Zbroj suprotnosti. Suprotni brojevi

Razmotrimo ovaj primjer. Trebate brojati redom: .

Možete prerasporediti brojeve koje treba zbrojiti, a zatim oduzeti preostale: .

Ali ovo nije uvijek zgodno. Na primjer, možemo izračunati stanje stvari u nekom skladištu i moramo znati međurezultat.

Radnje možete izvoditi u nizu: .

Znamo da će stoga rezultat biti oduzimanje od broja. To znači da trebamo oduzeti , ali još ne od bilo čega. Kada imamo od čega oduzeti, oduzimamo:

Ali možemo "prevariti" i označiti . Pa ćemo predstaviti novi objekt - negativni brojevi .

Već smo izvršili takvu operaciju - u prirodi, na primjer, broj "" također nije postojao, ali smo uveli takav objekt kako bismo lakše bilježili akcije.

Zamislite da smo u sportskom skladištu imali zadatak izdavati i primati lopte. Moramo voditi evidenciju. Možete napisati riječima:

Izdano, prihvaćeno, izdano, prihvaćeno, … (Pogledajte sliku 1.)

Riža. 1. Računovodstvo

Slažete se, ako trebate izdavati i primati mnogo puta dnevno, tada snimanje nije baš zgodno.

Možete podijeliti list u dva stupca, jedan - Prihvaćeno, drugi - Izdano. (Pogledajte sliku 2.)

Riža. 2. Pojednostavljeno snimanje

Snimka je postala kraća. Ali ovdje je problem: kako razumjeti koliko je lopti oduzeto (ili poklonjeno) u bilo kojem trenutku?

Za evidentiranje možete koristiti sljedeće razmatranje: kada izdamo kuglice sa skladišta, njihova količina u skladištu se smanjuje, a kada ih primimo, povećava se.

Ali kako napisati "dao loptu u aut"? Možete unijeti sljedeći objekt: .

Ovaj nam objekt omogućuje da napravimo matematički zapis kretanja loptica redoslijedom kojim se dogodilo:

Pogledajmo još jedan primjer.

Na vašem telefonskom računu imate rubalja. Išli ste na internet i koštalo je rubalja. Rezultat je bio dug od rubalja. Operater je mogao napisati: "klijent duguje rublje." Stavljate u rublje. Operater je odbio dug. Ispostavilo se na račun rubalja.

Ali zgodno je bilježiti i transakcije i novac na računu pomoću znakova “” i “”. (Pogledajte sliku 3.)

Riža. 3. Praktično snimanje

Upisujemo negativan broj iz kojeg ispisujemo rezultat oduzimanja manji broj više: .

Dodavanje negativnog broja jednako je oduzimanju: .

Kako bismo razlikovali negativne brojeve od pozitivnih brojeva s kojima smo ranije imali posla, dogovorili smo se da ispred njih stavimo znak minus: .

Biste li mogli bez njih? Da, možete. U bilo kojoj situaciji, koristili bismo riječi "vratiti", "posuditi" i tako dalje. Ali one, ove riječi, bile bi drugačije.

I tako imamo univerzalni, praktičan alat. Jedan za sve takve slučajeve.

Možemo povući analogiju s automobilom. Sastoji se od velika količina dijelovi, od kojih mnogi nisu potrebni pojedinačno, ali svi zajedno omogućuju vožnju. Isto tako, negativni brojevi su alat koji, zajedno s drugim matematičkim alatima, olakšava računanje i pojednostavljuje rješavanje i pisanje mnogih zadataka.

Dakle, uveli smo novi objekt - negativne brojeve. Čemu služe u životu?

Prvo, prisjetimo se uloge pozitivnih brojeva:

Količina: na primjer drvo, litra mlijeka. (Pogledajte sliku 4.)

Riža. 4. Količina

Redoslijed: na primjer, kuće su numerirane pozitivni brojevi. (Pogledajte sliku 5.)

Riža. 5. Organizirajte se

Ime: na primjer, broj nogometaša. (Pogledajte sliku 6.)

Riža. 6. Broj kao ime

Sada pogledajmo funkcije negativnih brojeva:

Naznaka količine koja nedostaje. Količina nikada nije negativna. Ali negativan broj se koristi da pokaže da se količina oduzima. Na primjer, možemo natočiti iz boce i napisati to kao . (Pogledajte sliku 7.)

Riža. 7. Naznaka količine koja nedostaje

Aranžiranje. Ponekad je prilikom numeriranja odabrana nula i trebate numerirati objekte s obje strane nule. Na primjer, podovi koji se nalaze ispod th, u podrumu. (Pogledajte sliku 8.) Ili temperatura koja je ispod odabrane nule. (Pogledajte sliku 9.)

Riža. 8. Etaža koja se nalazi ispod kata, u suterenu

Riža. 9. Negativni brojevi na skali termometra

Ipak, glavna svrha negativnih brojeva je alat za pojednostavljivanje matematičkih izračuna.

Ali da bi negativni brojevi postali tako praktičan alat, trebate:

Negativna temperatura je ona koja je ispod nule, temperatura ispod nule. Ali što je nulta temperatura? Za mjerenje i bilježenje temperature potrebno je odabrati mjernu jedinicu i referentnu točku. I jedno i drugo su sporazumi. Celzijevu ljestvicu koristimo prema znanstveniku koji ju je predložio. (Pogledajte sliku 10.)

Riža. 10. Anders Celsius

Ovdje je kao referentna točka odabrana točka smrzavanja vode. Sve ispod je naznačeno negativna vrijednost. (Pogledajte sliku 11.)

Riža. jedanaest.

Ali jasno je da ako uzmemo drugu referentnu točku, drugu nulu, onda negativna temperatura u Celzijusu može biti pozitivna na ovoj drugoj ljestvici. Evo što se događa. Kelvinova ljestvica se široko koristi u fizici. Slična je Celzijevoj ljestvici, samo je vrijednost najniže moguće temperature odabrana kao nula (ne može biti niža). Ova vrijednost se zove " apsolutna nula" U Celzijevim stupnjevima to je otprilike . (Pogledajte sliku 12.)

Riža. 12. Dvije skale

Odnosno, u Kelvinovoj ljestvici uopće nema negativnih vrijednosti.

Dakle, naše ljeto .

I one mrazne .

Odnosno, negativna temperatura je konvencija, dogovor među ljudima da se to tako zove.

Krenimo od nule. Nula uzima poseban položaj među brojevima.

Kao što smo već spomenuli, radi lakšeg snalaženja, oduzimanje broja sedam možemo označiti kao negativan broj. Budući da znači oduzimanje, ostavljamo znak “” kao njegov znak. Imenujmo novi broj.

Odnosno, “” je broj čiji zbroj daje nulu: . I to bilo kojim redom. Ovo je definicija negativnog (ili suprotnog) broja.

Za svaki broj koji smo ranije proučavali uvest ćemo novi broj, negativan, čiji je predznak znak minus ispred njega. Odnosno, za svaki prethodni broj pojavio se njegov negativni blizanac. Takve blizance nazivamo suprotnim brojevima. (Pogledajte sliku 13.)

Riža. 13. Suprotni brojevi

Dakle, definicija: suprotni brojevi su dva broja čiji je zbroj jednak nuli.

Izvana se razlikuju samo u znaku "".

Ako varijabli prethodi znak "", na primjer, što to znači? Ovo ne znači to dana vrijednost negativan. Znak minus znači da je ova vrijednost suprotna od broja: . Ne znamo koji je od ovih brojeva pozitivan, a koji negativan.

Ako tada.

Ako (negativan broj), tada (pozitivan broj).

Koji je broj suprotan nuli? Ovo već znamo.

Ako se nula doda bilo kojem broju, uključujući nulu, tada se izvorni broj neće promijeniti. Odnosno, zbroj dviju nula je nula: . Ali brojevi čiji je zbroj nula su suprotni. Dakle, nula je suprotna sama sebi.

Dakle, dali smo definiciju negativnih brojeva i otkrili zašto su potrebni.

Sada posvetimo malo vremena tehnologiji. Za sada moramo naučiti kako pronaći njegovu suprotnost za bilo koji broj:

U zadnjem dijelu lekcije govorit ćemo o novim nazivima i oznakama za skupove koji se pojavljuju nakon uvođenja negativnih brojeva.

Predmet

Vrsta lekcije

proučavanje i primarna asimilacija novog materijala

Ciljevi lekcije

Naučite definicije pozitivnih, negativnih i suprotnih brojeva.

Pronađite suprotne brojeve pri rješavanju zadataka, pri rješavanju jednadžbi

Razvojni – razvijati pažnju učenika, ustrajnost, ustrajnost, logično mišljenje, matematički govor.

Edukativni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći i neovisnosti.

Ciljevi lekcije

Saznajte što su suprotni brojevi

Naučite koristiti ovaj koncept pri rješavanju problema

Provjerite vještine rješavanja problema učenika.

Plan učenja

1. Uvod.

2. Teorijski dio

3. Praktični dio.

4. Domaća zadaća.

5. Zanimljivosti

Uvod

Pogledajte slike i jednom riječju opišite što je na njima drugačije.

Slike pokazuju suprotnosti.

- to su dva jednaka broja apsolutna vrijednost, ali imajući različite znakove, npr. 5 i -5.

Teorijski dio

Prvo, sjetimo se što je to negativni brojevi. Izgled video:

Točke s koordinatama 5 i -5 jednako su udaljene od točke O i nalaze se duž različite strane od nje. Da biste došli od točke O do ovih točaka, morate prijeći iste udaljenosti, ali u suprotnim smjerovima. Zovu se brojevi 5 i -5 suprotni brojevi: 5 je suprotno od -5, a -5 je suprotno od 5.

Nazivaju se dva broja koji se međusobno razlikuju samo predznakom suprotni brojevi.

Na primjer, suprotni brojevi bi bili 35 i -35, jer je broj 35 = +35, što znači da se brojevi 35 i -35 razlikuju samo u predznaku. Suprotni brojevi također će biti 0,8 i -0,8, ¾ i -¾.

Svojstva suprotnih brojeva

1). Za svaki broj postoji samo jedan suprotni broj.

2). Broj 0 je sam sebi suprotan.

3). Suprotan broj od a označava se -a. Ako je a = -7,8, tada je -a = 7,8; ako je a = 8,3, tada je -a = -8,3; ako je a = 0, tada je -a = 0.

4). Oznaka "-(-15)" znači broj suprotan od -15. Budući da je suprotno od -15 15, tada je -(-15) = 15. Općenito -(-a) = a.

Nazivaju se prirodni brojevi, njihovi suprotni brojevi i nula cijeli brojevi.

Suprotan broj n" u odnosu na broj n je broj koji kada se doda n daje nulu.

n + n" = 0

Ova se jednakost može prepisati na sljedeći način:

n + n" − n = 0 − n ili n" = − n

Tako, suprotni brojevi imaju iste module, ali suprotnih predznaka.

Sukladno tome, broj suprotan od n označava se − n. Kada je broj pozitivan, njegov suprotni broj bit će negativan i obrnuto.

1. Navedite primjere suprotnih brojeva.

2. Nacrtaj ih na koordinatnu liniju.

3. Imenuj broj nasuprot -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Praktični dio

Primjer

1) Označite na koordinatnoj liniji točke A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( 7). 2) Među tim točkama nađi i označi one koje su simetrične u odnosu na točku O(0). Što se može reći o koordinatama simetričnih točaka?

Točke simetrične u odnosu na točku O(0): A(2) i B(-2), E(- 5.2) i F(5.2)

Koordinate simetričnih točaka su brojevi koji se razlikuju samo predznakom. Takvi se brojevi nazivaju suprotan.

Označite točke A(-3), B(+6), C(+4.2), D(+3), E(-4.2), F(-6) na koordinatnoj liniji. Što možete reći o ovim brojevima ??

Od brojeva 15; 2,5; – 2,5; - 18; 0; 45; – 45 izaberi: a) prirodne brojeve; b) cijeli brojevi; c) negativni brojevi; d) pozitivni brojevi; d) suprotni brojevi.

1) Zapiši broj nasuprot broju a.

2) Označite broj nasuprot broju a ako:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.

1) Zapamtite što natuknica znači: - (- a).

2) Stavite broj umjesto * da dobijete točnu jednakost: a) - (- 5) = *; b) 3 = – *.

Domaća zadaća

1). Ispunite tablicu:

2). Nađi: a) -m,

ako je m = -8,

ako je m = -16

ako je -k = 27

ako je -k = -35

ako je c = 41

ako je c = -3.6

3). Koliko se parova suprotnih brojeva nalazi između brojeva -7,2 i 3,6. Označite na koordinatnoj liniji.

4). Saznajte ime izvanrednog francuskog znanstvenika:

Znate li gdje u Svakidašnjica susrećemo li pozitivne i negativne brojeve?

Popis korištenih izvora

1. Matematička enciklopedija (u 5 svezaka). - M.: Sovjetska enciklopedija, 2002. - T. 1.
2. " Najnoviji imenikškolarac" "KUĆA XXI stoljeće" 2008
3. Sažetak lekcije na temu „Suprotni brojevi” Autor: Petrova V.P., učiteljica matematike (5-9 razreda), Kijev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V. I. Zhokhov, Matematika za 6. razred, Udžbenik za Srednja škola s

U ovom ćemo članku pokušati otkriti što su suprotni brojevi. Objasnit ćemo što su oni općenito, pokazati koje se specifične oznake za njih koriste i pogledati nekoliko primjera. U zadnjem dijelu gradiva navest ćemo glavna svojstva suprotnih brojeva.

Da bismo objasnili sam koncept suprotnosti, prvo moramo prikazati koordinatnu liniju. Uzmimo točku M na njemu (ali ne na samom početku odbrojavanja). Njegova udaljenost do nule bit će jednaka određenom broju jediničnih segmenata, koji se pak mogu podijeliti na desetinke i stotinke. Ako izmjerimo istu udaljenost od ishodišta u smjeru suprotnom od onoga u kojem se nalazi M, tada možemo doći do druge slične točke. Nazovimo ga N. Na primjer, udaljenost od M do nule je 2,4 jedinična segmenta, a od N do nule je ista. Pogledajte sliku:

Podsjetimo se da se svakoj točki na koordinatnoj liniji može pridružiti samo jedna pravi broj. U ovom slučaju naše točke M i N odgovaraju određenim brojevima, koji se nazivaju suprotnim. Svaki broj ima suprotni broj, osim nule. Budući da je ovo početak odbrojavanja, smatra se suprotnošću od sebe.

Zapišimo definiciju što su suprotni brojevi:

Definicija 1

Suprotan nazivaju se brojevi koji odgovaraju takvim točkama na koordinatnom pravcu do kojih ćemo doći ako u različitim smjerovima (pozitivnim i negativnim) označimo istu udaljenost od ishodišta. Nula je u ishodištu i nasuprot je sebi.

Kako se označavaju suprotni brojevi?

U ovom dijelu ćemo uvesti osnovne oznake za takve brojeve. Ako imamo određeni broj i trebamo zapisati suprotan od njega, onda za to koristimo minus.

Primjer 1

Recimo da je naš broj a, stoga je njegova suprotnost a (minus a). Na potpuno isti način, za 0,26 suprotno je - 0,26, a za 145 će biti - 145. Ako je izvorni broj sam po sebi negativan, na primjer, - 9, tada suprotno pišemo kao – (- 9).

Koje još primjere suprotnih brojeva možete navesti? Uzmimo cijele brojeve: 12 i - 12. Suprotni racionalni brojevi su 3 2 11 i - 3 2 11, kao i 8, 128 i − 8, 128, 0, (18901) i − 0, (18901) itd. Iracionalni brojevi mogu biti i suprotni, npr. vrijednosti numerički izrazi 2 + 1 i - 2 + 1.

Suprotan ir racionalni brojevi tako će i e i - e .

Osnovna svojstva suprotnih brojeva

Takvi brojevi imaju određena svojstva. U nastavku ćemo dati njihov popis s objašnjenjima.

Definicija 2

1. Ako je izvorni broj pozitivan, onda će njegova suprotnost biti negativna.

Ova izjava je očita i proizlazi iz gornjeg grafikona: takvi se brojevi nalaze na suprotnim stranama referentne linije. Ako ste zaboravili pojmove pozitivnih i negativnih brojeva, pogledajte materijal koji smo ranije objavili.

Iz ovog pravila može se izvesti još jedna vrlo važna izjava. U doslovnom obliku, njegov zapis izgleda ovako: za bilo koje pozitivno a vrijedit će − (− a) = a. Pokažimo na primjeru zašto je to važno.

Uzmimo broj 5. Koristeći koordinatni pravac, možete vidjeti da je suprotni broj 5, i obrnuto. Koristeći notaciju koju smo gore naveli, zapisujemo broj nasuprot - 5 kao – (- 5) . Ispada da je – (- 5) = 5. Otuda zaključak: suprotni brojevi se međusobno razlikuju samo po prisutnosti znaka minus.

2. Sljedeća nekretnina obično se naziva svojstvo simetrije. Može se izvesti i iz same definicije suprotnih brojeva. Zvuči ovako:

Definicija 3

Ako je neki broj a suprotan od b, tada je b suprotan od a.

Očito, ovoj izjavi nisu potrebni dodatni dokazi.

3. Treće svojstvo suprotnih brojeva kaže:

Definicija 4

Svaki realni broj ima samo jedan suprotni broj.

Ova izjava proizlazi iz činjenice da točke na koordinatnoj liniji ne mogu odgovarati više brojeva odjednom.

Definicija 5

4. Moduli suprotnih brojeva su jednaki.

To proizlazi iz definicije modula. Logično je da su točke na liniji koje odgovaraju bilo kojim suprotnim brojevima na istoj udaljenosti od referentne točke.

Definicija 6

5. Ako zbrojimo suprotne brojeve, dobit ćemo 0.

Doslovno, ova izjava izgleda kao + (− a) = 0.

Primjer 2

Evo primjera takvih izračuna:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Kao što vidite, ovo pravilo vrijedi za sve brojeve - cijele brojeve, racionalne, iracionalne itd.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

§ 1. Pojam pozitivnog broja

U ovoj lekciji naučit ćete koji se brojevi nazivaju suprotnim, kako pronaći suprotni broj te također što su cijeli i racionalni brojevi.

Počnimo s praktični rad. Na koordinatnoj liniji označite točke A(2) i B(-2). One su simetrične i središte simetrije ovih točaka je ishodište koordinata O(0), jer je udaljenost OA=OB.

Vidimo da su koordinate točaka simetričnih oko ishodišta brojevi koji se razlikuju samo predznakom. Takvi se brojevi nazivaju suprotni.

Postoji još jedna definicija suprotnih brojeva. Koje su apsolutne vrijednosti brojeva 2 i -2? Jednako 2. Dakle, suprotni brojevi su brojevi koji imaju iste module, ali se razlikuju u predznaku.

Za označavanje suprotnog broja dati broj, koristite znak minus, koji je napisan ispred ovog broja. To jest, suprotan broj od a zapisan je kao −a. Na primjer, broj 0,24 je nasuprot broju −0,24, broj -25 je suprotan broju −(−25), ali je broj -25 na koordinatnoj liniji nasuprot 25, što znači -(-25) = 25. Iz ovoga slijedi da je -( -a) = a i a = -(-a).

§ 2 Svojstva suprotnih brojeva

Istaknimo neka svojstva suprotnih brojeva.

Suprotnost pozitivnom broju je negativna, a suprotnost negativnom broju je pozitivna. To je razumljivo jer se točke koordinatne linije koje odgovaraju suprotnim brojevima nalaze na suprotnim stranama ishodišta.

Ako je broj a suprotan broju b, onda je b suprotan a - to proizlazi iz svojstva simetrije točaka na koordinatnoj liniji.

Okrenimo se koordinatnoj liniji. Koliko se točaka može označiti na koordinatnom pravcu koje su simetrične zadanoj u odnosu na ishodište? Samo jedan. To znači da za svaki broj postoji samo jedan suprotni broj.

Samo je jedan broj suprotan sebi - to je broj 0, jer je 0 = -0 (dakle, nije uobičajeno pisati -0).

Brojevi sa zajednička značajkačine skup (ili grupu), svaki skup ima svoje ime.

Podsjetimo se da se brojevi koje koristimo pri računanju nazivaju prirodnim brojevima; oni čine skup prirodnih brojeva.

Za svaki prirodni broj možete pronaći njegov suprotan broj. Prirodni brojevi, njihovi suprotni brojevi i broj 0 nazivaju se cijelim brojevima.

Može biti pozitivan ili negativan razlomački brojevi. Svi cijeli brojevi i svi razlomci nazivaju se racionalnim brojevima. Također kažu da zajedno čine skup racionalnih brojeva.

Istaknimo još dvije skupine brojeva. Uzmimo koordinatnu liniju. Ako maknemo dio pravca na kojem se nalaze negativni brojevi, ostaje zraka s pozitivnim brojevima i referentnom točkom 0. Preostale brojeve nazivamo nenegativnima, odnosno brojeve koji su veći ili jednaki 0. Dakle, nepozitivni brojevi su svi negativni brojevi i broj 0, odnosno brojevi koji su manji ili jednaki 0.

Danas smo naučili što su suprotni, cijeli, racionalni, nenegativni, nepozitivni brojevi, te naučili pronaći suprotan broj zadanom.

Popis korištene literature:

Matematika 6. razred: nastavni planovi udžbeniku I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //autor-sastavljač L.A. Topilina. Mnemozina 2009
Matematika. 6. razred: udžbenik za učenike obrazovne ustanove. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
Matematika. 6. razred: udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
Priručnik iz matematike - http://lyudmilanik.com.ua
Vodič za studente Srednja škola http://shkolo.ru

Definicija suprotnih brojeva

Definicija suprotnih brojeva:

Dva broja se nazivaju suprotnim ako se razlikuju samo predznakom.

Primjeri suprotnih brojeva

Primjeri suprotnih brojeva.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Odavde je jasno kako pronaći suprotnost zadanom broju: samo promijenite predznak broja.

Broj suprotan 3 je broj minus tri.

Primjer. Brojevi su suprotni podacima.

Zadani su: brojevi 1; 5; 8; 9.

Odredite suprotne brojeve podataka.

Da biste riješili ovaj zadatak, jednostavno promijenite predznake zadanih brojeva:

Napravimo tablicu suprotnih brojeva:

1	5	8	9
-1	-5	-8	-9

Suprotno od nule

Suprotno od nule je sam broj nula.

Dakle, broj suprotan 0 je 0.

Nasuprot cijelim brojevima

Suprotni cijeli brojevi razlikuju se samo predznakom.

Primjeri suprotnih cijelih brojeva.

10 -10
20 -20
125 -125

Par suprotnih brojeva

Kada govore o suprotnim brojevima, uvijek misle na par suprotnih brojeva.

Broj je suprotan drugom broju. A svaki broj ima samo jedan suprotni broj.

Brojevi suprotni prirodnim brojevima

Suprotnost prirodnim brojevima su cijeli negativni brojevi.

Napravimo tablicu suprotnih brojeva za prvih pet prirodnih brojeva:

1	2	3	4	5
-1	-2	-3	-4	-5

Zbroj suprotnih brojeva

Zbroj suprotnih brojeva je nula. Uostalom, suprotni brojevi razlikuju se samo predznakom.