Как решать степень с действительным показателем. Степень с рациональным и действительным показателем

Степень с рациональным показателем

В множество рациональных чисел входят целые и дробные числа.

Определение 1

Степень числа $а$ с целым показателем $n$ является результатом умножения числа $а$ самого на себя $n$ раз, причем: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, при $n>0$; $a^n=\frac{1}{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}$, при $n

Определение 2

Степень числа $а$ с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ называется корнем $n$-ной степени из $a$ в степени $m$: $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$, где $а>0$, $n$ – натуральное число, $m$ – целое число.

Определение 3

Степень нуля с показателем в виде дроби $\frac{m}{n}$ определяется следующим образом: $0^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{0^m}=0$, где $m$ – целое число, $m>0$, $n$ – натуральное число.

Существует и другой подход к определению степени числа с дробный показателем, который показывает возможность существования степени отрицательного числа или отрицательного дробного показателя.

Например, выражения $\sqrt{(-3)^6}$, $\sqrt{(-3)^3}$ или $\sqrt{(-7)^{-10}}$ имеют смысл, таким образом, и выражения $(-3)^\frac{6}{7}$, $(-3)^\frac{3}{7}$ и $(-7)^\frac{-10}{6}$ должны иметь смысл, в то время, как согласно определению степени с показателем в виде дроби при отрицательном основании не существуют.

Дадим другое определение:

Степенью числа $a$ с дробным показателем $\frac{m}{n}$ называется $\sqrt[n]{a^m}$ в следующих случаях:

При любом действительном числе $a$, целом $m>0$ и нечетном натуральном $n$.

Например, $13,4^\frac{7}{3}=\sqrt{13,4^7}$, $(-11)^\frac{8}{5}=\sqrt{(-11)^8}$.

При любом отличном от нуля действительном числе $a$, целом отрицательном $m$ и нечетном $n$.

Например, $13,4^\frac{-7}{3}=\sqrt{13,4^{-7}}$, $(-11)^\frac{-8}{5}=\sqrt{(-11)^{-8}}$.

При любом неотрицательном числе $a$, целом положительном $m$ и четном $n$.

Например, $13,4^\frac{7}{4}=\sqrt{13,4^7}$, $11^\frac{3}{16}=\sqrt{11^3}$.

При любом положительном $a$, целом отрицательном $m$ и четном $n$.

Например, $13,4^\frac{-7}{4}=\sqrt{13,4^{-7}}$, $11^\frac{-3}{8}=\sqrt{11^{-3}}$.

При других условиях степень с дробным показателем определить невозможно.

Например, $(-13,4)^\frac{10}{3}=\sqrt{(-13,4)^{10}}$, $(-11)^\frac{5}{4}=\sqrt{(-11)^5}$.

К тому же, при применении данного определения является важным, чтобы дробный показатель $\frac{m}{n}$ был несократимой дробью.

Серьезность данного замечания в том, что степенью отрицательного числа с дробным сократимым показателем, например, $\frac{10}{14}$ будет положительное число, а степенью того же числа с уже сокращенным показателем $\frac{5}{7}$ будет отрицательное число.

Например, $(-1)^\frac{10}{14}=\sqrt{(-1)^{10}}=\sqrt{1^{10}}=1$, а $(-1)^\frac{5}{7}=\sqrt{(-1)^5}=-1$.

Таким образом, при выполнении сокращения дроби $\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$ не выполняется равенство $(-1)^\frac{10}{14}=(-1)^\frac{5}{7}$.

Замечание 1

Нужно отметить, что чаще применяется более удобное и простое первое определение степени с показателем в виде дроби.

В случае записи дробного показателя степени в виде смешанной дроби или десятичной, необходимо показатель степени преобразовать к виду обыкновенной дроби.

Например, $(2 \frac{3}{7})^{1 \frac{2}{7}}=(2 \frac{3}{7})^\frac{9}{7}=\sqrt{(2 \frac{3}{7})^9}$, $7^{3,6}=7^\frac{36}{10}=\sqrt{7^{36}}$.

Степень с иррациональным и действительным показателем

К действительным числам относятся рациональные и иррациональные числа.

Разберем понятие степени с иррациональным показателем, т.к. степень с рациональным показателем мы рассмотрели.

Рассмотрим последовательность приближений к числу $\alpha$, которые являются рациональными числами. Т.е. имеем последовательность рациональных чисел $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, которые определяют число $\alpha$ с любой степенью точности. Если вычислить степени с этими показателями $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, то окажется, что эти числа являются приближениями к некоторому числу $b$.

Определение 4

Степенью числа $a>0$ с иррациональным показателем $\alpha$ называется выражение $a^\alpha$, которое имеет значение, равное пределу последовательности $a^{\alpha_1}$, $a^{\alpha_2}$, $a^{\alpha_3}$, $\ldots$, где $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … – последовательные десятичные приближения иррационального числа $\alpha$.

В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.

Навигация по странице.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n - это выражение вида a n , значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, .
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a , то есть, a 1 =a .

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 .

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 .

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n .

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к .

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m .

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода.

Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

Определение.

Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .

Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

Определение.

Степень нуля с дробным положительным показателем m/n , где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).

Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

Определение.

Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для



Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а .

Тема урока: Степень с действительным показателем.

Задачи:

• Образовательные :
  • обобщить понятие степени;
  • отработать умение находить значение степени с действительным показателем;
  • закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;
  • выработать навык использования свойств степени при вычислениях.
• Развивающие :
  • интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;
  • развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
  • активизировать самостоятельную деятельность;
  • развивать познавательный интерес.
• Воспитательные :
  • воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;
  • эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем.

Учащиеся должны уметь:

• определять имеет ли смысл выражение со степенью;
• использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;
• решать примеры, содержащие степень;
• сравнивать, находить сходства и отличия.

Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Тип урока: урок исследовательской и практической работы.

ХОД УРОКА

Организационный момент

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.
Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».
И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание
Показатель (Степень)
Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

2. Какая наша стратегическая цель? (ЕГЭ)
Какие цели нашего урока ?
– Обобщить понятие степени.

Задачи:

– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков.

3. Итак, а р, где р – число действительное.
Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , 43, ) степени

– с натуральным показателем
– с целым показателем
– с рациональным показателем
– с иррациональным показателем

4. При каких значениях а имеет смысл выражение

аn, где n (а – любое)
аm, где m (а 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?
, где (а0)

5. Из данных выражений выберете те, которые смысла не имеют:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6. Вычислите. Ответы в каждом столбике обладают одним общим свойством. Укажите лишний ответ (этим свойством не обладающий)

2 = =
= 6 = (неправ. др.) = (нельзя записать дес. др.)
= (дробь) = =

7. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

Один ученик записывает формулы (свойства) в общем виде.

8. Дополнить степени из п.3 так, чтобы к полученному примеру можно было применить свойства степени.

(Один человек работает у доски, остальные в тетрадях. Для проверки обменяться тетрадями, а ещё один выполняет действия на доске)

9. На доске (работает ученик):

Вычислите : =

Самостоятельно (с проверкой на листах)

Какой из ответов не может получиться в части «В» на ЕГЭ? Если в ответе получилось , то как записать такой ответ в части «В»?

10. Самостоятельное выполнение задания (с проверкой у доски – несколько человек)

Задание с выбором ответа

1
2	:
3	0,3
4

11. Задание с кратким ответом (решение у доски):

+ + (60)5 2 – 3–4 27 =

Самостоятельно с проверкой на скрытой доске:

– – 322– 4 + (30)4 4 =

12 . Сократите дробь (на доске):

В это время один человек решает на доске самостоятельно: = (класс проверяет)

13. Самостоятельное решение (на проверку)

На отметку «3»: Тест с выбором ответа:

1. Укажите выражение, равное степени

1.

2.

3.

4.

2. Представьте в виде степени произведение: – Спасибо за урок!

Для любого угла α такого, что α ≠ πk/2 (k принадлежит множеству Z), справедливо:

Для любого угла α справедливы равенства:

Для любого угла α такого, что α ≠ πk (k принадлежит множеству Z), справедливо:

Формулы приведения

В таблице даны формулы приведения для тригонометрических функций.

Функция (угол в º)	90º - α	90º + α	180º - α	180º + α	270º - α	270º + α	360º - α	360º + α
sin	cos α	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α
cos	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α	cos α
tg	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α
ctg	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α
Функция (угол в рад.)	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α

Четность тригонометрических функций. Углы φ и -φ образуются при повороте луча в двух взаимно противоположных направлениях (по часовой стрелке и против часовой стрелки).
Поэтому конечные стороны OA 1 и ОА 2 этих углов симметричны относительно оси абсцисс. Координаты векторов единичной длины OA 1 = (х 1 , у 1) и ОА 2 = (х 2 , y 2) удовлетворяют соотношениям: х 2 = х 1 y 2 = -у 1 Поэтому cos(-φ) = cosφ, sin (- φ) = -sin φ, Следовательно, синус является нечетной, а косинус- четной функцией угла.
Далее имеем:
Поэтому тангенс и котангенс являются нечетными функциями угла.

8)Обра́тныетригонометри́ческиефу́нкции - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

§ аркси́нус (обозначение: arcsin)

§ аркко́синус (обозначение: arccos)

§ аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)

§ арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccotan)

§ арксе́канс (обозначение: arcsec)

§ арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc - дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin −1 для арксинуса и т.п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Свойства функции arcsin

(функция является нечётной). при .

при

при

Свойства функции arccos[

· (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.

·

·

·

Свойства функции arctg

·

· , при x > 0.

Свойства функции arcctg

· (график функции центрально-симметричен относительно точки

· при любых

·

12)Степенью числа a > 0 с рациональным показателем является степень, показатель которой представим в виде обыкновенной несократимой дроби x = m/n, где m целое, а n натуральное число, причём n > 1 (x - показатель степени).

Степень с действительным показателем

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число - основанием степени, число - показателем степени.

По определению полагают:

Если и - положительные числа, и - любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

14)Логари́фм числа по основанию (от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число» ) определяется какпоказатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: "логарифм по основанию ".

Свойства логарифмов:

1° - основное логарифмическое тождество.

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4° - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5° - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6° - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°

8°

9° - переход к новому основанию.

15)Действительное число - (вещественное число) , любое положительное, отрицательное число или нуль. Посредством действительных чисел выражаются результаты измерения всех физических величин. ;

16)Мнимая единица - обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли-Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. мнимые числа ) - числа вида , где и - вещественные числа, - мнимая единица; то есть . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается от лат. complex - тесно связанный.

Тема урока: Степень с рациональным и действительным показателями.

Цели:

Образовательные :

• обобщить понятие степени;

  отработать умение находить значение степени с действительным показателем;

  закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;

  выработать навык использования свойств степени при вычислениях.

Развивающие :

• интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;

  развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

  активизировать самостоятельную деятельность;

  развивать познавательный интерес.

Воспитательные :

• воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;

  эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем

Учащиеся должны уметь:

определять имеет ли смысл выражение со степенью;

использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;

решать примеры, содержащие степень;

сравнивать, находить сходства и отличия.

Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Педагогические технологии : проблемное обучение, обучение в сотрудничестве, личностно - ориентированное обучение, коммуникативное.

Тип урока: урок исследовательской и практической работы.

Наглядность к уроку и раздаточный материал:

презентация

формулы и таблицы (приложение 1,2)

задание для самостоятельной работы (приложение 3)

План урока

№

Этап урока

Цель этапа

Время,мин.

Начало урока

Сообщение темы урока, постановка целей урока.

1-2 мин

Устная работа

Повторить формулы степеней.

Свойства степеней.

4-5 мин.

Фронтальное решение у

доски из учебника №57(1,3,5)

№58(1,3,5) с подробным следованием плану решения.

Формирование умений и навыков

у учащихся применять свойства

степеней при нахождениях значений выражения.

8-10 мин.

Работа в микрогруппах.

Выявление пробелов в знаниях

учащихся, создание условий для

индивидуального развития ученика

на уроке.

15-20 мин.

Подведение итогов работы.

Отследить успешность работы

Учащихся при самостоятельном решении задач по теме, выяснить

характер затруднений, их причины,

указать коллективно пути решения.

5-6 мин.

Домашнее задание

Познакомить учащихся с заданием на дом. Дать необходимые пояснения.

1-2 мин.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Здравствуйте ребята! Запишите в тетрадях число, тема урока.

Рассказывают, что изобретатель шахмат в награду за свое изобретение попросил у раджи немного риса: на первую клетку доски он попросил положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью- ещё в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки.

Его просьба показалась радже слишком скромной, однако вскоре выяснилось, что выполнить её невозможно. Число зёрн, которые нужно было передать изобретателю шахмат в награду, выражается суммой

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

Эта сумма равна огромному числу

18446744073709551615

И она столь велика, что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты, включая мировой океан.

Степени используют при записи чисел и выражений, что делает их более компактными и удобными для выполнения действий.

Часто степени употребляются при измерении физических величин, которые могут быть «очень большими» и «очень маленькими».

Масса Земли 6000000000000000000000т записывают в виде произведения 6.10 21 т

Диаметр молекулы воды 0,0000000003м записывают в виде произведения

3.10 -10 м.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание
Показатель (Степень)

Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

2. Итак а x ,где х- действительное число. Выберите из выражений

С натуральным показателем

С целым показателем

С рациональным показателем

С иррациональным показателем

3. Какая наша цель? (ЕГЭ)
Какие цели нашего урока ?
– Обобщить понятие степени.

Задачи:

– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков

4 . Степень с рациональным показателем

Основание

степени

Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n

r = n

r = - n

r = 0

r = 0

r =0

a n = a . a . … . a

a -n =

a 0 =1

a n =a.a. … .a

a -n =

Не существует

Не существует

a 0 =1

а=0

0 n =0

Не существует

Не существует

Не существует

5 . Из данных выражений выберете те, которые смысла не имеют:

6 . Определение

Если число r - натуральное, то а r есть произведение r чисел, каждое из которых равно а:

a r = a . a . … . a

Если число r - дробное и положительное, то есть, где m и n - натуральные

числа, то

Если показатель r является рациональным и отрицательным, то выражение a r

определяется как величина, обратная к a - r

или

Если

7 . Например

8 . Степени положительных чисел обладают следующими основными свойствами:

9 . Вычислить

10. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

А)При умножении степеней с равными основаниями

1)Основания умножаются, а показатель остаётся прежним

Б)При делении степеней с равными основаниями

2)Основания делятся, а показатель остаётся прежним

В)При возведении степени в степень

3)Основание остаётся прежним, а показатели умножаются

Г)При умножении степеней с равными показателями

4)Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются

Д)При делении степеней с равными показателями

5)Основание остаётся прежним, а показатели складываются

11 . Из учебника (у доски)

Для решения в классе:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . По материалам ЕГЭ

(самостоятельная работа) на листочках

XIV века.

Ответ: Орезма. 13. Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями:

14. Домашнее задание

§ 5 (знать определения, формулы)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

В заключение урока:

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»

– Так сказал великий русский математик Михаил Ломоносов.

– Спасибо за урок!

Приложение 1

1.Степени. Основные свойства

Показателем

a 1 =a

a n =a.a. … .a

a R n

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

Степень с целым показателем

a 0 =1,

где a

0 0 -не определено.

Степень с рациональным

Показателем

где a

m n

Степень с иррациональным показателем

Ответ: ==25,9...

1. a x . a y =a x+y

2.a x : a y = = a x-y

3. .(a x ) y =a x.y

4.(a.b) n =a n .b n

5. (=

6. (

Приложение 2

2. Степень с рациональным показателем

Основание

степени

Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n

r = n

r = - n

r = 0

r = 0

r =0

a n = a . a . … . a

a -n =

a 0 =1

a n =a.a. … .a

a -n =

Не существует

Не существует

a 0 =1

а=0

0 n =0

Не существует

Не существует

Не существует

Приложение 3

3. Самостоятельная работа

Впервые действия над степенями использовал французский математик XIV века.

Расшифруйте фамилию французского ученого.