Po konstrukciji, ACF je parna funkcija, tj. . Zbog pariteta, ACF se obično izračunava samo za .

Za , vrijednost ACF je procjena varijance polja koje se proučava; za ACF, ona izražava odnos između vrijednosti polja za susjedne pikete (diskrete) i predstavlja procjenu koeficijenta korelacije za te vrijednosti; za ACF, izražava odnos između vrijednosti polja koje su odvojene s dva diskreta, itd. d.

U praksi se često koriste normalizirane vrijednosti autokorelacijskih funkcija R n. (m). U ovom slučaju, normalizacija se provodi na R(0):

(4.5)

Može se pokazati da je procjena normaliziranih vrijednosti auto korelacijska funkcija, uz dovoljnu veličinu uzorka (broj bodova na profilu) ima sljedeće Svojstva :

3. Autokorelacijska funkcija je parna, odnosno R n. (m) = R n. (-m), stoga se pri procjeni autokorelacijskih funkcija obično ograničavaju na njegove vrijednosti za ne-negativne vrijednosti argumenta m>=0.

4. Dva slučajna procesa F 1 =(f 1 , f 2 ,…..f n ) i F 2 =(kf 1 , kf 2 ,…..kf n ) koji se razlikuju samo po konstantnom faktoru k, imaju isti tip normalizirana autokorelacijska funkcija R n (m).

5. Dva slučajna procesa F 1 = (f 1 , f 2 ,…..f n ) i F 2 = (f 1 +k, f 2 +k,…..f n +k) međusobno pomaknuta za konstantna vrijednost k, imaju isti oblik normalizirane autokorelacijske funkcije R n (m).

Analizirajući izraze 4.1 i 4.5, možemo zaključiti da su normalizirane vrijednosti autokorelacijske funkcije R n. (m) nije ništa drugo nego koeficijent korelacije izračunat za točke udaljene jedna od druge za m kočići. Dakle, vrijednosti korelacijske funkcije za određeni argument m pokazuje koliko su vrijednosti polja udaljene jedna od druge m kočići, povezani jedni s drugima. Pa ako R(5)=0,85, onda to znači da su vrijednosti polja, koje su jedna od druge udaljene 5 piketa, općenito prilično korelirane ako R(9)=0,05, tada su vrijednosti polja uklonjene s 9 piketa praktički neovisne (nekorelirane). Konačno, ako je npr. R(13) = -0,9, tada postoji snažna inverzna korelacija između vrijednosti polja koje su međusobno udaljene 13 kočića. slučajni proces, za koje čak i s jednim pomakom R(1)<=0 , bio je nazvan apsolutno nekorelirani proces ("bijeli šum") .

Slika 4.1 prikazuje primjere izračuna normaliziranih autokorelacijskih funkcija za različite slučajne procese koji su po obliku bliski konstanti (1), sinusoidi (2), apsolutno nekoreliranom procesu (3), kvadratnom (4) i linearnom (5) funkcija. Iz druge slike proizlazi da je autokorelacijska funkcija periodičkog procesa također periodična. U tom se slučaju period autokorelacijske funkcije poklapa s periodom procesa. Za apsolutno nekorelirani signal, vrijednosti funkcije autokorelacije su blizu nule za bilo koju vrijednost argumenta koja nije nula.

Normalizirane vrijednosti autokorelacijske funkcije konstantnog procesa identično su jednake jedinici, budući da za bilo koje pristranosti m vrijednosti slučajnog procesa potpuno se podudaraju, odnosno apsolutno su korelirane.

ACF određuje tako važan atribut kao što je korelacijski interval. Pod, ispod interval ili radijus korelacije razumjeti takvu udaljenost između vrijednosti polja r, polazeći od kojih se vrijednosti polja i mogu smatrati nekoreliranima, a prema normalnom zakonu distribucije - neovisnima jedna o drugoj. Za procjenu korelacijskog intervala koriste se različite heurističke tehnike. Najčešća tehnika je procjena vrijednosti r iz zadane vrijednosti , gdje je . pri čemu r uzima se jednako ACF argumentu, m, polazeći od čega se ispunjava odnos.

Za procjenu korelacijskog intervala također se koriste sljedeće relacije:

ili .

U praksi se radijus korelacije procjenjuje minimalnom vrijednošću argumenta m, na kojem autokorelacijska funkcija prvi put prelazi preko x-osi.

Oblik ACF i korelacijski interval koriste se u rješavanju različitih problema obrade geofizičkih podataka, od kojih izdvajamo sljedeće:

1) Procjena korelacijskih svojstava signala i šuma. Ako ne postoji korelacija između signala i šuma, što se obično postulira, tj. pojava signala ne ovisi o smetnji, ACF je predstavljen zbrojem ACF signala i ACF šuma, jer:

Iz ovog izraza slijedi da pri niskom intenzitetu šuma u usporedbi s intenzitetom signala, ACF predstavlja procjenu korelacijskih svojstava signala, i obrnuto, u intervalu u kojem signala nema, ACF procjenjuje svojstva signala. buka;

2) ACF signala i šuma je osnova za izračun svih optimalnih filtara razmatranih u Poglavlju VII;

3) Ako se oblik signala i ACF oblik smetnje podudaraju, nikakva dodatna obrada za njihovo razdvajanje neće unijeti ništa novo, budući da se u ovom slučaju frekvencijski rasponi signala i smetnje međusobno potpuno preklapaju;

4) Podjela na statistički homogena područja za potrebe geološkog kartiranja. U tu svrhu, prosječna vrijednost, varijanca i interval korelacije, izračunati u kliznim prozorima, obično se koriste istovremeno;

5) Ocjena razlučivosti seizmičkog zapisa prema vrijednosti omjera , Gdje T- razdoblje snimanja. Na H blizu jedinstva, razlučivost je visoka, s H£0,5 - nisko;

6) Korištenje korelacijskog intervala za procjenu dubine pojavljivanja h objekti potencijalnim poljima .

Na ovom jednostavnom odnosu između dubine h i interval korelacije r, točno izvedeno za objekte u obliku cilindara beskonačnog rastezanja, temelji se na metodama gravitacijske, koju je predložio A.M. Petrishchevsky, i korelacijske, koju je predložio A.V. Petrov, ispitivanje potencijalnih polja;

7) Procjena trajanja provedbe, na primjer, duljina profila, za koji se izračunava ACF. U općem slučaju, disperzija ACF određena je izrazom , iz čega proizlazi mogućnost procjene trajanja same provedbe n.

3.2. Pronađite prosjek niza i standardnu ​​devijaciju s t , iscrtajte ih na grafikonu:

3.3. Odredite koeficijente autokorelacije za kašnjenja τ = 1;2.

Riješenje. Izračun ćemo izvršiti prema formuli

Za τ = 1 i naše vrijednosti, formula ima oblik:

Slika 4.1 - Nestacionarni slučajni proces rasta prihoda

Vidi tablicu 4.2 za sve međuizračune. Konačno:

Slično za r(2), vidi tablicu 4.3:

Tablica 4.2 - Kašnjenje τ = 1

3.4. Konstruirajte autokorelacijsku funkciju za tri točke (0,00; 1,00), (1,00; 0,32), (2,00; 0,10).

Riješenje. Pogledajte sliku 4.1.

Slika 4.1 Funkcija autokorelacije za slučajni proces

Napomena: Točke 4 i 5 nisu obavezne.

Tablica 4.3 - Kašnjenje τ = 2

1. Mnatsakanyan, A.G. Smjernice za izradu nastavnih tekstualnih radova (sažeci, kontrolni, tečajevi, završni kvalifikacijski radovi) / A.G. Mnatsakanyan, Yu.Ya. Nastin, E.S. Kruglov. - Kalinjingrad, Izdavačka kuća KSTU, 2017. - 22 str.

2. Kremer, N.Sh. Ekonometrija: udžbenik / N.Sh. Kremer, B.A. Putko. – Ekonometrija: udžbenik. – M.: UNITI-DANA, 2012. – 387 str.

3. Nastin, Ju, Ja. Ekonometrija: udžbenik poz. / Yu. Ya. Nastin. - Kaliningrad: NOU VPO BIEF, 2004. - 82 str.

4. Nastin, Yu.Ya. Ekonometrija: Metoda. dekret. i zadaci za kontrolni rad / Yu.Ya. Nastin. - Kaliningrad: FGOU VPO KSTU, 2015. - 40 str.

5. Pakhnutov, I.A. Uvod u ekonometriju: obrazovna metoda pos. / I.A. Pahnutov. - Kaliningrad: FGOU VPO "KSTU", 2009. - 108 str.

6. Buravlev, A.I. Ekonometrija: udžbenik / A.I. Buravljov. – M.: Binom. Laboratorij znanja, 2012. - 164 str.

7. Utkin, V.B. Ekonometrija: udžbenik / V.B. Utkin - ur. 2. - M.: Daškov i K, 2011. - 564 str.

8. Ekonometrija: udžbenik / ur. I.I. Eliseeva. –M.: Prospekt, 2011.-288 str.

9. Valentinov, V.A. Ekonometrija: udžbenik / V.A. Valentinov - ur. 2. - M.: Daškov i K, 2010. - 448 str.

10. Magnus, Ya.R. Ekonometrija: početni tečaj / Ya.R. Magnus, P.K. Katyshev, A.A. Peresecki. - 8. izdanje, M .: Delo, 2008. - 504 str.

11. http://window.edu.ru/resource/022/45022 Sklyarov Yu.S. Ekonometrija. Kratki tečaj: Udžbenik. - St. Petersburg: GUAP, 2007. - 140 str.

12. http://window.edu.ru/resource/537/74537 Shanchenko, N. I. Ekonometrija: laboratorijska radionica: studijski vodič / N. I. Shanchenko. - Uljanovsk: UlGTU, 2011. - 117 str.

13. Berndt, E.R. Praksa ekonometrije: klasika i suvremenost: Udžbenik / prijevod s engleskog / E.R. Berndt. - M.: UNITI-DANA, 2005. - 863 str.

Dodatak A

Vrijednosti Laplaceove funkcije

Autokorelacijska funkcija- ovisnost odnosa između funkcije (signala) i njezine pomaknute kopije o veličini vremenskog pomaka.

Za determinističke signale autokorelacijska funkcija (ACF) signal f (t) (\displaystyle f(t)) određuje se integralom:

Gdje E ( ) (\displaystyle \mathbb (E) \(\ \))- matematičko očekivanje, zvjezdica označava kompleksnu konjugaciju.

Ako je izvorna funkcija strogo periodična, tada će i graf autokorelacijske funkcije imati strogo periodičnu funkciju. Stoga se iz ovog grafikona može prosuditi periodičnost izvorne funkcije, a time i njezine frekvencijske karakteristike. Funkcija autokorelacije koristi se za analizu složenih fluktuacija, na primjer, ljudskog elektroencefalograma.

Enciklopedijski YouTube

1 / 3

Autokorelacijska funkcija

Što je autokorelacija?

Funkcija djelomične autokorelacije

titlovi

Nažalost, koeficijenti procesa pomičnog prosjeka loše su interpretirani. Što znači 2ε(t- 1) + 3ε(t- 2) potpuno je neshvatljivo. A za interpretaciju se koristi takozvana autokorelacijska funkcija procesa: ρk ili Corr(Yt, Yt-k) - ova funkcija se naziva autokorelacijska funkcija procesa. Prema značenju za stacionarni proces s normalno raspoređenim igračima, ρk pokazuje koliko će se prosječno promijeniti današnji Y ako je prije Y k-razdoblja, odnosno Yt-k, porastao za 1. Upotrijebimo isti MA (2)- proces kao primjer, pokretni prosjek procesa reda 2, ovaj put izračunavamo i tumačimo funkciju autokorelacije. Dakle, zanima nas ρk, odnosno to je Corr (korelacija) između Yt i Y k-perioda prije. Prvo ćemo primijetiti neka opća razmatranja o tome kako izračunati funkciju autokorelacije za bilo koji proces. Prema definiciji korelacije: Corr(Yt, Yt- k) to je Cov(Yt, Yt- k) podijeljen s korijenom produkta varijanci: Var(Yt) * Var(Yt- k). Međutim, imamo stacionarni proces. Ovdje koristimo činjenicu da je proces stacionaran, odnosno njegove varijance su iste. Var(Yt) = Var(Yt-k). Pa, prema tome, budući da su te dvije varijance jednake, tada je njihov korijen jednostavno jednak - jedan od njih, bilo koji - Cov (Yt, Yt-k) u brojniku ostaje isti, au nazivniku, korijen iz umnožak dva identična broja jednostavno daje prvi od ovih brojeva. I, prema tome, složili smo se da je ovo - ovo je autokovarijancijska funkcija - ovo je γk, a ovo je varijanca ili γ0. Sukladno tome, dobili smo da je ρk zapravo autokorelacijska funkcija. To je samo skalirana autokovarijanca. Podsjetit ću na prethodne rezultate. U prethodnoj smo vježbi saznali da je γk = 14ς na kvadrat, ako je k = 0, to je varijanca; - 3ς kvadrat ako je k = 1; - 2ς kvadrat ako je k = 2 i 0 za velike vrijednosti k, naime veće ili jednake 3. Na temelju opće formule dobivamo da je ρ0 γ0 na γ0, to uvijek 1 za bilo koji proces, tako da je ovo nezanimljiv pokazatelj, ali ostali su već zanimljiviji. ρ1 je γ1/γ0, u našem slučaju dobivamo 3/14. ρ2 - ovo je γ2/γ0, ovo je - 2/14. I, prema tome, ρ3 = ρ4 =... = 0. Sukladno tome, možemo interpretirati ove koeficijente. Što znači p1? To znači da ako znamo da je Yt-1 (jučerašnji Y) porastao za jednu jedinicu, onda to dovodi do činjenice da u prosjeku Yt pada za 3/14. Ovo možemo protumačiti ρ1. I, sukladno tome, ρ2 tumačimo na sličan način. Ako se zna da je Yt- 2 (odnosno prekjučerašnja vrijednost Y) ispala, recimo, veća od prosjeka za 1, odnosno porasla je za jednu jedinicu u odnosu na neku prosječnu vrijednost, tada možemo zaključiti da će Yt u prosjeku pasti za 2/14. Ovako tumačimo ovaj koeficijent. Pa, redom, ρ3, ρ4 i tako dalje se tumače na sljedeći način, te informacije o vrijednosti Yt-3 više ne nose nikakve informacije o trenutnom Yt i, posebno, beskorisne su u predviđanju. Ali prethodne dvije vrijednosti su nam važne.

Primjena u tehnici

Korelacijska svojstva kodnih nizova koji se koriste u širokopojasnim sustavima ovise o vrsti kodnog niza, njegovoj duljini, učestalosti njegovih simbola i o njegovoj strukturi simbol po simbol.

studiranje ACF igra važnu ulogu u izboru kodnih sekvenci u smislu najmanje vjerojatnosti uspostavljanja lažne sinkronizacije.

Druge namjene

Funkcija autokorelacije igra važnu ulogu u matematičkom modeliranju i analizi vremenskih nizova, pokazujući karakteristična vremena za procese koji se proučavaju (vidi, na primjer: Turčin P. V. Povijesna dinamika. Moskva: URSS, 2007. ISBN 978-5-382-00104-3). Konkretno, ciklusi u ponašanju dinamičkih sustava odgovaraju maksimumima autokorelacijske funkcije nekog karakterističnog parametra.

Brzo računanje

Često je potrebno izračunati funkciju autokorelacije za vremensku seriju x i (\displaystyle x_(i)). Frontalni izračun radi za O (T 2) (\displaystyle O(T^(2))). Međutim, postoji način da to učinite za .

Suština ove metode je sljedeća. Možete napraviti neku vrstu inverzne transformacije jedan na jedan podataka, koja se zove Fourierova transformacija, koja će ih staviti u korespondenciju jedan na jedan sa skupom podataka u drugom prostoru, koji se naziva frekvencijski prostor. Operacije s podacima u našem uobičajenom prostoru, kao što su zbrajanje, množenje i, što je najvažnije, autokorelacija, imaju korespondencije jedan na jedan u Fourierovom frekvencijskom prostoru. Umjesto izračunavanja autokorelacije "head-on" na našim izvornim podacima, izvršit ćemo odgovarajuću operaciju na odgovarajućim podacima u frekvencijskom prostoru Fourierovog spektra, što se radi u linearnom vremenu O(T) - autokorelacija u frekvencijskom prostoru odgovara jednostavno množenje. Nakon toga, prema dobivenim podacima, vratit ćemo odgovarajuće u običan prostor. Prijelaz iz običnog prostora u prostor frekvencije i obrnuto vrši se pomoću brze Fourierove transformacije za O (T log ⁡ T) (\displaystyle O(T\log T)), izračun analoga autokorelacije u prostoru frekvencija je O(T). Time smo dobili dobitak u vremenu u izračunima. i izravno je proporcionalan prvom n (\displaystyle n) elementi niza

Kvadrat kompleksnog modula uzima se element po element: | a → | 2 = ( Re 2 ⁡ a i + Im 2 ⁡ a i ) (\displaystyle \left|(\vec (a))\right|^(2)=\left\(\operatorname (Re) ^(2)a_(i )+\ime operatera (Im) ^(2)a_(i)\desno\)). Ako nema grešaka u izračunu, imaginarni dio će biti nula. Koeficijent razmjernosti određuje se iz zahtjeva Ψ (0) = 1 (\displaystyle \Psi (0)=1).

Proučavajući ACF paketa pravokutnih videoimpulsa, čitatelj je, naravno, skrenuo pozornost na činjenicu da odgovarajući graf ima specifičan oblik latice. S praktičnog stajališta, imajući u vidu korištenje ACF-a za rješavanje problema detekcije takvog signala ili mjerenja njegovih parametara, potpuno je beznačajno da pojedinačni režnjevi imaju trokutasti oblik. Važna je samo njihova relativna razina u usporedbi sa središnjim maksimumom pri.

Naš sljedeći zadatak je promijeniti definiciju autokorelacijske funkcije na takav način da iz nje možemo izvući korisne informacije, apstrahirajući se od sekundarnih detalja. Osnova za to je ideja matematičkog modela diskretnog signala (vidi Poglavlje 1).

Opis složenih signala s diskretnom strukturom.

Paket identičnih pravokutnih videoimpulsa je najjednostavniji predstavnik klase složenih signala konstruiranih u skladu sa sljedećim principom. Cijeli vremenski interval postojanja signala dijeli se na cijeli broj M > 1 jednakih intervala koji se nazivaju pozicijama. Na svakoj od pozicija signal može biti u jednom od dva stanja, koja odgovaraju brojevima +1 i -1.

Riža. 3.6 objašnjava neke od načina generiranja složenog signala s više položaja. Definicije radi, ovdje je M = 3.

Može se vidjeti da fizički izgled diskretnog signala može biti različit.

Riža. 3.6. Složeni signal s tri položaja: a - kodiranje amplitude; b - fazno kodiranje

U slučaju a, simbol odgovara pozitivna vrijednost visina video impulsa odaslanog na odgovarajućoj poziciji; simbol -1 odgovara negativno značenje- . Rečeno je da se u ovom slučaju provodi amplitudno kodiranje složenog signala. U slučaju b dolazi do faznog kodiranja. Za prijenos simbola +1 na odgovarajuću poziciju, generira se segment harmonijskog signala s nultom početnom fazom. Za prikaz simbola -1 koristi se segment sinusnog vala istog trajanja i frekvencije, ali mu je faza pomaknuta za dodatnih 180°.

Unatoč razlici u grafovima ovih daukh signala, u suštini, može se utvrditi njihova potpuna identičnost sa stajališta njihovih matematičkih modela. Doista, model svakog takvog signala je niz brojeva u kojem svaki simbol ima jednu od dvije moguće vrijednosti +1. Radi praktičnosti, dogovorit ćemo se u budućnosti da takav niz dopunimo nulama na "praznim" pozicijama, gdje signal nije definiran. U ovom slučaju, na primjer, prošireni oblik pisanja diskretnog signala (1 1, -1, 1) izgledat će ovako

Najvažnija operacija u obradi diskretni signali sastoji se u pomaku takvog signala za određeni broj položaja u odnosu na početni položaj bez. promjena njegovog oblika. Kao primjer, ispod je neki izvorni signal (prva linija) i njegove kopije (naredne linije), pomaknute za 1, 2 i 3 pozicije u smjeru kašnjenja:

Diskretna autokorelacijska funkcija.

Pokušat ćemo generalizirati formulu (3.15) na takav način da bi bilo moguće izračunati diskretni analog ACF-a primijenjen na višepozicijske signale. Jasno je da operaciju integracije ovdje treba zamijeniti zbrajanjem, a umjesto varijable treba koristiti cijeli broj (pozitivan ili negativan) koji pokazuje za koliko je pozicija pomaknuta kopija u odnosu na izvorni signal.

Budući da matematički model signala sadrži nule na "praznim" pozicijama, diskretni ACF pišemo kao

Ova funkcija cjelobrojnog argumenta prirodno ima mnoga već poznata svojstva obične autokorelacijske funkcije. Dakle, lako je vidjeti da je diskretna ACF paran:

Uz Bullet shift, ovaj ACF određuje energiju diskretnog signala:

Neki primjeri.

Da bismo ilustrirali gore navedeno, izračunajmo diskretni ACF signala s tri položaja s istim vrijednostima na svakom položaju: Zapišimo ovaj signal zajedno s kopijama pomaknutim za 1, 2 i 3 položaja:

Vidljivo je da se već pri , signal i kopija prestaju preklapati, tako da umnošci u formuli (3.29) postaju jednaki nuli pri . Računajući iznose, dobivamo

Bočni snopovi autokorelacijske funkcije linearno opadaju s povećanjem broja i, baš kao u slučaju autokorelacijske funkcije tri analogna videoimpulsa.

Razmotrimo diskretni signal koji se razlikuje od prethodnog u znaku odbrojavanja na drugom mjestu:

Postupajući na sličan način, izračunavamo vrijednosti diskretne autokorelacijske funkcije za ovaj signal:

Može se ustanoviti da prvi bočni režanj mijenja svoj predznak dok ostaje nepromijenjen u apsolutnoj vrijednosti.

Na kraju, razmotrite tropoložajni diskretni signal s matematičkim modelom oblika

Njegova autokorelacijska funkcija je:

Od tri ovdje proučavana diskretna signala, treći je najsavršeniji u smislu korelacijskih svojstava, budući da se u ovom slučaju ostvaruje najniža razina bočnih režnja autokorelacijske funkcije.

Lajkač signalizira.

Diskretni signali s najboljom strukturom autokorelacijske funkcije bili su 1950-ih i 1960-ih godina predmet intenzivnog istraživanja stručnjaka iz područja teorijska radiotehnika I primijenjena matematika. Pronađene su cijele klase signala sa savršenim korelacijskim svojstvima. Među njima su veliku popularnost stekli takozvani Barkerovi signali (kodovi). Ovi signali imaju jedinstveno svojstvo: bez obzira na broj položaja M, vrijednosti njihovih autokorelacijskih funkcija izračunatih formulom (3.29) ne prelaze jedinicu za sve. Istovremeno, energija ovih signala, tj. vrijednost brojčano je jednaka M.

Barker signali se mogu realizirati samo kada je broj pozicija M = 2, 3, 4, 5, 7, 11 i 13. Slučaj je trivijalan. Barkerov signal na ispitali smo na kraju prethodnog odjeljka. Matematički modeli Barkerovi signali i odgovarajuće autokorelacijske funkcije dani su u tablici. 3.2.

Tablica 3.2 Modeli Barker signala

Za ilustraciju na sl. 3.7 prikazuje najčešće korišteni Barkerov signal od 13 pozicija za dvije metode kodiranja, kao i grafički prikaz njegov ACF.

Riža. 3.7. Barkerov signal na M = 13: a - kodiranje amplitude; b - fazno kodiranje; c - autokorelacijska funkcija

Zaključno, napominjemo da proučavanje nekih svojstava diskretnih signala i njihovih autokorelacijskih funkcija, provedeno u ovom poglavlju, ima preliminarni, uvodni karakter. Sustavno proučavanje ovog raspona pitanja bit će poduzeto u Pogl. 15.

Autokorelacijska funkcija. Korelogram.

Ako postoji trend i cikličke promjene u vremenskoj seriji, vrijednosti sljedeće razine serije ovise o prethodnim. Odnos između uzastopnih razina vremenske serije naziva se autokorelacija razina serije.

Može se kvantitativno mjeriti pomoću indeksa korelacije između razina izvorne vremenske serije i razina ove serije, pomaknute za nekoliko vremenskih koraka.

Neka je dana vremenska serija: u, u, ... u i neka postoji linearna korelacija između y t I y t -1.

Odredite koeficijent korelacije između serija na t I pri t -1 .

Da bismo to učinili, koristimo sljedeću formulu:

nagnuta x j = y t -1 , y j = y t -1 , dobivamo

(5.1)

Koeficijenti autokorelacije drugog i višeg reda određuju se na sličan način. Dakle, koeficijent autokorelacije 2. reda karakterizira bliskost odnosa između razina na I na a određuje se formulom:

(5.2)

Redoslijed razine autokorelacijske serije naziva se kašnjenje.

Za formulu (5.1) lag jednako jedan, za (5.3) dva.

Redoslijed koeficijenata autokorelacije nivoa prvog, drugog itd. naloga naziva se autokorelacijska funkcija vremenske serije (ACF).

Grafikon ovisnosti njegovih vrijednosti o veličini kašnjenja naziva se korelogram.

ACF i korelogram omogućuju određivanje kašnjenja pri kojem je autokorelacija najveća, a time i kašnjenje pri kojem je odnos između trenutne i prethodne razine niza najbliži, tj. mogu se koristiti za otkrivanje strukture serije.

Preporučljivo je koristiti koeficijent autokorelacije i ACF za identifikaciju prisutnosti ili odsutnosti komponente trenda i cikličke komponente u vremenskoj seriji:

ako se koeficijent autokorelacije 1. reda pokazao najvećim, tada serija koja se proučava sadrži samo trend;

ako se koeficijent autokorelacije k-tog reda pokazao najvećim, tada serija sadrži cikličke fluktuacije s periodičnošću od k-točaka vremena;

ako niti jedan od koeficijenata nije značajan, tada se može napraviti jedna od dvije pretpostavke o strukturi ove serije: ili serija ne sadrži trendove i cikličke promjene i ima strukturu sličnu strukturi serije prikazane na slici 5.1c. , ili niz sadrži snažan nelinearni trend, koji zahtijeva dodatnu analizu za prepoznavanje.

49. Generalizirani regresijski model. Generička metoda najmanjih kvadrata. Aitkenov teorem

Prilikom izrade modela, na primjer, linearni prikaz

Y \u003d a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 + ... + b p * x p + ε (59.1)

slučajna varijabla  je varijabla koja se ne može promatrati. Za različite specifikacije modeli razlike između teoretskih i stvarnih vrijednosti mogu se promijeniti. Na zadatak regresijska analiza uključuje ne samo konstrukciju samog modela, već i studiju slučajna odstupanja ja tj. rezidualne vrijednosti. Nakon konstruiranja regresijske jednadžbe provjeravamo imaju li procjene  i određena svojstva. Ova svojstva procjena dobivenih najmanjim kvadratima imaju vrlo važnu ulogu praktična vrijednost u korištenju rezultata regresije i korelacije.

Regresijski koeficijenti b i dobiveni na temelju sustava normalne jednadžbe i predstavljanje procjene uzorka karakteristike čvrstoće veze moraju imati svojstvo nepristranosti. Nepristrana procjena to znači očekivana vrijednost ostatak je nula.

To znači da se pronađeni regresijski parametar b i može smatrati prosječnom vrijednošću mogućih vrijednosti koeficijenata regresije s nepristranim procjenama reziduala.

U praktične svrhe nije važna samo nepristranost, već i učinkovitost procjena. Procjene se smatraju učinkovitima ako imaju najmanju varijancu.

Da bi intervali povjerenja regresijski parametri su stvarni, procjene moraju biti dosljedne. Konzistentnost procjena karakterizira povećanje njihove točnosti s povećanjem veličine uzorka.

Rezidualne studije  i uključuju testiranje prisutnosti sljedećih pet OLS premisa:

nasumična priroda ostataka;

nula prosječna rezidualna vrijednost, neovisno o x i ;

homoskedastičnost - varijanca svakog odstupanja  i je ista za sve x vrijednosti;

nema autokorelacije reziduala. Vrijednosti reziduala  i raspodjeljuju se neovisno jedna o drugoj;

ostaci slijede normalnu distribuciju.

Ako raspodjela slučajni ostaci i ne odgovara nekim LSM pretpostavkama, tada model treba ispraviti.

Prije svega, provjerava se slučajna priroda reziduala  i.

Ako se na grafu dobije vodoravna vrpca raspodjele reziduala, tada su reziduali slučajne varijable i najmanji kvadrati opravdani, teorijske y vrijednosti x dobra su aproksimacija stvarnih y vrijednosti.

moguće sljedećim slučajevima: ako je  i . ovisi o y x tada:

ostaci  i . nije slučajno

ostaci  i . nemaju konstantnu disperziju

ostaci  i . nositi sustavan

U tim slučajevima morate primijeniti drugu funkciju ili unijeti Dodatne informacije i ponovno izgradite regresijsku jednadžbu sve dok reziduali  i ne budu slučajne varijable.

Druga premisa znači nula Srednja veličina ostaci:

. (59.2)

Treća premisa najmanjih kvadrata zahtijeva da varijanca reziduala bude homoskedastična. To znači da za svaku vrijednost faktora x j, reziduali  i imaju istu varijancu. Ako ovaj uvjet za primjenu LSM-a nije ispunjen, dolazi do heteroskedastičnosti.

50. Dostupni generalizirani najmanji kvadrati

Metoda najmanjeg kvadrata. Nešto više uobičajeni tipovi regresijski modeli se raspravljaju u odjeljku Glavne vrste nelinearni modeli. Nakon odabira modela, postavlja se pitanje: kako se ti modeli mogu ocijeniti? Ako ste upoznati s metodama Linearna regresija(opisano u odjeljku Višestruka regresija) ili analiza varijance (opisana u odjeljku Analiza varijance), onda znate da sve ove metode koriste procjenu najmanjih kvadrata. Glavna poanta ove metode je minimizirati zbroj kvadratnih odstupanja opaženih vrijednosti zavisne varijable od vrijednosti predviđenih modelom. (Pojam najmanjih kvadrata prvi je upotrijebio Legendre - Legendre, 1805.)
Metoda ponderiranih najmanjih kvadrata. Treća najčešća metoda, uz metodu najmanjih kvadrata i upotrebu za procjenu zbroja apsolutnih odstupanja (vidi gore), jest metoda ponderiranih najmanjih kvadrata. Obična metoda najmanjih kvadrata pretpostavlja da je raspršenost reziduala ista za sve vrijednosti nezavisnih varijabli. Drugim riječima, pretpostavlja se da je varijanca pogreške ista za sva mjerenja. Često ta pretpostavka nije realna. Konkretno, odstupanja od njega nalaze se u poslovanju, ekonomiji, primjenama u biologiji (imajte na umu da se procjene parametara pomoću metode ponderiranih najmanjih kvadrata također mogu dobiti korištenjem modula Višestruke regresije).

Na primjer, želite proučiti odnos između predviđenih troškova izgradnje zgrade i stvarno potrošenog iznosa. Ovo može biti korisno za dobivanje procjene očekivanih prekoračenja. U ovom slučaju razumno je pretpostaviti da apsolutna vrijednost prekoračenje troškova (izraženo u dolarima) proporcionalno je trošku projekta. Stoga, za odabir linearnog regresijski model treba koristiti ponderirane najmanje kvadrate. Funkcija gubitka može biti, na primjer, ova (vidi Neter, Wasserman i Kutner, 1985., str. 168):

Gubitak = (promatrač-predvidi) 2 * (1/x 2)

U ovoj jednadžbi prvi dio funkcije gubitka znači standardna funkcija gubitak za metodu najmanjih kvadrata (promatrani minus oni predviđeni na kvadrat; tj. kvadrat reziduala), a sekunda je jednaka "težini" tog gubitka u svakom slučaju - jedan podijeljen s kvadratom nezavisne varijable (x) za svako opažanje. U situaciji stvarne procjene, program će zbrojiti vrijednosti funkcije gubitaka za sva opažanja (na primjer, dizajnerski projekti) kao što je gore opisano i odabrati parametre koji minimiziraju zbroj. Vraćajući se na razmatrani primjer, što je veći projekt (x), to nam ista pogreška u predviđanju njegove cijene manje znači. Ova metoda daje robusnije procjene za regresijske parametre (vidi Neter, Wasserman i Kutner, 1985. za više detalja).

51. Chow test

Formalni statistički test za procjenu modela trenda vremenske serije u prisutnosti strukturnih promjena predložio je Gregory Chow*. Primjena ovog testa uključuje izračun parametara jednadžbi trenda. Uvodimo oznake dane u tablici.

Tablica 3 - konvencije za algoritam Chow testa

Pretpostavimo da hipoteza H0 potvrđuje strukturnu stabilnost trenda proučavane vremenske serije. Preostali iznos kvadrati prema komadno-linearnom modelu (C cl ost) mogu se pronaći kao zbroj C 1 rev i C 2 rev

C cl ost \u003d C 1 ost + C 2 ost (62.1)

Odgovarajući broj stupnjeva slobode bit će:

(n 1 - k 1) + (n 2 - k 2) = n - k 1 - k 2 (62.2)

Zatim smanjenje rezidualna disperzija tijekom prijelaza unificirane jednadžbe trenda na komadno-linearni model odredite kako slijedi:

DC odmor = C 3 odmor - C cl odmor (62.3)

Broj stupnjeva slobode koji odgovara DC-u, uzimajući u obzir relaciju (23), bit će:

n - k 3 - (n - n 1 - k 2) = k 1 + k 2 - k 3 (62.4)

Zatim se, u skladu s G. Chowom, koristi G. Chow metoda za pronalaženje stvarne vrijednosti F-kriterija za sljedeće disperzije po jednom stupnju slobode varijacije:

(62.5)

Pronađena vrijednost F fact uspoređuje se s tabličnom (Fisherova tablica distribucije za razinu značajnosti α ‚ a i broj stupnjeva slobode (k 1 + k 2 - k 3) i (n - k 1 - k 2)

Ako je F činjenica > F tablica, tada se hipoteza o strukturnoj stabilnosti trenda odbacuje, a učinak strukturnih promjena na dinamiku proučavanog pokazatelja prepoznaje se kao značajan. U ovom slučaju, modeliranje trenda vremenske serije treba biti učinjeno korištenjem komadno-linearnog modela. Ako

F činjenica< F табл то Nulta hipoteza strukturna stabilnost trenda se ne odbacuje. Njegovo modeliranje trebalo bi provesti pomoću jedne jednadžbe trenda za cijelu populaciju.

Značajke primjene Chow testa.

1. Ako je broj parametara u svim jednadžbama iz tablice 3 (1), (2), (3) isti i jednak k, tada se formula (56) pojednostavljuje:

(62.6)

2. Chow test omogućuje izvođenje zaključaka o prisutnosti ili odsutnosti strukturne stabilnosti u proučavanoj vremenskoj seriji. Ako je F činjenica< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >F tablica tada se odbacuje hipoteza stabilnosti konstrukcije što znači statistička značajnost razlike u procjenama parametara jednadžbi (1) i (2).

3. Primjena Chow testa pretpostavlja da su pretpostavke o normalna distribucija reziduala u jednadžbama (1) i (2) i neovisnost njihovih distribucija.

Ako se hipoteza o strukturnoj stabilnosti trenda y-serije odbaci, daljnja analiza može se sastojati od ispitivanja uzroka ovih strukturnih razlika i još više od proučavanja prirode promjene trenda. U prihvaćene oznake ti razlozi određuju razlike u procjenama parametara jednadžbi (1) i (2).

Moguće su sljedeće kombinacije promjena u numeričkim procjenama parametara ovih jednadžbi:

Promjena numeričke procjene slobodnog člana jednadžbe trenda a 2 u usporedbi s a 1 pod uvjetom da razlike b 1 I b 2 statistički beznačajno. Geometrijski to znači da su pravci (1) (2) paralelni. Postoji nagla promjena u razini serije y t, u trenutku vremena t‚ i nepromijenjeni prosječni apsolutni rast za razdoblje;

Promjena numeričke procjene parametra b 2 u usporedbi sa b 1 pod uvjetom da razlike između 1 i 2 nisu statistički značajne. Geometrijski to znači da pravci (1) i (2) sijeku koordinatnu os u jednoj točki. Promjena trenda događa se kroz promjenu prosječnog apsolutnog povećanja u vremenskoj seriji, počevši od trenutka u vremenu t‚ s konstantnom početnom razinom serije u to vrijeme t=0

Promjena numeričkih procjena parametara a 1 i a 2 , kao i b 1 I b 2. To je prikazano na grafikonu promjenom početna razina a prosjek za razdoblje apsolutnog rasta