Lekcija "Kako nacrtati graf funkcije y = f(kx) ako je poznat graf funkcije y = f(x)". Transformacije grafikona

Materijal prikazan u video tutorialu nastavak je teme crtanja funkcija kroz različite transformacije. Pogledat ćemo kako se gradi graf funkcije. y=f(kx) ako je poznat graf funkcije y=f(x) . NA ovaj slučaj k- bilo koji pravi broj, nije jednako nuli.

Razmotrimo najprije slučaj kada k je pozitivan broj. Na primjer, nacrtajmo funkciju y=f(3 x) , ako je graf funkcije y=f(X) imamo. Na slici koordinatna os prikazuje grafikon y=f(X) na kojem se nalaze točke s koordinatama A i B. Odabir proizvoljnih vrijednosti x i njihovo supstituiranje u funkciju y=f(3 x), pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcije na. Tako se dobiju točke grafa funkcije y=f(3 x) A 1 i B 1, čije su ordinate iste kao ordinate točaka A i B. Odnosno, možemo reći da iz grafa funkcije y=f(x) kompresijom s faktorom k na y-os, možete dobiti graf funkcije y=f(kx) . Važno je napomenuti da točke sjecišta s osi y ostaju na istom mjestu tijekom kompresije.

U slučaju kada k- negativan broj, graf funkcije y=f(kx) pretvara se iz grafa funkcije y=f(x) istezanjem od y-osi s faktorom 1/ k.

1) prvo se gradi dio vala grafa funkcije y=grijehx(vidi sliku);

2) jer k= 2, graf funkcije je komprimiran y=sinx na ordinatnu os, omjer kompresije je 2. Pronađite točku sjecišta s osi x. Jer graf funkcije y=grijehx siječe x-os u točki π, zatim graf funkcije y=grijeh 2x siječe os x u točki π/k = π/2. Na sličan način se nalaze sve ostale točke grafa funkcije y=grijeh 2x a cijeli graf je izgrađen na tim točkama.

Razmotrimo 2. primjer - crtanje grafa funkcije y=cos(x/2).

1) gradimo dio vala grafa funkcije y \u003d cos x(vidi sliku);

2) jer k=1/2, rastegnite graf funkcije y=grijehx od y-osi s faktorom ½.

Pronađite točku presjeka grafa s osi x. Jer graf funkcije y=cosx siječe x-os u točki π/2, zatim graf funkcije y=cos(x/2) siječe x-osu u točki π. Na isti način nalazimo sve ostale točke grafa funkcije y=cos(x/2), izgradit ćemo cijeli graf pomoću ovih točaka.

Zatim razmotrite mogućnost konstruiranja grafa funkcije g= f(kx), gdje k je negativan broj. Na primjer, kada k= -1 značajka g= f(kx) = f(- x). Na slici je prikazan grafikon y=f(X), na kojem se nalaze točke s koordinatama A i B. Odabir proizvoljnih vrijednosti x i njihova zamjena u funkciju g= f(- x), pronaći odgovarajuće vrijednosti funkcije na. Dobiti točke grafa funkcije g= f(- x) A 1 i B 1, koje će biti simetrične točkama A i B u odnosu na y-os. To jest, kada se koristi simetrija oko y-osi iz grafa funkcije y=f(kx) dobivamo graf funkcije y=f(- x).

Prijeđimo na crtanje grafa funkcije g= f(kx) za k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) izgraditi dio vala karte y=grijehx;

2) jer k= 4, rastegnut ćemo poluval grafa u odnosu na apscisnu os, gdje je faktor istezanja 4;

3) izvršiti simetričnu transformaciju oko x-osi;

4) istezanje od y-osi (faktor istezanja je 2);

5) završiti konstrukciju cijelog grafa.

U ovom video vodiču detaljno smo ispitali kako korak po korak izgraditi graf funkcije y=f(kx) na različite vrijednosti k.

INTERPRETACIJA TEKSTA:

Danas ćemo se upoznati s transformacijom koja će vam pomoći da naučite kako grafički prikazati funkciju y \u003d f (kx)

(y je jednako ef iz argumenta koji predstavlja umnožak ka i x), ako je poznat graf funkcije y \u003d f (x) (y je jednako eff iz x), gdje je ka bilo koji realni broj (osim nule) ".

1) Razmotrite slučaj kada je k pozitivan broj u konkretnom primjeru, kada je k = 3. To jest, trebate nacrtati graf funkcije

y \u003d f (3x) (y je jednako eff od tri x), ako je poznat graf funkcije y \u003d f (x). Neka na grafu funkcije y \u003d f (x) postoji točka A s koordinatama (6; 5) i B s koordinatama (-3; 2). To znači da je f (6) \u003d 5 i f (- 3) \u003d 2 (ef od šest je jednako pet, a ef od minus tri jednako je dva). Pratimo kretanje ovih točaka pri crtanju funkcije y \u003d f (3x).

Uzmite proizvoljnu vrijednost x = 2, izračunajte y, zamjenjujući vrijednost x u graf funkcije y \u003d f (3x), dobivamo da je y \u003d 5. (na ekranu: y \u003d f (3x) \u003d f (3 2) \u003d f ( 6) = 5.) To jest, na grafu funkcije y \u003d f (3x) postoji točka s koordinatama A 1 (2; 5). Ako je x \u003d - 1, tada zamjenom vrijednosti x u graf funkcije y \u003d f (3x), dobivamo vrijednost y \u003d 2.

(Na zaslonu: y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Odnosno, na grafu funkcije y \u003d f (3x) postoji točka s koordinatama B 1 (- 1; 2). Dakle, na grafu funkcije y \u003d f (3x) postoje točke s istom ordinatom kao na grafu funkcije y \u003d f (x), dok je apscisa točke dva puta manja u apsolutnoj vrijednosti .

Isto će vrijediti i za ostale točke grafa funkcije y \u003d f (x), kada prijeđemo na graf funkcije y \u003d f (3x).

Obično se takva transformacija naziva kompresijom na y (y) os s faktorom 3.

Dakle, graf funkcije y = f (kx) dobivamo iz grafa funkcije y = f (x) skupljanjem na y (y) os s koeficijentom k. Imajte na umu da s takvom transformacijom točka presjeka grafikona funkcije y \u003d f (x) s osi y ostaje na mjestu.

Ako je k manji od jedan, tada se ne govori o kompresiji s koeficijentom k, nego o istezanju od osi y s koeficijentom (odnosno, ako je k = , tada se govori o istezanju s koeficijentom 4).

PRIMJER 1. Grafički nacrtajte funkciju y \u003d sin 2x (y je jednako sinusu dva x).

Riješenje. Prvo, izgradimo poluval grafa y \u003d sin x na intervalu od nule do pi. Budući da je koeficijent jednak dva, što znači da je k pozitivan broj veći od jedan, tada ćemo graf funkcije y \u003d sin x komprimirati na ordinatnu os s koeficijentom 2. Pronađite točku sjecišta s osi OX. Ako graf funkcije y \u003d sin x siječe os OX u točki π, tada će se graf funkcije y \u003d sin 2x sijeći u točki (π: k = π: 2 \u003d) (pi podijeljeno s ka jednako je pi podijeljeno s dva jednako je pi s dva) . Na sličan način nalazimo sve ostale točke grafa funkcije y \u003d sin2 x. Dakle, točka grafikona funkcije y \u003d sin x s koordinatama (; 1) odgovarat će točki grafikona funkcije y \u003d sin 2x s koordinatama (; 1). Dakle, dobivamo jedan poluval grafa funkcije y \u003d sin 2x. Pomoću periodičnosti funkcije konstruiramo cijeli graf.

PRIMJER 2. Grafički nacrtajte funkciju y \u003d cos (y je jednako kosinusu privatnog x i dva).

Riješenje. Prvo, izgradimo poluval grafa y \u003d cos x. Budući da je k pozitivan broj manji od e jedinice, tada ćemo rastegnuti graf funkcije y \u003d cos x od y-osi s faktorom 2.

Pronađite točku sjecišta s osi x. Ako graf funkcije y \u003d cos x siječe os OX u točki, tada će se graf funkcije y \u003d cos sijeći u točki π. (: k =π: = π). Na sličan način nalazimo sve ostale točke grafa funkcije y \u003d cos. Tako dobivamo jedan poluval grafa željene funkcije. Pomoću periodičnosti funkcije konstruiramo cijeli graf.

Razmotrimo slučaj kada je k jednako minus jedan. Odnosno, morate nacrtati funkciju y \u003d f (-x) (y je jednako eff od minus x), ako je graf funkcije y \u003d f (x) poznat. Neka se na karti nalazi točka A s koordinatama (4; 5) i točka B (-5; 1). To znači da je f (4) = 5 i f (- 5) = 1.

Budući da pri zamjeni u formulu y = f (-x) umjesto x = - 4 dobivamo y = f (4) = 5, tada na grafu funkcije y = f (-x) postoji je točka s koordinatama A 1

(- 4; 5) (minus četiri, pet). Slično, graf funkcije y \u003d f (-x) pripada točki B 1 (5; 1). Odnosno, graf funkcije y \u003d f (x) pripada točkama A (4; 5) i B (-5; 1), a graf funkcije y \u003d f (-x) pripadaju točkama A 1 (- 4; 5) i B 1 (5; 1). Ovi parovi točaka su simetrični oko y-osi.

Stoga se graf funkcije y \u003d f (-x) pomoću transformacije simetrije oko y-osi može dobiti iz grafa funkcije y \u003d f (x).

3) Konačno, razmotrimo slučaj kada je k negativan broj. Uzimajući u obzir da je jednakost f (kx) = f (- |k|x) (ef iz umnoška ka sa x jednak eff iz umnoška minus modul od ka i x) pravedna, tada pričamo o konstruiranju grafa funkcije y = f (- |k|x), koji se može graditi u fazama:

1) nacrtajte funkciju y \u003d f (x);

2) podvrgnuti konstruirani graf kompresiji ili istezanju prema y-osi s koeficijentom |k| (modul);

3) provesti transformaciju simetrije oko y-osi

(y) dobivenih u drugom odlomku grafikona.

PRIMJER 3. Nacrtajte funkciju y \u003d 4 sin (-) (y je četiri puta sinus kvocijenta minus x za dva).

Riješenje. Prije svega, zapamtite da je sin (- t) \u003d -sint (sinus od minus te jednak minus sinus od te), što znači da je y \u003d 4 sin (-) \u003d - 4 sin (y je jednako minus četiri puta sinus privatnog x za dva). Gradit ćemo u fazama:

1) Izgradimo jedan poluval grafa funkcije y \u003d sinx.

2) Konstruirani graf razvučemo od apscise s faktorom 4 i dobijemo jedan poluval grafa funkcije

y \u003d 4sinx (y je četiri puta sinus od x).

3) Na konstruirani poluval grafa funkcije y \u003d 4sinx primjenjujemo transformaciju simetrije oko osi x (x) i dobivamo poluval grafa funkcije y \u003d - 4sinx.

4) Za poluval grafa funkcije y= - 4sinx istegnut ćemo od y-osi s faktorom 2; dobivamo poluval grafa funkcije - 4 sin.

5) Koristeći dobiveni poluval, izgradit ćemo cijeli graf.

>> Kako nacrtati graf funkcije y = f(kx) ako je poznat graf funkcije

§13. Kako nacrtati graf funkcije y \u003d f (kx), ako je graf funkcije poznat

U ovom ćemo se odjeljku upoznati s još jednom transformacijom koja omogućuje, znajući raspored funkcije y \u003d / (x), vrlo je brzo izgraditi graf funkcije y \u003d f (Ax), gdje je k bilo koji realni broj (osim nule). Razmotrimo nekoliko slučajeva.

Zadatak 1. Poznavajući graf funkcije y \u003d f (x), nacrtajte funkciju y - f (kx), gdje je k pozitivan broj.
Da biste lakše razumjeli bit stvari, razmislite konkretan primjer kada je k = 2. Kako nacrtati funkciju y \u003d f (2x), ako je poznat graf funkcije y \u003d f (x)?

Neka postoje točke (4; 7) i (-2; 3) na grafu funkcije y \u003d f (x). To znači da je f (4) = 7 i f (-2) = 3. Gdje će se pomaknuti točke kada crtamo funkciju y \u003d f (2x)? Pogledajte (Sl. 50): ako je x = 2, tada je y = f (2x) = f (2 2) = f (4) = 7. Dakle, na grafu funkcije y = f (2x) postoji točka (2; 7 ). Nadalje, ako x = -1, tada je y = f (2x) = D-1-2) = f (-2) = 3. Dakle, na grafu funkcije y = f (2x ) postoji točka (-1; 3) . Dakle, na grafu funkcije y \u003d f (x) nalaze se točke (4; 7) i (-2; 3), a na grafu funkcije y \u003d f (2x) nalaze se točke (2 ; 7) i (- 1; 3) , tj. točke s istom ordinatom.

ali dvostruko manja (modulo) apscisa. Isti je slučaj i s ostalim točkama grafa funkcije y \u003d f (x), kada prijeđemo na graf funkcije y \u003d f (2x) (slika 51). Takva se transformacija obično naziva kompresijom na y-os s faktorom 2.

Općenito, graf funkcije y \u003d f (x) dobiva se iz grafa funkcije y-f (x) skupljanjem na os y s koeficijentom k. Imajte na umu da ovom transformacijom sjecište grafa funkcije y \u003d f (x) s y-osi (ako je x = 0, tada je kx = 0).

Međutim, ako se< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Primjer 1 Izgradite grafikone funkcija:

Rješenje: a) Izgradimo poluval grafa funkcije y \u003d sin x i rastegnimo ga od y-osi s faktorom 2; dobivamo jedan poluval željenog grafa funkcije (slika 52). Zatim ćemo izgraditi cijeli graf (slika 53).

b) Izgradimo poluval grafa funkcije y \u003d cos x i komprimirajmo ga na y-os s faktorom 2; dobivamo jedan poluval željenog grafa funkcije y \u003d cos 2x (slika 54). Zatim ćemo izgraditi cijeli graf (slika 55).

Zadatak 2. Poznavajući graf funkcije y \u003d f (x), nacrtajte graf funkcije y \u003d f (kx), gdje je k \u003d -1. Drugim riječima, govorimo o konstruiranju grafa funkcije y \u003d f (-x).

Pretpostavimo da na grafu funkcije y \u003d f (x) postoje točke (3; 5) i (-6; 1). To znači da je f(Z) = 5, a f(-6) = 1. Prema tome, postoji točka (-3; 5) na grafu funkcije y \u003d f (-x), jer pri zamjeni u formula y \u003d f (-x) vrijednosti x \u003d -3 dobivamo y \u003d f (3) \u003d 5. Slično, uvjeravamo se da graf funkcije y \u003d f (-x) pripada točka (6; 1).

Dakle, točka (3; 5) koja pripada grafu funkcije y \u003d f (x) odgovara točki (-3; 5) koja pripada grafu funkcije y \u003d f (-x); točka (-6; 1) koja pripada grafu funkcije y \u003d f (x) odgovara točki (6; 1) koja pripada grafu funkcije y \u003d f (-x). Ovi parovi točaka su simetrični u odnosu na y-osu (slika 56).

Sažimajući ova razmatranja, dolazimo do sljedećeg zaključka: graf funkcije y \u003d f (-x) može se dobiti iz grafa funkcije " y \u003d f (x) pomoću transformacije simetrije oko y osi.

Komentar. Ako govorimo o crtanju grafa funkcije y = f (-x), tada obično prvo provjerimo je li funkcija y = f (x) parna ili neparna. Ako je y \u003d f (x) - ravnomjerna funkcija, tj. f (-x) \u003d f (x), tada se graf funkcije y \u003d f (-x) poklapa s grafom funkcije y \u003d f (x). Ako je y \u003d f (x) - neparna funkcija, tj. f (-x) \u003d -f (x), tada umjesto grafa funkcije y \u003d f (-x) možete iscrtati funkciju y \u003d -f (x).

Zadatak 3. Poznavajući graf funkcije y \u003d f (x), nacrtajte graf funkcije y \u003d f (kx), gdje je k negativan broj.
Kako je u ovom slučaju jednakost f(kx) = f(-\k\x) točna, tada govorimo o iscrtavanju funkcije y = f(-\k\x). To se može učiniti u tri koraka:

1) izgraditi graf funkcije y \u003d f (x);
2) izvršiti njegovu kompresiju (ili istezanje) na y-os s koeficijentom | do |;
3) podvrgnuti komprimirani (ili rastegnuti) graf transformaciji simetrije oko y-osi.

Primjer 2 Konstruirajte graf funkcije y \u003d -3 cos (~ 2x).

Riješenje. Prije svega primijetite da je cos(-2x)=cos2x.
1) Konstruirajmo graf funkcije y \u003d cosx, točnije, jedan poluval grafa (Sl. 57a. Sve preliminarne konstrukcije označene su točkastim linijama).
2) Konstruirani graf razvući ćemo od x-osi s faktorom 3; dobivamo jedan poluval grafa funkcije y \u003d Zcos x.
3) Podvrgnimo konstruirani poluval grafa funkcije y \u003d 3 cos x transformaciji simetrije oko x osi; dobivamo poluval grafa funkcije y \u003d -3cos x.
4) Izvršimo za poluval grafa funkcije y \u003d -3cos x kompresiju na y os s faktorom 2; dobivamo poluval grafa funkcije y \u003d -3cos2x (puna linija na slici 57a).
5) Pomoću dobivenog poluvala izgradit ćemo cijeli graf (sl. 576).

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online, Matematika u školi download

Sadržaj lekcije sažetak lekcije okvir za podršku lekcija prezentacija akcelerativne metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoprovjera radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja od studenata Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slikovne grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, stripovi parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale varalice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice programi rasprava Integrirane lekcije

2. Ako je 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Slika 3.8). Dakle, graf funkcije je komprimiran ili rastegnut.

g

g

0 x X 0 x X

Riža. 3.7 Sl. 3.8

Pravilo 2 Neka je k > 1. Tada se graf funkcije f(kx) dobije iz grafa funkcije f(x) stiskanjem uzduž osi OX k puta (inače: stiskanjem na os OY k puta ).

Neka 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Primjeri. Konstruirajte grafove funkcija: 1)
i
;

2)
i
.

p/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Riža. 3.9 Sl. 3.10

Komentar. Napomena: točka koji leži na osi OY ostaje na mjestu. Doista, bilo koja točka N(0, y) grafa f(x) odgovara točki
grafika f(kx).

Grafikon funkcije
dobiva se rastezanjem grafa funkcije
od osi OY za 2 puta. U ovom slučaju opet poanta ostaje nepromijenjen (krivulja (3) na sl. 3.9).

Iscrtavanje funkcije y=f(-x).

Funkcije f(x) i f(-x) uzimaju jednake vrijednosti za suprotne vrijednosti argumenta x. Stoga će točke N(x;y) i M(-x;y) njihovih grafova biti simetrične u odnosu na os OY.

Pravilo 3 Za izgradnju grafa f (-x) potrebno je zrcaliti graf funkcije f (x) oko osi OY.

Primjeri. Plot funkcije
i
.

Rješenja su prikazana na sl. 3.11 i 3.12.

Y
Y

Riža. 3.11 Sl. 3.12

Iscrtavanje funkcije y=f(-kx), gdje je k > 0.

Pravilo 4 Gradimo graf funkcije y \u003d f (kx) u skladu s pravilom 2. Graf funkcije f (kx) zrcali se s osi OY u skladu s pravilom

škart 3. Kao rezultat toga dobivamo graf funkcije f(-kx).

Primjeri. Plot funkcije

Rješenja su prikazana na sl. 3.13 i 3.14.

str

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Riža. 3.13 Sl. 3.14

Iscrtavanje funkcije
, gdje je A > 0. Ako je A > 1, tada za svaku vrijednost
ordinata dana funkcija A puta veća od ordinate glavne funkcije f(x). U ovom slučaju, graf f(x) se rasteže A puta duž osi OY (inače: od osi OX).

Ako je 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в puta duž osi OY (ili dalje od osi OX).

Pravilo 5 Neka je A > 1. Tada je graf funkcije
dobiva se iz f(x) grafa rastezanjem A puta duž osi OY (ili dalje od osi OX).

Neka 0< A < 1. Тогда график функции
dobiva se iz grafa f(x) njegovim sažimanjem u puta duž osi OY (ili prema osi OX).

Primjeri. Konstruirajte grafove funkcija 1)
,
i 2)
,

Y
Y

1
0p/2pp/3px

Riža. 3.15 Sl. 3.16

Iscrtavanje funkcije
.

Za sve
točke N(x, y) funkcije f(x) i M(x, -y) funkcije -f(x) su simetrične u odnosu na os OX, pa dobivamo pravilo.

Pravilo 6 Za iscrtavanje funkcije
treba raspored
zrcaljeno oko x-osi.

Primjeri. Plot funkcije
i
(sl. 3.17 i 3.18).

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Riža. 3.17 Sl. 3.18

Iscrtavanje funkcije
, gdje je A>0.

Pravilo 7 Gradimo graf funkcije
, gdje je A>0, u skladu s pravilom 5. Rezultirajući graf se zrcali s osi OX u skladu s pravilom 6.

Iscrtavanje funkcije
.

Ako je B>0, tada za svaki
ordinata zadane funkcije je B jedinica veća od ordinate f(x). Ako B<0, то для каждого
ordinata prve funkcije smanjuje se za jedinice u usporedbi s ordinatom f(x). Dakle, dobili smo pravilo.

Pravilo 8 Za iscrtavanje funkcije
prema grafu y=f(x), ovaj graf se mora pomaknuti duž osi OY za B jedinica gore ako je B>0, ili za jedinice dolje ako B<0.

Primjeri. Konstruirajte grafove funkcija: 1) i

2)
(sl. 3.19 i 3.20).

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Riža. 3.19 Sl. 3.20

Shema za konstruiranje grafa funkcije .

Najprije napišemo jednadžbu funkcije u obliku
i označavaju
. Tada se graf funkcije konstruira prema sljedećoj shemi.

Nacrtamo glavnu funkciju f(x).

U skladu s pravilom 1, crtamo f(x-a).

Sažimanjem ili rastezanjem grafa f(x-a), uzimajući u obzir predznak k, prema pravilima 2-4, gradimo graf funkcije f .

Imajte na umu: graf f(x-a) se skuplja ili rasteže u odnosu na ravnu liniju x=a (zašto?)

Imajte na umu: u svakom koraku konstrukcije, prethodni graf djeluje kao graf glavne funkcije.

Primjer. Nacrtajte funkciju
. Ovdje k=-2, dakle
. S obzirom na neobičan
, imamo
.

(Slika 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

Riža. 3.21 Sl. 3.22

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Riža. 3.23 Sl. 3.24

Zadatak 2.

Konstrukcija grafova funkcija s predznakom modula.

Rješenje ovog problema također se sastoji od nekoliko faza. Kada to radite, zapamtite definiciju modula:

Iscrtavanje funkcije
.

Za te vrijednosti
, za koji
, bit će
. Stoga su ovdje grafovi funkcija
i f(x) su isti. Za isto
, za koje je f(x)<0, будет
. Ali -f(x) dijagram se dobiva iz f(x) dijagrama zrcaljenjem OX osi. Dobivamo pravilo za konstruiranje grafa funkcije
.

Pravilo 9 Gradimo graf funkcije y=f(x). Nakon toga, onaj dio grafa f(x), gdje je
, ostavljamo ga nepromijenjenim, a dio gdje je f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Komentar. Imajte na umu da grafikon
uvijek leži iznad ili dodiruje os OX.

Primjeri. Plot funkcije

(Sl. 3.24, 3.25, 3.26).

Riža. 3.25 Sl. 3.26

Iscrtavanje funkcije
.

Jer
, onda
, odnosno dana je parna funkcija čiji je graf simetričan u odnosu na os OY.

Pravilo 10 Gradimo graf funkcije y=f(x) s
. Konstruirani graf odražavamo od osi OY. Tada će ukupnost dviju dobivenih krivulja dati graf funkcije
.

Primjeri. Plot funkcije

(Sl. 3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Riža. 3.27 Sl. 3.28 Sl. 3.29

Iscrtavanje funkcije
.

Gradimo graf funkcije
prema pravilu 10.

Gradimo graf funkcije
prema pravilu 9.

Primjeri. Plot funkcije
i
.

Odbijamo negativni dio grafa od OX osi. Raspored
prikazano na sl. 3.30.

2 0 2 x -1 0 1 x

Riža. 3.30 Sl. 3.31

2. Crtamo funkciju
(Slika 3.29).

Odbijamo negativni dio grafa od OX osi. Raspored
prikazano na sl. 3.31.

Prilikom konstruiranja grafa funkcije koji sadrži predznake modula vrlo je važno znati intervale predznaka konstantnosti funkcije. Stoga rješavanje svakog problema mora započeti definiranjem tih intervala.

Primjer. Nacrtajte funkciju
.

Domena . Izrazi x+1 i x-1 mijenjaju predznak u točkama x=-1 i x=1. Stoga domenu definicije dijelimo na četiri intervala:

S obzirom na predznake x+1 i x-1, imamo

;

Dakle, funkcija se može napisati bez modulo znakova na sljedeći način:

Funkcije
hiperbole odgovaraju, a funkcije y=2 odgovaraju ravnoj liniji. Daljnja konstrukcija može se izvesti po točkama (Sl. 3.32).

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Komentar. Imajte na umu da za x=0 funkcija nije definirana. Kaže se da se funkcija prekida u ovom trenutku. Na sl. 3.32 ovo je označeno strelicama.

Zadatak 3. Crtanje funkcije zadane s nekoliko analitičkih izraza.

U prethodnom primjeru funkcija
prikazali smo nekoliko analitičkih izraza. Da, između
mijenja se po zakonu hiperbole
; u međuvremenu
, osim za x=0, ovo je linearna funkcija; u međuvremenu
opet imamo hiperbolu
. Slične funkcije će se često pojavljivati u budućnosti. Razmotrimo jednostavan primjer.

Trasa vlaka od stanice A do stanice B sastoji se od tri dionice. U prvoj dionici diže brzinu, odnosno u intervalu
njegovu brzinu
, gdje
. U drugom dijelu on se kreće konstantnom brzinom, to jest v \u003d c, if
. Konačno, pri kočenju, njegova brzina će biti
. Dakle, između
brzina kretanja mijenja se po zakonu

Paralelni prijenos.

PRIJENOS UZ Y OSI

f(x) => f(x) - b
Neka je potrebno nacrtati funkciju y \u003d f (x) - b. Lako je vidjeti da su ordinate ovog grafa za sve vrijednosti x na |b| jedinice manje od odgovarajućih ordinata grafa funkcija y = f(x) za b>0 i |b| više jedinica - na b 0 ili gore na b Za iscrtavanje funkcije y + b = f(x), iscrtajte funkciju y = f(x) i pomaknite x-os na |b| jedinice gore za b>0 ili za |b| jedinice dole na b

PRIJENOS UZ X-OS

f(x) => f(x + a)
Neka se traži crtanje funkcije y = f(x + a). Promotrimo funkciju y = f(x), koja u nekom trenutku x = x1 poprima vrijednost y1 = f(x1). Očito je da će funkcija y = f(x + a) poprimiti istu vrijednost u točki x2 čija je koordinata određena iz jednakosti x2 + a = x1, tj. x2 = x1 - a, a razmatrana jednakost vrijedi za ukupnost svih vrijednosti iz domene funkcije. Dakle, graf funkcije y = f(x + a) možemo dobiti paralelnim pomakom grafa funkcije y = f(x) duž x-osi ulijevo za |a| one za a > 0 ili udesno za |a| jedinice za a Da biste nacrtali funkciju y = f(x + a), nacrtajte funkciju y = f(x) i pomaknite y-os na |a| jedinice udesno za a>0 ili |a| jedinice ulijevo za a

Primjeri:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Odraz.

GRAFIČNO PRIKAZ FUNKCIJE POGLEDA Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Očito, funkcije y = f(-x) i y = f(x) poprimaju jednake vrijednosti u točkama čije su apscise jednake u apsolutna vrijednost, ali suprotnog predznaka. Drugim riječima, ordinate grafa funkcije y = f(-x) u području pozitivnih (negativnih) vrijednosti x bit će jednake ordinatama grafa funkcije y = f(x) s negativnim (pozitivnim) x vrijednostima koje odgovaraju u apsolutnoj vrijednosti. Dakle, dobivamo sljedeće pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = f(-x), trebate nacrtati funkciju y = f(x) i reflektirati je duž y-osi. Dobiveni graf je graf funkcije y = f(-x)

GRAFIRANJE FUNKCIJE POGLEDA Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordinate grafa funkcije y = - f(x) za sve vrijednosti argumenta jednake su u apsolutnoj vrijednosti, ali suprotnog predznaka ordinatama grafa funkcije y = f(x) za iste vrijednosti argumenta. Dakle, dobivamo sljedeće pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = - f(x), trebali biste nacrtati funkciju y = f(x) i reflektirati je oko x-osi.

Primjeri:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformacija.

DEFORMACIJA GRAFIKA UZ Y OSI

f(x) => kf(x)
Razmotrimo funkciju oblika y = k f(x), gdje je k > 0. Lako je vidjeti da za jednake vrijednosti argumenta, ordinate grafa ove funkcije bit će k puta veće od ordinata grafa funkcije y \u003d f (x) za k > 1 ili 1/k puta manje od ordinata grafa funkcije funkcija y = f (x) za k Za crtanje grafa funkcije y = k f (x) trebate nacrtati funkciju y = f(x) i povećati joj ordinate k puta za k > 1 (razvući graf duž ordinatne osi) ili smanjiti njegove ordinate za 1/k puta za k
k > 1- pružanje od osi Ox
0 - kompresija na os OX

DEFORMACIJA GRAFIKA PO OSI X

f(x) => f(kx)
Neka se traži crtanje funkcije y = f(kx), gdje je k>0. Promotrimo funkciju y = f(x), koja u proizvoljna točka x = x1 poprima vrijednost y1 = f(x1). Očito je da funkcija y = f(kx) poprima istu vrijednost u točki x = x2, čija je koordinata određena jednakošću x1 = kx2, a ta jednakost vrijedi za ukupnost svih vrijednosti x iz domene funkcije. Posljedično, graf funkcije y = f(kx) je sabijen (za k 1) duž apscisne osi u odnosu na graf funkcije y = f(x). Dakle, dobili smo pravilo.
Za iscrtavanje funkcije y = f(kx), iscrtajte funkciju y = f(x) i smanjite njezine apscise za k puta za k>1 (komprimirajte graf duž apscisne osi) ili povećajte njezine apscise za 1/k puta za k
k > 1- kompresija na os Oy
0 - istezanje od osi OY