Decimala ima dva dijela odvojena zarezima. Prvi dio je cjelobrojna jedinica, drugi dio su desetice (ako je broj iza decimalne točke jedan), stotine (dva broja iza decimalne točke, kao dvije nule u stotici), tisućinke itd. Pogledajmo primjere decimala: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5.1; 6.32; 0,5. Ovo su sve decimale. Kako pretvoriti decimalu u obični razlomak?

Primjer jedan

Imamo razlomak, na primjer, 0,5. Kao što je već spomenuto, sastoji se od dva dijela. Prvi broj, 0, pokazuje koliko cijelih jedinica ima razlomak. U našem slučaju nisu. Drugi broj pokazuje desetice. Razlomak čak glasi nula zarez pet desetina. Decimalni broj pretvoriti u razlomak sada neće biti teško, pišemo 5/10. Ako vidite da brojevi imaju zajednički djelitelj, možete smanjiti razlomak. Imamo ovaj broj 5, dijeljenjem oba dijela razlomka s 5, dobivamo - 1/2.

Primjer dva

Uzmimo složeniji razlomak - 2,25. Čita se ovako – dva cijela i dvadeset pet stotinki. Obratite pozornost - stotinke, jer iza decimalne točke postoje dva broja. Sada možete pretvoriti u obični razlomak. Zapisujemo - 2 25/100. Cijeli dio je 2, razlomak je 25/100. Kao iu prvom primjeru, ovaj dio se može skratiti. Zajednički djelitelj za 25 i 100 je 25. Imajte na umu da uvijek biramo najveći zajednički djelitelj. Podijelivši oba dijela razlomka s GCD, dobili smo 1/4. Dakle, 2, 25 je 2 1/4.

Primjer tri

A da učvrstimo gradivo, uzmimo decimalni razlomak 4,112 – četiri cijela i stotinu dvanaesttisućinki. Zašto tisućinke, mislim da je jasno. Sada zapisujemo 4 112/1000. Prema algoritmu nalazimo GCD brojeva 112 i 1000. U našem slučaju to je broj 6. Dobivamo 4 14/125.

Zaključak

1. Razlomak rastavljamo na cijeli i razlomački dio.
2. Gledamo koliko je znamenki iza decimalne točke. Ako su jedan desetice, dvije su stotine, tri su tisućinke itd.
3. Razlomak zapisujemo u uobičajenom obliku.
4. Smanjujemo brojnik i nazivnik razlomka.
5. Zapiši dobiveni razlomak.
6. Izvodimo provjeru, gornji dio razlomka podijelimo s donjim. Ako postoji cijeli broj, dodajte rezultirajućem decimalnom razlomku. Ispalo je originalna verzija - super, znači sve ste dobro napravili.

Na primjerima sam pokazao kako decimalni razlomak možete pretvoriti u obični. Kao što vidite, to je vrlo lako i jednostavno učiniti.

Razlomci

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Razlomci u srednjoj školi nisu jako dosadni. Za sada. Sve dok ne naiđete na eksponente s racionalnim eksponentima i logaritmima. I tamo…. Pritisneš, pritisneš kalkulator, i on pokaže cijeli semafor nekih brojeva. Moraš misliti svojom glavom, kao u trećem razredu.

Pozabavimo se konačno razlomcima! Pa, koliko se možete zbuniti u njima!? Štoviše, sve je jednostavno i logično. Tako, što su razlomci?

Vrste razlomaka. Transformacije.

Razlomci su tri vrste.

1. Obični razlomci , na primjer:

Ponekad, umjesto vodoravne crte, stavljaju kosu crtu: 1/2, 3/4, 19/5, dobro, i tako dalje. Ovdje ćemo često koristiti ovaj pravopis. Poziva se gornji broj brojnik, niži - nazivnik. Ako stalno brkate ova imena (događa se ...), recite sebi izraz s izrazom: " Zzzzz zapamtiti! Zzzzz nazivnik – van zzzz u!" Gle, sve će se pamtiti.)

Crtica, što horizontalna, što kosa, znači podjela gornji broj (brojnik) do donjeg broja (nazivnik). I to je to! Umjesto crtice, sasvim je moguće staviti znak podjele - dvije točke.

Kada je podjela u potpunosti moguća, mora se izvršiti. Dakle, umjesto razlomka "32/8" mnogo je ugodnije napisati broj "4". Oni. 32 je jednostavno podijeljeno sa 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Ne govorim o razlomku "4/1". Što je također samo "4". A ako se ne podijeli potpuno, ostavljamo ga kao razlomak. Ponekad morate učiniti obrnuto. Napravi razlomak od cijelog broja. Ali o tome kasnije.

2. Decimale , na primjer:

Upravo u ovom obliku bit će potrebno zapisati odgovore na zadatke "B".

3. mješoviti brojevi , na primjer:

Mješoviti brojevi praktički se ne koriste u srednjoj školi. Da bismo radili s njima, moraju se pretvoriti u obične razlomke. Ali svakako morate znati kako to učiniti! A onda će se takav broj naći u slagalici i objesiti ... Ispočetka. Ali mi se sjećamo ovog postupka! Malo niže.

Najsvestraniji obični razlomci. Počnimo s njima. Usput, ako u razlomku ima raznih logaritama, sinusa i drugih slova, to ništa ne mijenja. U smislu da sve radnje s razlomačkim izrazima ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima!

Osnovno svojstvo razlomka.

Pa, idemo! Prije svega, iznenadit ću vas. Čitavu raznolikost transformacija razlomaka pruža jedno jedino svojstvo! Tako se to zove osnovno svojstvo razlomka. Zapamtiti: Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože (podijele) istim brojem, razlomak se neće promijeniti. Oni:

Jasno je da možeš dalje pisati, dok ne pomodriš. Neka vas sinusi i logaritmi ne zbune, njima ćemo se baviti dalje. Najvažnije je razumjeti da su svi ti različiti izrazi isti razlomak . 2/3.

I trebamo li to, sve te transformacije? I kako! Sada ćete sami vidjeti. Prvo, upotrijebimo osnovno svojstvo razlomka za kratice razlomaka. Čini se da je stvar elementarna. Brojnik i nazivnik podijelimo s istim brojem i to je to! Nemoguće je pogriješiti! Ali... čovjek je kreativno biće. Svugdje možete pogriješiti! Pogotovo ako ne morate smanjiti razlomak kao što je 5/10, već razlomački izraz sa svim vrstama slova.

Kako pravilno i brzo smanjiti razlomke bez nepotrebnog rada možete pronaći u posebnom odjeljku 555.

Normalan učenik ne zamara se dijeljenjem brojnika i nazivnika istim brojem (ili izrazom)! Samo prekriži sve isto odozgo i odozdo! Ovdje se krije tipična pogreška, gaf, ako želite.

Na primjer, trebate pojednostaviti izraz:

Nema se što razmišljati, precrtavamo slovo "a" odozgo i dvojku odozdo! Dobivamo:

Sve je točno. Ali stvarno ste dijelili cjelina brojnik i cjelina nazivnik "a". Ako ste navikli samo precrtavati, onda u žurbi možete precrtati "a" u izrazu

i dobiti opet

Što bi bilo kategorički pogrešno. Jer ovdje cjelina brojnik na "a" već nije podijeljeno! Ovaj se udio ne može smanjiti. Inače, takva kratica je, hm ... ozbiljan izazov učitelju. Ovo se ne prašta! Zapamtiti? Kod smanjivanja potrebno je podijeliti cjelina brojnik i cjelina nazivnik!

Smanjenje razlomaka čini život puno lakšim. Negdje ćete dobiti razlomak, npr. 375/1000. I kako sad s njom raditi? Bez kalkulatora? Pomnožite, recite, zbrojite, kvadrirajte!? I ako niste previše lijeni, nego pažljivo smanjite za pet, pa čak i za pet, pa čak ... dok se smanjuje, ukratko. Dobivamo 3/8! Puno ljepše, zar ne?

Osnovno svojstvo razlomka omogućuje pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto bez kalkulatora! Ovo je važno za ispit, zar ne?

Kako pretvoriti razlomke iz jednog oblika u drugi.

S decimalama je lako. Kako se čuje, tako se i piše! Recimo 0,25. To je nula točka, dvadeset pet stotinki. Dakle, pišemo: 25/100. Smanjujemo (podijelimo brojnik i nazivnik s 25), dobivamo uobičajeni razlomak: 1/4. Sve. To se događa, a ništa se ne smanjuje. Kao 0,3. Ovo su tri desetine, tj. 3/10.

Što ako su cijeli brojevi različiti od nule? U redu je. Zapiši cijeli razlomak bez ikakvih zareza u brojniku, a u nazivniku - ono što se čuje. Na primjer: 3.17. Ovo je tri cijela, sedamnaest stotinki. U brojnik upišemo 317, a u nazivnik 100. Dobijemo 317/100. Ništa nije sniženo, znači sve. Ovo je odgovor. Osnovno Watsone! Iz svega navedenog koristan zaključak: bilo koji decimalni razlomak može se pretvoriti u obični razlomak .

Ali obrnutu pretvorbu, običnu u decimalnu, neki ne mogu bez kalkulatora. Ali morate! Kako ćeš napisati odgovor na ispitu!? Pažljivo čitamo i svladavamo ovaj proces.

Što je decimalni razlomak? Ona ima u nazivniku stalno vrijedi 10 ili 100 ili 1000 ili 10000 i tako dalje. Ako vaš uobičajeni razlomak ima takav nazivnik, nema problema. Na primjer, 4/10 = 0,4. Ili 7/100 = 0,07. Ili 12/10 = 1,2. A ako je u odgovoru na zadatak odjeljka "B" ispalo 1/2? Što ćemo napisati kao odgovor? Decimale su potrebne...

Sječamo se osnovno svojstvo razlomka ! Matematika povoljno omogućuje množenje brojnika i nazivnika istim brojem. Usput, za bilo koga! Osim nule, naravno. Iskoristimo ovu značajku u svoju korist! Čime se može pomnožiti nazivnik, tj. 2 tako da postane 10, ili 100, ili 1000 (manje je bolje, naravno...)? 5, očito. Slobodno pomnožite nazivnik (ovo je nas potrebno) s 5. Ali, onda se i brojnik mora pomnožiti s 5. Ovo je već matematika zahtjevi! Dobivamo 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. To je sve.

Međutim, svakakvi nazivnici nailaze. Na primjer, razlomak 3/16 će pasti. Pokušajte, smislite s čime pomnožiti 16 da dobijete 100, ili 1000... Ne radi? Tada možete jednostavno podijeliti 3 sa 16. U nedostatku kalkulatora, morat ćete dijeliti u kutu, na komadu papira, kako su učili u osnovnim razredima. Dobivamo 0,1875.

A ima i vrlo loših nazivnika. Na primjer, razlomak 1/3 ne može se pretvoriti u dobru decimalu. I na kalkulatoru i na komadu papira dobijemo 0,3333333 ... To znači da je 1/3 u točnom decimalnom razlomku ne prevodi. Baš kao 1/7, 5/6 i tako dalje. Mnogi od njih su neprevodivi. Otud još jedan koristan zaključak. Ne pretvara se svaki obični razlomak u decimalu. !

Usput, ovo je korisna informacija za samopregled. U odjeljku "B" kao odgovor morate zapisati decimalni razlomak. I dobili ste npr. 4/3. Ovaj se razlomak ne pretvara u decimalni. To znači da ste negdje na putu pogriješili! Vrati se, provjeri rješenje.

Dakle, poredani obični i decimalni razlomci. Ostaje se baviti mješovitim brojevima. Da biste radili s njima, sve ih je potrebno pretvoriti u obične razlomke. Kako to učiniti? Možete uhvatiti učenika šestog razreda i pitati ga. Ali neće uvijek šesti razred biti pri ruci ... Morat ćemo to učiniti sami. Ovo nije teško. Pomnožite nazivnik razlomljenog dijela s cijelim dijelom i dodajte brojnik razlomljenog dijela. Ovo će biti brojnik običnog razlomka. Što je s nazivnikom? Nazivnik će ostati isti. Zvuči komplicirano, ali zapravo je vrlo jednostavno. Pogledajmo primjer.

Pustite u problem koji ste s užasom vidjeli broj:

Mirno, bez panike, razumijemo se. Cijeli dio je 1. Jedan. Razlomački dio je 3/7. Dakle, nazivnik razlomka je 7. Taj nazivnik bit će nazivnik običnog razlomka. Brojimo brojnik. Množimo 7 s 1 (cijeli dio) i dodamo 3 (brojnik razlomljenog dijela). Dobivamo 10. To će biti brojnik običnog razlomka. To je sve. U matematičkom zapisu izgleda još jednostavnije:

Jasno? Onda osigurajte svoj uspjeh! Pretvori u obične razlomke. Trebali biste dobiti 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.

Obrnuta operacija - pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj - rijetko je potrebna u srednjoj školi. Pa, ako... A ako niste u srednjoj školi - možete pogledati poseban odjeljak 555. Na istom mjestu, usput, naučit ćete o nepravim razlomcima.

Pa skoro sve. Prisjetili ste se vrsta razlomaka i razumjeli kako pretvoriti ih iz jedne vrste u drugu. Ostaje pitanje: zašto učini to? Gdje i kada primijeniti ovo duboko znanje?

Ja odgovaram. Svaki primjer sam po sebi sugerira potrebne radnje. Ako su u primjeru obični razlomci, decimale, pa čak i miješani brojevi pomiješani u hrpu, sve prevodimo u obične razlomke. Uvijek se može. Pa, ako je napisano nešto poput 0,8 + 0,3, onda tako i mislimo, bez ikakvog prijevoda. Zašto nam treba dodatni posao? Biramo rješenje koje nam odgovara nas !

Ako je zadatak pun decimalnih razlomaka, ali hm... nekakvih zlih, prijeđi na obične, probaj! Vidi, sve će biti u redu. Na primjer, morate kvadrirati broj 0,125. Nije tako lako ako niste izgubili naviku kalkulatora! Ne samo da trebate množiti brojeve u stupcu, već i razmisliti gdje umetnuti zarez! Meni sigurno ne ide u glavu! A ako idete na obični razlomak?

0,125 = 125/1000. Smanjujemo za 5 (ovo je za početak). Dobivamo 25/200. Još jednom na 5. Dobivamo 5/40. Oh, smanjuje se! Natrag na 5! Dobivamo 1/8. Jednostavno kvadrirajte (u svom umu!) i dobijete 1/64. Sve!

Sažmimo ovu lekciju.

1. Postoje tri vrste razlomaka. Obični, decimalni i mješoviti brojevi.

2. Decimale i mješoviti brojevi stalno mogu se pretvoriti u obične razlomke. Obrnuti prijevod ne uvijek dostupno.

3. Izbor vrste razlomaka za rad sa zadatkom ovisi upravo o ovom zadatku. Ako u jednom zadatku postoje različite vrste razlomaka, najpouzdanije je prijeći na obične razlomke.

Sada možete vježbati. Prvo pretvorite ove decimalne razlomke u obične:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Trebali biste dobiti ovakve odgovore (u neredu!):

Na ovome ćemo završiti. U ovoj lekciji obnovili smo ključne točke o razlomcima. Dogodi se, međutim, da nema ništa posebno za osvježiti ...) Ako je netko potpuno zaboravio, ili još nije savladao ... To može ići na poseban odjeljak 555. Tamo su detaljno opisane sve osnove. Mnogi iznenada razumjeti sve počinju. A razlomke rješavaju u hodu).

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Ako trebamo podijeliti 497 s 4, tada ćemo pri dijeljenju vidjeti da 497 nije djeljivo s 4, tj. ostaje ostatak diobe. U takvim slučajevima se kaže da dijeljenje s ostatkom, a rješenje je zapisano na sljedeći način:
497: 4 = 124 (1 ostatak).

Komponente dijeljenja na lijevoj strani jednakosti nazivaju se isto kao i kod dijeljenja bez ostatka: 497 - dividenda, 4 - šestar. Rezultat dijeljenja pri dijeljenju s ostatkom naziva se nepotpuno privatno. U našem slučaju, ovaj broj je 124. I na kraju, zadnja komponenta, koja nije u uobičajenoj podjeli, je ostatak. Kada nema ostatka, kaže se da je jedan broj podijeljen drugim. bez traga ili potpuno. Vjeruje se da je s takvim dijeljenjem ostatak nula. U našem slučaju, ostatak je 1.

Ostatak je uvijek manji od djelitelja.

Kod dijeljenja možete provjeriti množenjem. Ako, na primjer, postoji jednakost 64: 32 = 2, tada se provjera može učiniti ovako: 64 = 32 * 2.

Često je u slučajevima kada se izvodi dijeljenje s ostatkom zgodno koristiti jednakost
a \u003d b * n + r,
gdje je a dividenda, b je djelitelj, n je djelomični kvocijent, r je ostatak.

Kvocijent dijeljenja prirodnih brojeva može se napisati kao razlomak.

Brojnik razlomka je dividenda, a nazivnik je djelitelj.

Budući da je brojnik razlomka dividenda, a nazivnik djelitelj, vjeruju da crta razlomka znači radnju dijeljenja. Ponekad je zgodno napisati dijeljenje kao razlomak bez upotrebe znaka ":".

Kvocijent dijeljenja prirodnih brojeva m i n može se napisati kao razlomak \(\frac(m)(n) \), gdje je brojnik m djelitelj, a nazivnik n djelitelj:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Sljedeća pravila su točna:

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n) \), trebate jedinicu podijeliti na n jednakih dijelova (dijelova) i uzeti m takvih dijelova.

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n) \), trebate broj m podijeliti s brojem n.

Da biste pronašli dio cjeline, trebate broj koji odgovara cjelini podijeliti s nazivnikom i rezultat pomnožiti s brojnikom razlomka koji izražava taj dio.

Da biste pronašli cjelinu prema njezinom dijelu, morate broj koji odgovara ovom dijelu podijeliti s brojnikom i pomnožiti rezultat s nazivnikom razlomka koji izražava ovaj dio.

Ako se i brojnik i nazivnik razlomka pomnože s istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\veliki \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ako su i brojnik i nazivnik razlomka podijeljeni s istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\veliki \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ovo svojstvo se zove osnovno svojstvo razlomka.

Posljednje dvije transformacije nazivaju se smanjenje frakcije.

Ako razlomke treba predstaviti kao razlomke s istim nazivnikom, tada se takva radnja poziva svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Pravi i nepravi razlomci. mješoviti brojevi

Već znate da se razlomak može dobiti tako da se cjelina podijeli na jednake dijelove i uzme nekoliko takvih dijelova. Na primjer, razlomak \(\frac(3)(4) \) znači tri četvrtine od jedan. U mnogim zadacima iz prethodnog odjeljka razlomci su korišteni za označavanje dijela cjeline. Zdrav razum nalaže da bi dio uvijek trebao biti manji od cjeline, ali što je s razlomcima poput \(\frac(5)(5) \) ili \(\frac(8)(5) \)? Jasno je da ovo više nije dio jedinice. Vjerojatno se zato takvi razlomci, u kojima je brojnik veći ili jednak nazivniku, nazivaju nepravi razlomci. Ostali razlomci, tj. razlomci u kojima je brojnik manji od nazivnika, nazivaju se pravilni razlomci.

Kao što znate, bilo koji obični razlomak, pravilan i nepravilan, može se smatrati rezultatom dijeljenja brojnika s nazivnikom. Dakle, u matematici, za razliku od običnog jezika, izraz "nepravi razlomak" ne znači da smo nešto pogriješili, već samo da taj razlomak ima brojnik veći ili jednak svom nazivniku.

Ako se broj sastoji od cijelog dijela i razlomka, onda takav razlomci se nazivaju mješoviti.

Na primjer:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je cijeli broj i \(\frac(2)(3) \) je razlomački dio.

Ako je brojnik razlomka \(\frac(a)(b) \) djeljiv s prirodnim brojem n, tada da bi se taj razlomak podijelio s n, njegov brojnik mora biti podijeljen s ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ako brojnik razlomka \(\frac(a)(b) \) nije djeljiv s prirodnim brojem n, tada da biste taj razlomak podijelili s n, trebate pomnožiti njegov nazivnik ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Imajte na umu da drugo pravilo također vrijedi kada je brojnik djeljiv s n. Stoga ga možemo koristiti kada je na prvi pogled teško odrediti je li brojnik razlomka djeljiv s n ili nije.

Akcije s razlomcima. Zbrajanje razlomaka.

S razlomačkim brojevima, kao i s prirodnim brojevima, možete izvoditi aritmetičke operacije. Pogledajmo prvo zbrajanje razlomaka. Lako je zbrajati razlomke s istim nazivnicima. Pronađite, na primjer, zbroj \(\frac(2)(7) \) i \(\frac(3)(7) \). Lako je razumjeti da \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti isti.

Koristeći slova, pravilo za zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima može se napisati na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ako želite zbrajati razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na zajednički nazivnik. Na primjer:
\(\veliki \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativnost i asocijativnost zbrajanja.

Zbrajanje mješovitih razlomaka

Pozivaju se zapisi poput \(2\frac(2)(3) \). mješovite frakcije. Poziva se broj 2 cijeli dio mješoviti razlomak, a broj \(\frac(2)(3) \) je njegov razlomački dio. Zapis \(2\frac(2)(3) \) čita se ovako: "dvije i dvije trećine".

Dijeljenje broja 8 s brojem 3 daje dva odgovora: \(\frac(8)(3) \) i \(2\frac(2)(3) \). Oni izražavaju isti razlomački broj, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Stoga je nepravi razlomak \(\frac(8)(3) \) predstavljen kao mješoviti razlomak \(2\frac(2)(3) \). U takvim slučajevima kažu da iz nepravog razlomka izdvojio cjelinu.

Oduzimanje razlomaka (frakcijski brojevi)

Oduzimanje razlomačkih brojeva, kao i prirodnih, utvrđuje se na temelju radnje zbrajanja: oduzeti drugi od jednog broja znači pronaći broj koji pri zbrajanju s drugim daje prvi. Na primjer:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) jer \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Pravilo za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima slično je pravilu za zbrajanje takvih razlomaka:
Da biste pronašli razliku između razlomaka s istim nazivnicima, oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostavite isti.

Koristeći slova, ovo pravilo je napisano na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi umnožak napisati kao brojnik, a drugi kao nazivnik.

Koristeći slova, pravilo za množenje razlomaka može se napisati na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Koristeći formulirano pravilo, moguće je pomnožiti razlomak prirodnim brojem, mješovitim razlomkom, a također i pomnožiti mješovite razlomke. Da biste to učinili, morate prirodni broj napisati kao razlomak s nazivnikom 1, mješoviti razlomak kao nepravi razlomak.

Rezultat množenja treba pojednostaviti (ako je moguće) smanjivanjem razlomka i isticanjem cijelog dijela nepravog razlomka.

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativno i asocijativno svojstvo množenja, kao i svojstvo distributivnosti množenja u odnosu na zbrajanje.

Dijeljenje razlomaka

Uzmite razlomak \(\frac(2)(3) \) i "okrenite" ga zamjenom brojnika i nazivnika. Dobivamo razlomak \(\frac(3)(2) \). Ovaj se razlomak zove obrnuti razlomci \(\frac(2)(3) \).

Ako sada “obrnemo” razlomak \(\frac(3)(2) \), tada ćemo dobiti izvorni razlomak \(\frac(2)(3) \). Stoga se razlomci kao što su \(\frac(2)(3) \) i \(\frac(3)(2) \) nazivaju međusobno inverzni.

Na primjer, razlomci \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18 )(7) \).

Koristeći slova, međusobno inverzne razlomke možemo napisati na sljedeći način: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)

Jasno je da umnožak recipročnih razlomaka je 1. Na primjer: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Koristeći recipročne razlomke, dijeljenje razlomaka može se svesti na množenje.

Pravilo za dijeljenje razlomka razlomkom:
Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednošću djelitelja.

Koristeći slova, pravilo za dijeljenje razlomaka može se napisati na sljedeći način:
\(\veliki \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Ako je dividenda ili djelitelj prirodan broj ili mješoviti razlomak, onda da bi se moglo upotrijebiti pravilo dijeljenja razlomaka, mora se prvo prikazati kao nepravi razlomak.

Za odgovor na ovo pitanje potrebno je proučiti određenu količinu teorijskog materijala. Na pitanje ću odgovoriti u obliku algoritma, a za bolje razumijevanje navest ću primjer.

Što je decimalni i mješoviti razlomak

Decimala je broj s ostatkom, čiji se ostatak piše u istom retku kao i cijeli broj, iza decimalne točke. Decimalni primjer: 3.5. Mješoviti razlomak je broj s ostatkom, no za razliku od decimalnog razlomka, njegov se ostatak piše kao prosti razlomak. U pravilu se broj ostavlja u mješovitom razlomku zbog nemogućnosti pretvaranja broja u decimalni razlomak ili zato što je tako lakše riješiti problem. Primjer mješovitog razlomka: 2 1/3.

Kako pretvoriti mješoviti razlomak u decimalni?

Kao što sam rekao na samom početku, radi razumljivijeg objašnjenja, koristit ću algoritam i to se može učiniti na 2 načina.

Prva metoda:

1. Najprije mješoviti razlomak pretvorite u nepravi, odnosno cijeli dio pomnožite s nazivnikom i tom broju dodajte brojnik.
2. Zatim podijelite brojnik s nazivnikom.
3. Zapiši odgovor.

Drugi način:

1. Podijelite brojnik s nazivnikom ne dodirujući cijeli dio.
2. Nakon cijelog dijela dodajte zarez i upišite broj dobiven dijeljenjem u prvom odlomku. Ali ako ste tijekom dijeljenja dobili broj s cijelim dijelom, tada će ga trebati dodati cijelom dijelu navedenom u primjeru.
3. Zapiši odgovor.

Primjer pretvaranja mješovitog razlomka u decimalni

Na primjer, upotrijebit ću prvu metodu:

1. 4 1/4= 17/3;
2. 17/4= 4,25.
3. Odgovor: 4,25.

Sve frakcije podijeljene su u dvije vrste: obične i decimalne. Razlomci ove vrste nazivaju se običnim: 9 / 8,3 / 4,1 / 2,1 3/4. Razlikuju gornji broj (brojnik) i donji broj (nazivnik). Kada je brojnik manji od nazivnika, razlomak se naziva pravim, inače je razlomak nepravi. Razlomci kao što je 1 7/8 sastoje se od cijelog dijela (1) i razlomka (7/8) i nazivaju se mješoviti.

Dakle, razlomci su:

1. Obični
   1. Točno
   2. krivo
   3. mješoviti
2. Decimal

Kako pretvoriti obični razlomak u decimalu

Kako pretvoriti obični razlomak u decimalu, podučava tečaj matematike u osnovnoj školi. Sve je vrlo jednostavno: potrebno je podijeliti brojnik s nazivnikom "ručno" ili, ako ste potpuno lijeni, onda na mikrokalkulatoru. Evo primjera: 2/5=0,4; 3/4=0,75; 1/2=0,5. Nije puno teže pretvoriti u decimalni nepravi razlomak. Primjer: 1 3/4= 7/4= 1,75. Posljednji rezultat možemo dobiti bez dijeljenja, ako uzmemo u obzir da je 3/4 = 0,75 i zbrojimo jedan: 1 + 0,75 = 1,75.

Međutim, nisu svi obični razlomci tako jednostavni. Na primjer, pokušajmo pretvoriti 1/3 iz običnih razlomaka u decimale. Čak i oni koji su imali trojku iz matematike (po sustavu od pet točaka) primijetit će da će, koliko god dugo dijeljenje trajalo, iza nule i zareza biti beskonačan broj trojki 1/3 = 0,3333 ... . . Uobičajeno je čitati na sljedeći način: nula cijelih brojeva, tri u točki. Zapisuje se prema tome na sljedeći način: 1/3=0,(3). Slična situacija će se dogoditi ako pokušate pretvoriti 5/6 u decimalni razlomak: 5/6=0,8(3). Takvi se razlomci nazivaju beskonačno periodični. Evo primjera za razlomak 3/7: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143…, tj. 3/7=0,(428571).

Dakle, kao rezultat transformacije običnog razlomka u decimalni, može se dobiti:

1. neperiodična decimala;
2. periodični decimalni.

Treba napomenuti da postoje i beskonačni neperiodični razlomci, koji se dobivaju izvođenjem takvih radnji: vađenje korijena n-tog stupnja, logaritmiranje, potenciranje. Na primjer, √3= 1,732050807568877…. Poznati broj π≈ 3,1415926535897932384626433832795…. .

Pomnožimo sada 3 sa 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Ispada da je 0,(9) drugačiji oblik zapisa jedinstva. Slično, 9=9/9,16=16,0, itd.

Opravdano je i pitanje suprotno onom iz naslova ovog članka: “kako decimalni razlomak pretvoriti u obični”. Odgovor na ovo pitanje daje primjer: 0,5= 5/10=1/2. U posljednjem smo primjeru smanjili brojnik i nazivnik razlomka 5/10 za 5. To jest, da biste decimalni razlomak pretvorili u obični, trebate ga predstaviti kao razlomak s nazivnikom 10.

Bit će zanimljivo pogledati video o tome što su razlomci općenito:

Da biste saznali kako pretvoriti decimalu u obični razlomak, pogledajte ovdje: