Как называется знак больше и меньше. Основные математические знаки и символы

Балагин Виктор

С открытием математических правил и теорем ученые придумывали новые математические обозначения, знаки. Математические знаки - это условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок. В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, греческого, еврейского) математический язык используют множество специальных символов, изобретенных за последние несколько столетий.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ.

Работу выполнил

Ученик 7-а класса

ГБОУ СОШ № 574

Балагин Виктор

2012-2013 уч.год

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ.

Введение

Слово математика пришло к нам из древнегреческого, где μάθημα означало "учиться", "приобретать знания". И не прав тот, кто говорит: "Мне не нужна математика, я ведь не собираюсь стать математиком". Математика нужна всем. Раскрывая удивительный мир окружающих нас чисел, она учит мыслить яснее и последовательнее, развивает мысль, внимание, воспитывает настойчивость и волю. М.В.Ломоносов говорил: "Математика ум в порядок приводит". Одним словом, математика учит нас учиться приобретать знания.

Математика – это первая наука, которую смог освоить человек. Самой древней деятельностью был счёт. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов с помощью пальцев рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся, до наших времён от каменного века изображает число 35 в виде нарисованных в ряд 35 палочек. Можно сказать, что 1 палочка – это первый математический символ.

Математическая "письменность", которую мы сейчас используем - от обозначений неизвестных буквами x, y, z до знака интеграла - складывалась постепенно. Развитие символики упрощало работу с математическими операциями и способствовало развитию самой математики.

С древнегреческого «символ» (греч. symbolon – признак, примета, пароль, эмблема) – знак, который связан с обозначаемой им предметностью так, что смысл знака и его предмет представлены только самим знаком и раскрываются лишь через его интерпретацию.

2. Знаки сложения, вычитания

История математических обозначений начинается с палеолита. Этим временем датируются камни и кости с насечками, использовавшимися для счета. Наиболее известный пример - кость Ишанго . Знаменитая кость из Ишанго (Конго) датируемая примерно 20 тысяч лет до новой эры, доказывает, что уже в то время человек выполнял достаточно сложные математические операции. Насечки на кости использовались для сложения и наносились группами, символизируя сложения чисел.

В Древнем Египте была уже намного более продвинутая система обозначений. Например, в папирусе Ахмеса в качестве символа сложения используется изображение двух ног, идущих вперед по тексту, а для вычитания - двух ног, идущих назад. Древние греки обозначали сложение записью рядом, но время от времени использовали для этого символ косой черты “/’’ и полуэллиптическую кривую для вычитания.

Символы для арифметических операций сложения (плюс “+’’) и вычитания (минус “-‘’) встречаются настолько часто, что мы почти никогда не задумываемся о том, что они существовали не всегда. Происхождение этих символов неясно. Одна из версий - они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка.

Считается, так же, что наш знак происходит от одной из форм слова “et’’, которое по-латыни значит “и’’. Выражение a + b писалось на латыни так: a et b . Постепенно, из-за частого использования, от знака " et " осталось только " t " , которое, со временем превратилось в " + ". Первым человеком, который, возможно, использовал знак как аббревиатуру для et, был астроном Николь д’Орем (автор книги “The Book of the Sky and the World’’ - “Книги неба и мира’’) в середине четырнадцатого века.

В конце пятнадцатого века французский математик Шике (1484 г.) и итальянский Пачоли (1494 г.) использовали “ ’’ или “ ’’ (обозначая “плюс’’) для сложения и “ ’’ или “ ’’ (обозначая “минус’’) для вычитания.

Обозначения вычитания были более запутанными, так как вместо простого знака “ ” в немецких, швейцарских и голландских книгах иногда использовали символ “÷’’, которым мы сейчас обозначаем деление. В нескольких книгах семнадцатого века (например, у Декарта и Мерсенна) использованы две точки “∙ ∙’’ или три точки “∙ ∙ ∙’’ для обозначения вычитания.

Первое использование современного алгебраического знака “ ” относится к немецкой рукописи по алгебре 1481 г., которая была найдена в библиотеке Дрездена. В латинской рукописи того же времени (также из библиотеки Дрездена), есть оба символа: « » и « - » . Систематическое использование знаков « » и « - » для сложения и вычитания встречается у Иоганна Видмана . Немецкий математик Иоганн Видманн (1462-1498) первым использовал оба знака для пометок присутствия и отсутствия студентов на своих лекциях. Правда, есть сведения, что он "позаимствовал" эти знаки у малоизвестного профессора Лейпцигского университета. В 1489 году он издал в Лейпциге первую печатную книгу (Mercantile Arithmetic - “Коммерческая арифметика’’), в которой присутствовали оба знака и , в труде «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев» (ок. 1490)

Как исторический курьез, стоит отметить, что даже после принятия знака не все использовали этот символ. Видман сам ввел его как греческий крест (знак, который мы используем сегодня), у которого горизонтальная черта иногда немного длиннее вертикальный. Некоторые математики, такие как Рекорд, Харриот и Декарт, использовали такой же знак. Другие (например, Юм, Гюйгенс, и Ферма) использовали латинский крест « † », иногда расположенный горизонтально, с перекладиной на одном конце или на другом. Наконец, некоторые (например, Галлей) использовали более декоративный вид « ».

3.Знак равенства

Знак равенства в математике и других точных науках пишут между двумя идентичными по своему размеру выражениями. Первым употребил знак равенства Диофант. Равенство он обозначил буквой i (от греческого isos – равный). В античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно, например, est egale, или использовали аббревиатуру “ae’’ от латинского aequalis - “равны’’. На других языках также использовали первые буквы слова “равный’’, но это не было общепринятым. Знак равенства "=" ввел в 1557 году уэльский врач и математик Роберт Рекорд (Recorde R., 1510-1558). Математическим символом для обозначения равенства служил в некоторых случаях символ II. Рекорд ввел символ “=’’ с двумя одинаковыми горизонтальными параллельными отрезками, гораздо более длинными, чем те, что используются сегодня. Английский математик Роберт Рекорд был первым, кто начал использовать символ "равенство", аргументируя словами: "никакие два предмета не могут быть равны между собой более, чем два параллельных отрезка". Но ещё в XVII веке Рене Декарт использовал аббревиатуру “ae’’. Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. Некоторое время распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. Распространение знак получил только после работ Лейбница на рубеже XVII-XVIII веков, то есть более чем через 100 лет после смерти впервые использовавшего его для этого Роберта Рекорда . На его могильной плите нет слов – просто вырезан знак «равно».

Родственные символы для обозначения приблизительного равенства "≈" и тождества "≡" являются совсем молодыми - первый введен в 1885 году Гюнтером, второй - в 1857 году Риманом

4. Знаки умножения и деления

Знак умножения в виде крестика ("х") ввел англиканский священник-математик Уильям Отред в 1631 году . До него для знака умножения использовали букву M, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника (Эригон , ), звёздочка (Иоганн Ран , ).

Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века ), чтобы не путать его с буквой x ; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век ) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560-1621).

Для обозначения действия деления Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц . До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи , используется также черта дроби, употреблявшаяся ещё в арабских сочинениях. Деление в виде обелюс ("÷") ввел швейцарский математик Иоганн Ран (ок. 1660)

5. Знак процента .

Сотая доля целого, принимаемого за единицу. Само слово «процент» происходит от латинского "pro centum", что означает в переводе "на сто". В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта (1685). В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

6.Знак бесконечности

Нынешний символ бесконечности "∞" ввел в употребление Джон Уоллис в 1655 году. Джон Уоллис издал большой трактат «Арифметика бесконечного» (лат. Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata ), где ввёл придуманный им символ бесконечности . До сих пор так и не известно, почему он остановил свой выбор именно на этом знаке. Одна из наиболее авторитетных гипотез связывает происхождение этого символа с латинской буквой «М», которую римляне использовали для обозначения числа 1000. Символ бесконечности назван "lemniscus" (лат. лента) математиком Бернулли приблизительно сорок лет спустя.

Другая версия говорит о том, что рисунок «восьмерки» передает главное свойство понятия «бесконечность»: движение без конца . По линиям числа 8 можно совершать, как по велотреку, бесконечное движение. Для того, чтобы не путать введенный знак с числом 8, математики решили располагать его горизонтально. Получилось . Такое обозначение cтало стандартным для всей математики, не только алгебры. Почему бесконечность не обозначают нулем? Ответ очевиден: цифру 0 как не поворачивай - она не изменится. Поэтому выбор и пал именно на 8.

Другой вариант - змей, пожирающий свой хвост, который за полторы тысячи лет до нашей эры в Египте символизировал различные процессы, не имеющие начала и конца.

Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности , т.к символ бесконечности был запатентован после изобретения устройства "лента Мебиуса" (названный в честь математика девятнадцатого столетия Мебиуса). Лента Мебиуса - полоса бумаги, которая искривлена и соединена концами, формируя две пространственные поверхности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ бесконечности стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса

7. Знаки угл а и перпендикулярно сти

Символы « угол » и « перпендикулярно » придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон . Символ перпендикулярности у него был перевёрнут, напоминая букву T. Символ угла напоминал значок , современную форму ему придал Уильям Отред ().

8. Знак параллельност и

Символ « параллельности » известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский . Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально (Отред (1677), Керси (John Kersey ) и др. математики XVII века)

9. Число пи

Общепринятое обозначение числа, равного отношению длины окружности к ее диаметру (3,1415926535...), впервые образовал Уильям Джонс в 1706 году , взяв первую букву греческих слов περιφέρεια - окружность и περίμετρος - периметр , то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Эйлеру , труды которого закрепили обозначение окончательно.

10. Синус и косинус

Интересно появление синуса и косинуса.

Sinus с латинского - пазуха, впадина. Но история у такого названия долгая. Далеко в тригонометрии продвинулись индийские математики в районе 5 века. Самого слова "тригонометрия" не было, оно было введено Георгом Клюгелем в 1770 году.) То, что мы сейчас называем синусом, примерно соответствует тому, что индусы называли ардха-джия, в переводе - полутетива (т.е. полухорда). Для краткости называли просто - джия (тетива). Когда арабы переводили работы индусов с санскрита, они не стали переводить "тетиву" на арабский, а просто транскрибировали слово арабскими буквами. Получилась джиба. Но так как в слоговой арабской письменности краткие гласные не обозначаются, то реально остается дж-б, что похоже на другое арабское слово - джайб (впадина, пазуха). Когда Герард Кремонский в 12 веке переводил арабов на латынь, он перевел это слово как sinus, что по-латыни также означает пазуху, углубление.

Косинус появился автоматически, т.к. индусы называли его коти-джия, или сокращено ко-джия. Коти - изогнутый конец лука на санскрите. Современные краткие обозначения и введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера .

Обозначения тангенса/котангенса имеют намного более позднее происхождение (английское слово tangent происходит от латинского tangere - касаться). И даже до сих пор нет унифицированного обозначения - в одних странах чаще используется обозначение tan, в других - tg

11. Сокращение «Что и требовалось доказать» (ч.т.д.)

« Quod erat demonstrandum » (квол эрат лэмонстранлум).
Греческая фраза имеет значение «что требовалось доказывать», а латинская - «что нужно было показать». Этой формулой заканчивается каждое математическое рассуждение великого греческого математика Древней Греции Эвклида (III в. до н. э.). В переводе с латинского - что и требовалось доказать. В средневековых научных трактатах эту формулу писали часто в сокращенном виде: QED.

12. Математические обозначения.

Символы	История символов
	Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в «Арифметике» Иоганна Видмана изданной в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание - буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа практически мгновенно получили общее распространение в Европе - за исключением Италии.
× ∙	Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. До него использовали букву M. Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560-1621).
/ : ÷	Отред предпочитал косую черту. Двоеточием деление стал обозначать Лейбниц. До них часто использовали также букву D. Начиная с Фибоначчи, используется также черта дроби, употреблявшаяся ещё в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложили Йоханн Ран и Джон Пелл в середине XVII века.
=	Знак равенства предложил Роберт Рекорд (1510-1558) в 1557 году. Он пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем.
	Знаки сравнения ввёл Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году. До него писали словами: больше, меньше.
%	Символ процента появляется в середине XVII века сразу в нескольких источниках, его происхождение неясно. Есть гипотеза, что он возник от ошибки наборщика, который сокращение cto (cento, сотая доля) набрал как 0/0. Более вероятно, что это скорописный коммерческий значок, возникший лет на 100 раньше.
√	Знак корня впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы слова radix (корень). Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.
a n	Возведение в степень. Современная запись показателя степени введена Декартом в его «Геометрии» (1637), правда, только для натуральных степеней, больших 2. Позднее Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели (1676).
()	Скобки появились у Тартальи (1556) для подкоренного выражения, но большинство математиков предпочитали вместо скобок надчёркивать выделяемое выражение. В общее употребление скобки ввёл Лейбниц.
	Знак суммы ввёл Эйлер в 1755 году
	Знак произведения ввёл Гаусс в 1812 году
i	Букву i как код мнимой единицы: предложил Эйлер (1777), взявший для этого первую букву слова imaginarius (мнимый).
π	Общепринятое обозначение числа 3.14159… образовал Уильям Джонс в 1706 году, взяв первую букву греческих слов περιφέρεια - окружность и περίμετρος - периметр, то есть длина окружности.
	Обозначение интеграла Лейбниц произвёл от первой буквы слова «Сумма» (Summa).
y"	Краткое обозначение производной штрихом восходит к Лагранжу.
	Символ предела появился в 1787 году у Симона Люилье (1750-1840).
	Символ бесконечности придумал Валлис, опубликован в 1655 году.

13. Заключение

Математическая наука необходима для цивилизованного общества. Математика содержится во всех науках. Математический язык смешивается с языком химии и физики. Но нам он все равно понятен. Можно сказать, что язык математики мы начинаем изучать вместе с родной речью. Так неразрывно вошла математика в нашу жизнь. Благодаря математическим открытиям прошлого, ученые создают новые технологии. Сохранившиеся открытия дают возможность решать сложные математически задачи. И древний математический язык нам понятен, а открытия нам интересны. Благодаря математике Архимед, Платон, Ньютон открыли физические законы. Мы изучаем их в школе. В физике тоже есть символы термины присущие физической науке. Но математический язык не теряется среди физических формул. Наоборот, эти формулы нельзя написать без знания математики. Благодаря истории сохраняются знания и факты для будущих поколений. Дальнейшее изучение математики необходимо для новых открытий. Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Математические символы Работу выполнил ученик 7-а класса школы №574 Балагин Виктор

Символ (греч. symbolon – признак, примета, пароль, эмблема) – знак, который связан с обозначаемой им предметностью так, что смысл знака и его предмет представлены только самим знаком и раскрываются лишь через его интерпретацию. Знаки – это математические условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок.

Кость Ишанго Часть папируса Ахмеса

+ − Знаки плюса и минуса. Сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание - буквой m (minus). Выражение a + b писалось на латыни так: a et b .

Обозначения вычитания. ÷ ∙ ∙ или ∙ ∙ ∙ Рене Декарт Марен Мерсенн

Страница из книги Иоганна Видман н а. В 1489 году Иоганн Видман издал в Лейпциге первую печатную книгу (Mercantile Arithmetic - “ Коммерческая арифметика’’), в которой присутствовали оба знака + и -

Обозначения сложения. Христиан Гюйгенс Дэвид Юм Пьер де Ферма Эдмунд (Эдмонд) Галлей

Знак равенства Первым употребил знак равенства Диофант. Равенство он обозначил буквой i (от греческого isos – равный).

Знак равенства Предложил в 1557 году английский математик Роберт Рекорд «Никакие два предмета не могут быть равны между собой более, чем два параллельных отрезка". В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем

× ∙ Знак умножения Ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x . Уильям Отред Готфрид Вильгельм Лейбниц

Процент. Матье де ла Порт (1685). Сотая доля целого, принимаемого за единицу. «процент» - "pro centum", что означает - "на сто". «cto» (сокращённо от cento). Н аборщик принял «cto» за дробь и напечатал "%".

Бесконечность. Джон Уоллис Джон Уоллис в 1655 году ввёл придуманный им символ. Змей, пожирающий свой хвост, символизировал различные процессы, не имеющие начала и конца.

Символ бесконечности стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса Лента Мебиуса – полоса бумаги, которая искривлена и соединена концами, формируя две пространственные поверхности. Август Фердинанд Мёбиус

Угол и перпендикуляр. Символы придумал в 1634 году французский математик Пьер Эригон. Символ угла у Эригона напоминал значок. Символ перпендикулярности был перевёрнут, напоминая букву T . Современную форму этим знакам придал Уильям Отред (1657).

Параллельность. Символ использовали Герон Александрийский и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально. Герон Александрийский

Число пи. π ≈ 3,1415926535... Уильям Джонс в 1706 году π εριφέρεια -окружность и π ερίμετρος - периметр, то есть длина окружности. Это сокращение понравилось Эйлеру, труды которого закрепили обозначение окончательно. Уильям Джонс

sin Синус и косинус cos Sinus (с латинского) – пазуха, впадина. коти-джия, или сокращено ко-джия. Коти - изогнутый конец лука Современные краткие обозначения введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера. «арха-джива» - у индийцев -«полутетива» Леонард Эйлер Уильям Отред

Что и требовалось доказать (ч.т.д.) « Quod erat demonstrandum » QED. Этой формулой заканчивается каждое математическое рассуждение великого математика Древней Греции Эвклида (III в. до н. э.).

Древний математический язык нам понятен. В физике тоже есть символы термины присущие физической науке. Но математический язык не теряется среди физических формул. Наоборот, эти формулы нельзя написать без знания математики.

«Символы не являются только записью мыслей,
средством её изображения и закрепления, -
нет, они воздействуют на самую мысль,
они… направляют её, и бывает достаточно
переместить их на бумаге… для того, чтобы
безошибочно достигнуть новых истин».

Л.Карно

Математические знаки служат в первую очередь для точной (однозначно определённой) записи математических понятий и предложений. Их совокупность в реальных условиях их применения математиками составляет то, что называется, математическим языком.

Математические знаки позволяют записывать в компактной форме предложения, громоздко выраженные на обычном языке. Это облегчает их запоминание.

Прежде чем использовать в рассуждениях те или иные знаки, математик старается сказать, что каждый из них обозначает. Иначе его могут не понять.
Но математики не всегда могут сказать сразу, что отражает тот или иной символ, введённый ими для какой-либо математической теории. Например, сотни лет математики оперировали отрицательными и комплексными числами, однако объективный смысл этих чисел и действие с ними удалось раскрыть лишь в конце XVIII и в начале XIX века.

1. Символизм математических кванторов

Подобно обычному языку, язык математических знаков позволяет обмениваться установленными математическими истинами, но являясь лишь вспомогательным средством, присоединяемым к обычному языку и без него существовать, не может.

Математическое определение:

На обычном языке:

Пределом функции F (x) в некоторой точке X0 называется постоянное число А, такое что для произвольного числа Е>0 существует такое положительное d(E), что из условия |X - X 0 |

Запись в кванторах (на математическом языке)

2. Символизм математических знаков и геометрических фигур.

1) Бесконечность — концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого-то понятия или атрибута некоторого объекта означает невозможность указать для него границы или количественную меру. Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы. К примеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна может быть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (оно называется счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этими множествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие, а целые числа включены в действительные. Таким образом, в этом случае одно кардинальное число (равно мощности множества) «бесконечнее» другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор. В математическом анализе ко множеству действительных чисел добавляются два символа, плюс и минус бесконечность, применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Нужно отметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, так как любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы (как и многие другие) были введены для сокращения записи более длинных выражений. Бесконечность также неразрывно связана с обозначением бесконечно малого, к примеру, ещё Аристотель сказал:
«… всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела; поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна, и какое бы число делений не задали, всегда потенциально можно поделить этот отрезок на еще большее число». Заметим, что Аристотель внес большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и актуальную, и вплотную подошел с этой стороны к основам математического анализа, также указав на пять источников представления о ней:

время,
разделение величин,
неиссякаемость творящей природы,
само понятие границы, толкающее за её пределы,
мышление, которое неостановимо.

Бесконечность в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ.
Далее бесконечность получила развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность Бога не столько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии это атрибут пространства и времени.
Современная физика вплотную подходит к отрицаемой Аристотелем актуальности бесконечности — то есть доступности в реальном мире, а не только в абстрактном. Например, есть понятие сингулярности, тесно связанное с чёрными дырами и теорией большого взрыва: это точка в пространстве—времени, в которой масса в бесконечно малом объёме сосредоточена с бесконечной плотностью. Уже есть солидные косвенные доказательства существования чёрных дыр, хотя теория большого взрыва находится ещё в стадии разработки.

2) Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Круг - символ Солнца, Луны. Один из самых распространённых символов. А также является символом бесконечности, вечности, совершенства.

3) Квадрат (ромб) - является символом комбинации и упорядочивания четырёх различных элементов, например четыре основных стихий или четырёх времён года. Символ числа 4, равенства, простоты, прямоты, истины, справедливости, мудрости, чести. Симметрия является той идеей посредством которой человек пытается постичь гармонию и с давних времён считалась символом прекрасного. Симметрией обладают так называемые “фигурные” стихи, текст которых имеет очертание ромба.
Стихотворение - ромб.

Мы -
Среди тьмы.
Глаз отдыхает.
Сумрак ночи живой.
Сердце жадно вздыхает,
Шепот звёзд долетает порой.
И лазурные чувства теснятся толпой.
Всё забылось в блеске росистом.
Поцелуем душистым!
Поскорее блесни!
Снова шепни,
Как тогда:
«Да!»

(Э.Мартов, 1894г)

4) Прямоугольник. Из всех геометрических форм это наиболее рациональная, наиболее надёжная и правильная фигура; эмпирически это объясняется тем фактом, что всегда и везде прямоугольник был излюбленной формой. С помощью него человек приспосабливал пространство или какой-либо предмет для непосредственного использования в своём быту, например: дом, комната, стол, кровать и т.п.

5) Пентагон - правильный пятиугольник в виде звезды символ вечности, совершенства, вселенной. Пентагон - амулет здоровья, знак на дверях для того, чтобы отогнать ведьм, эмблема Тота, Меркурия, кельтского Гавайна и др., символ пяти ран Иисуса Христа, благополучия, удачи у евреев, легендарный ключ Соломона; знак высокого положения в обществе у Японцев.

6) Правильный шестиугольник, гексагон - символ изобилия, красоты, гармонии, свободы, брака, символ числа 6, образ человека (две руки, две ноги, голова и туловище).

7) Крест - символ высших сакральных ценностей. Крест моделирует духовный аспект, восхождение духа, устремление к богу, к вечности. Крест - универсальный символ единства жизни и смерти.
Конечно, с этими утверждениями можно и не соглашаться.
Однако никто не будет отрицать, что любое изображение вызывает у человека ассоциации. Но проблема в том, что одни предметы, сюжеты или графические элементы вызывают у всех людей (вернее, у многих) одинаковые ассоциации, а другие - совершенно различные.

8) Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.
Свойства треугольника как фигуры: прочность, неизменяемость.
Аксиома А1 стереометрии гласит: «Через 3 точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна!»
Чтобы проверить глубину понимания этого утверждения обычно задают задачу на засыпку: «На столе сидят три мухи, на трёх концах стола. В определённый момент они разлетаются по трём взаимно - перпендикулярным направлениям с одинаковой скоростью. Когда они снова окажутся в одной плоскости?». Ответом служит тот факт, что три точки всегда, в любой момент, определяют единственную плоскость. И именно 3 точки определяют треугольник, поэтому эта фигура в геометрии считается самой устойчивой и прочной.
Треугольник обычно относят к острой, «наступательной» фигуре, связанной с мужским началом. Равносторонний треугольник - мужской и солнечный знак, представляющий божество, огонь, жизнь, сердце, гору и восхождение, благополучие, гармонию и королевскую власть. Перевёрнутый треугольник - женский и лунный символ, олицетворяет воду, плодовитость, дождь, божественную милость.

9) Шестиконечная Звезда (Звезда Давида) - состоит из двух наложенных один на другой равносторонних треугольников. Одна из версий происхождения знака связывает его форму с формой цветка Белой лилии, имеющего шесть лепестков. Цветок традиционно располагался под храмовым светильником, таким образом, что священник зажигал огонь, как бы, в центре Маген Давида. В каббале два треугольника символизируют свойственную человеку дуальность: добро против зла, духовное против физического и так далее. Треугольник, направленный остриём вверх, символизирует наши добрые дела, которые поднимаются на небеса и вызывают поток благодати, нисходящий обратно в этот мир (что символизирует треугольник, направленный вниз). Иногда Звезду Давида называют Звездой Творца и связывают каждый из её шести концов с одним из дней недели, а центр - с субботой.
Государственные символы США также содержат Шестиконечную Звезду в разных видах, в частности есть она на Большой печати США и на денежных знаках. Звезда Давида изображена на гербах немецких городов Шер и Гербштедт, а так же украинских Тернополя и Конотопа. Три шестиконечные звезды изображены на флаге Бурунди и олицетворяют национальный девиз: «Единство. Работа. Прогресс».
В христианстве шестиконечная звезда - символ Христа, а именно соединения во Христе божественной и человеческой природы. Именно поэтому этот знак вписан в Православный Крест.

10) Пятиконечная Звезда - Основной отличительной эмблемой большевиков является красная пятиконечная звезда, официально установленная весной 1918 года. Первоначально большевистская пропаганда назвала её “ Марсовой звездой” (якобы принадлежащей античному богу войны - марсу), а затем стала заявлять, что “ Пять лучей звезды, означает союз трудящихся всех пяти континентов в борьбе против капитализма”. В действительности же пятиконечная звезда не имеет никакого отношения ни к воинствующему божеству Марсу, ни к международному пролетариату, это - древний оккультный знак (очевидно ближневосточного происхождения), называющийся “пентаграммой” или “Звездой Соломона”.
Правительству”, находящемуся под полным контролем масонства.
Весьма часто сатанисты рисуют пентаграмму двумя концами вверх, чтобы туда было легко вписать дьявольскую голову “Пентаграмма Бафомета”. Портрет “Пламенного революционера” помещён внутри “Пентаграммы Бафомета”, являющейся центральной частью композиции проектируемого в 1932 году особого чекистского ордена “ Феликса Дзержинского” (далее проект был отклонён Сталиным, глубоко ненавидящим “Железного Феликса”).

Отметим, что зачастую пентаграмма размещалась большевиками на красноармейском обмундировании, в военной технике, различных знаках и всевозможных атрибутах наглядной агитации чисто по-сатанински: двумя “рогами” вверх.
Марксистские планы “всемирной пролетарской революции” имели явно масонское происхождение, ряд виднейших марксистов состоял в масонстве. К ним относился Л.Троцкий, именно он и предложил сделать масонскую пентаграмму опознавательной эмблемой большевизма.
Интернациональные масонские ложи тайно оказывали большевикам всестороннюю поддержку, особенно финансовую.

3. Масонские знаки

Масоны

Девиз: «Свобода. Равенство. Братство».

Общественное движение свободных людей, которые на основе свободного выбора позволяют стать лучше, стать ближе к богу следственно, они признаны улучшить мир.
Масоны - соратники Творца, сподвижники общественного прогресса, против инерции, косности и невежества. Выдающиеся представители масонства - Карамзин Николай Михайлович, Суворов Александр Васильевич, Кутузов Михаил Илларионович, Пушкин Александр Сергеевич, Геббельс Иозеф.

Знаки

Лучезарное око (дельта) - знак древний, религиозный. Он говорит о том, что Бог надзирает над творениями своими. Изображением этого знака масоны спрашивали у Бога благословения на какие-либо грандиозные действия, на труды свои. Лучезарное око расположено на фронтоне Казанского Собора в Санкт-Петербурге.

Сочетание циркуля и угольника в масонском знаке.

Для непосвящённого - это орудие труда (каменщика), а для посвящённых - это способы познания мира и соотношения божественной премудрости и человеческого разума.
Угольник, как правило, снизу - это человеческое познание мира. С точки зрения масонства, человек приходит в мир, что познать божественный замысел. А для познания необходим инструментарий. Самая эффективная наука в познание мира - математика.
Угольник - древнейший математический инструмент, известный с незапамятных времён. Градуировка угольника - уже большой шаг вперёд в математическом инструментарии познания. Человек познаёт мир с помощью наук математика из них первейшая, но не единственная.
Однако угольник деревянный, и он вмещает то, что может вместить. Его нельзя раздвинуть. Если ты попытаешься его раздвинуть, чтобы он вмещал больше, - ты поломаешь его.
Так люди, пытающиеся познать всю бесконечность божественного замысла, либо умирают, либо сходят с ума. «Знай, свои границы!» - вот, что сообщает Миру этот знак. Будь ты даже Эйнштейн, Ньютон, Сахаров - величайшие умы человечества! - понимай, что ты ограничен временем, в котором ты рождён; в познании мира, языком, объёмом мозга, самыми разными человеческими ограничениями, жизнью твоего тела. Поэтому - да, познавай, но понимай, что ты никогда до конца не познаешь!
А циркуль? Циркуль есть божественная премудрость. Циркулем можно описать круг, а если раздвинуть ему ножки, то будет прямая. А в символических системах круг и прямая - две противоположности. Прямая обозначает человека, его начало и конец (как тире между двумя датами - рождения и смерти). Круг - символ божества, поскольку является совершенной фигурой. Они друг другу противостоят - божественная и человеческая фигуры. Человек не совершенен. Бог - совершенен во всём.

Для божественной премудрости нет невозможного, она может принять и вид человеческий (-) и вид божественный (0), всё может в себя вместить. Таким образом, человеческий разум постигает божественную премудрость, объемлет ее. В философии это утверждение является постулатом об абсолютной и относительной истине.
Люди всегда познают истину, но всегда относительную истину. А абсолютная истина ведома только Богу.
Познавай всё больше, осознавая, что не сможешь познать истину до конца - какие глубины мы находим в обыкновенном циркуле с угольником! Кто бы мог подумать!
Вот в чём прелесть и очарование масонской символики, в её огромной интеллектуальной глубине.
Начиная с эпохи Средневековья циркуль, как инструмент для вычерчивания безупречных кругов стал символом геометрии, космического порядка и планомерных действий. В это время часто рисовали Бога Саваофа в образе творца и архитектора Вселенной с циркулем в руках (Уильям Блейк ‘‘Великий Архитектор’’, 1794 г).

Шестиугольная Звезда (Вифлеема)

Буква G - обозначение бога (нем. - Got), великого геометра Вселенной.
Шестиугольная Звезда, означала Единство и Борьбу Противоположностей, борьбу Мужчины и Женщины, Добра и Зла, Света и Тьмы. Не может одно существовать без другого. Напряжение, которое возникает между этими противоположностями, создаёт мир в том виде, в каком мы его знаем.
Треугольник вверх означает - «Человек стремится к Богу». Треугольник вниз - «Божество нисходит к Человеку». В их соединении и существует наш мир, который и есть соединение Человеческого и Божественного. Буква G здесь означает, что Бог живёт в нашем мире. Он реально присутствует во всём, им сотворённом.

Заключение

Математические знаки служат в первую очередь для точной записи математических понятий и предложений. Их совокупность составляет то, что называется математическим языком.
Решающей силой развития математической символики является не “свободная воля” математиков, а требования практики, математических исследований. Именно реальные математические исследования помогают выяснить, какая система знаков наилучшим образом отображает структуру количественных и качественных отношений, в силу чего могут быть эффективным орудием их дальнейшего применения в символах и эмблемах.

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык , составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I - обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

Группа I

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается - Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, ... , L, М, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

а, b, с, d, ... , l, m, n, ...

Линии уровня обозначаются: h - горизонталь; f- фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) - прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) - луч с началом в точке А;

[АВ] - отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) - плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d 1 d 2 gα) - поверхность β определяется направляющими d 1 и d 2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC - угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

Величина угла АВС;

Величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками - ||.

Например:

|АВ| - расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| - расстояние от точки А до линии a;

|Аα| - расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| - расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π 1 и π 2 , где π 1 - горизонтальная плоскость проекций;

π 2 -фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π 3 , π 4 и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х - ось абсцисс; у - ось ординат; z - ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

А", В", С", D", ... , L", М", N", горизонтальные проекции точек; А", В", С", D", ... , L", М", N", ... фронтальные проекции точек; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - горизонтальные проекции линий; а" ,b" , с" , d" , ... , l" , m" , n" , ... фронтальные проекции линий; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальные проекции поверхностей; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α , подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h 0α - горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f 0α - фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H a - горизонтальный след прямой (линии) а;

F a - фронтальный след прямой (линии) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3,..., n:

А 1 , А 2 , А 3 ,...,А n ;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

Ф 1 , Ф 2 , Ф 3 ,...,Ф n и т. д.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:

A 0 , B 0 , С 0 , D 0 , ...

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0:

А 0 , В 0 , С 0 , D 0 , ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1:

А 1 0 , В 1 0 , С 1 0 , D 1 0 , ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	≡	Совпадают	(АВ)≡(CD) - прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D
2	≅	Конгруентны	∠ABC≅∠MNK - угол АВС конгруентен углу MNK
3	∼	Подобны	ΔАВС∼ΔMNK - треугольники АВС и MNK подобны
4	\|\|	Параллельны	α\|\|β - плоскость α параллельна плоскости β
5	⊥	Перпендикулярны	а⊥b - прямые а и b перпендикулярны
6		Скрещиваются	с d - прямые с и d скрещиваются
7		Касательные	t l - прямая t является касательной к линии l. βα - плоскость β касательная к поверхности α
8	→	Отображаются	Ф 1 →Ф 2 - фигура Ф 1 отображается на фигуру Ф 2
9	S	Центр проецирования. Если центр проецирования несобственная точка, то его положение обозначается стрелкой, указывающей направление проецирования	-
10	s	Направление проецирования	-
11	P	Параллельное проецирование	р s α Параллельное проецирование - параллельное проецирование на плоскость α в направлении s

В. Обозначения теоретико-множественные

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи	Пример символической записи в геометрии
1	M,N	Множества	-	-
2	A,B,C,...	Элементы множества	-	-
3	{ ... }	Состоит из...	Ф{A, B, C,... }	Ф{A, B, C,... } - фигура Ф состоит из точек А, В,С, ...
4	∅	Пустое множество	L - ∅ - множество L пустое (не содержит элементов)	-
5	∈	Принадлежит, является элементом	2∈N (где N - множество натуральных чисел) - число 2 принадлежит множеству N	А ∈ а - точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а)
6	⊂	Включает, cодержит	N⊂М - множество N является частью (подмножеством) множества М всех рациональных чисел	а⊂α - прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α)
7	∪	Объединение	С = A U В - множество С есть объединение множеств A и В; {1, 2. 3, 4,5} = {1,2,3}∪{4,5}	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ломаная линия, ABCD есть объединение отрезков [АВ], [ВС],
8	∩	Пересечение множеств	М=К∩L - множество М есть пересечение множеств К и L (содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L). М ∩ N = ∅- пересечение множеств М и N есть пустое множество (множества М и N не имеют общих элементов)	а = α ∩ β - прямая а есть пересечение плоскостей α и β а ∩ b = ∅ - прямые а и b не пересекаются (не имеют общих точек)

Группа II СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	∧	Конъюнкция предложений; соответствует союзу "и". Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинны	α∩β = { К:K∈α∧K∈β} Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия), состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β
2	∨	Дизъюнкция предложений; соответствует союзу "или". Предложение (p∨q) истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба).	-
3	⇒	Импликация - логическое следствие. Предложение р⇒q означает: "если р, то и q"	(а\|\|с∧b\|\|с)⇒a\|\|b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
4	⇔	Предложение (р⇔q) понимается в смысле: "если р, то и q; если q, то и р"	А∈α⇔А∈l⊂α. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости. Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии, принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости
5	∀	Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение ∀(x)P(x) означает: "для всякого x: имеет место свойство Р(х) "	∀(ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов при вершинах равна 180°
6	∃	Квантор существования, читается: существует. Выражение ∃(х)P(х) означает: "существует х, обладающее свойством Р(х)"	(∀α)(∃a).Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α и параллельная плоскости α
7	∃1	Квантор единственности существования, читается: существует единственное (-я, -й)... Выражение ∃1(x)(Рх) означает: "существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх"	(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a, проходящая через эти точки.
8	(Px)	Отрицание высказывания P(x)	аb(∃α )(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их
9	\	Отрицание знака	≠ -отрезок [АВ] не равен отрезку .а?b - линия а не параллельна линии b

из двух), 3 > 2 (три больше двух) и т.п.

Развитие математической символики было тесно связано с общим развитием понятий и методов математики. Первыми Знаки математические были знаки для изображения чисел - цифры , возникновение которых, по-видимому, предшествовало письменности. Наиболее древние системы нумерации - вавилонская и египетская - появились ещё за 3 1 / 2 тысячелетия до н. э.

Первые Знаки математические для произвольных величин появились много позднее (начиная с 5-4 вв. до н. э.) в Греции. Величины (площади, объёмы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных однородных величин - в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. В «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) величины обозначаются двумя буквами - начальной и конечной буквами соответствующего отрезка, а иногда и одной. У Архимеда (3 в. до нашей эры) последний способ становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике буквенного исчисления создано не было.

Начатки буквенного изображения и исчисления возникают в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы. Диофант (вероятно, 3 в.) записывал неизвестную (х ) и её степени следующими знаками:

[ - от греческого термина dunamiV (dynamis - сила), обозначавшего квадрат неизвестной, - от греческого cuboV (k_ybos) - куб]. Справа от неизвестной или её степеней Диофант писал коэффициенты, например 3х 5 изображалось

(где = 3). При сложении Диофант приписывал слагаемые друг к другу, для вычитания употреблял специальный знак ; равенство Диофант обозначал буквой i [от греческого isoV (isos) - равный]. Например, уравнение

(x 3 + 8x ) - (5x 2 + 1) = х

У Диофанта записалось бы так:

(здесь

означает, что единица не имеет множителя в виде степени неизвестного).

Несколько веков спустя индийцы ввели различные Знаки математические для нескольких неизвестных (сокращения наименований цветов, обозначавших неизвестные), квадрата, квадратного корня, вычитаемого числа. Так, уравнение

3х 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

В записи Брахмагупты (7 в.) имело бы вид:

Йа ва 3 йа 10 ру 8

Йа ва 1 йа 0 ру 1

(йа - от йават - тават - неизвестное, ва - от варга - квадратное число, ру - от рупа - монета рупия - свободный член, точка над числом означает вычитаемое число).

Создание современной алгебраической символики относится к 14-17 вв.; оно определялось успехами практической арифметики и учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются Знаки математические для некоторых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный символ. Так, в конце 15 и. Н. Шюке и Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания

(от лат. plus и minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и -. Ещё в 17 в. можно насчитать около десятка Знаки математические для действия умножения.

Различны были и Знаки математические неизвестной и её степеней. В 16 - начале 17 вв. конкурировало более десяти обозначений для одного только квадрата неизвестной, например се (от census - латинский термин, служивший переводом греческого dunamiV, Q (от quadratum), , A (2), , Aii, aa , a 2 и др. Так, уравнение

x 3 + 5x = 12

имело бы у итальянского математика Дж. Кардано (1545) вид:

у немецкого математика М. Штифеля (1544):

у итальянского математика Р. Бомбелли (1572):

французского математика Ф. Виета (1591):

у английского математика Т. Гарриота (1631):

В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли , 1550), круглые (Н. Тарталья , 1556), фигурные (Ф. Виет , 1593). В 16 в. современный вид принимает запись дробей.

Значительным шагом вперёд в развитии математической символики явилось введение Виетом (1591) Знаки математические для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв латинского алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраические уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать ими. Неизвестные Виет изображал гласными прописными буквами А, Е,... Например, запись Виета

В наших символах выглядит так:

x 3 + 3bx = d.

Виет явился творцом алгебраических формул. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами лат. алфавита х, у, z, а произвольные данные величины - начальными буквами а, b, с. Ему же принадлежит нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.

Дальнейшее развитие Знаки математические было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.

Даты возникновения некоторых математических знаков

знак	значение	Кто ввёл	Когда введён
Знаки индивидуальных объектов
¥	бесконечность	Дж. Валлис	1655
e	основание натуральных логарифмов	Л. Эйлер	1736
p	отношение длины окружности к диаметру	У. Джонс Л. Эйлер	1706
i	корень квадратный из -1	Л. Эйлер	1777 (в печати 1794)
i j k	единичные векторы, орты	У. Гамильтон	1853
П (а)	угол параллельности	Н.И. Лобачевский	1835
Знаки переменных объектов
x,y, z	неизвестные или переменные величины	Р. Декарт	1637
r	вектор	О. Коши	1853
Знаки индивидуальных операций
+	сложение	немецкие математики	Конец 15 в.
–	вычитание	немецкие математики	Конец 15 в.
´	умножение	У. Оутред	1631
×	умножение	Г. Лейбниц	1698
:	деление	Г. Лейбниц	1684
a 2 , a 3 ,…, a n	степени	Р. Декарт	1637
	степени	И. Ньютон	1676
	корни	К. Рудольф	1525
	корни	А. Жирар	1629
Log	логарифм	И. Кеплер	1624
log	логарифм	Б. Кавальери	1632
sin	синус	Л. Эйлер	1748
cos	косинус	Л. Эйлер	1748
tg	тангенс	Л. Эйлер	1753
arc.sin	арксинус	Ж. Лагранж	1772
Sh	гиперболический синус	В. Риккати	1757
Ch	гиперболический косинус	В. Риккати	1757
dx, ddx, …	дифференциал	Г. Лейбниц	1675 (в печати 1684)
d 2 x, d 3 x,…	дифференциал	Г. Лейбниц	1675 (в печати 1684)
	интеграл	Г. Лейбниц	1675 (в печати 1686)
	производная	Г. Лейбниц	1675
¦¢x	производная	Ж. Лагранж	1770, 1779
y’
¦¢(x)
Dx	разность	Л. Эйлер	1755
	частная производная	А. Лежандр	1786
	определённый интеграл	Ж. Фурье	1819-22
	сумма	Л. Эйлер	1755
П	произведение	К. Гаусс	1812
!	факториал	К. Крамп	1808
\|x\|	модуль	К. Вейерштрасс	1841
lim	предел	У. Гамильтон, многие математики	1853, начало 20 в.
lim
n = ¥
lim
n ® ¥
x	дзета-функция	Б. Риман	1857
Г	гамма-функция	А. Лежандр	1808
В	бета-функция	Ж. Бине	1839
D	дельта (оператор Лапласа)	Р. Мёрфи	1833
Ñ	набла (оператор Гамильтона)	У. Гамильтон	1853
Знаки переменных операций
jx	функция	И. Бернули	1718
f (x)	функция	Л. Эйлер	1734
Знаки индивидуальных отношений
=	равенство	Р. Рекорд	1557
>	больше	Т. Гарриот	1631
<	меньше	Т. Гарриот	1631
º	сравнимость	К. Гаусс	1801
	параллельность	У. Оутред	1677
^	перпендикулярность	П. Эригон	1634

И. Ньютон в своём методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) величины (в виде

и для бесконечно малого приращения o . Несколько ранее Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности ¥.

Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц . Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне Знаки математические дифференциалов

dx, d 2 x, d 3 x

и интеграла

Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежат Л. Эйлеру . Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f (x ) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736), p [вероятно, от греческого perijereia (periphereia) - окружность, периферия, 1736], мнимой единицы

(от французского imaginaire - мнимый, 1777, опубликовано в 1794).

В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины |x| (К. Вейерштрасс , 1841), вектора (О. Коши , 1853), определителя

(А. Кэли , 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., например Тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.

Наряду с указанным процессом стандартизации Знаки математические в современной литературе весьма часто можно встретить Знаки математические , используемые отдельными авторами только в пределах данного исследования.

С точки зрения математической логики, среди Знаки математические можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определённое содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трём основным группам Знаки математические примыкает четвёртая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.

Знаки каждой из трёх групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений, 2) общие знаки «неременных», или «неизвестных», объектов, операций и отношений.

Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу):

A 1) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е и p; мнимой единицы i.

Б 1) Знаки арифметических действий +, -, ·, ´,:; извлечения корня , дифференцирования

знаки суммы (объединения) È и произведения (пересечения) Ç множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т.п.

1) Знаки равенства и неравенства =, >, <, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчинённые каким-либо заранее оговорённым условиям. Например, при записи тождества (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2 буквы а и b обозначают произвольные числа; при изучения функциональной зависимости у = х 2 буквы х и у - произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения

х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и -1).

С логической точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что «область изменения» переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже «пустой» (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:

A 2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.

Б 2) Обозначения f, , j для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, например, произвольный оператор вида:

Обозначения для «переменных отношений» менее распространены, они находят применение лишь в математической логике (см. Алгебра логики ) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математических исследованиях.

Лит.: Cajori ., A history of mathematical notations, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Статья про слово "Знаки математические " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 39764 раз

Каждому из нас ещё со школьной скамьи (а точнее с 1-го класса начальной школы) должны быть знакомы такие простые математические символы, как знак больше и знак меньше , а также знак равно.

Однако, если с последним что-то напутать достаточно сложно, то о том, как и в какую сторону пишутся знаки больше и меньше (знак менее и знак более , как ещё их иногда называют) многие сразу после этой же школьной скамьи и забывают, т.к. они довольно редко используются нами в повседневной жизни.

Но практически каждому рано или поздно всё равно приходится столкнуться с ними, и "вспомнить" в какую сторону пишется нужный им символ получается лишь обратившись за помощью к любимой поисковой системе. Так почему бы не ответить развернуто на этот вопрос, заодно подсказав посетителям нашего сайта как запомнить правильное написание этих знаков на будущее?

Именно о том, как правильно пишется знак больше и знак меньше мы и хотим напомнить вам в этой небольшой заметке. Также будет не лишним рассказать и том, как набрать на клавиатуре знаки больше или равно и меньше или равно , т.к. этот вопрос тоже довольно часто вызывает затруднения у пользователей, сталкивающихся с такой задачей очень редко.

Перейдем сразу к делу. Если вам не очень интересно запоминать всё это на будущее и проще в следующий раз снова "погуглить", а сейчас просто нужен ответ на вопрос "в какую сторону писать знак", тогда для вас мы приготовили краткий ответ - знаки больше и меньше пишутся так, как показано на изображении ниже.

А теперь расскажем немного подробнее о том, как это понять и запомнить на будущее.

В общем и целом логика понимания очень проста - какой стороной (большей или меньшей) знак по направлению письма смотрит в левую сторону - такой и знак. Соответственно, знак больше влево смотрит широкой стороной - большей.

Пример использования знака больше:

50>10 - число 50 больше числа 10;
посещаемость студента в этом семестре составила >90% занятий.

Как писать знак меньше, пожалуй, повторно объяснять уже не стоит. Совершенно аналогично знаку больше. Если знак смотрит влево узкой стороной - меньшей, то перед вами знак меньше.
Пример использования знака меньше:

100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
на заседание явилось <50% депутатов.

Как видите, все довольно логично и просто, так что теперь вопросов о том, в какую сторону писать знак больше и знак меньше в будущем у вас возникать не должно.

Знак больше или равно/меньше или равно

Если вы уже вспомнили, как пишется необходимый вам знак, то дописать к нему одну черточку снизу вам не составит труда, таким образом вы получите знак "меньше или равно" или знак "больше или равно" .

Однако относительно этих знаков у некоторых возникает другой вопрос - как набрать такой значок на клавиатуре компьютера? В результате большинство просто ставят два знака подряд, к примеру, "больше или равно" обозначая как ">=" , что, в принципе, часто вполне допустимо, но можно сделать красивее и правильнее.

На самом деле для того, чтобы напечатать эти знаки, существуют специальные символы, которые можно ввести на любой клавиатуре. Согласитесь, знаки "≤" и "≥" выглядят значительно лучше.

Знак больше или равно на клавиатуре

Для того, чтобы написать "больше или равно" на клавиатуре одним знаком даже не нужно лезть в таблицу специальных символов - просто поставьте знак больше с зажатой клавишей "alt" . Таким образом сочетание клавиш (вводится в английской раскладке) будет следующим.

Или же вы можете просто скопировать значок из этой статьи, если вам нужно воспользоваться им один раз. Вот он, пожалуйста.

≥

Знак меньше или равно на клавиатуре

Как вы наверное уже смогли догадаться сами, написать "меньше или равно" на клавиатуре вы можете по аналогии со знаком больше - просто поставьте знак меньше с зажатой клавишей "alt" . Сочетание клавиш, которое нужно вводить в английской раскладке, будет следующим.

Или просто скопируйте его с этой страницы, если вам так будет проще, вот он.

≤

Как видите, правило написания знаков больше и меньше довольно просто запомнить, а для того чтобы набрать значки больше или равно и меньше или равно на клавиатуре достаточно просто нажать дополнительную клавишу - всё просто.