Stereometrija je grana geometrije koja proučava figure koje ne leže u istoj ravnini. Jedan od predmeta proučavanja stereometrije su prizme. U članku ćemo definirati prizmu s geometrijskog gledišta, a također ćemo ukratko navesti svojstva koja su joj karakteristična.

Geometrijski lik

Definicija prizme u geometriji je sljedeća: to je prostorna figura koja se sastoji od dva identična n-kuta smještena u paralelnim ravninama, međusobno povezani svojim vrhovima.

Nabaviti prizmu nije teško. Zamislimo da postoje dva identična n-kuta, gdje je n broj stranica ili vrhova. Postavimo ih tako da budu međusobno paralelni. Nakon toga vrhove jednog poligona treba spojiti s odgovarajućim vrhovima drugog poligona. Dobivena figura sastojat će se od dvije n-kutne stranice, koje se nazivaju bazama, i n četverokutnih stranica, koje su općenito paralelogrami. Skup paralelograma čini bočnu plohu figure.

Postoji još jedan način da se geometrijski dobije dotični lik. Dakle, ako uzmemo n-kut i prenesemo ga u drugu ravninu pomoću paralelnih odsječaka jednakih duljina, tada ćemo u novoj ravnini dobiti izvorni poligon. Oba poligona i svi paralelni segmenti izvučeni iz njihovih vrhova tvore prizmu.

Gornja slika to pokazuje jer su mu baze trokuti.

Elementi koji čine figuru

Gore je navedena definicija prizme, iz koje je jasno da su glavni elementi figure njezini rubovi ili strane, koji ograničavaju sve unutarnje točke prizme od vanjskog prostora. Bilo koje lice dotične figure pripada jednom od dva tipa:

• bočno;
• osnove.

Ima n bočnih dijelova, a to su paralelogrami ili njihove posebne vrste (pravokutnik, kvadrat). Općenito, bočne strane se razlikuju jedna od druge. Postoje samo dva lica baze; oni su n-kuti i međusobno su jednaki. Dakle, svaka prizma ima n+2 stranice.

Osim stranica, lik karakteriziraju i njegovi vrhovi. Oni predstavljaju točke u kojima se dodiruju tri lica istovremeno. Štoviše, dvije od tri strane uvijek pripadaju bočnoj površini, a jedna bazi. Dakle, u prizmi nema posebno dodijeljenog vrha, kao, na primjer, u piramidi, svi su jednaki. Broj vrhova figure je 2*n (n komada za svaku bazu).

Konačno, treći važan element prizme su njena rebra. To su segmenti određene duljine koji nastaju kao rezultat sjecišta stranica figure. Poput lica, rubovi također imaju dvije različite vrste:

• ili formirana samo od strana;
• ili nastaju na spoju paralelograma i stranice n-kutne baze.

Broj bridova je dakle jednak 3*n, a njih 2*n pripadaju drugom od navedenih tipova.

Vrste prizmi

Postoji nekoliko načina za klasifikaciju prizmi. Međutim, svi se temelje na dvije značajke figure:

• o vrsti n-ugljične baze;
• na strani tipa.

Prvo, okrenimo se drugoj značajki i dajmo definiciju ravne linije. Ako je barem jedna strana opći paralelogram, tada se lik naziva koso ili koso. Ako su svi paralelogrami pravokutnici ili kvadrati, tada će prizma biti ravna.

Definicija se također može dati malo drugačije: ravna figura je prizma čiji su bočni rubovi i lica okomiti na njezine baze. Slika prikazuje dvije četverokutne figure. Lijeva je ravna, desna je nagnuta.

Sada prijeđimo na klasifikaciju prema vrsti n-kuta koji leži na bazama. Može imati iste stranice i kutove ili različite. U prvom slučaju poligon se naziva pravilnim. Ako predmetni lik u osnovi ima mnogokut s jednakim stranicama i kutovima i ravan je, tada se naziva pravilnim. Prema ovoj definiciji, pravilna prizma u svojoj bazi može imati jednakostranični trokut, kvadrat, pravilan peterokut ili šesterokut i tako dalje. Navedene regularne brojke prikazane su na slici.

Linearni parametri prizmi

Za opisivanje veličina dotičnih figura koriste se sljedeći parametri:

• visina;
• strane baze;
• duljina bočnih rebara;
• volumetrijske dijagonale;
• dijagonale stranica i baza.

Za pravilne prizme sve su te veličine međusobno povezane. Na primjer, duljine bočnih rebara su iste i jednake su visini. Za određenu n-kutnu pravilnu figuru postoje formule koje vam omogućuju određivanje svih ostalih pomoću bilo koja dva linearna parametra.

Površina figure

Ako se pozovemo na gore danu definiciju prizme, tada neće biti teško razumjeti što predstavlja površina figure. Ploha je površina svih lica. Za ravnu prizmu izračunava se po formuli:

S = 2*S o + P o *h

gdje je S o površina baze, P o je opseg n-kuta na bazi, h je visina (udaljenost između baza).

Volumen figure

Uz površinu za vježbanje važno je znati i volumen prizme. Može se odrediti pomoću sljedeće formule:

Ovaj izraz vrijedi za apsolutno bilo koju vrstu prizme, uključujući one koje su nagnute i formirane od nepravilnih poligona.

Za ispravne, to je funkcija duljine stranice baze i visine figure. Za odgovarajuću n-kutnu prizmu, formula za V ima specifičan oblik.

U školskom kurikulumu za tečaj stereometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove baze su 2 jednaka pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika, ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma?

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut čije su baze 2 kvadrata, a bočne strane su prikazane pravokutnicima. Drugi naziv za ovu geometrijsku figuru je ravni paralelopiped.

Dolje je prikazan crtež koji prikazuje četverokutnu prizmu.

Vidite i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. To uključuje:

Ponekad u geometrijskim problemima možete naići na pojam presjeka. Definicija će zvučati ovako: odjeljak su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju ravnini rezanja. Presjek može biti okomit (siječe rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutnu prizmu također se uzima u obzir dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se mogu konstruirati je 2), koji prolazi kroz 2 brida i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na takav način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je krnja prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različite relacije i formule. Neki od njih poznati su iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli područje baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za područje kvadrata).

Površina i volumen

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati područje njezine baze i visine:

V = Sbas h

Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a²·h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake duljine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezin razvoj.

Iz crteža se vidi da bočnu plohu čine 4 jednaka pravokutnika. Njegova površina izračunava se kao umnožak opsega baze i visine figure:

S strana = Posn h

Uzimajući u obzir da je opseg kvadrata jednak P = 4a, formula ima oblik:

S strana = 4a h

Za kocku:

S strana = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, bočnoj površini morate dodati 2 osnovne površine:

Pun = Sstrana + 2Smain

U odnosu na četverokutnu pravilnu prizmu, formula izgleda ovako:

Ukupno = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Pun = 6a²

Znajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često se javljaju zadaci u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne plohe, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:

• duljina osnovne stranice: a = Sstrana / 4h = √(V / h);
• visina ili duljina bočnog rebra: h = Sstrana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sbas = V/h;
• bočno lice: Strana gr = Sstrana / 4.

Da biste odredili koliko područje ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:

Sdiag = ah√2

Da biste izračunali dijagonalu prizme, upotrijebite formulu:

dnagrada = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti zadane odnose, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema s rješenjima

Evo nekih zadataka koji se nalaze na državnoj maturi iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju koja ima oblik pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm. Kolika će biti razina pijeska ako je premjestite u posudu istog oblika, ali s dvostruko dužom podlogom?

To treba obrazložiti na sljedeći način. Količina pijeska u prvoj i drugoj posudi nije se promijenila, tj. njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete označiti sa a. U ovom slučaju, za prvu kutiju volumen tvari će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Jer V₁ = V₂, možemo izjednačiti izraze:

10a² = 4ha²

Nakon smanjenja obje strane jednadžbe za a², dobivamo:

Kao rezultat toga, nova razina pijeska bit će h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je ispravna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.

Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da se u osnovici nalazi kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne plohe ima istu veličinu, stoga i bočna ploha ima oblik kvadrata koji je jednak osnovici. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina nalazi se pomoću formule za kocku:

Pun = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba se renovira. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapeta za sobu ako 1 m² košta 50 rubalja?

Budući da su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi okomiti na vodoravne površine, možemo zaključiti da se radi o pravilnoj prizmi. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Područje će biti prekriveno tapetama Sstrana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50·30 = 1500 rubalja

Dakle, za rješavanje problema koji uključuju pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su prostorna tijela. Tijelo predstavlja dio prostora ograničen određenom površinom.

Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona. Poliedar se naziva konveksnim ako se nalazi s jedne strane ravnine svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravnine i plohe poliedra naziva se rub. Stranice konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica nazivaju se bridovi poliedra, a vrhovi su vrhovi poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata, koji su njezina lica. Sadrži 12 bridova (stranice kvadrata) i 8 vrhova (vrhova kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

Prizma je poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelnim ravninama spojeni paralelnom translacijom, i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće točke tih poligona. Poligoni se nazivaju baze prizme, a segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočni rubovi prizme.

Visina prizme naziva se udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji spaja dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj plohi naziva se dijagonala prizme(). Prizma se zove n-ugljik, ako mu je baza n-kut.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva koja proizlaze iz činjenice da su baze prizme kombinirane paralelnim prevođenjem:

1. Osnovice prizme su jednake.

2. Bočni bridovi prizme su paralelni i jednaki.

Ploha prizme sastoji se od baza i bočna površina. Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (to proizlazi iz svojstava prizme). Područje bočne površine prizme je zbroj površina bočnih stranica.

Ravna prizma

Prizma se zove ravno, ako su njegovi bočni rubovi okomiti na baze. Inače se prizma zove sklona.

Lice pravilne prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je njezinim bočnim stranama.

Puna površina prizme naziva se zbroj bočne površine i površina baza.

S pravom prizmom zove se prava prizma s pravilnim poligonom u osnovi.

Teorem 13.1. Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega i visine prizme (ili, što je isto, bočnom rubu).

Dokaz. Bočne plohe prave prizme su pravokutnici čije su osnovice stranice mnogokuta na osnovicama prizme, a visine su bočni bridovi prizme. Tada je, prema definiciji, bočna površina:

,

gdje je opseg baze ravne prizme.

Paralelopiped

Ako paralelogrami leže na osnovicama prizme, tada se ona zove paralelopiped. Sva lica paralelopipeda su paralelogrami. U tom su slučaju nasuprotna lica paralelopipeda paralelna i jednaka.

Teorem 13.2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i sjecištem ih dijeli popola.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i . Jer lica paralelopipeda su paralelogrami, tada i , što znači prema To postoje dvije ravne linije paralelne s trećom. Osim toga, to znači da prave i leže u istoj ravnini (ravnini). Ova ravnina siječe paralelne ravnine i duž paralelnih pravaca i . Dakle, četverokut je paralelogram, a po svojstvu paralelograma njegove se dijagonale sijeku i sjecištem ih dijeli popola, što je i trebalo dokazati.

Pravi paralelopiped čija je baza pravokutnik naziva se pravokutni paralelopiped. Sva lica pravokutnog paralelopipeda su pravokutnici. Duljine neparalelnih bridova pravokutnog paralelopipeda nazivamo njegovim linearnim dimenzijama (mjerama). Postoje tri takve veličine (širina, visina, duljina).

Teorem 13.3. U pravokutnom paralelopipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (dokazano dva puta primjenom Pitagorinog T).

Pravokutni paralelopiped kojem su svi bridovi jednaki naziva se kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala ima? n- karbonska prizma

13.2 U kosoj trokutastoj prizmi razmaci između bočnih bridova su 37, 13 i 40. Odredite razmak između većeg bočnog brida i suprotnog bočnog brida.

13.3 Kroz stranicu donje baze pravilne trokutaste prizme povučena je ravnina koja siječe bočne plohe duž segmenata s kutom između njih. Odredite kut nagiba te ravnine prema osnovici prizme.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su baze dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro- je zajednička stranica dviju susjednih bočnih stranica

Visina prizme- ovo je segment okomit na baze prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istoj plohi

Dijagonalna ravnina- ravnina koja prolazi dijagonalom prizme i njezinim bočnim bridovima

Dijagonalni presjek- granice presjecišta prizme i dijagonalne ravnine. Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je sjecište prizme i ravnine povučene okomito na njezine bočne rubove

Elementi pravilne četverokutne prizme

Slika prikazuje dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnovice ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su međusobno jednake i paralelne
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravokutnik
• Bočna površina - zbroj površina svih bočnih stranica prizme
• Ukupna površina - zbroj površina svih baza i bočnih stranica (zbroj površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četverokutne prizme

• Osnovice su dva jednaka kvadrata
• Baze su međusobno paralelne
• Bočne strane su pravokutnici
• Bočni rubovi su međusobno jednaki
• Bočne plohe su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s bazama
• Kutovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik
• Okomica (ortogonalni presjek) paralelna s bazama

Formule pravilne četverokutne prizme

Upute za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četverokutna prizma" znači da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan mnogokut, a bočni bridovi su okomiti na ravnine baze. To jest, pravilna četverokutna prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi gore svojstva pravilne četverokutne prizme) Bilješka. Ovo je dio lekcije s geometrijskim zadacima (dio stereometrija - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vađenja kvadratnog korijena u rješavanju zadataka koristi se simbol√ .

Zadatak.

U pravilnoj četverokutnoj prizmi površina baze je 144 cm 2, a visina 14 cm. Odredite dijagonalu prizme i ukupnu površinu.

Riješenje.
Pravilan četverokut je kvadrat.
Prema tome, strana baze će biti jednaka

√144 = 12 cm.
Odakle će biti jednaka dijagonala baze pravilne pravokutne prizme
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme čini pravokutni trokut s dijagonalom baze i visinom prizme. Prema tome, prema Pitagorinom teoremu, dijagonala dane pravilne četverokutne prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovor: 22 cm

Zadatak

Odredi ukupnu plohu pravilne četverokutne prizme ako je njezina dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne plohe 4 cm.

Riješenje.
Budući da je baza pravilne četverokutne prizme kvadrat, stranicu baze (označenu kao a) nalazimo koristeći Pitagorin teorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) tada će biti jednaka:

H2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostruke osnovne površine

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.