Ромбтың ауданын табу. Ромбтың ауданын қалай табуға болады

Математика – ғылымдардың, арифметика – математиканың патшайымы болғанымен, мектеп оқушылары үшін ең қиыны – геометрия. Планиметрия – геометрияның жазық фигураларды зерттейтін бөлімі. Бұл фигуралардың бірі - ромб. Төртбұрыштарды шешудегі есептердің көпшілігі олардың аудандарын табуға келеді. Біз белгілі формулаларды және ромбтың ауданын есептеудің әртүрлі әдістерін жүйелейміз.

Ромб – төрт қабырғасы тең параллелограмм. Еске салайық, параллелограмның төрт бұрышы және төрт жұп параллель қабырғалары бар. Кез келген төртбұрыш сияқты, ромбтың да келесіге дейін қайнайтын бірқатар қасиеттері бар: диагональдарды кесіп өткенде олар 90 градусқа тең бұрыш жасайды (AC ⊥ BD), қиылысу нүктесі әрқайсысын екі тең кесіндіге бөледі. Ромбтың диагональдары сонымен қатар оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, т.б.). Бұдан шығатыны, олар ромбты төрт бірдей тікбұрышты үшбұрышқа бөледі. Екінші дәрежеге көтерілген диагональдардың ұзындықтарының қосындысы екінші дәрежеге жағының ұзындығының 4-ке көбейтіндісіне тең, яғни. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Планиметрияда ромбтың ауданын есептеу үшін қолданылатын көптеген әдістер бар, олардың қолданылуы бастапқы деректерге байланысты. Егер сіз қабырғаның ұзындығын және кез келген бұрышты білсеңіз, келесі формуланы қолдануға болады: ромбтың ауданы қабырғаның квадратына және бұрыштың синусына тең. Тригонометрия курсынан sin (π - α) = sin α екені белгілі, бұл кез келген сүйір және доғал бұрыштың синусын есептеулерде қолдануға болатынын білдіреді. Ерекше жағдай - ромб, оның барлық бұрыштары дұрыс. Бұл шаршы. Тік бұрыштың синусы біреуге тең болатыны белгілі, сондықтан шаршының ауданы оның екінші дәрежеге көтерілген қабырғасының ұзындығына тең.

Егер жақтарының ұзындығы белгісіз болса, диагональдардың ұзындығын қолданамыз. Бұл жағдайда ромбтың ауданы үлкен және кіші диагональдардың көбейтіндісінің жартысын құрайды.

Диагональдардың белгілі ұзындығымен және кез келген бұрыштың мәнімен ромбтың ауданы екі жолмен анықталады. Біріншіден: аудан үлкен диагональдың жарты квадраты, сүйір бұрыштың жарты градустық өлшемінің тангенсіне көбейтілген, яғни. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), мұндағы D – үлкен диагональ, α – сүйір бұрыш. Кіші диагональ өлшемін білсеңіз, 1/2*d 2 *tg(β/2) формуласын пайдаланыңыз, мұндағы d – кіші диагональ және β – доғал бұрыш. Еске салайық, сүйір бұрыштың өлшемі 90 градустан аз (тік бұрыштың өлшемі), ал доғал бұрыш сәйкесінше 90 0-ден үлкен.

Ромбтың ауданын қабырғасының ұзындығын (еске салайық, ромбтың барлық қабырғалары тең) және биіктігі арқылы табуға болады. Биіктігі - бұрыштың қарама-қарсы жағында немесе оның жалғасында түсірілген перпендикуляр. Биіктіктің негізі ромбтың ішінде орналасуы үшін оны доғал бұрыштан түсіру керек.

Кейде есептер ішінде сызылған шеңберге қатысты деректер негізінде ромбтың ауданын табу қажет. Бұл жағдайда сіз оның радиусын білуіңіз керек. Есептеуге болатын екі формула бар. Сонымен, қойылған сұраққа жауап беру үшін ромбтың қабырғасы мен сызылған шеңбердің радиусының көбейтіндісін екі есе көбейтуге болады. Басқаша айтқанда, сіз ромбтың жағына жазылған шеңбердің диаметрін көбейтуіңіз керек. Егер есептің шарты бұрыштың мәнін ұсынса, онда аудан радиустың төртке көбейтілген квадраты мен бұрыштың синусы арасындағы бөлік арқылы өтеді.

Көріп отырғаныңыздай, ромбтың ауданын табудың көптеген жолдары бар. Әрине, олардың әрқайсысын есте сақтау үшін сізге шыдамдылық, мұқият болу және, әрине, уақыт қажет. Бірақ кейінірек тапсырмаңызға сәйкес әдісті оңай таңдап, геометрияның оңай екеніне көз жеткізе аласыз.

барлық қабырғалары тең параллелограмм.

Тік бұрыштары бар ромб шаршы деп аталады және ромбтың ерекше жағдайы болып саналады. Ромбтың ауданын оның барлық элементтерін - қабырғаларын, диагональдарын, биіктігін пайдалана отырып, әртүрлі тәсілдермен табуға болады. Ромб ауданы үшін классикалық формула - биіктік арқылы мәнді есептеу.

Бұл формуланы пайдаланып ромбтың ауданын есептеудің мысалы өте қарапайым. Сізге тек деректерді қосып, аумақты есептеу керек.

Диагональдар бойынша ромбтың ауданы

Ромбтың диагональдары тік бұрыш жасап қиылысады және қиылысу нүктесінде екіге бөлінеді.

Диагональдар бойынша ромбтың ауданының формуласы оның диагональдарының 2-ге бөлінген көбейтіндісі болып табылады.

Ромбтың ауданын диагональдар арқылы есептеудің мысалын қарастырыңыз. Диагональдары бар ромб берілсін
d1 =5 см және d2 =4. Ауданды табайық.

Бүйірлер арқылы ромбтың ауданына арналған формула басқа элементтерді пайдалануды білдіреді. Егер шеңбер ромбқа жазылған болса, онда фигураның ауданын қабырғалары мен оның радиусы бойынша есептеуге болады:

Бүйірлері арқылы ромбтың ауданын есептеудің мысалы өте қарапайым. Тек сызылған шеңбердің радиусын есептеу қажет. Оны Пифагор теоремасынан және формуласынан алуға болады.

Ромбтың қабырғасы мен бұрышының аудандары

Ромбтың қабырғасы мен бұрышы арқылы ауданы үшін формула жиі қолданылады.

Ромбтың ауданын қабырғасы мен бұрышы арқылы есептеудің мысалын қарастырыңыз.

Тапсырма:Диагональдары d1 =4 см,d2 =6 см ромб берілген.Сүйір бұрышы α = 30°. Қабырғасы мен бұрышы берілген фигураның ауданын табыңыз.
Алдымен ромбтың қабырғасын табайық. Ол үшін Пифагор теоремасын қолданамыз. Біз қиылысу нүктесінде диагональдардың екіге бөлініп, тік бұрыш жасайтынын білеміз. Демек:
Мәндерді ауыстырыңыз:
Енді біз жағы мен бұрышын білеміз. Ауданды табайық:

Ромб – геометриядағы ерекше фигура. Арнайы қасиеттеріне байланысты ромбтың ауданын есептейтін бір емес, бірнеше формулалар бар. Бұл қасиеттер қандай және бұл фигураның ауданын табудың ең көп тараған формулалары қандай? Оны анықтап көрейік.

Қандай геометриялық фигура ромб деп аталады

Ромбтың ауданы қандай екенін білмес бұрын, оның қандай фигура екенін білу керек.

Евклид геометриясының кезінен бастап ромб төрт қабырғасының ұзындығы тең және жұптары параллель болатын симметриялы төртбұрыш деп аталды.

Терминнің шығу тегі

Бұл қайраткердің атауы қазіргі тілдердің көпшілігіне грек тілінен латын тілінің делдалдығы арқылы келді. «Ромб» сөзінің «тегі» гректің ῥόμβος (бубен) есімдігі болды. Жиырмасыншы ғасырдың тұрғындары дөңгелек домбыраға үйренгенімен, оларды басқа пішінде елестету қиын, бірақ эллиндер арасында бұл музыкалық аспаптар дәстүрлі түрде дөңгелек емес, гауһар тас түрінде жасалған.

Қазіргі тілдердің көпшілігінде бұл математикалық термин латын тіліндегідей қолданылады: rombus. Дегенмен, ағылшын тілінде гауһар кейде алмаз (гауһар немесе алмаз) деп аталады. Бұл фигура қымбат тасты еске түсіретін ерекше пішініне байланысты осындай лақап атқа ие болды. Әдетте, ұқсас термин барлық ромбтар үшін емес, тек оның екі жағының қиылысу бұрышы алпыс немесе қырық бес градус болатындар үшін қолданылады.

Бұл көрсеткіш алғаш рет жаңа дәуірдің бірінші ғасырында өмір сүрген грек математигі - Александриялық Геронның жазбаларында айтылған.

Бұл геометриялық фигураның қандай қасиеттері бар

Ромбтың ауданын табу үшін алдымен берілген геометриялық фигураның қандай ерекшеліктері бар екенін білу керек.

Қандай жағдайларда параллелограмм ромб болады?

Өздеріңіз білетіндей, әрбір ромб параллелограмм, бірақ әрбір параллелограмм ромб емес. Ұсынылған фигура жай параллелограмм емес, шын мәнінде ромб екенін нақты дәлелдеу үшін ол ромбты ажырататын негізгі үш белгінің біріне сәйкес келуі керек. Немесе үшеуі де бірден.

Параллелограммның диагональдары тоқсан градус бұрыш жасап қиылысады.
Диагональдар бұрыштарды екіге бөліп, олардың биссектрисасы қызметін атқарады.
Параллель ғана емес, сонымен қатар көрші жақтары да бірдей ұзындыққа ие. Айтпақшы, бұл ромб пен параллелограммның негізгі айырмашылығының бірі, өйткені екінші фигураның ұзындығы бірдей тек параллель жақтары ғана бар, бірақ іргелес емес.

Қандай жағдайларда ромб шаршы болады?

Оның қасиеттеріне сәйкес, кейбір жағдайларда ромб бір мезгілде шаршыға айналуы мүмкін. Бұл мәлімдемені көзбен растау үшін шаршыны кез келген бағытта қырық бес градусқа бұру жеткілікті. Алынған фигура ромб болады, оның бұрыштарының әрқайсысы тоқсан градусқа тең.

Сондай-ақ, шаршының ромб екенін растау үшін осы фигуралардың белгілерін салыстыруға болады: екі жағдайда да барлық қабырғалары тең, ал диагональдары биссектриса болып табылады және тоқсан градус бұрышта қиылысады.

Ромбтың ауданын оның диагональдары арқылы қалай табуға болады

Қазіргі әлемде Интернетте қажетті есептеулерді орындау үшін барлық дерлік материалдарды таба аласыз. Сонымен, белгілі бір фигураның ауданын автоматты түрде есептеуге арналған бағдарламалармен жабдықталған көптеген ресурстар бар. Оның үстіне, егер (ромб жағдайындағы сияқты) бұл үшін бірнеше формулалар болса, олардың қайсысын қолдануға ыңғайлы болатынын таңдауға болады. Дегенмен, ең алдымен, сіз компьютердің көмегінсіз ромбтың ауданын есептеп, формулаларды шарлауыңыз керек. Ромб үшін олардың көпшілігі бар, бірақ олардың ең танымалы - төртеуі.

Бұл фигураның ауданын анықтаудың ең қарапайым және кең таралған әдістерінің бірі - оның диагональдарының ұзындығы туралы ақпаратыңыз болса. Егер мәселеде бұл деректер болса, бұл жағдайда ауданды табу үшін келесі формуланы қолдануға болады: S = KM x LN / 2 (KM және LN - KLMN ромбының диагональдары).

Бұл формуланың дұрыстығын іс жүзінде тексеруге болады. Айталық, KLMN ромбының диагональдарының біреуінің ұзындығы KM - 10 см, ал екінші LN - 8 см. Содан кейін біз бұл деректерді жоғарыдағы формулаға ауыстырамыз және келесі нәтиже аламыз: S \u003d 10 x 8 / 2 \u003d 40 см 2.

Параллелограмның ауданын есептеу формуласы

Басқа формула бар. Ромбтың анықтамасында жоғарыда айтылғандай, ол жай төртбұрыш емес, сонымен қатар параллелограмм және бұл фигураның барлық белгілері бар. Бұл жағдайда оның ауданын табу үшін параллелограмм үшін қолданылатын формуланы қолданған жөн: S \u003d KL x Z. Бұл жағдайда KL - параллелограммның (ромб) қабырғасының ұзындығы, ал Z - осы жаққа сызылған биіктіктің ұзындығы.

Кейбір есептерде қабырғасының ұзындығы берілмейді, бірақ ромбтың периметрі белгілі. Оны табу формуласы жоғарыда көрсетілгендіктен, оны жағының ұзындығын білу үшін де қолдануға болады. Сонымен, фигураның периметрі 10 см.Бүйірінің ұзындығын периметрдің формуласын төңкеріп, 10-ды 4-ке бөлу арқылы табуға болады. Нәтиже 2,5 см болады - бұл ромбтың қалаған жағының ұзындығы.

Енді бүйірге сызылған биіктіктің ұзындығы да 2,5 см екенін біле отырып, бұл санды формулаға ауыстыруға тырысқан жөн.Енді бұл мәндерді аудан үшін жоғарыдағы формулаға енгізуге тырысайық. u200b параллелограмм. Ромбтың ауданы S = 2,5 x 2,5 = 6,25 см 2 екені белгілі болды.

Ромбтың ауданын есептеудің басқа әдістері

Синустар мен косинустарды меңгерген адамдар ромбтың ауданын табу үшін олардан тұратын формулаларды пайдалана алады. Классикалық мысал келесі формула болып табылады: S = KM 2 x Sin KLM. Бұл жағдайда фигураның ауданы ромбтың екі жағының көбейтіндісіне, олардың арасындағы бұрыштың синусына көбейтілгенге тең болады. Ал ромбта барлық қабырғалары бірдей болғандықтан, формулада көрсетілгендей бір жағын бірден шаршыға айналдыру оңайырақ.

Біз бұл схеманы ромбқа ғана емес, барлық бұрыштары тік болатын шаршыға да тексереміз, яғни олар тоқсан градусқа тең. Қабырғаларының бірі 15 см делік.90° бұрыштың синусы бірге тең екені де белгілі. Содан кейін, формулаға сәйкес, S \u003d 15 x 15 x Sin 90 ° \u003d 255x1 \u003d 255 см 2.

Жоғарыда айтылғандарға қосымша, кейбір жағдайларда ромбтың ауданын анықтау үшін синусын қолданатын басқа формула қолданылады: S \u003d 4 x R 2 / Sin KLM. Бұл нұсқада ромбқа сызылған шеңбердің радиусы қолданылады. Ол шаршының деңгейіне көтеріліп, төртке көбейтіледі. Ал бүкіл нәтиже сызылған фигураға іргелес бұрыштың синусына бөлінеді.

Мысал ретінде, есептеулердің қарапайымдылығы үшін шаршыны қайтадан алайық (оның бұрышының синусы әрқашан бірге тең болады). Оған жазылған шеңбердің радиусы 4,4 см.Одан кейін ромбтың ауданы келесідей есептеледі: S \u003d 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° \u003d 77,44 см 2

Ромбтың радиусын табуға арналған жоғарыда келтірілген формулалар өз түріндегі жалғыз формулалардан алыс, бірақ олар түсінуге және есептеулерді орындауға оңай.

Геометриялық аудан- осы фигураның өлшемін көрсететін геометриялық фигураның сандық сипаттамасы (осы фигураның тұйық контурымен шектелген бетінің бөлігі). Ауданның өлшемі ондағы шаршы бірліктердің санымен көрсетіледі.

Үшбұрыш ауданы формулалары

Қабырғасы мен биіктігі үшін үшбұрыш ауданы формуласы
Үшбұрыштың ауданыүшбұрыштың қабырғасының ұзындығы мен осы қабырғаға түсірілген биіктік ұзындығының көбейтіндісінің жартысына тең
Үшбұрыштың ауданына арналған формулада үш қабырғасы және шектелген шеңбердің радиусы берілген
Үшбұрыштың ауданы үшін формула үш қабырғасы және сызылған шеңбердің радиусы берілген
Үшбұрыштың ауданыүшбұрыштың жарты периметрі мен іштей сызылған шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең.

Шаршы аудан формулалары

Қабырғасының ұзындығы берілген шаршының ауданы формуласы
Шаршы алаңыоның қабырғасының ұзындығының квадратына тең.
Диагоналдың ұзындығы берілген шаршының ауданы формуласы
Шаршы алаңыоның диагоналінің ұзындығының квадратының жартысына тең.
S= 1 2
2

Тіктөртбұрыш ауданының формуласы

Тіктөртбұрыш ауданы

Параллелограмның ауданына арналған формулалар

Бүйір ұзындығы мен биіктігі үшін параллелограммның ауданы формуласы
Параллелограмм ауданы
Параллелограмның ауданының формуласы екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышты береді
Параллелограмм ауданыоның қабырғаларының ұзындықтарының олардың арасындағы бұрыштың синусына көбейтіндісіне тең.
a b sinα

Ромб ауданына арналған формулалар

Ромб ауданы формуласы берілген қабырғаның ұзындығы мен биіктігі
Ромб аймағыоның бүйірінің ұзындығы мен осы жағына түсірілген биіктік ұзындығының көбейтіндісіне тең.
Қабырғасының ұзындығы мен бұрышы берілген ромбтың ауданы формуласы
Ромб аймағыоның қабырғасының ұзындығының квадраты мен ромбтың қабырғалары арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісіне тең.
Ромбтың диагональдарының ұзындығынан оның ауданын анықтау формуласы
Ромб аймағыоның диагональдарының ұзындықтарының көбейтіндісінің жартысына тең.

Трапеция ауданы формулалары

Трапецияның Герон формуласы
Мұндағы S – трапеция ауданы,
- трапеция табандарының ұзындығы;
- трапецияның қабырғаларының ұзындығы,

Ромб (ежелгі грек тілінен ῥόμβος және латын тілінен аударғанда rombus «тамбур») — параллелограмм, ол бірдей ұзындықтағы қабырғалардың болуымен сипатталады. Бұрыштар 90 градус (немесе тік бұрыш) болған жағдайда мұндай геометриялық фигураны шаршы деп атайды. Ромб – геометриялық фигура, төртбұрыштың бір түрі. Ол шаршы да, параллелограмм да болуы мүмкін.

Терминнің шығу тегі

Ежелгі дүниенің жұмбақ сырларын аз да болса ашуға септігін тигізетін бұл қайраткердің тарихына біраз тоқталайық. Мектеп әдебиетінде жиі кездесетін бізге таныс «ромб» сөзі ежелгі гректің «дамбурин» сөзінен шыққан. Ежелгі Грецияда бұл музыкалық аспаптар ромб немесе шаршы түрінде жасалған (қазіргі аспаптарға қарағанда). Сіз карта костюмі - бубен - ромб тәрізді пішінге ие екенін байқадыңыз. Бұл костюмнің қалыптасуы күнделікті өмірде дөңгелек гауһар тастар пайдаланылмайтын күндерден басталады. Демек, ромб – адамзат доңғалақ пайда болғанға дейін көп бұрын ойлап тапқан ең көне тарихи тұлға.

Алғаш рет «ромб» деген сөзді Герон мен Александрия папасы сияқты атақты тұлғалар қолданған.

Ромб қасиеттері

Ромбтың қабырғалары бір-біріне қарама-қарсы және жұп параллель болғандықтан, ромбтың параллелограмм екені сөзсіз (AB || CD, AD || BC).
Ромбтық диагональдар тік бұрышпен қиылысады (AC ⊥ BD), сондықтан перпендикуляр. Сондықтан қиылысу диагональдарды екіге бөледі.
Ромбтық бұрыштардың биссектрисалары ромбтың диагональдары болып табылады (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, т.б.).
Параллелограммдардың сәйкестігінен ромбтың диагональдарының барлық квадраттарының қосындысы қабырғасының квадратының 4-ке көбейтілген саны болатыны шығады.

Ромбтың белгілері

Бұл жағдайда ромб келесі шарттарды орындағанда параллелограмм болып табылады:

Параллелограмның барлық қабырғалары тең.
Ромбтың диагональдары тік бұрышпен қиылысады, яғни олар бір-біріне перпендикуляр (AC⊥BD). Бұл үш жақтың ережесін дәлелдейді (қабырғалары тең және 90 градус бұрышта).
Параллелограммның диагональдары бұрыштарды бірдей бөледі, өйткені қабырғалары тең.

Ромб аймағы

Ромбтың ауданы оның барлық диагональдарының жартысына көбейтіндісіне тең.
Ромб параллелограмның бір түрі болғандықтан, ромбтың ауданы (S) параллелограммның қабырғасы мен биіктігінің көбейтіндісінің саны (h).
Сонымен қатар, ромбтың ауданын ромбтың квадрат жағы мен бұрыштың синусының көбейтіндісі болып табылатын формула арқылы есептеуге болады. Бұрыштың синусы альфа – бастапқы ромбтың қабырғаларының арасындағы бұрыш.
Екі еселенген альфа бұрышы мен сызылған шеңбер радиусының (r) көбейтіндісі болатын формула дұрыс шешім үшін әбден қолайлы болып саналады.