Интегральное преобразование. Глава xxxiii

Операционные методы.

Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла.

Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены М.Вищенко-Захарченко и Хевисвйдом. Наибольшее распространение они получили в электротехнике благодаря работам Хевисайда.

Операционный метод Хевисвйда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа.

Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а её видоизменение (изображение).

Интегральное преобразование функции
определяется формулой

(40)

Здесь Sможет быть комплексным числом; но при этом вещ-я часть больше 0.

- оригинал;
- изображение функции. Чтобы изображение существовало необходимо, интеграл (51) должен сходиться.

Если задача решена в изображениях, то оригинал определяется по изображению (обр-е преобр-е) с помощью формулы обращения

(41)

Вместо формулы (52) для определения оригинала функции по её изображению можно воспользоваться следующей формулой обращения

(41.а)

Эта формула даёт возможность получить оригинал функции лишь при помощи операция дифференцирования и перехода к пределу.

Если изображение представляет собой функцию

(42)

которая является частичным случаем двух целых трансцендентных функций, то по теореме разложения имеем

(43)

где - простые корни функции
; при этом знаменатель не содержит свободных членов и

2. Если изображение
представляет собой отношение двух номиналов (дробно-рациональная функция), причём степень номинала
меньше степени номинала
, и номинал
имеет корни кратностиKв точках, то

где сумма берётся по всем корням
. Если все корни простые, т.е. все К равны единице, то формула (5) переходит в (43)

Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, трудности возникают при решении задач, где условия заданы в виде функции пространственных координат, или решении многомерных задач.

В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела.

Если преобразование берётся по пространственной координате х, то интегральное преобразование функции
может быть представлено так:

(44)

Если ядро преобразования K(p,x) берётся в виде
или
, то это интегральное преобразование называется соответственно синус- или косинус- преобразованием Фурье.

Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя
, то оно называется преобразованием Ханкеля.

Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяжённости, синус- преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение формулами, т.е. при ГУ!, а косинус – преобразование Фурье, когда решается диф. уравнения переноса при ГУ2. Преобразования Ханкеля применимы в том случае, когда тело имеет осевую симметрично. Практическое применение названных интегральных преобразований при наличии подробных таблиц изображения не вызывают особых затруднений.

Переход от изображений к оригиналам можно осуществить по формулам обращения для:

Комплексное преобразование Фурье

(45)

Синус-преобразование Фурье

(46)

Косинус-преобразование Фурье

(47)

Преобразование Ханкеля

(48)

Рассмотренные интегральные преобразования применимы для тел полуограниченной протяженности.

Конечные интегральные преобразования

Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля, и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Они более предпочтительны даже для задач, решаемых классическими методами.

Идея метода конечных интегральных преобразований предложена Н.С. Коммековым

(49)

Дальнейшая проработка вопросов метода конечных интегральных преобразований нашла отражение в трудах Гриабарга Г.А., Следдона, Трантера, Дёга (Дейг) и др.

Если граница интегрирования заключается между 0 и е, ядро конечных синус - и косинус - преобразований Фурье, а также преобразования Ханкеля соответственно имеют вид:

(50)

(51)

При ГУ1 и ГУ2
, а при ГУ3является корнями уравнения

(52)

Преобразования неопределенных интегралов Подобно тому, как в алгебре даются правила, позволяющие преобразовывать алгебраические выражения с целью их упрощения, так и для неопределенного интеграла существуют правила, позволяющие производить его преобразования. I. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого члена в отдельности, т. е. S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" постоянный множитель можно " вынести="" за="" знак="" интеграла, е.="" (с-постоянная величина формула интегрирования по частям, а именно: Докажем формулу (III). Возьмем дифференциал от правой части равенства (III) Применяя формулу 4 из таблицы § 2 гл. IX, получим x. Член преобразуем по формуле 5 той же таблицы: а член d J /" (д:) ф (л;) dx по формуле (Б) § 1 этой главы равен d\f (*)ф = =/ (х) ф" (л:) dx + ф (х) /" (х) dx -/" (х) ф (*) dx = =f(x)y"(x)dx, т. е. мы получили то, что получается при дифференцировании левой части равенства (III). Аналогично проверяются формулы (I) и (II). Пример 1. ^ (лг* - Применяя правило инте- грирования I и формулы 1 и 5 из таблицы интегралов, получаем J (х1-- sin л:) dx= ^ хг dx-^ sin xdx = х* х9 = (-cosх) + С= y + cos х + С. Пример 2. I ^ dx. Применяя правило II и формулу J COS X 6 из таблицы интегралов, получаем J cos2* J COS2* to 1 Пример 3. ^ Inx dx. В таблице ицтегралов, приведенных в § 1, такого интеграла нет. Вычислим его, интегрируя по частям; для этого перепишем данный интеграл следующим образом: J In xdx= ^ In л: 1 dx. Положив /(х) = In л: и <р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

Преобразование, которым функции вещественных переменных сопоставляется функция

Вещественных переменных, и переменной 7, вообще говоря комплексной, называют интегральным преобразованием по переменной Переменную называют переменной преобразования. Ради большей наглядности ниже переменную преобразования будем обозначать символом Интегральное преобразование (1) определяется пределами преобразования , ядром и весовой функцией Пределы могут быть и бесконечными; свойства функций будут установлены ниже. Функцию называют интегральным преобразованием, а также интегральной трансформацией, изображением или образом функции Ниже будет применяться преимущественно первый из этих равнозначащих терминов. Функцию часто называют оригиналом или прообразом функции

Возможны интегральные преобразования сразу по нескольким или по всем переменным. Обобщение на этот случай данного выше

определения очевидно. Ниже будут рассматриваться преобразования только по одной переменной. Последовательное применение таких преобразований, однако, эквивалентно некоторому преобразованию по нескольким переменным.

Преобразованные функции будем обозначать теми же символами, что и до преобразования, но с каким-либо значком над символом: чертой, волнистой чертой и По какой переменной осуществлено преобразование, будет ясно из того, от каких аргументов зависит преобразованная функция. Например, интегральное преобразование функции по переменной Аргументы в тех случаях, когда это не может повести к недоразумениям, явно выписывать не будем.

Преобразование, которым функция снова преобразуется в функцию называют обратным интегральному преобразованию (1) или просто обратным преобразованием. При этом само преобразование (1) называют прямым.

Интегральное преобразование определено, когда интеграл в правой части (1) существует. Для практического применения интегральных преобразований, однако, важно, чтобы существовали также обратные преобразования, которые, совместно с (1), устанавливали бы взаимно однозначное соответствие между двумя классами функций: исходным классом функций и классом функций являющихся их интегральными преобразованиями. При этом условии можно установить соответствие также между операциями на обоих классах функций и решение задачи, заданной для функций одного класса, привести к задаче для функций другого класса, которая может быть проще. Решив эту последнюю, с помощью обратного преобразования находят решение первоначальной задачи. Хорошо известным читателю примером является операционное исчисление, основанное на использовании интегрального преобразования Лапласа. Здесь дифференцированию функций исходного класса функций соответствует умножение на независимую переменную функций, являющихся преобразованиями Лапласа. Благодаря этому задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами приводятся к алгебраическим задачам для преобразованных функций.

Аналогична идея применения интегральных преобразований и в задачах для уравнений с частными производными: стремятся выбрать интегральное преобразование, которое позволило бы дифференциальные операции по одной из переменных заменить алгебраическими операциями. Когда это удается, преобразованная задача обычно проще исходной. Найдя решение преобразованной задачи, с помощью обратного преобразования находят и решение исходной. Основным отличием от операционного исчисления в применении интегральных преобразований к уравнениям с

частными производными является использование более широкого набора интегральных преобразований, что важно, когда коэффициенты уравнений переменны.