Matematički modeli mnogih signala koji se široko koriste u radiotehnici ne zadovoljavaju uvjet apsolutne integrabilnosti, pa metoda Fourierove transformacije u svom uobičajenom obliku nije primjenjiva na njih. Međutim, kao što je istaknuto, može se govoriti o spektralnim gustoćama takvih signala, ako pretpostavimo da su te gustoće opisane generaliziranim funkcijama.

Generalizirana Rayleighova formula. Dokažimo važnu pomoćnu tvrdnju o spektralnim svojstvima signala.

Neka su dva signala u općem slučaju kompleksno vrijedna, definirana njihovim obrnute transformacije Fourier:

Nađimo skalarni proizvod ovi signali, izražavajući jedan od njih, na primjer, kroz njegovu spektralnu gustoću:

Ovdje je unutarnji integral očito spektralna gustoća signala. Zato

Rezultirajuća relacija je generalizirana Rayleighova formula. Tumačenje ove formule koje se lako pamti je sljedeće: skalarni umnožak dvaju signala, do koeficijenta, proporcionalan je skalarnom umnošku njihovih spektralnih gustoća.

Generalizacija pojma spektralne gustoće.

Pretpostavljamo da je signal apsolutno integrabilna funkcija. Tada je njegova Fourierova transformacija uobičajena klasična funkcija frekvencije. Neka, uz to, signal ne zadovoljava uvjet apsolutne integrabilnosti i Fourierova transformacija ne postoji u uobičajenom klasičnom smislu. Međutim, može se proširiti koncept spektralne gustoće pretpostavkom da je to generalizirana funkcija u smislu utvrđenom u § 1.2. Da bismo to učinili, u skladu s generaliziranom Rayleighovom formulom, dovoljno je pretpostaviti da je to funkcional koji, djelujući na poznatu funkciju, daje sljedeći rezultat:

Preporučljivo je razmotriti metode za izračunavanje spektra neintegrabilnih signala koristeći konkretne primjere.

Spektralna gustoća vremenski konstantnog signala. Najjednostavniji neintegrabilni signal je konstantno i . Pretpostavimo da je to proizvoljan realni apsolutno integrabilni signal s poznatom spektralnom gustoćom

Proširujući formulu (2.43), imamo

Ali, kao što je lako vidjeti,

Stoga, na temelju svojstva filtriranja delta funkcije, zaključujemo da je jednakost (2.43) moguća samo pod uvjetom da

Fizičko značenje dobivenog rezultata je jasno - vremenski nepromjenjivi signal ima spektralnu komponentu samo na nultoj frekvenciji.

Spektralna gustoća složenog eksponencijalnog signala.

Neka je kompleksni eksponencijalni signal sa zadanom stvarnom frekvencijom. Ovaj signal nije apsolutno integrabilan, budući da funkcija s(t) ne teži nikakvoj granici na . Fourierova transformacija ovog signala, promatrana u općenitom smislu, mora zadovoljiti odnos

Stoga se željena spektralna gustoća S (co) izražava na sljedeći način:

Imajte na umu sljedeće:

1. Spektralna gustoća kompleksnog eksponencijalnog signala svugdje je jednaka nuli, osim u točki gdje ima delta singularitet.

2. Spektar ovog signala je asimetričan oko točke i koncentriran je u području pozitivnih ili negativnih frekvencija.

Spektralna gustoća harmonijskih oscilacija. Neka Prema Eulerovoj formuli

Spektar složenog eksponencijalnog signala koji je gore nađen, kao i svojstvo linearnosti Fourierove transformacije, omogućuju nam da odmah napišemo izraz za spektralnu gustoću kosinusnog signala:

Čitatelj može sam lako provjeriti da je za sinusoidalni signal relacija

Treba primijetiti da je izraz (2.46) paran, a izraz (2.47) je paran neparna funkcija frekvencije.

Spektralna gustoća proizvoljnog periodičkog signala.

Prethodno su se periodični signali proučavali metodama teorije Fourierovih redova. Sada možete proširiti svoje razumijevanje njihovih spektralnih svojstava opisivanjem periodičnih signala pomoću Fourierove transformacije.

Periodički signal koji daje njegov Fourierov red u složeni oblik. Na temelju formule (2.45), uzimajući u obzir svojstvo linearnosti Fourierove transformacije, odmah dobivamo izraz za spektralnu gustoću takvog signala:

Odgovarajući graf spektralne gustoće u svojoj konfiguraciji ponavlja uobičajeni spektralni dijagram periodičkog signala. Graf čine delta impulsi u frekvencijskoj domeni koji se nalaze u točkama s koordinatama

Spektralna gustoća sklopne funkcije.

Izračunajmo spektralnu gustoću inkluzijske funkcije , koju zbog jednostavnosti definiramo u svim točkama, osim u točki t = 0 [usp. uz (1.2)]:

Prije svega, napominjemo da se funkcija uključivanja dobiva prelaskom na granicu iz eksponencijalnog video impulsa:

Stoga se može pokušati dobiti spektralna gustoća funkcije uključivanja prelaskom na granicu kao a - 0 u formuli za spektralnu gustoću eksponencijalne oscilacije:

Izravan prijelaz na granicu, prema kojoj vrijedi za sve frekvencije, osim za vrijednost , kada je potrebno pažljivije razmatranje.

Prije svega, odvajamo stvarni i imaginarni dio u spektralnoj gustoći eksponencijalnog signala:

Može se provjeriti da

Doista, granična vrijednost ovog razlomka nestaje za bilo koji, i u isto vrijeme

bez obzira na vrijednost a, iz koje slijedi tvrdnja.

Dakle, dobili smo korespondenciju jedan na jedan između funkcije uključivanja i njezine spektralne gustoće:

Delta singularnost na označava da funkcija uključivanja ima konstantnu komponentu jednaku 1/2.

Spektralna gustoća radiopulsa.

Kao što je poznato, radio-impuls je dan kao produkt nekog video-impulsa, koji igra ulogu ovojnice, i neintegrabilne harmonijske oscilacije: .

Da bismo pronašli spektralnu gustoću radiopulsa, pretpostavit ćemo poznata funkcija je spektar njegove ovojnice. Spektar kosinusnog signala s proizvoljnom početnom fazom dobiva se elementarnom generalizacijom formule (2.46):

Spektar radiopulsa je konvolucija

Uzimajući u obzir svojstvo filtriranja delta funkcije, dobivamo važan rezultat:

Riža. Slika 2.8 ilustrira transformaciju spektra video impulsa kada se on množi s visokofrekventnim harmonijskim signalom.

Riža. 2.8. Frekvencijske ovisnosti modula spektralne gustoće: a - video impuls; b - radio puls

Vidljivo je da prijelaz s video pulsa na radio puls u spektralnom pristupu znači prijenos spektra video pulsa u visokofrekventno područje - umjesto jednog maksimuma spektralne gustoće na , opažaju se dva maksimuma na apsolutne vrijednosti vrhovi su prepolovljeni.

Imajte na umu da su grafikoni na Sl. 2.8 odgovaraju situacijama u kojima frekvencija značajno premašuje efektivnu širinu spektra video impulsa (to je slučaj koji se obično provodi u praksi). U ovom slučaju nema vidljivog "preklapanja" spektara koji odgovaraju pozitivnim i negativnim frekvencijama. Međutim, može se ispostaviti da je propusnost spektra video impulsa toliko velika (za kratki impuls) da odabrana vrijednost frekvencije ne eliminira efekt "preklapanja". Kao posljedica toga, profili spektra video pulsa i radio pulsa prestaju biti slični.

Primjer 2.3. Spektralna gustoća pravokutnog radioimpulsa.

Radi jednostavnosti, početnu fazu postavljamo na nulu i pišemo matematički model radiopulsa u obliku

Poznavanje spektra odgovarajućeg video impulsa [vidi formula (2.20)], na temelju (2.50) nalazimo traženi spektar:

Na sl. 2.9 prikazuje rezultate izračuna spektralne gustoće pomoću formule (2.51) za dva karakteristična slučaja,

U prvom slučaju (sl. 2.9, a), impuls ovojnice sadrži 10 perioda visokofrekventnog punjenja, frekvencija je ovdje dovoljno visoka da se izbjegne "preklapanje". U drugom slučaju (sl. 2.9, b), radio puls se sastoji od samo jednog perioda punjenja.Superpozicija komponenata koje odgovaraju područjima pozitivnih i negativnih frekvencija dovodi do karakteristične asimetrije strukture latice grafa spektralna gustoća radio pulsa.

Riža. 2.9. Grafovi spektralnih gustoća radioimpulsa s pravokutnom ovojnicom: a - at ; b - na

U statističkoj radiotehnici i fizici, pri proučavanju determinističkih signala i slučajnih procesa, široko se koristi njihov spektralni prikaz u obliku spektralne gustoće, koji se temelji na Fourierovoj transformaciji.

Ako proces ima konačnu energiju i kvadratno je integrabilan (a to je nestacionaran proces), tada se za jednu implementaciju procesa Fourierova transformacija može definirati kao slučajna složena funkcija frekvencije:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . (\displaystyle X(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )x(t)e^(-i2\pi ft)dt.)

(1)

Međutim, pokazalo se da je gotovo beskorisno za opis ansambla. Izlaz iz ove situacije je odbacivanje nekih parametara spektra, naime spektra faza, i konstruiranje funkcije koja karakterizira raspodjelu energije procesa duž frekvencijske osi. Zatim, prema Parsevalovoj teoremi, energija

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X(f) | 2d f . (\displaystyle E_(x)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )|x(t)|^(2)dt=\int \limits _(-\infty )^(\infty ) |X(f)|^(2)df.)

(2)

Funkcija S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2)) tako karakterizira raspodjelu energije realizacije duž frekvencijske osi i naziva se spektralna gustoća realizacije. Usrednjavanjem ove funkcije za sve realizacije, može se dobiti spektralna gustoća procesa.

Okrenimo se sada široko stacionarnom stohastičkom procesu x (t) (\displaystyle x(t)), čije realizacije imaju beskonačnu energiju s vjerojatnošću 1 i stoga nemaju Fourierovu transformaciju. Spektralna gustoća snage takvog procesa može se pronaći na temelju Wiener-Khinchinove teoreme kao Fourierove transformacije korelacijske funkcije:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . (\displaystyle S_(x)(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau)e^(-i2\pi f\tau )d\tau .)

(3)

Ako postoji izravna transformacija, onda postoji i inverzna Fourierova transformacija, koja određuje iz poznatog k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . (\displaystyle k_(x)(\tau)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)e^(i2\pi f\tau )df.)

(4)

Ako u formulama (3) odnosno (4) pretpostavimo f = 0 (\displaystyle f=0) i τ = 0 (\displaystyle \tau =0), imamo

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , (\displaystyle S_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau )d\tau ,)

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . (\displaystyle \sigma _(x)^(2)=k_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)df.)

(6)

Formula (6), uzimajući u obzir (2), pokazuje da varijanca određuje ukupnu energiju stacionarnog slučajnog procesa, koja je jednaka površini ispod krivulje spektralne gustoće. Dimenzijska vrijednost S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df) može se tumačiti kao udio energije koncentriran u malom frekvencijskom području od f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2) prije f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Ako se razumije po x (t) (\displaystyle x(t)) slučajna (fluktuacijska) struja ili napon, zatim vrijednost S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) imat će dimenziju energije [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Zato S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) ponekad nazivaju energetski spektar. Često u literaturi možete pronaći drugo tumačenje: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))- smatra se prosječnom snagom koju oslobađa struja ili napon pri otporu od 1 ohma. Istovremeno, vrijednost S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) nazvao spektar snage slučajni proces.

Svojstva spektralne gustoće

• Energetski spektar stacionarnog procesa (stvarnog ili složenog) je nenegativna vrijednost:

S x (f) ≥ 0 (\displaystyle S_(x)(f)\geq 0).

(7)

• Energetski spektar stvarnog stacionara u širem smislu slučajnog procesa je stvarna i ravnomjerna funkcija frekvencije:

S x (− f) = S x (f) (\displaystyle S_(x)(-f)=S_(x)(f)).

(8)

1. Signali i spektri. Teorijske osnove digitalne komunikacije

1. Signali i spektri

1.1. Obrada signala u digitalnim komunikacijama

1.1.1. Zašto "digitalno"

Zašto u vojnim i komercijalnim komunikacijski sustavi koriste li se brojevi? Mnogo je razloga. Glavna prednost ovog pristupa je jednostavnost rekonstrukcije digitalnih signala u usporedbi s analognim. Razmotrite sl. 1.1, koji prikazuje idealni binarni digitalni impuls koji se širi kroz podatkovni kanal. Na valni oblik utječu dva glavna mehanizma: (1) budući da svi kanali i prijenosne linije imaju neidealan frekvencijski odziv, idealni puls je izobličen; i (2) neželjeni električni šum ili druge vanjske smetnje dodatno iskrivljuju valni oblik. Što je kanal duži, ti mehanizmi značajnije iskrivljuju impuls (Sl. 1.1). Dok se odaslani puls još uvijek može pouzdano otkriti (prije nego što degradira u dvosmisleno stanje), puls se pojačava digitalnim pojačalom, vraćajući njegov izvorni idealni oblik. Zamah se "ponovno rađa" ili obnavlja. Za oporavak signala odgovorni su regenerativni repetitori smješteni u komunikacijskom kanalu na određena udaljenost jedni od drugih.

Digitalni kanali manje su osjetljivi na izobličenje i smetnje od analognih kanala. Budući da binarni digitalni kanali proizvode smisleni signal samo kada rade u jednom od dva stanja - uključeno ili isključeno - smetnja mora biti dovoljno velika da pomakne radnu točku kanala iz jednog stanja u drugo. Posjedovanje samo dva stanja olakšava oporavak signala i stoga sprječava nakupljanje šuma ili drugih smetnji tijekom prijenosa. Analogni signali, s druge strane, nisu signali s dva stanja; mogu uzeti beskonačan broj oblicima. U analognim kanalima čak i mala smetnja može neprepoznatljivo iskriviti signal. Nakon što je analogni signal izobličen, smetnja se ne može ukloniti pojačavanjem. Budući da je nakupljanje šuma neraskidivo povezano s analognim signalima, kao rezultat toga, oni se ne mogu savršeno reproducirati. Uz digitalnu tehnologiju, vrlo niska stopa pogreške plus primjena postupaka otkrivanja i ispravljanja pogrešaka čine mogućom visoku vjernost signala. Ostaje samo napomenuti da takvi postupci nisu dostupni s analognim tehnologijama.

sl.1.1. Izobličenje i oporavak momenta

Postoje i druge važne prednosti digitalne komunikacije. Digitalni kanali su pouzdaniji i mogu se proizvesti po nižim cijenama od analognih kanala. Osim toga, digitalni softver dopušta više fleksibilna implementacija od analogne (npr. mikroprocesori, digitalna komutacija i integrirani sklopovi velikih razmjera (LSI)). Korištenje digitalnih signala i multipleksiranja s vremenskim dijeljenjem (TDM) jednostavnije je od analognih signala i multipleksiranja s frekvencijskim dijeljenjem (FDM). U prijenosu i komutaciji različite vrste digitalnih signala (podaci, telegraf, telefon, televizija) mogu se smatrati identičnima: na kraju krajeva, malo je malo. Osim toga, radi lakšeg prebacivanja i obrade, digitalne poruke mogu se grupirati u autonomne jedinice koje se nazivaju paketi. Digitalne tehnologije prirodno uključuju značajke koje štite od smetnji i potiskivanja signala ili pružaju enkripciju ili privatnost. (O takvim tehnologijama raspravlja se u poglavljima 12 i 14.) Osim toga, komunikacija se uglavnom odvija između dva računala ili između računala i digitalnih uređaja ili terminala. Takve digitalne terminale bolje (i prirodnije!) opslužuju digitalni komunikacijski kanali.

Koliko plaćamo za prednosti digitalnih komunikacijskih sustava? Digitalni sustavi zahtijevaju više obrade od analognih sustava. Uz to, digitalni sustavi zahtijevaju značajnu količinu resursa koji se alociraju za sinkronizaciju na različitim razinama (vidi Poglavlje 10). Analogne sustave, s druge strane, lakše je sinkronizirati. Još jedan nedostatak digitalnih komunikacijskih sustava je da je degradacija kvalitete granične prirode. Ako omjer signala i šuma padne ispod određenog praga, kvaliteta usluge može se iznenada promijeniti iz vrlo dobre u vrlo lošu. U analognim sustavima, međutim, degradacija se odvija lakše.

1.1.2. Tipični okvirni dijagram i osnovne transformacije

Funkcionalni blok dijagram prikazan na sl. 1.2 ilustrira širenje signala i korake obrade u tipičnom digitalnom komunikacijskom sustavu (DCS). Gornji blokovi - formatiranje, izvorno kodiranje, enkripcija, kanalno kodiranje, multipleksiranje, impulsna modulacija, pojasna modulacija, prošireni spektar i višestruki pristup - odražavaju transformacije signala na putu od izvora do odašiljača. Donji blokovi dijagrama su transformacije signala na putu od primatelja do primatelja informacije, i zapravo su suprotni gornjim blokovima. Jedinice za modulaciju i demodulaciju/detekciju zajednički se nazivaju modem. Izraz "modem" često kombinira nekoliko koraka obrade signala, prikazanih na sl. 1.2; u ovom slučaju, modem se može smatrati "mozgom" sustava. Odašiljač i prijamnik mogu se promatrati kao "mišići" sustava. Za bežične aplikacije, odašiljač se sastoji od kruga za povećanje radijske frekvencije (RF), pojačala snage i antene, a prijemnik se sastoji od antene i niskošumnog pojačala (LNA). Reverzna redukcija frekvencije izvodi se na izlazu prijemnika i/ili demodulatora.

Na sl. 1.2 ilustrira korespondenciju između blokova gornjeg (predajnog) i donjeg (prijemnog) dijela sustava. Koraci obrade signala koji se odvijaju u odašiljaču uglavnom su obrnuti od koraka u prijamniku. Na sl. 1.2 izvor informacija se pretvara u binarne znamenke (bitove); bitovi se zatim grupiraju u digitalne poruke ili znakove poruke. Svaki takav znak (gdje ) može se smatrati elementom konačne abecede koja sadrži M elementi. Stoga, za M=2 simbol poruke je binarni (tj. sastoji se od jednog bita). Iako se binarni znakovi mogu klasificirati kao M-ary (s M=2), obično naziv " M-ary" koristi se za slučajeve M>2; stoga se takvi simboli sastoje od niza od dva ili više bitova. (Usporedite sličnu konačnu abecedu DCS sustava s onim što imamo u analognim sustavima, gdje je signal poruke element beskonačnog skupa mogućih signala.) Za sustave koji koriste kodiranje kanala (kodovi za ispravljanje pogrešaka), niz simbola poruke je pretvoren u niz znakova simbola kanala), a svaki znak kanala označen je s . Budući da se simboli poruka ili simboli kanala mogu sastojati od jednog bita ili grupe bitova, niz takvih simbola naziva se tok bitova (slika 1.2).

Razmotrite ključne blokove obrade signala prikazane na sl. 1.2; za DCS sustave potrebni su samo koraci formatiranja, modulacije, demodulacije/detekcije i sinkronizacije.

Formatiranje pretvara izvorne informacije u bitove, čime se osigurava da su funkcije obrade informacija i signala kompatibilne s DCS sustavom. Od ove točke na slici pa sve do bloka impulsne modulacije, informacija ostaje u obliku toka bitova.

Riža. 1.2. Blok dijagram tipičnog digitalnog komunikacijskog sustava

Modulacija je proces kojim se simboli poruka ili simboli kanala (ako se koristi kodiranje kanala) pretvaraju u signale kompatibilne sa zahtjevima koje nameće podatkovni kanal. Impulsna modulacija još je jedan neophodan korak jer se svaki simbol koji treba prenijeti mora prvo pretvoriti iz binarne reprezentacije (razine napona predstavljaju binarne 0 i 1) u oblik uskopojasnog signala. Izraz "uskopojasni" (osnovni pojas) definira signal čiji spektar počinje od (ili blizu) konstantne komponente i završava s nekom konačnom vrijednošću (obično, ne više od nekoliko megaherca). PCM blok tipično uključuje filtriranje kako bi se smanjila širina pojasa prijenosa. Kada se pulsna modulacija primijeni na binarne simbole, rezultirajući binarni signal naziva se PCM (pulsno-kodna modulacija) kodirani signal. Postoji nekoliko vrsta PCM signala (opisano u poglavlju 2); u telefonskim aplikacijama ti se signali često nazivaju kodovi kanala. Kada se impulsna modulacija primjenjuje na nebinarne simbole, rezultirajući signal se naziva M-ary pulsno moduliran. Postoji nekoliko vrsta takvih signala, koji su također opisani u 2. poglavlju, koje se fokusira na pulsno-amplitudnu modulaciju (PAM). Nakon modulacije impulsa, svaki simbol poruke ili simbol kanala ima oblik pojasnog signala, gdje je . U bilo kojoj elektroničkoj implementaciji, tok bitova koji prethodi pulsnoj modulaciji predstavljen je naponskim razinama. Može se postaviti pitanje zašto postoji poseban blok za modulaciju impulsa, kada se zapravo razine napona za binarne nule i jedinice već mogu smatrati idealnim pravokutnim impulsima, od kojih je trajanje svakog jednako vremenu prijenosa jednog bita? Postoje dvije važne razlike između ovih naponskih razina i pojasnih signala koji se koriste za modulaciju. Prvo, blok impulsne modulacije omogućuje korištenje binarnih i M-arnih signala. Odjeljak 2.8.2 opisuje razne korisne parametre ovih vrsta signala. Drugo, filtriranje koje se provodi u bloku impulsne modulacije generira impulse čije je trajanje dulje od vremena prijenosa jednog bita. Filtriranje vam omogućuje korištenje duljih impulsa; stoga se impulsi šire preko susjednih vremenskih odsječaka. Taj se proces ponekad naziva oblikovanje pulsa; koristi se za održavanje propusnosti prijenosa unutar željene regije spektra.

Za aplikacije koje uključuju radiofrekvencijski prijenos, sljedeći važan korak je pojasna modulacija; potrebno je kad god prijenosni medij ne podržava širenje impulsnih signala. U takvim slučajevima okolina zahtijeva propusni signal, gdje je . Izraz "pojasni prolaz" koristi se za odraz da je uskopojasni signal pomaknut valom nositeljem na frekvenciji mnogo većoj od spektralne komponente. Kako se signal širi kroz kanal, na njega utječu karakteristike kanala, koje se mogu izraziti u smislu impulsnog odziva (vidi odjeljak 1.6.1). Također, na različitim točkama duž putanje signala, dodatni nasumični šum iskrivljuje primljeni signal, tako da se prijem mora izraziti u smislu oštećene verzije signala odašiljača. Primljeni signal može se izraziti na sljedeći način:

gdje znak "*" predstavlja operaciju konvolucije (vidi Dodatak A) i predstavlja proces šuma (vidi odjeljak 1.5.5).

U obrnutom smjeru, prednji kraj prijemnika i/ili demodulator osiguravaju smanjenje frekvencije za svaki pojasni signal. U pripremi za detekciju, demodulator rekonstruira uskopojasni signal kao optimalnu ovojnicu. Obično je nekoliko filtara povezano s prijamnikom i demodulatorom - filtriranje se vrši za uklanjanje neželjenih visokofrekventnih komponenti (tijekom pretvorbe pojasnog signala u uskopojasni) i oblikovanje impulsa. Izjednačavanje se može opisati kao vrsta filtriranja koja se koristi u demodulatoru (ili nakon demodulatora) za uklanjanje bilo kakvih učinaka degradacije signala koje može uzrokovati kanal. Izjednačavanje je potrebno ako je impulsni odziv kanala toliko loš da je primljeni signal ozbiljno izobličen. Ekvilajzer (ekvilizator) implementiran je kako bi kompenzirao (tj. uklonio ili ublažio) svako izobličenje signala uzrokovano neidealnim odzivom. Konačno, korak uzorkovanja pretvara oblikovani impuls u uzorak kako bi se povratio (približno) simbol kanala ili simbol poruke (ako se ne koristi kodiranje kanala). Neki autori koriste pojmove "demodulacija" i "detekcija" naizmjenično. U ovoj se knjizi demodulacija odnosi na obnavljanje signala (impuls širine pojasa), a detekcija se odnosi na donošenje odluke o digitalnoj vrijednosti tog signala.

Preostale faze obrade signala u modemu su opcionalne i usmjerene su na ispunjavanje specifičnih potreba sustava. Kodiranje izvora je pretvorba analognog signala u digitalni (za analogne izvore) i uklanjanje suvišnih (nepotrebnih) informacija. Imajte na umu da tipični DCS sustav može koristiti izvorno kodiranje (za digitalizaciju i komprimiranje izvornih informacija) ili jednostavniju transformaciju formatiranja (samo za digitalizaciju). Sustav ne može istovremeno primijeniti izvorno kodiranje i formatiranje, budući da prvo već uključuje nužan korak digitalizacije informacija. Enkripcija, koja se koristi za osiguranje tajnosti komunikacije, sprječava neovlaštenog korisnika da razumije poruku i unese lažne poruke u sustav. Kanalno kodiranje pri određenoj brzini prijenosa podataka može smanjiti vjerojatnost PE pogreške ili smanjiti omjer signala i šuma koji je potreban za postizanje željene PE vjerojatnosti povećanjem propusnosti prijenosa ili kompliciranjem dekodera. Postupci multipleksiranja i višestrukog pristupa kombiniraju signale koji mogu imati različite karakteristike ili mogu dolaziti iz različitih izvora tako da mogu dijeliti neke od komunikacijskih resursa (npr. spektar, vrijeme). Širenje frekvencije može dati signal koji je relativno otporan na smetnje (i prirodne i namjerne) i može se koristiti za povećanje privatnosti strana u komunikaciji. To je također vrijedna tehnologija koja se koristi za višestruki pristup.

Blokovi za obradu signala prikazani na sl. 1.2 predstavlja tipičan dijagram digitalnog komunikacijskog sustava; međutim, ti se blokovi ponekad implementiraju nešto drugačijim redoslijedom. Na primjer, multipleksiranje se može dogoditi prije kodiranja kanala ili modulacije, ili, u dvostupanjskom procesu modulacije (podnosilac i nosilac), može se dogoditi između dva stupnja modulacije. Slično tome, blok za proširenje frekvencije može se nalaziti na različitim mjestima u gornjem redu slike. 1.2; njegovo točno mjesto ovisi o specifičnoj korištenoj tehnologiji. Sinkronizacija i njen ključni element, sinkronizacijski signal, uključeni su u sve faze obrade signala u DCS sustavu. Radi jednostavnosti, sinkronizacijski blok na Sl. 1.2 prikazan je bez obzira na bilo što, iako on zapravo sudjeluje u regulaciji rada u gotovo svakom bloku prikazanom na slici.

Na sl. Slika 1.3 prikazuje glavne funkcije obrade signala (koje se mogu smatrati transformacijama signala) podijeljene u sljedećih devet skupina.

sl.1.3. Velike transformacije digitalnih komunikacija

1. Formatiranje i kodiranje izvora

2. Uskopojasna signalizacija

3. Signalizacija propusnosti

4. Niveliranje

5. Kodiranje kanala

6. Pečaćenje i višestruki pristup

7. Rašireni spektar

8. Enkripcija

9. Sinkronizacija

Na sl. 1.3 Uskopojasni signalni blok sadrži popis binarnih alternativa kada se koristi PCM modulacija ili linijski kodovi. Ovaj blok također specificira nebinarnu kategoriju signala tzv M-arna impulsna modulacija. Još jedna transformacija na Sl. 1.3, označen Bandwidth signaling, podijeljen je u dva glavna bloka, koherentni i nekoherentni. Demodulacija se obično izvodi pomoću referentnih signala. Korištenjem poznatih signala kao mjere svih parametara signala (osobito faze), kaže se da je proces demodulacije koherentan; kada se informacija o fazi ne koristi, kaže se da je proces nekoherentan.

Kodiranje kanala bavi se tehnikama koje se koriste za poboljšanje digitalnih signala, koji kao rezultat toga postaju manje osjetljivi na čimbenike degradacije kao što su šum, blijeđenje i potiskivanje signala. Na sl. 1.3, kodiranje kanala podijeljeno je u dva bloka, blok kodiranja valnog oblika i blok strukturirane sekvence. Kodiranje valnog oblika uključuje korištenje novih signala koji donose poboljšanu kvalitetu detekcije u odnosu na izvorni signal. Strukturirane sekvence uključuju korištenje dodatnih bitova za utvrđivanje postoji li pogreška uzrokovana šumom u kanalu. Jedna takva tehnologija, automatski zahtjev za ponavljanjem (ARQ), jednostavno prepoznaje pojavu pogreške i traži od pošiljatelja da ponovno pošalje poruku; druga tehnika, poznata kao naprijed ispravljanje pogrešaka (FEC), omogućuje automatsko ispravljanje pogrešaka (uz određena ograničenja). Kada razmatramo strukturirane nizove, raspravljat ćemo o tri uobičajene metode - blokovnom, konvolucijskom i turbo kodiranju.

U digitalnim komunikacijama mjerenje vremena uključuje izračun vremena i frekvencije. Kao što je prikazano na sl. 1.3, sinkronizacija se izvodi na pet razina. Referentne frekvencije koherentnih sustava trebaju biti sinkronizirane s nosiocem (i eventualno podnosačem) u frekvenciji i fazi. Za nekoherentne sustave fazna sinkronizacija nije potrebna. Osnovni proces sinkronizacije vremena je sinkronizacija simbola (ili sinkronizacija bitova za binarne simbole). Demodulator i detektor moraju znati kada započeti i završiti proces detekcije simbola i bita; pogreška sinkronizacije dovodi do smanjenja učinkovitosti detekcije. Sljedeća razina vremenske sinkronizacije, okvirna sinkronizacija, omogućuje preuređivanje poruka. I posljednja razina, mrežna sinkronizacija, omogućuje vam koordinaciju s drugim korisnicima kako biste učinkovito koristili resurse.

1.1.3. Osnovna terminologija digitalne komunikacije

Slijede neki od glavnih izraza koji se obično koriste u području digitalnih komunikacija.

Izvor informacija(izvor informacije). Uređaj koji prenosi informacije kroz DCS sustav. Izvor informacija može biti analogni ili diskretni. Izlaz analognog izvora može poprimiti bilo koju vrijednost iz kontinuiranog raspona amplituda, dok izlaz diskretnog izvora informacija može poprimiti vrijednosti iz konačnog skupa amplituda. Analogni izvori informacija pretvaraju se u digitalne pomoću uzorkovanja ili kvantizacije. Metode uzorkovanja i kvantizacije nazivaju se izvorno formatiranje i kodiranje (Slika 1.3).

Tekstualna poruka(tekstualna poruka). Redoslijed znakova (sl. 1.4, a). Na digitalni prijenos podatkovna poruka je niz brojeva ili znakova koji pripadaju konačnom skupu znakova ili abecedi.

Znak(Lik). Element abecede ili skupa znakova (Sl. 1.4, b). Znakovi se mogu mapirati u niz binarnih znamenki. Postoji nekoliko standardiziranih kodova koji se koriste za kodiranje znakova, uključujući ASCII (American Standard Code for Information Interchange), EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code), Hollerith (Hollerithov kod), Baudot kod, Murrayjev kod i Morseov kod.

sl.1.4. Ilustracija pojmova: a) tekstualne poruke; b) simboli;

c) tok bitova (7-bitni ASCII kod); d) simboli, ;

e) propusni digitalni signal

binarna znamenka(binarna znamenka) (bit) (bit). Temeljna jedinica informacija za sve digitalne sustave. Izraz "bit" također se koristi kao jedinica informacija, što je opisano u poglavlju 9.

tok bitova(bitstream). Niz binarnih znamenki (nula i jedinica). Bitstream se često naziva signal osnovnog pojasa; to implicira da se njegove spektralne komponente kreću od (ili oko) DC do neke konačne vrijednosti, obično ne više od nekoliko megaherca. Na sl. 1.4, poruka "KAKO" je predstavljena korištenjem sedmo-bitnog ASCII koda, a tok bitova prikazan je u obliku dvorazinskih impulsa. Niz impulsa je prikazan visoko stiliziranim (savršeno pravokutnim) valnim oblicima s prazninama između susjednih impulsa. U stvarnom sustavu impulsi nikada neće izgledati ovako, budući da su takvi razmaci apsolutno beskorisni. Pri određenoj brzini prijenosa podataka, praznine će povećati propusnost potrebnu za prijenos; ili će, s obzirom na propusnost, povećati vremensko kašnjenje potrebno za primanje poruke.

Simbol(simbol) (digitalna poruka) (digitalna poruka). Simbol je skupina k bitovi promatrani kao cjelina. Nadalje, ovaj blok ćemo nazvati simbolom poruke () iz konačnog skupa simbola ili abecede (Sl. 1.4, d.) Veličina abecede M jednako , gdje k je broj bitova u simbolu. U uskopojasnom prijenosu, svaki od simbola će biti predstavljen jednim od niza uskopojasnih impulsnih signala . Ponekad se, kada se odašilje niz takvih impulsa, koristi jedinica bauda (baud) za izražavanje brzine pulsa (symbol rate). Za tipičan pojasni prijenos, svaki će impuls biti predstavljen jednim od niza pojasnih impulsnih signala . Dakle, za bežične sustave, simbol se šalje odašiljanjem digitalnog signala za T sekundi. Sljedeći znak šalje se tijekom sljedećeg vremenskog intervala, T. Činjenica da je skup znakova koji prenosi DCS sustav konačan glavna je razlika između ovih sustava i analognih komunikacijskih sustava. DCS prijemnik treba samo odrediti koji M mogući signali su odaslani; dok analogni prijamnik mora točno odrediti vrijednost koja pripada kontinuiranom rasponu signala.

digitalni signal(digitalni valni oblik). Opisan razinom napona ili struje, signal (impuls za uskopojasni prijenos ili sinusni val za pojasni prijenos) predstavlja digitalni znak. Karakteristike signala (za impulse - amplituda, trajanje i mjesto, ili za sinusoidu - amplituda, frekvencija i faza) omogućuju da se identificira kao jedan od simbola konačne abecede. Na sl. 1.4 d prikazan je primjer bandpass digitalnog signala. Iako je signal sinusoidan i stoga ima analogni oblik, ipak se naziva digitalnim jer kodira digitalnu informaciju. Na ovoj je slici digitalna vrijednost prikazana prijenosom tijekom svakog vremenskog intervala T signala određene frekvencije.

Brzina prijenosa(brzina podataka). Ova vrijednost u bitovima po sekundi (bps) dana je s (bps) gdje je k bitovi definiraju znak iz - znakovne abecede, i T je trajanje do- bitni znak.

1.1.4. Digitalne i analogne referentne vrijednosti performansi

Temeljna razlika između analognih i digitalnih komunikacijskih sustava povezana je s metodom ocjenjivanja njihove izvedbe. Signali analognog sustava su u kontinuumu, tako da prijemnik mora raditi s beskonačnim brojem mogućih signala. Mjera performansi analognih komunikacijskih sustava je točnost, kao što je omjer signala i šuma, postotak izobličenja ili očekivana RMS pogreška između odaslanih i primljenih signala.

Za razliku od analognih, digitalni komunikacijski sustavi prenose signale koji predstavljaju brojeve. Ove znamenke tvore konačan skup ili abecedu, a taj je skup a priori poznat primatelju. Kriterij kvalitete digitalnih komunikacijskih sustava je vjerojatnost netočne detekcije znamenke ili vjerojatnost pogreške ().

1.2. Klasifikacija signala

1.2.1. Deterministički i slučajni signali

Signal se može klasificirati kao deterministički (kada ne postoji nesigurnost o njegovoj vrijednosti u bilo kojem trenutku) ili slučajan na neki drugi način. Deterministički signali modelirani su matematičkim izrazom. Nemoguće je napisati takav izraz za slučajni signal. Međutim, pri promatranju slučajnog signala (koji se također naziva slučajnim procesom) tijekom dovoljno dugog vremenskog razdoblja, mogu se uočiti neki obrasci koji se mogu opisati u terminima vjerojatnosti i statističkog prosjeka. Takav model, u obliku vjerojatnosnog opisa slučajnog procesa, posebno je koristan za opisivanje karakteristika signala i šuma u komunikacijskim sustavima.

1.2.2. Periodični i neperiodični signali

Kaže se da je signal periodičan u vremenu ako postoji konstanta , takva da

za (1.2)

gdje kroz t vrijeme je označeno. Najniža vrijednost zadovoljavanje ovog uvjeta naziva se periodom signala. Razdoblje određuje trajanje jednog punog ciklusa funkcije. Signal za koji ne postoji vrijednost koja zadovoljava jednadžbu (1.2) naziva se neperiodičnim.

1.2.3. Analogni i diskretni signali

Analogni signal je kontinuirana funkcija vremena, tj. jedinstveno definiran za sve t. Električni analogni signal nastaje kada fizički signal (kao što je govor) neki uređaj pretvori u električni signal. Za usporedbu, diskretni signal je signal koji postoji u diskretnim vremenskim intervalima; karakteriziran je nizom brojeva definiranih za svaku točku u vremenu, kT, gdje k je cijeli broj, i T- na određeno vrijeme.

1.2.4. Signali izraženi u smislu energije ili snage

Električni signal se može zamisliti kao promjena napona ili struje s trenutnom snagom primijenjenom na otpor R:

U komunikacijskim sustavima snaga je često normalizirana (pretpostavlja se da otpor R jednak je 1 Ohmu, iako u pravom kanalu može biti bilo što). Ako je potrebno odrediti stvarnu vrijednost snage, ona se dobiva "denormalizacijom" normalizirane vrijednosti. U normaliziranom slučaju jednadžbe (1.3.a) i (1.3.6) imaju isti izgled. Stoga, bez obzira je li signal predstavljen naponom ili strujom, normalizirani oblik omogućuje nam da izrazimo trenutnu snagu kao

gdje je ili napon ili struja. Disipacija energije tijekom vremenskog intervala () stvarnog signala s trenutnom snagom dobivenom pomoću jednadžbe (1.4) može se napisati na sljedeći način.

(1.5)

Prosječna snaga raspršena signalom tijekom ovog intervala je sljedeća.

(1.6)

Performanse komunikacijskog sustava ovise o energiji primljenog signala; signali više energije detektiraju se pouzdanije (sa manje greške) - posao detekcije obavlja primljena energija. S druge strane, snaga je stopa unosa energije. Ova točka je važna iz nekoliko razloga. Snaga određuje napon koji treba primijeniti na odašiljač i snagu elektromagnetskih polja koja treba uzeti u obzir u radijskim sustavima (tj. polja u valovodima koji povezuju odašiljač s antenom i polja oko elemenata koji zrače antenu).

Pri analizi komunikacijskih signala često je poželjno raditi s energijom signala. Nazvat ćemo ga energetskim signalom ako i samo ako ima konačnu energiju različitu od nule u bilo kojem trenutku vremena (), gdje

(1.7)

NA stvarno stanje uvijek prenosimo signale s konačnom energijom (). Međutim, za opisivanje periodičnih signala, koji po definiciji (jednadžba (1.2)) uvijek postoje i, prema tome, imaju beskonačnu energiju, i za rad sa slučajnim signalima koji također imaju neograničenu energiju, prikladno je definirati klasu signala izraženu izrazima moći. Dakle, pogodno je predstaviti signal pomoću snage ako je periodičan i u bilo kojem trenutku ima konačnu snagu različitu od nule (), gdje

(1.8)

Određeni signal može se pripisati ili energetskom ili periodičnom. Energetski signal ima konačnu energiju, ali nultu prosječnu snagu, dok periodični signal ima nultu prosječnu snagu, ali beskonačnu energiju. Signal u sustavu može se izraziti ili kroz njegovu energiju ili kroz periodične vrijednosti. Kao opće pravilo, periodični i slučajni signali izražavaju se u smislu snage, a signali koji su deterministički i neperiodični izražavaju se u smislu energije.

Energija i snaga signala dva su važna parametra u opisivanju komunikacijskog sustava. Klasificiranje signala kao energetskog signala ili kao periodičnog je prikladan model koji olakšava matematičku obradu različitih signala i šumova. Odjeljak 3.1.5 razvija ove ideje u kontekstu digitalnih komunikacijskih sustava.

1.2.5. Jedinična impulsna funkcija

Korisna funkcija u teoriji komunikacije je jedinični impuls ili Diracova delta funkcija. Impulsna funkcija je apstrakcija, impuls s beskonačnom amplitudom, nultom širinom i jediničnom težinom (područje ispod impulsa), koncentriran u točki gdje je vrijednost njegovog argumenta nula. Jedinični impuls zadan je sljedećim odnosima.

Neograničeno u točki (1.11)

(1.12)

Jedinični impuls nije funkcija u uobičajenom smislu riječi. Ako uđe u bilo koju operaciju, prikladno ga je smatrati impulsom konačne amplitude, jedinice površine i trajanja različitog od nule, nakon čega je potrebno uzeti u obzir granicu jer trajanje impulsa teži nuli. Grafički se može prikazati kao vrh koji se nalazi u točki čija je visina jednaka njegovom integralu ili njegovoj površini. Dakle, s konstantom ALI predstavlja impulsnu funkciju čija je površina (ili težina). ALI, a vrijednost je svugdje nula osim u točki .

Jednadžba (1.12) poznata je kao svojstvo prosijavanja (ili kvantiziranja) jedinične impulsne funkcije; integral jediničnog impulsa i proizvoljne funkcije daje uzorak funkcije u točki .

1.3. Spektralna gustoća

Spektralna gustoća karakteristika signala je distribucija energije ili snage signala preko raspona frekvencija. Ovaj koncept je od posebne važnosti kada se razmatra filtriranje u komunikacijskim sustavima. Moramo moći procijeniti signal i šum na izlazu filtra. Prilikom provođenja takve procjene koristi se spektralna gustoća energije (ESD) ili spektralna gustoća snage (power spectral density - PSD).

1.3.1. Spektralna gustoća energije

Ukupna energija realnog energetskog signala definiranog u intervalu opisana je jednadžbom (1.7). Koristeći Parsevalov teorem, možemo povezati energiju takvog signala izraženu u vremenskoj domeni s energijom izraženom u frekvencijskoj domeni:

, (1.13)

gdje je Fourierova transformacija neperiodičnog signala. (Sažetak Fourierove analize može se pronaći u Dodatku A.) Označite s pravokutnim amplitudnim spektrom definiranim kao

(1.14)

Količina je spektralna gustoća energije (ESD) signala. Stoga se iz jednadžbe (1.13) može izraziti ukupna energija integracijom spektralne gustoće s obzirom na frekvenciju.

(1.15)

Ova jednadžba pokazuje da je energija signala jednaka površini ispod grafa u frekvencijskoj domeni. Spektralna gustoća energije opisuje energiju signala po jedinici propusnosti i mjeri se u J/Hz. Pozitivna i negativna frekvencijska komponenta daju jednake energetske doprinose, tako da je za pravi signal vrijednost ravnomjerna funkcija frekvencije. Stoga je spektralna gustoća energije frekvencijski simetrična oko ishodišta, a ukupna energija signala može se izraziti na sljedeći način.

(1.16)

1.3.2. Spektralna gustoća snage

Prosječna snaga realnog signala u periodičnom prikazu određena je jednadžbom (1.8). Ako je periodički signal s periodom, klasificira se kao signal u periodičnom prikazu. Izraz za prosječnu snagu periodičkog signala dan je formulom (1.6), gdje je vremenski prosjek uzet za jedno razdoblje.

(1.17a)

Parsevalov teorem za realni periodički signal ima oblik

, (1.17,b)

gdje su članovi kompleksni koeficijenti Fourierovog niza za periodički signal (vidi Dodatak A).

Za korištenje jednadžbe (1.17.6) potrebno je samo znati vrijednost koeficijenata . Spektralna gustoća snage (PSD) periodičkog signala, koja je stvarna, ravnomjerna i nenegativna funkcija frekvencije i daje distribuciju snage signala u frekvencijskom rasponu, definirana je kako slijedi.

(1.18)

Jednadžba (1.18) definira spektralnu gustoću snage periodičkog signala kao niz ponderiranih delta funkcija. Stoga je PSD periodičkog signala diskretna funkcija frekvencije. Koristeći PSD definiran u jednadžbi (1.18), može se napisati prosječna normalizirana snaga stvarnog signala.

(1.19)

Jednadžba (1.18) opisuje PSD samo periodičnih signala. Ako je neperiodični signal, ne može se izraziti u smislu Fourierovog niza; ako se radi o neperiodičnom signalu u periodičnom prikazu (ima beskonačnu energiju), možda neće imati Fourierovu transformaciju. Međutim, još uvijek možemo izraziti spektralnu gustoću snage takvih signala u granici. Ako formiramo skraćenu verziju neperiodičnog signala u periodičnom prikazu, uzimajući za to samo njegove vrijednosti iz intervala (), tada će imati konačnu energiju i odgovarajuću Fourierovu transformaciju. Može se pokazati da je spektralna gustoća snage neperiodičnog signala definirana kao granica.

(1.20)

Primjer 1.1. Prosječna nazivna snaga

a) Odredite prosječnu normaliziranu jakost signala korištenjem vremenskog prosjeka.

b) Točku a izvršiti zbrajanjem spektralnih koeficijenata.

Riješenje

a) Koristeći jednadžbu (1.17, a), imamo sljedeće.

b) Pomoću jednadžbi (1.18) i (1.19) dobivamo sljedeće.

(vidi dodatak A)

1.4. autokorelacija

1.4.1. Autokorelacija energetskog signala

Korelacija je proces slaganja; autokorelacija je usklađivanje signala s njegovom vlastitom odgođenom verzijom. Autokorelacijska funkcija stvarnog energetskog signala definirana je kako slijedi.

za (1.21)

Funkcija autokorelacije daje mjeru sličnosti signala s vlastitom kopijom, pomaknutu za jedinice vremena. Varijabla igra ulogu parametra skeniranja ili pretraživanja. nije funkcija vremena; to je samo funkcija vremenske razlike između signala i njegove pomaknute kopije.

Autokorelacijska funkcija stvarnog energetskog signala ima sljedeća svojstva.

1.

3. autokorelacija i ESD su Fourierove transformacije jedna druge, što je označeno dvosmjernom strelicom

4. vrijednost na nuli jednaka je energiji signala

Nakon zadovoljenja paragrafa. 1-3 je autokorelacijska funkcija. Uvjet 4 je posljedica uvjeta 3, pa ga nije potrebno uključiti u glavni skup za provjeru autokorelacijska funkcija.

1.4.2. Autokorelacija periodičkog signala

Autokorelacija stvarnog periodičkog signala definirana je na sljedeći način.

za (1.22)

Ako je signal periodičan s periodom, vremenski prosjek u jednadžbi (1.22) može se uzeti u jednom periodu, a autokorelacija se može izraziti na sljedeći način.

za (1.23)

Autokorelacija periodičkog signala koji uzima stvarne vrijednosti ima svojstva slična onima energetskog signala.

1. simetrija u odnosu na nulu

2. za sve, najveća vrijednost je na nuli

3. autokorelacija i ESD su Fourierove transformacije jedna druge

4.

1.5. slučajni signali

Glavna zadaća komunikacijskog sustava je prijenos informacija putem komunikacijskog kanala. Svi korisni signali poruka pojavljuju se nasumično, tj. Primatelj ne zna unaprijed koji mogući likovi poruke će biti poslane. Osim toga, zbog raznih električnih procesa javlja se šum koji prati informacijske signale. Stoga nam je potreban učinkovit način za opisivanje slučajnih signala.

1.5.1. slučajne varijable

Neka je slučajna varijabla HA) predstavlja funkcionalni odnos između slučajni događaj ALI i realan broj. Radi lakšeg označavanja, slučajnu varijablu označavamo sa x, i njegova funkcionalna ovisnost o ALI smatrat će se eksplicitnim. Slučajna varijabla može biti diskretna ili kontinuirana. Distribucija slučajne varijable x nalazi se izrazom:

, (1.24)

gdje je vjerojatnost da je vrijednost prihvaćena; nasumična varijabla x manji od realnog broja x ili njemu jednaka. Funkcija distribucije ima sljedeća svojstva.

2. ako

Još jedna korisna funkcija povezana sa slučajnom varijablom x, je gustoća vjerojatnosti, koja se piše na sljedeći način.

(1.25,a)

Kao u slučaju funkcije distribucije, gustoća vjerojatnosti je funkcija realnog broja x. Naziv "funkcija gustoće" proizašao je iz činjenice da je vjerojatnost događaja jednaka sljedećem.

Koristeći jednadžbu (1.25.6), možemo približno napisati vjerojatnost da će slučajna varijabla x ima vrijednost koja pripada vrlo malom intervalu između i .

Dakle, u limitu koji teži nuli, možemo napisati sljedeće.

Gustoća vjerojatnosti ima sljedeća svojstva.

2. .

Stoga je gustoća vjerojatnosti uvijek nenegativna i ima jedinicu površine. U tekstu knjige koristit ćemo se oznakom za označavanje gustoće vjerojatnosti za kontinuiranu slučajnu varijablu. Radi lakšeg označavanja, često ćemo izostavljati indeks x i piši jednostavno. Ako je slučajna varijabla x može samo prihvatiti diskretne vrijednosti, za označavanje gustoće vjerojatnosti koristit ćemo oznaku .

1.5.1.1. Ansambl mean

Srednja vrijednost ili očekivana vrijednost slučajne varijable x definiran je izrazom

, (1.26)

gdje se naziva operator očekivane vrijednosti. trenutak n distribucija vjerojatnosti -tog reda slučajne varijable x naziva sljedeća vrijednost.

(1.27)

Za analizu komunikacijskih sustava važna su prva dva momenta varijable x. Da, u n=1 jednadžba (1.27) daje gore razmatrani trenutak i kada n= 1 - korijen srednje kvadratne vrijednosti x.

(1.28)

Također se mogu definirati središnji momenti, koji su momenti razlike x i . središnji trenutak drugog reda (koji se također naziva disperzija) je kako slijedi.

Disperzija x također napisano kao , i Korijen ove vrijednosti, , naziva se standardna devijacija x. Disperzija je mjera "raspršenosti" slučajne varijable x. Određivanje varijance slučajne varijable ograničava širinu funkcije gustoće vjerojatnosti. Disperzija i RMS povezani su sljedećim odnosom.

Dakle, varijanca je jednaka razlici između korijena srednje kvadrata i kvadrata srednje vrijednosti.

1.5.2. slučajni procesi

Slučajni proces može se promatrati kao funkcija dviju varijabli: događaja ALI i vrijeme. Na sl. 1.5 prikazuje primjer slučajnog procesa. Pokazivanje N ogledne funkcije vremena. Svaka od uzoraka funkcija može se promatrati kao izlaz zasebnog generatora šuma. Za svaki događaj imamo jednu vremensku funkciju (tj. funkcija uzorka). Skup svih funkcija uzorka naziva se ansambl. U bilo kojem trenutku, , je slučajna varijabla čija vrijednost ovisi o događaju. I zadnje, za određeni događaj i za određenu vremensku točku, je regularni broj. Radi lakšeg označavanja, označit ćemo slučajni proces kao X(t), i funkcionalna ovisnost o ALI smatrat će se eksplicitnim.

sl.1.5. Proces slučajnog šuma

1.5.2.1. Statistička sredina slučajnog procesa

Budući da je vrijednost slučajnog procesa u svakoj sljedećoj vremenskoj točki nepoznata, slučajni proces čije su funkcije distribucije kontinuirane može se statistički opisati u terminima gustoće vjerojatnosti. Općenito, u razne trenutke vrijeme koje ova funkcija za slučajni proces ima drugačija vrsta. U većini slučajeva nerealno je empirijski odrediti distribuciju vjerojatnosti slučajnog procesa. Istovremeno, za potrebe komunikacijskih sustava često je dovoljan parcijalni opis, uključujući srednju vrijednost i autokorelacijsku funkciju. Dakle, definirajmo prosjek slučajnog procesa X(t) kako

, (1.30)

gdje je slučajna varijabla dobivena razmatranjem slučajnog procesa u trenutku , a je gustoća vjerojatnosti (gustoća skupa događaja u trenutku ).

Definirajmo autokorelacijsku funkciju slučajnog procesa X(t) kao funkcija dviju varijabli i

gdje su i slučajne varijable dobivene razmatranjem X(t) s vremena na vrijeme i odnosno. Autokorelacijska funkcija je mjera odnosa između dva vremenska uzorka jednog slučajnog procesa.

1.5.2.2. stacionarnost

slučajni proces X(t) naziva se stacionarnim u strogom smislu ako ni na jednu njegovu statistiku ne utječe prijenos porijekla vremena. Slučajni proces naziva se stacionarnim u širem smislu ako se dvije njegove statistike, srednja vrijednost i autokorelacijska funkcija, ne mijenjaju kada se pomakne ishodište vremena. Dakle, proces je općenito stacionaran ako

Stacionarnost u strogom smislu implicira stacionarnost u širem smislu, ali ne i obrnuto. Većina korisnih rezultata teorije komunikacije temelji se na pretpostavci da su nasumični informacijski signali i šum stacionarni u širem smislu. S praktičnog gledišta, slučajni proces ne mora uvijek biti stacionaran, dovoljno je da bude stacionaran u nekom vidljivom vremenskom intervalu od praktičnog interesa.

Za stacionarne procese autokorelacijska funkcija u jednadžbi (1.33) ne ovisi o vremenu, već samo o razlici . Drugim riječima, svi parovi vrijednosti X(t) u trenucima odvojenim intervalom imaju istu vrijednost korelacije. Stoga se za stacionarne sustave funkcija može jednostavno napisati kao .

1.5.2.3. Autokorelacija slučajnih procesa, stacionarnih u širem smislu

Kao što varijanca nudi mjeru slučajnosti za slučajne varijable, funkcija autokorelacije nudi sličnu mjeru za slučajne procese. Za procese koji su stacionarni u širem smislu, autokorelacijska funkcija ovisi samo o vremenskoj razlici.

Za široko stacionarni proces s nultom sredinom, funkcija pokazuje u kojoj su statističkoj korelaciji slučajne varijable procesa odvojene sekundama. Drugim riječima, daje informacije o frekvencijskom odzivu povezanom sa slučajnim procesom. Ako se polako mijenja dok raste od nule do neke vrijednosti, to pokazuje da su, u prosjeku, vrijednosti uzorka X(t), uzete povremeno i , gotovo su jednake. Stoga to imamo pravo očekivati ​​u frekvencijskom prikazu X(t) dominirat će niske frekvencije. S druge strane, ako se brzo smanjuje s povećanjem , to bi se moglo očekivati X(t) mijenjat će se brzo s vremenom i stoga će uključivati ​​pretežno visoke frekvencije.

Autokorelacijska funkcija procesa koji je u širem smislu stacionaran i ima stvarne vrijednosti ima sljedeća svojstva.

1. simetrija u odnosu na nulu

2. za sve maksimalna vrijednost je na nuli

3. autokorelacija i spektralna gustoća snage su Fourierove transformacije jedna druge

4. vrijednost na nuli jednaka je prosječnoj snazi ​​signala

1.5.3. Vremensko usrednjavanje i ergodičnost

Za izračun i usrednjavanje po skupu, trebamo ih uprosječiti za sve uzorke funkcija procesa, pa su nam stoga potrebne potpune informacije o međusobnoj distribuciji funkcija gustoće vjerojatnosti u prvoj i drugoj aproksimaciji. U općem slučaju, takve informacije u pravilu nisu dostupne.

Ako slučajni proces pripada posebnoj klasi koja se naziva klasa ergodičkih procesa, njegov vremenski prosjek jednak je prosjeku ansambla, a statistička svojstva procesa mogu se odrediti usrednjavanjem jedne uzorka funkcije procesa tijekom vremena. Da bi slučajni proces bio ergodičan, mora biti stacionaran u strogom smislu (obrnuto nije potrebno). Međutim, za komunikacijske sustave, gdje nam je dovoljna stacionarnost u širem smislu, zanima nas samo srednja vrijednost i autokorelacijska funkcija.

Kaže se da je slučajni proces ergodičan s obzirom na srednju vrijednost if

(1.35)

a ergodička u odnosu na autokorelacijsku funkciju ako

(1.36)

Ispitivanje ergodičnosti slučajnog procesa obično je prilično teško. U praksi se u pravilu koristi intuitivna pretpostavka o svrsishodnosti zamjene prosjeka ansambla vremenskim prosjekom. Pri analizi većine signala u komunikacijskim kanalima (u nedostatku impulsnih učinaka), razumno je pretpostaviti da su slučajni signali ergodički u odnosu na autokorelacijsku funkciju. Budući da su za ergodičke procese vremenski prosjeci jednaki prosjecima ansambla, osnovni električni parametri, kao što su amplituda istosmjerne komponente, korijen srednje kvadratne vrijednosti i prosječna snaga, mogu se povezati s trenucima ergodičkog slučajnog procesa.

1. Vrijednost je jednaka istosmjernoj komponenti signala.

2. Vrijednost je jednaka normaliziranoj snazi ​​istosmjerne komponente.

3. Moment drugog reda X(t), , jednaka je ukupnoj prosječnoj normaliziranoj snazi.

4. Vrijednost je jednaka efektivnoj vrijednosti signala izraženoj strujom ili naponom.

5. Disperzija je jednaka prosječnoj normaliziranoj snazi ​​izmjeničnog signala.

6. Ako je srednja vrijednost procesa nula (tj.), tada je , a varijanca je jednaka efektivnoj vrijednosti ili (drugi izraz) varijanca predstavlja ukupnu snagu u normaliziranom opterećenju.

7. Standardna devijacija je standardna vrijednost varijabilnog signala.

8. Ako je , tada je RMS vrijednost signala.

1.5.4. Spektralna gustoća snage i autokorelacija slučajnog procesa

slučajni proces X(t) može se pripisati periodičnom signalu koji ima takvu spektralnu gustoću snage kao što je naznačeno u jednadžbi (1.20). Funkcija je posebno korisna u komunikacijskim sustavima jer opisuje distribuciju snage signala u frekvencijskom rasponu. Spektralna gustoća snage omogućuje procjenu snage signala koji će se prenositi kroz mrežu s poznatim frekvencijskim karakteristikama. Glavna svojstva funkcija spektralne gustoće snage mogu se formulirati na sljedeći način.

1. uvijek poprima stvarne vrijednosti

2. za X(t) uzimajući stvarne vrijednosti

3. autokorelacija i spektralna gustoća snage su Fourierove transformacije jedna druge

4. odnos između prosječne normalizirane snage i spektralne gustoće snage

Na sl. Slika 1.6 prikazuje vizualni prikaz autokorelacijske funkcije i funkcije spektralne gustoće snage. Što znači pojam "korelacija"? Kada nas zanima korelacija dviju pojava, pitamo se koliko su blisko povezani u ponašanju ili izgledu i koliko se podudaraju. U matematici, autokorelacijska funkcija signala (u vremenskoj domeni) opisuje korespondenciju signala samom sebi, pomaknutu za određenu količinu vremena. Točna kopija se smatra stvorenom i lokaliziranom na minus beskonačno. Zatim kopiju uzastopno pomičemo u pozitivnom smjeru vremenske osi i pitamo kako one (izvorna verzija i kopija) odgovaraju jedna drugoj. Zatim pomaknemo kopiju još jedan korak u pozitivnom smjeru i pitamo koliko se sada podudaraju, i tako dalje. Korelacija između dva signala prikazana je kao funkcija vremena, označena s ; u ovom slučaju vrijeme se može smatrati parametrom skeniranja.

Na sl. 1.6 oglas gore opisana situacija je prikazana u nekim točkama u vremenu. Riža. 1.6 a ilustrira jedan signal široko stacionarnog slučajnog procesa X(t). Signal je slučajni binarni niz s pozitivnim i negativnim (bipolarnim) impulsima jedinične amplitude. Pozitivni i negativni impulsi javljaju se s jednakom vjerojatnošću. Trajanje svakog impulsa (binarna znamenka) je T sekundi, a prosjek, odnosno vrijednost konstantne komponente slučajnog niza je nula. Na sl. 1.6 b prikazan je isti niz, pomaknut u vremenu za sekunde. Prema prihvaćene oznake, ovaj niz je označen sa . Pretpostavimo proces X(t) je ergodičan s obzirom na autokorelacijsku funkciju, tako da možemo koristiti vremensko usrednjavanje umjesto skupnog usrednjavanja za pronalaženje. Vrijednost se dobiva množenjem dva niza X(t) te naknadnim pronalaženjem prosjeka pomoću jednadžbe (1.36), koja za ergodičke procese vrijedi samo u granici. Međutim, integracija preko cijelog broja razdoblja može nam dati neku procjenu . Obratite pažnju na ono što se može dobiti mijenjanjem stupnjeva prijenosa X(t) kako u pozitivnom tako i u negativnom smjeru. Sličan slučaj ilustriran je na sl. 1.6 u, na kojem se koristi izvorni niz uzoraka (Sl. 1.6, a) i njegovu pomaknutu kopiju (sl. 1.6, b). Osjenčana područja ispod krivulje proizvoda pozitivno pridonose proizvodu, dok siva područja negativno pridonose. Integracija preko vremena prijenosa daje točku na krivulji. Niz se može dodatno pomaknuti za i svaki takav pomak će dati točku na ukupnoj autokorelacijskoj funkciji, prikazanoj na slici. 1.6 G. Drugim riječima, svaki slučajni slijed bipolarnih impulsa odgovara točki autokorelacije na općoj krivulji prikazanoj na sl. 1.6 G. Maksimum funkcije je u točki (najbolje odgovara kada je , jednako nuli, jer za sve ), a funkcija pada kao . Na sl. 1.6 G prikazane su točke koje odgovaraju i.

Analitički izraz za funkciju autokorelacije, prikazan na sl. 1.6 G, ima sljedeći oblik.

(1.37)

Imajte na umu da nam funkcija autokorelacije daje informacije o frekvenciji; to nam govori nešto o propusnosti signala. U isto vrijeme, autokorelacija je vremenska funkcija; u formuli (1.37) nema članova koji ovise o frekvenciji. Dakle, kako nam daje informacije o propusnosti?

sl.1.6. Autokorelacija i spektralna gustoća snage

sl.1.6. Autokorelacija i spektralna gustoća snage (kraj)

Pretpostavimo da se signal kreće vrlo sporo (signal ima nisku propusnost). Pomaknemo li kopiju signala duž osi, postavljajući u svakoj fazi pomaka pitanje koliko kopija i original odgovaraju jedno drugome, korespondencija će dugo biti prilično jaka. Drugim riječima, trokutasta autokorelacijska funkcija (sl. 1.6, G i formula 1.37) polako će se smanjivati ​​s povećanjem . Pretpostavimo sada da se signal mijenja dovoljno brzo (tj. imamo veliki pojas). U tom će slučaju čak i mala promjena uzrokovati da korelacija bude nula, a funkcija autokorelacije vrlo uskog oblika. Stoga nam usporedba autokorelacijskih funkcija po obliku daje neke informacije o propusnosti signala. Opada li funkcija postupno? U ovom slučaju imamo signal s uskim pojasom. Podsjeća li oblik funkcije na uski vrh? Tada signal ima široki pojas.

Funkcija autokorelacije omogućuje eksplicitno izražavanje spektralne gustoće snage slučajnog signala. Budući da su spektralna gustoća snage i autokorelacijska funkcija jedna drugoj Fourierove transformacije, spektralna gustoća snage, , slučajnog niza bipolarnih impulsa može se pronaći kao Fourierova transformacija funkcije, čiji je analitički izraz dan u jednadžbi (1.37) . Da biste to učinili, možete koristiti tablicu. A.1. primijeti da

(1.38)

Opći prikaz funkcije prikazan je na sl. 1.6 d.

Imajte na umu da područje ispod krivulje spektralne gustoće snage predstavlja prosječnu snagu signala. Jedna prikladna mjera propusnosti je širina glavnog spektralnog režnja (vidi Odjeljak 1.7.2). Na sl. 1.6 d pokazuje se da je širina pojasa signala povezana s recipročnom vrijednošću trajanja simbola ili širine impulsa. Riža. 1.6 f-k formalno ponovite sl. 1.6 pakao, osim što je na sljedećim slikama trajanje impulsa kraće. Imajte na umu da je za kraće impulse funkcija uža (Sl. 1.6, i) nego za dulje (Sl. 1.6, G). Na sl. 1.6 i; drugim riječima, u slučaju kraćeg trajanja impulsa, pomak od , dovoljan je za stvaranje nulte podudarnosti ili za potpuni gubitak korelacije između pomaknutih sekvenci. Pošto je na sl. 1.6 e trajanje pulsa T manje (veća brzina prijenosa pulsa) nego na sl. 1.6 a, popunjenost pojasa na Sl. 1.6 do veća zauzetost pojasa za nižu frekvenciju pulsa prikazanu na sl. 1.6 d.

1.5.5. Šum u komunikacijskim sustavima

Pojam "šum" odnosi se na neželjene električne signale koji su uvijek prisutni u električnim sustavima. Prisutnost šuma koji se nalazi na signalu "zamračuje" ili maskira signal; ovo ograničava sposobnost primatelja da donosi točne odluke o značenju simbola, i stoga ograničava brzinu informacija. Priroda buke je raznolika i uključuje prirodne i umjetne izvore. Šum izazvan ljudskim djelovanjem je šum paljenja svjećicom, šum sklopnog impulsa i šum drugih povezanih izvora elektromagnetskog zračenja. Prirodni šumovi dolaze iz atmosfere, sunca i drugih galaktičkih izvora.

Dobar inženjerski dizajn može eliminirati većinu buke ili njezine neželjene učinke kroz filtriranje, selekciju, odabir modulacije i optimalnu lokaciju prijemnika. Na primjer, osjetljiva radioastronomska mjerenja obično se provode u udaljenim pustinjskim područjima, daleko od prirodnih izvora buke. Međutim, postoji jedan prirodni šum, nazvan toplinski šum, koji se ne može eliminirati. Toplinski šum nastaje zbog toplinskog gibanja elektrona u svim disipativnim komponentama - otpornicima, vodičima itd. Isti elektroni koji su odgovorni za električnu vodljivost odgovorni su i za toplinski šum.

Toplinski šum može se opisati kao Gaussov slučajni proces s nultom sredinom. Gaussov proces n(t)- ovo je slučajna funkcija, čija vrijednost iu proizvoljnom trenutku vremena t je statistički karakteriziran Gaussovom funkcijom gustoće vjerojatnosti:

, (1.40)

gdje je varijanca n. Normalizirana Gaussova funkcija gustoće procesa s nultom sredinom dobivena je pod pretpostavkom da je . Shematski normalizirana funkcija gustoće vjerojatnosti prikazana je na sl. 1.7.

Evo slučajnog signala, a- signal u komunikacijskom kanalu, i n je slučajna varijabla koja izražava Gaussov šum. Tada se funkcija gustoće vjerojatnosti izražava kao

, (1.41)

gdje je, kao gore, varijanca n.

sl.1.7. Normalizirana () Gaussova funkcija gustoće vjerojatnosti

Gaussova distribucija se često koristi kao model za šum u sustavu, budući da postoji centralni granični teorem, koji kaže da za vrlo Opći uvjeti zbrojna distribucija vjerojatnosti j statistički neovisne slučajne varijable slijede Gaussovu distribuciju, a oblik pojedinih funkcija distribucije nije bitan. Stoga, čak i ako će pojedinačni mehanizmi šuma imati ne-Gaussovu distribuciju, skup mnogih takvih mehanizama će težiti Gaussovoj distribuciji.

1.5.5.1. bijeli šum

Glavna spektralna karakteristika termalnog šuma je da je njegova spektralna gustoća snage ista za sve frekvencije od interesa u većini komunikacijskih sustava; drugim riječima, izvor toplinskog šuma zrači na svim frekvencijama jednakom snagom po jedinici propusnosti - od istosmjerne struje do frekvencije reda Hz. Stoga, jednostavan model toplinskog šuma pretpostavlja da je njegova spektralna gustoća snage ujednačena za sve frekvencije, kao što je prikazano na slici. 1.8 a, a piše se u sljedećem obliku.

(1.42)

Ovdje je uključen faktor 2 kako bi se pokazalo da je to dvostrana spektralna gustoća snage. Kada snaga šuma ima tako jednoliku spektralnu gustoću, taj šum nazivamo bijelim. Pridjev "bijela" koristi se u istom značenju kao i za bijelu svjetlost, koja sadrži jednake dijelove svih frekvencija u vidljivom elektromagnetskom spektru.

sl.1.8. Bijeli šum: a) spektralna gustoća snage;

b) autokorelacijska funkcija

Autokorelacijska funkcija bijelog šuma dana je inverznom Fourierovom transformacijom spektralne gustoće snage šuma (vidi tablicu A.1) i zapisuje se kako slijedi.

(1.43)

Prema tome, autokorelacija bijelog šuma je delta funkcija, ponderirana faktorom i smještena u točki , kao što je prikazano na sl. 1.8 b. Imajte na umu da je jednako nuli za , tj. dva različita uzorka bijelog šuma nisu u korelaciji, bez obzira koliko su bliski.

Prosječna snaga bijelog šuma je beskonačna jer je širina pojasa bijelog šuma beskonačna. To se može vidjeti dobivanjem sljedećeg izraza iz jednadžbi (1.19) i (1.42).

(1.44)

Iako je bijeli šum vrlo korisna apstrakcija, nijedan proces buke zapravo ne može biti bijeli; međutim, šum koji se pojavljuje u mnogim stvarnim sustavima vjerojatno se može smatrati bijelim. Takvu buku možemo promatrati tek nakon što je prošla pravi sustav, koji ima konačnu propusnost. Stoga, sve dok je širina pojasa buke znatno veća od širine pojasa koju koristi sustav, može se smatrati da šum ima beskonačnu širinu pojasa.

Delta funkcija u jednadžbi (1.43) znači da signal šuma n(t) apsolutno nije u korelaciji s vlastitom pristranom verzijom za bilo koji . Jednadžba (1.43) pokazuje da bilo koja dva uzorka procesa bijelog šuma nisu u korelaciji. Budući da je termalni šum Gaussov proces i njegovi uzorci nisu korelirani, uzorci šuma su također neovisni. Stoga je učinak kanala aditivnog bijelog Gaussovog šuma na proces detekcije taj da šum neovisno utječe na svaki odaslani simbol. Takav kanal naziva se kanal bez memorije. Izraz "aditivni" znači da se šum jednostavno nadmeće ili dodaje signalu - ne postoje multiplikativni mehanizmi.

Budući da je toplinski šum prisutan u svim komunikacijskim sustavima i značajan je izvor šuma za većinu sustava, karakteristike toplinskog šuma (aditivni, bijeli i Gaussov) često se koriste za modeliranje šuma u komunikacijskim sustavima. Budući da je Gaussov šum nulte srednje vrijednosti u potpunosti karakteriziran svojom varijancom, ovaj je model posebno jednostavan za korištenje u detekciji signala i optimalnom dizajnu prijamnika. U ovoj knjizi ćemo pretpostaviti (osim ako nije drugačije navedeno) da je sustav oštećen aditivnim bijelim Gaussovim šumom nulte sredine, iako će ponekad ovo pojednostavljenje biti prejako.

1.6. Prijenos signala kroz linijske sustave

Sada kada smo razvili skup modela signala i buke, pogledajmo karakteristike sustava i njihov učinak na signale i buku. Budući da se sustav može jednako dobro okarakterizirati iu frekvencijskoj iu vremenskoj domeni, u oba su slučaja razvijene metode za analizu odgovora linearnog sustava na proizvoljan ulazni signal. Signal primijenjen na ulazu sustava (slika 1.9) može se opisati ili kao vremenski signal, , ili kroz njegovu Fourierovu transformaciju, . Korištenje vremenska analiza daje vremenski izlaz, au procesu će se odrediti funkcija, impulsni odziv ili impulsni odziv mreže. Kada razmatramo ulaz u frekvencijskoj domeni, moramo odrediti frekvencijski odziv sustava ili funkciju prijenosa, koja će odrediti frekvencijski izlaz. Pretpostavlja se da je sustav linearan i nepromjenjiv u odnosu na vrijeme. Također se pretpostavlja da sustav nema latentnu energiju u trenutku kada je ulazni signal zadan.

sl.1.9. Linearni sustav i njegovi ključni parametri

1.6.1. impulsni odziv

Linearni, vremenski nepromjenjivi sustav ili mreža prikazana na sl. 1.9 opisan je (u vremenskoj domeni) impulsnim odzivom, koji je odgovor sustava kada se jedan impuls primijeni na njegov ulaz.

Razmotrite izraz "impulsni odgovor", koji je izuzetno prikladan za ovaj događaj. Opis karakteristika sustava kroz njegov impulsni odziv ima izravnu fizičku interpretaciju. Na ulazu sustava primjenjujemo jedan impuls (nestvarni signal beskonačne amplitude, nulte širine i jedinične površine), kao što je prikazano na sl. 1.10, a. Dovod takvog impulsa u sustav može se smatrati "trenutačnim udarom". Kako će sustav reagirati (“odgovoriti”) na takvu primjenu sile (impulsa)? Izlazni signal je impulsni odziv sustava. ( Moguć pogled ovaj odgovor je prikazan na sl. 1.10, b.)

Odgovor mreže na proizvoljni signal je konvolucija s , koja se piše na sljedeći način.

(1.46)

sl.1.10. Ilustracija pojma "impulsni odziv": a) ulazni signal je jedinična impulsna funkcija; b) izlazni signal je impulsni odziv sustava

Ovdje znak "*" označava operaciju konvolucije (vidi klauzulu A.5). Pretpostavlja se da je sustav uzročan, što znači da na izlazu nema signala do trenutka kada se signal primijeni na ulaz. Stoga se donja granica integracije može uzeti jednakom nuli, a izlaz se može izraziti na malo drugačiji način.

(1.47,a)

ili u obliku

(1.47b)

Izrazi u jednadžbama (1.46) i (1.47) nazivaju se konvolucijski integrali. Konvolucija je fundamentalna matematički aparat, koji ima važnu ulogu u razumijevanju svih komunikacijskih sustava. Ako čitatelj nije upoznat s ovom operacijom, trebao bi pogledati odjeljak A.5 za izvođenje jednadžbi (1.46) i (1.47).

1.6.2. Prijenosna funkcija frekvencije

Izlaz frekvencije dobiva se primjenom Fourierove transformacije na obje strane jednadžbe (1.46). Budući da konvolucija u vremenskoj domeni postaje množenje u frekvencijskoj domeni (i obrnuto), iz jednadžbe (1.46) dobivamo sljedeće.

(Pretpostavlja se, naravno, da za sve .) Evo , Fourierova transformacija impulsnog odziva, koja se naziva frekvencijska prijenosna funkcija, frekvencijski odziv ili frekvencijski odziv mreže. Općenito, funkcija je složena i može se napisati kao

, (1.50)

gdje je modul odziva. Faza odgovora definirana je na sljedeći način.

(1.51)

(i označava stvarni i imaginarni dio argumenta.)

Prijenosna funkcija frekvencije linearne, vremenski nepromjenjive mreže može se jednostavno izmjeriti u laboratoriju - u mreži s harmoničkim generatorom na ulazu i osciloskopom na izlazu. Ako je ulazni signal izražen kao

,

tada se izlaz može napisati na sljedeći način.

Ulazna frekvencija je pomaknuta za vrijednost koja nas zanima; dakle, mjerenja na ulazu i izlazu omogućuju određivanje vrste.

1.6.2.1. Slučajni procesi i linearni sustavi

Ako slučajni proces čini ulaz linearnog, vremenski nepromjenjivog sustava, tada na izlazu tog sustava također dobivamo slučajni proces. Drugim riječima, svaka ogledna funkcija ulaznog procesa daje oglednu funkciju izlaznog procesa. Spektralna gustoća ulazne snage i spektralna gustoća izlazne snage povezane su sljedećim odnosom.

(1.53)

Jednadžba (1.53) pruža jednostavan način za pronalaženje spektralne gustoće snage na izlazu linearnog, vremenski nepromjenjivog sustava kada se slučajni proces primjenjuje kao ulaz.

U poglavljima 3 i 4, pogledat ćemo detekciju signala u Gaussovom šumu. Glavno svojstvo Gaussovih procesa primijenit ćemo na linearni sustav. Pokazat će se da ako se Gaussov proces dovede do vremenski nepromjenjivog linijski filter, tada je slučajni proces koji ulazi u izlaz također Gaussov.

1.6.3. Prijenos bez izobličenja

Što je potrebno da bi se mreža ponašala kao idealan prijenosni kanal? Signal na izlazu idealnog komunikacijskog kanala može kasniti u odnosu na signal na ulazu; uz to ti signali mogu imati različite amplitude (jednostavno reskaliranje), ali što se tiče svega ostalog - signal ne smije biti izobličen, tj. mora imati isti oblik kao ulazni signal. Stoga, za idealan prijenos bez izobličenja, možemo opisati izlazni signal kao

, (1.54)

gdje su i konstante. Primjenom Fourierove transformacije na oba dijela (vidi odjeljak A.3.1), imamo sljedeće.

(1.55)

Zamjenom izraza (1.55) u jednadžbu (1.49) vidimo da potrebna prijenosna funkcija sustava za prijenos bez izobličenja ima sljedeći oblik.

(1.56)

Stoga, da bi se dobio idealan prijenos bez izobličenja, ukupni odziv sustava mora imati konstantan modul, a fazni pomak mora biti linearan u frekvenciji. Nije dovoljno da sustav podjednako pojačava ili smanjuje sve frekvencijske komponente. Svi harmonici signala moraju stići na izlaz s istim kašnjenjem kako bi se mogli zbrojiti. Budući da je kašnjenje povezano s faznim pomakom i cikličkom frekvencijom relacijom

, (1.57,a)

očito je da, kako bi kašnjenje svih komponenti bilo isto, fazni pomak mora biti proporcionalan frekvenciji. Za mjerenje izobličenja signala uzrokovanog kašnjenjem često se koristi karakteristika koja se naziva grupno kašnjenje; definiran je na sljedeći način.

(1.57b)

Stoga, za prijenos bez izobličenja, imamo dva ekvivalentna zahtjeva: faza mora biti linearna po frekvenciji ili grupno kašnjenje mora biti jednako konstanti. U praksi, signal će biti izobličen dok prolazi kroz neke dijelove sustava. Kako bi se uklonilo ovo izobličenje, u sustav se mogu uvesti krugovi za korekciju faze ili amplitude (izjednačavanje). Općenito, distorzija je opće karakteristike I/O sustava, koji određuje njegovu izvedbu.

1.6.3.1. Idealan filter

Nerealno je konstruirati idealnu mrežu opisanu jednadžbom (1.56). Problem je u tome što jednadžba (1.56) pretpostavlja beskonačnu propusnost, pri čemu je propusnost sustava određena rasponom pozitivnih frekvencija gdje modul ima zadanu vrijednost. (Općenito, postoji nekoliko mjera propusnosti; najčešće su navedene u odjeljku 1.7.) Kao aproksimaciju idealne mreže s beskonačnom propusnošću, odabiremo skraćenu mrežu koja bez izobličenja propušta sve harmonike s frekvencijama između i gdje je donja granična frekvencija, a gornja je, kao što je prikazano na sl. 1.11. Sve takve mreže nazivamo idealnim filtrima. Pretpostavlja se da je izvan raspona, koji se naziva propusni pojas (passband), amplituda odziva idealnog filtra nula. Efektivna propusnost određena je propusnošću filtera i iznosi Hz.

Ako je i , filtar se naziva transmisivni (Sl. 1.11, a). Ako i ima konačnu vrijednost, naziva se niskopropusni filtar (Sl. 1.11, b). Ako ima vrijednost različitu od nule i , naziva se visokopropusni filtar (Sl. 1.11, u).

sl.1.11. Prijenosna funkcija idealnih filtara: a) idealni prijenosni filtar; b) idealni niskopropusni filtar; c) idealni niskopropusni filter

Korištenjem jednadžbe (1.59) i pretpostavkom idealnog niskopropusnog filtra s Hz pojasnom širinom prikazanom na sl. 1.11 b, funkcija prijenosa može se napisati na sljedeći način.

(1.58)

Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtra, prikazanog na sl. 1.12 izražava se sljedećom formulom.

sl.1.12. Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtra

gdje je funkcija definirana u jednadžbi (1.39). Impulsni odziv prikazan na sl. 1.12 nije uzročna; to znači da u trenutku kada se signal primijeni na ulaz (), na izlazu filtra postoji odziv različit od nule. Stoga bi trebalo biti očito da idealni filtar opisan jednadžbom (1.58) zapravo ne postoji.

Primjer 1.2. Propuštanje bijelog šuma kroz idealan filter

Bijeli šum sa spektralnom gustoćom snage prikazano na slici 1.8, a, primjenjuje se na ulaz idealnog niskopropusnog filtra prikazanog na sl. 1.11 b. Odredite spektralnu gustoću snage i funkciju autokorelacije izlaznog signala.

Riješenje

Autokorelacijska funkcija je rezultat primjene inverzne Fourierove transformacije na spektralnu gustoću snage. Određuje se autokorelacijska funkcija sljedeći izraz(vidi tablicu A.1).

Uspoređujući dobiveni rezultat s formulom (1.62), vidimo da ima isti oblik kao impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtra prikazanog na sl. 1.12. U ovom primjeru idealni niskopropusni filtar pretvara funkciju autokorelacije bijelog šuma (definiranu u smislu delta funkcije) u funkciju . Nakon filtriranja, sustav više neće imati bijeli šum. Izlazni signal šuma imat će nultu korelaciju sa svojim pomaknutim kopijama samo kada se pomakne za , gdje je bilo koji cijeli broj različit od nule.

1.6.3.2. Implementirani filteri

Najjednostavniji niskopropusni filtar koji se može implementirati sastoji se od otpora (R) i kapaciteta (C), kao što je prikazano na slici. 1.13 a; ovaj se filtar naziva RC filtar i njegova prijenosna funkcija može se izraziti na sljedeći način.

, (1.63)

gdje . Amplitudna karakteristika i fazna karakteristika prikazane su na sl. 1.13 b, u. Širina pojasa niskopropusnog filtra određena je na točki polovine snage; ova točka predstavlja frekvenciju na kojoj je snaga izlaznog signala polovica maksimalne vrijednosti ili frekvenciju na kojoj je amplituda izlaznog napona jednaka maksimalnoj vrijednosti.

Općenito, točka polovine snage izražava se u decibelima (dB) kao točka od -3 dB ili točka 3 dB ispod maksimalne vrijednosti. Prema definiciji, vrijednost u decibelima određena je omjerom snaga i .

(1.64, a)

Ovdje i su naponi, a i su otpori. U komunikacijskim sustavima, normalizirana snaga se obično koristi za analizu; u ovom slučaju, otpori i se smatraju jednakima 1 ohmu, tada

sl.1.13. RC filtar i njegova prijenosna funkcija: a) RC filtar; b) amplitudna karakteristika RC filtra; c) fazni odziv RC filtra

(1.64, b)

Amplitudni odziv može se izraziti u decibelima kao

, (1,64, in)

gdje su i ulazni i izlazni naponi, a pretpostavlja se da su ulazni i izlazni otpori jednaki.

Iz jednadžbe (1.63) lako je provjeriti da točka polovice snage RC niskopropusnog filtra odgovara rad/s ili Hz. Dakle, propusnost u hercima je . Faktor oblika filtra mjera je koliko se pravi filtar približava idealnom. Obično se definira kao omjer propusnosti filtera od -60 dB i -6 dB. Dovoljno mali faktor oblika (oko 2) može se dobiti u prijenosnom filtru s vrlo oštrim prekidom. Usporedbe radi, faktor oblika jednostavnog RC niskopropusnog filtra je oko 600.

Postoji nekoliko korisnih aproksimacija karakteristika idealnog niskopropusnog filtra. Jedan od njih pruža Butterworthov filtar, koji aproksimira idealni niskopropusni filtar s funkcijom

, (1.65)

gdje je gornja granična frekvencija (-3 dB) i red filtra. Što je veći redoslijed, veća je složenost i cijena implementacije filtera. Na sl. 1.14 prikazuje grafikone amplitude za nekoliko vrijednosti. Imajte na umu da kako i raste, karakteristike amplitude se približavaju karakteristikama idealnog filtera. Butterworthovi filteri su popularni jer su najbolja aproksimacija idealnog slučaja u smislu maksimalne ravnosti propusnosti filtera.

Periodički nastavak impulsa. Pojam spektralne gustoće signala Inverzna Fourierova transformacija. Uvjet postojanja spektralne gustoće signala Odnos između trajanja impulsa i širine njegovog spektra Generalizirana Rayleighova formula Međusobna spektralna gustoća signala. Energetski spektar Korelacijska analiza signala Usporedba signala pomaknutih u vremenu.

Svrha predavanja:

Dobiti spektralne karakteristike neperiodičnih (impulsnih) signala generalizacijom Fourierovih redova. Odredite zahtjeve za propusnost radio uređaja. Predstavite signale u smislu njihove spektralne gustoće. Koristite energetski spektar za dobivanje različitih inženjerskih procjena. Razumjeti kako se javlja potreba za signalima s posebno odabranim svojstvima.

Neka je s (t) jedan impulsni signal konačnog trajanja. Dopunjujući ga mentalno s istim signalima koji periodički slijede kroz određeni vremenski interval T, dobivamo prethodno proučavani periodički niz S po (t), koji se može prikazati kao složeni Fourierov red

(12.1) s koeficijentima . (12.2)

Da se vratim u samicu impulsni signal, težimo beskonačnom razdoblju ponavljanja T. U ovom slučaju je očito:

a) frekvencije susjednih harmonika nω 1 i (n+ l)ω 1 bit će proizvoljno bliske, tako da se u formulama (12.1) i (12.2) diskretna varijabla nω 1 može zamijeniti kontinuiranom varijablom ω - trenutna frekvencija;

b) koeficijenti amplitude C n postat će beskonačno mali zbog prisutnosti T u nazivniku formule (12.2).

Naš je zadatak sada pronaći granični oblik formule (12.1) kada je T→∞.

Razmotrimo mali frekvencijski interval Δω, koji čini okolinu neke odabrane vrijednosti frekvencije ω 0 . Unutar ovog intervala sadržavat će N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) pojedinačnih parova spektralnih komponenti, čije se frekvencije razlikuju onoliko malo koliko se želi. Stoga se komponente mogu dodati kao kao da svi imaju istu frekvenciju i karakteriziraju ih iste složene amplitude

Kao rezultat, nalazimo kompleksnu amplitudu ekvivalentnog harmonijskog signala, koji odražava doprinos svih spektralnih komponenti sadržanih unutar intervala Δω

. (12.3)

Funkcija (12.4)

Zove se spektralna gustoća signal s (t). Formula (12.4) provodi Fourierova transformacija ovaj signal.

Mi ćemo odlučiti inverzni problem spektralna teorija signala: signal nalazimo po spektralnoj gustoći koju ćemo smatrati zadanom.

Budući da se u limitu frekvencijski intervali između susjednih harmonika neograničeno smanjuju, posljednji zbroj treba zamijeniti integralom

. (12.5)

Ovaj važna formula nazvao inverzna Fourierova transformacija za signal s(t).

Formulirajmo konačno temeljni rezultat: signal s(t) i njegova spektralna gustoća S(ω) međusobno su povezani izravnom i inverznom Fourierovom transformacijom

, (12.6)

.

Spektralna reprezentacija signala otvara izravan put analizi prolaska signala kroz široku klasu radijskih sklopova, uređaja i sustava.

Signal s(t) može se povezati s njegovom spektralnom gustoćom s(ω) ako ovaj signal apsolutno integrabilan, tj. postoji integral

Takav uvjet značajno sužava klasu dopuštenih signala. Dakle, u naznačenom klasičnom smislu, nemoguće je govoriti o spektralnoj gustoći harmonijskog signala i(t) = U m cosω 0 t , postoje u cijeloj beskonačnoj osi vremena.

Važan zaključak: što je kraće trajanje impulsa, to je širi njegov spektar.

Širina spektra se shvaća kao frekvencijski interval unutar kojeg modul spektralne gustoće nije manji od neke unaprijed određene razine, na primjer, varira od |S| max , do 0,1|S| max.

Umnožak širine spektra impulsa i njegovog trajanja konstantan je broj koji ovisi samo o obliku impulsa i u pravilu ima redoslijed jedinice: Što je kraće trajanje impulsa, to je šira propusnost odgovarajućeg impulsa. pojačalo bi trebalo biti. Šum kratkog impulsa ima široki spektar i stoga može pogoršati uvjete radijskog prijema u širokom frekvencijskom pojasu.

Matematički modeli mnogih signala koji se široko koriste u radiotehnici ne zadovoljavaju uvjet apsolutne integrabilnosti, pa metoda Fourierove transformacije u svom uobičajenom obliku nije primjenjiva na njih. Međutim, možemo govoriti o spektralnim gustoćama takvih signala, ako pretpostavimo da su te gustoće opisane generaliziranim funkcijama.

Neka dva signala u(t) i v(t), općenito kompleksne vrijednosti, definirane njihovim inverznim Fourierovim transformacijama.

Nađimo skalarni umnožak ovih signala izražavanjem jednog od njih, na primjer v(t), kroz njegovu spektralnu gustoću

Rezultirajuća relacija je generalizirana Rayleighova formula. Tumačenje ove formule koje se lako pamti je sljedeće: skalarni umnožak dvaju signala, do koeficijenta, proporcionalan je skalarnom umnošku njihovih spektralnih gustoća. Ako se signali podudaraju, tada skalarni umnožak postaje jednak energiji

. (12.7)

Nazovimo međusobni energetski spektar pravi signali u(t) i v(t) funkcija

, (12.8)

takav da

. (4.9)

Lako je vidjeti da je Re W UV(ω)-paran, i Im W UV(ω)-funkcija neparne frekvencije. Integral (12.9) doprinosi samo realnom dijelu, pa

. (12.10)

Posljednja formula omogućuje analizu "fine strukture" međusobnog povezivanja signala.

Štoviše, generalizirana Rayleighova formula, prikazana u obliku (12.10), ukazuje na temeljni način smanjenja stupnja povezanosti između dva signala, postižući njihovu ortogonalnost u granici. Da biste to učinili, jedan od signala mora se obraditi u posebnom fizički sustav nazvao frekvencijski filter. Ovaj filtar je potreban da ne propušta na izlaz spektralne komponente koje se nalaze unutar frekvencijskog intervala, gdje je realni dio međusobnog energetskog spektra velik. Ovisnost o frekvenciji koeficijenta prijenosa takvih ortogonalizirajući filtarće imati izražen minimum unutar navedenog frekvencijskog raspona.

Spektralni prikaz energije signala može se lako dobiti iz generalizirane Rayleighove formule ako signali u njoj u(t) i v(t) smatraju isto. Formula (12.8), koja izražava spektralnu gustoću energije, ima oblik

Vrijednost W u (ω) naziva se spektralna gustoća energije signal u(t), ili, ukratko, njegov energetski spektar. Formula (3.2) će tada biti zapisana kao

. (12.12)

Relacija (4.12) je poznata kao Rayleighova formula(u užem smislu), koji kaže sljedeće: energija bilo kojeg signala je rezultat zbrajanja doprinosa iz različitih intervala frekvencijske osi.

Kada proučavamo signal pomoću njegovog energetskog spektra, neizbježno gubimo informacije sadržane u faznom spektru signala, budući da je, u skladu s formulom (4.11), energetski spektar kvadrat modula spektralne gustoće i ne ovisi o njegovu fazu.

Okrenimo se pojednostavljenoj ideji rada pulsnog radara dizajniranog za mjerenje dometa do cilja. Ovdje je informacija o objektu mjerenja ugrađena u vrijednost τ - vremensko kašnjenje između sondiranja i primljenog signala. Probni oblici i(t) i prihvaćeno i(t-τ) signali su isti za bilo koje kašnjenje. Strukturna shema uređaj za obradu radarskog signala dizajniran za određivanje udaljenosti može izgledati kao onaj prikazan na slici 12.1.

Slika 12.1 - Uređaj za mjerenje vremena kašnjenja signala

Razmotrimo takozvani energetski oblik Fourierovog integrala. U 5. poglavlju prikazane su formule (7.15) i (7.16) koje daju prijelaz s vremenske funkcije na Fourierovu sliku i obrnuto. Ako se razmatra neka slučajna funkcija vremena x (s), onda se za nju ove formule mogu napisati u obliku

i integrirati preko svega

zamijeniti izrazom (11.54):

Vrijednost u uglate zagrade(11.57), kao što je lako vidjeti, izvorna je funkcija vremena (11.55). Stoga je rezultat takozvana Rayleighova formula (Parsevalov teorem), koja odgovara energetskom obliku Fourierovog integrala:

Desna strana (11.58) i (11.39) je veličina proporcionalna energiji procesa koji se razmatra. Tako, na primjer, ako uzmemo u obzir struju koja teče kroz određeni otpornik s otporom K, tada će energija oslobođena u tom otporniku tijekom vremena biti

Formule (11.58) i (11.59) i izražavaju energetski oblik Fourierovog integrala.

Međutim, ove formule su nezgodne jer za većinu procesa energija također teži beskonačnosti tijekom beskonačnog vremenskog intervala. Stoga je prikladnije baviti se ne energijom, već prosječnom snagom procesa, koja će se dobiti ako se energija podijeli s intervalom promatranja. Tada se formula (11.58) može prikazati kao

Uvođenje notnog zapisa

naziva se spektralna gustoća. važno

Na svoj način fizičko značenje spektralna gustoća je veličina koja je proporcionalna prosječnoj snazi ​​procesa u frekvencijskom području od co do co + d?co.

U nekim slučajevima, spektralna gustoća se uzima u obzir samo za pozitivne frekvencije, udvostručujući je u isto vrijeme, što je moguće učiniti, budući da je spektralna gustoća ravnomjerna funkcija frekvencije. Tada, na primjer, formulu (11.62) treba napisati kao

- spektralna gustoća za pozitivne frekvencije.

budući da u tom slučaju formule postaju simetričnije.

Vrlo važna okolnost je da su spektralna gustoća i korelacijska funkcija slučajnih procesa međusobne Fourierove transformacije, tj. povezane su integralnim ovisnostima tipa (11.54) i (11.55). Ova nekretnina je dana bez dokaza.

Tako se mogu napisati sljedeće formule:

Budući da su spektralna gustoća i korelacijska funkcija čak i stvarne funkcije, ponekad se formule (11.65) i (11.66) prikazuju u jednostavnijem obliku;

)

To proizlazi iz činjenice da se ostvaruju jednakosti:

a imaginarni dijelovi se mogu odbaciti nakon zamjene u (11.65) i (11.66), budući da su stvarne funkcije s lijeve strane.

leži u činjenici da što je grafikon spektralne gustoće uži (sl. 11.16, a), tj. što su niže frekvencije predstavljene u spektralnoj gustoći, to se vrijednost x sporije mijenja tijekom vremena. Naprotiv, što je širi grafikon spektralne gustoće (sl. 11.16, b), tj. što su veće frekvencije predstavljene u spektralnoj gustoći, to je finija struktura funkcije x (r) i brže su promjene u vremenu .

Kao što se može vidjeti iz ovog razmatranja, odnos između tipa spektralne gustoće i tipa vremenske funkcije dobiva se obrnuto u usporedbi s odnosom između korelacijske funkcije i samog procesa (slika 11.14). Iz toga slijedi da bi uži graf korelacijske funkcije trebao odgovarati širem grafu spektralne gustoće i obrnuto.

I 8 (ko). Te su funkcije, za razliku od impulsnih funkcija razmatranih u poglavlju 4, parne. To znači da se funkcija 8(m) nalazi simetrično u odnosu na ishodište i može se definirati na sljedeći način;

Slična definicija vrijedi i za funkciju 8(co). Ponekad se u razmatranje uvodi normalizirana spektralna gustoća, koja je Fourierova slika normalizirane korelacijske funkcije (11.52):

i zbog toga

gdje je O disperzija.

Međusobne spektralne gustoće također su mjera odnosa između dviju slučajnih varijabli. U nedostatku komunikacije međusobne spektralne gustoće jednake su nuli.

Pogledajmo neke primjere.

Ova je funkcija prikazana na sl. 11.17 a. Fourierova slika koja joj odgovara na temelju tablice. 11.3 hoće

Spektar procesa sastoji se od jednog vrha tipa impulsne funkcije koji se nalazi u ishodištu koordinata (Sl. 11.17, b).

To znači da je sva snaga procesa koji se razmatra koncentrirana na frekvenciji metka, što je i očekivano.

Ova je funkcija prikazana na sl. 11.18, a, U skladu s tablicom. 11.3 spektralna gustoća bit će

3. Za periodičku funkciju proširenu u Fourierov red

osim periodičkog dijela sadržavati i neperiodsku komponentu, tada će spektar ove funkcije sadržavati, uz pojedine linije tipa impulsne funkcije, i kontinuirani dio (sl. 11.20). Pojedinačni vrhovi na grafikonu spektralne gustoće ukazuju na prisutnost skrivenih nepravilnosti u funkciji koja se proučava.

ne sadrži periodički dio, tada će imati kontinuirani spektar bez izraženih vrhova.

Razmotrimo neke stacionarne slučajne procese koji su važni u proučavanju sustava upravljanja. Razmotrit ćemo samo centrirano

U ovom slučaju, srednji kvadrat slučajne varijable bit će jednak varijanci:

uzimanje u obzir stalnog pomaka u sustavu upravljanja je elementarno.

(Slika 11.21, a):

Primjer takvog procesa je toplinski šum otpornika, koji daje razinu spektralne gustoće kaotičnog napona na ovom otporniku

apsolutna temperatura.

Na temelju (11.68), spektralna gustoća (11.71) odgovara korelacijskoj funkciji

ne postoji korelacija između sljedećih i prethodnih vrijednosti slučajne varijable x.

a time i beskrajnu snagu.

Da biste dobili fizički stvaran proces, prikladno je uvesti koncept bijelog šuma s ograničenom spektralnom gustoćom (Sl. 11.21, b):

Širina pojasa za spektralnu gustoću.

Ovaj proces odgovara korelacijskoj funkciji

RMS vrijednost slučajne varijable proporcionalna je kvadratnom korijenu frekvencijskog pojasa:

Često je prikladnije aproksimirati ovisnost (11.73) glatkom krivuljom. U tu svrhu možete, na primjer, upotrijebiti izraz

Čimbenik koji određuje propusnost.

Proces se približava bijelom šumu, dakle

što se tiče ovih frekvencija

Integracija (11.77) preko svih frekvencija omogućuje određivanje disperzije:

Stoga se spektralna gustoća (11.77) može napisati u drugom obliku:

Korelacijska funkcija za ovaj proces

Korelacijska funkcija također je prikazana na sl. 11.21, c.

Prijelaz s jedne vrijednosti na drugu je trenutačan. Vremenski intervali slijede Poissonov zakon distribucije (11.4).

Grafikon ovog tipa dobiva se npr. u prvoj aproksimaciji pri praćenju pokretnog cilja radarom. Konstantna vrijednost brzine odgovara kretanju mete u ravnoj liniji. Promjena predznaka ili veličine brzine odgovara manevru cilja.

Bit će prosječna vrijednost vremenskog intervala tijekom kojeg kutna brzina ostaje konstantna. Za radar, ova vrijednost će biti prosječno vrijeme kada se cilj kreće pravocrtno.

Za određivanje korelacijske funkcije potrebno je pronaći prosječnu vrijednost umnoška

Kod pronalaska ovog rada mogu postojati dva slučaja.

pripadaju istom intervalu. Zatim srednja vrijednost proizvoda kutne brzine bit će jednak srednjem kvadratu kutne brzine ili disperzije:

pripadaju različitim intervalima. Tada će prosječna vrijednost umnoška brzina biti jednaka metku:

budući da će proizvodi s pozitivnim i negativnim predznakom biti jednako vjerojatni. Korelacijska funkcija bit će jednaka

Vjerojatnost njihovog pronalaska u različitim intervalima.

Vjerojatnost odsutnosti

Za vremenski interval

budući da su ti događaji neovisni.

Kao rezultat, za konačni interval Am dobivamo

Predznak modula na m postavljen je zbog činjenice da izraz (11.80) mora odgovarati ravnomjerna funkcija. Izraz za korelacijsku funkciju podudara se s (11.79). Stoga se spektralna gustoća procesa koji se razmatra mora podudarati s (11.78):

Imajte na umu da je, za razliku od (11.78), formula spektralne gustoće (11.81) napisana za kutnu brzinu procesa (slika 11.22). Ako se krećemo od kutne brzine do kuta, tada dobivamo nestacionarni slučajni proces s varijancom koja teži beskonačnosti. Međutim, u većini slučajeva, servo sustav, na čijem ulazu djeluje ovaj proces, ima astatičnost prvog i višeg reda. Stoga je prvi koeficijent pogreške c0 servo sustava jednak nuli, a njegova će pogreška biti određena samo ulaznom brzinom i izvodnicama viših redova, u odnosu na koje je proces stacionaran. To omogućuje korištenje spektralne gustoće (11.81) u izračunavanju dinamičke pogreške sustava za praćenje.

3. Nepravilno bacanje. Neki se objekti, kao što su brodovi, zrakoplovi i drugi, pod utjecajem nepravilnih poremećaja (nepravilni valovi, atmosferski poremećaji itd.) gibaju prema slučajnom zakonu.frekvencije poremećaja koje su bliske njihovoj prirodnoj frekvenciji osciliranja. Rezultirajuće nasumično kretanje objekta naziva se nepravilno kotrljanje, za razliku od pravilnog kotrljanja, koje je periodično gibanje.

Tipična shema nepravilnog nagiba prikazana je na sl. 11.23. Iz ovog grafikona je vidljivo da unatoč slučajni lik, ovo je

kretanje je vrlo blizu periodičnom.

U praksi se korelacijska funkcija nepravilnog kotrljanja često aproksimira izrazom

Disperzija.

obično se nalaze obradom eksperimentalnih podataka (terenski testovi).

Korelacijska funkcija (11.82) odgovara spektralnoj gustoći (vidi tablicu 11.3)

Nezgodnost aproksimacije (11.82) je u tome što ova formula može opisati ponašanje bilo koje veličine nepravilnog kotrljanja (kut, kutna brzina ili kutno ubrzanje). U ovom slučaju, vrijednost O će odgovarati disperziji kuta, brzine odnosno ubrzanje.

Ako npr. napišemo formulu (11.82) za kut, tada će taj proces odgovarati nepravilnom damastu s disperzijom za kutne brzine koje teže beskonačnosti, tj. to će biti fizički nestvaran proces.

Prikladnija formula za aproksimaciju kuta nagiba

Međutim, ova aproksimacija također odgovara fizički nerealnom procesu, budući da se pokazalo da disperzija kutne akceleracije teži beskonačnosti.

Za dobivanje konačne disperzije kutnog ubrzanja potrebne su još složenije aproksimacijske formule koje ovdje nisu prikazane.

Tipične krivulje za korelacijsku funkciju i spektralnu gustoću nepravilnog kotrljanja prikazane su na sl. 11.24.