Maxwellova jednadžba je zakon ukupne struje. Maxwellove jednadžbe i njihovo fizikalno značenje

Maxwellov sustav jednadžbi je generalizacija osnovnih zakona o električnim i elektromagnetskim pojavama. Ona opisuje apsolutno sve elektromagnetske pojave. Budući da je osnova teorije elektromagnetsko polje, ovaj sustav jednadžbi omogućuje nam rješavanje problema povezanih s pronalaženjem stvorenih električnih i magnetskih polja dana distribucija električni naboji i struje. Maxwellove jednadžbe bile su polazište za stvaranje opća teorija Einsteinova relativnost. Maxwellova teorija otkriva elektromagnetsku prirodu svjetlosti. Jednadžbe je formulirao J. Maxwell šezdesetih godina 19. stoljeća na temelju generalizacije empirijskih zakona i razvoja ideja znanstvenika koji su prije njega proučavali elektromagnetske pojave (Coulombov, Biot-Savartov, Ampereov zakon i, u posebno, Faradayeva istraživanja). Maxwell je sam napisao 20 jednadžbi s 20 nepoznanica diferencijalni oblik, koji su kasnije pretvoreni. Moderna forma Maxwella dao je njemački fizičar G. Hertz i engleski fizičar O. Heaviside. Napišimo jednadžbe koristeći Gaussov sustav jedinica.

Maxwellov sustav jednadžbi

Maxwellov sustav jednadžbi uključuje četiri jednadžbe.

Prva jednadžba:

Ovo je Faradayev zakon (elektroelektrični zakon) magnetska indukcija).

gdje je jakost električnog polja, je vektor magnetske indukcije, c je brzina svjetlosti u vakuumu.

Ova jednadžba kaže da je rotor jakosti električnog polja jednak fluksu (tj. brzini promjene kroz vrijeme) vektora magnetske indukcije kroz ovaj krug. Jednadžba (1.1) je prva Maxwellova jednadžba u diferencijalnom obliku.

Ista jednadžba se može napisati u integralnom obliku, tada će imati sljedeći oblik:

gdje je projekcija na normalu na područje dS vektora magnetske indukcije,

– magnetski tok.

riža. 2.

Kruženje vektora jakosti električnog polja duž zatvorena petlja L (indukcijska emf) određena je brzinom promjene toka vektora magnetske indukcije kroz površinu ograničenu zadanom konturom. Znak minus prema Lenzovom pravilu označava smjer indukcijske struje.

Prema Maxwellovom zakonu elektromagnetska indukcija(a to je upravo to) vrijedi za svaki zatvoreni krug, proizvoljno odabran u izmjeničnom magnetskom polju.

Značenje ove jednadžbe: Izmjenično magnetsko polje u bilo kojoj točki prostora stvara vrtložno električno polje.

gdje je vektor magnetskog intenziteta, je gustoća električne struje, je vektor električnog pomaka.

Ova Maxwellova jednadžba je generalizacija empirijskog Biot-Savartova zakona da su magnetska polja pobuđena električne struje. Značenje druge jednadžbe je da je izvor vrtložnog magnetskog polja također izmjenično električno polje, magnetsko djelovanje koju karakterizira prednaponska struja. (-gustoća prednaponske struje).

U integralnom obliku, Maxwellova druga jednadžba (teorem o cirkulaciji magnetskog polja) prikazana je na sljedeći način:

Kruženje vektora jakosti magnetskog polja po proizvoljnoj konturi jednako je algebarski zbroj struje provođenja i struje pomaka spojene na krug.

Kada je Maxwell uveo jednadžbe (prije više od sto godina!), priroda elektromagnetskog polja nije bila jasna. Trenutno je priroda polja razjašnjena i postalo je jasno da se samo formalno može nazvati "trenutnim". Zbog niza dizajnerskih razmatranja, preporučljivo je zadržati ovaj naziv, bez davanja izravnog fizičkog značenja, što se radi u elektrotehnici. Iz istog razloga, vektor D uključen u izraz za struju pomaka naziva se vektor električnog pomaka.

Uz prve dvije jednadžbe, Maxwellov sustav jednadžbi uključuje teorem Gauss-Ostrogradskog za električna i magnetska polja:

gdje je gustoća električnog naboja.

Što je u integralnom obliku sljedeće:

gdje je - tok električnog pomaka tok magnetske indukcije kroz zatvorenu površinu koja obuhvaća slobodni naboj q.

Značenje jednadžbe 3.2. Električni naboj - izvor električna indukcija.

Jednadžba 4.2 izražava činjenicu nepostojanja slobodnih magnetskih naboja.

Kompletan sustav Maxwellovih jednadžbi u diferencijalni oblik(karakterizira polje u svakoj točki prostora):

Potpuni sustav Maxwellovih jednadžbi u integralnom obliku

Cjeloviti sustav Maxwellovih jednadžbi u integralnom obliku (integralni oblik zapisa jednadžbi olakšava njihovu fizikalnu interpretaciju jer ih vizualno približava poznatim empirijskim zakonitostima):

Maxwellov sustav jednadžbi nadopunjen je “materijalnim jednadžbama” koje povezuju vektore s veličinama koje opisuju električne i magnetska svojstva okruženje.

gdje je relativno permitivnost, – relativna magnetska permeabilnost, – specifična električna vodljivost, – električna konstanta, – magnetska konstanta. Pretpostavlja se da je medij izotropan, neferomagnetičan i neferoelektričan.

Na sučelju između dva medija zadovoljeni su sljedeći rubni uvjeti:

gdje - površinska gustoća besplatne naknade, n- jedinični vektor normalno na sučelje izvučeno iz medija 2-na-1, jedinični vektor tangenta na sučelje je projekcija vektora gustoće površinskih provodljivih struja na jedinični vektor.

Ove jednadžbe izražavaju kontinuitet normalnih komponenti vektora magnetske indukcije i skok normalnih komponenti vektora pomaka. Kontinuitet tangencijalnih komponenti vektora jakosti električnog polja na granici i skok u tim komponentama za jakost magnetskog polja.

Primjeri rješavanja problema

PRIMJER 1

Vježbajte	Iz sustava Maxwellovih jednadžbi dobiti jednadžbe kontinuiteta struje i zakona održanja naboja.
Otopina	Koristimo jednadžbu: Izvedimo operaciju divergencije ( ili ) za njega. Dobivamo: iz Maxwellovog sustava jednadžbi znamo da , (c) Zamjenom (c) u (b) dobivamo: to slijedi odavde ili u integralnom obliku: Prema tome, za zatvorena izolirana područja dobivamo: Ovo je jednadžba kontinuiteta za struju, koja sadrži zakon održanja naboja - jedan od temeljnih principa koji je potvrđen eksperimentom.

u slučajnom okruženju. Maxwellove jednadžbe formulirao J.K. Maxwell 60-ih godina 19. stoljeća na temelju generalizacije empirijskih zakona električnih i magnetskih pojava. Na temelju ovih zakona i razvijajući plodnu ideju M. Faraday kroz koje se ostvaruju međudjelovanja između električki nabijenih tijela elektromagnetsko polje , Maxwell je stvorio teoriju elektromagnetski procesi, matematički izraženo Maxwellove jednadžbe Moderna forma Maxwellove jednadžbe dao njemački fizičar G. Herc i engleski fizičar O. Heaviside.

Maxwellove jednadžbe povezati veličine koje karakteriziraju elektromagnetsko polje s njegovim izvorima, odnosno s rasporedom električnih naboja i struja u prostoru. U vakuumu elektromagnetsko polje karakteriziraju dvije vektorske veličine koje ovise o prostornim koordinatama i vremenu: jakost električnog polja E i magnetska indukcija U. Ove veličine određuju sile koje iz polja djeluju na naboje i struje, čija je raspodjela u prostoru dana gustoćom naboja r (naboj po jedinici volumena) i gustoćom struje j(naboj prenesen u jedinici vremena kroz jedinicu površine okomito na smjer kretanja naboja). Opisati elektromagnetske procese u materijalnom okruženju (u tvari), osim vektora E I U, uvode se pomoćne vektorske veličine, ovisno o stanju i svojstvima medija: električna indukcija D i jakosti magnetskog polja N.

Maxwellove jednadžbe omogućuju vam da odredite glavne karakteristike polja ( E, B, D I N) u svakoj točki prostora u bilo koje vrijeme, ako su poznati izvori polja j i r kao funkcije koordinata i vremena. Maxwellove jednadžbe mogu se napisati u integralnom ili diferencijalnom obliku (dani su dolje u apsolutni sustav Gaussove jedinice; cm. GHS sustav jedinica ).

Maxwellove jednadžbe u integralnom obliku nisu sami vektori polja određeni iz danih naboja i struja E, B, D, N na pojedinim točkama prostora, te neke integralne veličine ovisno o rasporedu ovih karakteristika polja: cirkulacija vektori E I N po proizvoljnim zatvorenim konturama i potoci vektori D I kroz proizvoljne zatvorene površine.

Prvi Maxwellove jednadžbe je generalizacija na promjenjiva polja empirijskog Amperov zakon na pobudu magnetskog polja električnim strujama. Maxwell je pretpostavio da magnetsko polje ne stvaraju samo struje koje teku u vodičima, već i izmjenična električna polja u dielektriku ili vakuumu. Maxwell je veličinu proporcionalnu brzini promjene električnog polja tijekom vremena nazvao strujom pomaka. Struja pomaka pobuđuje magnetsko polje po istom zakonu kao i struja vodljivosti (to je kasnije eksperimentalno potvrđeno). Puna struja jednak zbroju struja provođenja i struja pomaka je uvijek zatvorena.

Prvi Maxwellove jednadžbe ima oblik:

odnosno kruženje vektora jakosti magnetskog polja po zatvorenoj petlji L(zbroj skalarnih proizvoda vektora N u danoj točki na konturi za infinitezimalni segment dl strujni krug) određena je ukupnom strujom kroz proizvoljnu površinu jn- projekcija gustoće struje provođenja j na normalu na infinitezimalno područje ds, koja je dio površine S, projekcija je gustoće struje pomaka na istu normalu, a S= 3×10 10 cm/s - konstanta jednaka brzini širenja elektromagnetskih međudjelovanja u vakuumu.

Drugi Maxwellove jednadžbe je matematička formulacija Faradayeva zakona elektromagnetske indukcije (vidi. Elektromagnetska indukcija ) se piše kao:

, (1, b)

odnosno kruženje vektora jakosti električnog polja po zatvorenoj petlji L (inducirana emf) određena je brzinom promjene toka vektora magnetske indukcije kroz površinu S, ograničen ovom konturom. Ovdje n- projekcija na normalu na mjesto ds vektor magnetske indukcije U; znak minus odgovara Lenzovo pravilo za usmjeravanje indukcijske struje.

Treći Maxwellove jednadžbe izražava eksperimentalne podatke o nepostojanju magnetskih naboja sličnih električnim (magnetsko polje stvaraju samo struje):

odnosno tok vektora magnetske indukcije kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S jednaka nuli.

Četvrti Maxwellove jednadžbe(obično se zove Gaussov teorem ) je generalizacija zakona međudjelovanja stacionarnih električnih naboja - Zakon o privjesku :

, (1, g)

odnosno tok vektora električne indukcije kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S određen električnim nabojem koji se nalazi unutar ove površine (u volumenu , ograničeno određenom površinom).

Ako pretpostavimo da su vektori elektromagnetskog polja ( E, B, D, N) su kontinuirane funkcije koordinate, zatim, s obzirom na kruženje vektora N I E duž infinitezimalnih kontura i vektorskih tokova I D preko ploha koje ograničavaju infinitezimalne volumene moguće je prijeći s integralnih odnosa (1, a - d) na sustav diferencijalne jednadžbe, vrijedi u svakoj točki prostora, odnosno dobiti diferencijalni oblik Maxwellove jednadžbe(obično prikladnije za rješavanje raznih problema):

trulež ,

Ovdje su rot i div diferencijalni operatori rotora (vidi Vrtlog ) I divergencija , djelujući na vektore N, E, I D. Fizičko značenje jednadžbi (2) je isto kao i jednadžbi (1).

Maxwellove jednadžbe u obliku (1) ili (2) ne čine potpuni zatvoreni sustav koji omogućuje izračunavanje elektromagnetskih procesa u prisutnosti materijalno okruženje. Potrebno ih je dopuniti relacijama koje povezuju vektore E, H, D, B I j, koji nisu neovisni. Veza između ovih vektora određena je svojstvima medija i njegovim stanjem, te D I j izražavaju se kroz E, A - kroz N:

D = D(E), = (N), j = j(E). (3)

Ove tri jednadžbe nazivaju se jednadžbama stanja ili materijalnim jednadžbama; opisuju elektromagnetska svojstva medija i za svaki konkretan medij imaju određeni oblik. U vakuumu Dº E I º N. Skup jednadžbi polja (2) i jednadžbi stanja (3) čine cjelovit sustav jednadžbi.

Makroskopski Maxwellove jednadžbe opisati medij fenomenološki, bez razmatranja složenog mehanizma interakcije elektromagnetskog polja s nabijenim česticama medija. Maxwellove jednadžbe može se dobiti od Lorentz - Maxwellove jednadžbe za mikroskopska polja i određene ideje o strukturi materije usrednjavanjem mikropolja u malim prostorno-vremenskim intervalima. Na taj način, obje osnovne jednadžbe polja (2) i specifičan oblik jednadžbe stanja (3), a oblik jednadžbi polja ne ovisi o svojstvima medija.

Jednadžbe stanja u opći slučaj su vrlo složeni, jer vektori D, I j u određenoj točki prostora u trenutku vremena mogu ovisiti o poljima E I N na svim točkama u okruženju u svim prethodnim vremenima. U nekim sredinama, vektori D I može biti različit od nule kada E I jednako nuli ( feroelektrika I feromagneti ). Međutim, za većinu izotropnih medija, do vrlo značajnih polja, jednadžbe stanja imaju jednostavan linearni oblik:

D= e E, = m H, j= s E+ j od tr. (4)

Ovdje e ( x, y, z) - permitivnost , i m ( x, y, z) - magnetska permeabilnost okruženja koja karakteriziraju njegova električna odnosno magnetska svojstva (u odabranom sustavu jedinica za vakuum e = m = 1); vrijednost s( x, y, z) naziva se specifična električna vodljivost; j pp - gustoća takozvanih struja treće strane, odnosno struja podržanih bilo kojim drugim silama osim sila električnog polja (na primjer, magnetsko polje, difuzija, itd.). U Maxwellovoj fenomenološkoj teoriji, makroskopske karakteristike elektromagnetska svojstva okruženja e, m i s moraju se pronaći eksperimentalno. U mikroskopskoj Lorentz-Maxwell teoriji mogu se izračunati.

Permeabilnosti e i m zapravo određuju doprinos elektromagnetskom polju koji daju takozvani vezani naboji koji su dio električki neutralnih atoma i molekula tvari. Eksperimentalno određivanje e, m, s omogućuje vam izračunavanje elektromagnetskog polja u mediju bez rješavanja teškog pomoćnog problema raspodjele vezanih naboja i njihovih odgovarajućih struja u tvari. Gustoća naboja r i gustoća struje j V Maxwellove jednadžbe su gustoće slobodnih naboja i struja, te pomoćni vektori N I D uvode se tako da kruženje vektora N je određen samo kretanjem slobodnih naboja i protokom vektora D- gustoća raspodjele ovih naboja u prostoru.

Ako se elektromagnetsko polje razmatra u dva susjedna medija, tada na njihovom sučelju vektori polja mogu doživjeti diskontinuitete (skokove); u ovom slučaju, jednadžbe (2) moraju biti dopunjene rubnim uvjetima:

[nH] 2 - [nH] 1 = ,

[nE] 2 - [nE] 1 = 0, (5)

(nD) 2 - (nD) 1 = 4ps,

(nB) 2 - (nB) 1 = 0.

Ovdje j pov i s - površinska struja i gustoće naboja, kvadrat i zagrade - vektor i točkasti proizvod vektori, n jedinični normalni vektor na međupovršinu u smjeru od prvog medija prema drugom (1®2), a indeksi se odnose na različitim strankama granice sučelja.

Osnovne jednadžbe za polje (2) su linearne, dok jednadžbe stanja (3) mogu biti i nelinearne. Tipično, nelinearni učinci se otkrivaju u dovoljno jakim poljima. U linearnom mediju [zadovoljavajući relacije (4)] i, posebno, u vakuumu Maxwellove jednadžbe linearno i time ispada pravedno princip superpozicije: Kada su polja superponirana, ona ne utječu jedno na drugo.

Iz Maxwellove jednadžbe slijedi niz zakona očuvanja. Konkretno, iz jednadžbi (1, a) i (1, d) možemo dobiti relaciju (tzv. jednadžbu kontinuiteta):

, (6)

što je zakon održanja električnog naboja: ukupna struja koja teče u jedinici vremena kroz bilo koju zatvorenu površinu S, jednak je promjeni naboja unutar volumena V, ograničen ovom površinom. Ako kroz površinu nema struje, tada naboj u volumenu ostaje nepromijenjen.

Iz Maxwellove jednadžbe slijedi da elektromagnetsko polje ima energiju i moment (količinu gibanja). Gustoća energije w (energija po jedinici volumena polja) jednaka je:

, (7)

Elektromagnetska energija može putovati svemirom. Gustoća toka energije određena je takozvanim Poyntingovim vektorom

Smjer Poyntingovog vektora je okomit na as E, dakle N i podudara se sa smjerom širenja elektromagnetske energije, a njegova vrijednost jednaka je energiji prenesenoj u jedinici vremena kroz jediničnu površinu okomitu na vektor P. Ako nema pretvorbi elektromagnetske energije u druge oblike, onda, prema Maxwellove jednadžbe, promjena energije u određenom volumenu po jedinici vremena jednaka je protoku elektromagnetske energije kroz površinu koja ograničava taj volumen. Ako se toplina oslobađa unutar volumena zbog elektromagnetske energije, tada se zakon održanja energije piše u obliku:

(9)

Gdje Q- količina topline koja se oslobađa u jedinici vremena.

Gustoća impulsa elektromagnetskog polja g(moment po jedinici volumena polja) povezan je s gustoćom toka energije relacijom:

Postojanje impulsa elektromagnetskog polja prvi put je eksperimentalno otkriveno u pokusima P.N. Lebedeva o mjerenju tlaka svjetlosti (1899).

Kao što se vidi iz (7), (8) i (10), elektromagnetsko polje uvijek ima energiju, a protok energije i elektromagnetski puls razlikuju se od nule samo u slučaju kada istodobno postoje i električno i magnetsko polje (i ta polja nisu međusobno paralelna).

Maxwellove jednadžbe dovesti do temeljnog zaključka o konačnosti brzine širenja elektromagnetskih međudjelovanja (jednake S= 3×10 10 cm/sek). To znači da kada se gustoća naboja ili struje promijeni na određenoj točki u prostoru, elektromagnetsko polje koje oni generiraju na točki promatranja ne mijenja se u istom trenutku, već nakon vremena t = R/c, Gdje R- udaljenost od trenutnog elementa ili naboja do točke promatranja. Zbog konačne brzine širenja elektromagnetskih međudjelovanja, postojanje elektromagnetski valovi , čiji su poseban slučaj (kako je Maxwell prvi pokazao) svjetlosni valovi.

Elektromagnetski fenomeni događaju se na isti način u svim inercijski referentni sustavi, odnosno zadovoljavaju načelo relativnosti. U skladu s ovim Maxwellove jednadžbe ne mijenjaju svoj oblik pri kretanju s jedne inercijski sustav upućivanje na drugo (relativistički nepromjenjivo). Pokazalo se da je ispunjenje načela relativnosti za elektromagnetske procese nespojivo s klasičnim idejama o prostoru i vremenu, zahtijevalo je reviziju tih ideja i dovelo do stvaranja posebna teorija relativnost (A. Einstein, 1905.; cm. Teorija relativnosti ). Oblik Maxwellove jednadžbe ostaje nepromijenjen pri prijelazu na novi inercijalni referentni sustav, ako prostor, koordinate i vrijeme, vektori polja E, H, B, D, gustoća struje j a gustoća naboja r mijenja se u skladu s Lorentzove transformacije (izražavanje novih, relativističkih ideja o prostoru i vremenu). Relativistički nepromjenjivi oblik Maxwellove jednadžbe naglašava činjenicu da električno i magnetsko polje čine jedinstvenu cjelinu.

Maxwellove jednadžbe opisuju veliki niz pojava. Oni čine osnovu elektrotehnike i radiotehnike i igraju ključnu ulogu u njihovom razvoju trenutni trendovi moderna fizika poput fizike plazma i problem vladanih termonuklearne reakcije, magnetska hidrodinamika, nelinearna optika, dizajn akceleratori nabijenih čestica , astrofizika itd. Maxwellove jednadžbe nije primjenjivo samo na visokim frekvencijama elektromagnetski valovi, kada kvantni efekti postaju značajni, odnosno kada je energija pojedinih kvanta elektromagnetskog polja - fotona velika, a relativno mali broj fotona sudjeluje u procesima.

Lit.: Maxwell J.K., Odabrana djela iz teorije elektromagnetskog polja, prijevod s engleskog, M., 1952.; Tamm I.E., Osnove teorije elektriciteta, 7. izdanje, M., 1957.; Kalašnjikov S.G., Elektricitet, M., 1956 ( Opći tečaj fizika, sv. Feynman R., Layton R., Sands M., Feynmanova predavanja o fizici, (prijevod s engleskog], v. 5, 6, 7, M., 1966.; Landau L. D., Lifshits E. M., Teorija polja, 5. izdanje, M., 1967. (Theoretical Physics, sv. . 2); njihovi , Elektrodinamika kontinuiranih medija, M., 1959.

G. Ya. Myakishev.

Članak o riječi " Maxwellove jednadžbe"u Boljšoju Sovjetska enciklopedija pročitan je 36718 puta

Maxwellova treća jednadžba je generalizacija Gaussovog zakona na slučaj promjenjivih procesa. Gaussov zakon povezuje tok vektora električnog pomaka kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S s nabojem Q koncentriranim unutar te površine:

gdje je dS = n0 dS; n0 je jedinični vektor vanjske normale na površinu S.

Prije Maxwella, jednadžba (1.40) je razmatrana samo u primjeni na stalna polja. Maxwell je sugerirao da je to također točno u slučaju promjenjivih polja.

Naboj Q može biti proizvoljno raspoređen unutar površine S. Stoga se u općem slučaju

gdje je ρ volumenska gustoća naboja; V- volumen ograničen površinom S. Volumna gustoća naboja

gdje je ΔQ naboj koncentriran u volumenu ΔV. Dimenzija ρ – privjesak po kubni metar(C/m3).

Zamjenom (1.41) u (1.40) dobivamo

. (1.43)

Jednadžba (1.43) obično se zove Maxwellova treća jednadžba u integralnom obliku. Da bismo prešli na diferencijalni oblik, transformiramo lijevu stranu ove jednadžbe u skladu s Ostrogradsky-Gaussovim teoremom (Am. 19). Kao rezultat dobivamo:

.

Ova jednakost mora vrijediti za proizvoljan volumen V, što je jedino moguće ako

divD = ρ. (1,44)

Odnos (1.44) obično se naziva treća Maxwellova jednadžba. U Kartezijanski sustav koordinate je zapisano u obrascu

.

Iz jednakosti (1.44) slijedi da je divergencija vektora D različita od nule u onim točkama prostora gdje postoje besplatne naknade. U tim točkama linije vektora D imaju početak (izvor) ili kraj (odvod). Pravci vektora D počinju na pozitivnim nabojima, a završavaju na negativnim.

Za razliku od vektora D, izvori (odvodi) vektora E mogu biti slobodni i vezani naboji. Da bismo to pokazali, prepisujemo jednadžbu (1.44) za vektor E. Zamjenom relacije (1.4) u (1.44), dobivamo εodiv E = ρ – div P. Drugi član s desne strane ove jednakosti ima smisla nasipna gustoća naboje koji nastaju kao posljedica neravnomjerne polarizacije medija (takve ćemo naboje zvati polarizirajuće):

divP = -. (1,45)

Objasnimo pojavu polarizacijskih naboja na sljedećem primjeru. Neka postoji polarizirani medij (sl. 1.8). Mentalno označimo volumen ΔV unutar njega, ograničen površinom ΔS. Kao rezultat polarizacije u mediju dolazi do pomaka naboja povezanih s molekulama tvari. Ako je volumen ΔV mali i polarizacija je neravnomjerna, tada više naboja može ući u volumen ΔV s jedne strane nego izaći s druge (na slici 1.8 volumen ΔV prikazan je točkastom linijom). Ističemo da su polarizacijski naboji “vezani” i nastaju samo pod utjecajem električnog polja. Znak minus u formuli (1.45) proizlazi iz definicije vektora P (vidi 1.2.1).

Riža. 1.8. Polarizirani medij

Pravci vektora P počinju na negativnim nabojima, a završavaju na pozitivnim. Uzimajući u obzir formulu (1.45), dolazimo do relacije εodiv E = ρ + ρp, iz koje slijedi gornja tvrdnja da su izvori (odvodi) linija vektora E (električnih sila) i slobodni i vezani naboji .

Maxwellova četvrta jednadžba u integralnom obliku podudara se s Gaussovim zakonom za magnetsko polje, koji se može formulirati na sljedeći način. Tok vektora B kroz bilo koju zatvorenu površinu S jednak je nuli, tj.

.(1.46)

To znači da ne postoje linije vektora B koje samo ulaze u zatvorenu plohu S (ili, obrnuto, samo izlaze iz plohe S): one je uvijek prodiru (slika 1.9).

Riža. 1.9. Linije vektora B prodiru u površinu S

Jednadžba (1.46) naziva se Maxwellova četvrta jednadžba u integralnom obliku. Može se prijeći na diferencijalni oblik jednadžbe (1.46) koristeći Ostrogradsky-Gaussov teorem na isti način kao što je učinjeno u slučaju Maxwellove treće jednadžbe. Kao rezultat dobivamo

divB = 0. (1,47)

Jednadžba (1.47) je četvrta Maxwellova jednadžba. To pokazuje da u prirodi nema samaca magnetski naboji jedan znak. Iz ove jednadžbe također slijedi da su pravci vektora B ( dalekovodi magnetsko polje) su kontinuirani.

U slučaju stacionarnih (tj. vremenski nepromjenjivih) električnih i magnetskih polja, čije je podrijetlo povezano sa stacionarnim nabojima za električno polje i sa stacionarnim strujama za magnetsko polje, ta su polja neovisna jedna o drugome, što omogućuje da ih razmatramo odvojeno jedne od drugih.

Maxwellove jednadžbe je sustav jednadžbi koje opisuju prirodu nastanka i svojstva električnog i magnetskog polja.

Maxwellove jednadžbe za stacionarna polja:

dakle, Maxwellove jednadžbe za stacionarna polja:

I.; II. ;

III.; IV. .

Vektorske karakteristike elektrostatskog polja I međusobno su povezani sljedećim odnosom:

,

Gdje – električna konstanta,  – dielektrična konstanta medija.

Vektorske karakteristike magnetskog polja I međusobno su povezani sljedećim odnosom:

,

Gdje – magnetska konstanta, – magnetska permeabilnost medija.

Tema 8. Maxwellove jednadžbe za elektromagnetsko polje

Prema Maxwellove teorije za elektromagnetsko polje u slučaju nestacionarnih (to jest vremenski promjenjivih) električnih i magnetskih polja, izvori električnog polja mogu biti ili električni naboji ili vremenski promjenjivo magnetsko polje, a izvori magnetskog polja mogu biti pokretni električni naboji (električne struje) ili izmjenično električno polje.

Za razliku od stacionarnih polja, izmjenična električna i magnetska polja nisu neovisna jedna o drugome i smatraju se elektromagnetskim poljem.

Maxwellove jednadžbe, kao sustav jednadžbi koje opisuju prirodu nastanka i svojstva električnih i magnetskih polja u slučaju elektromagnetsko polje ima oblik:

ja.
, odnosno kruženje vektora jakosti električnog polja određeno je brzinom promjene vektora indukcije magnetskog polja ( brzina promjene vektora indukcije ).

Ova jednadžba pokazuje da izvori električnog polja mogu biti ne samo električni naboji, već i vremenski promjenjiva magnetska polja.

II.
, odnosno tok vektora električnog pomaka kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S, jednak je algebarskom zbroju naboja sadržanih u volumenu V, omeđen zadanom zatvorenom plohom S ( - volumetrijska gustoća naboja).

III.
, odnosno kruženje vektora napetosti po proizvoljnoj zatvorenoj konturi L određena ukupnom strujom ja puna probijanje površine S, ograničen ovom konturom L.

ukupna struja ja puna, koji se sastoji od struje provođenja ja I prednaponska struja ja cm., odnosno ja puna = ja + ja cm. .

Ukupna struja vodljivosti ja određena u općem slučaju preko površinske gustoće struje j (
) integracija, tj

.

Prednaponska struja ja cm probijanje površine S, definira se općenito

slučaj kroz površinsku gustoću prednaponske struje
(
) integracija, odnosno:
.

Koncept "struje pomaka" koji je uveo Maxwell, čija je veličina određena brzinom promjene vektora električnog pomaka , odnosno vrijednost , pokazuje da se magnetska polja mogu pobuditi ne samo pokretnim nabojima (strujama električne vodljivosti), već i izmjeničnim električnim poljima.

IV.
, odnosno tok vektora indukcije magnetsko polje kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S jednaka nuli.

Maxwellovo uvođenje koncepta struje pomaka dovelo je do dovršetka makroskopske teorije elektromagnetskog polja koje je on stvorio, što omogućuje jedna točka vizije objašnjavaju ne samo električne i magnetske pojave, već i predviđaju nove, čije je postojanje naknadno potvrđeno.

Maxwellova teorija temelji se na 4 jednadžbe:

1. Električno polje može biti potencijalno ili vrtložno, pa je jakost rezultirajućeg polja jednaka:

Ova jednadžba pokazuje da se magnetska polja mogu pobuditi ili pokretnim nabojima (električne struje) ili izmjeničnim električnim poljima.

3. Gaussov teorem za polje:

Dobivamo

Tako, kompletan sustav Maxwellove jednadžbe u integralnom obliku:

	1),
	2),

Veličine uključene u Maxwellove jednadžbe nisu neovisne i među njima postoji veza.

Za izotropne, neferoelektrične i neferomagnetske medije pišemo formule veze:

	b) ,
	V),

gdje je električna konstanta, je magnetska konstanta,

Dielektrična konstanta medija, m - magnetska permeabilnost medija,

r - specifično električni otpor, - specifična električna vodljivost.

Iz Maxwellovih jednadžbi proizlazi da Što:

Izvor električnog polja mogu biti ili električni naboji ili vremenski promjenjiva magnetska polja, koja mogu biti pobuđena ili pokretnim električnim nabojima (strujama) ili izmjeničnim električnim poljima.

Maxwellove jednadžbe nisu simetrične u odnosu na električna i magnetska polja. To je zbog činjenice da magnetski naboji ne postoje u prirodi.

Ako je i (stacionarna polja), onda Maxwellove jednadžbe imaju sljedeći oblik:

Izvori stacionarnog električnog polja su samo električni naboji, izvori stacionarnog magnetskog polja su samo provodne struje .

Električno i magnetsko polje u ovom su slučaju neovisno jedno o drugome, što omogućuje odvojeno proučavanje konstantnog električnog i magnetskog polja.

Diferencijalni oblik zapisa Maxwellovih jednadžbi:

	3) ,

Integralni oblik zapisa Maxwellovih jednadžbi je općenitiji ako postoje površine diskontinuiteta. Diferencijalni oblik zapisa Maxwellove jednadžbe pretpostavlja da se sve veličine u prostoru i vremenu kontinuirano mijenjaju.

Maxwellove jednadžbe su najviše opće jednadžbe za električna i magnetska polja u mirnim medijima. Oni imaju istu ulogu u doktrini elektromagnetizma. važnu ulogu, poput Newtonovih zakona u mehanici. Iz Maxwellovih jednadžbi slijedi da je izmjenično magnetsko polje uvijek povezano s izmjeničnim električno polje, a izmjenično električno polje uvijek je povezano s magnetskim poljem koje ono stvara, tj. Električno i magnetsko polje neraskidivo su povezano jedno s drugim – čine jedno elektromagnetsko polje.

Svojstva Maxwellovih jednadžbi

Maxwellove jednadžbe su linearne. Sadrže samo prve izvodnice polja E i B po vremenskim i prostornim koordinatama te prve stupnjeve gustoće električnih naboja i struja j. Svojstvo linearnosti Maxwellovih jednadžbi povezano je s načelom superpozicije; ako bilo koja dva polja zadovoljavaju Maxwellove jednadžbe, to vrijedi i za zbroj tih polja.

Maxwellove jednadžbe sadrže jednadžbe kontinuiteta koje izražavaju zakon održanja električnog naboja. Da bi se dobila jednadžba kontinuiteta, potrebno je uzeti divergenciju s obje strane prve Maxwellove jednadžbe u diferencijalnom obliku:

Maxwellove jednadžbe su zadovoljene u svim inercijalnim referentnim okvirima. Oni su relativistički invarijantni. To je posljedica načela relativnosti, prema kojem su svi inercijski referentni sustavi međusobno fizički ekvivalentni. Oblik Maxwellovih jednadžbi ne mijenja se pri prelasku iz jednog inercijalnog referentnog sustava u drugi, ali se veličine koje su u njima uključene transformiraju prema određenim pravilima. one. Maxwellove jednadžbe su ispravne relativističke jednadžbe, za razliku od npr. Newtonovih jednadžbi mehanike.

Maxwellove jednadžbe su asimetrične u odnosu na električna i magnetska polja. To je zbog činjenice da u prirodi postoje električni naboji, ali ne i magnetski.

Iz Maxwellovih jednadžbi proizlazi važan zaključak o postojanju temeljno novog fenomena: elektromagnetsko polje je sposobno postojati neovisno - bez električnih naboja i struja. Štoviše, njegova promjena nužno ima valni karakter. Polja ove vrste nazivaju se elektromagnetski valovi. U vakuumu se uvijek šire brzinom jednaka brzina Sveta. Maxwellova teorija predvidjela je postojanje elektromagnetskih valova i omogućila utvrđivanje svih njihovih osnovnih svojstava.