Primjeri rješavanja slougha Gaussovom metodom. Gaussova metoda (uzastopno isključivanje nepoznanica)

Ovaj mrežni kalkulator pronalazi rješenje sustava linearnih jednadžbi (SLE) koristeći Gaussovu metodu. Dano je detaljno rješenje. Za izračun odaberite broj varijabli i broj jednadžbi. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na "Izračunaj".

x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 = = =

Predstavljanje brojeva:

Cijeli brojevi i/ili obični razlomci
Cijeli brojevi i/ili decimale

Broj znamenki iza decimalnog razdjelnika

×

Upozorenje

Očistiti sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputa za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak mora biti upisan u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Gaussova metoda

Gaussova metoda je metoda prijelaza s izvornog sustava linearnih jednadžbi (pomoću ekvivalentnih transformacija) na sustav koji je lakše riješiti od izvornog sustava.

Ekvivalentne transformacije sustava linearnih jednadžbi su:

• zamjena dviju jednadžbi u sustavu,
• množenje bilo koje jednadžbe u sustavu realnim brojem različitim od nule,
• dodajući jednoj jednadžbi drugu jednadžbu pomnoženu s proizvoljnim brojem.

Razmotrimo sustav linearnih jednadžbi:

(1)

Sustav (1) zapisujemo u matričnom obliku:

sjekira=b

(2)

(3)

A naziva se matrica koeficijenata sustava, b− desna strana ograničenja, x− vektor varijabli koje treba pronaći. Neka rang( A)=str.

Ekvivalentne transformacije ne mijenjaju rang matrice koeficijenata i rang proširene matrice sustava. Skup rješenja sustava također se ne mijenja pri ekvivalentnim transformacijama. Suština Gaussove metode je dovođenje matrice koeficijenata A dijagonalno ili stepenasto.

Izgradimo proširenu matricu sustava:

U sljedećoj fazi resetiramo sve elemente stupca 2, ispod elementa. Ako je dati element nula, tada se ovaj redak izmjenjuje s redom koji leži ispod danog retka i ima element različit od nule u drugom stupcu. Zatim poništavamo sve elemente stupca 2 ispod vodećeg elementa a 22. Da biste to učinili, dodajte redove 3, ... m s redom 2 pomnoženim s − a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22, odnosno. Nastavljajući postupak, dobivamo matricu dijagonalnog ili stepenastog oblika. Neka dobivena proširena matrica izgleda ovako:

(7)

Jer rangA=rang(A|b), tada je skup rješenja (7) ( n−p) je sorta. Stoga n−p nepoznanice se mogu odabrati proizvoljno. Preostale nepoznanice iz sustava (7) izračunavaju se na sljedeći način. Iz posljednje jednadžbe izražavamo x p kroz ostatak varijabli i umetnite u prethodne izraze. Zatim, iz pretposljednje jednadžbe, izražavamo x p−1 kroz ostatak varijabli i umetnuti u prethodne izraze, itd. Razmotrite Gaussovu metodu na konkretnim primjerima.

Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Primjer 1. Gaussovom metodom pronaći opće rješenje sustava linearnih jednadžbi:

Označimo sa a ij elementi ja-th line i j-ti stupac.

a jedanaest . Da biste to učinili, dodajte retke 2, 3 s redom 1, pomnoženo s -2/3, odnosno -1/2:

Vrsta zapisa matrice: sjekira=b, Gdje

Označimo sa a ij elementi ja-th line i j-ti stupac.

Isključite elemente 1. stupca matrice ispod elementa a jedanaest . Da biste to učinili, dodajte retke 2, 3 s redom 1, pomnoženo s -1/5, -6/5, redom:

Svaki redak matrice dijelimo s odgovarajućim vodećim elementom (ako vodeći element postoji):

Gdje x 3 , x

Zamjenom gornjih izraza u donje, dobivamo rješenje.

Tada se vektorsko rješenje može prikazati na sljedeći način:

Gdje x 3 , x 4 su proizvoljni realni brojevi.

Za dva sustava linearnih jednadžbi kaže se da su ekvivalentna ako je skup svih njihovih rješenja isti.

Elementarne transformacije sustava jednadžbi su:

1. Brisanje iz sustava trivijalnih jednadžbi, t.j. one kod kojih su svi koeficijenti jednaki nuli;
2. Množenje bilo koje jednadžbe brojem koji nije nula;
3. Dodatak bilo kojoj i -toj jednadžbi bilo koje j -te jednadžbe, pomnožen bilo kojim brojem.

Varijabla x i se naziva slobodnom ako ova varijabla nije dopuštena, a cijeli sustav jednadžbi je dopušten.

Teorema. Elementarne transformacije pretvaraju sustav jednadžbi u ekvivalentan.

Smisao Gaussove metode je transformirati izvorni sustav jednadžbi i dobiti ekvivalentni dopušteni ili ekvivalentni nekonzistentni sustav.

Dakle, Gaussova metoda sastoji se od sljedećih koraka:

1. Razmotrimo prvu jednadžbu. Odaberemo prvi koeficijent različit od nule i s njim podijelimo cijelu jednadžbu. Dobivamo jednadžbu u koju neka varijabla x i ulazi s koeficijentom 1;
2. Oduzmimo ovu jednadžbu od svih ostalih, množeći je brojevima tako da koeficijenti za varijablu x i u preostalim jednadžbama budu postavljeni na nulu. Dobivamo sustav koji je razlučen s obzirom na varijablu x i i ekvivalentan je izvornom;
3. Ako se pojave trivijalne jednadžbe (rijetko, ali događa se; npr. 0 = 0), brišemo ih iz sustava. Kao rezultat, jednadžbe postaju jedna manje;
4. Prethodne korake ponavljamo najviše n puta, gdje je n broj jednadžbi u sustavu. Svaki put odabiremo novu varijablu za “obradu”. Ako se pojave proturječne jednadžbe (na primjer, 0 = 8), sustav je nekonzistentan.

Kao rezultat, nakon nekoliko koraka dobivamo ili dopušteni sustav (moguće sa slobodnim varijablama) ili nekonzistentan. Dopušteni sustavi spadaju u dva slučaja:

1. Broj varijabli jednak je broju jednadžbi. Dakle, sustav je definiran;
2. Broj varijabli je veći od broja jednadžbi. Sakupljamo sve slobodne varijable s desne strane - dobivamo formule za dopuštene varijable. Ove formule su napisane u odgovoru.

To je sve! Sustav linearnih jednadžbi je riješen! Ovo je prilično jednostavan algoritam, a da biste ga svladali, ne morate kontaktirati učitelja matematike. Razmotrite primjer:

Zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

Opis koraka:

1. Prvu jednadžbu oduzimamo od druge i treće - dobivamo dopuštenu varijablu x 1;
2. Drugu jednadžbu pomnožimo s (−1), a treću podijelimo s (−3) - dobijemo dvije jednadžbe u koje varijabla x 2 ulazi s koeficijentom 1;
3. Drugu jednadžbu pribrajamo prvoj, a oduzimamo treću. Dobijmo dopuštenu varijablu x 2 ;
4. Na kraju treću jednadžbu oduzimamo od prve - dobivamo dopuštenu varijablu x 3 ;
5. Dobili smo ovlašteni sustav, zapisujemo odgovor.

Opće rješenje zajedničkog sustava linearnih jednadžbi je novi sustav, ekvivalentan izvornom, u kojem su sve dopuštene varijable izražene preko slobodnih.

Kada bi moglo biti potrebno opće rješenje? Ako morate poduzeti manje koraka od k (k je koliko jednadžbi ima ukupno). Međutim, razlozi zašto proces završava na nekom koraku l< k , может быть две:

1. Nakon l -tog koraka dobivamo sustav koji ne sadrži jednadžbu s brojem (l + 1). Zapravo, ovo je dobro, jer. riješeni sustav se svejedno prima - čak i nekoliko koraka ranije.
2. Nakon l -tog koraka dobiva se jednadžba u kojoj su svi koeficijenti varijabli jednaki nuli, a slobodni koeficijent različit od nule. Ovo je nekonzistentna jednadžba i, prema tome, sustav je nekonzistentan.

Važno je razumjeti da je pojava nekonzistentne jednadžbe Gaussovom metodom dovoljan razlog za nekonzistentnost. Istodobno, napominjemo da kao rezultat l -tog koraka ne mogu ostati trivijalne jednadžbe - sve se one brišu izravno u procesu.

Opis koraka:

1. Oduzmite prvu jednadžbu puta 4 od druge. I također dodajte prvu jednadžbu trećoj - dobivamo dopuštenu varijablu x 1;
2. Treću jednadžbu, pomnoženu s 2, oduzimamo od druge - dobivamo kontradiktornu jednadžbu 0 = −5.

Dakle, sustav je nekonzistentan, jer je pronađena nekonzistentna jednadžba.

Zadatak. Istražite kompatibilnost i pronađite opće rješenje sustava:

Opis koraka:

1. Prvu jednadžbu oduzimamo od druge (nakon množenja s dva) i treće - dobivamo dopuštenu varijablu x 1;
2. Oduzmite drugu jednadžbu od treće. Kako su svi koeficijenti u ovim jednadžbama isti, treća jednadžba postaje trivijalna. Istodobno drugu jednadžbu množimo s (−1);
3. Od prve jednadžbe oduzimamo drugu jednadžbu - dobivamo dozvoljenu varijablu x 2. Cijeli sustav jednadžbi sada je također riješen;
4. Budući da su varijable x 3 i x 4 slobodne, pomičemo ih udesno kako bismo izrazili dopuštene varijable. Ovo je odgovor.

Dakle, sustav je spojen i neodređen, jer postoje dvije dopuštene varijable (x 1 i x 2) i dvije slobodne (x 3 i x 4).

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje sustava iz n linearne jednadžbe sa n nepoznate varijable
čija je determinanta glavne matrice različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se u uzastopnom isključivanju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, dakle x2 svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, dok u posljednjoj jednadžbi ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Takav proces transformacije jednadžbi sustava za uzastopnu eliminaciju nepoznatih varijabli naziva se izravna Gaussova metoda. Nakon završetka pomaka prema naprijed Gaussove metode, iz posljednje jednadžbe nalazimo x n, izračunava se korištenjem ove vrijednosti iz pretposljednje jednadžbe xn-1, i tako dalje, iz prve jednadžbe se nalazi x 1. Proces izračuna nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sustava na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.

Opišimo ukratko algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sustava. Eliminirajte nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge. Da biste to učinili, dodajte prvu jednadžbu pomnoženu s drugoj jednadžbi sustava, dodajte prvu pomnoženu s trećoj jednadžbi i tako dalje, do n-ti dodajte prvu jednadžbu, pomnoženu s . Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje .

Došli bismo do istog rezultata ako bismo izrazili x 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jednadžbi sustava i dobiveni izraz je zamijenjen u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla x 1 isključeni iz svih jednadžbi, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom dobivenog sustava koji je označen na slici

Da biste to učinili, dodajte sekundu pomnoženu s trećoj jednadžbi sustava, dodajte sekundu pomnoženu s četvrtoj jednadžbi, i tako dalje, do n-ti dodajte drugu jednadžbu, pomnoženu s . Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje . Dakle, varijabla x2 isključeni iz svih jednadžbi, počevši od treće.

Zatim nastavljamo s uklanjanjem nepoznatog x 3, dok slično postupamo s dijelom sustava označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tijek Gaussove metode sve dok sustav ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuti tijek Gaussove metode: računamo x n iz posljednje jednadžbe kao , koristeći dobivenu vrijednost x n pronaći xn-1 iz predzadnje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednadžbe.

Primjer.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussova metoda.

Carl Friedrich Gauss, najveći matematičar, dugo je oklijevao birajući između filozofije i matematike. Možda mu je upravo takav način razmišljanja omogućio da tako zamjetno "ode" u svjetskoj znanosti. Konkretno, stvaranjem "Gaussove metode" ...

Već gotovo 4 godine članci ove stranice bave se školskim obrazovanjem, uglavnom sa stajališta filozofije, načela (ne)razumijevanja koja se uvode u umove djece. Dolazi vrijeme za više konkretnosti, primjera i metoda... Vjerujem da je to pristup poznatom, zbunjujućem i važno područja života daje najbolje rezultate.

Mi ljudi smo tako uređeni da koliko god pričali apstraktno mišljenje, Ali razumijevanje Stalno događa kroz primjere. Ako nema primjera, onda je nemoguće uhvatiti principe... Kako je nemoguće biti na vrhu planine drugačije nego proći cijelu njenu padinu od podnožja.

Isto sa školom: za sada žive priče nedovoljno, mi ga instinktivno nastavljamo smatrati mjestom gdje se djeca uče razumjeti.

Na primjer, podučavanje Gaussove metode...

Gaussova metoda u 5. razredu škole

Odmah ću rezervirati: Gaussova metoda ima mnogo širu primjenu, na primjer, pri rješavanju sustavi linearnih jednadžbi. Ono o čemu ćemo pričati događa se u 5. razredu. Ovaj početak, shvativši koje, puno je lakše razumjeti više "naprednih opcija". U ovom članku govorimo o metoda (metoda) Gaussa pri pronalaženju zbroja niza

Evo primjera koji je moj najmlađi sin donio iz škole, pohađajući 5. razred moskovske gimnazije.

Školska demonstracija Gaussove metode

Učiteljica matematike uz pomoć interaktivne ploče (suvremene metode poučavanja) prikazala je djeci prezentaciju priče o "nastanku metode" malog Gaussa.

Učiteljica je bičevala malog Carla (zastarjela metoda, sada se ne koristi u školama) jer je,

umjesto uzastopnog zbrajanja brojeva od 1 do 100 da biste pronašli njihov zbroj primijetio da parovi brojeva jednako udaljenih od rubova aritmetičke progresije zbrajaju isti broj. na primjer, 100 i 1, 99 i 2. Nakon što je prebrojao takve parove, mali Gauss je gotovo odmah riješio problem koji je predložio učitelj. Zbog čega je podvrgnut egzekuciji pred zaprepaštenom javnošću. Za ostale je bilo nepoštovanje.

Što je napravio mali Gauss razvijena smisao broja? Primjećeno neka značajka niz brojeva s konstantnim korakom (aritmetička progresija). I upravo ovo učinio ga je kasnije velikim znanstvenikom, u stanju primijetiti, posjedovanje osjećaj, instinkt razumijevanja.

To je vrijednost matematike, koja se razvija sposobnost da se vidi općenito posebno - apstraktno mišljenje. Stoga većina roditelja i poslodavaca instinktivno smatraju matematiku važnom disciplinom ...

“Matematiku treba učiti kasnije, da sredi um.
M.V. Lomonosov".

Međutim, sljedbenici onih koji su bičevali buduće genije pretvorili su Metodu u nešto suprotno. Kao što je moj nadređeni rekao prije 35 godina: "Naučili su pitanje." Ili, kao što je moj najmlađi sin jučer rekao o Gaussovoj metodi: "Možda ne vrijedi od ovoga raditi veliku znanost, ha?"

Posljedice kreativnosti "znanstvenika" vidljive su na razini sadašnje školske matematike, razini njezinog poučavanja i razumijevanja "kraljice znanosti" kod većine.

Ipak, nastavimo...

Metode objašnjavanja Gaussove metode u 5. razredu škole

Profesor matematike u moskovskoj gimnaziji, objašnjavajući Gaussovu metodu na Vilenkinov način, zakomplicirao je zadatak.

Što ako razlika (korak) aritmetičke progresije nije jedan, već drugi broj? Na primjer, 20.

Zadatak koji je dao učenicima petog razreda:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Prije nego što se upoznamo s gimnazijskom metodom, pogledajmo web: kako to rade školski učitelji - profesori matematike? ..

Gaussova metoda: Objašnjenje #1

Poznati učitelj na svom YOUTUBE kanalu daje sljedeće obrazloženje:

"zapišimo brojeve od 1 do 100 ovako:

prvo niz brojeva od 1 do 50, a strogo ispod njega drugi niz brojeva od 50 do 100, ali obrnutim redoslijedom"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Napominjemo: zbroj svakog para brojeva iz gornjeg i donjeg retka je isti i jednak je 101! Izbrojimo broj parova, to je 50 i pomnožimo zbroj jednog para s brojem parova! Voila: odgovor je spreman!".

„Ako niste mogli razumjeti, nemojte se uzrujavati!“, ponovila je učiteljica tri puta tijekom objašnjavanja. "Ovu ćeš metodu položiti u 9. razredu!"

Gaussova metoda: Objašnjenje #2

Drugi učitelj, manje poznat (sudeći po broju pregleda) ima više znanstveni pristup, nudeći algoritam rješenja od 5 točaka koji se moraju dovršavati redom.

Za neupućene: 5 je jedan od Fibonaccijevih brojeva koji se tradicionalno smatraju magičnim. Metoda od 5 koraka je uvijek više znanstvena od metode od 6 koraka, na primjer. ... I ovo nije slučajno, najvjerojatnije je autor skriveni pristaša Fibonaccijeve teorije

S obzirom na aritmetičku progresiju: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritam za pronalaženje zbroja brojeva u nizu Gaussovom metodom:

Korak 1: prepišite zadani niz brojeva obrnutim redom, točno pod prvim.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Korak 2: izračunajte zbrojeve parova brojeva poredanih u okomite redove: 260.

Korak 3: izbrojite koliko je takvih parova u nizu brojeva. Da biste to učinili, oduzmite najmanji od maksimalnog broja serije brojeva i podijelite s veličinom koraka: (256 - 4) / 6 = 42.

U isto vrijeme, morate se sjetiti o plus jedno pravilo : dobivenom kvocijentu treba dodati jedan: inače ćemo dobiti rezultat koji je za jedan manji od stvarnog broja parova: 42 + 1 = 43.

Korak 4: pomnožite zbroj jednog para brojeva s brojem parova: 260 x 43 = 11,180

Korak 5: budući da smo izračunali iznos parovi brojeva, tada primljeni iznos treba podijeliti s dva: 11 180 / 2 = 5590.

Ovo je željeni zbroj aritmetičke progresije od 4 do 256 s razlikom od 6!

Gaussova metoda: objašnjenje u 5. razredu moskovske gimnazije

A evo kako je trebalo riješiti problem nalaženja zbroja niza:

20+40+60+ ... +460+480+500

u 5. razredu moskovske gimnazije, Vilenkinov udžbenik (prema mom sinu).

Nakon prikazane prezentacije, profesorica matematike pokazala je nekoliko Gaussovih primjera i dala razredu zadatak pronaći zbroj brojeva u nizu s korakom 20.

Ovo je zahtijevalo sljedeće:

Korak 1: sve brojeve u nizu obavezno zapišite u bilježnicu od 20 do 500 (u koracima od 20).

Korak 2: napiši uzastopne članove - parove brojeva: prvi s zadnjim, drugi s pretposljednjim itd. i izračunati njihove zbrojeve.

Korak 3: izračunajte "zbroj zbrojeva" i pronađite zbroj cijelog niza.

Kao što vidite, ovo je kompaktnija i učinkovitija tehnika: broj 3 je također član Fibonaccijevog niza

Moji komentari na školsku verziju Gaussove metode

Veliki matematičar sigurno bi se odlučio za filozofiju da je predvidio u što će njegovi sljedbenici pretvoriti njegovu "metodu". profesor njemačkog jezika koji je Karla šibao šipkama. On bi vidio simboliku i dijalektičku spiralu i beskrajnu glupost "učitelja" pokušavajući izmjeriti sklad žive matematičke misli s algebrom nesporazuma ....

Usput, znate li. da je naš obrazovni sustav ukorijenjen u njemačkoj školi 18. i 19. stoljeća?

Ali Gauss je odabrao matematiku.

Što je bit njegove metode?

U pojednostavljenje. U promatranje i hvatanje jednostavni obrasci brojeva. U pretvarajući suhoparnu školsku aritmetiku u zanimljiva i zabavna aktivnost , aktivirajući želju za nastavkom u mozgu, a ne blokirajući skupu mentalnu aktivnost.

Je li moguće izračunati zbroj brojeva aritmetičke progresije jednom od gornjih "modifikacija Gaussove metode" odmah? Prema "algoritmima", mali bi Karl zajamčeno izbjegavao batine, gajio odbojnost prema matematici i potiskivao kreativne porive u korijenu.

Zašto je mentor tako uporno savjetovao petaše da se "ne boje pogrešnog razumijevanja" metode, uvjeravajući ih da će "takve" probleme rješavati već u 9. razredu? Psihički nepismeni postupak. Bila je to dobra ideja primijetiti: "Vidimo se već u 5. razredu možeš riješite probleme koje ćete proći tek za 4 godine! Kako ste dobri momci!"

Za korištenje Gaussove metode dovoljna je 3. razina nastave kada normalna djeca već znaju zbrajati, množiti i dijeliti 2-3 znamenkaste brojeve. Problemi nastaju zbog nesposobnosti odraslih učitelja koji "ne ulaze" u to kako normalnim ljudskim jezikom, ne samo matematičkim, objasniti najjednostavnije stvari... Nisu u stanju zainteresirati matematiku i potpuno obeshrabriti čak i "sposobne".

Ili, kako je moj sin komentirao, "napravite veliku znanost od toga."

Kako (u općem slučaju) saznati na kojem broju treba "odmotati" zapis brojeva u metodi br. 1?

Što učiniti ako je broj članova serije neparan?

Zašto pretvoriti u "Pravilo plus 1" ono što dijete može samo asimilirati se još u prvom razredu ako je imao razvijen "osjećaj za broj", te nisam se sjetio"brojiti do deset"?

I za kraj: gdje je nestala NULA, briljantni izum star više od 2000 godina, koji moderni učitelji matematike izbjegavaju koristiti?!

Gaussova metoda, moja objašnjenja

Supruga i ja smo djetetu objasnili ovu "metodu", čini se, još prije škole ...

Jednostavnost umjesto složenosti ili igra pitanja – odgovora

""Pogledajte, ovdje su brojevi od 1 do 100. Što vidite?"

Ne radi se o tome što dijete vidi. Trik je u tome da ga natjerate da izgleda.

"Kako ih možeš sastaviti?" Sin je uhvatio da se takva pitanja ne postavljaju "tek tako" i na to pitanje treba gledati "nekako drugačije, drugačije nego što to on inače čini"

Nema veze ako dijete odmah vidi rješenje, malo je vjerojatno. Važno je da on prestala se bojati pogledati, ili kako ja kažem: "pomaknula zadatak". Ovo je početak puta do razumijevanja

"Što je lakše: zbrojiti, na primjer, 5 i 6 ili 5 i 95?" Sugestivno pitanje... No, uostalom, svaki trening se svodi na "navođenje" čovjeka do "odgovora" - na bilo koji njemu prihvatljiv način.

U ovoj fazi možda već postoje nagađanja o tome kako "uštedjeti" na izračunima.

Sve što smo učinili je nagovještaj: metoda "frontalnog, linearnog" brojanja nije jedina moguća. Ako je dijete ovo skratilo, kasnije će izmisliti još mnogo takvih metoda, jer je zanimljivo!!! I sigurno će izbjeći "nerazumijevanje" matematike, neće osjećati gađenje prema njoj. Dobio je pobjedu!

Ako beba otkrivena da je zbrajanje parova brojeva koji daju stotinu beznačajan zadatak "aritmetička progresija s razlikom 1"- prilično turobna i nezanimljiva stvar za dijete - iznenada dao život njemu . Iz kaosa je nastao red, a ovo je uvijek entuzijastično: takvi smo mi!

Brzo pitanje: zašto bi se nakon uvida djeteta ponovno tjeralo u okvire suhoparnih algoritama koji su u ovom slučaju i funkcionalno beskorisni?!

Zašto glupo prepisivati redni brojevi u bilježnicu: da ni sposobni ne bi imali niti jednu priliku za razumijevanje? Statistički, naravno, ali masovno obrazovanje je fokusirano na "statistiku" ...

Gdje je nestala nula?

Pa ipak, zbrajanje brojeva koji daju 100 mnogo je prihvatljivije umu nego dati 101 ...

"Školska Gaussova metoda" zahtijeva upravo ovo: bezumno sklopiti jednako udaljen od središta progresije para brojeva, Unatoč svemu.

Što ako pogledaš?

Ipak, zero je najveći izum čovječanstva, star više od 2000 godina. A profesori matematike ga i dalje ignoriraju.

Mnogo je lakše pretvoriti niz brojeva koji počinju s 1 u niz koji počinje s 0. Zbroj se neće promijeniti, zar ne? Morate prestati "razmišljati u udžbenicima" i početi tražiti ... I vidjeti da se parovi sa zbrojem 101 mogu potpuno zamijeniti parovima sa zbrojem 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kako ukinuti "pravilo plus 1"?

Da budem iskren, prvi put sam čuo za takvo pravilo od onog YouTube tutora ...

Što još učiniti kada trebam odrediti broj članova serije?

Gledajući niz:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

a kada se potpuno umorite, onda na jednostavniji red:

1, 2, 3, 4, 5

i računam: ako oduzmete jedan od 5, dobit ćete 4, ali sasvim sam jasan vidjeti 5 brojeva! Stoga, morate dodati jedan! Osjećaj broja, razvijen u osnovnoj školi, sugerira da će čak i ako postoji cijeli Google članova niza (10 na stoti potenciju), obrazac ostati isti.

Jebeš pravila?...

Pa da za par-tri godine popuniš sav prostor između čela i potiljka i prestaneš misliti? Kako zaraditi kruh i maslac? Uostalom, ravnomjernim redovima idemo u eru digitalne ekonomije!

Više o školskoj metodi Gaussa: "zašto od ovoga stvarati znanost? .."

Nisam uzalud objavio screenshot iz sinove bilježnice...

"Što je bilo na lekciji?"

"Pa, ja sam odmah brojao, digao ruku, ali ona nije pitala. Zato sam, dok su drugi brojali, počeo DZ na ruskom da ne gubim vrijeme. Onda, kada su ostali završili s pisanjem (?? ?), pozvala me pred ploču. Rekao sam odgovor."

„Tako je, pokaži mi kako si to riješio“, rekla je učiteljica. Pokazao sam. Rekla je: "Krivo, trebaš računati kako sam ja pokazala!"

"Dobro je što nisam stavio dvojku. I natjerao sam me da napišem "proces odlučivanja" na svoj način u bilježnicu. Zašto od ovoga praviti veliku znanost? .."

Glavni zločin profesora matematike

jedva poslije taj slučaj Carl Gauss je iskusio visoko poštovanje prema školskom učitelju matematike. Ali kad bi znao kako sljedbenici tog učitelja izopačiti bit metode... zaurlao bi od ogorčenja i preko Svjetske organizacije za intelektualno vlasništvo WIPO izdejstvovao zabranu korištenja svog dobrog imena u školskim udžbenicima!..

Što glavna greška školskog pristupa? Ili, kako sam rekao, zločin školskih profesora matematike nad djecom?

Nesporazum algoritma

Što rade školski metodičari od kojih velika većina ne zna misliti?

Stvaranje metoda i algoritama (vidi). Ovaj obrambena reakcija koja štiti učitelje od kritike ("Sve se radi po ..."), a djecu od razumijevanja. A time – od želje za kritikom učitelja!(Druga izvedenica birokratske "mudrosti", znanstveni pristup problemu). Osoba koja ne shvaća smisao radije će kriviti vlastito nerazumijevanje, a ne glupost školskog sustava.

Što se događa: roditelji krive djecu, a učitelji ... isto za djecu koja "ne razumiju matematiku!..

Jeste li pametni?

Što je mali Carl učinio?

Apsolutno nekonvencionalno pristupio šablonskom zadatku. Ovo je suština Njegovog pristupa. Ovaj glavna stvar koju treba učiti u školi je razmišljati ne udžbenicima, već svojom glavom. Naravno, postoji i instrumentalna komponenta koja se može koristiti ... u potrazi za jednostavnije i učinkovitije metode brojanja.

Gaussova metoda prema Vilenkinu

U školi uče da je Gaussova metoda

u parovima pronaći zbrojeve brojeva jednako udaljenih od rubova niza brojeva, obavezno počevši od rubova!

pronaći broj takvih parova, i tako dalje.

Što, ako je broj elemenata u nizu neparan, kao u zadatku koji je dodijeljen sinu? ..

"Trik" je u tome što u ovom slučaju trebali biste pronaći "dodatni" broj serije i dodajte ga zbroju parova. U našem primjeru, ovaj broj je 260.

Kako otkriti? Prepisivanje svih parova brojeva u bilježnicu!(Zato je učiteljica natjerala djecu na ovaj glupi posao, pokušavajući poučavati "kreativnost" koristeći Gaussovu metodu... I zato je takva "metoda" praktički neprimjenjiva na velike serije podataka, I zato nije Gaussova metoda).

Malo kreativnosti u školskoj rutini...

Sin je postupio drugačije.

Isprva je primijetio da je lakše pomnožiti broj 500, a ne 520.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Zatim je shvatio: broj koraka se pokazao neparnim: 500 / 20 = 25.

Zatim je dodao NULU na početak niza (iako je bilo moguće odbaciti posljednji član niza, što bi također osiguralo paritet) i dodao brojeve, dajući ukupno 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 koraka je 13 parova "petsto": 13 x 500 = 6500 ..

Ako smo odbacili zadnjeg člana niza, tada će biti 12 parova, ali ne treba zaboraviti dodati "odbačenih" pet stotina rezultatu izračuna. Zatim: (12 x 500) + 500 = 6500!

Lako, zar ne?

Ali u praksi to postaje još lakše, što vam omogućuje da izdvojite 2-3 minute za daljinsko očitavanje na ruskom, dok se ostatak "broji". Osim toga, zadržava broj koraka metodologije: 5, što ne dopušta kritiziranje pristupa kao neznanstvenog.

Očito je da je ovaj pristup jednostavniji, brži i svestraniji, u stilu Metode. Ali... profesorica ne samo da nije pohvalila, nego me i natjerala da to prepišem "na pravi način" (vidi sliku). Odnosno, očajnički je pokušala ugušiti kreativni impuls i sposobnost razumijevanja matematike u korijenu! Navodno, kako bi se kasnije zaposlila kao učiteljica ... Napala je pogrešnog ...

Sve ovo što sam tako dugo i zamorno opisivao može se normalnom djetetu objasniti za najviše pola sata. Uz primjere.

I tako da to nikada ne zaboravi.

I hoće korak ka razumijevanju...ne samo matematika.

Priznajte: koliko ste puta u životu zbrajali Gaussovom metodom? A ja nikad!

Ali instinkt razumijevanja, koji se razvija (ili gasi) u procesu proučavanja matematičkih metoda u školi ... Oh! .. Ovo je doista nezamjenjiva stvar!

Pogotovo u doba sveopće digitalizacije u koje smo tiho ušli pod strogim vodstvom Partije i Vlade.

Nekoliko riječi u obranu učitelja...

Nepravedno je i pogrešno svu odgovornost za ovakav način poučavanja svaljivati ​​isključivo na učitelje. Sustav je u funkciji.

Neki učitelji razumiju apsurdnost onoga što se događa, ali što učiniti? Zakon o odgoju i obrazovanju, Savezni državni obrazovni standardi, metodike, nastavne kartice... Sve treba raditi "u skladu i na temelju" i sve treba dokumentirati. Korak u stranu - stao u red za otkaz. Ne budimo licemjeri: plaća moskovskih učitelja je jako dobra... Ako dobiju otkaz, gdje da idu?..

Stoga ova stranica ne o obrazovanju. On je oko individualno obrazovanje, jedini mogući način da se izvučete iz mase Generacija Z ...

Još od početka 16.-18. stoljeća matematičari su počeli intenzivno proučavati funkcije zahvaljujući kojima se toliko toga promijenilo u našim životima. Računalna tehnologija bez ovog znanja jednostavno ne bi postojala. Za rješavanje složenih problema, linearnih jednadžbi i funkcija, stvoreni su različiti koncepti, teoremi i tehnike rješavanja. Jedna od takvih univerzalnih i racionalnih metoda i tehnika za rješavanje linearnih jednadžbi i njihovih sustava bila je Gaussova metoda. Matrice, njihov rang, determinanta - sve se može izračunati bez korištenja složenih operacija.

Što je SLAU

U matematici postoji koncept SLAE - sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Što ona predstavlja? Ovo je skup od m jednadžbi sa potrebnih n nepoznanica, obično označenih kao x, y, z ili x 1 , x 2 ... x n ili drugim simbolima. Riješiti ovaj sustav Gaussovom metodom znači pronaći sve nepoznate nepoznanice. Ako sustav ima isti broj nepoznanica i jednadžbi, tada se naziva sustav n-tog reda.

Najpopularnije metode za rješavanje SLAE

U obrazovnim ustanovama srednjeg obrazovanja proučavaju se različite metode rješavanja takvih sustava. Najčešće su to jednostavne jednadžbe koje se sastoje od dvije nepoznanice, tako da svaka postojeća metoda za pronalaženje odgovora na njih neće oduzeti puno vremena. To može biti kao metoda zamjene, kada se druga jednadžba izvodi iz jedne jednadžbe i supstituira u originalnu. Ili pojam po pojam oduzimanje i zbrajanje. Ali Gaussova metoda smatra se najlakšom i najuniverzalnijom. Omogućuje rješavanje jednadžbi s bilo kojim brojem nepoznanica. Zašto se ova tehnika smatra racionalnom? Sve je jednostavno. Metoda matrice je dobra jer ne zahtijeva nekoliko puta prepisivanje nepotrebnih znakova u obliku nepoznanica, dovoljno je izvršiti aritmetičke operacije na koeficijentima - i dobit ćete pouzdan rezultat.

Gdje se SLAE koriste u praksi?

Rješenje SLAE su točke presjeka pravaca na grafovima funkcija. U našem visokotehnološkom računalnom dobu, ljudi koji su blisko uključeni u razvoj igara i drugih programa moraju znati kako riješiti takve sustave, što oni predstavljaju i kako provjeriti ispravnost dobivenog rezultata. Najčešće programeri razvijaju posebne kalkulatore linearne algebre, što uključuje sustav linearnih jednadžbi. Gaussova metoda omogućuje izračun svih postojećih rješenja. Također se koriste i druge pojednostavljene formule i tehnike.

SLAE kriterij kompatibilnosti

Takav sustav može se riješiti samo ako je kompatibilan. Radi jasnoće predstavljamo SLAE u obliku Ax=b. Ima rješenje ako je rang(A) jednako rang(A,b). U ovom slučaju, (A,b) je matrica proširenog oblika koja se može dobiti iz matrice A prepisivanjem sa slobodnim članovima. Ispada da je rješavanje linearnih jednadžbi Gaussovom metodom prilično jednostavno.

Možda neka notacija nije sasvim jasna, pa je potrebno sve razmotriti na primjeru. Recimo da postoji sustav: x+y=1; 2x-3y=6. Sastoji se od samo dvije jednadžbe u kojima postoje 2 nepoznanice. Sustav će imati rješenje samo ako je rang njegove matrice jednak rangu proširene matrice. Što je rang? Ovo je broj neovisnih linija sustava. U našem slučaju, rang matrice je 2. Matrica A će se sastojati od koeficijenata koji se nalaze blizu nepoznanica, a koeficijenti iza znaka "=" također će stati u proširenu matricu.

Zašto se SLAE može predstaviti u matričnom obliku

Na temelju kriterija kompatibilnosti prema dokazanom Kronecker-Capellijevom teoremu, sustav linearnih algebarskih jednadžbi može se prikazati u matričnom obliku. Koristeći Gaussovu kaskadnu metodu, možete riješiti matricu i dobiti jedini pouzdan odgovor za cijeli sustav. Ako je rang obične matrice jednak rangu proširene matrice, ali manji od broja nepoznanica, tada sustav ima beskonačan broj odgovora.

Transformacije matrice

Prije nego prijeđemo na rješavanje matrica, potrebno je znati koje se radnje mogu izvesti na njihovim elementima. Postoji nekoliko elementarnih transformacija:

• Prepisivanjem sustava u matrični oblik i provođenjem njegovog rješenja moguće je pomnožiti sve elemente niza istim koeficijentom.
• Kako bi se matrica pretvorila u kanonski oblik, dva paralelna reda mogu se zamijeniti. Kanonski oblik podrazumijeva da svi elementi matrice koji se nalaze duž glavne dijagonale postaju jedinice, a preostali postaju nule.
• Odgovarajući elementi paralelnih redaka matrice mogu se zbrajati jedan s drugim.

Jordan-Gaussova metoda

Bit rješavanja sustava linearnih homogenih i nehomogenih jednadžbi Gaussovom metodom je postupno uklanjanje nepoznanica. Recimo da imamo sustav dviju jednadžbi u kojem postoje dvije nepoznanice. Da biste ih pronašli, morate provjeriti kompatibilnost sustava. Gaussova jednadžba se rješava vrlo jednostavno. Potrebno je ispisati koeficijente koji se nalaze uz svaku nepoznanicu u matričnom obliku. Da biste riješili sustav, trebate napisati proširenu matricu. Ako jedna od jednadžbi sadrži manji broj nepoznanica, tada se umjesto elementa koji nedostaje mora staviti "0". Na matricu se primjenjuju sve poznate metode transformacije: množenje, dijeljenje brojem, međusobno zbrajanje odgovarajućih elemenata redaka i drugo. Ispada da je u svakom retku potrebno ostaviti jednu varijablu s vrijednošću "1", ostatak treba svesti na nulu. Za točnije razumijevanje potrebno je razmotriti Gaussovu metodu s primjerima.

Jednostavan primjer rješavanja sustava 2x2

Za početak, uzmimo jednostavan sustav algebarskih jednadžbi u kojem će postojati 2 nepoznanice.

Prepišimo to u proširenoj matrici.

Za rješavanje ovog sustava linearnih jednadžbi potrebne su samo dvije operacije. Moramo matricu dovesti u kanonski oblik tako da postoje jedinice duž glavne dijagonale. Dakle, prevođenjem iz matričnog oblika natrag u sustav dobivamo jednadžbe: 1x+0y=b1 i 0x+1y=b2, gdje su b1 i b2 odgovori dobiveni u procesu rješavanja.

1. Prvi korak u rješavanju proširene matrice bit će sljedeći: prvi red mora se pomnožiti s -7 i odgovarajući elementi dodati drugom retku, kako bi se uklonila jedna nepoznanica u drugoj jednadžbi.
2. Budući da rješavanje jednadžbi Gaussovom metodom podrazumijeva dovođenje matrice u kanonski oblik, tada je potrebno izvršiti iste operacije s prvom jednadžbom i ukloniti drugu varijablu. Da bismo to učinili, oduzimamo drugi red od prvog i dobivamo potreban odgovor - rješenje SLAE. Ili, kao što je prikazano na slici, pomnožimo drugi red s faktorom -1 i dodamo elemente drugog reda prvom redu. To je isto.

Kao što vidite, naš sustav je riješen Jordan-Gaussovom metodom. Prepisujemo ga u traženom obliku: x=-5, y=7.

Primjer rješavanja SLAE 3x3

Pretpostavimo da imamo složeniji sustav linearnih jednadžbi. Gaussova metoda omogućuje izračunavanje odgovora čak i za naizgled najviše zbunjujući sustav. Stoga, kako bismo dublje ušli u metodologiju izračuna, možemo prijeći na složeniji primjer s tri nepoznanice.

Kao u prethodnom primjeru, prepisujemo sustav u obliku proširene matrice i počinjemo ga dovoditi u kanonski oblik.

Da biste riješili ovaj sustav, morat ćete izvršiti mnogo više radnji nego u prethodnom primjeru.

1. Prvo morate u prvom stupcu napraviti jedan jedini element, a ostale nule. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednadžbu s -1 i dodajte joj drugu jednadžbu. Važno je zapamtiti da prvi redak prepisujemo u izvornom obliku, a drugi - već u modificiranom obliku.
2. Zatim uklanjamo istu prvu nepoznanicu iz treće jednadžbe. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente prvog retka s -2 i dodamo ih u treći red. Sada su prvi i drugi redak prepisani u izvornom obliku, a treći - već s promjenama. Kao što vidite iz rezultata, prvu smo dobili na početku glavne dijagonale matrice, a ostale su nule. Još nekoliko radnji i sustav jednadžbi Gaussovom metodom bit će pouzdano riješen.
3. Sada morate izvršiti operacije na drugim elementima redaka. Treći i četvrti korak mogu se spojiti u jedan. Drugu i treću crtu trebamo podijeliti s -1 kako bismo se riješili negativnih na dijagonali. Treću liniju smo već doveli u traženi obrazac.
4. Zatim kanoniziramo drugi redak. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente trećeg reda s -3 i dodamo ih u drugi redak matrice. Iz rezultata je vidljivo da je i drugi redak sveden na oblik koji nam treba. Ostalo je napraviti još par operacija i ukloniti koeficijente nepoznanica iz prvog reda.
5. Da biste napravili 0 od drugog elementa retka, morate treći red pomnožiti s -3 i dodati ga prvom retku.
6. Sljedeći odlučujući korak je dodavanje potrebnih elemenata drugog reda u prvi red. Tako dobivamo kanonski oblik matrice i, prema tome, odgovor.

Kao što vidite, rješavanje jednadžbi Gaussovom metodom prilično je jednostavno.

Primjer rješavanja sustava jednadžbi 4x4

Neki složeniji sustavi jednadžbi mogu se riješiti Gaussovom metodom pomoću računalnih programa. Potrebno je unijeti koeficijente za nepoznanice u postojeće prazne ćelije, a program će korak po korak izračunati traženi rezultat, detaljno opisujući svaku radnju.

Upute korak po korak za rješavanje takvog primjera opisane su u nastavku.

U prvom koraku u prazne ćelije upisuju se slobodni koeficijenti i brojevi za nepoznanice. Tako dobivamo istu proširenu matricu koju pišemo rukom.

I izvode se sve potrebne aritmetičke operacije kako bi se proširena matrica dovela u kanonski oblik. Mora se razumjeti da odgovor na sustav jednadžbi nisu uvijek cijeli brojevi. Ponekad rješenje može biti iz frakcijskih brojeva.

Provjera točnosti rješenja

Jordan-Gaussova metoda omogućuje provjeru točnosti rezultata. Da biste saznali jesu li koeficijenti ispravno izračunati, samo trebate zamijeniti rezultat u izvorni sustav jednadžbi. Lijeva strana jednadžbe mora odgovarati desnoj strani, koja je iza znaka jednakosti. Ako se odgovori ne poklapaju, potrebno je ponovno izračunati sustav ili pokušati primijeniti neku drugu vama poznatu metodu rješavanja SLAE, poput zamjene ili oduzimanja i zbrajanja po članu. Uostalom, matematika je znanost koja ima ogroman broj različitih metoda rješavanja. Ali zapamtite: rezultat bi uvijek trebao biti isti, bez obzira na metodu rješenja koju ste koristili.

Gaussova metoda: najčešće pogreške u rješavanju SLAE

Prilikom rješavanja linearnih sustava jednadžbi najčešće se javljaju pogreške, kao što je pogrešan prijenos koeficijenata u matrični oblik. Postoje sustavi u kojima neke nepoznanice nedostaju u jednoj od jednadžbi, a zatim se prijenosom podataka u proširenu matricu mogu izgubiti. Kao rezultat toga, prilikom rješavanja ovog sustava rezultat možda neće odgovarati stvarnom.

Još jedna od glavnih pogrešaka može biti netočno ispisivanje konačnog rezultata. Mora se jasno razumjeti da će prvi koeficijent odgovarati prvoj nepoznanici iz sustava, drugi - drugoj, i tako dalje.

Gaussova metoda detaljno opisuje rješavanje linearnih jednadžbi. Zahvaljujući njemu, lako je izvršiti potrebne operacije i pronaći pravi rezultat. Osim toga, ovo je univerzalni alat za pronalaženje pouzdanog odgovora na jednadžbe bilo koje složenosti. Možda se zato tako često koristi u rješavanju SLAE.