Izračunavanje derivacija implicitnih funkcija zadanih sustavom jednadžbi.

Zadan je sustav jednadžbi

ili nakratkoF(x, g)=0 (1)

Definicija. Sustav (1) definira implicitno specificiranu funkcijug= f(x) uključenoD R n

Ako x D : F(x , f(x)) = 0.

Teorem (postojanje i jedinstvenost preslikavanja implicitno definiranog sustavom jednadžbi). Neka

Zatim u nekom kvartuU (x 0 ) postoji jedinstvena funkcija (mapa) definirana u ovom susjedstvug = f(x), tako da

 x U (x 0 ) : F(x, f(x))=0 ig 0 = f(x 0 ).

Ova funkcija je kontinuirano diferencijabilna u nekoj okolini točkex 0 .

5. Izračunavanje derivacija implicitnih funkcija zadanih sustavom jednadžbi

S obzirom na sustav

(1)

Pretpostavit ćemo da su uvjeti teorema postojanja i jedinstvenosti implicitne funkcije specificirane ovim sustavom jednadžbi zadovoljeni. Označimo ovu funkciju g= f(x) . Zatim u nekom susjedstvu točke x 0 identiteti su valjani

(F(x, f(x))=0) (2)

Razlikovanje tih identiteta po x j dobivamo

=0 (3)

Ove se jednakosti mogu napisati u matrični oblik

, (3)

ili u proširenom obliku

Imajte na umu da prijelaz iz jednakosti F(x, f(x))=0 Do
, odgovara pravilima razlikovanja za slučaj kada x I g su točke jednodimenzionalnog prostora. Matrica po uvjetu nije degenerirana, stoga matrična jednadžba
ima rješenje
. Na ovaj način možete pronaći parcijalne derivacije prvog reda implicitnih funkcija . Da bismo pronašli diferencijale označavamo

dy = ,dx = , diferenciranje jednakosti (2) dobivamo

=0 ,

ili u matričnom obliku

. (4)

Prošireno

Kao iu slučaju parcijalnih derivacija, formula (4) imamo isti oblik kao i za slučaj jednodimenzionalnih prostora n=1, str=1. Rješenje ove matrične jednadžbe bit će napisano u obliku
. Da bismo pronašli parcijalne derivacije drugog reda, bit će potrebno razlikovati identitete (3) (da biste izračunali diferencijale drugog reda, morate razlikovati identitete (4) ). Dakle, dobivamo

gdje kroz A naznačeni su pojmovi koji ne sadrže tražene
.

Matrica koeficijenata ovog sustava za određivanje derivacija
služi kao Jakobijeva matrica .

Slična se formula može dobiti za diferencijale. U svakom od ovih slučajeva to će se pokazati matrična jednadžba s istom matricom koeficijenata u sustavu jednadžbi za određivanje željenih derivata ili diferencijala. Ista stvar će se dogoditi tijekom sljedećih diferencijacija.

Primjer 1. Pronađite ,,u točki u=1, v=1.

Riješenje. Diferenciraj zadane jednakosti

(5)

Imajte na umu da bismo prema formulaciji problema trebali uzeti u obzir nezavisne varijable x, g. Tada će funkcije biti z, u, v. Dakle, sustav (5) mora se riješiti u vezi s nepoznanicama du, dv, dz . U obliku matrice to izgleda ovako

Riješimo ovaj sustav koristeći Cramerovo pravilo. Determinanta matrice koeficijenata

, Treća "zamijenjena" odrednica za dz bit će jednak (izračunavamo ga proširivanjem preko posljednjeg stupca)

, Zatim

dz =
, I
,
.

Razlikujmo (5) opet ( x, g – nezavisne varijable)

Matrica koeficijenata sustava je ista, treća determinanta

Rješavajući ovaj sustav, dobivamo izraz za d 2 z gdje možete pronaći željenu izvedenicu.

Kao što je poznato, implicitno dana funkcija jedne varijable definirana je na sljedeći način: funkcija y nezavisne varijable x naziva se implicitnom ako je dana jednadžbom koja nije razriješena u odnosu na y:

Primjer 1.11.

Jednadžba

implicitno navodi dvije funkcije:

I jednadžba

ne navodi nikakvu funkciju.

Teorem 1.2 (postojanje implicitne funkcije).

Neka su funkcija z =f(x,y) i njezine parcijalne derivacije f"x i f"y definirane i kontinuirane u nekoj okolini UM0 točke M0(x0y0). Osim toga, f(x0,y0)=0 i f"(x0,y0)≠0, tada jednadžba (1.33) definira u blizini UM0 implicitnu funkciju y= y(x), kontinuiranu i diferencijabilnu u nekom intervalu D sa središtem u točki x0, i y(x0)=y0.

Nema dokaza.

Iz teorema 1.2 slijedi da je na ovom intervalu D:

odnosno postoji identitet u

gdje se "ukupna" derivacija nalazi prema (1.31)

To jest, (1.35) daje formulu za pronalaženje derivacije implicitno zadane funkcije jedne varijable x.

Slično se definira implicitna funkcija dviju ili više varijabli.

Na primjer, ako u nekom području V Oxyz prostora vrijedi jednadžba:

tada pod određenim uvjetima na funkciju F implicitno definira funkciju

Štoviše, po analogiji s (1.35), njegove parcijalne derivacije nalaze se kako slijedi:

Primjer 1.12. Uz pretpostavku da jednadžba

implicitno definira funkciju

pronaći z"x, z"y.

dakle, prema (1.37), dobivamo odgovor.

11.Primjena parcijalnih derivacija u geometriji.

12. Ekstremumi funkcije dviju varijabli.

Koncepti maksimuma, minimuma i ekstrema funkcije dviju varijabli slični su odgovarajućim konceptima funkcije jedne nezavisne varijable (vidi odjeljak 25.4).

Neka je funkcija z = ƒ(x;y) definirana u nekoj domeni D, točka N(x0;y0) O D.

Točka (x0;y0) se zove maksimalna točka funkcije z=ƒ(x;y) ako postoji d-okolica točke (x0;y0) takva da za svaku točku (x;y) različitu od (xo;yo), iz ove okoline vrijedi nejednakost ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Minimalna točka funkcije određena je na sličan način: za sve točke (x; y) osim (x0; y0), iz d-okoline točke (xo; yo) vrijedi nejednakost: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

Na slici 210: N1 je točka maksimuma, a N2 točka minimuma funkcije z=ƒ(x;y).

Vrijednost funkcije u točki maksimuma (minimuma) naziva se maksimum (minimum) funkcije. Maksimum i minimum funkcije nazivamo njezinim ekstremima.

Primijetite da, po definiciji, točka ekstrema funkcije leži unutar domene definicije funkcije; maksimum i minimum imaju lokalni (lokalni) karakter: vrijednost funkcije u točki (x0; y0) uspoređuje se s njezinim vrijednostima u točkama dovoljno blizu (x0; y0). U području D funkcija može imati nekoliko ekstrema ili niti jedan.

46.2. Neophodno i dovoljni uvjeti ekstremno

Razmotrimo uvjete postojanja ekstrema funkcije.

Teorem 46.1 (nužni uvjeti za ekstrem). Ako u točki N(x0;y0) diferencijabilna funkcija z=ƒ(x;y) ima ekstrem, tada su njene parcijalne derivacije u toj točki jednake nuli: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Popravimo jednu od varijabli. Recimo, na primjer, y=y0. Tada dobivamo funkciju ƒ(x;y0)=φ(x) jedne varijable, koja ima ekstrem u x = x0. Prema tome, prema nužnom uvjetu za ekstrem funkcije jedne varijable (vidi odjeljak 25.4), φ"(x0) = 0, tj. ƒ"x(x0;y0)=0.

Slično, može se pokazati da je ƒ"y(x0;y0) = 0.

Geometrijski, jednakosti ƒ"x(x0;y0)=0 i ƒ"y(x0;y0)=0 znače da je u točki ekstrema funkcije z=ƒ(x;y) ravnina tangente na površinu koja predstavlja funkcija ƒ(x;y) ), paralelna je s Oxy ravninom, budući da je jednadžba tangentne ravnine z=z0 (vidi formulu (45.2)).

Z Bilješka. Funkcija može imati ekstrem u točkama u kojima ne postoji barem jedna od parcijalnih derivacija. Na primjer, funkcija ima maksimum u točki O(0;0) (vidi sliku 211), ali nema parcijalne derivacije u ovoj točki.

Točka u kojoj su parcijalne derivacije prvog reda funkcije z ≈ ƒ(x; y) jednake nuli, tj. f"x=0, f"y=0, naziva se stacionarna točka funkcije z.

Stacionarne točke i točke u kojima ne postoji barem jedna parcijalna derivacija nazivamo kritičnim točkama.

U kritičnim točkama funkcija može, ali i ne mora imati ekstrem. Jednakost parcijalnih derivacija nuli je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za postojanje ekstrema. Promotrimo, na primjer, funkciju z = xy. Za nju je točka O(0; 0) kritična (u njoj z"x=y i z"y - x nestaju). Međutim, funkcija z=xy u sebi nema ekstrem, jer u dovoljno maloj okolini točke O(0; 0) postoje točke za koje je z>0 (točke prve i treće četvrtine) i z< 0 (точки II и IV четвертей).

Dakle, da bi se pronašli ekstremi funkcije u određenom području, potrebno je svaku kritičnu točku funkcije dodatno istražiti.

Teorem 46.2 (dovoljan uvjet za ekstrem). Pustiti unutra stacionarna točka(xo;y0) i nekim svojim susjedstvima, funkcija ƒ(x;y) ima kontinuirane parcijalne derivacije do uključivo drugog reda. Izračunajmo u točki (x0;y0) vrijednosti A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Označimo

1. ako je Δ > 0, tada funkcija ƒ(x;y) u točki (x0;y0) ima ekstrem: maksimum ako je A< 0; минимум, если А > 0;

2. ako je Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

U slučaju Δ = 0, može, ali i ne mora postojati ekstrem u točki (x0;y0). Potrebno je više istraživanja.

ZADACI

Primjer. Odredite intervale rastućih i padajućih funkcija. Riješenje. Prvi korak je pronalaženje domene definicije funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, . Prijeđimo na funkciju izvoda: Da bismo odredili intervale rasta i opadanja funkcije na temelju dovoljnog kriterija, rješavamo nejednadžbe na domeni definicije. Poslužimo se generalizacijom metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x = 2, a nazivnik ide na nulu na x = 0. Te točke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo te točke na brojevnom pravcu. Intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna konvencionalno označavamo plusevima i minusima. Donje strelice shematski prikazuju porast ili pad funkcije na odgovarajućem intervalu. Tako, I . U točki x = 2 funkcija je definirana i kontinuirana, pa je treba dodati i rastućim i opadajućim intervalima. U točki x = 0 funkcija nije definirana, pa ovu točku ne uključujemo u tražene intervale. Predstavljamo graf funkcije kako bismo usporedili rezultate dobivene njome. Odgovor: funkcija se povećava sa , smanjuje se na intervalu (0; 2] .

Primjeri.

Postavite intervale konveksnosti i konkavnosti krivulje g = 2 – x 2 .

Naći ćemo g"" i odredi gdje je druga derivacija pozitivna, a gdje negativna. g" = –2x, g"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

g = e x. Jer g"" = e x > 0 za bilo koje x, tada je krivulja posvuda konkavna.

g = x 3 . Jer g"" = 6x, To g"" < 0 при x < 0 и g"" > 0 pri x> 0. Prema tome, kada x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 je konkavan.

4. Dana je funkcija z=x^2-y^2+5x+4y, vektor l=3i-4j i točka A(3,2). Nađite dz/dl (kako ja to razumijem, izvod funkcije u smjeru vektora), gradz(A), |gradz(A)|. Nađimo parcijalne derivacije: z(u odnosu na x)=2x+5 z(u odnosu na y)=-2y+4 Nađimo vrijednosti derivacija u točki A(3,2): z(s u odnosu na x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(po y)(3,2)=-2*2+4=0 Odakle, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Derivacija funkcije z u smjeru vektora l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y)*cosb , a, b-kutovi vektora l s koordinatnim osima. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Naučit ćemo pronaći derivacije funkcija zadanih implicitno, odnosno zadanih određenim jednadžbama koje povezuju varijable x I g. Primjeri implicitno navedenih funkcija:

Derivati implicitno navedenih funkcija, ili derivati implicitnih funkcija, nalaze se vrlo jednostavno. Sada pogledajmo odgovarajuće pravilo i primjer, a zatim saznajmo zašto je to uopće potrebno.

Kako biste pronašli derivaciju implicitno navedene funkcije, trebate diferencirati obje strane jednadžbe s obzirom na x. Oni članovi u kojima je prisutan samo X pretvorit će se u uobičajenu derivaciju funkcije iz X. I pojmove s igrom treba razlikovati pomoću pravila razlikovanja složena funkcija, budući da je i funkcija od x. Pojednostavljeno rečeno, rezultirajuća derivacija člana s x trebala bi rezultirati: derivacijom funkcije iz y pomnoženom s derivacijom iz y. Na primjer, izvedenica pojma bit će napisana kao , izvedenica pojma bit će napisana kao . Dalje, iz svega ovoga trebate izraziti ovaj "udarac igre" i dobit će se željena derivacija implicitno navedene funkcije. Pogledajmo ovo na primjeru.

Primjer 1.

Riješenje. Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na x, pretpostavljajući da je i funkcija od x:

Odavde dobivamo derivat koji je potreban u zadatku:

Sada nešto o dvosmislenom svojstvu funkcija specificiranih implicitno, i zašto su potrebna posebna pravila za njihovo razlikovanje. U nekim slučajevima možete provjeriti je li zamjena u dana jednadžba(vidi primjere iznad) umjesto y, njegov izraz kroz x dovodi do činjenice da ova jednadžba postaje identitet. Tako. Gornja jednadžba implicitno definira sljedeće funkcije:

Nakon zamjene izraza za igru na kvadrat kroz x u izvornu jednadžbu, dobivamo identitet:

Izrazi koje smo zamijenili dobili smo rješavanjem jednadžbe za igru.

Ako bismo razlikovali odgovarajuću eksplicitnu funkciju

tada bismo dobili odgovor kao u primjeru 1 - iz implicitno navedene funkcije:

Ali ne može se svaka implicitno navedena funkcija prikazati u obliku g = f(x) . Tako, na primjer, implicitno navedene funkcije

ne izražavaju se kroz elementarne funkcije, odnosno ove se jednadžbe ne mogu riješiti u odnosu na igrača. Dakle, postoji pravilo za razlikovanje funkcije navedeno implicitno, koje smo već proučavali i dalje ćemo dosljedno primjenjivati u drugim primjerima.

Primjer 2. Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

Izražavamo prost i - na izlazu - izvod implicitno navedene funkcije:

Primjer 3. Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

Riješenje. Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na x:

Primjer 4. Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

Riješenje. Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na x:

Izražavamo i dobivamo izvod:

Primjer 5. Pronađite derivaciju implicitno zadane funkcije:

Riješenje. Članove s desne strane jednadžbe premjestimo na lijevu stranu i ostavimo nulu s desne strane. Razlikujemo obje strane jednadžbe s obzirom na x.

Implicitne funkcije definirane sustavom jednadžbi

Zadan je sustav jednadžbi

ili nakratko F(x,y)= 0. (6.7)

Definicija. Sustav(6.7)definira implicitno dana funkcija y=f(x)na DÌR n

ako je "xÎD:F(x, f(x)) = 0.

Teorem (postojanje i jedinstvenost preslikavanja implicitno definiranog sustavom jednadžbi).Neka

1) F i(x,y)iz (6.4) su definirani i imaju kontinuirane parcijalne derivacije prvog reda, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) u blizini U(M 0)točke M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Zatim u nekom kvartu U(x 0)postoji jedinstvena funkcija (mapa) definirana u ovom susjedstvu y = f(x), tako da

"xO U(x 0) :F(x,f(x))=0i y 0 = f(x 0).

Ova funkcija je kontinuirano diferencijabilna u nekoj okolini točke x 0 .

S obzirom na sustav

Pretpostavit ćemo da su uvjeti teorema postojanja i jedinstvenosti implicitne funkcije specificirane ovim sustavom jednadžbi zadovoljeni. Označimo ovu funkciju y=f(x) . Zatim u nekom susjedstvu točke x 0 identiteti su valjani

Razlikovanje tih identiteta po x j dobivamo

= 0.(6.9)

Ove jednakosti mogu se napisati u matričnom obliku

ili u proširenom obliku

Imajte na umu da prijelaz iz jednakosti F(x,f(x))=0k , odgovara pravilima razlikovanja za slučaj kada x I g su točke jednodimenzionalnog prostora. Prema uvjetu, matrica nije singularna, tako da matrična jednadžba ima rješenje. Na taj način moguće je pronaći parcijalne derivacije prvog reda implicitnih funkcija. Da bismo pronašli diferencijale označavamo

dy = , dx =, diferencirajući jednakosti (6.8), dobivamo

ili u matričnom obliku

Prošireno

Kao iu slučaju parcijalnih derivacija, formula (6.10) ima isti oblik kao i u slučaju jednodimenzionalnih prostora n= 1, p= 1. Rješenje ove matrične jednadžbe bit će napisano u obliku. Da biste pronašli parcijalne derivacije drugog reda, morat ćete diferencirati identitete (6.9) (da biste izračunali diferencijale drugog reda, trebate diferencirati identitete (6.10)). Dakle, dobivamo

gdje kroz A naznačeni su pojmovi koji ne sadrže tražene.

Matrica koeficijenata ovog sustava za određivanje derivacija je Jacobijeva matrica.

Slična se formula može dobiti za diferencijale. U svakom od ovih slučajeva dobit će se matrična jednadžba s istom matricom koeficijenata u sustavu jednadžbi za određivanje željenih derivacija ili diferencijala. Ista stvar će se dogoditi tijekom sljedećih diferencijacija.

Primjer 1. Pronađite, u jednom trenutku u= 1,v= 1.

Riješenje. Diferenciraj zadane jednakosti

Imajte na umu da iz uvjeta problema slijedi da trebamo uzeti u obzir nezavisne varijable x, y. Tada će funkcije biti z, u, v. Dakle, sustav (6.11) treba riješiti s obzirom na nepoznanice du, dv, dz. U obliku matrice to izgleda ovako

Riješimo ovaj sustav koristeći Cramerovo pravilo. Determinanta matrice koeficijenata

Treća "zamijenjena" odrednica za dz bit će jednak (izračunavamo ga proširivanjem preko posljednjeg stupca)

dz = , I, .

Razlikujmo još jednom (6.11) ( x, y – nezavisne varijable)

Matrica koeficijenata sustava je ista, treća determinanta

Rješavajući ovaj sustav, dobivamo izraz za d 2 z gdje možete pronaći željenu izvedenicu.

6.3. Diferencijabilna preslikavanja

Izvedena preslikavanja. Redoviti prikazi. Nužni i dovoljni uvjeti za funkcionalnu ovisnost.

Neka je funkcija navedena implicitno pomoću jednadžbe
(1) .
I neka ova jednadžba, za neku vrijednost, ima jedinstveno rješenje. Neka je funkcija diferencijabilna funkcija u točki , i
.
Zatim, na ovoj vrijednosti, postoji derivacija, koja je određena formulom:
(2) .

Dokaz

Da bismo to dokazali, razmotrimo funkciju kao složenu funkciju varijable:
.
Primijenimo pravilo diferenciranja složene funkcije i nađimo izvod prema varijabli slijeva i desni dijelovi jednadžbe
(3) :
.
Budući da je derivacija konstante nula i , tada
(4) ;
.

Formula je dokazana.

Izvodnice višeg reda

Prepišimo jednadžbu (4) koristeći različite oznake:
(4) .
U isto vrijeme, i su složene funkcije varijable:
;
.
Ovisnost je određena jednadžbom (1):
(1) .

Derivaciju po varijabli nalazimo s lijeve i desne strane jednadžbe (4).
Prema formuli za izvod složene funkcije imamo:
;
.
Prema formuli derivata proizvoda:

.
Korištenje formule zbroja izvedenica:

.

Kako je derivacija desne strane jednadžbe (4) jednaka nuli, tada
(5) .
Zamjenom derivacije ovdje dobivamo vrijednost derivacije drugog reda u implicitnom obliku.

Diferencirajući jednadžbu (5) na sličan način, dobivamo jednadžbu koja sadrži derivaciju trećeg reda:
.
Zamjenjujući ovdje pronađene vrijednosti izvoda prvog i drugog reda, nalazimo vrijednost izvoda trećeg reda.

Nastavljajući diferencijaciju, može se pronaći derivat bilo kojeg reda.

Primjeri

Primjer 1

Pronađite derivaciju prvog reda funkcije implicitno zadane jednadžbom:
(P1) .

Rješenje prema formuli 2

Derivaciju nalazimo pomoću formule (2):
(2) .

Pomaknimo sve varijable na lijevu stranu tako da jednadžba poprimi oblik .
.
Odavde.

Derivaciju nalazimo u odnosu na , smatrajući je konstantnom.
;
;
;
.

Derivaciju nalazimo u odnosu na varijablu, uzimajući u obzir konstantu varijable.
;
;
;
.

Pomoću formule (2) nalazimo:
.

Možemo pojednostaviti rezultat ako uočimo da prema izvornoj jednadžbi (A.1), . Zamijenimo:
.
Pomnožite brojnik i nazivnik sa:
.

Drugi način rješenja

Riješimo ovaj primjer na drugi način. Da bismo to učinili, pronaći ćemo derivaciju u odnosu na varijablu lijeve i desne strane izvorne jednadžbe (A1).

Primjenjujemo:
.
Primjenjujemo formulu izvedenog razlomka:
;
.
Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije:
.
Diferencirajmo izvornu jednadžbu (A1).
(P1) ;
;
.
Množimo i grupiramo pojmove.
;
.

Zamijenimo (iz jednadžbe (A1)):
.
Pomnožiti sa:
.

Odgovor

Primjer 2

Pronađite derivaciju drugog reda implicitno zadane funkcije pomoću jednadžbe:
(A2.1) .

Riješenje

Razlikujemo izvornu jednadžbu s obzirom na varijablu, s obzirom da je ona funkcija:
;
.
Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije.
.

Razlikujmo izvornu jednadžbu (A2.1):
;
.
Iz izvorne jednadžbe (A2.1) slijedi da je . Zamijenimo:
.
Otvorite zagrade i grupirajte članove:
;
(A2.2) .
Nalazimo izvod prvog reda:
(A2.3) .

Da bismo pronašli derivaciju drugog reda, diferenciramo jednadžbu (A2.2).
;
;
;
.
Zamijenimo izraz za derivaciju prvog reda (A2.3):
.
Pomnožiti sa:

;
.
Odavde nalazimo izvod drugog reda.

Odgovor

Primjer 3

Pronađite derivaciju trećeg reda implicitno zadane funkcije pomoću jednadžbe:
(A3.1) .

Riješenje

Diferenciramo izvornu jednadžbu s obzirom na varijablu, pretpostavljajući da je ona funkcija od .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Diferencirajmo jednadžbu (A3.2) s obzirom na varijablu .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Diferencirajmo jednadžbu (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Iz jednadžbi (A3.2), (A3.3) i (A3.4) nalazimo vrijednosti derivacija na .
;
;
.