Vrste matrica. Stepenasti pogled na matricu

ODA. Pravokutni stol koji se sastoji od T linije i P nazivaju se stupci realnih brojeva matrica veličina t×p. Matrice se označavaju velikim latiničnim slovima: A, B,..., a niz brojeva odvaja se okruglim ili uglatim zagradama.

Brojevi uključeni u tablicu nazivaju se elementi matrice i označavaju se malim latiničnim slovima s dvostrukim indeksom, gdje ja– broj retka, j– broj stupca na čijem se sjecištu element nalazi. Općenito, matrica je napisana na sljedeći način:

Razmatraju se dvije matrice jednak, ako su im odgovarajući elementi jednaki.

Ako je broj redaka matrice T jednak broju njegovih stupaca P, tada se poziva matrica kvadrat(inače – pravokutni).

Matrica veličina
zove se matrica reda. Matrica veličina

naziva se matrica stupaca.

Elementi matrice jednakih indeksa (
itd.), obrazac glavna dijagonala matrice. Druga dijagonala naziva se bočna dijagonala.

Kvadratna matrica se zove dijagonala, ako su svi njegovi elementi koji se nalaze izvan glavne dijagonale jednaki nuli.

Dijagonalna matrica čiji su dijagonalni elementi jednaki jedinici naziva se singl matrica i ima standardnu ​​oznaku E:

Ako su svi elementi matrice koji se nalaze iznad (ili ispod) glavne dijagonale jednaki nuli, kaže se da matrica ima trokutasti oblik:

§2. Operacije na matricama

1. Transpozicija matrice - transformacija u kojoj se redovi matrice zapisuju kao stupci uz zadržavanje njihovog reda. Za kvadratnu matricu, ova transformacija je ekvivalentna simetričnom preslikavanju oko glavne dijagonale:

.

2. Matrice iste dimenzije mogu se zbrajati (oduzimati). Zbroj (razlika) matrica je matrica iste dimenzije, čiji je svaki element jednak zbroju (razlici) odgovarajućih elemenata izvornih matrica:

3. Bilo koja matrica se može pomnožiti brojem. Umnožak matrice s brojem je matrica istog reda, čiji je svaki element jednak umnošku odgovarajućeg elementa izvorne matrice s ovim brojem:

.

4. Ako je broj stupaca jedne matrice jednak broju redaka druge, tada možete pomnožiti prvu matricu s drugom. Umnožak takvih matrica je matrica čiji je svaki element jednak zbroju parnih umnožaka elemenata odgovarajućeg retka prve matrice i elemenata odgovarajućeg stupca druge matrice.

Posljedica. Matrično potenciranje Do>1 je produkt matrice A Do jednom. Definirano samo za kvadratne matrice.

Primjer.

Svojstva operacija na matricama.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T = kA T;

   (A+B) T = A T + B T;

   (AB) T = B T A T;

Gore navedena svojstva slična su svojstvima operacija nad brojevima. Postoje i specifična svojstva matrica. To uključuje, na primjer, posebno svojstvo množenja matrice. Ako umnožak AB postoji, tada je umnožak BA

Možda ne postoji

Može se razlikovati od AB.

Primjer. Tvrtka proizvodi dvije vrste proizvoda A i B i koristi tri vrste sirovina S 1, S 2 i S 3. Stope utroška sirovina određene su matricom N=
, Gdje n i J– količina sirovina j, potrošeno na proizvodnju jedinice outputa ja. Plan proizvodnje zadan je matricom C=(100 200), a jedinični trošak svake vrste sirovine zadan je matricom . Odrediti troškove sirovina potrebne za planiranu proizvodnju i ukupne troškove sirovina.

Riješenje. Troškove sirovina definiramo kao umnožak matrica C i N:

Ukupni trošak sirovina izračunavamo kao umnožak S i P.

Matrica je pravokutna tablica brojeva koja se sastoji od m linije iste duljine ili n stupci jednake duljine.

aij- element matrice koji je u ja -th line i j th stupac.

Radi sažetosti, matrica se može označiti jednim velikim slovom, na primjer, A ili U.

Općenito, matrica veličine m× n napiši to ovako

Primjeri:

Ako matrica ima isti broj redaka kao i broj stupaca, tada se matrica naziva kvadrat, a naziva se broj njegovih redaka ili stupaca u redu matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njen redoslijed je 3, a četvrta matrica je njen redoslijed 1.

Matrica u kojoj broj redaka nije jednak broju stupaca naziva se pravokutan. U primjerima ovo je prva matrica i treća.

Glavna dijagonala kvadratne matrice nazivamo dijagonalom koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta.

Naziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trokutasti matrica.

.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim možda onih na glavnoj dijagonali, jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.

Dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici naziva se singl matrice i označava se slovom E. Na primjer, matrica identiteta 3. reda ima oblik .

povratak na sadržaj

(36)85.Što su linearne operacije na matricama? Primjeri.

U svim slučajevima kada se uvode novi matematički objekti potrebno je dogovoriti pravila postupanja s njima, te odrediti koji se objekti smatraju međusobno jednakima.

Priroda objekata nije važna. To mogu biti realni ili kompleksni brojevi, vektori, matrice, nizovi ili nešto treće.

Standardne operacije uključuju linearne operacije, i to: množenje brojem i zbrajanje; u konkretnom slučaju - množenje matrice brojem i zbrajanje matrica.

Prilikom množenja matrice brojem, svaki element matrice se množi tim brojem, a zbrajanje matrice uključuje zbrajanje u paru elemenata koji se nalaze na ekvivalentnim pozicijama.

Terminološki izraz "linearna kombinacija"<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Matrice A = || a i J|| I B = || a i J|| smatraju se jednakima ako imaju iste dimenzije i njihovi odgovarajući elementi matrice su po paru jednaki:

Zbrajanje matrice Operacija zbrajanja definirana je samo za matrice iste veličine. Rezultat zbrajanja matrice A = || a i J|| I B = || b i J|| je matrica C = || c i J|| , čiji su elementi jednaki zbroju odgovarajućih elemenata matrice.

Matrica je označena velikim latiničnim slovima ( A, U, S,...).

Definicija 1. Pravokutni prikaz stola,

koja se sastoji od m linije i n stupaca se zove matrica.

Element matrice, i – broj retka, j – broj stupca.

Vrste matrica:

elementi na glavnoj dijagonali:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Determinante 2., 3. i n-tog reda

Neka su zadane dvije kvadratne matrice:

Definicija 1. Determinanta matrice drugog reda A 1 je broj označen s ∆ i jednak , Gdje

Primjer. Izračunajte determinantu 2. reda:

Definicija 2. Determinanta 3. reda kvadratne matrice A 2 naziva se broj oblika:

Ovo je jedan od načina za izračunavanje determinante.

Primjer. Izračunati

Definicija 3. Ako se determinanta sastoji od n-redova i n-stupaca, tada se naziva determinanta n-tog reda.

Svojstva determinanti:

Odrednica se ne mijenja kada se transponira (to jest, ako se redovi i stupci u njoj zamijene uz zadržavanje poretka).

Ako u determinanti zamijenite bilo koja dva retka ili dva stupca, tada će determinanta promijeniti samo predznak.

Zajednički faktor bilo kojeg retka (stupca) može se uzeti iza predznaka determinante.

Ako su svi elementi bilo kojeg retka (stupca) determinante jednaki nuli, tada je i determinanta jednaka nuli.

Determinanta je nula ako su elementi bilo koja dva retka jednaki ili proporcionalni.

Determinanta se neće promijeniti ako se elementima retka (stupca) dodaju odgovarajući elementi drugog retka (stupca), pomnoženi s istim brojem.

Primjer.

Definicija 4. Naziva se determinanta dobivena iz zadane precrtavanjem stupca i retka manja osoba odgovarajući element. M ij element a ij.

Definicija 5. Algebarski komplement element a ij naziva se izraz

§3. Akcije na matricama

Linearne operacije

1) Prilikom zbrajanja matrica zbrajaju se njihovi istoimeni elementi.

Pri oduzimanju matrica oduzimaju se njihovi istoimeni elementi.

Prilikom množenja matrice brojem, svaki element matrice se množi tim brojem:

3.2.Matrično množenje.

Raditi matrice A na matricu U postoji nova matrica čiji su elementi jednaki zbroju umnožaka elemenata i-tog retka matrice A na odgovarajuće elemente j-tog stupca matrice U. Matrix proizvod A na matricu U može se pronaći samo ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice U. Inače je rad nemoguć.

Komentar:

(ne poštuje svojstvo komutativnosti)

§ 4. Inverzna matrica

Inverzna matrica postoji samo za kvadratnu matricu, a matrica mora biti nesingularna.

Definicija 1. Matrica A nazvao nedegeneriran, ako determinanta ove matrice nije jednaka nuli

Definicija 2. A-1 se zove inverzna matrica za zadanu nesingularnu kvadratnu matricu A, ako se množenjem ove matrice sa zadanom, i s desne i s lijeve strane, dobije matrica identiteta.

Algoritam za izračunavanje inverzne matrice

1 način (koristeći algebarske dodatke)

Primjer 1:

Matrice. Vrste matrica. Operacije na matricama i njihova svojstva.

Determinanta matrice n-tog reda. N, Z, Q, R, C,

Matrica reda m*n je pravokutna tablica brojeva koja sadrži m redaka i n stupaca.

Jednakost matrica:

Kaže se da su dvije matrice jednake ako je broj redaka i stupaca jedne od njih jednak broju redaka i stupaca druge. Elementi ovih matrica su jednaki.

Napomena: E-mailovi s istim indeksima su odgovarajući.

Vrste matrica:

Kvadratna matrica: Matrica se naziva kvadratnom ako je broj njezinih redaka jednak broju stupaca.

Pravokutna: Matrica se naziva pravokutnom ako broj redaka nije jednak broju stupaca.

Redna matrica: matrica reda 1*n (m=1) ima oblik a11,a12,a13 i naziva se redna matrica.

Stupac matrice:………….

Dijagonala: Dijagonala kvadratne matrice koja ide od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta, odnosno sastoji se od elemenata a11, a22...... naziva se glavna dijagonala. (definicija: kvadratna matrica čiji su svi elementi nula, osim onih koji se nalaze na glavnoj dijagonali, naziva se dijagonalna matrica.

Identitet: Dijagonalna matrica se naziva matrica identiteta ako se svi elementi nalaze na glavnoj dijagonali i jednaki su 1.

Gornji trokutasti: A=||aij|| naziva se gornja trokutasta matrica ako je aij=0. Pod uvjetom i>j.

Donji trokutasti: aij=0. ja

Nula: ovo je matrica čije su vrijednosti jednake 0.

Operacije na matricama.

1.Transpozicija.

2.Množenje matrice brojem.

3. Zbrajanje matrica.

4.Matrično množenje.

Osnovna svojstva djelovanja na matricu.

1.A+B=B+A (komutativnost)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (asocijativnost)

3.a(A+B)=aA+aB (distributivnost)

4.(a+b)A=aA+bA (distributivno)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoc.)

6.AB≠BA (bez komunikacije)

7.A(BC)=(AB)C (suradnik) – izvršava se ako je definirano. Izvode se matrični proizvodi.

8.A(B+C)=AB+AC (distributivna)

(B+C)A=BA+CA (razvodno)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Determinanta kvadratne matrice – definicija i njezina svojstva. Rastavljanje determinante na retke i stupce. Metode izračuna determinanti.

Ako matrica A ima red m>1, tada je determinanta ove matrice broj.

Algebarski komplement Aij elementa aij matrice A je minor Mij pomnožen brojem

TEOREM 1: Determinanta matrice A jednaka je zbroju umnožaka svih elemenata proizvoljnog retka (stupca) s njihovim algebarskim komplementima.

Osnovna svojstva determinanti.

1. Determinanta matrice neće se promijeniti kada se transponira.

2. Prilikom preslagivanja dva retka (stupca) determinanta mijenja predznak, ali se ne mijenja njena apsolutna vrijednost.

3. Determinanta matrice koja ima dva identična retka (stupca) jednaka je 0.

4. Kada se redak (stupac) matrice pomnoži s brojem, njegova determinanta se pomnoži s tim brojem.

5. Ako se jedan od redaka (stupaca) matrice sastoji od 0, tada je determinanta ove matrice jednaka 0.

6. Ako su svi elementi i-tog retka (stupca) matrice prikazani kao zbroj dva člana, tada se njena determinanta može prikazati kao zbroj determinanti dviju matrica.

7. Determinanta se neće promijeniti ako se elementi jednog stupca (reda) nakon množenja dodaju elementima drugog stupca (reda). za isti broj.

8. Zbroj proizvoljnih elemenata bilo kojeg stupca (retka) determinante odgovarajućim algebarskim komplementom elemenata drugog stupca (retka) jednak je 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Metode za izračunavanje determinante:

1. Po definiciji ili teoremu 1.

2. Svođenje na trokutasti oblik.

Definicija i svojstva inverzne matrice. Izračun inverzne matrice. Matrične jednadžbe.

Definicija: Kvadratna matrica reda n naziva se inverzna matrica A istog reda i označava se

Da bi matrica A imala inverznu matricu potrebno je i dovoljno da determinanta matrice A bude različita od 0.

Svojstva inverzne matrice:

1. Jedinstvenost: za zadanu matricu A, njezin inverz je jedinstven.

2. determinanta matrice

3. Operacija uzimanja transpozicije i uzimanja inverzne matrice.

Matrične jednadžbe:

Neka su A i B dvije kvadratne matrice istog reda.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Pojam linearne ovisnosti i neovisnosti stupaca matrice. Svojstva linearne ovisnosti i linearne neovisnosti stupnog sustava.

Stupci A1, A2...An nazivaju se linearno ovisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka 0. stupcu.

Stupci A1, A2...An nazivaju se linearno nezavisnima ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka 0. stupcu.

Linearna kombinacija se naziva trivijalnom ako su svi koeficijenti C(l) jednaki 0, a u protivnom netrivijalnom.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. Da bi stupci bili linearno ovisni, potrebno je i dovoljno da neki stupac bude linearna kombinacija drugih stupaca.

Neka 1 od stupaca https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">bude linearna kombinacija drugih stupaca.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> su linearno ovisni, tada su svi stupci linearno ovisni.

4. Ako je sustav stupaca linearno neovisan, tada je i svaki njegov podsustav također linearno neovisan.

(Sve što je rečeno o stupcima vrijedi i za retke).

Matrix minori. Osnovni minori. Rang matrice. Metoda obrubljivanja minora za izračunavanje ranga matrice.

Minor reda k matrice A je determinanta čiji se elementi nalaze u sjecištu k-redova i k-stupaca matrice A.

Ako su svi minori k-tog reda matrice A = 0, tada je svaki minor reda k+1 također jednak 0.

Osnovni mol.

Rang matrice A je red njezinog baznog minora.

Metoda obrubljivanja minora: - Odaberite element koji nije nula matrice A (ako takav element ne postoji, tada je rang A = 0)

Prethodni minor 1. reda obrubljujemo minorom 2. reda. (Ako ovaj minor nije jednak 0, tada je rang >=2) Ako je rang ovog minora =0, ​​tada graničimo odabrani minor 1. reda s drugim minorima 2. reda. (Ako su svi minori 2. reda = 0, tada je rang matrice = 1).

Rang matrice. Metode za određivanje ranga matrice.

Rang matrice A je red njezinog baznog minora.

Metode izračuna:

1) Metoda obrubljivanja minora: - Odaberite element različit od nule matrice A (ako ne postoji takav element, tada je rang = 0) - Ograničite prethodni minor 1. reda s minorom 2. reda..gif" width="40 " visina="22" >r+1 Mr+1=0.

2) Svođenje matrice na stupnjeviti oblik: ova se metoda temelji na elementarnim transformacijama. Tijekom elementarnih transformacija rang matrice se ne mijenja.

Sljedeće transformacije nazivamo elementarnim transformacijama:

Preuređivanje dva retka (stupca).

Množenje svih elemenata određenog stupca (reda) brojem koji nije =0.

Dodavanje svim elementima određenog stupca (retka) elemenata drugog stupca (retka), prethodno pomnoženih istim brojem.

Teorem o bazičnom minoru. Nužan i dovoljan uvjet da determinanta bude jednaka nuli.

Bazni minor matrice A je minor najvišeg k-tog reda različit od 0.

Bazni manji teorem:

Donji redovi (stupci) su linearno neovisni. Bilo koji redak (stupac) matrice A je linearna kombinacija osnovnih redaka (stupaca).

Napomene: Redovi i stupci u čijem se sjecištu nalazi bazni minor nazivaju se baznim redovima odnosno stupcima.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Potrebni i dovoljni uvjeti da determinanta bude jednaka nuli:

Da bi determinanta n-tog reda bila =0, ​​potrebno je i dovoljno da njeni redovi (stupci) budu linearno ovisni.

Sustavi linearnih jednadžbi, njihova klasifikacija i zapisni oblici. Cramerovo pravilo.

Razmotrimo sustav od 3 linearne jednadžbe s tri nepoznanice:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!}

naziva se determinanta sustava.

Sastavimo još tri determinante na sljedeći način: zamijenimo uzastopno 1, 2 i 3 stupce u determinanti D sa stupcem slobodnih članova.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Dokaz. Dakle, razmotrimo sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice. Pomnožimo 1. jednadžbu sustava s algebarskim komplementom A11 elementa a11, 2. jednadžbu s A21 i 3. s A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Pogledajmo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednadžbe. Teoremom o proširenju determinante u elemente 1. stupca

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, lako je uočiti da

Tako dobivamo jednakost: .

Stoga, .

Slično se izvode jednakosti i iz čega slijedi tvrdnja teorema.

Sustavi linearnih jednadžbi. Uvjet kompatibilnosti linearnih jednadžbi. Kronecker-Capellijev teorem.

Rješenje sustava algebarskih jednadžbi je takav skup od n brojeva C1, C2, C3......Cn, koji, kada se zamijene u izvorni sustav umjesto x1, x2, x3.....xn , pretvara sve jednadžbe sustava u identitete.

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi naziva se konzistentnim ako ima barem jedno rješenje.

Konzistentan sustav nazivamo determiniranim ako ima jedinstveno rješenje, a neodređenim ako ima beskonačno mnogo rješenja.

Uvjeti konzistencije sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

TEOREM: Da bi sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang proširene matrice bude jednak rangu matrice A.

Napomena: Ovaj teorem daje samo kriterije za postojanje rješenja, ali ne ukazuje na metodu za pronalaženje rješenja.

10 pitanje.

Sustavi linearnih jednadžbi. Metoda baznog minora je opća metoda za pronalaženje svih rješenja sustava linearnih jednadžbi.

A=a21 a22…..a2n

Osnovna sporedna metoda:

Neka je sustav konzistentan i RgA=RgA’=r. Neka je bazični minor napisan u gornjem lijevom kutu matrice A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Napomene: Ako je rang glavne matrice i matrice koja se razmatra jednak r=n, tada je u ovom slučaju dj=bj i sustav ima jedinstveno rješenje.

Homogeni sustavi linearnih jednadžbi.

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

AX=0 – homogeni sustav.

AX=B je heterogeni sustav.

Homogeni sustavi uvijek su konzistentni.

X1 =x2 =..=xn =0

Teorem 1.

Homogeni sustavi imaju nehomogena rješenja kada je rang matrice sustava manji od broja nepoznanica.

Teorem 2.

Homogeni sustav n-linearnih jednadžbi s n-nepoznatih ima rješenje različito od nule kada je determinanta matrice A jednaka nuli. (detA=0)

Svojstva otopina homogenih sustava.

Svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sustava sama je rješenje tog sustava.

α1C1 +α2C2; α1 i α2 su neki brojevi.

A(α1C1 +α2C2) = A(α1C1) +A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, tj. k. (A C1) = 0; (AC2) = 0

Za nehomogen sustav ovo svojstvo ne vrijedi.

Temeljni sustav rješenja.

Teorem 3.

Ako je rang matričnog sustava jednadžbe s n-nepoznatih jednak r, tada taj sustav ima n-r linearno neovisnih rješenja.

Bazni minor neka bude u gornjem lijevom kutu. Ako je r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Sustav od n-r linearno neovisnih rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi s n-nepoznatih ranga r naziva se temeljnim sustavom rješenja.

Teorem 4.

Svako rješenje sustava linearnih jednadžbi je linearna kombinacija rješenja temeljnog sustava.

S = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r

Ako je r

Pitanje 12.

Opće rješenje heterogenog sustava.

Spavanje (općenito heterogeno) = Coo + Sch (posebno)

AX=B (heterogeni sustav); AX= 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, jer je (ASoo) = 0

Spavanje= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

Gaussova metoda.

Ovo je metoda sekvencijalnog uklanjanja nepoznanica (varijabli) - sastoji se u tome da se uz pomoć elementarnih transformacija izvorni sustav jednadžbi reducira na ekvivalentni sustav stupnjevitog oblika iz kojeg se sukcesivno izvode sve ostale varijable. pronađeno, počevši od zadnjih varijabli.

Neka je a≠0 (ako to nije slučaj, onda se to može postići preuređivanjem jednadžbi).

1) isključimo varijablu x1 iz druge, treće...n-te jednadžbe, množeći prvu jednadžbu odgovarajućim brojevima i dodajući dobivene rezultate 2., 3....n-toj jednadžbi, tada dobivamo:

Dobivamo sustav ekvivalentan izvornom.

2) isključiti varijablu x2

3) isključite varijablu x3, itd.

Nastavljajući proces sekvencijalnog uklanjanja varijabli x4;x5...xr-1 dobivamo za (r-1)-ti korak.

Broj nula zadnjih n-r u jednadžbama znači da njihova lijeva strana ima oblik: 0x1 +0x2+..+0xn

Ako barem jedan od brojeva br+1, br+2... nije jednak nuli, tada je odgovarajuća jednakost kontradiktorna i sustav (1) nije konzistentan. Dakle, za bilo koji konzistentan sustav ovo br+1 ... bm je jednako nuli.

Posljednje n-r jednadžbe u sustavu (1;r-1) su identiteti i mogu se zanemariti.

Dva su moguća slučaja:

a) broj jednadžbi sustava (1;r-1) jednak je broju nepoznanica, tj. r=n (u ovom slučaju sustav ima trokutasti oblik).

b)r

Prijelaz iz sustava (1) u ekvivalentni sustav (1;r-1) naziva se izravni pomak Gaussove metode.

Pronalaženje varijable iz sustava (1;r-1) je obrnuto od Gaussove metode.

Prikladno je provoditi Gaussove transformacije izvodeći ih ne s jednadžbama, već s proširenom matricom njihovih koeficijenata.

Pitanje 13.

Slične matrice.

Razmatrat ćemo samo kvadratne matrice reda n/

Kaže se da je matrica A slična matrici B (A~B) ako postoji nesingularna matrica S takva da je A=S-1BS.

Svojstva sličnih matrica.

1) Matrica A je slična sama sebi. (A~A)

Ako je S=E, onda je EAE=E-1AE=A

2) Ako je A~B, onda je B~A

Ako je A=S-1VS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Ako je A~B i istovremeno B~C, tada je A~C

Dato je da je A=S1-1BS1, i B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, gdje S3 = S2S1

4) Determinante sličnih matrica su jednake.

S obzirom da je A~B, potrebno je dokazati da je detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (reducirano) = detB.

5) Rangovi sličnih matrica se podudaraju.

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrica.

Broj λ naziva se svojstvena vrijednost matrice A ako postoji vektor X različit od nule (stupac matrice) takav da je AX = λ X, vektor X naziva se svojstvenim vektorom matrice A, a skup svih svojstvenih vrijednosti naziva se spektar matrice A.

Svojstva vlastitih vektora.

1) Množenjem svojstvenog vektora brojem dobivamo svojstveni vektor s istom svojstvenom vrijednošću.

AX = λ X; X≠0

α X => A(α X) = α (AX) = α(λ X) = = λ (αX)

2) Vlastiti vektori s po parovima različitim svojstvenim vrijednostima su linearno neovisni λ1, λ2,.. λk.

Neka se sustav sastoji od 1 vektora, uzmimo induktivni korak:

S1 H1 +S2 H2 + .. +Sn Hn = 0 (1) – pomnožimo s A.

C1 AX1 +C2 AX2 + .. +Cn AXn = 0

S1 λ1 H1 +S2 λ2 H2 + .. +Sn λn Hn = 0

Pomnožite s λn+1 i oduzmite

S1 H1 +S2 H2 + .. +Sn Hn+ Sn+1 Hn+1 = 0

S1 λ1 H1 +S2 λ2 H2 + .. +Sn λn Hn+ Sn+1 λn+1 Hn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Potrebno je da je C1 = C2 =... = Cn = 0

Sn+1 Hn+1 λn+1 =0

Karakteristična jednadžba.

A-λE se naziva karakteristična matrica za matricu A.

Da bi vektor X različit od nule bio svojstveni vektor matrice A, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ, potrebno je da on bude rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi (A - λE)X = 0

Sustav ima netrivijalno rješenje kada je det (A - XE) = 0 - ovo je karakteristična jednadžba.

Izjava!

Karakteristične jednadžbe takvih matrica se podudaraju.

det(S-1AS – λE) = det(S-1AS – λ S-1ES) =det(S-1 (A – λE)S) = det S-1 det(A – λE) detS= det(A – λE)

Karakteristični polinom.

det(A – λE) - funkcija u odnosu na parametar λ

det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Ovaj polinom se naziva karakteristični polinom matrice A.

Posljedica:

1) Ako su matrice A~B, tada je zbroj njihovih dijagonalnih elemenata jednak.

a11+a22+..+ann = v11+v22+..+vnn

2) Skup svojstvenih vrijednosti sličnih matrica se podudara.

Ako se karakteristične jednadžbe matrica podudaraju, onda one nisu nužno slične.

Za matricu A

Za matricu B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Da bi se matrica A reda n mogla dijagonalizirati, potrebno je da postoje linearno neovisni svojstveni vektori matrice A.

Posljedica.

Ako su sve svojstvene vrijednosti matrice A različite, tada se može dijagonalizovati.

Algoritam za pronalaženje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti.

1) sastaviti karakterističnu jednadžbu

2) pronaći korijene jednadžbi

3) sastavljamo sustav jednadžbi za određivanje svojstvenog vektora.

λi (A-λi E)X = 0

4) pronaći temeljni sustav rješenja

x1,x2..xn-r, gdje je r rang karakteristične matrice.

r =Rg(A - λi E)

5) svojstveni vektor, vlastite vrijednosti λi napisane su u obliku:

X = S1 H1 +S2 H2 + .. +Sn-r Hn-r, gdje je S12 +S22 +… S2n ≠0

6) provjeriti može li se matrica svesti na dijagonalni oblik.

7) pronaći Ag

Ag = S-1AS S=

Pitanje 15.

Osnova pravac, ravnina, prostor.

DIV_ADBLOCK410">

Modul vektora je njegova duljina, odnosno udaljenost između A i B (││, ││). Modul vektora je nula kada je ovaj vektor nula (│ō│=0)

4. Orthov vektor.

Orth zadanog vektora je vektor koji ima isti smjer kao zadani vektor i ima modul jednak jedan.

Jednaki vektori imaju jednake vektore.

5.Kut između dva vektora.

Ovo je manji dio područja, ograničen dvjema zrakama koje izlaze iz iste točke i usmjerene su na isti način sa zadanim vektorima.

Vektorski dodatak. Množenje vektora brojem.

1) Zbrajanje dvaju vektora

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Množenje vektora skalarom.

Umnožak vektora i skalara je novi vektor koji ima:

a) = umnožak modula vektora koji se množi s apsolutnom vrijednošću skalara.

b) smjer je isti kao i vektor koji se množi ako je skalar pozitivan, a suprotan ako je skalar negativan.

λ a(vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Svojstva linearnih operacija na vektorima.

1. Zakon komunikativnosti.

2. Zakon asocijativnosti.

3. Zbrajanje s nulom.

a(vektor)+ō= a(vektor)

4. Zbrajanje uz suprotnost.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6;7.Zakon distributivnosti.

Izražavanje vektora kroz njegov modul i orth.

Najveći broj linearno neovisnih vektora naziva se baza.

Baza na liniji je svaki vektor različit od nule.

Bazis na ravnini su bilo koja dva nekalenarna vektora.

Bazis u prostoru je sustav bilo koja tri nekoplanarna vektora.

Koeficijent proširenja vektora po određenoj bazi nazivamo komponente ili koordinate vektora u toj bazi.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> izvršite radnju zbrajanja i množenja skalarom, tada kao rezultat proizvoljnog broja takvih akcija dobivamo:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> nazivaju se linearno ovisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> nazivaju se linearno neovisnima ako ne postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija.

Svojstva linearno zavisnih i nezavisnih vektora:

1) sustav vektora koji sadrži nulti vektor je linearno ovisan.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> bili linearno ovisni, potrebno je da neki vektor bude linearna kombinacija drugih vektora.

3) ako su neki od vektora iz sustava a1(vektor), a2(vektor)... ak(vektor) linearno ovisni, tada su svi vektori linearno ovisni.

4) ako su svi vektori https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Linearne operacije u koordinatama.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λa3)DIV_ADBLOCK413">

Skalarni umnožak 2 vektora je broj jednak umnošku vektora i kosinusa kuta između njih.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0, ako i samo ako su vektori ortogani ili je neki od vektora jednak 0.

4. Distributivnost (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Izraz skalarnog umnoška a i b preko njihovih koordinata

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Kada je ispunjen uvjet (), h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> i poziva se treći vektor koji zadovoljava sljedeće jednadžbe:

3. – desno

Svojstva vektorskog proizvoda:

4. Vektorski umnožak koordinatnih jediničnih vektora

Ortonormirana baza.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Često se koriste 3 simbola za označavanje jediničnih vektora ortonormirane baze

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Ako je ortonormirana baza, onda

DIV_ADBLOCK414">

Pravac na ravnini. Relativni položaj 2 ravne linije. Udaljenost od točke do pravca. Kut između dviju ravnih linija. Uvjet paralelnosti i okomitosti 2 pravca.

1. Poseban slučaj rasporeda 2 prave na ravnini.

1) - jednadžba ravne linije paralelne s osi OX

2) - jednadžba ravne linije paralelne s osi op-amp-a

2. Uzajamni raspored 2 ravne linije.

Teorem 1. Neka su jednadžbe ravnih linija dane u odnosu na afini koordinatni sustav

A) Tada nužan i dovoljan uvjet kada se sijeku ima oblik:

B) Tada je nužan i dovoljan uvjet da su pravci paralelni uvjet:

B) Tada je nužan i dovoljan uvjet da se linije spoje u jednu uvjet:

3. Udaljenost od točke do pravca.

Teorema. Udaljenost od točke do pravca u odnosu na Kartezijev koordinatni sustav:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Kut između dviju ravnih linija. Uvjet okomitosti.

Neka su 2 ravne crte definirane u odnosu na Kartezijev koordinatni sustav općim jednadžbama.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Ako je , onda su linije okomite.

Pitanje 24.

Avion u svemiru. Uvjet da vektor i ravnina budu konzistentni. Udaljenost od točke do ravnine. Uvjet paralelnosti i okomitosti dviju ravnina.

1. Uvjet konzistentnosti vektora i ravnine.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Nameless4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Nameless5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Kut između 2 ravnine. Stanje okomitosti.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Ako je , tada su ravnine okomite.

Pitanje 25.

Pravac u prostoru. Različite vrste jednadžbi pravca u prostoru.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Vektorska jednadžba pravca u prostoru.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Kanonička jednadžba je izravna.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Nameless3.jpg" width="56" height="51"> !}

Pitanje 28.

Elipsa. Derivacija kanonske jednadžbe elipse. Oblik. Svojstva

Elipsa je geometrijsko mjesto točaka za koje je zbroj udaljenosti od dvije fiksne udaljenosti, zvanih žarišta, zadani broj 2a, veći od udaljenosti 2c između žarišta.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="slika043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

na slici 2 r1=a+ex r2=a-ex

Ur-e tangenta na elipsu

DIV_ADBLOCK417">

Jednadžba kanonske hiperbole

Oblik i sveci

y=±b/a pomnoženo s korijenom iz (x2-a2)

Os simetrije hiperbole - njezine osi

Segment 2a - realna os hiperbole

Ekscentricitet e=2c/2a=c/a

Ako je b=a dobivamo jednakokračnu hiperbolu

Asimptota je pravac ako, uz neograničenu udaljenost točke M1 duž krivulje, udaljenost od točke do pravca teži nuli.

lim d=0 pri x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

tangenta hiperbole

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

parabola - geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od točke koja se naziva žarište i zadanog pravca koji se naziva direktrisa

Jednadžba kanonske parabole

Svojstva

os simetrije parabole prolazi kroz njezino žarište i okomita je na direktrisu

ako zarotirate parabolu dobit ćete eliptični paraboloid

sve su parabole slične

pitanje 30. Proučavanje jednadžbe općeg oblika krivulje drugog reda.

Vrsta krivulje def. s vodećim terminima A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->krivulja paraboličnog tipa

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Ako je E=0 => Ax2+2Dx+F=0

tada x1=x2 - spaja u jedno

x1≠x2 - pravci paralelni s Ou

x1≠x2 i korijeni su imaginarni, nema geometrijsku sliku

S≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Zaključak: krivulja paraboličnog tipa je ili parabola, ili 2 paralelne linije, ili zamišljena, ili se stapaju u jednu.

2.AC>0 -> eliptična krivulja

Komplementirajući izvornu jednadžbu na potpuni kvadrat, transformiramo je u kanonsku, tada dobivamo slučajeve

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - elipsa

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - zamišljena elipsa

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - točka s koordinatom x0 y0

Zaključak: e-krivulja. kao što je ovo ili elipsa, ili imaginarna, ili točka

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 hiperbola, realna os paralelna s Ox

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 hiperbola, realna os paralelna s Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 razina dviju linija

Zaključak: hiperbolička krivulja je ili hiperbola ili dvije ravne crte

Matrice u matematici jedan su od najvažnijih objekata od praktičnog značaja. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutna tablica ...". Ovaj izlet ćemo započeti iz malo drugačijeg smjera.

Telefonski imenici bilo koje veličine i s bilo kojom količinom podataka o pretplatnicima nisu ništa više od matrica. Takve matrice izgledaju otprilike ovako:

Jasno je da takve matrice svi koristimo gotovo svakodnevno. Ove matrice dolaze s različitim brojem redaka (razlikuju se poput imenika koji izdaje telefonska kompanija, a koji može sadržavati tisuće, stotine tisuća pa čak i milijune redaka, i nove bilježnice koju ste upravo pokrenuli, a koji ima manje od deset redaka) i stupci (imenik neke vrste službenika u kojem mogu postojati stupci kao što su položaj i broj ureda i vaš isti adresar, gdje možda nema nikakvih podataka osim imena, pa stoga postoje samo dva stupca). u njemu - ime i broj telefona).

Svakakve matrice se mogu zbrajati i množiti, kao i druge operacije na njima, ali nema potrebe zbrajati i množiti telefonske imenike, od toga nema nikakve koristi, a osim toga, možete koristiti svoj um.

Ali mnoge se matrice mogu i trebaju zbrajati i množiti i tako rješavati razne goruće probleme. Ispod su primjeri takvih matrica.

Matrice u kojima su stupci proizvodnja jedinica pojedine vrste proizvoda, a reci godine u kojima je zabilježena proizvodnja tog proizvoda:

Možete dodati matrice ove vrste, koje uzimaju u obzir proizvodnju sličnih proizvoda različitih poduzeća, kako biste dobili sažete podatke za industriju.

Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jednog stupca, u kojem su reci prosječni trošak određene vrste proizvoda:

Zadnje dvije vrste matrica mogu se pomnožiti, a rezultat je matrica retka koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.

Matrice, osnovne definicije

Pravokutna tablica koja se sastoji od brojeva raspoređenih u m linije i n stupaca se zove mn-matrica (ili jednostavno matrica ) i piše se ovako:

(1)

U matrici (1) brojevi se nazivaju its elementi (kao iu determinanti, prvi indeks označava broj retka, drugi – stupac na čijem sjecištu se element nalazi; ja = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrica se zove pravokutan , Ako .

Ako m = n, tada se poziva matrica kvadrat , a broj n je njegov u redu .

Determinanta kvadratne matrice A je determinanta čiji su elementi elementi matrice A. Označava se simbolom | A|.

Kvadratna matrica se zove nije posebno (ili nedegeneriran , nejedninski ), ako njegova determinanta nije nula, i poseban (ili degenerirati , jednina ) ako je njegova determinanta nula.

Matrice se nazivaju jednak , ako imaju isti broj redaka i stupaca i svi odgovarajući elementi se podudaraju.

Matrica se zove ništavan , ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Nultu matricu ćemo označiti simbolom 0 ili .

Na primjer,

Matrica-red (ili mala slova ) naziva se 1 n-matrica, i matrica-stupac (ili stupastog ) – m 1-matrica.

Matrica A“, koji se dobiva iz matrice A zamjena redaka i stupaca u njemu se zove transponirano u odnosu na matricu A. Dakle, za matricu (1) transponirana matrica je

Operacija prijelaza matrice A" transponirano u odnosu na matricu A, naziva se transpozicija matrice A. Za mn-matrica transponirana je nm-matrica.

Matrica transponirana u odnosu na matricu je A, to je

(A")" = A .

Primjer 1. Pronađite matricu A", transponirano u odnosu na matricu

te utvrditi jesu li determinante izvorne i transponirane matrice jednake.

Glavna dijagonala Kvadratna matrica je zamišljena linija koja povezuje njezine elemente, za koje su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .

Naziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli dijagonala . Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Neki od njih mogu biti jednaki nuli.

Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju, različiti od nule, a svi ostali jednaki nuli, naziva se skalarna matrica .

Matrica identiteta naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, matrica identiteta trećeg reda je matrica

Primjer 2. Zadane matrice:

Riješenje. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trokuta, nalazimo

Matrična determinanta B izračunajmo pomoću formule

To lako dobivamo

Prema tome, matrice A i su nesingularni (nedegenerirani, nesingularni), i matrica B– posebni (degenerirani, singularni).

Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedinici.

Riješite sami problem matrice, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 3. Zadane matrice

,

,

Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerirani, nesingularni).

Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju

Strukturirani podaci o pojedinom objektu jednostavno se i praktično bilježe u obliku matrica. Matrični modeli stvoreni su ne samo za pohranu ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje raznih problema s tim podacima pomoću linearne algebre.

Tako je poznati matrični model ekonomije input-output model, koji je uveo američki ekonomist ruskog podrijetla Vasilij Leontjev. Ovaj model temelji se na pretpostavci da je cijeli proizvodni sektor gospodarstva podijeljen na nčiste industrije. Svaka industrija proizvodi samo jednu vrstu proizvoda, a različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog takve podjele rada između grana dolazi do međuindustrijske povezanosti čiji je smisao da se dio proizvodnje svake industrije prenosi na druge industrije kao proizvodni resurs.

Volumen proizvoda ja-ta industrijska grana (mjerena određenom mjernom jedinicom), koja je proizvedena u izvještajnom razdoblju, označava se sa i naziva se puna proizvodnja ja-ta industrija. Izdanja se mogu prikladno smjestiti u n-komponentni red matrice.

Broj jedinica ja-industrija koju treba potrošiti j-industrija za proizvodnju jedinice svog outputa označava se i naziva koeficijent izravnih troškova.