Oduzimanje jednostavnih razlomaka s različitim nazivnicima. Oduzimanje običnih razlomaka: pravila, primjeri, rješenja

Pravila za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima vrlo su jednostavna.

Pogledajmo korak po korak pravila za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima:

1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika. Rezultirajući LCM bit će zajednički nazivnik razlomaka;

2. Svesti razlomke na zajednički nazivnik;

3. Zbrajanje razlomaka svedenih na zajednički nazivnik.

Na jednostavnom primjeru naučit ćemo primijeniti pravila zbrajanja razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer

Primjer zbrajanja razlomaka s različitim nazivnicima.

Zbrojite razlomke s različitim nazivnicima:

1	+	5
6		12

Odlučit ćemo korak po korak.

1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika.

Broj 12 je djeljiv sa 6.

Iz ovoga zaključujemo da je 12 najmanji zajednički višekratnik brojeva 6 i 12.

Odgovor: broj brojeva 6 i 12 je 12:

LCM(6, 12) = 12

Rezultirajući LCM bit će zajednički nazivnik dvaju razlomaka 1/6 i 5/12.

2. Svedi razlomke na zajednički nazivnik.

U našem primjeru, samo prvi razlomak treba svesti na zajednički nazivnik 12, jer drugi razlomak već ima nazivnik 12.

Podijelite zajednički nazivnik broja 12 s nazivnikom prvog razlomka:

2 ima dodatni množitelj.

Pomnožite brojnik i nazivnik prvog razlomka (1/6) s dodatnim faktorom 2.

Vaše dijete je donijelo zadaću iz škole, a vi ne znate kako je riješiti? Onda je ova mini lekcija za vas!

Kako zbrajati decimale

Pogodnije je zbrajati decimalne razlomke u stupcu. Da biste dodali decimale, morate slijediti jedno jednostavno pravilo:

• Mjesto mora biti ispod mjesta, zarez ispod zareza.

Kao što možete vidjeti u primjeru, cijele jedinice se nalaze jedna ispod druge, desetine i stotinke su smještene jedna ispod druge. Sada zbrajamo brojeve, zanemarujući zarez. Što učiniti sa zarezom? Zarez se premješta na mjesto gdje je stajao u kategoriji cijelih brojeva.

Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Da biste izvršili zbrajanje sa zajedničkim nazivnikom, trebate zadržati nazivnik nepromijenjenim, pronaći zbroj brojnika i dobiti razlomak koji će biti ukupni zbroj.

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima metodom zajedničkog višekratnika

Prvo na što trebate obratiti pozornost su nazivnici. Nazivnici su različiti, bilo da je jedan djeljiv s drugim, bilo da su prosti brojevi. Prvo morate to dovesti do jednog zajedničkog nazivnika; postoji nekoliko načina da to učinite:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, da bismo riješili ovaj primjer moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) koji će biti djeljiv s 2 nazivnika. Za označavanje najmanjeg višekratnika a i b – LCM (a;b). U ovom primjeru LCM (3;4)=12. Provjeravamo: 12:3=4; 12:4=3.
• Pomnožimo faktore i zbrojimo dobivene brojeve, dobijemo 13/12 - nepravilan razlomak.

• Da bismo nepravi razlomak pretvorili u pravi, brojnik podijelimo nazivnikom, dobijemo cijeli broj 1, ostatak 1 je brojnik, a 12 je nazivnik.

Zbrajanje razlomaka metodom unakrsnog množenja

Za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima postoji još jedna metoda koja koristi formulu "križić na križić". Ovo je zajamčeni način izjednačavanja nazivnika; potrebno je pomnožiti brojnike s nazivnikom jednog razlomka i obrnuto. Ako ste tek u početnoj fazi učenja razlomaka, onda je ova metoda najjednostavniji i najtočniji način da dobijete točan rezultat pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.

§ 87. Zbrajanje razlomaka.

Zbrajanje razlomaka ima mnogo sličnosti sa zbrajanjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u činjenici da se nekoliko zadanih brojeva (pojmova) kombinira u jedan broj (zbroj), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica pojmova.

Razmotrit ćemo tri slučaja uzastopno:

1. Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima.
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.

1. Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima.

Razmotrimo primjer: 1/5 + 2/5.

Uzmimo segment AB (slika 17), uzmimo ga kao jedan i podijelimo ga na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 segmenta AB, a dio istog segmenta CD bit će jednak 2/5 AB.

Iz crteža je jasno da ako uzmemo segment AD, on će biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbroj segmenta AC i CD. Dakle, možemo napisati:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Promatrajući te članove i dobiveni zbroj, vidimo da je brojnik zbroja dobiven zbrajanjem brojnika članova, a nazivnik je ostao nepromijenjen.

Iz ovoga dobivamo sljedeće pravilo: Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.

Pogledajmo primjer:

2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Zbrojimo razlomke: 3 / 4 + 3 / 8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:

Međukarika 6/8 + 3/8 nije se mogla napisati; napisali smo to ovdje radi jasnoće.

Dakle, da biste zbrojili razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na najmanji zajednički nazivnik, zbrojiti njihove brojnike i označiti zajednički nazivnik.

Razmotrimo primjer (napisat ćemo dodatne faktore iznad odgovarajućih razlomaka):

3. Zbrajanje mješovitih brojeva.

Zbrojimo brojeve: 2 3/8 + 3 5/6.

Dovedimo najprije razlomke naših brojeva na zajednički nazivnik i ponovno ih napišimo:

Sada uzastopno zbrajamo cijeli i razlomački dio:

§ 88. Oduzimanje razlomaka.

Oduzimanje razlomaka definirano je na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. To je radnja pomoću koje se zadanim zbrojem dva člana i jednog od njih pronalazi drugi član. Razmotrimo tri slučaja u nizu:

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Pogledajmo primjer:

13 / 15 - 4 / 15

Uzmimo segment AB (slika 18), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će dio AC ovog segmenta predstavljati 1/15 AB, a dio AD istog segmenta odgovarati 13/15 AB. Odvojimo još jedan segment ED jednak 4/15 AB.

Trebamo oduzeti razlomak 4/15 od 13/15. Na crtežu to znači da segment ED mora biti oduzet od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Dakle, možemo napisati:

Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobiven oduzimanjem brojnika, ali je nazivnik ostao isti.

Stoga, da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik umanjenika od brojnika umanjenika i ostaviti isti nazivnik.

2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer. 3/4 - 5/8

Prvo, svedimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:

Intermedijer 6 / 8 - 5 / 8 napisan je ovdje radi jasnoće, ali se kasnije može preskočiti.

Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate svesti na najmanji zajednički nazivnik, zatim od brojnika umanjenika oduzeti brojnik umanjenika i zajednički nazivnik potpisati ispod njihove razlike.

Pogledajmo primjer:

3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

Primjer. 10 3/4 - 7 2/3.

Svedimo razlomke umanjenika i oduzetika na najmanji zajednički nazivnik:

Oduzeli smo cjelinu od cjeline i razlomak od razlomka. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio onoga što se oduzima veći od razlomačkog dijela onoga što se smanjuje. U takvim slučajevima treba uzeti jednu jedinicu iz cijelog dijela umanjenika, razdijeliti je na one dijelove u kojima je izražen razlomački dio i dodati je razlomljenom dijelu umanjenika. I tada će se oduzimanje izvršiti na isti način kao u prethodnom primjeru:

§ 89. Množenje razlomaka.

Kada proučavamo množenje razlomcima, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Pojam kamate.
7. Određivanje postotka zadanog broja. Razmotrimo ih redom.

1. Množenje razlomka cijelim brojem.

Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Pomnožiti razlomak (množenik) s cijelim brojem (faktorom) znači stvoriti zbroj identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.

To znači da ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, onda to možete učiniti ovako:

Lako smo dobili rezultat jer se radnja svela na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Stoga,

Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka cijelim brojem jednako povećanju tog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegovog brojnika

ili smanjenjem njegovog nazivnika , onda možemo ili pomnožiti brojnik cijelim brojem ili njime podijeliti nazivnik, ako je takvo dijeljenje moguće.

Odavde dobivamo pravilo:

Da biste pomnožili razlomak s cijelim brojem, pomnožite brojnik s tim cijelim brojem i ostavite nazivnik isti ili, ako je moguće, podijelite nazivnik s tim brojem, ostavljajući brojnik nepromijenjenim.

Prilikom množenja moguće su kratice, npr.

2. Pronalaženje razlomka zadanog broja. Postoje mnogi problemi u kojima morate pronaći ili izračunati dio zadanog broja. Razlika između ovih zadataka i drugih je u tome što oni daju broj nekih predmeta ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je također ovdje označen određenim razlomkom. Radi lakšeg razumijevanja, prvo ćemo dati primjere takvih problema, a zatim predstaviti metodu za njihovo rješavanje.

Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; Potrošio sam 1/3 ovog novca na kupnju knjiga. Koliko su koštale knjige?

Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B jednaku 300 km. Već je prešao 2/3 ove udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?

Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, od kojih su 3/4 zidane, ostale su drvene. Koliko je ukupno zidanih kuća?

Ovo su neki od mnogih problema s kojima se susrećemo pri pronalaženju dijela zadanog broja. Obično se nazivaju zadacima traženja razlomka zadanog broja.

Rješenje problema 1. Od 60 rub. Potrošio sam 1/3 na knjige; To znači da da biste pronašli cijenu knjiga morate broj 60 podijeliti s 3:

Rješavanje problema 2. Poanta problema je da treba naći 2/3 od 300 km. Prvo izračunajmo 1/3 od 300; to se postiže dijeljenjem 300 km s 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti dobiveni kvocijent, tj. pomnožiti s 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Rješavanje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle koje čine 3/4 od 400. Hajde prvo pronaći 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Da biste izračunali tri četvrtine od 400, dobiveni kvocijent se mora utrostručiti, tj. pomnožiti s 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na temelju rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:

Da biste pronašli vrijednost razlomka iz zadanog broja, morate taj broj podijeliti s nazivnikom razlomka i pomnožiti dobiveni kvocijent s njegovim brojnikom.

3. Množenje cijelog broja razlomkom.

Ranije (§ 26) je utvrđeno da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao zbrajanje istih članova (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). U ovom stavku (točka 1) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje zbroja istih članova jednakih tom razlomku.

U oba slučaja množenje se sastojalo od pronalaženja zbroja identičnih članova.

Sada prelazimo na množenje cijelog broja razlomkom. Ovdje ćemo se susresti, na primjer, s množenjem: 9 2 / 3. Jasno je da prethodna definicija množenja ne vrijedi za ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti zbrajanjem jednakih brojeva.

Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje što treba razumjeti pod množenjem razlomkom, kako tu radnju treba razumjeti.

Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: množenje cijelog broja (množenika) razlomkom (množenika) znači pronaći ovaj razlomak množenika.

Naime, množenje 9 sa 2/3 znači pronalazak 2/3 od devet jedinica. U prethodnom odlomku takvi su problemi riješeni; tako da je lako shvatiti da ćemo završiti sa 6.

Ali sada se postavlja jedno zanimljivo i važno pitanje: zašto se takve naizgled različite operacije, kao što su nalaženje zbroja jednakih brojeva i nalaženje razlomka broja, u aritmetici nazivaju istom riječju "množenje"?

To se događa jer prethodna radnja (više puta ponavljanje broja s članovima) i nova radnja (traženje razlomka broja) daju odgovore na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od toga da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju istom radnjom.

Da biste to razumjeli, razmislite o sljedećem problemu: „1 metar tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takve tkanine?

Ovaj problem se rješava množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubalja).

Uzmimo isti problem, ali u njemu će se količina tkanine izraziti razlomkom: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?”

Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (3/4).

Brojeve u njemu možete promijeniti još nekoliko puta, a da ne promijenite značenje problema, na primjer, uzmite 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.

Kako su ovi zadaci istog sadržaja i razlikuju se samo u brojevima, radnje kojima se rješavaju nazivamo istom riječju – množenje.

Kako pomnožiti cijeli broj s razlomkom?

Uzmimo brojeve na koje smo naišli u posljednjem problemu:

Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Nađimo prvo 1/4 od 50, a zatim 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 broja 50 je .

Stoga.

Razmotrimo još jedan primjer: 12 5 / 8 =?

1/8 od broja 12 je 12/8,

5/8 od broja 12 je .

Stoga,

Odavde dobivamo pravilo:

Da biste pomnožili cijeli broj s razlomkom, morate pomnožiti cijeli broj s brojnikom razlomka i taj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik tog razlomka potpisati kao nazivnik.

Napišimo ovo pravilo slovima:

Kako bi ovo pravilo bilo potpuno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom množenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38.

Važno je zapamtiti da prije izvođenja množenja trebate učiniti (ako je moguće) smanjenja, Na primjer:

4. Množenje razlomka razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, tj. kada se razlomak množi razlomkom, potrebno je pronaći razlomak koji je u faktoru iz prvog razlomka (množenik).

Naime, množenje 3/4 s 1/2 (pola) znači pronaći polovicu od 3/4.

Kako se množi razlomak s razlomkom?

Uzmimo primjer: 3/4 pomnoženo s 5/7. To znači da trebate pronaći 5/7 od 3/4. Nađimo prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7

1/7 broja 3/4 će se izraziti na sljedeći način:

5/7 brojevi 3/4 bit će izraženi na sljedeći način:

Tako,

Drugi primjer: 5/8 pomnoženo sa 4/9.

1/9 od 5/8 je,

4/9 od broja 5/8 je .

Tako,

Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:

Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, potrebno je brojnik pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom, te prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugi umnožak nazivnikom umnoška.

Ovo pravilo može se napisati u općem obliku na sljedeći način:

Prilikom množenja potrebno je (ako je moguće) smanjiti. Pogledajmo primjere:

5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi mogu lako zamijeniti nepravilnim razlomcima, ta se okolnost obično koristi pri množenju mješovitih brojeva. To znači da u slučajevima kada su množenik, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, oni se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožimo, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Pretvorimo svaki od njih u nepravi razlomak, a zatim pomnožimo dobivene razlomke prema pravilu za množenje razlomka razlomkom:

Pravilo. Da biste pomnožili mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u neprave razlomke, a zatim ih pomnožiti prema pravilu za množenje razlomaka s razlomcima.

Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvršiti na temelju zakona distribucije na sljedeći način:

6. Pojam kamate. Prilikom rješavanja zadataka i izvođenja raznih praktičnih izračuna koristimo sve vrste razlomaka. Ali valja imati na umu da mnoge količine ne dopuštaju nikakve podjele, nego podjele koje su im prirodne. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti kopejka, dvije stotine su 2 kopejke, tri stotinke su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili komad od deset kopejki. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, tj. 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali praktički ne uzimaju, na primjer, 2/7 rublje jer se rublja ne dijeli na sedmine.

Jedinica za težinu, tj. kilogram, prvenstveno dopušta decimalne podjele, na primjer 1/10 kg, ili 100 g, a takvi dijelovi kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1/13 nisu uobičajeni.

Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dopuštaju decimalno dijeljenje.

Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i prikladno u velikom broju slučajeva koristiti istu (ujednačenu) metodu podjele količina. Dugogodišnje iskustvo pokazalo je da je takva opravdana podjela podjela na “stotinu”. Razmotrimo nekoliko primjera koji se odnose na najrazličitija područja ljudske prakse.

1. Cijena knjiga smanjena je za 12/100 prethodne cijene.

Primjer. Prijašnja cijena knjige bila je 10 rubalja. Smanjio se za 1 rublju. 20 kopejki

2. Štedionice isplaćuju štedišama 2/100 iznosa položenog na štednju tijekom godine.

Primjer. 500 rubalja polaže se u blagajnu, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.

3. Broj maturanata jedne škole bio je 5/100 od ukupnog broja učenika.

PRIMJER U školi je bilo samo 1200 učenika, od kojih je 60 maturiralo.

Stoti dio broja naziva se postotak.

Riječ "postotak" je posuđena iz latinskog i njen korijen "cent" znači stotinu. Zajedno s prijedlogom (pro centum) ova riječ znači "za sto". Značenje ovog izraza proizlazi iz činjenice da je u početku u starom Rimu kamata bila naziv za novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu "za svaku stotinu". Riječ "cent" čuje se u tako poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (recimo centimetar).

Na primjer, umjesto da kažemo da je tijekom prošlog mjeseca tvornica proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela bila neispravna, reći ćemo sljedeće: tijekom prošlog mjeseca tvornica je proizvela jedan posto neispravnih proizvoda. Umjesto da kažemo: tvornica je proizvela 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: tvornica je premašila plan za 4 posto.

Gornji primjeri mogu se izraziti drugačije:

1. Cijena knjiga snižena je za 12 posto u odnosu na prethodnu cijenu.

2. Štedionice isplaćuju štedišama 2 posto godišnje na iznos položen na štednju.

3. Broj maturanata jedne škole bio je 5 posto svih učenika škole.

Da biste skratili slovo, uobičajeno je pisati simbol % umjesto riječi "postotak".

Međutim, morate zapamtiti da se u izračunima znak % obično ne piše, može se napisati u izjavi problema iu konačnom rezultatu. Kada izvodite izračune, trebate napisati razlomak s nazivnikom 100 umjesto cijelog broja s ovim simbolom.

Morate znati zamijeniti cijeli broj s označenom ikonom razlomkom s nazivnikom 100:

Suprotno tome, morate se naviknuti pisati cijeli broj s navedenim simbolom umjesto razlomka s nazivnikom 100:

7. Određivanje postotka zadanog broja.

Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubika. m drva za ogrjev, pri čemu ogrjevno drvo breze čini 30%. Koliko je bilo drva za ogrjev od breze?

Smisao ovog problema je da je ogrjevno drvo od breze činilo samo dio ogrjevnog drveta koje je isporučeno školi, a taj dio je izražen u omjeru 30/100. To znači da imamo zadatak pronaći razlomak broja. Da bismo ga riješili, moramo pomnožiti 200 s 30/100 (problemi traženja razlomka broja rješavaju se množenjem broja razlomkom.).

To znači da je 30% od 200 jednako 60.

Razlomak 30/100 na koji se nailazi u ovom problemu može se smanjiti za 10. Bilo bi moguće provesti ovo smanjenje od samog početka; rješenje problema se ne bi promijenilo.

Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različite dobi. Djeca od 11 godina činila su 21%, djeca od 12 godina 61% i na kraju djeca od 13 godina 18%. Koliko je djece svake dobi bilo u logoru?

U ovom zadatku morate izvršiti tri izračuna, tj. redom pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.

To znači da ćete ovdje morati pronaći razlomak broja tri puta. Učinimo to:

1) Koliko je bilo djece od 11 godina?

2) Koliko je bilo djece od 12 godina?

3) Koliko je bilo djece od 13 godina?

Nakon rješavanja zadatka korisno je zbrojiti pronađene brojeve; njihov zbroj bi trebao biti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Također treba napomenuti da je zbroj postotaka danih u izjavi problema 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To sugerira da je ukupan broj djece u logoru uzet kao 100%.

3 a d a h a 3. Radnik je primao 1200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% trošio na hranu, 6% na stanove i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% uštedio. Koliko je novca potrošeno za potrebe navedene u zadatku?

Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći razlomak od 1200 5 puta.

1) Koliko je novca potrošeno na hranu? Zadatak kaže da je taj trošak 65% ukupne zarade, tj. 65/100 od broja 1.200.

2) Koliko ste novaca platili za stan s grijanjem? Rasuđujući slično prethodnom, dolazimo do sljedećeg izračuna:

3) Koliko ste novca platili za plin, struju i radio?

4) Koliko je novca potrošeno za kulturne potrebe?

5) Koliko je novca radnik uštedio?

Za provjeru korisno je zbrojiti brojeve iz ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1200 rubalja. Sve zarade se uzimaju kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u izjavi problema.

Riješili smo tri problema. Unatoč činjenici da su se ti problemi odnosili na različite stvari (isporuka drva za školu, broj djece različite dobi, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima bilo potrebno pronaći nekoliko postotaka zadanih brojeva.

§ 90. Dijeljenje razlomaka.

Dok proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja iz njegovog zadanog razlomka.
7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.

Razmotrimo ih redom.

1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.

Kao što je naznačeno u odjelu cijelih brojeva, dijeljenje je radnja koja se sastoji u tome da se za umnožak dva faktora (dividenda) i jednog od tih faktora (djelitelj) nađe drugi faktor.

Pogledali smo dijeljenje cijelog broja s cijelim brojem u odjeljku o cijelim brojevima. Tamo smo naišli na dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka, odnosno “u cijelosti” (150 : 10 = 15) i dijeljenje s ostatkom (100 : 9 = 11 i 1 ostatak). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek umnožak djelitelja s cijelim brojem. Nakon uvođenja množenja razlomkom, svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva možemo smatrati mogućim (isključuje se samo dijeljenje nulom).

Na primjer, dijeljenje 7 s 12 znači pronalaženje broja čiji bi umnožak s 12 bio jednak 7. Takav je broj razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14 / 25, jer je 14 / 25 25 = 14.

Dakle, da biste cijeli broj podijelili s cijelim brojem, trebate stvoriti razlomak čiji je brojnik jednak djelitelju, a nazivnik jednak djelitelju.

2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem.

Razlomak 6 / 7 podijelite s 3. Prema gore navedenoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo umnožak (6 / 7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći drugi faktor koji bi, kada se pomnoži s 3, dao zadani umnožak 6/7. Očito, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji je postavljen pred nas bio smanjiti razlomak 6/7 3 puta.

Već znamo da se razlomak može smanjiti smanjenjem brojnika ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:

U ovom slučaju je brojnik 6 djeljiv s 3, pa brojnik treba smanjiti 3 puta.

Uzmimo još jedan primjer: 5/8 podijeljeno s 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv s 2, što znači da će se nazivnik morati pomnožiti s ovim brojem:

Na temelju toga može se napraviti pravilo: Da biste razlomak podijelili s cijelim brojem, morate brojnik razlomka podijeliti s tim cijelim brojem.(ako je moguće), ostavljajući isti nazivnik, ili pomnožite nazivnik razlomka ovim brojem, ostavljajući isti brojnik.

3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.

Neka je potrebno 5 podijeliti s 1/2, tj. pronaći broj koji će nakon množenja s 1/2 dati umnožak 5. Očito, taj broj mora biti veći od 5, jer je 1/2 pravi razlomak , a kod množenja broja umnožak pravilnog razlomka mora biti manji od umnoška koji se množi. Da bi ovo bilo jasnije, zapišimo naše akcije na sljedeći način: 5: 1 / 2 = x , što znači x 1/2 = 5.

Moramo pronaći takav broj x , što bi, kada bi se pomnožilo s 1/2, dalo 5. Budući da množenje određenog broja s 1/2 znači pronalaženje 1/2 tog broja, tada je, dakle, 1/2 nepoznatog broja x jednak je 5, a cijeli broj x dvostruko više, tj. 5 2 = 10.

Dakle, 5: 1/2 = 5 2 = 10

Provjerimo:

Pogledajmo još jedan primjer. Recimo da želite podijeliti 6 s 2/3. Pokušajmo prvo pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).

sl.19

Nacrtajmo odsječak AB jednak 6 jedinica i podijelimo svaku jedinicu na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) cijelog segmenta AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Koristeći male zagrade, povezujemo 18 rezultirajućih segmenata od 2; Bit će samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u 6 jedinica 9 puta, odnosno, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. Stoga,

Kako doći do ovog rezultata bez crteža koristeći samo izračune? Zamislimo ovako: trebamo podijeliti 6 s 2/3, tj. trebamo odgovoriti na pitanje koliko je puta 2/3 sadržano u 6. Otkrijmo prvo: koliko puta 1/3 sadrži 6? U cijeloj cjelini ima 3 terce, a u 6 jedinica ima ih 6 puta više, tj. 18 tercina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo pomnožiti 6 s 3. To znači da je 1/3 sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje puta, tj. 18: 2 = 9 . Stoga smo pri dijeljenju 6 sa 2/3 učinili sljedeće:

Odavde dobivamo pravilo za dijeljenje cijelog broja razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili s razlomkom, trebate taj cijeli broj pomnožiti s nazivnikom zadanog razlomka i, čineći ovaj umnožak brojnikom, podijeliti ga s brojnikom zadanog razlomka.

Napišimo pravilo koristeći slova:

Kako bi ovo pravilo bilo potpuno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom dijeljenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je tamo dobivena ista formula.

Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.

4. Dijeljenje razlomka razlomkom.

Recimo da trebamo podijeliti 3/4 s 3/8. Što će značiti broj koji nastane dijeljenjem? Odgovorit će na pitanje koliko je puta razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumjeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).

Uzmimo segment AB, uzmimo ga kao jedan, podijelimo ga na 4 jednaka dijela i označimo 3 takva dijela. Segment AC bit će jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri originalna segmenta na pola, tada će segment AB biti podijeljen na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Spojimo 3 takva segmenta lukovima, tada će svaki od segmenta AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da se segment jednak 3/8 nalazi u segmentu jednakom 3/4 točno 2 puta; To znači da se rezultat dijeljenja može napisati na sljedeći način:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Pogledajmo još jedan primjer. Recimo da trebamo podijeliti 15/16 s 3/32:

Možemo razmišljati ovako: trebamo pronaći broj koji će, pomnožen s 3/32, dati umnožak jednak 15/16. Zapišimo izračune ovako:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 nepoznati broj x su 15/16

1/32 nepoznatog broja x je,

32 / 32 broja x šminka .

Stoga,

Dakle, da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate pomnožiti brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog, i nazivnik prvog razlomka s brojnikom drugog, a prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugi nazivnik.

Napišimo pravilo koristeći slova:

Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.

5. Dijeljenje mješovitih brojeva.

Kod dijeljenja mješovitih brojeva treba ih najprije pretvoriti u neprave razlomke, a zatim dobivene razlomke podijeliti prema pravilima za dijeljenje razlomaka. Pogledajmo primjer:

Pretvorimo mješovite brojeve u neprave razlomke:

Sada podijelimo:

Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, morate ih pretvoriti u neprave razlomke i zatim podijeliti pomoću pravila za dijeljenje razlomaka.

6. Pronalaženje broja iz njegovog zadanog razlomka.

Među raznim zadacima s razlomcima ponekad postoje i oni u kojima je dana vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i taj broj trebate pronaći. Ova vrsta problema bit će obrnuta od problema nalaženja razlomka zadanog broja; tamo je dan broj i potrebno je pronaći neki razlomak ovog broja, ovdje je dan razlomak broja i potrebno je pronaći sam taj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješavanju ove vrste problema.

Zadatak 1. Prvog dana staklari su ostaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima ova kuća?

Riješenje. Zadatak kaže da 50 ostakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da ukupno ima 3 puta više prozora, tj.

Kuća je imala 150 prozora.

Zadatak 2. Trgovina je prodala 1500 kg brašna, što je 3/8 ukupnih zaliha brašna koje je trgovina imala. Kolika je bila početna zaliha brašna u trgovini?

Riješenje. Iz uvjeta problema jasno je da 1500 kg prodanog brašna čini 3/8 ukupne zalihe; To znači da će 1/8 ove rezerve biti 3 puta manja, tj. da biste je izračunali morate 1500 smanjiti 3 puta:

1500: 3 = 500 (ovo je 1/8 rezerve).

Očito će cjelokupna ponuda biti 8 puta veća. Stoga,

500 8 = 4 000 (kg).

Početna zaliha brašna u trgovini bila je 4000 kg.

Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.

Da biste pronašli broj iz zadane vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je tu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti s nazivnikom razlomka.

Riješili smo dva zadatka o pronalaženju broja zadanog njegovog razlomka. Takvi se zadaci, kao što se posebno jasno vidi iz posljednjeg, rješavaju dvije radnje: dijeljenjem (kada se nađe jedan dio) i množenjem (kada se nađe cijeli broj).

Međutim, nakon što smo naučili dijeljenje razlomaka, gore navedene probleme možemo riješiti jednom radnjom, naime: dijeljenjem razlomkom.

Na primjer, posljednji zadatak može se riješiti jednom akcijom ovako:

Ubuduće ćemo rješavati zadatke traženja broja iz njegovog razlomka jednom radnjom - dijeljenjem.

7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.

U ovim zadacima morat ćete pronaći broj poznavajući nekoliko postotaka tog broja.

Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam od štedionice 60 rubalja. prihod od iznosa koji sam stavio na štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio u štedionicu? (Blagajne daju štedišama povrat od 2% godišnje.)

Poanta problema je što sam stavio određenu svotu novca u štedionicu i ostao tamo godinu dana. Nakon godinu dana dobio sam od nje 60 rubalja. prihoda, što je 2/100 novca koji sam položio. Koliko sam novca stavio?

Prema tome, znajući dio ovog novca, izražen na dva načina (u rubljama i razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznati, iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Dijeljenjem se rješavaju sljedeći problemi:

To znači da je u štedionicu položeno 3000 rubalja.

Zadatak 2. Ribari su u dva tjedna ispunili mjesečni plan 64 posto, ulovivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?

Iz uvjeta problema je poznato da su ribari ispunili dio plana. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% od plana. Ne znamo koliko tona ribe treba pripremiti prema planu. Pronalaženje ovog broja bit će rješenje problema.

Takvi se problemi rješavaju podjelom:

To znači da je prema planu potrebno pripremiti 800 tona ribe.

Zadatak 3. Vlak je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika je pitao konduktera koji je prolazio koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: “Već smo prešli 30% cijelog puta.” Kolika je udaljenost od Rige do Moskve?

Iz uvjeta problema jasno je da 30% rute od Rige do Moskve iznosi 276 km. Moramo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cijelu:

§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.

Uzmimo razlomak 2/3 i zamijenimo brojnik umjesto nazivnika, dobivamo 3/2. Dobili smo inverziju ovog razlomka.

Da biste dobili inverziju zadanog razlomka, morate njegov brojnik staviti umjesto nazivnika, a nazivnik umjesto brojnika. Na taj način možemo dobiti recipročnu vrijednost bilo kojeg razlomka. Na primjer:

3/4, obrnuto 4/3; 5/6, obrnuto 6/5

Dva razlomka koja imaju svojstvo da je brojnik prvoga nazivnik drugoga, a nazivnik prvoga brojnik drugoga nazivaju se međusobno inverzni.

Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročna vrijednost od 1/2. Očito će biti 2 / 1, ili samo 2. Tražeći inverzni razlomak zadanog, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije usamljen; naprotiv, za sve razlomke s brojnikom 1 (jedan), recipročne vrijednosti će biti cijeli brojevi, na primjer:

1/3, revers 3; 1/5, obrnuto 5

Budući da smo se pri traženju recipročnih razlomaka susreli i s cijelim brojevima, u nastavku nećemo govoriti o recipročnim razlomcima, već o recipročnim brojevima.

Smislimo kako napisati inverziju cijelog broja. Za razlomke se to može jednostavno riješiti: trebate staviti nazivnik umjesto brojnika. Na isti način možete dobiti inverziju cijelog broja, budući da svaki cijeli broj može imati nazivnik 1. To znači da će inverzija od 7 biti 1/7, jer je 7 = 7/1; za broj 10 obrnuto će biti 1/10, budući da je 10 = 10/1

Ova ideja se može izraziti drugačije: recipročna vrijednost zadanog broja dobiva se dijeljenjem jedan s zadanim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Zapravo, ako trebamo napisati inverziju razlomka 5/9, tada možemo uzeti 1 i podijeliti ga s 5/9, tj.

Sada istaknimo jednu stvar vlasništvo recipročni brojevi, koji će nam biti od koristi: umnožak recipročnih brojeva jednak je jedan. Doista:

Koristeći ovo svojstvo, recipročne brojeve možemo pronaći na sljedeći način. Recimo da trebamo pronaći inverziju od 8.

Označimo ga slovom x , zatim 8 x = 1, dakle x = 1/8. Pronađimo drugi broj koji je inverzan od 7/12 i označimo ga slovom x , zatim 7/12 x = 1, dakle x = 1: 7 / 12 ili x = 12 / 7 .

Ovdje smo uveli koncept recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o dijeljenju razlomaka.

Kada broj 6 podijelimo s 3/5, činimo sljedeće:

Obratite posebnu pozornost na izraz i usporedite ga sa zadanim: .

Ako izraz uzmemo odvojeno, bez veze s prethodnim, tada je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 s 3/5 ili od množenja 6 s 5/3. U oba slučaja događa se ista stvar. Stoga možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende obrnutim dijelom djelitelja.

Primjeri koje navodimo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.

Sadržaj lekcije

Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Postoje dvije vrste zbrajanja razlomaka:

1. Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, zbrojimo razlomke i . Zbrojite brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Dodate li pizzu na pizzu, dobit ćete pizzu:

Primjer 2. Zbrojite razlomke i .

Pokazalo se da je odgovor nepravi razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je riješiti se nepravih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju, cijeli dio se lako izolira - dva podijeljeno s dva jednako je jedan:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Dodate li još pizze na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Zbrojite razlomke i .

Opet zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjenim:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako na pizzu dodate još pizze, dobit ćete pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojnike treba zbrojiti, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim:

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizze na pizzu i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u zbrajanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim;

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Naučimo sada kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Kod zbrajanja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina svođenja razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo pogledati samo jednu od njih, budući da se druge metode početniku mogu činiti kompliciranima.

Bit ove metode je da se prvo pretražuje LCM nazivnika obaju razlomaka. LCM se zatim dijeli s nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto čine s drugim razlomkom - LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojnici i nazivnici razlomaka zatim se množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati.

Primjer 1. Zbrojimo razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo razlomcima i . Prvo podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Dobiveni broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu crtu preko razlomka i napišite dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo s nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

Dobiveni broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do drugog razlomka. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pažljivo pogledajte do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Ovo dovršava primjer. Ispada dodati .

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizzu na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i još jednu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svođenjem razlomaka i na zajednički nazivnik dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika bit će što će ovaj put biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik).

Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri komada od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri komada od šest). Zbrajanjem ovih komada dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo istaknuli cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. U obrazovnim ustanovama nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u stanju brzo pronaći LCM oba nazivnika i dodatnih faktora uz njih, kao i brzo pomnožiti pronađene dodatne faktore sa svojim brojnicima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo napisati ovaj primjer na sljedeći način:

Ali postoji i druga strana medalje. Ako u prvim fazama učenja matematike ne vodite detaljne bilješke, tada se počinju javljati takva pitanja. “Odakle dolazi taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u sasvim druge razlomke? «.

Kako biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete upotrijebiti sljedeće upute korak po korak:

1. Odredite LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
4. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gore navedene upute.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Odredite LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

Podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Dobijemo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Dobijemo treći dodatni faktor 3. Zapišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojnike i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Zbrojite razlomke s istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje samo zbrojiti ove razlomke. Zbrojite:

Dodavanje nije stalo u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, premješta se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraju prvog i na početku novog retka. Znak jednakosti u drugom retku označava da se radi o nastavku izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, odaberite cijeli njegov dio

Pokazalo se da je naš odgovor netočan razlomak. Moramo istaknuti cijeli dio toga. Ističemo:

Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, morate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, ali nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da biste riješili ovaj primjer, morate brojnik drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Napravimo to:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjenim:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka potrebno je oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, trebate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
2. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak možete oduzeti od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik nalazimo koristeći isti princip koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika obaju razlomaka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je zapisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih trebate svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Prvo nalazimo LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo razlomcima i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo s drugim razlomkom. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobivamo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako izrežete pizzu od pizze, dobit ćete pizzu

Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo bi rješenje izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet dijelova.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo treba svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan redak, pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Ispostavilo se da je odgovor običan razlomak i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazan i ružan. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Što može biti učinjeno? Možete skratiti ovaj razlomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s (NOT) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo našem primjeru i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim gcd, odnosno s 10

Dobili smo odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak s brojem, morate brojnik razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak s brojem 1.

Pomnožite brojnik razlomka s brojem 1

Snimanje se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, umnožak se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će umnožak i dalje biti jednak . Opet, pravilo za množenje cijelog broja i razlomka funkcionira:

Ovaj zapis se može shvatiti kao uzimanje polovice jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, tada ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka s 4

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pizze, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množenik i množitelj, dobit ćemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako se odgovor pokaže kao netočan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovaj udio. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje imati sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako od ove polovice uzeti dvije trećine? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravit ćemo pizzu. Prisjetite se kako izgleda pizza podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva komada koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Pokazalo se da je odgovor običan razlomak, ali bilo bi dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, morate brojnik i nazivnik ovog razlomka podijeliti s najvećim zajedničkim djeliteljem (NZD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora s gcd-om koji smo sada pronašli, to jest s 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Ovo neće promijeniti značenje pet, budući da izraz znači "broj pet podijeljen s jedan", a to je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati s vrlo zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto prema brojua je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto prema broju 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Je li moguće pronaći broj koji pomnožen s 5 daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak samim sobom, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožimo razlomak samim sobom, samo naopako:

Što će se dogoditi kao rezultat toga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je obrnuto od broja 5 broj , budući da kada pomnožite 5 s dobit ćete jedan.

Recipročna vrijednost broja može se pronaći i za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Dijeljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pizze:

Podijelimo ga jednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?

Vidljivo je da su se nakon dijeljenja pizze na pola dobila dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Dijeljenje razlomaka vrši se pomoću recipročnih vrijednosti. Recipročni brojevi omogućuju vam da zamijenite dijeljenje množenjem.

Da biste razlomak podijelili s brojem, morate razlomak pomnožiti s obrnutim dijelom djelitelja.

Koristeći ovo pravilo, zapisat ćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak s brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj broj 2.

Da biste razlomak podijelili s brojem 2, morate taj razlomak pomnožiti s recipročnom vrijednošću djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa

Akcije s razlomcima.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Dakle, što su frakcije, vrste frakcija, transformacije - sjetili smo se. Prijeđimo na glavno pitanje.

Što možete učiniti s razlomcima? Da, sve je isto kao i s običnim brojevima. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.

Sve ove akcije sa decimal rad s razlomcima ne razlikuje se od rada s cijelim brojevima. Zapravo, to je ono što im je dobro, decimalni. Jedina stvar je da trebate pravilno staviti zarez.

Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, malo su korisni za većinu radnji. Još ih treba pretvoriti u obične razlomke.

Ali akcije sa obični razlomci bit će lukaviji. I puno važnije! Da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznanicama i tako dalje i tako dalje ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima! Operacije s običnim razlomcima temelj su cijele algebre. Upravo iz tog razloga ćemo ovdje vrlo detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka.

Svatko može zbrajati (oduzimati) razlomke s istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa da podsjetim one potpuno zaboravne: pri zbrajanju (oduzimanju) nazivnik se ne mijenja. Brojnici se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojnik rezultata. Tip:

Ukratko, općenito:

Što ako su nazivnici različiti? Zatim, koristeći osnovno svojstvo razlomka (evo nam opet dobro dođe!), nazivnike učinimo istima! Na primjer:

Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. S jedinom svrhom da nazivnici budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je nezgodno, a 4/10 je sasvim ok.

Usput, to je bit rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kad smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali prikladnija za rješavanje.

Još jedan primjer:

Situacija je slična. Ovdje od 16 dobivamo 48. Jednostavnim množenjem s 3. Sve je jasno. Ali naišli smo na nešto poput:

Kako biti?! Teško je od sedam napraviti devetku! Ali pametni smo, znamo pravila! Preobrazimo se svaki razlomak tako da nazivnici budu isti. Ovo se zove "svesti na zajednički nazivnik":

Wow! Kako sam znao za 63? Jako jednostavno! 63 je broj koji je djeljiv sa 7 i 9 u isto vrijeme. Takav se broj uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako neki broj pomnožimo npr. sa 7, tada će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!

Ako trebate zbrojiti (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u paru, korak po korak. Samo trebate pronaći nazivnik zajednički svim razlomcima i svesti svaki razlomak na taj isti nazivnik. Na primjer:

I koji će biti zajednički nazivnik? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobijemo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv s 2, 4 i 8. Stoga je iz ovih brojeva lako dobiti 16. Taj će broj biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.

Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički nazivnik, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...

Sami dovršite primjer. Ne nekakav logaritam... Trebalo bi biti 29/16.

Dakle, zbrajanje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, s dodatnim množiteljima. Ali ovo zadovoljstvo dostupno je onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I nisu ništa zaboravili.

A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne s razlomcima, već s frakcijski izrazi. Ovdje će se otkriti novi rake, da...

Dakle, moramo zbrojiti dva razlomačka izraza:

Moramo učiniti nazivnike istima. I to samo uz pomoć množenje! To je ono što nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga ne mogu X dodati jedan u prvom razlomku u nazivniku. (ali to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo redak razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga zbrojimo, a ispod napišemo umnožak nazivnika, da ne zaboravimo:

I, naravno, ništa ne množimo s desne strane, ne otvaramo zagrade! I sada, gledajući zajednički nazivnik s desne strane, shvaćamo: da bismo dobili nazivnik x(x+1) u prvom razlomku, trebamo pomnožiti brojnik i nazivnik ovog razlomka s (x+1) . A u drugom razlomku - do x. Evo što dobivate:

Bilješka! Evo zagrada! To su grablje na koje mnogi ljudi stanu. Ne zagrade, naravno, već njihov nedostatak. Zagrade se pojavljuju jer množimo svi brojnik i svi nazivnik! A ne njihovi pojedinačni komadi...

U brojniku desne strane upišemo zbroj brojnika, sve je kao kod brojčanih razlomaka, zatim otvorimo zagrade u brojniku desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo što množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobivamo:

Pa smo dobili odgovor. Proces se čini dug i težak, ali ovisi o praksi. Kad riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojedobno savladali razlomke, sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!

I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zapnu na primjerima s cijeli brojevima. Na primjer: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne trebate ga nigdje pričvrstiti, trebate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali vrlo jednostavno! 2=2/1. Kao ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojnik je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.

Pa se obnovilo znanje o zbrajanju i oduzimanju razlomaka. Ponovljeno je pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Možete se i pregledati. Hoćemo li to malo riješiti?)

Izračunati:

Odgovori (u neredu):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Množenje/dijeljenje razlomaka – na sljedećem satu. Tu su i zadaci za sve operacije s razlomcima.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.