Poruka o tome što su brojevi. Koje su vrste brojeva, pojmovi i operacije

Cijeli brojevi

Brojevi koji se koriste pri brojanju nazivaju se prirodnim brojevima. Na primjer, $1,2,3$ itd. Prirodni brojevi tvore skup prirodnih brojeva koji se označava sa $N$. Ovaj zapis dolazi od latinske riječi naturalis- prirodni.

Suprotni brojevi

Definicija 1

Ako se dva broja razlikuju samo predznakom, u matematici se nazivaju suprotni brojevi.

Na primjer, brojevi $5$ i $-5$ su suprotni brojevi, jer razlikuju samo u predznacima.

Napomena 1

Za svaki broj postoji suprotan broj, štoviše, samo jedan.

Napomena 2

Nula je sama sebi suprotnost.

Cijeli brojevi

Definicija 2

cijeli prirodni brojevi, njima suprotni brojevi i nula nazivaju se brojevima.

Skup cijelih brojeva uključuje skup prirodnih brojeva i njihove suprotnosti.

Označimo cijele brojeve $Z.$

Razlomački brojevi

Brojevi oblika $\frac(m)(n)$ nazivaju se razlomci ili frakcijski brojevi. Također, razlomačke brojeve možemo pisati u decimalnom zapisu, tj. u obliku decimala.

Na primjer: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ itd.

Kao i cijeli brojevi, razlomački brojevi mogu biti pozitivni ili negativni.

Racionalni brojevi

Definicija 3

Racionalni brojevi je skup brojeva koji sadrži skup cijelih i razlomačkih brojeva.

Bilo koji racionalni broj, cijeli ili razlomak, može se predstaviti kao razlomak $\frac(a)(b)$, gdje je $a$ cijeli broj, a $b$ prirodan broj.

Stoga se isti racionalni broj može napisati na različite načine.

Na primjer,

To pokazuje da se bilo koji racionalni broj može prikazati kao konačni decimalni razlomak ili beskonačni decimalni periodični razlomak.

Skup racionalnih brojeva je označen sa $Q$.

Kao rezultat izvođenja bilo koje aritmetičke operacije na racionalnim brojevima, rezultirajući odgovor bit će racionalan broj. To se lako dokazuje, jer se pri zbrajanju, oduzimanju, množenju i dijeljenju običnih razlomaka dobiva obični razlomak

Iracionalni brojevi

U tijeku proučavanja kolegija matematike često se susrećemo s rješavanjem brojeva koji nisu racionalni.

Na primjer, da bismo provjerili postojanje skupa neracionalnih brojeva, rješavamo jednadžbu $x^2=6$. Korijeni te jednadžbe su brojevi $\surd 6$ i -$\surd 6$. Ovi brojevi neće biti racionalni.

Također, pri pronalaženju dijagonale kvadrata sa stranicom $3$, primjenom Pitagorinog poučka, dobivamo da će dijagonala biti jednaka $\surd 18$. Ovaj broj također nije racionalan.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalan.

Dakle, iracionalan broj se naziva beskonačni decimalni neperiodični razlomak.

Jedan od najčešćih iracionalnih brojeva je broj $\pi $

Prilikom izvođenja aritmetičkih operacija s iracionalnim brojevima, dobiveni rezultat može biti i racionalan i iracionalan broj.

To ćemo dokazati na primjeru nalaženja umnoška iracionalnih brojeva. Pronađimo:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Odluka

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Ovaj primjer pokazuje da rezultat može biti ili racionalan ili iracionalan broj.

Ako su u aritmetičkim operacijama istovremeno uključeni racionalni i iracionalni brojevi, tada će rezultat biti iracionalan broj (osim, naravno, množenja s $0$).

Realni brojevi

Skup realnih brojeva je skup koji sadrži skup racionalnih i iracionalnih brojeva.

Skup realnih brojeva označavamo s $R$. Simbolično se skup realnih brojeva može označiti s $(-?;+?).$

Ranije smo rekli da se beskonačni decimalni neperiodični razlomak naziva iracionalnim brojem, a svaki racionalni broj može se prikazati kao konačni decimalni razlomak ili beskonačni decimalni periodični razlomak, tako da će svaki konačni i beskonačni decimalni razlomak biti realan broj.

Pri izvođenju algebarskih operacija slijedit će se sljedeća pravila

pri množenju i dijeljenju pozitivnih brojeva, dobiveni broj će biti pozitivan
pri množenju i dijeljenju negativnih brojeva, dobiveni će broj biti pozitivan
pri množenju i dijeljenju negativnih i pozitivnih brojeva dobiveni će broj biti negativan

Realni brojevi se također mogu međusobno uspoređivati.

Pojam realnog broja: pravi broj- (realni broj), bilo koji nenegativan ili negativan broj ili nula. Uz pomoć realnih brojeva izrazite mjerenja svake fizikalne veličine.

stvaran, ili pravi broj nastao iz potrebe mjerenja geometrijskih i fizikalnih veličina svijeta. Osim toga, za izvođenje operacija vađenja korijena, izračunavanja logaritma, rješavanja algebarskih jednadžbi itd.

Prirodni brojevi nastali su razvojem brojanja, a racionalni brojevi potrebom upravljanja dijelovima cjeline, zatim se realni brojevi (realni) koriste za mjerenje kontinuiranih veličina. Tako je širenje fonda brojeva koji se razmatraju dovelo do skupa realnih brojeva, koji se osim racionalnih brojeva sastoji i od drugih elemenata tzv. iracionalni brojevi.

Skup realnih brojeva(označeno R) su skupovi racionalnih i iracionalnih brojeva zajedno.

Realni brojevi su podijeljeni saracionalan i iracionalan.

Skup realnih brojeva označava se i često naziva stvaran ili brojevni pravac. Realni brojevi se sastoje od jednostavnih objekata: cijeli i racionalni brojevi.

Broj koji se može napisati kao omjer, gdjem je cijeli broj, i nje prirodan brojracionalni broj.

Bilo koji racionalni broj može se lako prikazati kao konačni razlomak ili beskonačni periodični decimalni razlomak.

Primjer,

Beskonačna decimala, je decimalni razlomak koji ima beskonačan broj znamenki iza decimalne točke.

Brojevi koji se ne mogu prikazati kakvi jesu iracionalni brojevi.

Primjer:

Bilo koji iracionalan broj lako je predstaviti kao beskonačni neperiodični decimalni razlomak.

Primjer,

Racionalni i iracionalni brojevi stvaraju skup realnih brojeva. Svi realni brojevi odgovaraju jednoj točki na koordinatnoj liniji koja se naziva brojevni pravac.

Za numeričke skupove koristi se sljedeća oznaka:

N- skup prirodnih brojeva;
Z- skup cijelih brojeva;
Q- skup racionalnih brojeva;
R je skup realnih brojeva.

Teorija beskonačnih decimalnih razlomaka.

Realni broj je definiran kao beskonačna decimalna, tj.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

gdje je ± jedan od simbola + ili −, znak broja,

a 0 je pozitivan cijeli broj,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… je niz decimalnih mjesta, tj. elementi numeričkog skupa {0,1,…9}.

Beskonačni decimalni razlomak može se objasniti kao broj koji se nalazi na brojevnoj liniji između racionalnih točaka kao što je:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n i ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) za sve n=0,1,2,…

Usporedba realnih brojeva kao beskonačnih decimalnih razlomaka događa se malo po malo. Na primjer, pretpostavimo da su dana 2 pozitivna broja:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Ako a a 0 0, zatim α<β ; ako a0 >b0 zatim α>β . Kada a 0 = b 0 Prijeđimo na usporedbu sljedeće razine. itd. Kada α≠β , pa će se nakon konačnog broja koraka naići na prvu znamenku n, tako da a n ≠ b n. Ako a a n n, onda α<β ; ako a n > b n zatim α>β .

Ali u isto vrijeme, zamorno je obraćati pozornost na činjenicu da broj a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Dakle, ako je zapis nekog od uspoređivanih brojeva, počevši od određene znamenke, periodični decimalni razlomak, koji u točki ima 9, tada se mora zamijeniti ekvivalentnim zapisom, s nulom u točki.

Aritmetičke operacije s beskonačnim decimalnim razlomcima kontinuirani su nastavak odgovarajućih operacija s racionalnim brojevima. Na primjer, zbroj realnih brojeva α i β je realan broj α+β , koji zadovoljava sljedeće uvjete:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′′)∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Slično definira operaciju množenja beskonačnih decimalnih razlomaka.

Znamenke u zapisu višeznamenkastih brojeva podijeljene su s desna na lijevo u skupine od po tri znamenke. Ove grupe se nazivaju klase. U svakoj klasi, brojevi s desna na lijevo predstavljaju jedinice, desetice i stotine te klase:

Prvi razred s desne strane zove se razred jedinice, drugi - tisuću, treći - milijuna, Četvrta - milijardi kuna, peti - bilijun, šesti - kvadrilijun, sedmi - kvintilijun, osmi - sextillions.

Radi lakšeg čitanja unosa višeznamenkastog broja, između klasa je ostavljen mali razmak. Na primjer, za čitanje broja 148951784296 odabiremo klase u njemu:

i pročitajte broj jedinica svake klase s lijeva na desno:

148 milijardi 951 milijun 784 tisuće 296.

Kada se čita razred jedinica, riječ jedinica obično se ne dodaje na kraju.

Svaka znamenka u zapisu višeznamenkastog broja zauzima određeno mjesto – poziciju. Poziva se mjesto (pozicija) u zapisu broja na kojemu stoji znamenka pražnjenje.

Znamenke se broje s desna na lijevo. To jest, prva znamenka s desne strane u unosu broja naziva se prva znamenka, druga znamenka s desne strane je druga znamenka itd. Na primjer, u prvoj klasi broja 148 951 784 296, broj 6 je prva znamenka, 9 je druga znamenka, 2 - znamenka treće znamenke:

Zovu se i jedinice, desetice, stotine, tisućice itd bitne jedinice:
jedinice se nazivaju jedinice 1. kategorije (ili jednostavne jedinice)
desetice nazivamo jedinicama 2. znamenke
stotine se nazivaju jedinicama 3. kategorije itd.

Zovu se sve jedinice osim prostih jedinica sastavne jedinice. Dakle, tucet, sto, tisuću itd. su sastavne jedinice. Svakih 10 jedinica bilo kojeg ranga je jedna jedinica sljedećeg (višeg) ranga. Na primjer, sto sadrži 10 desetica, tucet - 10 jednostavnih jedinica.

Svaka sastavna jedinica u usporedbi s drugom jedinicom koja je manja od naziva jedinica najviše kategorije, a u usporedbi s jedinicom većom nego što se zove jedinica najnižeg ranga. Na primjer, sto je viša jedinica u odnosu na deset i niža jedinica u odnosu na tisuću.

Da biste saznali koliko jedinica bilo koje znamenke ima u broju, morate odbaciti sve znamenke koje označavaju jedinice nižih znamenki i pročitati broj izražen preostalim znamenkama.

Na primjer, želite znati koliko stotina ima broj 6284, tj. koliko stotina ima u tisućama i stotinama ovog broja zajedno.

U broju 6284 broj 2 je na trećem mjestu u razredu jedinica, što znači da u broju postoje dvije proste stotine. Sljedeći broj lijevo je 6, što znači tisuće. Kako svaka tisućica sadrži 10 stotica, u 6 tisuća ih je 60. Ukupno, dakle, ovaj broj sadrži 62 stotice.

Broj 0 u bilo kojoj kategoriji znači nepostojanje jedinica u ovoj kategoriji. Na primjer, broj 0 na mjestu desetica označava odsutnost desetica, na mjestu stotina - odsutnost stotina itd. Na mjestu gdje stoji 0 ništa se ne izgovara kada se čita broj:

172 526 - sto sedamdeset dvije tisuće petsto dvadeset šest.
102026 - sto dvije tisuće dvadeset i šest.

Intuitivna ideja o broju stara je koliko i samo čovječanstvo, iako je u načelu nemoguće sa sigurnošću pratiti sve rane faze njegova razvoja. Prije nego što je osoba naučila brojati ili izmislila riječi za brojeve, nedvojbeno je posjedovala vizualnu, intuitivnu predodžbu o broju, koja mu je omogućila da razlikuje jednu osobu od dvije osobe, ili dvije i mnogo osoba. Da su primitivni ljudi u početku poznavali samo "jedno", "dva" i "mnogo", potvrđuje činjenica da u nekim jezicima, na primjer u grčkom, postoje tri gramatička oblika: jednina, dvojina i množina. Kasnije je čovjek naučio razlikovati između dva i tri drveta i između tri i četiri osobe. Brojanje je izvorno bilo povezano s vrlo specifičnim skupom predmeta, a prvi nazivi brojeva bili su pridjevi. Na primjer, riječ "tri" korištena je samo u kombinacijama "tri stabla" ili "tri osobe"; ideja da ti skupovi imaju nešto zajedničko - koncept trojstva - zahtijeva visok stupanj apstrakcije. Da brojanje prethodi ovoj razini apstrakcije dokazuje činjenica da riječi "jedan" i "prvi", kao i "dva" i "drugi", nemaju ništa zajedničko u mnogim jezicima, dok "jedan", "dva" , “mnogo”, riječi “tri” i “treći”, “četiri” i “četvrti”, koje leže izvan primitivnog brojanja, jasno ukazuju na odnos između kardinalnih i rednih brojeva.

Imena brojeva, koja izražavaju vrlo apstraktne ideje, nesumnjivo su se pojavila kasnije od prvih grubih simbola za označavanje broja objekata u određenoj populaciji. U davna vremena primitivni numerički zapisi pravljeni su u obliku zareza na štapiću, čvorova na užetu, poslaganih u niz kamenčića, a podrazumijevalo se da postoji korespondencija jedan prema jedan između elemenata skup koji se broji i simboli numeričkog zapisa. Ali za čitanje takvih numeričkih zapisa nisu se izravno koristila imena brojeva. Sada na prvi pogled prepoznajemo skupove od dva, tri i četiri elementa; skupove koji se sastoje od pet, šest ili sedam elemenata nešto je teže prepoznati na prvi pogled. I izvan te granice, njihov broj je praktički nemoguće na oko utvrditi, te je analiza potrebna ili u obliku računa, ili u određenom strukturiranju elemenata. Čini se da je brojanje pločica bila prva tehnika korištena u takvim slučajevima: zarezi na pločicama bili su raspoređeni u određene skupine, baš kao što se kod prebrojavanja listića često grupiraju u pakete od pet ili deset. Brojanje na prste bilo je vrlo rašireno, a sasvim je moguće da nazivi nekih brojeva potječu upravo od ovog načina brojanja.

Važna značajka računa je veza imena brojeva s određenom shemom brojanja. Na primjer, riječ “dvadeset i tri” nije samo pojam koji označava dobro definiranu (po broju elemenata) skupinu objekata; to je složeni izraz koji znači "dva puta deset i tri". Ovdje je jasno vidljiva uloga broja deset kao skupne jedinice ili temelja; i doista, mnogi ljudi broje na desetke, jer, kao što je Aristotel primijetio, imamo deset prstiju na rukama i nogama. Iz istog razloga korištene su baze pet ili dvadeset. U vrlo ranim fazama razvoja ljudske povijesti, brojevi 2, 3 ili 4 uzeti su kao osnova brojevnog sustava; ponekad su se baze 12 i 60 koristile za neka mjerenja ili izračune.

Čovjek je počeo brojati mnogo prije nego što je naučio pisati, pa nisu sačuvani pisani dokumenti koji svjedoče o riječima koje su u davna vremena označavale brojeve. Za nomadska plemena karakteristična su usmena imena brojeva, što se tiče pisanih, potreba za njima pojavila se tek prijelazom na naseljeni način života, formiranjem poljoprivrednih zajednica. Postojala je i potreba za sustavom za bilježenje brojeva i tada su postavljeni temelji za razvoj matematike.

Osnovne vrste brojeva

Za razliku od oktava, sedenioni S nemaju svojstvo alternativnosti, ali zadržavaju svojstvo asocijativnosti moći.

Za predstavljanje pozitivnog cijelog broja x u memoriji računala, on se pretvara u binarni brojevni sustav. Rezultirajući binarni broj x 2 strojni je zapis odgovarajućeg decimalnog broja x 10 . Za pisanje negativnih brojeva, tzv. dodatni kod broja, koji se dobiva dodavanjem jedinice obrnutom prikazu modula zadanog negativnog broja u binarnom brojevnom sustavu.

Predstavljanje realnih brojeva u memoriji računala (u računalnoj tehnologiji se za njihovo označavanje koristi izraz broj s pomičnim zarezom) ima neka ograničenja povezana s brojevnim sustavom koji se koristi, kao i ograničenom količinom memorije dodijeljene brojevima. Stoga se samo neki od stvarnih brojeva mogu točno prikazati u memoriji računala bez gubitka. U najčešćoj shemi, broj s pomičnim zarezom zapisan je kao blok bitova, od kojih su neki mantisa broja, neki su stupanj, a jedan bit se dodjeljuje da predstavlja znak broja (ako je potrebno, bit predznaka može biti odsutan).

Odredi točke na brojevnoj kružnici sa zadanom apscisom. Koordinate. Svojstvo koordinate točke. Središte brojevnog kruga. Od kruga do trigonometra. Pronađite točke na brojevnoj kružnici. Točke s apscisom. Trigonometar. Odaberite točku na kružnici brojeva. Brojevni krug na koordinatnoj ravnini. Brojevni krug. Točke s ordinatom. Imenuj koordinatu točke. Imenuj pravac i koordinatu točke.

""Izvodnice" Algebra 10. razreda" - Upotreba derivacije za proučavanje funkcija. Derivacija je nula. Pronađite bodove. Sažimamo informacije. Priroda monotonosti funkcije. Primjena izvoda na proučavanje funkcija. Teorijski trening. Dopuni tvrdnje. Odaberite točnu tvrdnju. Teorema. Usporedi. Derivacija je pozitivna. Usporedite tvrdnje teorema. Funkcija se povećava. Dovoljni uvjeti za ekstrem.

""Trigonometrijske jednadžbe" 10. razred" - Vrijednosti iz intervala. X \u003d tg x. Navedite korijene. Je li jednakost točna? niz korijena. Jednadžba ctg t = a. Definicija. Jer 4x. Pronađite korijene jednadžbe. Jednadžba tg t = a. Grijeh x. Ima li izraz smisla? Sinx=1. Nikad nemoj raditi ono što ne znaš. Nastavite rečenicu. Pogledajmo korijene. Riješite jednadžbu. Ctg x = 1. Trigonometrijske jednadžbe. Jednadžba.

"Algebra" Derivacije "" - Tangentna jednadžba. Podrijetlo pojmova. Za rješavanje zadatka. Izvedenica. Materijalna točka. Formule diferenciranja. Mehaničko značenje izvedenice. Kriteriji evaluacije. Derivacija funkcije. Tangenta na graf funkcije. Definicija izvedenice. Jednadžba tangente na graf funkcije. Algoritam za pronalaženje derivacije. Primjer nalaženja izvedenice. Struktura proučavanja teme. Točka se kreće pravocrtno.

"Najkraći put" - Put u digrafu. Primjer dva različita grafikona. Orijentirani grafovi. Primjeri usmjerenih grafova. Dohvatljivost. Najkraći put od čvora A do čvora D. Opis algoritma. Prednosti hijerarhijske liste. Ponderirani grafikoni. Put u grafikonu. Programski program. Susjedni vrhovi i bridovi. Verteksni stupanj. Matrica susjedstva. Duljina puta u ponderiranom grafu. Primjer matrice susjedstva. Traženje najkraćeg puta.

"Povijest trigonometrije" - Jacob Bernoulli. Tehnika rada s trigonometrijskim funkcijama. Učenje o mjerenju poliedra. Leonard Euler. Razvoj trigonometrije od 16. stoljeća do danas. Učenik se mora tri puta susresti s trigonometrijom. Do sada se formirala i razvijala trigonometrija. Izgradnja općeg sustava trigonometrijskih i srodnih znanja. Vrijeme prolazi, a trigonometrija se vraća školarcima.