Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi oblika cosx a. Trigonometrijske jednadžbe

Centrirano u točki A.
α - kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus (sin α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

Kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

;
;
.

Graf funkcije sinusa, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y = grijeh x i y = cos x periodic s periodom 2π.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Funkcija kosinus je paran.

Područje definiranja i vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije, to jest za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).

	y = grijeh x	y = cos x
Opseg i kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Povećavajući se
Silazni
Maksimalno, y = 1
Minimalni, y = - 1
Nule, y = 0
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0	y = 0	y = 1

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Formule za sinus i kosinus iz zbroja i razlike

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izražavanje sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izražavanje kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izražavanje kroz tangentu

; .

Kada, imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za određene vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

Izrazi preko hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; . Izvođenje formula >>>

Derivacije n-tog reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije sinusa i kosinusa su arksinus i arkosinus.

Arksinus, arcsin

Arkosinus, arkos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Znamo da su vrijednosti kosinusa u rasponu [-1; 1], tj. -1 ≤ cos α ≤ 1. Prema tome ako je |a| > 1, onda jednadžba cos x = a nema korijena. Na primjer, jednadžba cos x = -1,5 nema korijena.

Razmotrimo nekoliko problema.

Riješite jednadžbu cos x = 1/2.

Riješenje.

Podsjetimo se da je cos x apscisa točke na kružnici polumjera jednakog 1, dobivena rotacijom točke P (1; 0) za kut x oko ishodišta.

Apscisa 1/2 nalazi se u dvije točke kružnice M 1 i M 2. Kako je 1/2 = cos π/3, točku M 1 možemo dobiti iz točke P (1; 0) rotacijom za kut x 1 = π/3, kao i za kutove x = π/3 + 2πk, gdje je k = +/-1, +/-2, …

Točka M 2 se dobiva iz točke P (1; 0) rotacijom za kut x 2 = -π/3, kao i za kutove -π/3 + 2πk, gdje je k = +/-1, +/-2 , ...

Dakle, svi korijeni jednadžbe cos x = 1/2 mogu se pronaći pomoću formula
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,

Dvije predstavljene formule mogu se spojiti u jednu:

x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

Riješite jednadžbu cos x = -1/2.

Riješenje.

Dvije točke kružnice M 1 i M 2 imaju apscisu jednaku – 1/2. Kako je -1/2 = cos 2π/3, onda je kut x 1 = 2π/3, pa je stoga kut x 2 = -2π/3.

Posljedično, svi korijeni jednadžbe cos x = -1/2 mogu se pronaći pomoću formule: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

Dakle, svaka od jednadžbi cos x = 1/2 i cos x = -1/2 ima beskonačan broj korijena. Na intervalu 0 ≤ x ≤ π svaka od ovih jednadžbi ima samo jedan korijen: x 1 = π/3 je korijen jednadžbe cos x = 1/2 i x 1 = 2π/3 je korijen jednadžbe cos x = -1/2.

Broj π/3 naziva se arkosinus broja 1/2 i piše: arccos 1/2 = π/3, a broj 2π/3 naziva se arkosinus broja (-1/2) i piše : arccos (-1/2) = 2π/3 .

Općenito, jednadžba cos x = a, gdje je -1 ≤ a ≤ 1, ima samo jedan korijen na intervalu 0 ≤ x ≤ π. Ako je a ≥ 0, tada se korijen nalazi u intervalu ; ako a< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

Dakle, arc kosinus broja a € [-1; 1 ] je broj a € čiji je kosinus jednak a:

arccos a = α, ako je cos α = a i 0 ≤ a ≤ π (1).

Na primjer, arccos √3/2 = π/6, jer je cos π/6 = √3/2 i 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, budući da je cos 5π/6 = -√3/2 i 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

Na isti način kao što je učinjeno u postupku rješavanja zadataka 1 i 2, može se pokazati da su svi korijeni jednadžbe cos x = a, gdje je |a| ≤ 1, izraženo formulom

x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).

Riješite jednadžbu cos x = -0,75.

Riješenje.

Pomoću formule (2) nalazimo x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.

Arcos vrijednost (-0,75) može se približno pronaći na slici mjerenjem kuta pomoću kutomjera. Približne vrijednosti arc kosinusa također se mogu pronaći pomoću posebnih tablica (Bradisove tablice) ili mikrokalkulatora. Na primjer, vrijednost arccos (-0,75) može se izračunati na mikrokalkulatoru da bi se dobila približna vrijednost od 2,4188583. Dakle, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Prema tome, arccos (-0,75) ≈ 139°.

Odgovor: arccos (-0,75) ≈ 139°.

Riješite jednadžbu (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

Riješenje.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.

Odgovor. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

Može se dokazati da za bilo koje a € [-1; 1] vrijedi formula arccos (-a) = π – arccos a (3).

Ova formula vam omogućuje da izrazite vrijednosti ark kosinusa negativnih brojeva kroz vrijednosti ark kosinusa pozitivnih brojeva. Na primjer:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

iz formule (2) slijedi da se korijeni jednadžbe, cos x = a za a = 0, a = 1 i a = -1 mogu pronaći pomoću jednostavnijih formula:

cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe rješavaju se u pravilu pomoću formula. Podsjećam vas da su najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je kut koji treba pronaći,
a je bilo koji broj.

A evo i formula s kojima možete odmah zapisati rješenja ovih najjednostavnijih jednadžbi.

Za sinus:

Za kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Za tangentu:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Za kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Zapravo, ovo je teorijski dio rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Štoviše, sve!) Baš ništa. Međutim, broj pogrešaka na ovu temu jednostavno je izvan granica. Pogotovo ako primjer malo odstupa od predloška. Zašto?

Da, jer puno ljudi piše ova pisma, a da uopće ne razumije njihovo značenje! Oprezno zapisuje, da se ne dogodi nešto...) Ovo treba srediti. Trigonometrija za ljude, ili ipak ljudi za trigonometriju!?)

Idemo to shvatiti?

Jedan kut će biti jednak arccos a, drugi: -arccos a.

I uvijek će tako ispasti. Za bilo koje A.

Ako mi ne vjerujete, prijeđite mišem preko slike ili dodirnite sliku na tabletu.) Promijenio sam broj A na nešto negativno. U svakom slučaju, imamo jedan kut arccos a, drugi: -arccos a.

Stoga se odgovor uvijek može napisati kao dva niza korijena:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Spojimo ove dvije serije u jednu:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

I to je sve. Dobili smo opću formulu za rješavanje najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe s kosinusom.

Ako shvatite da to nije nekakva nadznanstvena mudrost, ali samo skraćena verzija dva niza odgovora, Također ćete moći rješavati zadatke "C". S nejednakostima, s odabiranjem korijena iz zadanog intervala... Tu odgovor s plus/minusom ne funkcionira. Ali ako se prema odgovoru odnosite poslovno i podijelite ga na dva odvojena odgovora, sve će biti riješeno.) Zapravo, to je razlog zašto to istražujemo. Što, kako i gdje.

U najjednostavnijoj trigonometrijskoj jednadžbi

sinx = a

također dobivamo dva niza korijena. Stalno. A mogu se i ove dvije serije snimiti u jednom redu. Samo će ovaj redak biti složeniji:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ali suština ostaje ista. Matematičari su jednostavno osmislili formulu kako bi napravili jedan umjesto dva unosa za niz korijena. To je sve!

Provjerimo matematičare? I nikad se ne zna...)

U prethodnoj lekciji detaljno je obrađeno rješenje (bez ikakvih formula) trigonometrijske jednadžbe sa sinusom:

Odgovor je rezultirao s dva niza korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ako riješimo istu jednadžbu pomoću formule, dobit ćemo odgovor:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Zapravo, ovo je nedovršen odgovor.) Učenik to mora znati arcsin 0,5 = π /6. Kompletan odgovor bi bio:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Ovo postavlja zanimljivo pitanje. Odgovorite putem x 1; x 2 (ovo je točan odgovor!) i kroz lonely x (i ovo je točan odgovor!) - jesu li to ista stvar ili ne? Sada ćemo saznati.)

Zamjenjujemo u odgovoru sa x 1 vrijednosti n =0; 1; 2; itd., brojimo, dobivamo niz korijena:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 i tako dalje.

S istom zamjenom u odgovoru sa x 2 , dobivamo:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 i tako dalje.

Sada zamijenimo vrijednosti n (0; 1; 2; 3; 4...) u opću formulu za jednostruku x . Odnosno, dižemo minus jedan na nultu potenciju, zatim na prvu, drugu itd. Pa, naravno, zamijenit ćemo 0 u drugi član; 1; 2 3; 4, itd. I brojimo. Dobijamo seriju:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 i tako dalje.

To je sve što možete vidjeti.) Opća formula nam daje potpuno iste rezultate kao što su dva odgovora zasebno. Samo sve odjednom, po redu. Matematičari se nisu prevarili.)

Također se mogu provjeriti formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s tangensom i kotangensom. Ali nećemo.) Već su jednostavni.

Posebno sam napisao sve ove zamjene i provjere. Ovdje je važno razumjeti jednu jednostavnu stvar: postoje formule za rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednadžbi, samo kratak sažetak odgovora. Radi ove sažetosti, morali smo umetnuti plus/minus u rješenje kosinusa i (-1) n u rješenje sinusa.

Ovi umeci ni na koji način ne smetaju u zadacima u kojima samo trebate napisati odgovor na elementarnu jednadžbu. Ali ako trebate riješiti nejednadžbu ili trebate učiniti nešto s odgovorom: odabrati korijene na intervalu, provjeriti ODZ itd., ova umetanja mogu lako uznemiriti osobu.

Što bih trebao napraviti? Da, ili napiši odgovor u dvije serije, ili riješi jednadžbu/nejednadžbu pomoću trigonometrijske kružnice. Tada ti umetci nestaju i život postaje lakši.)

Možemo sažeti.

Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi postoje gotove formule odgovora. Četiri komada. Dobre su za trenutno zapisivanje rješenja jednadžbe. Na primjer, trebate riješiti jednadžbe:

sinx = 0,3

Lako: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nema problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Lako: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Jedan ostao: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ako ti, sjajeći znanjem, odmah napišeš odgovor:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

onda već blistaš, ovo... ono... iz lokve.) Točan odgovor: nema rješenja. Ne razumijem zašto? Pročitajte što je ark kosinus. Osim toga, ako na desnoj strani izvorne jednadžbe postoje tablične vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 i tako dalje. - odgovor će kroz lukove nedorečen. Lukovi se moraju pretvoriti u radijane.

A ako naiđete na nejednakost, npr

onda je odgovor:

x πn, n ∈ Z

rijetke su gluposti, da...) Ovdje trebate riješiti pomoću trigonometrijske kružnice. Što ćemo učiniti u odgovarajućoj temi.

Za one koji herojski čitaju ove retke. Jednostavno ne mogu ne cijeniti vaš ogromni trud. Bonus za vas.)

Bonus:

Kada zapisuju formule u alarmantnoj borbenoj situaciji, čak i iskusni štreberi često se zbune gdje πn, I gdje 2π n. Evo jednostavnog trika za vas. U svatko formule vrijedan πn. Osim jedine formule s ark kosinusom. Stoji tamo 2πn. Dva peen. ključna riječ - dva. U ovoj istoj formuli postoje dva znak na početku. Plus i minus. Tu i tamo - dva.

Pa ako si napisao dva znak ispred ark kosinusa, lakše je zapamtiti što će se dogoditi na kraju dva peen. A događa se suprotno. Osoba će propustiti znak ± , dolazi do kraja, piše ispravno dva Pien, i on će doći k sebi. Nešto je naprijed dva znak! Osoba će se vratiti na početak i ispraviti grešku! Kao ovo.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Vrsta lekcije: postavljanje zadatka učenja.

Ciljevi lekcije:

Edukativni: usustaviti znanja učenika o metodama rješavanja jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi, učvrstiti vještine rada s krugom i tablicom.

Razvojni: nastaviti rad na formiranju kreativnih intelektualnih sposobnosti učenika korištenjem različitih tehnika rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Edukativni: razvijati vještine kolektivne mentalne aktivnosti, međusobne podrške i prihvaćanja gledišta različitog od vlastitog.

Tijekom nastave

1. Situacija uspjeha.

Riješite jednadžbu: cosx=1; cosx=0; cosx= -1.

2. Situacija, jaz” između znanja i neznanja.

Riješite jednadžbu: cosx=½; cosx=a.

Rasprava.

3. Izjava obrazovnog zadatka.

Kako riješiti jednadžbu ovog tipa?

1) Kolika je apscisa točke na jediničnoj kružnici dobivenoj rotacijom točke (1;0) oko ishodišta za kut jednak: ?

2). Što je jednako: ?

Odgovor:

3).Što je jednako: .

Odgovor:

;

;

(1) .

Riječi učitelja: matematičari su riječi reverse cos nazvali riječju arkosinus (arccos). Arkus kosinus broja je broj čiji je kosinus jednak a:
arccosa=α,ako je cosα=a i 0≤α≤π.

4). Napiši jednakost (1) pomoću simbola arccos.

5). Riješite jednadžbe: cosx=½, cosx=α.

Odgovor: x=arccos½, x=arccosa.

6). Imenujte kutove rotacije točke (1;0) jedinične kružnice kojoj je apscisa jednaka ½.

Odgovor: apscisa je jednaka ½ kada se točka zakrene za kut jednak π/3 i -π/3.

tj. cosx=½ pri x=±arccos½
cosx=a pri x=±arccosa.

7). Kolike su apscise točaka dobivenih rotacijom točke (1;0) za kutove: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.

Odgovor: apscisa je ½, a cosx=½ na x=±arccos½+2πn,.
cosx=a pri x=±arccosa+2πn,.

8). Zaključak: jednadžba cosx=a

1) ima korijene ako je ≤1,
2) nema korijena ako je >1.

9). Sažetak lekcije:

a) Za koje vrijednosti a i α ima smisla jednakost arccosa = α?
b) Što se naziva arc kosinus od a?
c) Pri kojim vrijednostima a jednadžba cosx=a ima korijene?
d) Formula za pronalaženje korijena jednadžbe cosx=a.

Primjeri:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe:

Svaku trigonometrijsku jednadžbu treba svesti na jednu od sljedećih vrsta:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

gdje je \(t\) izraz s x, \(a\) je broj. Takve trigonometrijske jednadžbe nazivaju se najjednostavniji. Mogu se lako riješiti pomoću () ili posebnim formulama:

Infografike o rješavanju jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi pogledajte ovdje:, i.

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Riješenje:

Odgovor: \(\lijevo[ \begin(sakupljeno)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(sakupljeno)\desno.\) \(k,n∈Z\)

Što svaki simbol znači u formuli za korijene trigonometrijskih jednadžbi, vidi.

Pažnja! Jednadžbe \(\sin⁡x=a\) i \(\cos⁡x=a\) nemaju rješenja ako \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Budući da su sinus i kosinus za bilo koji x veći ili jednak \(-1\) i manji ili jednaki \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Primjer . Riješite jednadžbu \(\cos⁡x=-1,1\).
Riješenje: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Odgovor : nema rješenja.

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu tg\(⁡x=1\).
Riješenje:

Riješimo jednadžbu pomoću brojčane kružnice. Za ovo: 1) Konstruirajte krug) 2) Konstruirajte osi \(x\) i \(y\) te os tangente (prolazi točkom \((0;1)\) paralelno s osi \(y\)). 3) Na osi tangente označite točku \(1\). 4) Spojite ovu točku i ishodište koordinata - ravnom crtom. 5) Označite sjecišta ovog pravca i brojevne kružnice. 6) Potpišimo vrijednosti ovih točaka: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Zapišite sve vrijednosti ovih točaka. Budući da se nalaze na udaljenosti od točno \(π\) jedna od druge, sve vrijednosti mogu se napisati u jednoj formuli:

Odgovor: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Riješenje:

Upotrijebimo ponovno brojčani krug. 1) Konstruirajte kružnicu, osi \(x\) i \(y\). 2) Na kosinusnoj osi (\(x\) os), označite \(0\). 3) Kroz ovu točku povucite okomicu na kosinusnu os. 4) Označite sjecišta okomice i kružnice. 5) Potpišimo vrijednosti ovih točaka: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Zapišemo cijelu vrijednost tih točaka i izjednačimo ih s kosinusom (s onim što je unutar kosinusa). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Kao i obično, izrazit ćemo \(x\) u jednadžbama. Ne zaboravite tretirati brojeve s \(π\), kao i \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), itd. Ovo su isti brojevi kao i svi ostali. Nema numeričke diskriminacije! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Odgovor: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Svođenje trigonometrijskih jednadžbi na najjednostavnije je kreativan zadatak; ovdje morate koristiti i posebne metode za rješavanje jednadžbi:
- Metoda (najpopularnija u Jedinstvenom državnom ispitu).
- Metoda.
- Metoda pomoćnih argumenata.

Razmotrimo primjer rješavanja kvadratne trigonometrijske jednadžbe

Primjer . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Riješenje:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Izvršimo zamjenu \(t=\cos⁡x\).
	Naša je jednadžba postala tipična. Možete ga riješiti pomoću .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Vršimo obrnutu zamjenu.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Prvu jednadžbu rješavamo pomoću brojevnog kruga. Druga jednadžba nema rješenja jer \(\cos⁡x∈[-1;1]\) i ne može biti jednako dva za bilo koji x.
	Zapišimo sve brojeve koji leže u tim točkama.

Odgovor: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Primjer rješavanja trigonometrijske jednadžbe s proučavanjem ODZ:

Primjer (USE) . Riješite trigonometrijsku jednadžbu \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Postoji razlomak i postoji kotangens - to znači da ga trebamo zapisati. Dopustite mi da vas podsjetim da je kotangens zapravo razlomak: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Prema tome, ODZ za ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Označimo “nerješenja” na brojevnoj kružnici.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Oslobodimo se nazivnika u jednadžbi množenjem sa ctg\(x\). To možemo učiniti jer smo gore napisali da je ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Primijenimo formulu dvostrukog kuta za sinus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ako ruke ispružite da dijelite s kosinusom, povucite ih natrag! Možete dijeliti izrazom s varijablom ako ona definitivno nije jednaka nuli (na primjer, ove: \(x^2+1,5^x\)). Umjesto toga, stavimo \(\cos⁡x\) izvan zagrada.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Razdvojimo" jednadžbu na dvije.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Riješimo prvu jednadžbu pomoću brojčane kružnice. Podijelite drugu jednadžbu s \(2\) i pomaknite \(\sin⁡x\) na desnu stranu.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Dobiveni korijeni nisu uključeni u ODZ. Stoga ih nećemo pisati u odgovoru. Druga jednadžba je tipična. Podijelimo to s \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ne može biti rješenje jednadžbe jer u ovom slučaju \(\cos⁡x=1\) ili \(\cos⁡ x=-1\)).
	Ponovno koristimo krug.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Ove korijene ne isključuje ODZ, pa ih možete napisati u odgovoru.

Odgovor: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).