C 8 30 razlomljenih racionalnih jednadžbi. Razlomačko-racionalne jednadžbe

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Jednadžbu smo uveli gore u § 7. Prvo se prisjetimo što je racionalni izraz. Ovo je algebarski izraz sastavljen od brojeva i varijable x pomoću operacija zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja s prirodnim eksponentom.

Ako je r(x) racionalan izraz, onda se jednadžba r(x) = 0 naziva racionalna jednadžba.

Međutim, u praksi je prikladnije koristiti nešto šire tumačenje pojma "racionalna jednadžba": to je jednadžba oblika h(x) = q(x), gdje su h(x) i q(x) racionalni izrazi.

Do sada nismo mogli riješiti nijednu racionalnu jednadžbu, već samo onu koja se, kao rezultat raznih transformacija i promišljanja, svela na Linearna jednadžba. Sada su naše mogućnosti puno veće: moći ćemo riješiti racionalnu jednadžbu, koja se ne svodi samo na linearnu
mu, ali i na kvadratnu jednadžbu.

Prisjetite se kako smo ranije rješavali racionalne jednadžbe i pokušajte formulirati algoritam rješenja.

Primjer 1 riješiti jednadžbu

Odluka. Jednadžbu prepisujemo u obliku

U ovom slučaju, kao i obično, koristimo se činjenicom da jednakosti A \u003d B i A - B \u003d 0 izražavaju isti odnos između A i B. To nam je omogućilo prijenos izraza na lijevu stranu jednadžbe s suprotnog predznaka.

Provedimo transformacije lijeve strane jednadžbe. Imamo

Podsjetimo se na uvjete jednakosti razlomci nula: ako i samo ako su istovremeno zadovoljene dvije relacije:

1) brojnik razlomka je nula (a = 0); 2) nazivnik razlomka je različit od nule).
Izjednačujući s nulom brojnik razlomka na lijevoj strani jednadžbe (1), dobivamo

Ostaje provjeriti ispunjenje drugog prethodno navedenog uvjeta. Omjer znači za jednadžbu (1) da . Vrijednosti x 1 = 2 i x 2 = 0,6 zadovoljavaju navedene relacije i stoga služe kao korijeni jednadžbe (1), a ujedno i korijeni dane jednadžbe.

1) Transformirajmo jednadžbu u oblik

2) Izvršimo transformacije lijeve strane ove jednadžbe:

(istovremeno promijenio predznake u brojniku i
razlomci).
Dakle, dana jednadžba poprima oblik

3) Riješite jednadžbu x 2 - 6x + 8 = 0. Pronađite

4) Za pronađene vrijednosti provjerite uvjet . Broj 4 zadovoljava ovaj uvjet, ali broj 2 ne. Dakle, 4 je korijen dane jednadžbe, a 2 je vanjski korijen.
Odgovor: 4.

2. Rješavanje racionalnih jednadžbi uvođenjem nove varijable

Metoda uvođenja nove varijable vam je poznata, koristili smo je više puta. Pokažimo na primjerima kako se koristi u rješavanju racionalnih jednadžbi.

Primjer 3 Riješite jednadžbu x 4 + x 2 - 20 = 0.

Odluka. Uvodimo novu varijablu y \u003d x 2. Budući da je x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, tada se dana jednadžba može prepisati u obliku

y 2 + y - 20 = 0.

Ovo je kvadratna jednadžba, čije korijene ćemo pronaći koristeći poznato formule; dobivamo y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ali y \u003d x 2, što znači da je problem sveden na rješavanje dvije jednadžbe:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Iz prve jednadžbe nalazimo da druga jednadžba nema korijena.
Odgovor: .
Jednadžba oblika ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 naziva se bikvadratna jednadžba ("bi" - dva, tj. "dvostruka kvadratna" jednadžba). Upravo riješena jednadžba bila je točno bikvadratna. Bilo koja bikvadratna jednadžba rješava se na isti način kao jednadžba iz primjera 3: uvodi se nova varijabla y \u003d x 2, rezultirajuća kvadratna jednadžba se rješava u odnosu na varijablu y, a zatim se vraća na varijablu x.

Primjer 4 riješiti jednadžbu

Odluka. Imajte na umu da se isti izraz x 2 + 3x ovdje pojavljuje dva puta. Stoga ima smisla uvesti novu varijablu y = x 2 + Zx. To će nam omogućiti da jednadžbu prepišemo u jednostavniji i ugodniji oblik (što je zapravo svrha uvođenja novog varijabla- i snimanje je lakše
, i struktura jednadžbe postaje jasnija):

A sada ćemo koristiti algoritam za rješavanje racionalne jednadžbe.

1) Premjestimo sve članove jednadžbe u jedan dio:

= 0
2) Transformirajmo lijevu stranu jednadžbe

Dakle, transformirali smo danu jednadžbu u oblik

3) Iz jednadžbe - 7y 2 + 29y -4 = 0 nalazimo (već smo riješili dosta kvadratnih jednadžbi, pa vjerojatno ne vrijedi uvijek davati detaljne izračune u udžbeniku).

4) Provjerimo pronađene korijene pomoću uvjeta 5 (y - 3) (y + 1). Oba korijena zadovoljavaju ovaj uvjet.
Dakle, kvadratna jednadžba za novu varijablu y je riješena:
Budući da je y \u003d x 2 + Zx, a y, kao što smo utvrdili, ima dvije vrijednosti: 4 i, - još uvijek moramo riješiti dvije jednadžbe: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Korijeni prve jednadžbe su brojevi 1 i - 4, korijeni druge jednadžbe su brojevi

U razmatranim primjerima način uvođenja nove varijable bio je, kako matematičari vole reći, adekvatan situaciji, odnosno dobro joj je korespondirao. Zašto? Da, jer se isti izraz jasno susreo u zapisu jednadžbe nekoliko puta i bilo je razumno taj izraz označiti novim slovom. Ali to nije uvijek slučaj, ponekad se nova varijabla "pojavi" tek u procesu transformacija. Upravo to će se dogoditi u sljedećem primjeru.

Primjer 5 riješiti jednadžbu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Odluka. Imamo
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Dakle, dana jednadžba se može prepisati kao

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Sada se "pojavila" nova varijabla: y = x 2 - Zx.

Uz njegovu pomoć, jednadžba se može prepisati u obliku y (y + 2) \u003d 24, a zatim y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Korijeni ove jednadžbe su brojevi 4 i -6.

Vraćajući se na izvornu varijablu x, dobivamo dvije jednadžbe x 2 - Zx \u003d 4 i x 2 - Zx \u003d - 6. Iz prve jednadžbe nalazimo x 1 \u003d 4, x 2 = - 1; druga jednadžba nema korijena.

Odgovor: 4, - 1.

Sadržaj lekcije sažetak lekcije okvir za podršku lekcija prezentacija akcelerativne metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoprovjera radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slikovne grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, stripovi parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale varalice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu metodološke preporuke programa rasprave Integrirane lekcije

Jednostavno rečeno, to su jednadžbe u kojima postoji barem jedna s varijablom u nazivniku.

Na primjer:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Primjer ne frakcijske racionalne jednadžbe:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kako se rješavaju razlomljene racionalne jednadžbe?

Glavna stvar koju treba zapamtiti o frakcijskim racionalnim jednadžbama je da morate pisati u njima. I nakon pronalaska korijena, svakako ih provjerite za dopuštenost. Inače se mogu pojaviti strani korijeni, a cijelo će se rješenje smatrati netočnim.

Algoritam za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe:

Ispišite i "riješite" ODZ.

Pomnožite svaki član u jednadžbi zajedničkim nazivnikom i smanjite dobivene razlomke. Nazivnici će nestati.

Napišite jednadžbu bez otvaranja zagrada.

Riješite dobivenu jednadžbu.

Pronađene korijene provjeriti ODZ-om.

Zapišite kao odgovor korijene koji su prošli test u koraku 7.

Nemojte pamtiti algoritam, 3-5 riješenih jednadžbi - i zapamtit će se sam.

Primjer . Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Odluka:

Odgovor: \(3\).

Primjer . Pronađite korijene razlomljene racionalne jednadžbe \(=0\)

Odluka:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Zapisujemo i "rješavamo" ODZ. Proširite \(x^2+7x+10\) u formulu: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Srećom \(x_1\) i \(x_2\) već smo pronašli.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Očito, zajednički nazivnik razlomaka: \((x+2)(x+5)\). Njime množimo cijelu jednadžbu.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Smanjujemo razlomke
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Otvaranje zagrada
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dajemo slične uvjete
\(2x^2+9x-5=0\)		Pronalaženje korijena jednadžbe
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Jedan od korijena ne stane pod ODZ, pa kao odgovor zapisujemo samo drugi korijen.

Odgovor: \(\frac(1)(2)\).

Nastavljamo razgovor o rješenje jednadžbi. U ovom ćemo se članku usredotočiti na racionalne jednadžbe te principe rješavanja racionalnih jednadžbi s jednom varijablom. Prvo, shvatimo koje se jednadžbe nazivaju racionalnim, dajmo definiciju cjelobrojnih racionalnih i frakcijskih racionalnih jednadžbi i dajmo primjere. Nadalje ćemo dobiti algoritme za rješavanje racionalnih jednadžbi i, naravno, razmotriti rješenja tipičnih primjera sa svim potrebnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Na temelju zvučnih definicija dajemo nekoliko primjera racionalnih jednadžbi. Na primjer, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , sve su racionalne jednadžbe.

Iz prikazanih primjera vidi se da racionalne jednadžbe, kao i jednadžbe drugih vrsta, mogu biti ili s jednom varijablom, ili s dvije, tri itd. varijable. U sljedećim odlomcima govorit ćemo o rješavanju racionalnih jednadžbi u jednoj varijabli. Rješavanje jednadžbi s dvije varijable a njihov veliki broj zaslužuje posebnu pozornost.

Osim što se racionalne jednadžbe dijele prema broju nepoznatih varijabli, one se također dijele na cjelobrojne i frakcijske. Navedimo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Racionalna jednadžba se zove cijeli, ako su i njegov lijevi i desni dio cjelobrojni racionalni izrazi.

Definicija.

Ako je barem jedan od dijelova racionalne jednadžbe razlomački izraz, tada se takva jednadžba naziva frakciono racionalan(ili frakcijsko racionalno).

Jasno je da cjelobrojne jednadžbe ne sadrže dijeljenje varijablom, naprotiv, razlomljene racionalne jednadžbe nužno sadrže dijeljenje varijablom (ili varijablom u nazivniku). Dakle, 3 x+2=0 i (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 su cijele racionalne jednadžbe, oba njihova dijela su cjelobrojni izrazi. A i x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 primjeri su razlomljenih racionalnih jednadžbi.

Zaključujući ovaj odlomak, obratimo pozornost na činjenicu da su linearne jednadžbe i kvadratne jednadžbe poznate do sada cjelovite racionalne jednadžbe.

Rješavanje cijelih jednadžbi

Jedan od glavnih pristupa rješavanju cijelih jednadžbi je njihovo svođenje na ekvivalent algebarske jednadžbe. To se uvijek može učiniti izvođenjem sljedećih ekvivalentnih transformacija jednadžbe:

• prvo, izraz s desne strane originalne cjelobrojne jednadžbe prenosi se na lijevu stranu sa suprotnim predznakom da bi se dobila nula na desnoj strani;
• nakon toga, na lijevoj strani jednadžbe, dobiveni standardni oblik.

Rezultat je algebarska jednadžba koja je ekvivalentna izvornoj cijeloj jednadžbi. Dakle, u najjednostavnijim slučajevima, rješavanje cijelih jednadžbi svodi se na rješenje linearnih ili kvadratnih jednadžbi, au općem slučaju - na rješenje algebarske jednadžbe stupnja n. Radi jasnoće, analizirajmo rješenje primjera.

Primjer.

Pronađite korijene cijele jednadžbe 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Odluka.

Svedimo rješenje cijele ove jednadžbe na rješenje ekvivalentne algebarske jednadžbe. Da bismo to učinili, prvo prenosimo izraz s desne strane na lijevu, kao rezultat dolazimo do jednadžbe 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. I, drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani u polinom standardnog oblika čineći potrebno: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Time se rješenje izvorne cjelobrojne jednadžbe svodi na rješenje kvadratne jednadžbe x 2 −5·x−6=0 .

Izračunajte njegovu diskriminantu D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, pozitivna je, što znači da jednadžba ima dva realna korijena, koja nalazimo po formuli korijena kvadratne jednadžbe:

Da budemo potpuno sigurni, učinimo provjera pronađenih korijena jednadžbe. Prvo provjerimo korijen 6, zamijenimo ga umjesto varijable x u izvornoj cjelobrojnoj jednadžbi: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, što je isto, 63=63 . Ovo je važeća numerička jednadžba, tako da je x=6 doista korijen jednadžbe. Sada provjeravamo korijen −1, imamo 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, odakle je 0=0 . Za x=−1, izvorna se jednadžba također pretvorila u pravu numeričku jednakost, stoga je x=−1 također korijen jednadžbe.

Odgovor:

6 , −1 .

Ovdje također treba napomenuti da se pojam "snaga cijele jednadžbe" povezuje s prikazom cijele jednadžbe u obliku algebarske jednadžbe. Dajemo odgovarajuću definiciju:

Definicija.

Stupanj cijele jednadžbe stupanj njemu ekvivalentne algebarske jednadžbe nazvati.

Prema ovoj definiciji cijela jednadžba iz prethodnog primjera ima drugi stupanj.

Na ovome bi se moglo završiti s rješavanjem cijelih racionalnih jednadžbi, ako ne jedne, ali .... Kao što je poznato, rješavanje algebarskih jednadžbi stupnja višeg od drugog povezano je sa značajnim poteškoćama, a za jednadžbe stupnja višeg od četvrtog uopće ne postoje opće formule za korijene. Stoga se za rješavanje čitavih jednadžbi trećeg, četvrtog i viših stupnjeva često mora pribjeći drugim metodama rješavanja.

U takvim slučajevima ponekad se pristup rješavanju cijelih racionalnih jednadžbi temelji na metoda faktorizacije. Istodobno se slijedi sljedeći algoritam:

• prvo nastoje imati nulu na desnoj strani jednadžbe, za to prenose izraz s desne strane cijele jednadžbe na lijevu;
• tada je rezultirajući izraz na lijevoj strani predstavljen kao produkt nekoliko faktora, što vam omogućuje da prijeđete na skup nekoliko jednostavnijih jednadžbi.

Gornji algoritam za rješavanje cijele jednadžbe faktorizacijom zahtijeva detaljno objašnjenje pomoću primjera.

Primjer.

Riješite cijelu jednadžbu (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Odluka.

Prvo, kao i obično, prenesemo izraz s desne strane na lijevu stranu jednadžbe, ne zaboravljajući promijeniti znak, dobivamo (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Ovdje je sasvim očito da nije preporučljivo transformirati lijevu stranu dobivene jednadžbe u polinom standardnog oblika, jer će se time dobiti algebarska jednadžba četvrtog stupnja oblika x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, čije je rješenje teško.

S druge strane, očito je da se x 2 −10·x+13 može naći na lijevoj strani dobivene jednadžbe, čime se predstavlja kao produkt. Imamo (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Rezultirajuća jednadžba je ekvivalentna izvornoj cijeloj jednadžbi, a ona se, pak, može zamijeniti skupom od dvije kvadratne jednadžbe x 2 −10·x+13=0 i x 2 −2·x−1=0 . Pronalaženje njihovih korijena koristeći poznate formule korijena kroz diskriminant nije teško, korijeni su jednaki. Oni su željeni korijeni izvorne jednadžbe.

Odgovor:

Također je koristan za rješavanje cijelih racionalnih jednadžbi. metoda za uvođenje nove varijable. U nekim slučajevima omogućuje prijelaz na jednadžbe čiji je stupanj niži od stupnja izvorne cjelobrojne jednadžbe.

Primjer.

Pronađite prave korijene racionalne jednadžbe (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Odluka.

Svođenje cijele ove racionalne jednadžbe na algebarsku jednadžbu je, blago rečeno, ne baš dobra ideja, jer ćemo u ovom slučaju doći do potrebe rješavanja jednadžbe četvrtog stupnja koja nema racionalne korijene. Stoga ćete morati potražiti drugo rješenje.

Ovdje je lako vidjeti da možete uvesti novu varijablu y i njome zamijeniti izraz x 2 +3 x. Takva zamjena dovodi nas do cijele jednadžbe (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , koja nakon prijenosa izraza −2 (y−4) na lijevu stranu i naknadne transformacije izraza tamo nastaje , svodi se na jednadžbu y 2 +4 y+3=0 . Korijene ove jednadžbe y=−1 i y=−3 lako je pronaći, na primjer, mogu se pronaći na temelju inverznog teorema Vietinog teorema.

Sada prijeđimo na drugi dio metode uvođenja nove varijable, odnosno na obrnutu zamjenu. Nakon izvođenja obrnute supstitucije, dobivamo dvije jednadžbe x 2 +3 x=−1 i x 2 +3 x=−3 , koje se mogu prepisati kao x 2 +3 x+1=0 i x 2 +3 x+3 =0. Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe nalazimo korijene prve jednadžbe. A druga kvadratna jednadžba nema realne korijene, jer je njezina diskriminanta negativna (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Odgovor:

Općenito, kada imamo posla s cijelim jednadžbama visokih stupnjeva, uvijek moramo biti spremni potražiti nestandardnu ​​metodu ili umjetnu tehniku ​​za njihovo rješavanje.

Rješenje razlomačko racionalnih jednadžbi

Prvo, bit će korisno razumjeti kako riješiti frakcijsko racionalne jednadžbe oblika , gdje su p(x) i q(x) racionalni cjelobrojni izrazi. A zatim ćemo pokazati kako svesti rješenje preostalih razlomačko racionalnih jednadžbi na rješenje jednadžbi navedenog oblika.

Jedan od pristupa rješavanju jednadžbe temelji se na sljedećoj tvrdnji: brojčani ulomak u/v, gdje je v broj različit od nule (inače ćemo naići na , koji nije definiran), jednak je nuli ako i samo ako njegov brojnik jednak nuli, tada je, ako i samo ako je u=0 . Na temelju ove tvrdnje, rješenje jednadžbe se svodi na ispunjenje dva uvjeta p(x)=0 i q(x)≠0 .

Ovaj zaključak je u skladu sa sljedećim algoritam za rješavanje frakciono racionalne jednadžbe. Za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe oblika

• riješiti cijelu racionalnu jednadžbu p(x)=0 ;
• te provjeriti da li je za svaki pronađeni korijen zadovoljen uvjet q(x)≠0, dok
• ako je točno, onda je ovaj korijen korijen izvorne jednadžbe;
• ako nije, onda je taj korijen tuđi, odnosno nije korijen izvorne jednadžbe.

Analizirajmo primjer korištenja glasovnog algoritma pri rješavanju frakcijske racionalne jednadžbe.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Odluka.

Ovo je razlomačka racionalna jednadžba oblika , gdje je p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Prema algoritmu za rješavanje frakciono racionalnih jednadžbi ove vrste, prvo trebamo riješiti jednadžbu 3·x−2=0 . Ovo je linearna jednadžba čiji je korijen x=2/3 .

Preostaje provjeriti postoji li taj korijen, odnosno provjeriti zadovoljava li uvjet 5·x 2 −2≠0 . Zamijenimo broj 2/3 umjesto x u izraz 5 x 2 −2, dobivamo . Uvjet je ispunjen, pa je x=2/3 korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor:

2/3 .

Rješenju razlomljene racionalne jednadžbe može se pristupiti s malo drugačije pozicije. Ova jednadžba je ekvivalentna cijeloj jednadžbi p(x)=0 na varijabli x izvorne jednadžbe. To jest, možete pratiti ovo algoritam za rješavanje frakciono racionalne jednadžbe :

• riješiti jednadžbu p(x)=0 ;
• pronaći ODZ varijablu x ;
• uzmite korijene koji pripadaju području dopuštenih vrijednosti - oni su željeni korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Na primjer, riješimo razlomljenu racionalnu jednadžbu pomoću ovog algoritma.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Odluka.

Prvo rješavamo kvadratnu jednadžbu x 2 −2·x−11=0 . Njegovi korijeni se mogu izračunati pomoću formule za korijen parnog drugog koeficijenta, koju imamo D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, i .

Drugo, nalazimo ODZ varijable x za izvornu jednadžbu. Sastoji se od svih brojeva za koje je x 2 +3 x≠0 , što je isto x (x+3)≠0 , odakle je x≠0 , x≠−3 .

Ostaje provjeriti jesu li korijeni pronađeni u prvom koraku uključeni u ODZ. Očito da. Prema tome, izvorna frakciono racionalna jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Imajte na umu da je ovaj pristup isplativiji od prvog ako se ODZ lako nalazi, a posebno je koristan ako su korijeni jednadžbe p(x)=0 iracionalni, na primjer, ili racionalni, ali s prilično velikim brojnik i/ili nazivnik, na primjer, 127/1101 i -31/59 . To je zbog činjenice da će u takvim slučajevima provjera uvjeta q(x)≠0 zahtijevati značajne računalne napore, a lakše je isključiti vanjske korijene iz ODZ-a.

U ostalim slučajevima, pri rješavanju jednadžbe, posebno kada su korijeni jednadžbe p(x)=0 cijeli brojevi, povoljnije je koristiti prvi od gornjih algoritama. Odnosno, preporučljivo je odmah pronaći korijene cijele jednadžbe p(x)=0 , a zatim provjeriti je li za njih zadovoljen uvjet q(x)≠0, a ne pronaći ODZ, a zatim riješiti jednadžbu p(x)=0 na ovom ODZ . To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše izvršiti provjeru nego pronaći ODZ.

Razmotrite rješenje dvaju primjera za ilustraciju navedenih nijansi.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Odluka.

Prvo nalazimo korijene cijele jednadžbe (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, sastavljen pomoću brojnika razlomka. Lijeva strana ove jednadžbe je umnožak, a desna je nula, stoga je prema metodi rješavanja jednadžbi faktorizacijom ova jednadžba ekvivalentna skupu od četiri jednadžbe 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tri od ovih jednadžbi su linearne, a jedna je kvadratna, možemo ih riješiti. Iz prve jednadžbe nalazimo x=1/2, iz druge - x=6, iz treće - x=7, x=−2, iz četvrte - x=−1.

Uz pronađene korijene, prilično ih je lako provjeriti da li nazivnik razlomka koji se nalazi na lijevoj strani izvorne jednadžbe ne nestaje, a nije tako lako odrediti ODZ, budući da će to morati riješiti algebarska jednadžba petog stupnja. Stoga ćemo odbiti pronaći ODZ u korist provjere korijena. Da bismo to učinili, zamijenimo ih redom umjesto varijable x u izrazu x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, dobivenih nakon supstitucije, i usporedite ih s nulom: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Dakle, 1/2, 6 i −2 su željeni korijeni izvorne frakcijsko racionalne jednadžbe, a 7 i −1 su vanjski korijeni.

Odgovor:

1/2 , 6 , −2 .

Primjer.

Pronađite korijene razlomljene racionalne jednadžbe.

Odluka.

Prvo nalazimo korijene jednadžbe (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Ova jednadžba je ekvivalentna skupu od dvije jednadžbe: kvadratnoj 5·x 2 −7·x−1=0 i linearnoj x−2=0 . Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe nalazimo dva korijena, a iz druge jednadžbe imamo x=2.

Provjera nestaje li nazivnik pri pronađenim vrijednostima x prilično je neugodna. A odrediti raspon prihvatljivih vrijednosti varijable x u izvornoj jednadžbi prilično je jednostavno. Stoga ćemo djelovati preko ODZ-a.

U našem slučaju ODZ varijable x izvorne razlomljene racionalne jednadžbe čine svi brojevi osim onih za koje je zadovoljen uvjet x 2 +5·x−14=0. Korijeni ove kvadratne jednadžbe su x=−7 i x=2, iz čega zaključujemo o ODZ: sastoji se od svih x takvih da je .

Ostaje provjeriti pripadaju li pronađeni korijeni i x=2 području dopuštenih vrijednosti. Korijeni - pripadaju, dakle, oni su korijeni izvorne jednadžbe, a x=2 ne pripada, dakle, radi se o stranom korijenu.

Odgovor:

Također će biti korisno posebno se zadržati na slučajevima kada frakcijska racionalna jednadžba oblika sadrži broj u brojniku, odnosno kada je p (x) predstavljen nekim brojem. pri čemu

• ako je taj broj različit od nule, tada jednadžba nema korijena, budući da je razlomak nula ako i samo ako je njegov brojnik nula;
• ako je taj broj nula, tada je korijen jednadžbe bilo koji broj iz ODZ.

Primjer.

Odluka.

Budući da u brojniku razlomka na lijevoj strani jednadžbe postoji broj različit od nule, ni za jedan x vrijednost ovog razlomka ne može biti jednaka nuli. Stoga ova jednadžba nema korijena.

Odgovor:

bez korijena.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Odluka.

Brojnik razlomka na lijevoj strani ove frakcijske racionalne jednadžbe je nula, tako da je vrijednost ovog razlomka nula za bilo koji x za koji ima smisla. Drugim riječima, rješenje ove jednadžbe je bilo koja vrijednost x iz DPV ove varijable.

Ostaje odrediti ovaj raspon prihvatljivih vrijednosti. Uključuje sve takve vrijednosti x za koje je x 4 +5 x 3 ≠0. Rješenja jednadžbe x 4 +5 x 3 \u003d 0 su 0 i −5, budući da je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi x 3 (x + 5) \u003d 0, a ona je zauzvrat ekvivalentna kombinaciji dviju jednadžbi x 3 \u003d 0 i x +5=0 , odakle su ti korijeni vidljivi. Prema tome, željeni raspon prihvatljivih vrijednosti je bilo koji x, osim za x=0 i x=−5.

Dakle, frakciono racionalna jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, koja su bilo koji brojevi osim nula i minus pet.

Odgovor:

Konačno, vrijeme je da razgovaramo o rješavanju proizvoljnih frakcijskih racionalnih jednadžbi. Mogu se napisati kao r(x)=s(x) , gdje su r(x) i s(x) racionalni izrazi, a barem jedan od njih je razlomački. Gledajući unaprijed, kažemo da se njihovo rješenje svodi na rješavanje jednadžbi oblika koji nam je već poznat.

Poznato je da prijenos člana iz jednog dijela jednadžbe u drugi sa suprotnim predznakom dovodi do ekvivalentne jednadžbe, pa je jednadžba r(x)=s(x) ekvivalentna jednadžbi r(x)−s (x)=0.

Također znamo da bilo koji može biti identički jednak ovom izrazu. Dakle, uvijek možemo transformirati racionalni izraz na lijevoj strani jednadžbe r(x)−s(x)=0 u identično jednak racionalni razlomak oblika .

Dakle, idemo od izvorne frakcijske racionalne jednadžbe r(x)=s(x) do jednadžbe , a njezino rješenje, kao što smo saznali gore, svodi se na rješavanje jednadžbe p(x)=0 .

Ali ovdje je potrebno uzeti u obzir činjenicu da se pri zamjeni r(x)−s(x)=0 s , a zatim s p(x)=0 , raspon dopuštenih vrijednosti varijable x može proširiti .

Dakle, izvorna jednadžba r(x)=s(x) i jednadžba p(x)=0 , do koje smo došli, možda nisu ekvivalentne, a rješavanjem jednadžbe p(x)=0 možemo dobiti korijene to će biti vanjski korijeni izvorne jednadžbe r(x)=s(x) . Moguće je identificirati i ne uključiti strane korijene u odgovor, bilo provjerom, bilo provjerom njihove pripadnosti ODZ-u izvorne jednadžbe.

Sažimamo ove podatke u algoritam za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe r(x)=s(x). Za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe r(x)=s(x) , potrebno je

• Dobijte nulu s desne strane pomicanjem izraza s desne strane sa suprotnim predznakom.
• Izvršite radnje s razlomcima i polinomima na lijevoj strani jednadžbe, čime ga pretvarate u racionalni razlomak oblika.
• Riješite jednadžbu p(x)=0 .
• Identificirati i isključiti strane korijene, što se radi njihovom zamjenom u izvornu jednadžbu ili provjerom njihove pripadnosti ODZ-u izvorne jednadžbe.

Radi veće jasnoće prikazat ćemo cijeli lanac rješavanja razlomljenih racionalnih jednadžbi:
.

Prođimo kroz rješenja nekoliko primjera s detaljnim objašnjenjem rješenja kako bismo pojasnili navedeni blok informacija.

Primjer.

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu.

Odluka.

Postupit ćemo u skladu s upravo dobivenim algoritmom rješenja. I prvo prenesemo članove s desne strane jednadžbe na lijevu stranu, kao rezultat prelazimo na jednadžbu.

U drugom koraku trebamo pretvoriti razlomački racionalni izraz na lijevoj strani dobivene jednadžbe u oblik razlomka. Da bismo to učinili, izvodimo svođenje racionalnih razlomaka na zajednički nazivnik i pojednostavljujemo dobiveni izraz: . Tako dolazimo do jednadžbe.

U sljedećem koraku trebamo riješiti jednadžbu −2·x−1=0 . Nađi x=−1/2 .

Preostaje provjeriti je li pronađeni broj −1/2 strani korijen izvorne jednadžbe. Da biste to učinili, možete provjeriti ili pronaći ODZ varijablu x izvorne jednadžbe. Pokažimo oba pristupa.

Počnimo s provjerom. Umjesto varijable x u izvornu jednadžbu zamijenimo broj −1/2, dobijemo , što je isto, −1=−1. Zamjena daje točnu numeričku jednakost, stoga je x=−1/2 korijen izvorne jednadžbe.

Sada ćemo pokazati kako se posljednji korak algoritma izvodi kroz ODZ. Raspon dopuštenih vrijednosti izvorne jednadžbe je skup svih brojeva osim −1 i 0 (kada je x=−1 i x=0, nazivnici razlomaka nestaju). Korijen x=−1/2 pronađen u prethodnom koraku pripada ODZ, stoga je x=−1/2 korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor:

−1/2 .

Razmotrimo još jedan primjer.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Odluka.

Trebamo riješiti frakciono racionalnu jednadžbu, prođimo kroz sve korake algoritma.

Prvo prenesemo izraz s desne strane na lijevu, dobijemo .

Drugo, transformiramo izraz formiran na lijevoj strani: . Kao rezultat dolazimo do jednadžbe x=0 .

Njegov korijen je očigledan - on je nula.

U četvrtom koraku preostaje otkriti nije li pronađeni korijen vanjski za izvornu frakcijsko racionalnu jednadžbu. Kada se zamijeni u izvornoj jednadžbi, dobije se izraz. Očito nema smisla jer sadrži dijeljenje s nulom. Otuda zaključujemo da je 0 vanjski korijen. Dakle, izvorna jednadžba nema korijena.

7, što dovodi do jednadžbe. Iz ovoga možemo zaključiti da izraz u nazivniku lijeve strane mora biti jednak s desne strane, odnosno . Sada od oba dijela trojke oduzimamo: . Po analogiji, odakle, i dalje.

Provjera pokazuje da su oba pronađena korijena korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Odgovor:

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. razred: udžbenik. za opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Cjelobrojni izraz je matematički izraz sastavljen od brojeva i literalnih varijabli koristeći operacije zbrajanja, oduzimanja i množenja. Cijeli brojevi također uključuju izraze koji uključuju dijeljenje s nekim drugim brojem osim nule.

Pojam frakcijskog racionalnog izraza

Razlomak je matematički izraz koji, osim operacija zbrajanja, oduzimanja i množenja koje se izvode s brojevima i doslovnim varijablama, te dijeljenja brojem koji nije jednak nuli, sadrži i dijeljenje na izraze s doslovnim varijablama.

Racionalni izrazi su svi cijeli brojevi i frakcijski izrazi. Racionalne jednadžbe su jednadžbe čija su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijevi i desni dio cjelobrojni izrazi, onda se takva racionalna jednadžba naziva cijelim brojem.

Ako su u racionalnoj jednadžbi lijevi ili desni dio razlomački izrazi, tada se takva racionalna jednadžba naziva razlomačkom.

Primjeri razlomačkih racionalnih izraza

1.x-3/x=-6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Shema za rješavanje razlomljene racionalne jednadžbe

1. Nađite zajednički nazivnik svih razlomaka koji su uključeni u jednadžbu.

2. Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom.

3. Riješite dobivenu cijelu jednadžbu.

4. Provjerite korijene i isključite one koji zajednički nazivnik pretvaraju u nulu.

Budući da rješavamo razlomljene racionalne jednadžbe, bit će varijable u nazivnicima razlomaka. Dakle, bit će u zajedničkom nazivniku. A u drugom odlomku algoritma množimo zajedničkim nazivnikom, tada se mogu pojaviti strani korijeni. Pri čemu će zajednički nazivnik biti jednak nuli, što znači da će množenje njime biti besmisleno. Stoga na kraju svakako provjerite dobivene korijene.

Razmotrite primjer:

Riješite razlomljenu racionalnu jednadžbu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Držat ćemo se opće sheme: prvo pronađemo zajednički nazivnik svih razlomaka. Dobivamo x*(x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite dobivenu cijelu jednadžbu.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Pojednostavimo dobivenu jednadžbu. Dobivamo:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Dobili smo jednostavnu reduciranu kvadratnu jednadžbu. Rješavamo ga bilo kojom od poznatih metoda, dobivamo korijene x=-2 i x=5.

Sada provjeravamo dobivena rješenja:

Zamijenimo brojeve -2 i 5 u zajedničkom nazivniku. Pri x=-2, zajednički nazivnik x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. Dakle, broj -2 će biti korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Pri x=5, zajednički nazivnik x*(x-5) postaje nula. Stoga ovaj broj nije korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe, jer će postojati dijeljenje s nulom.