Как найти мат ожидание через функцию распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическое ожидание

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x) Задана функция распределения F(x)

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:

Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле

Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:

Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }