Tablica neodređenih integrala. Osnovne formule i metode integracije
U školi mnogi ne uspijevaju riješiti integrale ili imaju poteškoća s njima. ovaj članak pomoći će vam da to shvatite, jer ćete u njemu pronaći sve tablice integrala.
Sastavni jedan je od glavnih proračuna i pojmova u matematici. Njegovo pojavljivanje došlo je iz dvije svrhe:
Prva meta- vratiti funkciju pomoću njezine izvedenice.
Drugi gol- izračun površine koja se nalazi na udaljenosti od grafa do funkcije f (x) na ravnoj liniji gdje je a veće ili jednako x je veće ili jednako b i osi apscisa.
Ovi ciljevi nas vode do određenih i neodređenih integrala. Veza između ovih integrala leži u traženju svojstava i izračuna. No, sve teče i sve se mijenja s vremenom, pronalazila su se nova rješenja, identificirale su se dopune, a time i određene i neodređeni integrali drugim oblicima integracije.
Što se dogodilo neodređeni integral pitaš. Ovo je antiderivativna funkcija F(x) jedne varijable x u intervalu a većem od x većeg od b. naziva se bilo koja funkcija F(x), u zadanom intervalu za bilo koji zapis x, derivacija je jednaka F(x). Jasno je da je F(x) antiderivacija za f(x) u intervalu a većem od x većeg od b. Stoga je F1(x) = F(x) + C. C - je bilo koja konstanta i antiderivacija za f(x) u zadanom intervalu. Ova izjava je reverzibilna, za funkciju f(x) - 2 antiderivacije se razlikuju samo u konstanti. Na temelju teorema integralni račun pokazuje se da svaki kontinuirani u intervalu a
Određeni integral shvaća se kao granica u integralnim zbrojevima, odnosno u situaciji dana funkcija f(x) definirana na nekoj liniji (a,b) koja na sebi ima antiderivaciju F, koja označava razliku njegovih izraza na krajevima date crte F(b) - F(a).
Radi jasnoće, proučavanje ove teme, predlažem gledanje videa. Detaljno objašnjava i pokazuje kako pronaći integrale.
Svaka tablica integrala vrlo je korisna sama po sebi jer pomaže u rješavanju određene vrste integrala.
svi moguće vrste pribor za pisanje i drugo. Možete kupiti putem online trgovine v-kant.ru. Ili samo slijedite vezu Stationery Samara (http://v-kant.ru) kvaliteta i cijene će vas ugodno iznenaditi.
U ranijem materijalu razmatrano je pitanje pronalaženja derivata i njegovo razne aplikacije: proračun nagib tangenta na graf, rješavanje optimizacijskih problema, proučavanje funkcija za monotonost i ekstreme. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\nova naredba(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$
Slika 1.
Također je razmatran problem pronalaženja trenutne brzine $v(t)$ uz pomoć derivacije s obzirom na prethodno poznatu prijeđenu udaljenost, izraženu funkcijom $s(t)$.
Slika 2.
Inverzni problem je također vrlo čest, kada trebate pronaći put $s(t)$ koji je priješla točka u vremenu $t$, znajući brzinu točke $v(t)$. Ako se sjećate trenutna brzina$v(t)$ se nalazi kao derivacija funkcije puta $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Dakle, kako bi se odlučila inverzni problem, odnosno za izračunavanje puta potrebno je pronaći funkciju čija će derivacija biti jednaka funkciji brzine. Ali znamo da je derivacija putanja brzina, odnosno: $s'(t) = v(t)$. Brzina je jednaka umnošku ubrzanja i vremena: $v=at$. Lako je odrediti da će željena funkcija putanje imati oblik: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ali ovo nije potpuno rješenje. Kompletno rješenje izgledat će ovako: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, gdje je $C$ neka konstanta. Zašto je to tako bit će riječi kasnije. U međuvremenu provjerimo ispravnost pronađenog rješenja: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.
Vrijedno je napomenuti da je pronalaženje puta u smislu brzine fizičko značenje primitivna.
Poziva se rezultirajuća funkcija $s(t)$ antiderivativna funkcija$v(t)$. Dosta zanimljivo i neobično ime, zar ne. Ima puno smisla u njemu, što objašnjava suštinu ovaj koncept i vodi do razumijevanja. Možete vidjeti da sadrži dvije riječi "prvi" i "slika". Oni govore sami za sebe. To jest, ovo je funkcija koja je izvorna za izvod koji imamo. I po ovoj izvedenici tražimo funkciju koja je bila na početku, bila je “prva”, “prva slika”, odnosno antiderivacija. Ponekad se također naziva primitivnom funkcijom ili antiderivativom.
Kao što već znamo, proces pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija. A proces pronalaženja antiderivacije naziva se integracija. Operacija integracije je inverzna operaciji diferenciranja. Vrijedi i obrnuto.
Definicija. Antiderivacija za funkciju $f(x)$ na nekom intervalu je funkcija $F(x)$ čija je derivacija jednaka ovoj funkciji $f(x)$ za sve $x$ iz navedenog intervala: $F'( x)=f (x)$.
Netko bi mogao imati pitanje: otkud $F(x)$ i $f(x)$ u definiciji, ako se u početku radilo o $s(t)$ i $v(t)$. Poanta je da su $s(t)$ i $v(t)$ posebni slučajevi notacije za funkcije koje imaju u ovaj slučaj specifično značenje, odnosno funkcija je vremena, odnosno funkcija brzine. Isto vrijedi i za varijablu $t$ - ona predstavlja vrijeme. A $f$ i $x$ su tradicionalna varijanta općenite oznake funkcije odnosno varijable. Vrijedi platiti Posebna pažnja na antiderivacijski zapis $F(x)$. Prvo, $F$ je kapital. Antiderivati su označeni velika slova. Drugo, slova su ista: $F$ i $f$. To jest, za funkciju $g(x)$ antiderivacija će biti označena sa $G(x)$, za $z(x)$ - sa $Z(x)$. Bez obzira na zapis, pravila za pronalaženje antiderivacijske funkcije uvijek su ista.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1 Dokažite da je funkcija $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ antiderivacija funkcije $f(x)=\cos5x$.
Da bismo to dokazali, koristimo se definicijom, odnosno činjenicom da je $F'(x)=f(x)$, i nalazimo derivaciju funkcije $F(x)$: $F'(x)=(\ frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Dakle, $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ je antiderivacija od $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.
Primjer 2 Odredite kojim funkcijama odgovaraju sljedeće antiderivacije: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Da bismo pronašli željene funkcije, izračunavamo njihove izvode:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
Primjer 3Što će biti antiderivacija za $f(x)=0$?
Poslužimo se definicijom. Razmislimo koja funkcija može imati derivaciju jednaku $0$. Sjećajući se tablice izvoda, dobivamo da će svaka konstanta imati takav izvod. Dobivamo da je antiderivacija koju tražimo: $F(x)= C$.
Dobiveno rješenje može se objasniti geometrijski i fizikalno. Geometrijski, to znači da je tangenta na graf $y=F(x)$ horizontalna u svakoj točki ovog grafa i stoga se poklapa s osi $Ox$. Fizički objašnjeno činjenicom da točka s brzinom jednakom nuli ostaje na mjestu, odnosno da je put koji ona prijeđe nepromijenjen. Na temelju toga možemo formulirati sljedeći teorem.
Teorema. (Znak konstantnosti funkcije). Ako je $F'(x) = 0$ na nekom intervalu, tada je funkcija $F(x)$ konstantna na tom intervalu.
Primjer 4 Odredite antiderivacije kojih funkcija su funkcije a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, gdje je $a$ neki broj.
Koristeći se definicijom antiderivacije, zaključujemo da za rješavanje ovog zadatka moramo izračunati derivacije podataka različite funkcije. Pri računanju imajte na umu da je derivacija konstante, odnosno bilo kojeg broja, jednaka nuli.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\lijevo(\frac(x^7)(7) – 3\desno)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
Što vidimo? Nekoliko različitih funkcija su antiderivati iste funkcije. To znači da svaka funkcija ima beskonačno mnogo antiderivacija, a one imaju oblik $F(x) + C$, gdje je $C$ proizvoljna konstanta. Odnosno, operacija integracije je višeznačna, za razliku od operacije diferencijacije. Na temelju toga formuliramo teorem koji opisuje glavno svojstvo antiderivacija.
Teorema. (Glavno svojstvo primitiva). Neka su funkcije $F_1$ i $F_2$ antiderivacije funkcije $f(x)$ na nekom intervalu. Tada za sve vrijednosti iz ovog intervala vrijedi jednakost: $F_2=F_1+C$, gdje je $C$ neka konstanta.
Činjenica prisutnosti beskonačan broj antiderivati se mogu interpretirati geometrijski. Uz pomoć paralelne translacije duž osi $Oy$ mogu se dobiti grafovi bilo koje dvije antiderivacije za $f(x)$ jedna od druge. Ovo je geometrijski smisao primitivna.
Vrlo je važno obratiti pozornost na činjenicu da je odabirom konstante $C$ moguće postići da graf antiderivacije prolazi kroz određenu točku.
Slika 3
Primjer 5 Nađite antiderivaciju za funkciju $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ čiji graf prolazi točkom $(3; 1)$.
Najprije pronađimo sve antiderivacije za $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Zatim nalazimo broj C za koji će graf $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ prolaziti kroz točku $(3; 1)$. Da bismo to učinili, zamijenimo koordinate točke u jednadžbu grafa i riješimo je u odnosu na $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Dobili smo graf $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, što odgovara antiderivatu $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tablica antiderivata
Tablica formula za pronalaženje antiderivata može se sastaviti pomoću formula za pronalaženje derivata.
| Funkcije | antiderivati |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\u R$ | $sjekira+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sinx$ | $-\cosx+C$ |
| $\cosx$ | $\sinx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
Ispravnost tablice možete provjeriti na sljedeći način: za svaki skup antiderivata koji se nalazi u desnom stupcu pronađite izvod, čime će se dobiti odgovarajuće funkcije u lijevom stupcu.
Neka pravila za pronalaženje antiderivata
Kao što znate, mnoge funkcije imaju više složen pogled od onih navedenih u tablici antiderivacija, a može biti bilo koja proizvoljna kombinacija zbrojeva i umnožaka funkcija iz ove tablice. I tu se postavlja pitanje kako izračunati antiderivacije sličnih funkcija. Na primjer, iz tablice znamo kako izračunati antiderivacije $x^3$, $\sin x$ i $10$. Ali kako, na primjer, izračunati antiderivaciju $x^3-10\sin x$? Gledajući unaprijed, vrijedi napomenuti da će biti jednak $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Ako je $F(x)$ antiderivacija za $f(x)$, $G(x)$ je za $g(x)$, tada je za $f(x)+g(x)$ antiderivacija bit će jednak $ F(x)+G(x)$.
2. Ako je $F(x)$ antiderivacija za $f(x)$ i $a$ je konstanta, tada je za $af(x)$ antiderivacija $aF(x)$.
3. Ako je za $f(x)$ antiderivacija $F(x)$, $a$ i $b$ su konstante, tada je $\frac(1)(a) F(ax+b)$ antiderivacija za $f (ax+b)$.
Pomoću dobivenih pravila možemo proširiti tablicu antiderivata.
| Funkcije | antiderivati |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Primjer 5 Pronađite antiderivate za:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
Naučiti integrirati nije teško. Da biste to učinili, samo trebate naučiti određeni, prilično mali skup pravila i razviti neku vrstu njuha. Naravno, lako je naučiti pravila i formule, ali prilično je teško razumjeti gdje i kada primijeniti ovo ili ono pravilo integracije ili diferencijacije. To je, zapravo, sposobnost integracije.
1. Antiderivat. Neodređeni integral.
Pretpostavlja se da do čitanja ovog članka čitatelj već ima neke vještine razlikovanja (tj. pronalaženje izvedenica).
Definicija 1.1: Funkcija se naziva antiderivacija ako vrijedi jednakost:
Komentari:> Naglasak u riječi "iskonski" može se staviti na dva načina: O fretirani ili originalni A znajući.
Svojstvo 1: Ako je funkcija antiderivacija funkcije, tada je i funkcija antiderivacija funkcije.
Dokaz: Dokažimo to iz definicije antiderivacije. Nađimo izvod funkcije:
Prvi termin u definicija 1.1 jednako , a drugi član je derivacija konstante, koja je jednaka 0.
.
Rezimirati. Napišimo početak i kraj lanca jednakosti: 
Dakle, derivacija funkcije je jednaka, pa je prema definiciji njezina antiderivacija. Svojstvo je dokazano.
Definicija 1.2: Neodređeni integral funkcije je cijeli skup antiderivacija te funkcije. Označava se ovako: 
.
Razmotrite detaljno nazive svakog dijela zapisa:
— opća oznaka sastavni,
je integrand (integrand) izraz, integrabilna funkcija.
je diferencijal, a izraz iza slova , u ovom slučaju, nazvat ćemo integracijska varijabla.
Komentari: Ključne riječi u ovoj definiciji – “cijeli skup”. Oni. ako ubuduće ovaj “plus C” ne bude napisan u odgovoru, onda inspektor ima puno pravo ne kreditirati ovaj zadatak, jer potrebno je pronaći cijeli skup antiderivata, a ako C nema, tada se nalazi samo jedan.
Zaključak: Da bismo provjerili je li integral ispravno izračunat, potrebno je pronaći izvod rezultata. Mora odgovarati integrandu.
Primjer:
Vježba: Izračunajte neodređeni integral i provjerite.
Riješenje:
Način na koji je ovaj integral izračunat u ovom slučaju nije bitan. Pretpostavimo da je to otkrivenje odozgo. Naš zadatak je pokazati da nas objava nije prevarila, a to se može učiniti uz pomoć provjere.
Ispitivanje:
Diferenciranjem rezultata dobiven je integrand, što znači da je integral ispravno izračunat.
2. Početak. Tablica integrala.
Za integraciju nije potrebno svaki put zapamtiti funkciju čija je derivacija jednaka zadanom integrandu (tj. izravno koristiti definiciju integrala). U svakoj problemskoj knjizi ili udžbeniku na matematička analiza dan je popis svojstava integrala i tablica najjednostavnijih integrala.
Nabrojimo svojstva.
Svojstva:
1.
Integral diferencijala jednak je integracijskoj varijabli.
2. , gdje je konstanta.
Konstantni množitelj može se izbaciti iz predznaka integrala.
3.
integral zbroja jednak je zbroju integrali (ako je broj članova konačan).
Integralna tablica:
1.  |
10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12.  |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18.  |
Najčešće je zadatak svesti istraživani integral na tablični pomoću svojstava i formula.
Primjer:
[ Iskoristimo treće svojstvo integrala i zapišimo ga kao zbroj triju integrala.]
[ Iskoristimo drugo svojstvo i izbacimo konstante iz znaka integracije.]
[ U prvom integralu koristimo tablični integral br. 1 (n=2), u drugom - istu formulu, ali n=1, a za treći integral možete koristiti ili isti tablični integral, ali s n=0, ili prvo svojstvo. ]
.
Provjerimo razlikovanjem:
Izvorni integrand je dobiven, dakle, integracija je obavljena bez grešaka (a čak ni dodavanje proizvoljne konstante C nije zaboravljeno).
Tablični integrali moraju se naučiti napamet iz jednog jednostavnog razloga - da bi se znalo čemu težiti, tj. znati svrhu transformacije zadanog izraza.
Evo još nekoliko primjera:
1) 
2) 
3) 
Zadaci za samostalno rješavanje:
Vježba 1. Izračunajte neodređeni integral:
+ Prikaži/sakrij savjet #1.
1) Iskoristite treće svojstvo i predstavite ovaj integral kao zbroj triju integrala.
+ Prikaži/sakrij savjet #2.
+ Prikaži/sakrij savjet #3.
3) Za prva dva člana upotrijebite prvi tablični integral, a za treći - drugi tablični integral.
+ Prikaži/sakrij rješenje i odgovor.
4) Rješenje: 
Odgovor: 
Navodimo integrale iz elementarne funkcije, koji se ponekad nazivaju tabličnim:
Bilo koja od gornjih formula može se dokazati uzimanjem derivacije desne strane (kao rezultat će se dobiti integrand).
Metode integracije
Razmotrimo neke osnovne metode integracije. To uključuje:
1. Metoda razgradnje(izravna integracija).
Ova se metoda temelji na izravnoj primjeni tabličnih integrala, kao i na primjeni svojstava 4 i 5 neodređenog integrala (tj. uzimanje konstantnog faktora iz zagrade i/ili predstavljanje integranda kao zbroja funkcija - proširivanje integranda u članove).
Primjer 1 Na primjer, za pronalaženje (dx/x 4) možete izravno koristiti tablični integral za x n dx. Doista, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Pogledajmo još nekoliko primjera.
Primjer 2 Za pronalaženje koristimo isti integral:
Primjer 3 Da biste pronašli morate uzeti
Primjer 4 Da bismo pronašli, predstavljamo integrand u obliku 
i upotrijebi tablični integral za eksponencijalnu funkciju:
Razmotrite korištenje stavljanja u zagrade konstantnog faktora.
Primjer 5
Pronađimo npr 
. S obzirom na to, dobivamo
Primjer 6 Nađimo. Jer 
, koristimo tablični integral 
Dobiti
Također možete koristiti zagrade i integrale tablice u sljedeća dva primjera:
Primjer 7
(koristimo i 
);
Primjer 8
(koristimo 
I 
).
Pogledajmo složenije primjere koji koriste integral zbroja.
Primjer 9 Na primjer, pronađimo 
. Da bismo primijenili metodu proširenja u brojniku, koristimo formulu kuba zbroja , a zatim dobiveni polinomski član po član dijelimo s nazivnikom.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Treba napomenuti da je na kraju rješenja ispisana jedna zajednička konstanta C (a ne zasebne kod integriranja svakog člana). Ubuduće se također predlaže izostavljanje konstanti iz integracije pojedinih članova u procesu rješavanja sve dok izraz sadrži barem jedan neodređeni integral (jednu konstantu ćemo napisati na kraju rješenja).
Primjer 10 Nađimo 
. Da bismo riješili ovaj problem, faktoriziramo brojnik (nakon toga možemo smanjiti nazivnik).
Primjer 11. Nađimo. Ovdje se mogu koristiti trigonometrijski identiteti.
Ponekad, da biste rastavili izraz na pojmove, morate koristiti složenije tehnike.
Primjer 12. Nađimo 
. U integrandu odabiremo cjelobrojni dio razlomka 
. Zatim
Primjer 13 Nađimo
2. Metoda zamjene varijable (metoda supstitucije)
Metoda se temelji na sljedećoj formuli: f(x)dx=f((t))`(t)dt, gdje je x =(t) funkcija diferencijabilna na razmatranom intervalu.
Dokaz. Nađimo derivacije po varijabli t slijeva i desni dijelovi formule.
Primijetite da se na lijevoj strani nalazi složena funkcija čiji je srednji argument x = (t). Stoga, da bismo ga diferencirali s obzirom na t, prvo diferenciramo integral s obzirom na x, a zatim uzimamo derivaciju posrednog argumenta s obzirom na t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Derivacija desne strane:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Budući da su ove derivacije jednake, posljedicom Lagrangeovog teorema, lijevi i desni dio formule koja se dokazuje razlikuju se za neku konstantu. Budući da su sami neodređeni integrali definirani do neodređenog konstantnog člana, ta se konstanta može izostaviti u konačnom zapisu. dokazano.
Uspješna promjena varijable omogućuje nam da pojednostavimo izvorni integral, au najjednostavnijim slučajevima svedemo ga na tablični. U primjeni ove metode razlikuju se metode linearne i nelinearne supstitucije.
a) Metoda linearne supstitucije pogledajmo primjer.
Primjer 1
. Lett= 1 – 2x, dakle
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Treba napomenuti da nova varijabla ne mora biti eksplicitno ispisana. U takvim slučajevima se govori o transformaciji funkcije pod predznakom diferencijala, ili o uvođenju konstanti i varijabli pod predznakom diferencijala, tj. O implicitna zamjena varijable.
Primjer 2 Na primjer, pronađimo cos(3x + 2)dx. Po svojstvima diferencijala dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), tada jecos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
U oba razmatrana primjera za pronalaženje integrala korištena je linearna supstitucija t=kx+b(k0).
U općem slučaju vrijedi sljedeći teorem.
Teorem o linearnoj supstituciji. Neka je F(x) neka antiderivacija za funkciju f(x). Tadaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, gdje su k i b neke konstante,k0.
Dokaz.
Po definiciji integrala f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Izvadimo konstantni faktor k za predznak integrala: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Sada možemo lijevi i desni dio jednakosti podijeliti s k i dobiti tvrdnju koju treba dokazati do zapisa konstantnog člana.
Ovaj teorem kaže da ako se izraz (kx+b) zamijeni u definiciji integrala f(x)dx= F(x) + C, tada će to dovesti do pojave dodatnog faktora 1/k ispred antiderivacije.
Pomoću dokazanog teorema rješavamo sljedeće primjere.
Primjer 3
Nađimo 
. Ovdje je kx+b= 3 –x, tj. k= -1,b= 3. Tada
Primjer 4
Nađimo. Ovdje je kx+b= 4x+ 3, tj. k= 4,b= 3. Tada
Primjer 5
Nađimo 
. Ovdje je kx+b= -2x+ 7, tj. k= -2,b= 7. Tada
.
Primjer 6 Nađimo 
. Ovdje je kx+b= 2x+ 0, tj. k= 2,b= 0.
.
Usporedimo dobiveni rezultat s primjerom 8 koji je riješen metodom dekompozicije. Rješavajući isti problem drugom metodom, dobili smo odgovor 
. Usporedimo rezultate: Dakle, ovi se izrazi međusobno razlikuju stalnim članom 
, tj. primljeni odgovori nisu proturječni jedni drugima.
Primjer 7 Nađimo 
. Odaberemo puni kvadrat u nazivniku.
U nekim slučajevima promjena varijable ne svodi integral izravno na tablični, ali može pojednostaviti rješenje tako što omogućuje primjenu metode dekompozicije u sljedećem koraku.
Primjer 8 Na primjer, pronađimo 
. Zamijenite t=x+ 2, tada dt=d(x+ 2) =dx. Zatim
,
gdje je C \u003d C 1 - 6 (kada umjesto t zamijenimo izraz (x + 2), umjesto prva dva člana, dobivamo ½x 2 -2x - 6).
Primjer 9 Nađimo 
. Neka je t= 2x+ 1, tada je dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Zamjenjujemo izraz (2x + 1) umjesto t, otvaramo zagrade i dajemo slične.
Imajte na umu da smo u procesu transformacija prešli na još jedan stalni član, jer mogla bi se izostaviti skupina stalnih članova u procesu transformacija.
b) Metoda nelinearne supstitucije pogledajmo primjer.
Primjer 1
. Neka je t= -x 2 . Nadalje, moglo bi se izraziti x u smislu t, zatim pronaći izraz za dx i implementirati promjenu varijable u željenom integralu. Ali u ovom slučaju lakše je učiniti drugačije. Nađite dt=d(-x 2) = -2xdx. Imajte na umu da je izraz xdx faktor integranda željenog integrala. Izražavamo ga iz dobivene jednakosti xdx= - ½dt. Zatim
Napomena "neovisni dijelovi govora"
Informativne priče za djecu Dječja znanstveno-popularna enciklopedija
Odabir dječje enciklopedije