Riješite jednadžbu pomoću modula online kalkulatora. Rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi
Jednadžbe
Kako riješiti jednadžbe?
U ovom odjeljku prisjetit ćemo se (ili proučavati - kako tko voli) najelementarnijih jednadžbi. Dakle, što je jednadžba? Ljudski govoreći, to je neka vrsta matematičkog izraza, gdje postoji znak jednakosti i nepoznata. Što se obično označava slovom "X". riješiti jednadžbu je pronaći takve x-vrijednosti koje, prilikom zamjene u početni izraz, dat će nam ispravan identitet. Podsjećam da je identitet izraz koji ne izaziva sumnju čak ni za osobu koja nije apsolutno opterećena matematičkim znanjem. Kao 2=2, 0=0, ab=ab itd. Dakle, kako rješavate jednadžbe? Hajdemo shvatiti.
Ima svakakvih jednadžbi (iznenadio sam se, zar ne?). Ali sva njihova beskonačna raznolikost može se podijeliti u samo četiri vrste.
4. ostalo.)
Sve ostalo, naravno, najviše od svega, da ...) Ovo uključuje kubične, i eksponencijalne, i logaritamske, i trigonometrijske, i sve vrste drugih. Blisko ćemo surađivati s njima u relevantnim odjeljcima.
Moram odmah reći da su ponekad jednadžbe prve tri vrste toliko namotane da ih ne prepoznajete ... Ništa. Naučit ćemo kako ih odmotati.
I zašto su nam potrebne ove četiri vrste? I što onda linearne jednadžbe riješen na jedan način kvadrat drugi frakcijski racionalni - treći, a odmor uopće nije riješeno! Pa, nije da oni uopće ne odlučuju, uzalud sam uvrijedio matematiku.) Samo što oni imaju svoje posebne tehnike i metode.
Ali za bilo koji (ponavljam - za bilo koji!) jednadžbi je pouzdana i jednostavna osnova za rješavanje. Radi svugdje i uvijek. Ova baza - Zvuči zastrašujuće, ali stvar je vrlo jednostavna. I jako (vrlo!) važno.
Zapravo, rješenje jednadžbe sastoji se od istih transformacija. Na 99%. Odgovor na pitanje: " Kako riješiti jednadžbe?" leži, samo u ovim transformacijama. Je li nagovještaj jasan?)
Transformacije identiteta jednadžbi.
NA bilo koje jednadžbe da bismo pronašli nepoznato, potrebno je transformirati i pojednostaviti izvorni primjer. Štoviše, tako da prilikom promjene izgleda bit jednadžbe se nije promijenila. Takve se transformacije nazivaju identičan ili ekvivalent.
Imajte na umu da su ove transformacije samo za jednadžbe. U matematici još uvijek postoje identične transformacije izrazi. Ovo je druga tema.
Sada ćemo ponoviti sve-sve-sve osnovno identične transformacije jednadžbi.
Osnovni jer se mogu primijeniti na bilo koji jednadžbe - linearne, kvadratne, frakcijske, trigonometrijske, eksponencijalne, logaritamske, itd. itd.
Prva identična transformacija: obje strane bilo koje jednadžbe mogu se dodati (oduzeti) bilo koji(ali isto!) broj ili izraz (uključujući izraz s nepoznatom!). Suština jednadžbe se ne mijenja.
Usput, stalno si koristio ovu transformaciju, samo si mislio da neke članove prenosiš iz jednog dijela jednadžbe u drugi s promjenom predznaka. Tip:
Stvar je poznata, pomaknemo dvojku udesno i dobijemo:
zapravo ti oduzeta s obje strane jednadžbe dvojka. Rezultat je isti:
x+2 - 2 = 3 - 2
Prijenos članova lijevo-desno s promjenom predznaka jednostavno je skraćena verzija prve identične transformacije. I zašto nam je potrebno tako duboko znanje? - pitaš. Ništa u jednadžbama. Miči se, zaboga. Samo ne zaboravite promijeniti znak. Ali u nejednakostima navika prijenosa može dovesti do slijepe ulice...
Druga transformacija identiteta: obje strane jednadžbe mogu se pomnožiti (podijeliti) istim različit od nule broj ili izraz. Ovdje se već pojavljuje razumljivo ograničenje: glupo je množiti s nulom, ali je uopće nemoguće dijeliti. Ovo je transformacija koju koristite kada odlučite nešto poput cool
Razumljivo, x= 2. Ali kako ste ga pronašli? Izbor? Ili samo upalio? Kako ne biste pokupili i čekali uvid, morate shvatiti da ste pravedni podijeli obje strane jednadžbe za 5. Dijeljenjem lijeve strane (5x), petica je smanjena, ostavljajući čisti X. Što nam je i trebalo. A kada se desna strana od (10) podijeli s pet, ispala je, naravno, dvojka.
To je sve.
Smiješno je, ali ove dvije (samo dvije!) identične transformacije su temelj rješenja sve jednadžbe matematike. Kako! Ima smisla pogledati primjere što i kako, zar ne?)
Primjeri identičnih transformacija jednadžbi. Glavni problemi.
Počnimo s prvi identična transformacija. Pomicanje lijevo-desno.
Primjer za najmlađe.)
Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednadžbu:
3-2x=5-3x
Prisjetimo se čarolije: "sa X - lijevo, bez X - desno!" Ova čarolija je uputa za primjenu prve transformacije identiteta.) Što je izraz s x na desnoj strani? 3x? Odgovor je pogrešan! S naše desne strane - 3x! Minus tri x! Stoga će se pri pomaku ulijevo znak promijeniti u plus. Dobiti:
3-2x+3x=5
Dakle, X-ovi su spojeni. Idemo računati. Tri s lijeve strane. Kakav znak? Odgovor "ni s jednom" se ne prihvaća!) Ispred trojke doista ništa nije nacrtano. A to znači da je ispred trostruke plus. Tako su se matematičari složili. Ništa nije napisano, dakle plus. Stoga će trojka biti prebačena na desnu stranu s minusom. Dobivamo:
-2x+3x=5-3
Ostalo je praznih mjesta. S lijeve strane - dajte slične, s desne strane - brojite. Odgovor je odmah:
U ovom primjeru bila je dovoljna jedna identična transformacija. Drugi nije bio potreban. Pa dobro.)
Primjer za starije.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Besplatni kalkulator koji vam nudimo ima bogat arsenal mogućnosti za matematičke izračune. Omogućuje vam korištenje online kalkulatora u različitim područjima djelovanja: obrazovni, profesionalni i komercijalni. Naravno, posebno je popularna upotreba online kalkulatora učenicima i Školska djeca, znatno im olakšava izvođenje raznih izračuna.
Međutim, kalkulator može biti koristan alat u nekim područjima poslovanja i za ljude različitih profesija. Naravno, potreba za korištenjem kalkulatora u poslovanju ili radu određena je prvenstveno vrstom same aktivnosti. Ako su posao i profesija povezani sa stalnim izračunima i izračunima, onda je vrijedno isprobati elektronički kalkulator i procijeniti stupanj njegove korisnosti za određeni posao.
Ovaj online kalkulator može
- Ispravno izvršavanje standardnih matematičkih funkcija napisanih u jednom retku kao što je - 12*3-(7/2) i može obraditi brojeve veće od onih koje brojimo ogromne brojeve u online kalkulatoru. Ne znamo čak ni kako pravilno nazvati takav broj ( ima 34 znaka i to uopće nije ograničenje).
- Osim tangens, kosinus, sinus i druge standardne funkcije - kalkulator podržava računske operacije arc tangenta, arc tangenta i drugi.
- Dostupno u arsenalu logaritmi, faktorijeli i druge cool značajke
- Ovaj online kalkulator može napraviti grafikone!!!
Za iscrtavanje grafova usluga koristi poseban gumb (iscrtava se sivi graf) ili doslovni prikaz ove funkcije (Plot). Da biste izgradili grafikon u online kalkulatoru, samo napišite funkciju: plot(tan(x)),x=-360..360.
Uzeli smo najjednostavniji dijagram za tangentu, a nakon decimalne točke naveli smo raspon X varijable od -360 do 360.
Možete izgraditi apsolutno bilo koju funkciju, s bilo kojim brojem varijabli, na primjer: dijagram (cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) Ili čak složenije nego što možete zamisliti. Obraćamo pozornost na ponašanje varijable X - interval od i do označen je s dvije točke.
Jedini nedostatak (iako je to teško nazvati nedostatkom) ovog online kalkulatora je što ne može graditi kugle i druge trodimenzionalne figure - samo ravninu.
Kako raditi s matematičkim kalkulatorom
1. Zaslon (zaslon kalkulatora) prikazuje uneseni izraz i rezultat njegovog izračuna običnim znakovima, onako kako pišemo na papiru. Ovo polje služi jednostavno za pregled trenutne operacije. Unos se prikazuje na zaslonu dok upisujete matematički izraz u redak za unos.
2. Polje za unos izraza je namijenjeno za pisanje izraza koji se izračunava. Ovdje treba napomenuti da matematički simboli koji se koriste u računalnim programima ne odgovaraju uvijek onima koje obično koristimo na papiru. U pregledu svake funkcije kalkulatora pronaći ćete točnu oznaku za pojedinu operaciju i primjere izračuna u kalkulatoru. Na ovoj stranici ispod nalazi se popis svih mogućih operacija u kalkulatoru, uz naznaku njihovog ispravnog pisanja.
3. Alatna traka - ovo su gumbi kalkulatora koji zamjenjuju ručni unos matematičkih simbola koji označavaju odgovarajuću operaciju. Neki gumbi kalkulatora (dodatne funkcije, pretvarač jedinica, rješavanje matrica i jednadžbi, grafikoni) nadopunjuju programsku traku novim poljima u koja se unose podaci za određeni izračun. Polje "Povijest" sadrži primjere pisanja matematičkih izraza, kao i vaših zadnjih šest unosa.
Imajte na umu da kada pritisnete gumbe za pozivanje dodatnih funkcija, pretvarač vrijednosti, rješavanje matrica i jednadžbi, crtanje grafikona, cijela ploča kalkulatora se pomiče prema gore, pokrivajući dio zaslona. Ispunite potrebna polja i pritisnite tipku "I" (označeno crvenom bojom na slici) kako biste vidjeli prikaz u punoj veličini.
4. Numerička tipkovnica sadrži brojeve i aritmetičke znakove. Gumb "C" briše cijeli unos u polju za unos izraza. Za brisanje znakova jedan po jedan, morate koristiti strelicu desno od retka za unos.
Pokušajte uvijek zatvoriti zagrade na kraju izraza. Za većinu operacija to nije kritično, online kalkulator će sve ispravno izračunati. Međutim, u nekim slučajevima moguće su pogreške. Na primjer, kada se podiže na razlomak, nezatvorene zagrade će uzrokovati da nazivnik razlomka u eksponentu ide u nazivnik baze. Na zaslonu je zatvorena zagrada označena blijedo sivom bojom, mora se zatvoriti kada se snimanje završi.
| Ključ | Simbol | Operacija |
|---|---|---|
| pi | pi | konstanta pi |
| e | e | Eulerov broj |
| % | % | postotak |
| () | () | Otvaranje/zatvaranje zagrada |
| , | , | Zarez |
| grijeh | grijeh(?) | Sinus kuta |
| cos | jer (?) | Kosinus |
| preplanuli ten | tan(y) | Tangens |
| sinh | sinh() | Hiperbolički sinus |
| unovčiti | cosh() | Hiperbolički kosinus |
| tanh | tanh() | Hiperbolička tangensa |
| grijeh-1 | asin() | Inverzni sinus |
| cos-1 | akos() | inverzni kosinus |
| tan-1 | atan() | inverzna tangensa |
| sinh-1 | asinh() | Inverzni hiperbolički sinus |
| cosh-1 | acosh() | Inverzni hiperbolički kosinus |
| tanh-1 | atanh() | Inverzni hiperbolični tangens |
| x2 | ^2 | Kvadratura |
| x 3 | ^3 | Kocka |
| x y | ^ | Potenciranje |
| 10 x | 10^() | Potenciranje u bazi 10 |
| pr | exp() | Potenciranje Eulerovog broja |
| vx | sqrt(x) | Korijen |
| 3vx | sqrt3(x) | Korijen 3. stupnja |
| yvx | kvadrat(x,y) | vađenje korijena |
| trupac 2 x | log2(x) | binarni logaritam |
| log | log(x) | Decimalni logaritam |
| ul | log(x) | prirodni logaritam |
| log yx | log(x,y) | Logaritam |
| I / II | Minimiziraj/pozovi dodatne funkcije | |
| jedinica | Pretvarač jedinica | |
| matrica | matrice | |
| riješiti | Jednadžbe i sustavi jednadžbi | |
| Plotanje | ||
| Dodatne funkcije (poziv tipkom II) | ||
| mod | mod | Dijeljenje s ostatkom |
| ! | ! | Faktorijel |
| i J | i J | imaginarna jedinica |
| Ponovno | Ponovno() | Odabir cijelog realnog dijela |
| im | ja() | Isključenje stvarnog dijela |
| |x| | trbušnjaci () | Apsolutna vrijednost broja |
| Arg | arg() | Argument funkcije |
| nCr | ncr() | Binomni koeficijent |
| gcd | gcd() | GCD |
| lcm | lcm() | NOC |
| iznos | iznos() | Vrijednost zbroja svih rješenja |
| fak | razložiti na činioce() | Rastavljanje na proste faktore |
| dif | diff() | Diferencijacija |
| stupanj | stupnjeva | |
| rad | radijani | |
Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Sposobnost njihovog rješavanja je neophodna.
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a , b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.
Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:
- Nemaju korijenje;
- Imaju točno jedan korijen;
- Imaju dva različita korijena.
Ovo je važna razlika između kvadratnih i linearnih jednadžbi, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko jednadžba ima korijena? Postoji divna stvar za ovo - diskriminirajući.
Diskriminirajući
Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac .
Ova se formula mora znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: prema znaku diskriminante možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:
- Ako D< 0, корней нет;
- Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
- Ako je D > 0, bit će dva korijena.
Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne uopće njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi misle. Pogledajte primjere i sve će vam biti jasno:
Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Zapisujemo koeficijente za prvu jednadžbu i nalazimo diskriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Dakle, diskriminant je pozitivan, pa jednadžba ima dva različita korijena. Drugu jednadžbu analiziramo na isti način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminanta je negativna, nema korijena. Ostaje zadnja jednadžba:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.
Imajte na umu da su koeficijenti ispisani za svaku jednadžbu. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete miješati izglede i nemojte raditi glupe pogreške. Odaberite sami: brzina ili kvaliteta.
Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.
Korijeni kvadratne jednadžbe
Sada prijeđimo na rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:
Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe
Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako je D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:
Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Pronađimo ih
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \lijevo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]
Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:
Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju kada se u formulu zamijene negativni koeficijenti. I ovdje će vam pomoći gore opisana tehnika: doslovno promatrajte formulu, slikajte svaki korak - i vrlo brzo se riješite pogrešaka.
Nepotpune kvadratne jednadžbe
Događa se da je kvadratna jednadžba nešto drugačija od onoga što je navedeno u definiciji. Na primjer:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Lako je vidjeti da u ovim jednadžbama nedostaje jedan od članova. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: za njih čak nije potrebno izračunati diskriminantu. Dakle, predstavimo novi koncept:
Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 zove se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.
Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b \u003d c \u003d 0. U ovom slučaju, jednadžba ima oblik ax 2 \u003d 0. Očito, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.
Razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c \u003d 0. Lagano je transformirajmo:
Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo kada je (−c / a ) ≥ 0. Zaključak:
- Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednadžbu (−c / a ) ≥ 0, bit će dva korijena. Formula je navedena gore;
- Ako (−c / a )< 0, корней нет.
Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno prisjećati se nejednakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što je s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, uopće neće biti korijena.
Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će biti dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:
Izbacivanje zajedničkog faktora iz zagradeUmnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednadžbi:
Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
Dodjela usluge. Matrični kalkulator namijenjen je rješavanju sustava linearnih jednadžbi na matrični način (pogledajte primjer rješavanja sličnih problema).Uputa. Za online rješenje morate odabrati vrstu jednadžbe i postaviti dimenziju odgovarajućih matrica.
gdje su A, B, C zadane matrice, X je željena matrica. Matrične jednadžbe oblika (1), (2) i (3) rješavaju se preko inverzne matrice A -1 . Ako je zadan izraz A X - B = C, tada je potrebno prvo zbrojiti matrice C + B i pronaći rješenje za izraz A X = D , gdje je D = C + B (). Ako je dan izraz A*X = B 2, tada se matrica B mora prvo kvadrirati. Također je preporučljivo upoznati se s osnovnim operacijama na matricama.Primjer #1. Vježbajte. Pronađite rješenje matrične jednadžbe
Riješenje. Označiti:
Tada će matrična jednadžba biti zapisana u obliku: A·X·B = C.
Determinanta matrice A je detA=-1
Kako je A nesingularna matrica, postoji inverzna matrica A -1 . Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane s A -1: Pomnožite obje strane ove jednadžbe s lijeve strane s A -1 i s desne s B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Kako je A A -1 = B B -1 = E i E X = X E = X, onda je X = A -1 C B -1
Inverzna matrica A -1: 
Nađite inverznu matricu B -1 .
Transponirana matrica B T:
Inverzna matrica B -1: 
Matricu X tražimo po formuli: X = A -1 C B -1 
Odgovor:
Primjer #2. Vježbajte. Riješite matričnu jednadžbu 
Riješenje. Označiti:
Tada će matrična jednadžba biti zapisana u obliku: A X = B.
Determinanta matrice A je detA=0
Budući da je A degenerirana matrica (determinanta je 0), jednadžba nema rješenja.
Primjer #3. Vježbajte. Pronađite rješenje matrične jednadžbe
Riješenje. Označiti:
Tada će matrična jednadžba biti zapisana u obliku: X·A = B.
Determinanta matrice A je detA=-60
Kako je A nesingularna matrica, postoji inverzna matrica A -1 . Pomnožimo s desne obje strane jednadžbe s A -1: X A A -1 = B A -1 , iz čega nalazimo da je X = B A -1
Nađi inverznu matricu A -1 .
Transponirana matrica A T: 
Inverzna matrica A -1: 
Matricu X tražimo po formuli: X = B A -1 
Odgovor: > 
Ujak Vanja radnja predstave. „Stric Ivan. Odnos prema profesoru dr
Mali Tsakhes, nadimak Zinnober
Maikov, Apollon Nikolaevich - kratka biografija