Как находить моду ряда. Среднее арифметическое

Решение задач по теме: «Статистические характеристики. Среднее арифметическое, размах, мода и медиана

Алгебра-

7 класс

Исторические сведения

Среднее арифметическое, размах и мода находят применение в статистике – науке, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.
Слово «статистика» происходит от латинского слова status, которое означает «состояние, положение вещей». Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление
разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т. п.
Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

Среднее арифметическое – частное от деления суммы всех чисел на количество слагаемых

Размах – разность между наибольшим и наименьшим числом этого ряда
Мода – это число, которое встречается в наборе чисел чаще всего
Медиана – упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Среднее арифметическое ,

размах и мода
находят применение в статистике – науке,
которая занимается получением,

обработкой и анализом

количественных данных о разнообразных

массовых явлениях, происходящих

в природе и

Обществе.

Задача № 1

Ряд чисел:
18 ; 13; 20; 40; 35.
Найдите средне арифметическое этого ряда:

Решение:
(18+13+20+40+35):5=25,5
Ответ: 25,5 –среднее арифметическое

Задача № 2

Ряд чисел:
35;16;28;5;79;54.

Найдите размах ряда:

Решение:

Самое большое число 79,
Самое маленькое число 5.
Размах ряда: 79 – 5 = 74.
Ответ: 74

Задача № 3

Ряд чисел:
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

Найдите размах ряда:

Решение:
Наибольший расход времени - 37 мин,
а наименьший – 18 мин.
Найдём размах ряда:
37 – 18 = 19 (мин)

Задача № 4

Ряд чисел:
65; 12; 48; 36; 7; 12
Найдите моду ряда:

Решение:

Мода данного ряда: 12.
Ответ: 12

Задача № 5

Ряд чисел может иметь более одной моды,
а может не иметь.

У ряда: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
две моды - 47 и 52.

У ряда: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 – моды нет.

Задача № 5

Ряд чисел:
28; 17; 51; 13; 39
Найдите медиану этого ряда:

Решение:

Сначала поставить числа в порядке возрастания:
13; 17; 28; 39; 51.
Медиана – 28.
Ответ: 28

Задача № 6

В организации вели ежедневный учет поступивших в течение месяца писем.

В результате получили такой ряд данных:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Для полученного ряда данных найдите среднее арифметическое,

Каков практический смысл этих показаний?

Задача № 7

Записана стоимость (в рублях) пачки сливочного масла «Неженка» в магазинах микрорайона: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

Решение.

Упорядочим данный набор чисел по возрастанию:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Так как число элементов ряда нечётное, то медиана – это

значение, занимающее середину числового ряда, то есть M = 31.

Вычислим среднее арифметическое этого набора чисел - m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

М – m = 31 – 30 = 1

Творческих

Дата проведения __________

Тема урока: Среднее арифметическое, размах и мода.

Цели урока: повторить понятия таких статистических характеристик, как среднее арифметическое, размах и мода, формировать умение находить средние статистические характеристики различных рядов; развить логическое мышление, память и внимание; воспитать в детях исполнительность, дисциплинированность, усидчивость, аккуратность; развить в детях интерес к математике.

Ход урока

Организация класса

Повторение ( Уравнение и его корни)

Дайте определение уравнения с одной переменной.

Что называют корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение:

6х + 5 =23 -3х 2(х - 5) + 3х =11 -2х 3х - (х - 5) =14 -2х

Актуализация знаний повторить понятия таких статистических характеристик, как среднее арифметическое, размах, мода и медиана.

Статистика - это наука, занимающаяся сбором, обработкой, анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.

Среднее арифметическое - это сумма всех чисел разделенная на их количество. (Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда.)

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Слово статистика переводится с латинского языка status- состояние, положение вещей.

Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода, медиана.

Усвоение нового материала

Задание №1: 12 семиклассников попросили отметить время (в минутах) затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили следующие данные: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Сколько минут в среднем учащиеся потратили на выполнение домашнего задания?

Решение: 1) найдем среднее арифметическое:

2) найдем размах ряда: 37-18=19 (мин)

3) мода 25.

Задание №2: В городе Счастливом ежедневно измеряли в 18 00 температуру воздуха (в градусах Цельсия в течении 10 дней в результате чего была заполнена таблица:

Т ср = 0 С,

Размах = 25-13=12 0 С,

Задание №3: Найти размах чисел 2, 5, 8, 12, 33.

Решение: Наибольшее число здесь 33, наименьшее 2. Значит, размах составляет: 33 – 2 = 31.

Задание №4: Найдите моду ряда распределения:

а) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (мода 23);

б) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (моды: 22 и 26);

в) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (моды нет).

Задание №5 : Найти среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8.

Решение: 1) Чаще всего в этом ряде чисел встречается число 7 (3 раза). Оно и является модой данного ряда чисел.

Решение упражнений

А) Найдите среднее арифметическое, медиану, размах и моду ряда чисел:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

Б) Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел.

В) В ряду чисел 2, 7, 10, __, 18, 19, 27 одно число оказалось стертым. Восстановите его, зная, что среднее арифметическое этого ряда чисел равно 14.

Г) Каждый из 24 участников соревнований по стрельбе произвел по десять выстрелов. Отмечая всякий раз число попаданий в цель, получили следующий ряд данных: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5. Найдите для этого ряда размах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей.

Подведение итогов

Что такое среднее арифметическое? Мода? Медиана? Размах?

Домашнее задание:

№164(задание на повторение), стр36-39 читать

№167(а,б), №177, 179

Наряду со средними величинами в качестве статистических характеристик вариационных рядов распределения рассчитываются структурные средние – мода и медиана .
Мода (Mo) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой, т.е. мода – значение признака, встречающееся чаще всего.
Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. медиана – центральное значение вариационного ряда.
Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины ∑|x i - Me|=min.

Определение моды и медианы по несгруппированным данным

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным . Предположим, рабочие бригады, состоящей из 9 человек, имеют следующие тарифные разряды: 4 3 4 5 3 3 6 2 6 . Так как в данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда, этот тарифный разряд будет модальным. Mo = 3.
Для определения медианы необходимо провести ранжирование: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Центральным в этом ряду является рабочий 4-го разряда, следовательно, данный разряд и будет медианным. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.
Если мода отражает наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчиняющейся нормальному закону распределения совокупности. Проиллюстрируем ее познавательное значение следующим примером.
Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 200 долларов в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50000 долларов (табл. 1).
Таблица 1 - Месячные доходы исследуемой группы людей. Если воспользоваться средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 600 – 700 долларов, который имеет мало общего с доходами основной части группы. Медиана же, равная в данном случае Me = 163 доллара, позволит дать объективную характеристику уровня доходов 99 % данной группы людей.
Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).
Предположим, распределение рабочих всего предприятия в целом по тарифному разряду имеет следующий вид (табл. 2).
Таблица 2 - Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду

Расчет моды и медианы для дискретного ряда

Расчет моды и медианы для интервального ряд

Расчет моды и медианы для вариационного ряда

Определение моды по дискретному вариационному ряду

Используется построенный ранее ряд значений признака, отсортированных по величине. Если объем выборки нечетный, берем центральное значение; если объем выборки четный, берем среднее арифметическое двух центральных значений.
Определение моды по дискретному вариационному ряду : наибольшую частоту (60 человек) имеет 5-й тарифный разряд, следовательно, он и является модальным. Mo = 5.
Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда (N Me): , где n - объем совокупности.
В нашем случае:

.
Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 рабочими. Необходимо определить, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Рабочих с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 человек, нет их и во второй группе (12+48=60). 95-й и 96-й рабочие находятся в третьей группе (12+48+56=116), следовательно, медианным является 4-й тарифный разряд.

Расчет моды и медианы в интервальном ряду

В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:

, (5.6)
где x 0 – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);
i – величина модального интервала;
f Mo – частота модального интервала;
f Mo -1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f Mo +1 – частота интервала, следующего за модальным.

(5.7)
где x 0 – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
i – величина медианного интервала;
S Me -1 – накопленная интервала, предшествующего медианному;
f Me – частота медианного интервала.
Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные табл. 3.
Интервал с границами 60 – 80 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет наибольшую частоту. Использую формулу (5.6), определим моду:

Для установления медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит половины суммы накопленных частот (в нашем случае 50 %) (табл. 5.11).
Установили, что медианным является интервал с границами 100 – 120 тыс. руб. Определим теперь медиану:

Таблица 3 - Распределение населения РФ по уровню среднедушевых номинальных денежных доходов в марте 1994г.

Группы по уровню среднедушевого месячного дохода, тыс. руб.	Удельный вес населения, %
До 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Свыше 300	7,7
Итого	100,0

Таблица 4 - Определение медианного интервала
Таким образом, в качестве обобщенной характеристики значений определенного признака у единиц ранжированной совокупности могут быть использованы средняя арифметическая, мода и медиана.
Основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая, для которой характерно то, что все отклонения от нее (положительные и отрицательные) в сумме равняются нулю. Для медианы характерно, что сумма отклонений от нее по модулю является минимальной, а мода представляет собой значение признака, которое наиболее часто встречается.
Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. В симметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождение между модой и средней арифметической, тем более асимметричен ряд. Для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней арифметической примерно в три раза превышает разность между медианой и средней, т.е.:
|Mo –`x| = 3 |Me –`x|.

Определение моды и медианы графическим методом

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически . Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Из точки их пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Графическое определение моды по гистограмме.

Рис. 5.4. Графическое определение медианы по кумуляте
Для определения медианы из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей 50 %, проводится прямая, параллельная оси абсцисс до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Квартили, децили, перцентили

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на 10 или на 100 частей. Эти величины называются «квартили», «децили», «перцентили».
Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на 4 равновеликие части.
Различают квартиль нижний (Q 1), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q 3), осекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25 % единиц совокупности будут меньше по величине Q 1 ; 25 % единиц будут заключены между Q 1 и Q 2 ; 25 % - между Q 2 и Q 3 , а остальные 25 % превосходят Q 3 . Средним квартилем Q 2 является медиана.
Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

,
где x Q 1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);
x Q 3 – нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);
i – величина интервала;
S Q 1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;
S Q 3-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;
f Q 1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль;
f Q 3 – частота интервала, содержащего верхний квартиль.
Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным табл. 5.10. Нижний квартиль находится в интервале 60 – 80, накопленная частота которого равна 33,5 %. Верхний квартиль лежит в интервале 160 – 180 с накопленной частотой 75,8 %. С учетом этого получим:
,
.
Кроме квартилей в вариационных радах распределения могут определяться децили – варианты, делящие ранжированный вариационный ряд на десять равных частей. Первый дециль (d 1) делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10, второй дециль (d 1) – в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д.
Вычисляются они по формулам:

.
Значения признака, делящие ряд на сто частей, называются перцентилями. Соотношения медианы, квартилей, децилей и перцентилей представлены на рис. 5.5.

Слепнев Павел

В курсе алгебры 7 класса в учебнике под редакцией Теляковского предлагается материал из статистики "Среднее арифметическое, размах и мода". Учащийся в своей работе предлагает примеры для рассмотрения этой темы, которые предложили его одноклассники.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МУ Отдел образования МО «Тарбагатайский район»

МБОУ «Заводская ООШ»

«Среднее арифметическое, размах и мода»

Выполнил: Слепнев Павел, ученик 7 класса

Научный руководитель:

Улаханова Марина Родионовна,

учитель математики

2012 год

Введение Стр. 3

Основная часть Стр.4-9

Теория вопроса Стр.4-6

Мини-проекты Стр.7-9

Заключение Стр.9

Список литературы Стр.10

Введение

Актуальность

В этом учебном году мы начали изучать два предмета: алгебру и геометрию. При изучении алгебры что-то мне знакомо из курса 5,6 классов, что-то мы изучаем более основательно и углубленно, многое узнаем нового. Вот новое для меня при изучении алгебры – это знакомство с некоторыми статистическими характеристиками: размах и мода. Со средним арифметическим мы встречались уже ранее. Еще интересным оказалось, что эти характеристики применяются не только на уроках математики, но и в жизни, на практике (в производстве, в сельском хозяйстве, в спорте и т.д.).

Постановка проблемы

Когда мы в классе на уроке решали задачи к этому пункту, то возникла идея составить самим задачи и подготовить к ним презентации, то есть как бы начать создавать свой задачник. Каждый придумывает задачу, делает к ней презентацию, как бы каждый работает над своим мини-проектом, а на уроке все вместе решаем, обсуждаем. Если допущены ошибки, то их исправляем. А в конце провести публичную защиту этих мини-проектов.

Цель моей работы: изучение статистики.

Задачи: начать разработку задачника по статистике в виде компьютерных презентаций.

Предмет исследования: статистика.

Объект исследования: статистические характеристики (среднее арифметическое, размах, мода).

Методы исследования:

Изучение литературы по данной теме.
Анализ данных.
Использование Интернет-ресурсов.
Использование программы Power Point.
Обобщение собранных материалов по данной теме.

Основная часть.

Теория вопроса

В ходе изучения раздела «Статистические характеристики» мы познакомились с такими понятиями: среднее арифметическое, размах, мода. Эти характеристики находят применение в статистике. Эта наука изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т.п.

“Статистика знает всё”, – утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе “Двенадцать стульев” и продолжали: “Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок… Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..” Это ироническое описание дает довольно точное представление о статистике (от лат. status – состояние) – науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни.

Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления.

Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий.

Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный).

А еще есть статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая.

В школьном курсе алгебры мы рассматриваем понятия и методы описательной статистики, которая занимается первичной обработкой информации и вычислением наиболее показательных числовых характеристик. По словам английского статистика Р. Фишера: “Статистика может быть охарактеризована как наука о сокращении и анализе материала, полученного в наблюдениях”. Всю совокупность числовых данных, полученных в выборке можно (условно) заменить несколькими числовыми параметрами, некоторые из них мы уже рассматривали на уроках – это среднее арифметическое, размах, мода. Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов, поэтому важно уметь определять эти статистические характеристики.

Статистические характеристики в наше время встречаются везде. Например, перепись населения. Благодаря этой переписи, государство узнает сколько нужно денег на строительство жилья, школ, больниц, сколько людей нуждаются в жилье, сколько детей в семье, количество безработных, уровень зарплаты и т.д. Результаты этой переписи сравнят с прошлой, посмотрят поднялась ли страна за это время или положение стало хуже, можно будет сравнить данные с результатами в других странах. В промышленности большое значение имеет мода. Например, товар, который имеет большой спрос - будут всегда продавать, а фабрики будут иметь большие деньги. И таких примеров множество.

Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов.

Определение 1. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Пример: При изучении учебной нагрузки выделили группу из 12 учащихся 7 класса. Просили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре. Для этого надо сложить указанные 12 чисел и полученную сумму разделить

на 12: ==27.

Число 27, полученное в результате, называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел.

Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел но иногда полезно рассматривать и другие средние.

Определение 2. Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Пример: При анализе сведений о времени, затраченном учащимися на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут заинтересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Например, интересно знать, какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, т.е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что в нашем примере это число 25. говорят, что число 25 – мода рассматриваемого ряда.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52 две моды – это числа 47 и 52, так как каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа – менее трех раз.

В ряду чисел 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72 моды нет.

Моду ряда данных обычно находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Мода-показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода - наиболее часто встречающийся заказ.

Однако нахождение среднего арифметического или моды далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных. если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе, помимо средних значений, надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах.

Определение 3. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Пример: В рассмотренном выше примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 минут. Однако анализ проведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от 27 минут, т.е. от среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 минут, а наименьший – 18 минут. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет 19 минут. Вот в этом случае рассматривается еще одна статистическая характеристика – размах. Размах ряда находят, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

Мини-проекты

А теперь хочу представить результаты нашей работы: мини-проекты для создания задачника по статистике.

Я работаю в салоне-магазине «Супер-авто» главным менеджером отдела продаж. Наш салон предоставлял автомобили для участия в игре «полный привод». В прошлом году на выставке-продаже наши машины имели успех! Результаты продаж следующие:

Продано машин в первый день	Продано машин во второй день	Продано машин в третий день	Продано машин в четвертый день	Продано машин в пятый день

Отделу продаж необходимо подвести итоги выставки:

Сколько в среднем продавалось машин в день?
Каков разброс количества машин за период выставки-продажи?
Сколько чаще всего продавалось машин в день?

Ответ: в среднем было продано по 150 машин в день, разброс количества проданных машин составил – 150, в день чаще всего продавалось 100 машин.

Я, Анастасия Волочкова, была приглашена в жюри на финал конкурса «Лёд и пламя». Конкурс проходил в городе Санкт –Петербурге. В финал вышли три пары самых сильных фигуристов: 1пара. Батуева Алина и Хлебодаров Кирилл, 2 пара. Селянская Юлия и Кушнарев Павел, 3пара. Заиграева Анастасия и Афанасьев Дмитрий. Жюри: Анастасия Волочкова, Елена Малышева, Алексей Далматов. Жюри выставили следующие оценки:

Найдите среднее арифметическое, размах моду в рядах оценок каждой пары.

Ответ:

Итоги	Среднее арифметическое	Размах	Мода
1 пара	5.43
2 пара	5.27
3 пара	5.23		нет

В этом году я побывала в г. Санкт-Петербург на соревнованиях по бальным танцам. В конкурсе принимали участие три красивые пары: Сушенцова Елена и Хлебодаров Кирилл, Батуева Алина и Слепнев Павел, Джаниашвили Виктория и Ткачев Валерий.

За выступления пары получили следующие оценки:

Найти среднюю оценку, размах и моду.

Ответ:

Пары	Среднее арифметическое	Размах	Мода
№1	4,42
№2	4,37
№3	4,37

Я директор магазина модной одежды и аксессуаров «Fashion». Магазин приносит хорошую прибыль. Показатели продаж за прошлый год:

915т.р.

1млн 150т.р.

1 млн.

980т.р.

2 млн.

3т.р.

2 млн.

950т.р.

3 млн.

950т.р.

3 млн.

100т.р.

2 млн.

950т.р.

3 млн.

750т.р.

2млн.

950т.р.

4 млн.

250т.р.

Первые 2-3 месяца прибыль доходила до 2 миллионов за месяц. Уже после прибыль возрастала до 4 миллионов. Самыми удачными месяцами были: декабрь и май. В мае в основном покупали платья для выпускных баллов, а в декабре для новогоднего торжества.

Вопрос моему главному бухгалтеру: каковы результаты нашей работы за год?

Ответ:

Среднее арифметическое	2 745 000 руб
Размах	4 158 500 руб
Мода	2 950 000 руб

Мы организовали тюнинг-мастерскую «Turbo». За первую неделю нашей работы мы заработали: в первый день – 120 000 $, во второй день – 350 000 $, в третий день – 99 000$, в четвертый день – 120 00$. Подсчитайте каков наш средний доход в день, коков разрыв между наибольшим и наименьшим заработком и какая сумма чаще повторяется?

Ответ: среднее арифметическое – 172 250 $, размах – 251 000 $, мода – 120 000 $.

Заключение

В заключении я хочу сказать, что мне нравится эта тема. Статистические характеристики очень удобны, их можно применять везде. В общем, они сравнивают, стремятся к прогрессу и помогают узнать мнение народа. В ходе работы над этой темой я познакомился с наукой статистикой, узнал некоторые понятия (среднее арифметическое, размах и мода), где эта наука может быть применима, расширил свои познания и в информатике. Я, думаю, что наши задачки как примеры для освоения этих понятий пригодятся и другим! Будем продолжать знакомство в этой наукой и создавать свои задачки!

Вот и закончилось мое путешествие в мир математики, информатики и статистики. Но я, думаю, что не последнее. Я еще многое хочу познать! Как сказал Галилео Галилей: «Природа формулирует свои законы языком математики». И я хочу овладеть этим языком!

Список литературы

Бунимович Е.А., Булычев В.А. « Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы», М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2005
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра, 7 класс», М: «Просвещение», 2009
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. « Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей», 7 – 9 классы. – М.: Просвещение, 2005.

Рецензия

Предметом исследования учащегося является статистика.

Объектом исследования – статистические характеристики (среднее арифметическое, размах, мода).

Ученик для ознакомления с теорией вопроса изучил научные источники, Интернет-ресурсы.

Выбранная тема актуальна для учащегося, проявляющего интерес к математике, информатике, статистике. Для его возраста проанализирован достаточный материал, произведен отбор данных, обобщен. Учащийся достаточно владеет ИКТ.

Работа оформлена в соответствии с требованиями.

В конце исследования сделан вывод, представлен практический продукт: презентации задач по статистике. Радует, что человек так увлечен математикой.

Научный руководитель: Улаханова МР,

учитель математики

Основные понятия

Для экспериментальных данных, полученных по выборке, можно вычислить ряд числовых характеристик (мер).

Мода - числовое значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Мода обозначается иногда как Мо.

Например, в ряду значении (2 6 6 8 9 9 9 10) модой является 9, потому что 9 встречается чаше любого другого числа.

Мода представляет собой наиболее часто встречающееся значение (в данном примере это 9) а не частоту встречаемости этого значения (в данном примере равную 3).

Моду находят согласно правилам

1. В случае, когда все значения в выборке встречаются одинаково часто, принято считать, что этот выборочный ряд не имеет моды.

Например, 556677 - в этой выборке моды нет.

2. Когда два соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значении.

Например, в выборке 1 2 2 2 5 5 5 6 частоты рядом расположенных значении 2 и 5 совпадают и равняются 3. Эта частота больше чем частота других значении 1 и 6 (у которых она равна 1).

Следовательно, модой этого ряда будет величина .

3) Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные частоты которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды. Например, в ряду 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 модами являются значения 11 и 14. В таком случае говорят, что выборка является бимодальной.

Могут существовать и так называемые мультимодальные распределения, имеющие более двух вершин (мод)

4)Если мода оценивается по множеству сгруппированных данных, то для нахождения моды необходимо определить группу с наибольшей частотой признака. Эта группа называется модальной группой .

Медиана - обозначается Ме и определяется как величина по отношению к которой по крайней мере 50% выборочных значении меньше нее и по крайней мере 50% - больше.

Медиана - это значение которое делит упорядоченное множество данных пополам.

Задача 1. Найдем медиану выборки 9 3 5 8 4 11 13

Решение Сначала упорядочим выборку по величинам входящих в нее значении. Получим, 3 4 5 8 9 11 13. Поскольку в выборке семь элементов, четвертый по порядку элемент будет иметь значение большее чем первые три и меньшее чем последние три. Таким образом, медианой будет четвертый элемент - 8

Задача 2. Найдем медиану выборки 20, 9, 13, 1, 4, 11.

Упорядочим выборку 1, 4, 9, 11, 13, 20 Поскольку здесь имеется четное число элементов, то существует две «середины» - 9 и 13 В этом случае медиана определяется как среднее арифметическое этих значений

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое ряда из n числовых значений подсчитывается как

Чтобы показать обманчивость этого показателя, приведём известный пример: в одном купе вагона поместилась бабушка 60 лет с четырьмя внуками: один – 4 года, двое – по 5 лет и один – 6 лет. Среднее арифметическое возраста всех пассажиров этого купе 80/5 = 16. В другом купе расположилась компания молодежи: двое – 15-ти летних, один – 16-летний и двое – 17-летних. Средний возраст пассажиров этого купе так же равен 80/5 = 16. Таким образом, по средним арифметическим пассажиры этих купе не отличаются. Но если обратиться к показателю стандартного отклонения, то окажется, что средний разброс относительно среднего возраста в первом случае окажется 24,6, а во втором случае 1.

Кроме того, среднее оказывается достаточно чувствительным к очень маленьким или очень большим величинам, отличающимся от основных значений измеренных характеристик. Пусть 9 человек имеют доход от 4500 до 5200 тыс долларов в месяц. Величина их среднего дохода равняется 4900 долларов Если же к этой группе добавить человека имеющего доход в 20000 тыс долларов в месяц, то средняя всей группы сместится и окажется равной 6410 долларов, хотя никто из всей выборки (кроме одного человека) реально не получает такой суммы.

Понятно что аналогичное смещение, но в противоположную сторону можно получить и в том случае, если добавить в эту группу человека с очень маленьким годовым доходом.

Разброс выборки

Разброс (размахом ) выборки – разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда. Обозначается буквой R.

Размах = максимальное значение - минимальное значение

Понятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.

Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов будет различный Например, даны две выборки

Дисперсия

Дисперсия представляет собой наиболее часто использующуюся меру рассеяния случайной величины (переменной).

Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений значений переменной от ее среднего значения