Как найти пересечение плоскостей. Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Стерлитамакский филиал

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Методические указания к решению домашнего задания № 3

для студентов специальности 240801, 240401, 280201

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей при изучении темы "Взаимное пересечение поверхностей" и выполнении домашнего графического задания по этой теме.

Перед работой с методическими указаниями студент обязан изучить материал по рекомендуемой литературе.

1.1 Целью задания является изучение способов построения линии пересечения поверхностей.

а) построить проекции линий пересечения заданных поверхностей способом плоскостей-посредников (формат A3);

б) построить проекции линий пересечения поверхностей способом сферических посредников (формат A3);

в) отметить характерные точки линий пересечения.

Варианты индивидуальных заданий приведены в приложении.

2 МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

2.1. Произвести разметку (компоновку) формата, предусматривая рациональное использование поля чертежа.

2.2. Вычертить в тонких линиях карандашом исходные данные задачи, вспомогательные линии построения, найденную линию пересечения поверхностей.

2.3. Заполнить основную надпись (содержание и размеры приведены на рис.1)

Рис. I. Основная надпись

2.4. Работа, выполненная в тонких линиях, должка быть представлена на проверку преподавателю.

2.5. После проверки произвести обводку чертежа, исходя из следующих требований:

2.5.1 Данные элементы выполняются черным цветом карандашом, тушью или пастой сплошной основной линией (S @ 1 мм).

2.5.2 Линии проекционной связи и оси проекций выполняются черным цветом сплошной тонкой линией карандашом, тушью или пастой (S @ 0,5 мм).

2.5.3 Линии вспомогательных построений, выполняются зеленым или синим цветом сплошной тонкой линией (S @ 0,5 мм) также карандашом, тушью или пастой.

2.5.4 Искомые элементы выполняются сплошной основной линией красного цвета (карандаш, тушь, паста, фломастер, S @ 1 мм), S - толщина линии.

2.6. Представить работу для защиты. Защита работы фиксируется подписью преподавателя в графе «Принял» и сопровождается соответствующей оценкой, проставляемой в виде дроби: числитель - оценка за глубину изучения темы, знаменатель - оценка за качество графического исполнения чертежа.

3 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Линия пересечения поверхностей - это кривая, состоящая из точек, принадлежащих обеим поверхностям. Она представляет собой в общем случае пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности, и плоскими кривыми. Обычно линию пересечения строят по ее отдельным точкам.

Общим способом построения этих точек является способ поверхностей - посредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью и определяя линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получим точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников применяют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:

а) способ вспомогательных плоскостей;

б) способ вспомогательных сфер.

Применение того или иного способа построения линии пересечения поверхностей зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения.

4 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

При нахождении точек линии пересечения поверхностей необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения различают точки опорные (характерные) и промежуточные (случайные). В первую очередь определяют опорные точки, т.к. они позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где необходимо изменять положение вспомогательных поверхностей-посредников.

К опорным точкам относят точки, лежащие на очерках поверхностей, высшие и низшие точки, ближайшие к наблюдателю и наиболее удаленные от него, крайние левые и правые.

Способ вспомогательных плоскостей следует применять тогда, когда обе пересекающиеся поверхности, возможно пересечь по графически простым линиям (окружностям или прямым) некоторой совокупностью проецирующих плоскостей (или, в частном случае, совокупностью плоскостей уровня).

На рис. 2 показано построение линии пересечения горизонтально проецирующего цилиндра с конусом вращения. Опорные точки 1 и 2 определены при пересечении главных меридианов обеих поверхностей, находящихся в плоскости симметрии. Случайные точки 3,3 1 4, 4 1 находят с помощью горизонтальных плоскостей уровня S 1 и S 2 , пересекающих обе поверхности по окружности. Фронтальная проекция линии пересечения строится по законам проекционной связи.

На рис. 3 построена линия пересечения конуса вращения со сферой. Опорные точки линии пересечения 1 и 2 определяются сразу, как и в предыдущем случае, при пересечении очерковых образующих (главных меридианов). Случайные точки 5, 5 1 находят с помощью горизонтальной плоскости уровня S 3 . Точки видимости 4и 4 1 определяет плоскость S 1 , пересекающая сферу по экватору. Точки 4 и 4 1 разделяют горизонтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части. Для построения двух крайних левых точек 3 и 3 1 необходимо из точки 0 (0" , 0) пересечения осей конуса и шара опустить перпендикуляр на образующую конуса и через точку К" провести плоскость S 2 . В пересечении соответствующих окружностей получаются точки 3 и 3 1 - крайние левые. Проведя ряд вспомогательных плоскостей, можно получить какое угодно количество случайных точек, уточняющих форму линии пересечения.

Рис. 2. Построение линии пересечения цилиндра и конуса

Рис. 3. Построение линии пересечения конуса и сферы

5 СПОСОБ СФЕРИЧЕСКИХ ПОСРЕДНИКОВ

Сферические посредники нашли широкое применение в решении задач на взаимное пересечение поверхностей. Обуславливается это тем, что:

а) проекции сферы строятся чрезвычайно просто;

б) на сфере может быть взято бесчисленное множество семейств окружностей;

в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью ее симметрии,

В основе метода сферических посредников лежит следующая теорема: "Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их главных меридианов". Пусть заданы две соосные поверхности вращения Ф и ψ рис, 4), их главные меридианы а" и b" Общие точки этих меридианов 2. и 1 образуют при вращении окружности, которые являются общими для данных поверхностей. Эти окружности проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямых, перпендикулярных к оси вращения, а на горизонтальную плоскость - в натуральную величину. Любое другое поясное сечение, например, плоскостью S, даст две окружности разных диаметров.

В способе сферических посредников в качестве одной из соосных поверхностей берутся сферы, а в качестве второй - любая поверхность вращения, например, конус, цилиндр, шар, эллипсоид и гиперболоид вращения и др.

Рис. 4. Соосные поверхности

В этом случае указанная теорема получает следующую формулировку: "Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересекает данную поверхность по окружности" (рис.5).

Рис. 5. Сфера, соосная поверхностям вращения

Во всех случаях сфера пересекается с поверхностью вращения по окружностям равных или разных диаметров, которые проецируются в прямые линии, перпендикулярные к оси поверхности вращения. Способ сферических посредников имеет две разновидности:

а) способ концентрических сфер, когда сферы-посредники строятся из одного и того же центра;

б) способ эксцентрических сфер, когда посредники строятся из различных центров.

Для решения задач первым способом необходимы следующие условия:

l) обе заданные поверхности должны быть поверхностями вращения;

2) оси обеих поверхностей должны пересекаться между собой и лежать в общей плоскости симметрии.

Для решения задач вторым способом (эксцентрических сфер) условия несколько иные, а именно:

1) одна из пересекающихся поверхностей должна быть поверхностью вращения, а вторая - нести на себе семейство круговых сечений;

2) обе поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, на которую круговые сечения проецируются в виде прямых линий.

На рис.6 показано определение линии пересечения двух поверхностей вращения (конуса и цилиндра) способом концентрических сфер. План решения задачи следующий:

1) принимают точку пересечения осей поверхностей О (О" , О) за центр, проводят вспомогательные сферы-посредники;

2) определяют окружности пересечения сфер-посредников с каждой из заданных поверхностей в отдельности;

3) находят точки пересечения полученных окружностей, эти точки принадлежат искомой линии пересечения" поверхностей.

Начинают построение с определения опорных точек - точек пересечения очерковых образующих 1 и 2. Далее определяют значение радиуса наибольшей и наименьшей сферы-посредника; R макс равен расстоянию от центра О до наиболее удаленней точки пересечения очерковых образующих, Для определения радиуса наименьшей сферы-посредника R мин. из центра О" опускают нормали О"К" и

О" Т" на очерковые образующие обеих поверхностей. Величина большей из нормалей и является радиусом наименьшей сферы-посредника. Эта наименьшая вспомогательная сфера даёт еще одну опорную точку - точку 5, которая является точкой крайнего прогиба, вершиной кривой линии пересечения. Остальные точки строятся с помощью промежуточных сфер, радиус которых берется в пределах R мин

Рис. 7. Построение линии пересечения с помощью эксцентрических сфер

На рис.7 построена линия пересечения конуса, ось которого перпендикулярна горизонтальной плоскости, и четверти тора, ось вращения которого перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Для решения использовался способ эксцентрических сфер-посредников. Решение задачи начинают с определения точек пересечения очерковых образующих обеих поверхностей. Точки 1,2,3.определяются непосредственно с чертежа фронтальной проекции, а точка 4 пересечения оснований поверхностей найдена на горизонтальной проекции. Для построения промежуточных точек линии пересечения рассекают торовую поверхность плоскостями, проходящими через ось тора. В сечении получают окружности. Например, плоскость S 1 пересекает тор по окружности диаметра а" b". Изцентра этой окружности точки К" восстанавливают перпендикуляр до пересечения с осью конуса в точке О" 1 . Принимая эту точку за центр, строят вспомогательную сферу-посредник радиусом О" 1 а" (О" 1 b" ). Эта сфера пересекает тор по известной уже окружности а" b" , а конус - по окружности 8" -9" . Взаимное их пересечение дает точку 5 линии пересечения. Аналогично с помощью плоскостей S 2 и S 3 найдены точки 6 и 7.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нартова Л.Г. Начертательная геометрия: Учеб. - М.: Академия, 2011.

2. Гордон В.О. Начертательная геометрия. – М.: Высш. шк., 2002.

3. Гордон В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. – М.: Высш. шк., 2003.

4. Стрижаков А.В. и др. Начертательная геометрия: Учеб. пос. для вузов. - Ростов н/Д: Феникс, 2004.

ПРИЛОЖЕНИЕ

2. Методика и порядок выполнения задания. . . . . . . . . . . . 1

3. Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4. Способ вспомогательных плоскостей частного положения. . . . . 3

5. Способ сферических посредников. . . . . . . . . . . . . . . . 5

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Рисунок 1.3.25 – Пересечение двух плоскостей общего положения

Пример построения линии пересечения двух плоскостей способом секущих плоскостей посредников представлен на рисунке 1.3.25. Плоскость S определяется пересекающимися прямыми а и b , а плоскость Q – параллельными прямыми с и d .

Для нахождения линии l пересечения плоскостей S и Q проведём две фронтально проецирующие плоскости W (W 2 ) и W¢ (W¢ 2 ), являющиеся посредниками. Плоскость W пересекает данные плоскости S и Q по прямым линиям 1-2 (1 2 -2 2 , 1 1 -2 1 ) и 3-4 (3 2 -4 2 , 3 1 -4 1 ). Точку пересечения этих прямых обозначим через К (К 1 , К 2 ). Точка К принадлежит одновременно трём плоскостям S, Q, W. Следовательно, точка К S и Q. Плоскость W¢ пересекает плоскости S и Q по прямым линиям 5-6 (5 1 -6 1 , 5 2 -6 2 ) и 7-8 (7 1 -8 1 , 7 2 -8 2 ). Точкой пересечения этих линий является точка К¢ . Она, как и точка К принадлежит линии пересечения плоскостей S и Q . Следовательно, прямая l , проходящая через точки К и К¢ , есть искомая прямая пересечения данных плоскостей S и Q .

Рисунок 1.3.26 – Пересечение двух плоскостей общего положения

На рисунке 1.3.26 представлен пример построения линии пересечения двух плоскостей способом пересечения прямой линии с плоскостью. Плоскости заданы треугольниками АВС и EGF . Вспомогательные секущие плоскости S (S 2 ) и S¢ (S 2 ) проведены через стороны EG и ВС треугольников. Плоскость S (S 2 ) пересекает треугольник АВС по прямой 1-2 . Точка К EG и 1-2 . Плоскость S¢ (S¢ 2 ) пересекает треугольник EGF по прямой 3-4 . Точка К¢ является результатом пересечения прямых ВС и 3-4 . Точки К и К¢ ограничивают отрезок искомой линии пересечения, находящийся в пределах обоих треугольников.

Относительная видимость треугольников определена на фронтальной проекции с помощью конкурирующих точек 2 и 4 , из которых точка 4 стороны EG закрывает собой точку 2 стороны ВС . Видимость на горизонтальной плоскости проекций определена с помощью конкурирующих точек 5 и 6 , из которых точка 6 стороны EG закрывает собой точку 5 стороны АС .

Кривые линии

Кривую линию можно рассматривать как след движущейся точки. Эта точка может быть отдельной точкой или точкой, принадлежащей движущейся в пространстве линии или поверхности.

Кривые линии могут быть образованы пересечением кривой поверхности плоскостью (в общем случае), взаимным пересечением двух поверхностей, из которых хотя бы одна является кривой.

Законом образования кривой линии называется совокупность условий, определяющих эту линию. Точка, линия, поверхность перемещаются в пространстве, подчиняясь разным условиям. Плоскость может пересекать разнообразные кривые поверхности по самым различным направлениям. Взаимно пересекаться могут самые разнообразные поверхности при различном положении их относительно друг друга. Отсюда следует, что образование кривой линии может подчиняться бесчисленному множеству условий и может быть образовано бесчисленное множество кривых линий. Кроме того, одна и та же кривая линия может быть образована различными способами.

Например, эллипс может быть образован движением точки в плоскости, при котором в каждый данный момент сумма расстояний от этой точки до двух других неподвижных точек – фокусов эллипса – постоянна и равна большой оси эллипса. Но эллипс может быть образован и пересечением кругового цилиндра с плоскостью, расположенной произвольно по отношению к его оси или полным пересечением поверхностей двух круговых цилиндров одинакового диаметра.

Все кривые линии по положению их точек в пространстве делятся на два вида: плоские кривые – кривые, все точки которых лежат в одной плоскости (например, окружность, эллипс, парабола и т.д.) и пространственные кривые – кривые, точки которых не лежат в одной плоскости, например, винтовая линия

По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников .

2.2. Пример выполнения задания № 2

Второе задание представляет комплекс задач по темам:

1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость : по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, F построить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF ;

2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки : построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.

Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).

Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:

1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC ; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;

2. Построить фронтальную проекцию 1 2 2 2 линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC ;

3. Найти фронтальную проекцию М 2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1 2 2 2 с фронтальной проекцией E 2 F 2 прямой EF ;

4. Найти горизонтальную проекцию М 1 точки М с помощью линии проекционной связи;

5. Аналогично построить вторую точку N , принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС ; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF ; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N ;

6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.

Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками

Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2

Видеопример выполнения задания №2

2.3. Варианты задания 2

Таблица 2– Значения координат точек

Вариант	Координаты (x, y, z) вершин треугольников
	А	В	С	D	E	F
1	20; 65; 30	40; 15; 65	80; 30; 35	15; 35; 70	70; 75; 80	35; 0; 0
2	75; 75; 5	60; 20; 60	20; 10; 40	30; 55; 50	90; 50; 35	60; 5; 10
3	0; 30; 75	30; 65; 15	80; 25; 15	45; 65; 75	95; 40; 0	10; 0; 10
4	90; 5; 70	65; 60; 15	15; 15; 20	25; 45; 70	95; 60; 35	65; 10; 0
5	30; 0; 10	70; 15; 15	15; 55; 16	70; 55; 60	5; 30; 60	20; 0; 0
6	20; 25; 0	60; 5; 80	90; 75; 40	0; 60; 60	75; 80; 70	90; 10; 0
7	0; 60; 20	20; 10; 60	85; 10; 20	50; 70; 65	75; 35; 0	10; 0; 5
8	10; 20; 15	55; 70; 5	80; 20; 45	20; 60; 55	100; 35; 20	60; 10; 5
9	0; 50; 10	60; 70; 70	80; 10; 10	20; 10; 70	90; 50; 60	60; 85; 0
10	85; 70; 10	25; 20; 25	90; 10; 60	15; 70; 65	105; 10; 45	70; 0; 0
11	25; 5; 25	60; 60; 5	95; 20; 50	36; 45; 55	105; 45; 60	70; 0; 0
12	95; 30; 65	15; 15; 10	70; 80; 5	35; 70; 70	115; 80; 55	85; 20; 0
13	20; 5; 60	50; 60; 5	90; 15; 30	60; 60; 60	100; 5; 10	25; 10; 0
14	10; 5; 70	80; 20; 25	40; 65; 10	70; 70; 70	0; 35; 60	30; 5; 0
15	20; 45; 55	60; 70; 10	90; 10; 60	20; 0; 10	95; 20; 10	75; 60; 75
16	5; 10; 60	40; 65; 10	70; 5; 40	70; 50; 75	0; 70; 45	15; 0; 5
17	10; 45; 5	90; 5; 10	50; 70; 70	15; 5; 50	95; 15; 65	60; 70; 0
18	65; 20; 70	0; 20; 15	50; 70; 5	15; 60; 55	90; 60; 40	60; 5; 5
19	20; 20; 70	50; 50; 10	70; 10; 30	80; 60; 70	5; 40; 60	25; 0; 10
20	85; 10; 45	70; 50; 0	20; 20; 10	55; 60; 60	0; 0; 60	75; 0; 0
21	0; 70; 60	30; 10; 80	70; 15; 20	60; 50; 70	0; 0; 50	15; 70; 5
22	0; 70; 25	45; 10; 70	90; 30; 20	65; 60; 70	90; 10; 15	15; 0; 15
23	10; 20; 40	50; 60; 10	75; 10; 40	75; 60; 75	5; 70; 55	35; 0; 0
24	10; 10; 10	90; 80; 20	65;10;60	15; 70; 65	100; 70; 40	80; 10; 0
25	60; 65; 10	0; 10; 25	85; 5; 60	20; 65; 60	105; 35; 35	55; 0; 0
26	10; 70; 20	50; 10; 60	90; 25; 10	70; 65; 45	5; 35; 55	25; 0; 50
27	10; 5; 70	40; 70; 10	90; 5; 40	100; 55; 25	25; 65; 80	50; 0; 0
28	0; 50; 5	25; 0; 60	85; 10; 15	50; 50; 50	90; 0; 55	20; 0; 0
29	10; 70; 10	40; 10; 50	80; 20; 20	80; 55; 55	10; 50; 70	20; 0; 0
30	75; 70; 20	10; 35; 10	60; 20; 60	20; 70; 70	100; 60; 50	75; 5; 0

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L 1 и L 2 , принадлежащих линии пересечения.

Решение

1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ 1 . Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1""C"" и 2""3"", совпадают с фронтальным следом пл. γ 1 . Он обозначен на рисунке как f 0 γ 1 и расположен параллельно оси x.
2. Определяем горизонтальные проекции 1"C" и 2"3" по линиям связи.
3. Находим горизонтальную проекцию точки L 1 на пересечении прямых 1"C" и 2"3". Фронтальная проекция точки L 1 лежит на фронтальном следе плоскости γ.
4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ 2 . С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L 2 .
5. Через L 1 и L 2 проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П 1 и П 2 .

Алгоритм построения

1. Находим точку L" 1 , расположенную на пересечении горизонтальных следов h 0 α и h 0 β . Точка L"" 1 лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L" 1 .
2. Находим точку L"" 2 на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L" 2 лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L"" 2 .
3. Проводим прямые l" и l"" через соответствующие проекции точек L 1 и L 2 , как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Алгоритм построения

1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f 0σ . Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3""=A""B""∩f 0σ и 5""=A""С""∩f 0σ , определяем положение (∙)3" и (∙)5" по линиям связи на ΔA"B"C".
2. Находим горизонтальную проекцию N"=D"E"∩3"5" точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N"" расположена на фронтальном следе f 0σ на одной линии связи с N".

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f 0τ . С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

3. Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Определение видимости

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π 2 . Так как (∙)5" находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4", то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π 2 . С противоположной стороны от линии N""K"" видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π 1 . Так как (∙)6"" находится выше, чем (∙)7"", то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π 1 . С противоположной стороны от линии N"K" видимость треугольников меняется.

Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

На рисунке 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения K1K2 двух плоскостей Р и Q.

Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей Р и Q (рис. 4.6) введена вспомогательная плоскость S. С плоскостью Р она пересекается по линии 1-2, с плоскостью Q - по линии 3-4. В пересечении линий 1-2 и 3-4 определена первая общая точка К1 двух плоскостей Р и Q - первая точка линии их пересечения.

Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вторую точку линии пересечения.

Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.

В качестве примера на рисунке 4.7 показано построение проекций т"п", тп линии пересечения MN фронтально-проецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника ABC.

На фронтальной проекции в пересечении проекций а"b" и а"с" со следом P v находим фронтальные проекции т" и п" двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции т и п на горизонтальных проекциях ab и ас сторон треугольника. Через точки т и п проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN (т"п") находится над плоскостью Р, т. е. видима, остальная часть - под плоскостью Р, т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией).

Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин ABC и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на

рисунке 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций ab и b с сторон треугольника АВС с проекцией dfe второго треугольника находим горизонтальные проекции т и п точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон а"b" и b "с" строим фронтальные проекции т" и п" точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке S по горизонтальной проекции очевидно, что сторона АС находится перед плоскостью треугольника DEF.

Следовательно, сторона АС и ограничиваемая ею часть треугольника ABC до линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника а"с"п"т"). Видимая часть фронтальной проекции треугольника DEF на чертеже оттенена.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 4.9 приведено построение проекций т"п", тп линии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями а"b", b"с’, ab, bс двух пересекающихся прямых, другая - проекциями d’e’, f"g", de, fg двух параллельных прямых.

В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами Rv и T v .

Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по прямой 1-2, вторую - по прямой 3-4. По фронтальным проекциям 1", 2" и 3", 4" находим с помощью линий связи горизонтальные проекции 1, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях аb, bс, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1-2 и 3-4 линий пересечения. Отмечаем точку т - горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей - двух заданных и вспомогательной R. По ней определяем фронтальную проекцию т" на фронтальном следе R v вспомогательной плоскости.

Вспомогательные плоскости Т и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Т с заданными плоскостями проведены через проекцию ь параллельно проекции 1-2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3-4. В их пересечении найдена горизонтальная проекция п второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе T v вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция п". Через построенные проекции т", п" и т, п проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения MN.