagorinog poučka. Također, stranice pravokutnog trokuta mogu se pronaći pomoću raznih formula ovisno o broju poznatih varijabli.

upute

Kutovi nasuprot kracima a i b bit će označeni s A odnosno B. Hipotenuza je, prema definiciji, stranica pravokutnog trokuta koja je nasuprot pravog kuta (dok hipotenuza s ostalim stranicama trokuta tvori šiljaste kutove). trokut). Duljinu hipotenuze označavamo sa c.

Trebat će vam:
Kalkulator.

Koristite sljedeći izraz za krak: a=sqrt(c^2-b^2), ako znate vrijednosti hipotenuze i drugog kraka. Ovaj izraz je izveden iz Pitagorinog poučka, koji kaže da je kvadrat hipotenuze trokuta jednak zbroju kvadrata kateta. Operator sqrt označava vađenje kvadratnog korijena. Znak "^2" znači dizanje na drugu potenciju.

Upotrijebite formulu a=c*sinA ako znate hipotenuzu (c) i kut nasuprot željenom kraku (taj smo kut označili kao A).
Upotrijebite izraz a=c*cosB za pronalaženje kraka ako znate hipotenuzu (c) i kut pridružen željenom kraku (taj smo kut označili kao B).
Izračunajte krak pomoću formule a=b*tgA u slučaju kada je zadan krak b i kut nasuprot željenom kraku (dogovorili smo se da taj kut označavamo s A).

Bilješka:
Ako u vašem problemu noga nije pronađena ni na jedan od opisanih načina, najvjerojatnije se može svesti na jedan od njih.

Korisni savjeti:
Svi ovi izrazi dobiveni su iz dobro poznatih definicija trigonometrijskih funkcija, stoga, čak i ako zaboravite jednu od njih, uvijek je možete brzo izvesti jednostavnim operacijama. Također je korisno znati vrijednosti trigonometrijskih funkcija za najčešće kutove od 30, 45, 60, 90, 180 stupnjeva.

Nakon proučavanja teme o pravokutnim trokutima, učenici često zaborave sve informacije o njima. Uključujući kako pronaći hipotenuzu, a da ne spominjemo što je to.

I uzalud. Zato što će se u budućnosti dijagonala pravokutnika pokazati upravo ovom hipotenuzom i treba je pronaći. Ili se promjer kruga podudara s najvećom stranom trokuta, čiji je jedan od kutova pravi. A nemoguće ga je pronaći bez ovog znanja.

Postoji nekoliko opcija za pronalaženje hipotenuze trokuta. Izbor metode ovisi o početnom skupu podataka u problemu količina.

Metoda broj 1: date su obje strane

Ovo je najupečatljivija metoda jer koristi Pitagorin teorem. Samo ponekad učenici zaborave da se ova formula koristi za pronalaženje kvadrata hipotenuze. To znači da ćete morati izvaditi kvadratni korijen da biste pronašli samu stranu. Stoga će formula za hipotenuzu, koja se obično označava slovom "c", izgledati ovako:

c = √ (a 2 + b 2), gdje slova “a” i “b” predstavljaju obje katete pravokutnog trokuta.

Metoda broj 2: krak i kut uz njega su poznati

Kako biste naučili pronaći hipotenuzu, morat ćete zapamtiti trigonometrijske funkcije. Naime kosinus. Radi praktičnosti, pretpostavit ćemo da su zadani krak "a" i kut α uz njega.

Sada moramo zapamtiti da je kosinus kuta pravokutnog trokuta jednak omjeru dviju stranica. Brojnik će sadržavati vrijednost katete, a nazivnik hipotenuzu. Iz ovoga slijedi da se potonji može izračunati pomoću formule:

c = a / cos α.

Metoda broj 3: dana je krak i kut koji leži nasuprot njemu

Kako se ne bi zbunili u formulama, uvedimo oznaku za ovaj kut - β, a stranu ostavimo isto "a". U ovom slučaju trebat će vam još jedna trigonometrijska funkcija - sinus.

Kao u prethodnom primjeru, sinus je jednak omjeru katete i hipotenuze. Formula za ovu metodu izgleda ovako:

c = a / sin β.

Kako se ne biste zabunili u trigonometrijske funkcije, možete se sjetiti jednostavnog mnemotehničkog znaka: ako se problem bavi pr O suprotnog kuta, tada ga trebate koristiti s I dobro, ako - oh pr I ležeći, zatim do O sinus. Treba obratiti pozornost na prve samoglasnike u ključnim riječima. Formiraju parove o-i ili i oko.

Metoda broj 4: duž polumjera opisane kružnice

Sada, da biste saznali kako pronaći hipotenuzu, morat ćete se sjetiti svojstava kruga koji je opisan oko pravokutnog trokuta. Ona glasi kako slijedi. Središte kružnice poklapa se sa sredinom hipotenuze. Drugim riječima, najduža stranica pravokutnog trokuta jednaka je dijagonali kruga. Odnosno, dvostruko veći radijus. Formula za ovaj problem izgledat će ovako:

c = 2 * r, gdje slovo r označava poznati radijus.

Ovo su sve mogući načini za pronalaženje hipotenuze pravokutnog trokuta. Za svaki pojedini zadatak morate koristiti metodu koja je najprikladnija za skup podataka.

Primjer zadatka br. 1

Uvjet: u pravokutnom trokutu središnje su strane povučene na obje stranice. Duljina povučene na veću stranicu je √52. Drugi medijan ima duljinu √73. Morate izračunati hipotenuzu.

Budući da su medijani nacrtani u trokutu, oni dijele krake na dva jednaka segmenta. Radi lakšeg razmišljanja i traženja kako pronaći hipotenuzu, morate uvesti nekoliko oznaka. Neka obje polovice veće noge budu označene slovom "x", a druga sa "y".

Sada trebamo razmotriti dva pravokutna trokuta čije su hipotenuze poznate medijane. Za njih morate dva puta napisati formulu Pitagorine teoreme:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Ove dvije jednadžbe čine sustav s dvije nepoznanice. Nakon što ih riješite, bit će lako pronaći noge izvornog trokuta i iz njih njegovu hipotenuzu.

Prvo morate sve podići na drugu potenciju. Ispada:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Iz druge jednadžbe jasno je da je y 2 = 73 - 4x 2. Ovaj izraz treba zamijeniti u prvi i izračunati “x”:

4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Nakon konverzije:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 ili 15 x 2 = 240.

Iz zadnjeg izraza x = √16 = 4.

Sada možete izračunati "y":

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Prema uvjetima, ispada da su noge izvornog trokuta jednake 6 i 8. To znači da možete koristiti formulu iz prve metode i pronaći hipotenuzu:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Odgovor: hipotenuza je jednaka 10.

Primjer zadatka br. 2

Uvjet: izračunajte dijagonalu povučenu u pravokutnik čija je kraća stranica jednaka 41. Ako se zna da ona dijeli kut na one koji se odnose kao 2 prema 1.

U ovom problemu, dijagonala pravokutnika je najduža stranica u trokutu od 90º. Dakle, sve se svodi na to kako pronaći hipotenuzu.

Problem je u kutovima. To znači da ćete morati koristiti jednu od formula koja sadrži trigonometrijske funkcije. Prvo morate odrediti veličinu jednog od oštrih kutova.

Neka manji od kutova o kojima se govori u uvjetu bude označen kao α. Tada će pravi kut podijeljen s dijagonalom biti jednak 3α. Matematička notacija za ovo izgleda ovako:

Iz ove jednadžbe lako je odrediti α. To će biti jednako 30º. Štoviše, ležat će nasuprot manje strane pravokutnika. Stoga će vam trebati formula opisana u metodi br. 3.

Hipotenuza je jednaka omjeru katete i sinusa suprotnog kuta, to jest:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Odgovor: Hipotenuza je 82.

Prije nego što pronađete hipotenuzu trokuta, morate razumjeti koje značajke ima ova figura. Razmotrimo glavne:

1. U pravokutnom trokutu zbroj oba šiljasta kuta iznosi 90º.
2. Krak koji leži nasuprot kutu od 30º bit će jednak ½ veličine hipotenuze.
3. Ako je kateta jednaka ½ hipotenuze, tada će drugi kut imati istu vrijednost - 30º.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje hipotenuze u pravokutnom trokutu. Najjednostavnije rješenje je izračunati pomoću nogu. Recimo da znate vrijednosti stranica A i B. Tada u pomoć dolazi Pitagorin poučak koji nam govori da ako kvadriramo svaku vrijednost stranice i zbrojimo dobivene podatke, saznat ćemo kolika je hipotenuza jednak. Dakle, samo trebamo izvući vrijednost kvadratnog korijena:

Na primjer, ako je krak A = 3 cm i krak B = 4 cm, izračun će izgledati ovako:

Kako pronaći hipotenuzu kroz kut?

Drugi način da saznate kolika je hipotenuza u pravokutnom trokutu je izračunavanje kroz zadani kut. Da bismo to učinili, moramo izvesti vrijednost pomoću formule sinusa. Recimo da znamo veličinu kraka (A) i vrijednost suprotnog kuta (α). Tada je cijela otopina sadržana u jednoj formuli: C=A/sin(α).

Na primjer, ako je duljina kraka 40 cm, a kut 45°, tada se duljina hipotenuze može izvesti na sljedeći način:

Tražena vrijednost može se odrediti i preko kosinusa zadanog kuta. Recimo da znamo vrijednost jednog kraka (B) i oštrog susjednog kuta (α). Tada će vam za rješavanje problema trebati jedna formula: C=B/ cos(α).

Na primjer, ako je duljina kraka 50 cm, a kut 45°, tada se hipotenuza može izračunati na sljedeći način:

Dakle, pogledali smo glavne načine kako saznati hipotenuzu u trokutu. Prilikom rješavanja zadatka važno je koncentrirati se na dostupne podatke, tada će pronalaženje nepoznate količine biti prilično jednostavno. Trebate znati samo nekoliko formula i proces rješavanja problema postat će jednostavan i ugodan.

Među brojnim izračunima koji se izvode za izračunavanje različitih veličina nalazi se i pronalaženje hipotenuze trokuta. Podsjetimo se da je trokut poliedar koji ima tri kuta. Ispod je nekoliko načina za izračunavanje hipotenuze raznih trokuta.

Prvo, pogledajmo kako pronaći hipotenuzu pravokutnog trokuta. Za one koji su zaboravili, trokut s kutom od 90 stupnjeva zove se pravokutni trokut. Stranica trokuta koja se nalazi na suprotnoj strani pravog kuta naziva se hipotenuza. Osim toga, to je najduža stranica trokuta. Ovisno o poznatim vrijednostima, duljina hipotenuze izračunava se na sljedeći način:

• Duljine nogu su poznate. Hipotenuza se u ovom slučaju izračunava pomoću Pitagorinog poučka koji glasi kako slijedi: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta. Ako promatramo pravokutni trokut BKF, gdje su BK i KF katete, a FB hipotenuza, tada je FB2= BK2+ KF2. Iz gore navedenog slijedi da se pri izračunavanju duljine hipotenuze svaka od vrijednosti nogu mora kvadrirati zauzvrat. Zatim zbrojite naučene brojeve i iz rezultata izvucite kvadratni korijen.

Razmotrimo primjer: dan je trokut s pravim kutom. Jedna noga je 3 cm, druga 4 cm. Pronađite hipotenuzu. Rješenje izgleda ovako.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Izdvojiti i dobiti FB=5cm.

• Poznati su krak (BK) i kut koji je uz njega vezan za hipotenuzu i ovaj krak. Kako pronaći hipotenuzu trokuta? Označimo poznati kut α. Prema svojstvu koje kaže da je omjer duljine katete i duljine hipotenuze jednak kosinusu kuta između te katete i hipotenuze. Uzimajući u obzir trokut, to se može napisati ovako: FB= BK*cos(α).
• Poznati su krak (KF) i isti kut α, samo će sada biti suprotan. Kako pronaći hipotenuzu u ovom slučaju? Osvrnimo se na ista svojstva pravokutnog trokuta i otkrijemo da je omjer duljine noge i duljine hipotenuze jednak sinusu kuta nasuprot noge. Odnosno, FB= KF * sin (α).

Pogledajmo primjer. Zadan je isti pravokutni trokut BKF s hipotenuzom FB. Neka je kut F jednak 30 stupnjeva, drugi kut B odgovara 60 stupnjeva. Poznat je i krak BK, čija duljina odgovara 8 cm, može se izračunati na sljedeći način:

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

• Poznato (R), opisano oko trokuta s pravim kutom. Kako pronaći hipotenuzu pri razmatranju takvog problema? Iz svojstva kružnice opisane oko trokuta s pravim kutom, poznato je da se središte takve kružnice poklapa s točkom hipotenuze, dijeleći je na pola. Jednostavnim riječima, radijus odgovara polovici hipotenuze. Stoga je hipotenuza jednaka dvama polumjerima. FB=2*R. Ako vam je zadan sličan zadatak u kojem nije poznat radijus, već medijan, tada treba obratiti pozornost na svojstvo kružnice opisane oko trokuta s pravim kutom, a to kaže da je polumjer jednak ucrtanoj središnjici na hipotenuzu. Koristeći sva ova svojstva, problem se rješava na isti način.

Ako je pitanje kako pronaći hipotenuzu jednakokračnog pravokutnog trokuta, tada se trebate okrenuti istom Pitagorinom teoremu. Ali, prije svega, zapamtite da je jednakokračni trokut trokut koji ima dvije identične stranice. U slučaju pravokutnog trokuta stranice su jednake. Imamo FB2= BK2+ KF2, ali pošto je BK= KF imamo sljedeće: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Kao što vidite, poznavajući Pitagorin poučak i svojstva pravokutnog trokuta, rješavanje zadataka u kojima je potrebno izračunati duljinu hipotenuze vrlo je jednostavno. Ako je teško zapamtiti sva svojstva, naučite gotove formule, zamjenjujući poznate vrijednosti u koje možete izračunati željenu duljinu hipotenuze.