Jednadžba gibanja harmonijske vibracije. Harmonijske oscilacije – Hipermarket znanja

Mehaničke vibracije. Parametri oscilacija. Harmonijske vibracije.

Oklijevanje je proces koji se točno ili približno ponavlja u određenim intervalima.

Posebnost oscilacija je obvezna prisutnost stabilnog ravnotežnog položaja na putanji, u kojem je zbroj svih sila koje djeluju na tijelo jednak nuli, naziva se ravnotežni položaj.

Matematičko njihalo je materijalna točka obješena na tanku, bestežinsku i nerastezljivu nit.

Parametri oscilatornog gibanja.

1. Odmak ili koordinata (x) – odstupanje od ravnotežnog položaja u zadanom

trenutak vremena.	[x ]=m

2. Amplituda ( Xm) – maksimalno odstupanje od ravnotežnog položaja.

[ x m ]=m

3. Period oscilacije ( T) - vrijeme potrebno da se završi jedna potpuna oscilacija.

[T ]=c.

0 " style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">

Matematičko njihalo

Opružno njihalo

m

https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src="> Frekvencija (linearna) ( n ) – broj potpunih oscilacija u 1 s.

[n]= Hz

5. Ciklička frekvencija ( w ) – broj potpunih oscilacija u 2p sekundi, tj. u približno 6,28 s.

w = 2pn ; [w] =0 " style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">

https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">

Sjena na ekranu podrhtava.

Jednadžba i graf harmonijskih vibracija.

Harmonijske vibracije - to su oscilacije kod kojih se koordinata mijenja tijekom vremena po zakonu sinusa ili kosinusa.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src="> x=xmgrijeh(š t+j 0 )

x=xmcos(š t+j 0 )

x – koordinata,

Xm – amplituda vibracija,

w – ciklička frekvencija,

w t +j 0 = j – faza titranja,

j 0 – početna faza oscilacija.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">

Grafikoni su različiti samo amplituda

Grafikoni se razlikuju samo u periodu (učestalosti)

https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">

Ako se amplituda oscilacija ne mijenja tijekom vremena, oscilacije se nazivaju neovlažen.

Prirodne vibracije ne uzimaju u obzir trenje, ukupna mehanička energija sustava ostaje konstantna: E k + E n = E krzno = konst.

Prirodne oscilacije su neprigušene.

Kod prisilnih oscilacija, energija koja se neprekidno ili povremeno dovodi iz vanjskog izvora nadoknađuje gubitke koji nastaju zbog rada sile trenja, a oscilacije mogu biti neprigušene.

Kinetička i potencijalna energija tijela tijekom vibracija prelaze jedna u drugu. Kada je otklon sustava od ravnotežnog položaja najveći, potencijalna energija je maksimalna, a kinetička energija nula. Kod prolaska kroz ravnotežni položaj je obrnuto.

Frekvencija slobodnih oscilacija određena je parametrima oscilatornog sustava.

Frekvencija prisilnih oscilacija određena je frekvencijom vanjske sile. Amplituda prisilnih oscilacija također ovisi o vanjskoj sili.

Rezonancija c

Rezonancija naziva se naglo povećanje amplitude prisilnih oscilacija kada se frekvencija vanjske sile podudara s frekvencijom vlastitih oscilacija sustava.

Kada se frekvencija w promjene sile poklapa s vlastitom frekvencijom w0 oscilacija sustava, sila cijelo vrijeme obavlja pozitivan rad, povećavajući amplitudu oscilacija tijela. Na bilo kojoj drugoj frekvenciji, tijekom jednog dijela razdoblja sila radi pozitivan, a tijekom drugog dijela razdoblja negativan rad.

Tijekom rezonancije povećanje amplitude oscilacija može dovesti do uništenja sustava.

Godine 1905. pod kopitima eskadrona gardijske konjice srušio se Egipatski most preko rijeke Fontanke u St.

Samooscilacije.

Autooscilacije su neprigušene oscilacije u sustavu, podržane unutarnjim izvorima energije bez utjecaja vanjske promjene sile.

Za razliku od prisilnih oscilacija, frekvencija i amplituda vlastitih oscilacija određene su svojstvima samog oscilatornog sustava.

Autooscilacije se razlikuju od slobodnih po neovisnosti amplitude o vremenu i o početnom kratkotrajnom utjecaju koji pobuđuje titrajni proces. Samooscilirajući sustav obično se može podijeliti na tri elementa:

1) oscilatorni sustav;

2) izvor energije;

3) uređaj s povratnom spregom koji regulira protok energije iz izvora u oscilatorni sustav.

Energija dovedena iz izvora tijekom razdoblja jednaka je energiji izgubljenoj u oscilatornom sustavu tijekom istog vremena.

Oscilacije nazivaju se kretanja ili procesi koje karakterizira stanovita ponovljivost u vremenu. Oscilacije su raširene u okolnom svijetu i mogu imati vrlo različitu prirodu. To mogu biti mehaničke (njihalo), elektromagnetske (oscilatorni krug) i druge vrste vibracija.
Besplatno, ili vlastiti oscilacijama se nazivaju oscilacije koje se javljaju u sustavu prepuštenom samom sebi, nakon što je vanjskim utjecajem doveden iz ravnoteže. Primjer je njihanje kuglice obješene na konac.

Posebna uloga u oscilatornim procesima ima najjednostavniji oblik oscilacija - harmonijske vibracije. Harmonijske oscilacije temelj su jedinstvenog pristupa proučavanju oscilacija različite prirode, budući da su oscilacije koje se nalaze u prirodi i tehnici često bliske harmoničkim, a periodični procesi različitog oblika mogu se prikazati kao superpozicija harmonijskih oscilacija.

Harmonijske vibracije nazivaju se takve oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja s vremenom prema zakonu sinus ili kosinus.

Harmonijska jednadžbaima oblik:

gdje - amplituda vibracija (veličina najvećeg odstupanja sustava od ravnotežnog položaja); -kružna (ciklička) frekvencija. Argument kosinusa koji se periodički mijenja naziva se faza oscilacije . Faza titranja određuje pomak oscilirajuće veličine iz ravnotežnog položaja u određenom trenutku t. Konstanta φ predstavlja vrijednost faze u trenutku t = 0 i zove se početna faza osciliranja . Vrijednost početne faze određena je izborom referentne točke. Vrijednost x može imati vrijednosti u rasponu od -A do +A.

Vremenski interval T kroz koji se ponavljaju određena stanja oscilatornog sustava, naziva periodom oscilacije . Kosinus je periodična funkcija s periodom od 2π, stoga će se tijekom vremenskog razdoblja T, nakon kojeg će faza oscilacije dobiti prirast jednak 2π, stanje sustava koji izvodi harmonijske oscilacije ponoviti. Taj vremenski period T nazivamo periodom harmonijskih oscilacija.

Period harmonijskih oscilacija jednak je : T = 2π/ .

Broj oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija vibracija ν.
Harmonijska frekvencija jednaka je: ν = 1/T. Frekvencijska jedinica herc(Hz) - jedan titraj u sekundi.

Kružna frekvencija = 2π/T = 2πν daje broj oscilacija u 2π sekundi.

Grafički, harmonijske oscilacije mogu se prikazati kao ovisnost x o t (slika 1.1.A), i metoda rotirajuće amplitude (metoda vektorskog dijagrama)(Sl.1.1.B) .

Metoda rotirajuće amplitude omogućuje vam vizualni prikaz svih parametara uključenih u jednadžbu harmonijske vibracije. Doista, ako je vektor amplitude A koja se nalazi pod kutom φ u odnosu na x-os (vidi sliku 1.1. B), tada će njegova projekcija na x-os biti jednaka: x = Acos(φ). Kut φ je početna faza. Ako vektor A dovesti u rotaciju s kutnom brzinom jednakom kružnoj frekvenciji oscilacija, tada će se projekcija kraja vektora kretati duž osi x i poprimiti vrijednosti u rasponu od -A do +A, a koordinata ove projekcije će promijeniti tijekom vremena prema zakonu:
.

Dakle, duljina vektora jednaka je amplitudi harmonijskog titranja, smjer vektora u početnom trenutku čini s osi x kut jednak početnoj fazi titranja φ, a promjena smjera kut s vremenom je jednaka fazi harmonijskih oscilacija. Vrijeme za koje vektor amplitude napravi jedan puni krug jednako je periodu T harmonijskih oscilacija. Broj okretaja vektora u sekundi jednak je frekvenciji titranja ν.

>>Harmonijske vibracije

§ 22 HARMONIČKE VIBRACIJE

Znajući kako su akceleracija i koordinata tijela koje oscilira međusobno povezani, moguće je, na temelju matematičke analize, pronaći ovisnost koordinate o vremenu.

Ubrzanje je druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Trenutna brzina točke, kao što znate iz tečaja matematike, derivacija je koordinata točke u odnosu na vrijeme. Ubrzanje točke je derivacija njezine brzine u odnosu na vrijeme, odnosno druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Stoga se jednadžba (3.4) može napisati na sljedeći način:

gdje je x " - druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Prema jednadžbi (3.11) tijekom slobodnih oscilacija koordinata x se mijenja s vremenom tako da je druga derivacija koordinate po vremenu izravno proporcionalna samoj koordinati i suprotnog je predznaka.

Iz tečaja matematike poznato je da su druge derivacije sinusa i kosinusa s obzirom na njihov argument proporcionalne samim funkcijama, uzetim sa suprotnim predznakom. Matematička analiza dokazuje da nijedna druga funkcija nema ovo svojstvo. Sve to nam omogućuje da opravdano tvrdimo da se koordinata tijela koje vrši slobodne oscilacije mijenja tijekom vremena prema zakonu sinusa ili pasina. Slika 3.6 prikazuje promjenu koordinate točke tijekom vremena prema kosinusnom zakonu.

Periodične promjene fizikalne veličine ovisno o vremenu, koje se javljaju prema zakonu sinusa ili kosinusa, nazivaju se harmoničkim oscilacijama.

Amplituda oscilacija. Amplituda harmonijskih oscilacija je modul najvećeg pomaka tijela iz ravnotežnog položaja.

Amplituda može imati različite vrijednosti ovisno o tome koliko pomaknemo tijelo iz ravnotežnog položaja u početnom trenutku vremena, odnosno o tome koja je brzina priopćena tijelu. Amplituda je određena početnim uvjetima, točnije energijom predanom tijelu. Ali maksimalne vrijednosti modula sinusa i modula kosinusa jednake su jedan. Stoga se rješenje jednadžbe (3.11) ne može izraziti jednostavno kao sinus ili kosinus. Trebao bi biti u obliku umnoška amplitude oscilacije x m sa sinusom ili kosinusom.

Rješenje jednadžbe koja opisuje slobodne vibracije. Zapišimo rješenje jednadžbe (3.11) u sljedećem obliku:

a drugi izvod će biti jednak:

Dobili smo jednadžbu (3.11). Prema tome, funkcija (3.12) je rješenje izvorne jednadžbe (3.11). Rješenje ove jednadžbe također će biti funkcija

Graf ovisnosti koordinate tijela o vremenu prema (3.14) je kosinusni val (vidi sl. 3.6).

Period i frekvencija harmonijskih oscilacija. Pri osciliranju pokreti tijela se periodički ponavljaju. Vremenski period T tijekom kojeg sustav završi jedan potpuni ciklus oscilacija naziva se periodom oscilacija.

Poznavajući razdoblje, možete odrediti frekvenciju oscilacija, tj. Broj oscilacija po jedinici vremena, na primjer u sekundi. Ako se u vremenu T dogodi jedan titraj, onda je broj titraja u sekundi

U Međunarodnom sustavu jedinica (SI) frekvencija titranja jednaka je jedinici ako postoji jedan titraj u sekundi. Jedinica za frekvenciju naziva se herc (skraćeno: Hz) u čast njemačkog fizičara G. Hertza.

Broj oscilacija u 2 s jednak je:

Veličina je ciklička ili kružna frekvencija oscilacija. Ako je u jednadžbi (3.14) vrijeme t jednako jednoj periodi, tada je T = 2. Dakle, ako je u trenutku t = 0 x = x m, tada u trenutku t = T x = x m, tj. kroz vremensko razdoblje jednako jednom razdoblja, oscilacije se ponavljaju.

Frekvencija slobodnih titraja određena je vlastitom frekvencijom oscilatornog sustava 1.

Ovisnost frekvencije i perioda slobodnih oscilacija o svojstvima sustava. Vlastita frekvencija titranja tijela pričvršćenog na oprugu, prema jednadžbi (3.13), jednaka je:

Što je krutost opruge k veća, to je veća, a što je manja, veća je masa tijela m. To je lako razumjeti: kruta opruga daje tijelu veće ubrzanje i brže mijenja brzinu tijela. I što je tijelo masivnije, to sporije mijenja brzinu pod utjecajem sile. Period titranja je:

Imajući skup opruga različite krutosti i tijela različitih masa, lako je iz iskustva provjeriti da formule (3.13) i (3.18) ispravno opisuju prirodu ovisnosti i T o k i m.

Zanimljivo je da period titranja tijela na opruzi i period titranja njihala pri malim kutovima otklona ne ovise o amplitudi titranja.

Modul koeficijenta proporcionalnosti između akceleracije t i pomaka x u jednadžbi (3.10), koja opisuje oscilacije njihala, je, kao iu jednadžbi (3.11), kvadrat cikličke frekvencije. Posljedično, vlastita frekvencija titranja matematičkog njihala pri malim kutovima odstupanja niti od okomice ovisi o duljini njihala i ubrzanju sile teže:

Ovu je formulu prvi dobio i eksperimentalno ispitao nizozemski znanstvenik G. Huygens, suvremenik I. Newtona. Vrijedi samo za male kutove otklona niti.

1 Često ćemo u nastavku, radi sažetosti, cikličku frekvenciju jednostavno nazivati ​​frekvencijom. Možete razlikovati cikličku frekvenciju od normalne frekvencije zapisom.

Period titranja raste s povećanjem duljine njihala. Ne ovisi o masi njihala. To se lako može eksperimentalno provjeriti s raznim njihalima. Također se može otkriti ovisnost perioda titranja o ubrzanju sile teže. Što je g manji, to je period titranja njihala duži i, prema tome, sat njihala sporije radi. Tako će sat s njihalom u obliku utega na šipki zaostajati gotovo 3 s dnevno ako se podigne iz podruma na posljednji kat Moskovskog sveučilišta (visina 200 m). I to samo zbog smanjenja ubrzanja slobodnog pada s visinom.

U praksi se koristi ovisnost perioda titranja njihala o vrijednosti g. Mjerenjem perioda titranja može se vrlo točno odrediti g. Ubrzanje gravitacije mijenja se s geografskom širinom. Ali čak ni na određenoj zemljopisnoj širini nije posvuda isto. Uostalom, gustoća zemljine kore nije posvuda jednaka. U područjima gdje se pojavljuju guste stijene, ubrzanje g je nešto veće. To se uzima u obzir pri traženju minerala.

Dakle, željezna ruda ima veću gustoću u usporedbi s običnim stijenama. Mjerenja ubrzanja gravitacije u blizini Kurska, provedena pod vodstvom akademika A. A. Mikhailova, omogućila su razjašnjenje lokacije željezne rude. Prvo su otkriveni magnetskim mjerenjima.

Svojstva mehaničkih vibracija koriste se u uređajima većine elektroničkih vaga. Tijelo koje se vaga postavlja se na platformu ispod koje je ugrađena kruta opruga. Kao rezultat toga nastaju mehaničke vibracije čiju frekvenciju mjeri odgovarajući senzor. Mikroprocesor povezan s ovim senzorom pretvara frekvenciju osciliranja u masu tijela koje se važe, jer ta frekvencija ovisi o masi.

Dobivene formule (3.18) i (3.20) za period titranja pokazuju da period harmonijskih oscilacija ovisi o parametrima sustava (krutost opruge, duljina niti itd.)

Myakishev G. Ya., Fizika. 11. razred: obrazovni. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; uredio V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - 17. izd., revidirano. i dodatni - M.: Obrazovanje, 2008. - 399 str.: ilustr.

Kompletan popis tema po razredima, kalendarski plan prema školskom planu i programu iz fizike online, video materijal o fizici za 11. razred download

Sadržaj lekcije bilješke lekcija prateći okvir lekcija prezentacija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slike, grafike, tablice, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za znatiželjne jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku, elementi inovacije u nastavi, zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu; metodološke preporuke; Integrirane lekcije

§ 6. MEHANIČKE VIBRACIJEOsnovne formule

Harmonijska jednadžba

Gdje X - pomak oscilirajuće točke iz ravnotežnog položaja; t- vrijeme; A,ω, φ - amplituda, kutna frekvencija, početna faza oscilacija; - faza oscilacija u trenutku t.

Kutna frekvencija

gdje su ν i T frekvencija i period oscilacija.

Brzina točke koja izvodi harmonijske oscilacije je

Ubrzanje tijekom harmonijskog titranja

Amplituda A rezultirajuća oscilacija dobivena zbrajanjem dvije oscilacije s istim frekvencijama, koje se pojavljuju duž jedne ravne crte, određena je formulom

Gdje a 1 I A 2 - amplitude komponenti vibracija; φ 1 i φ 2 su njihove početne faze.

Početna faza φ rezultirajuće oscilacije može se pronaći iz formule

Frekvencija otkucaja koja nastaje zbrajanjem dviju oscilacija koje se javljaju duž jedne ravne linije s različitim, ali sličnim frekvencijama ν 1 i ν 2,

Jednadžba putanje točke koja sudjeluje u dva međusobno okomita osciliranja s amplitudama A 1 i A 2 i početnim fazama φ 1 i φ 2,

Ako su početne faze φ 1 i φ 2 komponenti titranja iste, tada jednadžba putanje ima oblik

odnosno točka se giba pravocrtno.

U slučaju da je fazna razlika , jednadžba ima oblik

odnosno točka se giba po elipsi.

Diferencijalna jednadžba harmonijskih oscilacija materijalne točke

Ili, gdje je m masa točke; k- koeficijent kvazielastične sile ( k=Tω 2).

Ukupna energija materijalne točke koja izvodi harmonijske oscilacije je

Period titranja tijela obješenog na oprugu (opružno njihalo)

Gdje m- tjelesna masa; k- krutost opruge. Formula vrijedi za elastične vibracije u granicama u kojima je zadovoljen Hookeov zakon (s malom masom opruge u odnosu na masu tijela).

Period titranja matematičkog njihala

Gdje l- duljina njihala; g- ubrzanje gravitacije. Period titranja fizičkog njihala

Gdje J- moment tromosti oscilirajućeg tijela u odnosu na os

oklijevanje; A- udaljenost središta mase njihala od osi titranja;

Smanjena duljina fizičkog njihala.

Navedene formule točne su za slučaj infinitezimalnih amplituda. Za konačne amplitude ove formule daju samo približne rezultate. Pri amplitudama ne većim od, pogreška u vrijednosti perioda ne prelazi 1%.

Period torzijskih titraja tijela obješenog na elastičnu nit je

Gdje J- moment inercije tijela u odnosu na os koja se podudara s elastičnom niti; k- krutost elastične niti, jednaka omjeru elastičnog momenta koji nastaje kada je nit upletena u kut pod kojim je nit upletena.

Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija, ili,

Gdje r- koeficijent otpora; δ - koeficijent prigušenja: ; ω 0 - vlastita kutna frekvencija oscilacija *

Jednadžba prigušenih oscilacija

Gdje Na)- amplituda prigušenih oscilacija u trenutku t;ω je njihova kutna frekvencija.

Kutna frekvencija prigušenih oscilacija

O Ovisnost amplitude prigušenih oscilacija o vremenu

Gdje A 0 - amplituda oscilacija u trenutku t=0.

Dekrement logaritamske oscilacije

Gdje Na) I A(t+T)- amplitude dviju uzastopnih oscilacija vremenski odvojenih periodom.

Diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija

gdje je vanjska periodička sila koja djeluje na oscilirajuću materijalnu točku i uzrokuje prisilne oscilacije; F 0 - njegova vrijednost amplitude;

Amplituda prisilnih oscilacija

Rezonantna frekvencija i rezonantna amplituda i

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1. Točka oscilira prema zakonu x(t)= , Gdje A=2 vidi Odredite početnu fazu φ ako

x(0)= cm i x , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Riješenje. Iskoristimo jednadžbu gibanja i izrazimo pomak u trenutku t=0 kroz početnu fazu:

Odavde nalazimo početnu fazu:

* U prethodno navedenim formulama za harmonijske vibracije ista veličina je označena jednostavno ω (bez indeksa 0).

Zamijenimo zadane vrijednosti u ovaj izraz x(0) i A:φ= = . Vrijednost argumenta zadovoljavaju dvije vrijednosti kuta:

Da bismo odlučili koja od ovih vrijednosti kuta φ također zadovoljava uvjet, prvo nalazimo:

Zamjenom vrijednosti u ovaj izraz t=0 i naizmjenično vrijednosti početnih faza i , nalazimo

T kao i uvijek A>0 i ω>0, tada samo prva vrijednost početne faze zadovoljava uvjet. Dakle, željena početna faza

Koristeći pronađenu vrijednost φ, konstruiramo vektorski dijagram (sl. 6.1). Primjer 2. Materijalna točka s masom T=5 g izvodi harmonijska osciliranja s frekvencijom ν =0,5 Hz. Amplituda oscilacija A=3 cm.Odrediti: 1) brzinu υ točke u trenutku kada je pomak x== 1,5 cm; 2) najveća sila F max koja djeluje na točku; 3) sl. 6.1 ukupna energija E oscilirajuća točka.

a formulu za brzinu dobivamo uzimajući prvu vremensku derivaciju pomaka:

Za izražavanje brzine preko pomaka potrebno je isključiti vrijeme iz formula (1) i (2). Da bismo to učinili, kvadriramo obje jednadžbe i prvu podijelimo s A 2 , drugi na A 2 ω 2 i dodati:

Nakon što smo riješili posljednju jednadžbu za υ , pronaći ćemo

Izvršivši izračune pomoću ove formule, dobivamo

Znak plus odgovara slučaju kada se smjer brzine podudara s pozitivnim smjerom osi X, predznak minus - kada se smjer brzine poklapa s negativnim smjerom osi X.

Pomak pri harmonijskom titranju, osim jednadžbom (1), može se odrediti i jednadžbom

Ponavljajući isto rješenje s ovom jednadžbom, dobivamo isti odgovor.

2. Silu koja djeluje na točku nalazimo koristeći drugi Newtonov zakon:

Gdje A - ubrzanje točke, koje dobivamo uzimajući vremensku derivaciju brzine:

Zamjenom izraza ubrzanja u formulu (3) dobivamo

Stoga maksimalna vrijednost sile

Zamjenom vrijednosti π, ν u ovu jednadžbu, T I A, pronaći ćemo

3. Ukupna energija oscilirajuće točke je zbroj kinetičke i potencijalne energije izračunate za bilo koji trenutak u vremenu.

Ukupnu energiju najlakše je izračunati u trenutku kada kinetička energija dostigne najveću vrijednost. U ovom trenutku potencijalna energija je nula. Stoga ukupna energija E točka osciliranja jednaka je maksimalnoj kinetičkoj energiji

Maksimalnu brzinu određujemo iz formule (2), postavkom: . Zamjenom izraza za brzinu u formulu (4) nalazimo

Zamjenom vrijednosti količina u ovu formulu i izračunima, dobivamo

ili µJ.

Primjer 3. Na krajevima tanke šipke dužine l= 1 m i masa m 3 =400 g ojačane male kuglice sa masama m 1 = 200 g I m 2 =300g. Štap oscilira oko horizontalne osi, okomito

dikularna na štap i prolazi kroz njegovu sredinu (točka O na slici 6.2). Definirajte razdoblje T oscilacije koje stvara štap.

Riješenje. Period titranja fizičkog njihala, kao što je štap s kuglicama, određen je relacijom

Gdje J- T - njegova masa; l S - udaljenost od središta mase njihala do osi.

Moment tromosti ovog njihala jednak je zbroju momenata tromosti kuglica. J 1 i J 2 i šipka J 3:

Uzimajući lopte kao materijalne točke, izražavamo njihove momente tromosti:

Budući da os prolazi kroz sredinu štapa, njegov moment tromosti u odnosu na ovu os J 3 = = . Zamjena dobivenih izraza J 1 , J 2 I J 3 u formulu (2), nalazimo ukupni moment tromosti fizičkog njihala:

Nakon što smo izvršili izračune pomoću ove formule, nalazimo

Riža. 6.2 Masa njihala sastoji se od mase kuglica i mase štapa:

Udaljenost l S Središte mase njihala pronaći ćemo iz osi titranja na temelju sljedećih razmatranja. Ako os x usmjerite duž šipke i poravnajte ishodište koordinata s točkom OKO, zatim potrebna udaljenost l jednaka koordinati centra mase njihala, tj.

Zamjena vrijednosti količina m 1 , m 2 , m, l a nakon izvođenja proračuna nalazimo

Izvršivši izračune pomoću formule (1), dobivamo period oscilacije fizičkog njihala:

Primjer 4. Fizičko njihalo je štap duljine l= 1 m i masa 3 T 1 S pričvršćen za jedan njegov kraj obručem promjera i mase T 1 . Vodoravna os Oz

visak prolazi kroz sredinu štapa okomito na nju (slika 6.3). Definirajte razdoblje T oscilacije takvog njihala.

Riješenje. Period titranja fizičkog njihala određuje se formulom

Gdje J- moment tromosti njihala u odnosu na os titranja; T - njegova masa; l C - udaljenost od središta mase njihala do osi titranja.

Moment tromosti njihala jednak je zbroju momenata tromosti štapa J 1 i obruč J 2:

Moment tromosti štapa u odnosu na os koja je okomita na štap i prolazi kroz njegovo središte mase određena je formulom. U ovom slučaju t= 3T 1 i

Moment tromosti obruča nalazimo koristeći Steinerov teorem, gdje J- moment tromosti oko proizvoljne osi; J 0 - moment tromosti oko osi koja prolazi kroz središte mase paralelno s danom osi; A - udaljenost između naznačenih osi. Primjenjujući ovu formulu na obruč, dobivamo

Zamjena izraza J 1 i J 2 u formulu (2), nalazimo moment tromosti njihala u odnosu na os rotacije:

Udaljenost l S od osi njihala do njegova središta mase jednaka je

Zamjenom izraza u formulu (1) J, l s i mase njihala, nalazimo period njegovih oscilacija:

Nakon izračuna pomoću ove formule dobivamo T= 2,17 s.

Primjer 5. Dodaju se dva titraja istog smjera, izražena jednadžbama; x 2 = =, gdje A 1 = 1 cm, A 2 =2 cm, s, s, ω = =. 1. Odrediti početne faze φ 1 i φ 2 oscilatornih komponenti

Banija. 2. Odredite amplitudu A a početna faza φ rezultirajućeg titranja. Napišite jednadžbu za rezultirajuću vibraciju.

Riješenje. 1. Jednadžba harmonijskog titranja ima oblik

Pretvorimo jednadžbe navedene u tvrdnji problema u isti oblik:

Usporedbom izraza (2) s jednakošću (1) nalazimo početne faze prve i druge oscilacije:

Drago i drago.

2. Za određivanje amplitude A rezultirajuće oscilacije, prikladno je koristiti vektorski dijagram prikazan u riža. 6.4. Prema teoremu kosinusa dobivamo

gdje je razlika faza između komponenata oscilacija. Budući da , dakle, zamjenom pronađenih vrijednosti φ 2 i φ 1 dobivamo rad.

Zamijenimo vrijednosti A 1 , A 2 i u formulu (3) i izvršite izračune:

A= 2,65 cm.

Odredimo tangens početne faze φ rezultirajuće oscilacije izravno sa slike. 6.4: , odakle dolazi početna faza

Zamijenimo vrijednosti A 1 , A 2 , φ 1, φ 2 i izvršiti proračune:

Budući da su kutne frekvencije dodanih oscilacija iste, rezultirajuća oscilacija će imati istu frekvenciju ω. To nam omogućuje da napišemo jednadžbu rezultirajuće oscilacije u obliku , gdje je A=2,65 cm, , rad.

Primjer 6. Materijalna točka sudjeluje istovremeno u dva međusobno okomita harmonijska titranja čije su jednadžbe

Gdje a 1 = 1 cm, A 2 =2 cm, . Nađite jednadžbu putanje točke. Konstruirajte putanju poštujući mjerilo i označite smjer kretanja točke.

Riješenje. Da bismo pronašli jednadžbu za putanju točke, eliminiramo vrijeme t iz zadanih jednadžbi (1) i (2). Da biste to učinili, koristite

Upotrijebimo formulu. U ovom slučaju dakle

Budući da prema formuli (1) , zatim jednadžba putanje

Dobiveni izraz je jednadžba parabole čija se os poklapa s osi Oh. Iz jednadžbi (1) i (2) proizlazi da je pomak točke duž koordinatnih osi ograničen i kreće se od -1 do +1 cm duž osi. Oh a od -2 do +2 cm po osi OU.

Za konstruiranje putanje koristimo se jednadžbom (3) za pronalaženje vrijednosti y, koji odgovara nizu vrijednosti X, zadovoljavajući uvjet cm, i kreirajte tablicu:

x , CM

Nakon što smo nacrtali koordinatne osi i odabrali mjerilo, ucrtavamo ga u ravninu xOy pronađene točke. Njihovim spajanjem glatkom krivuljom dobivamo putanju točke koja oscilira u skladu s jednadžbama gibanja (1) i (2) (sl. 6.5).

Da bismo naznačili smjer kretanja točke, pratit ćemo kako se njezin položaj mijenja tijekom vremena. U početnom trenutku t=0 koordinate točke su jednake x(0)=1 cm i g(0)=2 cm U narednom trenutku, na primjer kada t 1 =l s, koordinate točaka će se promijeniti i izjednačiti x(1)= -1 cm, y( t )=0. Poznavajući položaje točaka u početnim i sljedećim (bliskim) trenucima vremena, možete naznačiti smjer kretanja točke duž putanje. Na sl. 6.5 ovaj smjer kretanja označen je strelicom (od točke A do podrijetla). Nakon trenutka t 2 = 2 s oscilirajuća točka će doći do točke D, kretat će se u suprotnom smjeru.

Zadaci

Kinematika harmonijskih oscilacija

6.1. Jednadžba točkastih oscilacija ima oblik , gdje je ω=π s -1, τ=0,2 s. Definirajte razdoblje T a početna faza φ oscilacija.

6.2. Definirajte razdoblje T, frekvencija v i početna faza φ oscilacija, dane jednadžbom, gdje je ω=2,5π s -1, τ=0,4 s.

6.3. Točka oscilira po zakonu, gdje A x(0)=2 masovni mediji ; 2) x(0) = cm i ; 3) x(0)=2cm i ; 4) x(0)= i . Konstruirajte vektorski dijagram na trenutak t=0.

6.4. Točka oscilira po zakonu, gdje A=4 cm. Odredite početnu fazu φ ako je: 1) x(0)= 2 masovni mediji ; 2) x(0)= cm i ; 3) x(0)= cm i ; 4) x(0)=cm i . Konstruirajte vektorski dijagram na trenutak t=0.

Imaju matematički izraz. Njihova svojstva karakterizira skup trigonometrijskih jednadžbi čija je složenost određena složenošću samog oscilatornog procesa, svojstvima sustava i okoline u kojoj se odvijaju, odnosno vanjskim čimbenicima koji utječu na oscilatorni proces.

Na primjer, u mehanici, harmonijska oscilacija je kretanje koje karakterizira:

Izravan karakter;

Neujednačenost;

Kretanje fizičkog tijela, koje se događa duž sinusne ili kosinusne putanje, ovisno o vremenu.

Na temelju ovih svojstava možemo dati jednadžbu za harmonijske vibracije, koja ima oblik:

x = A cos ωt ili oblik x = A sin ωt, gdje je x vrijednost koordinate, A je vrijednost amplitude vibracije, ω je koeficijent.

Ova jednadžba harmonijskih vibracija temeljna je za sve harmonijske vibracije, koje se razmatraju u kinematici i mehanici.

Indikator ωt, koji je u ovoj formuli pod predznakom trigonometrijske funkcije, naziva se faza i određuje položaj oscilirajuće materijalne točke u određenom trenutku vremena pri zadanoj amplitudi. Kada se razmatraju cikličke fluktuacije, ovaj pokazatelj je jednak 2l, pokazuje količinu unutar vremenskog ciklusa i označava se w. U tom slučaju jednadžba harmonijskih oscilacija sadrži ga kao pokazatelj veličine cikličke (kružne) frekvencije.

Jednadžba harmoničnih oscilacija koju razmatramo, kao što je već navedeno, može imati različite oblike, ovisno o nizu čimbenika. Na primjer, ovdje je ova opcija. Za razmatranje slobodnih harmonijskih oscilacija treba uzeti u obzir činjenicu da ih sve karakterizira prigušenje. U različitim zemljama ovaj se fenomen manifestira na različite načine: zaustavljanjem tijela u kretanju, zaustavljanjem zračenja u električnim sustavima. Najjednostavniji primjer koji pokazuje smanjenje oscilatornog potencijala je njegova pretvorba u toplinsku energiju.

Jednadžba koja se razmatra ima oblik: d²s/dt² + 2β x ds/dt + ω²s = 0. U ovoj formuli: s je vrijednost oscilirajuće veličine koja karakterizira svojstva određenog sustava, β je konstanta koja pokazuje prigušenje koeficijent, ω je ciklička frekvencija.

Korištenje takve formule omogućuje nam pristup opisu oscilatornih procesa u linearnim sustavima s jedinstvene točke gledišta, kao i projektiranje i simulaciju oscilatornih procesa na znanstvenoj i eksperimentalnoj razini.

Na primjer, poznato je da u završnoj fazi svojih manifestacija oni prestaju biti harmonični, odnosno kategorije frekvencije i razdoblja za njih postaju jednostavno besmislene i ne odražavaju se u formuli.

Klasičan način proučavanja harmonijskih oscilacija je u svom najjednostavnijem obliku sustav koji je opisan sljedećom diferencijalnom jednadžbom harmonijskih oscilacija: ds/dt + ω²s = 0. Ali raznolikost oscilatornih procesa prirodno dovodi do činjenice da postoje veliki broj oscilatora. Navodimo njihove glavne vrste:

Opružni oscilator je običan teret određene mase m koji je obješen na elastičnu oprugu. Izvodi harmonijski tip, koji se opisuje formulom F = - kx.

Fizički oscilator (njihalo) - čvrsto tijelo koje pod djelovanjem određene sile izvodi oscilatorna gibanja oko statičke osi;

- (praktički se ne nalazi u prirodi). Predstavlja idealan model sustava koji uključuje oscilirajuće fizičko tijelo određene mase, koje je obješeno na krutu bestežinsku nit.