Бұл мақала екі сұраққа жауап береді: «Не?» және «Қалай табуға болады нүктенің жазықтықтағы проекциясының координаталары«? Алдымен проекция және оның түрлері туралы қажетті мәліметтер беріледі. Әрі қарай нүктенің жазықтыққа проекциясының анықтамасы беріліп, графикалық иллюстрация беріледі. Осыдан кейін нүктенің жазықтыққа проекциясының координаталарын табу әдісі алынды. Қорытындылай келе, берілген нүктенің берілген жазықтыққа проекциясының координаталары есептелетін мысалдардың шешімдері талданады.

Бетті шарлау.

Проекция, проекция түрлері – қажетті ақпарат.

Кеңістіктік фигураларды зерттегенде олардың кескіндерін сызбада пайдалану ыңғайлы. Кеңістіктік фигураның суреті деп аталады болжамбұл фигура ұшаққа. Кеңістіктік фигураның кескінін жазықтықта салу процесі белгілі бір ережелер бойынша жүреді. Сонымен, бұл процесс орындалатын ережелер жиынтығымен бірге кеңістіктегі фигураның кескінін құру процесі деп аталады. болжамосы жазықтықтағы сандар. Кескін салынған жазықтық деп аталады проекция жазықтығы.

Проекция орындалатын ережелерге байланысты, бар орталықжәне параллель проекция. Біз егжей-тегжейге тоқталмаймыз, өйткені бұл мақаланың ауқымынан тыс.

Геометрияда негізінен параллель проекцияның ерекше жағдайы қолданылады - перпендикуляр проекция, ол да деп аталады ортогональды. Проекцияның бұл түрінің атауында «перпендикуляр» сын есімі жиі қабылданбайды. Яғни, геометрияда олар фигураның жазықтыққа проекциясы туралы айтқанда, әдетте бұл проекцияның перпендикуляр проекцияның көмегімен алынғанын білдіреді (әрине, егер басқаша көрсетілмесе).

Фигураның жазықтыққа проекциясы бұл фигураның барлық нүктелерінің проекциялар жазықтығына проекцияларының жиынтығы екенін ескеру қажет. Басқаша айтқанда, белгілі бір фигураның проекциясын алу үшін осы фигураның нүктелерінің жазықтыққа проекцияларын таба білу керек. Мақаланың келесі параграфы жай ғана нүктенің жазықтыққа проекциясын қалай табуға болатынын көрсетеді.

Нүктенің жазықтыққа проекциясы – анықтамасы және иллюстрациясы.

Біз нүктенің жазықтыққа перпендикуляр проекциясы туралы айтатынымызды тағы бір рет атап өтеміз.

Нүктенің жазықтыққа проекциясын анықтауға көмектесетін конструкциялар жасайық.

Үш өлшемді кеңістікте бізге М 1 нүктесі мен жазықтық берілсін. М 1 нүктесі арқылы жазықтыққа перпендикуляр а түзуін жүргізейік. Егер М 1 нүктесі жазықтықта жатпаса, онда а түзуі мен жазықтықтың қиылысу нүктесін Н 1 деп белгілейміз. Осылайша, құрылыс бойынша H 1 нүктесі М 1 нүктесінен жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың негізі болып табылады.

Анықтама.

М 1 нүктесінің жазықтыққа проекциясыМ 1 нүктесінің өзі, егер , немесе Н 1 нүктесі, егер .

Төмендегі анықтама нүктенің жазықтыққа проекциясының осы анықтамасына баламалы.

Анықтама.

Нүктенің жазықтыққа проекциясы- бұл не нүктенің өзі, егер ол берілген жазықтықта жатса, немесе осы нүктеден берілген жазықтыққа түсірілген перпендикуляр табаны.

Төмендегі сызбада Н 1 нүктесі М 1 нүктесінің жазықтыққа проекциясы; М 2 нүктесі жазықтықта жатыр, сондықтан M 2 — М 2 нүктесінің өзінің жазықтыққа проекциясы.

Нүктенің жазықтықтағы проекциясының координаталарын табу – мысалдарды шешу.

Oxyz үш өлшемді кеңістікке, нүктеге енгізілсін және ұшақ. Алдымызға тапсырма қояйық: М 1 нүктесінің жазықтыққа проекциясының координаталарын анықтау.

Есептің шешімі нүктенің жазықтыққа проекциясының анықтамасынан логикалық түрде шығады.

М 1 нүктесінің жазықтыққа проекциясын H 1 деп белгілеңіз. Анықтау бойынша нүктенің жазықтыққа проекциясы, H 1 берілген жазықтық пен жазықтыққа перпендикуляр М 1 нүктесі арқылы өтетін а түзуінің қиылысу нүктесі. Сонымен, М 1 нүктесінің жазықтыққа проекциясының қажетті координаталары а түзуінің және жазықтықтың қиылысу нүктесінің координаталары болып табылады.

Демек, нүктенің проекциясының координаталарын табу ұшақта сізге қажет:

Мысалдарды қарастырайық.

Мысал.

Нүктенің проекциясының координаталарын табыңыз ұшаққа .

Шешім.

Есептің шартында бізге форма жазықтығының жалпы теңдеуі берілген , сондықтан оны құрастырудың қажеті жоқ.

Берілген жазықтыққа перпендикуляр М 1 нүктесі арқылы өтетін а түзуінің канондық теңдеулерін жазайық. Ол үшін а түзуінің бағыттаушы векторының координаталарын аламыз. а түзуі берілген жазықтыққа перпендикуляр болғандықтан, а түзуінің бағыт векторы жазықтықтың нормаль векторы болады. . Яғни, - a түзуінің бағыттаушы векторы. Енді нүкте арқылы өтетін кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулерін жаза аламыз және бағыт векторы бар :
.

Нүктенің жазықтыққа проекциясының қажетті координаталарын алу үшін түзудің қиылысу нүктесінің координаталарын анықтау қалады. және ұшақ . Ол үшін түзудің канондық теңдеулерінен қиылысатын екі жазықтықтың теңдеулеріне өтеміз, теңдеулер жүйесін құрастырамыз. және оның шешімін табыңыз. Біз қолданамыз:

Сонымен нүктенің проекциясы ұшаққа координаттары бар.

Жауап:

Мысал.

Тік бұрышты координаталар жүйесінде Oxyz үш өлшемді кеңістікте нүктелер және . М 1 нүктесінің ABC жазықтығына проекциясының координаталарын анықтаңдар.

Шешім.

Алдымен берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазайық:

Бірақ балама тәсілді қарастырайық.

нүктесі арқылы өтетін a түзуінің параметрлік теңдеулерін алайық және ABC жазықтығына перпендикуляр. Жазықтықтың қалыпты векторының координаталары бар, демек, вектор a түзуінің бағыт векторы болып табылады. Енді біз түзудің параметрлік теңдеулерін кеңістікте жаза аламыз, өйткені біз түзудегі нүктенің координаталарын білеміз ( ) және оның бағыты векторының координаталары ( ):

Түзудің қиылысу нүктесінің координаталарын анықтау қалады және ұшақтар. Ол үшін жазықтықтың теңдеуін ауыстырамыз:
.

Енді параметрлік теңдеулер арқылы x, y және z айнымалыларының мәндерін мына жерде есептеңіз:
.

Сонымен, М 1 нүктесінің ABC жазықтығына проекциясының координаталары бар.

Жауап:

Қорытындылай келе, кейбір нүктенің координаталық жазықтықтардағы проекциясының координаталарын және координаталық жазықтықтарға параллель жазықтықтарды табуды талқылайық.

нүктелік проекциялар координаталық жазықтықтарға Oxy , Oxz және Oyz координаталары бар нүктелер болып табылады және сәйкесінше. Және нүктенің проекциялары ұшақта және сәйкесінше Oxy , Oxz және Oyz координаталық жазықтықтарына параллель болатын , координаталары бар нүктелер және .

Бұл нәтижелердің қалай алынғанын көрсетейік.

Мысалы, нүктенің проекциясын табайық ұшаққа (басқа жағдайлар осыған ұқсас).

Бұл жазықтық Ойз координаталық жазықтығына параллель және оның нормаль векторы болып табылады. Вектор – Ойз жазықтығына перпендикуляр түзудің бағыт векторы. Сонда берілген жазықтыққа перпендикуляр М 1 нүктесі арқылы өтетін түзудің параметрлік теңдеулері түрге ие болады.

Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесінің координаталарын табыңыз. Ол үшін алдымен теңдік теңдеуіне: , және нүктенің проекциясын ауыстырамыз.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Жоғары математика. Бірінші том: Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері.

Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитикалық геометрия.

Математикалық ұғым ретінде нүктенің өлшемдері жоқ. Әлбетте, егер проекция объектісі нөлдік өлшемді объект болса, онда оның проекциясы туралы айтудың мәні жоқ.

9-сурет 10-сурет

Нүкте астындағы геометрияда сызықтық өлшемдері бар физикалық нысанды алған жөн. Шартты түрде нүкте ретінде радиусы шексіз шағын шарды алуға болады. Нүкте түсінігін осылайша түсіндіру арқылы оның проекциялары туралы айтуға болады.

Нүктенің ортогональ проекцияларын құру кезінде ортогональ проекциясының бірінші инварианттық қасиетін басшылыққа алу керек: нүктенің ортогональ проекциясы нүкте болып табылады.

Нүктенің кеңістіктегі орны үш координатамен анықталады: X, Y, Z,нүктенің проекция жазықтықтарынан алынған қашықтықтарды көрсету. Бұл қашықтықтарды анықтау үшін проекция жазықтықтарымен осы сызықтардың түйісу нүктелерін анықтау және сәйкесінше абсцисса мәндерін көрсететін сәйкес мәндерді өлшеу жеткілікті. X, ординаталар Ыжәне аппликациялар Знүктелері (Cурет 10).

Нүктенің проекциясы деп нүктеден сәйкес проекция жазықтығына түсірілген перпендикуляр негізін айтады. Көлденең проекцияұпай аПроекциялардың горизонталь жазықтығындағы нүктенің тікбұрышты проекциясын атайды, фронталь проекциясы a /- сәйкесінше проекциялардың фронталь жазықтығы бойынша және профиль a // –профильді проекциялау жазықтығы бойынша.

Тікелей Аа, Аа /және Аа //проекциялық сызықтар деп аталады. Сонымен бірге тікелей Ах,проекциялау нүктесі БІРАҚпроекциялардың горизонталь жазықтығында, деп аталады көлденең проекциялық сызық, Аa /және Аа //- тиісінше: фронтальдыжәне профильді проекциялаушы түзу сызықтар.

Нүкте арқылы өтетін екі проекциялық түзу БІРАҚдеп аталатын жазықтықты анықтаңыз проекциялау.

Кеңістіктік орналасуды түрлендіру кезінде нүктенің фронталь проекциясы А - а /қарастырылатын түрлендіру кезінде өз орнын өзгертпейтін жазықтыққа жататын ретінде орнында қалады. Көлденең проекция – агоризонталь проекция жазықтығымен бірге сағат тілімен қозғалыс бағытына бұрылады және оське бір перпендикулярда орналасады. Xалдыңғы проекциясымен. Профиль проекциясы - а//профиль жазықтығымен бірге айналады және түрлендірудің соңында 10-суретте көрсетілген орынды алады. Сонымен бірге - а//осіне перпендикуляр болады Знүктесінен сызылады а /және осьтен жойылады Зкөлденең проекциямен бірдей қашықтық аосінен алыс X. Сондықтан нүктенің горизонталь және профиль проекциялары арасындағы байланысты екі ортогональды кесіндінің көмегімен орнатуға болады. аа жжәне а я //және осьтердің қиылысу нүктесінде центрленген шеңбердің конъюгациялық доғасы ( О- шығу тегі). Белгіленген қосылым жетіспейтін проекцияны табу үшін қолданылады (екі берілген үшін). Берілген горизонталь (профиль) және фронтальды проекциялар бойынша профильдік (горизонталь) проекцияның орнын координат басынан оське 45 0 бұрышпен жүргізілген түзудің көмегімен табуға болады. Ы(бұл биссектриса түзу деп аталады) кМонж тұрақтысы). Бұл әдістердің біріншісі дұрысырақ, өйткені ол дәлірек.

Сондықтан:

1. Кеңістіктегі нүкте жойылды:

көлденең жазықтықтан Х Z,

фронтальды жазықтықтан Вберілген координатаның мәні бойынша Y,

профильдік жазықтықтан Вкоординатаның мәні бойынша. x.

2. Кез келген нүктенің екі проекциясы бір перпендикулярға (бір байланыс сызығына) жатады:

көлденең және фронтальды - оське перпендикуляр x,

көлденең және профильді - Y осіне перпендикуляр,

фронтальды және профильді - Z осіне перпендикуляр.

3. Нүктенің кеңістіктегі орны оның екі ортогональ проекциясының орнымен толық анықталады. Сондықтан - нүктенің кез келген екі ортогональ проекциясынан оның жетіспейтін үшінші проекциясын құруға әрқашан болады.

Егер нүктенің үш нақты координаты болса, онда мұндай нүкте деп аталады жалпы позициядағы нүкте.Егер нүктенің нөлге тең бір немесе екі координатасы болса, онда мұндай нүкте деп аталады жеке позиция нүктесі.

Күріш. 11 сур. 12

11-суретте нақты позиция нүктелерінің кеңістіктік сызбасы, 12-суретте осы нүктелердің күрделі сызбасы (диаграммалары) көрсетілген. Нүкте БІРАҚфронталь проекция жазықтығына, нүктеге жатады AT– проекциялардың горизонталь жазықтығы, нүкте бірге– проекциялар мен нүктелердің профильдік жазықтығы D– абсцисса осі ( X).

Көп сызудың көмекші сызығы

Суретте көрсетілген сызбада. 4.7, а,проекция осьтері сызылады, ал кескіндер байланыс желілерімен өзара байланысады. Көлденең және профильдік проекциялар бір нүктеде центрленген доғалар арқылы байланыс желілерімен қосылады Оосьтердің қиылысулары. Дегенмен, іс жүзінде біріктірілген сызбаның басқа орындалуы да қолданылады.

Осьсіз сызбаларда кескіндер де проекциялық қатынаста орналасады. Дегенмен, үшінші проекцияны жақынырақ немесе алысырақ орналастыруға болады. Мысалы, профиль проекциясын оңға қоюға болады (4.7-сурет, б, II) немесе солға (Cурет 4.7, б, И). Бұл кеңістікті үнемдеу және өлшемді жеңілдету үшін маңызды.

Күріш. 4.7.

Егер осьсіз жүйе бойынша жасалған сызбада жоғарғы көрініс пен сол жақ көрініс арасында байланыс сызықтарын жүргізу қажет болса, онда күрделі сызбаның көмекші түзу сызығы қолданылады. Ол үшін шамамен үстіңгі көрініс деңгейінде және одан сәл оңға қарай сызбаға 45 ° бұрышпен түзу сызық сызылады (4.8-сурет, а). Ол күрделі сызбаның көмекші сызығы деп аталады. Осы түзу сызықты пайдаланып сызбаны салу тәртібі күріш. 4.8, б, с.

Егер үш көрініс салынған болса (4.8-сурет, d), онда көмекші сызықтың орнын ерікті түрде таңдауға болмайды. Алдымен ол өтетін нүктені табу керек. Ол үшін көлденең және профильдік проекциялардың симметрия осінің өзара қиылысуына дейін және алынған нүкте арқылы жалғастыру жеткілікті. к 45 ° бұрышпен түзу кесіндіні сызыңыз (4.8-сурет, г). Егер симметрия осьтері болмаса, онда нүктедегі қиылысуға дейін жалғастырыңыз кТүзу сызық ретінде проекцияланған кез келген беттің 1 көлденең және профильдік проекциясы (4.8-сурет, г).

Күріш. 4.8.

Байланыс сызықтарын, демек, қосалқы түзу сызықты салу қажеттілігі жетіспейтін проекцияларды салу кезінде және бөлшектің жеке элементтерінің проекцияларын нақтылау үшін нүктелердің проекцияларын анықтау қажет болатын сызбаларды орындау кезінде туындайды.

Көмекші жолды қолдану мысалдары келесі абзацта келтірілген.

Заттың бетінде жатқан нүктенің проекциялары

Сызбаларды жасау кезінде бөлшектің жеке элементтерінің проекцияларын дұрыс құру үшін барлық сызба кескіндерінде жеке нүктелердің проекцияларын таба білу қажет. Мысалы, суретте көрсетілген бөліктің көлденең проекциясын салу қиын. 4.9 Жеке нүктелердің проекцияларын қолданбай ( A, B, C, D, Eжәне т.б.). Нүктелердің, шеттердің, беттердің барлық проекцияларын таба білу сонымен қатар сызбадағы жазық кескіндеріне сәйкес заттың пішінін қиялда қайта жасау үшін, сонымен қатар аяқталған сызбаның дұрыстығын тексеру үшін қажет.

Күріш. 4.9.

Заттың бетінде берілген нүктенің екінші және үшінші проекцияларын табу жолдарын қарастырайық.

Егер заттың сызбасында нүктенің бір проекциясы берілсе, онда алдымен осы нүкте орналасқан беттің проекцияларын табу керек. Содан кейін мәселені шешу үшін төменде сипатталған екі әдістің бірін таңдаңыз.

Бірінші жол

Бұл әдіс проекциялардың кем дегенде біреуі берілген бетті сызық түрінде көрсеткенде қолданылады.

Суретте. 4.10, афронталь проекциясында проекция орнатылған цилиндр көрсетілген а»ұпай БІРАҚ,оның бетінің көрінетін бөлігінде жатыр (берілген проекциялар қос түсті шеңберлермен белгіленген). Нүктенің горизонталь проекциясын табу БІРАҚ,олар былай дәлелдейді: нүкте цилиндрдің бетінде жатыр, оның көлденең проекциясы шеңбер болып табылады. Бұл осы бетте жатқан нүктенің проекциясы да шеңберде болатынын білдіреді. Байланыс сызығын сызыңыз және оның шеңбермен қиылысында қажетті нүктені белгілеңіз а.үшінші проекция а»

Күріш. 4.10.

Егер нүкте AT,цилиндрдің жоғарғы табанында жатқан, оның көлденең проекциясымен берілген б,содан кейін байланыс желілері цилиндрдің үстіңгі табанының фронтальды және профильдік проекцияларын бейнелейтін түзу сызықты сегменттермен қиылысуға дейін тартылады.

Суретте. 4.10, б бөлшекті көрсетеді – екпін. Нүктенің проекцияларын салу БІРАҚ,оның горизонталь проекциясымен берілген а,жоғарғы беттің басқа екі проекциясын табыңыз (оның үстінде нүкте орналасқан БІРАҚ) және осы бетті бейнелейтін сызық сегменттерімен қиылысуға байланысты сызықтарды сызып, қажетті проекцияларды - нүктелерді анықтаңыз. а»және а".Нүкте ATсол жақ тік бетінде жатыр, яғни оның проекциялары да осы беттің проекцияларында болады. Сонымен, берілген нүктеден б»байланыс желілерін (көрсеткілермен көрсетілгендей) олар осы бетті бейнелейтін сызық сегменттерімен кездескенше сызыңыз. фронталь проекциясы бірге»ұпай МЕН,көлбеу (кеңістікте) бетке жатып, осы бетті бейнелейтін сызықта және профильде кездеседі. бірге»- қосылу сызығының қиылысында, өйткені бұл беттің профильдік проекциясы сызық емес, фигура. Нүкте проекцияларын құру Dкөрсеткілер арқылы көрсетіледі.

Екінші жол

Бұл әдіс бірінші әдісті пайдалану мүмкін болмаған кезде қолданылады. Сонда сіз мұны істеуіңіз керек:

• нүктенің берілген проекциясы арқылы берілген бетте орналасқан көмекші түзудің проекциясын салу;
• осы түзудің екінші проекциясын табыңыз;
• түзудің табылған проекциясына нүктенің берілген проекциясын ауыстырыңыз (бұл нүктенің екінші проекциясын анықтайды);
• байланыс желілерінің қиылысында үшінші проекцияны (қажет болса) табыңыз.

Суретте. 4.10, фронталь проекциясы берілген а»ұпай БІРАҚ,конус бетінің көрінетін бөлігінде жатыр. Нүкте арқылы өтетін горизонталь проекцияны табу а»нүктесі арқылы өтетін көмекші түзудің фронталь проекциясын орындаңдар БІРАҚжәне конустың жоғарғы жағы. Ұпай алыңыз Вконус табанымен жүргізілген түзудің түйісу нүктесінің проекциясы болып табылады. Түзу сызықта жатқан нүктелердің фронталь проекцияларына ие бола отырып, олардың горизонталь проекцияларын табуға болады. Көлденең проекция сконустың жоғарғы жағы белгілі. Нүкте бнегіздің шеңберінде жатыр. Осы нүктелер арқылы түзу кесіндісі жүргізіліп, оған нүкте беріледі (көрсеткіде көрсетілгендей). а»,ұпай алу а.Үшінші проекция а»ұпай БІРАҚқиылысында орналасқан.

Бірдей мәселені басқаша шешуге болады (4.10-сурет, Г).

Нүкте арқылы өтетін көмекші түзу ретінде БІРАҚ,олар бірінші жағдайдағыдай түзу сызықты емес, шеңберді қабылдайды. Бұл шеңбер нүктеде болса құрылады БІРАҚвизуалды суретте көрсетілгендей конусты табанына параллель жазықтықпен кесіңіз. Бұл шеңбердің фронталь проекциясы түзу кесінді ретінде бейнеленеді, өйткені шеңбердің жазықтығы фронталь проекция жазықтығына перпендикуляр. Шеңбердің көлденең проекциясының диаметрі осы кесіндінің ұзындығына тең. Көрсетілген диаметрдегі шеңберді сипаттай отырып, нүктеден сызыңыз а»көлденең проекциядан бастап қосалқы шеңбермен қиылысуға қосылу сызығы аұпай БІРАҚкөмекші сызықта жатыр, яғни. құрастырылған шеңберде. үшінші проекция ретінде"ұпай БІРАҚбайланыс желілерінің қиылысында кездеседі.

Дәл осылай бетінде жатқан нүктенің проекциясын табуға болады, мысалы, пирамида. Айырмашылығы, оны көлденең жазықтықпен кесіп өткенде, шеңбер емес, негізге ұқсас фигура пайда болады.

Мақсаттар:

• Зат бетіндегі нүктелердің проекцияларын салу ережелерін оқып, сызбаларды оқу.
• Кеңістіктік ойлауды, заттың геометриялық пішінін талдай білу қабілетін дамыту.
• Еңбексүйгіштікке, топпен жұмыс жасауда ынтымақтастыққа, пәнге қызығушылыққа тәрбиелеу.

САБАҚ КЕЗІНДЕ

I КЕЗЕҢ. ОҚУ ӘРЕКЕТІНІҢ МОТИВАЦИЯСЫ.

II КЕЗЕҢ. БІЛІМДЕРДІ, БІЛІМДЕРДІ, ДАҒДЫЛАРДЫ ҚАЛЫПТАСТЫРУ.

ДЕНСАУЛЫҚТЫ САҚТАУ ҮЗІЛІСІ. РЕФЛЕКЦИЯ (КӨҢІЛ-КҮЙ)

III КЕЗЕҢ. ЖЕКЕ ЖҰМЫС.

I КЕЗЕҢ. ОҚУ ӘРЕКЕТІНІҢ МОТИВАЦИЯСЫ

1) Мұғалім:Жұмыс орныңызды тексеріңіз, бәрі орнында ма? Барлығы баруға дайын ба?

ТЕРЕҢ ДЕМ АЛУ, ДЕМ АЛУ, ДЕМ АЛУ.

Схема бойынша сабақтың басында көңіл-күйіңізді анықтаңыз (мұндай схема барлығына арналған үстелде)

МЕН СІЗГЕ СӘТТІЛІК ТІЛЕЙМІН.

2)Мұғалім: «Тақырып бойынша практикалық жұмыс.Шыңдардың, шеттердің, беттердің проекциялары» проекциясында қателесетін жігіттердің бар екенін көрсетті. Олар сызбадағы сәйкес келетін екі нүктенің қайсысы көрінетін шың, қайсысы көрінбейтін нүкте екенін шатастырады; жиегі жазықтыққа параллель болғанда, ал перпендикуляр болғанда. Жиектермен бірдей нәрсе.

Қателерді қайталамау үшін кеңес беру картасын пайдаланып қажетті тапсырмаларды орындаңыз және практикалық жұмыста қателерді түзетіңіз (қолмен). Жұмыс барысында мынаны есте сақтаңыз:

«ӘР АДАМ ҚАТЕ ЖАСАЙ АЛАДЫ, ҚАТЕЛІГІНДЕ ҚҰРАДЫ – ЖЫНДЫЛАР ТЕК».

Ал тақырыпты жақсы меңгергендер шығармашылық тапсырмалармен топтық жұмыс жасайды (қараңыз. 1-қосымша ).

II КЕЗЕҢ. БІЛІМДЕРДІ, БІЛІМДЕРДІ, ДАҒДЫЛАРДЫ ҚАЛЫПТАСТЫРУ

1)Мұғалім:Өндірісте бір-біріне белгілі бір жолмен бекітілген көптеген бөлшектер бар.
Мысалға:
Жұмыс үстелінің қақпағы тік тіректерге бекітілген. Сіз отырған үстелге, қақпақ пен сөрелердің бір-біріне қалай және немен бекітілгеніне назар аударыңыз?

Жауап:Болт.

Мұғалім:Болт үшін не қажет?

Жауап:Тесік.

Мұғалім:Шынымен. Ал тесік жасау үшін оның өнімдегі орнын білу керек. Үстел жасау кезінде ұста тұтынушымен әр уақытта байланыса алмайды. Сонымен, ағаш ұстасын қамтамасыз етудің қажеті не?

Жауап:Сурет салу.

Мұғалім:Сурет салу!? Суретті не деп атаймыз?

Жауап:Сызба - объектінің проекциялық байланыстағы тікбұрышты проекциялар арқылы кескіні. Сызба бойынша сіз бұйымның геометриялық пішіні мен дизайнын көрсете аласыз.

Мұғалім:Біз тікбұрышты проекцияларды аяқтадық, содан кейін? Бір проекциядан тесіктердің орнын анықтай аламыз ба? Бізге тағы не білу керек? Нені үйрену керек?

Жауап:Нүктелерді құрастыру. Барлық көріністердегі осы нүктелердің проекцияларын табыңыз.

Мұғалім:Жарайсың! Бұл біздің сабағымыздың мақсаты және тақырыбы: Зат бетіндегі нүктелердің проекцияларын салу.Сабақтың тақырыбын дәптеріңе жаз.
Сіз бен біз объектінің кескініндегі кез келген нүкте немесе кесінді төбенің, жиектің, беттің проекциясы екенін білеміз, яғни. әрбір көрініс бір жағынан емес (ш. көрініс, үстіңгі көрініс, сол жақ көрініс) емес, бүкіл объект болып табылады.
Беттерде жатқан жеке нүктелердің проекцияларын дұрыс табу үшін алдымен осы беттің проекцияларын табу керек, содан кейін нүктелердің проекцияларын табу үшін байланыс сызықтарын пайдалану керек.

(Тақтадағы сызбаға қараймыз, үйде бір бөліктің 3 проекциясы жасалған дәптермен жұмыс жасаймыз).

- Аяқталған сызбасы бар дәптерді ашты (Тақтада жетекші сұрақтар арқылы заттың бетіндегі нүктелерді салу түсіндіріліп, оқушылар дәптерге бекітеді.)

Мұғалім:Бір нүктені қарастырыңыз AT. Осы нүктесі бар бет қандай жазықтыққа параллель?

Жауап:Бет жағы фронтальды жазықтыққа параллель.

Мұғалім:Біз нүктенің проекциясын орнатамыз b' фронтальды проекцияда. Нүктеден төмен сызыңыз b' көлденең проекцияға тік байланыс сызығы. Нүктенің горизонталь проекциясы қайда болады? AT?

Жауап:Шетіне проекцияланған беттің көлденең проекциясымен қиылысында. Және проекцияның төменгі жағында орналасқан (көрініс).

Мұғалім:Нүктенің профильдік проекциясы б'' қай жерде орналасады? Оны қалай табамыз?

Жауап:Көлденең байланыс сызығының қиылысында b' оң жақтағы тік жиегі бар. Бұл жиек нүктемен бет проекциясы болып табылады AT.

ПУНКТТІҢ КЕЛЕСІ ЖОБАСЫН САЛҒЫСЫ КЕЛГЕНДЕР БАСҚАРМАҒА ШАҚЫРАТЫН.

Мұғалім:Нүктелік проекциялар БІРАҚбайланыс желілері арқылы да орналасады. Қандай жазықтық нүктесі бар шетіне параллель БІРАҚ?

Жауап:Бет профиль жазықтығына параллель. Біз профиль проекциясында нүкте қоямыз а'' .

Мұғалім:Бет қандай проекцияда шетіне проекцияланады?

Жауап:Алдыңғы және көлденең. Фронталь проекцияда сол жақтағы вертикаль жиегі бар қиылысуға горизонталь жалғау сызығын жүргізейік, нүкте аламыз. а' .

Мұғалім:Нүктенің проекциясын қалай табуға болады БІРАҚгоризонталь проекцияда? Өйткені, нүктелердің проекциясынан байланыс желілері а' және а'' сол жақтағы көлденең проекцияда бет проекциясын (жиегін) қиып алмаңыз. Бізге не көмектесе алады?

Жауап:Тұрақты түзу сызықты қолдануға болады (ол сол жақтағы көріністің орнын анықтайды) бастап а'' тұрақты түзу сызықпен қиылысқанша тік байланыс сызығын сызыңыз. Қиылысу нүктесінен сол жақтағы тік жиегімен қиылысқанша, көлденең байланыс сызығы сызылады. (Бұл А нүктесі бар бет) және нүктемен проекцияны белгілейді а .

2) Мұғалім:Әркімнің үстелде калька ілінген тапсырма картасы бар. Сызбаны қарастырыңыз, енді проекцияларды қайта салмай, сызбадағы нүктелердің берілген проекцияларын табуға тырысыңыз.

– Оқулықтан 76-беттен табыңыз. 93. Өзіңізді сынап көріңіз. Кім дұрыс орындады – «5» » ұпай; бір қате – ''4''; екі - ''3''.

(Бағаларды өзін-өзі бақылау парағында оқушылардың өздері қояды).

- Тестілеу үшін карталарды жинаңыз.

3)Топтық жұмыс:Уақыт шектеулі: 4мин. + 2 мин. тексереді. (Оқушылары бар екі парта біріктіріліп, топ ішінен көшбасшы сайланады).

Әр топқа 3 деңгей бойынша тапсырмалар таратылады. Оқушылар деңгейлер бойынша тапсырмаларды таңдайды (өз қалауы бойынша). Нүктелерді салуға есептер шығару. Басшының қадағалауымен құрылысты талқылаңыз. Содан кейін кодоскоптың көмегімен дұрыс жауап тақтада көрсетіледі. Әркім ұпайлардың дұрыс проекцияланғанын тексереді. Топ жетекшісінің көмегімен тапсырмалар бойынша және өзін-өзі бақылау парақтарында бағалар қойылады (қараңыз. 2-қосымша және 3-қосымша ).

ДЕНСАУЛЫҚТЫ САҚТАУ ҮЗІЛІСІ. РЕФЛЕКЦИЯ

«Перғауынның позасы»- орындықтың шетіне отырыңыз, арқаңызды түзетіңіз, қолыңызды шынтақтан бүгіңіз, аяқты айқастырып, саусақтарыңызды киіңіз. Тыныс алу, тыныс алу кезінде дененің барлық бұлшықеттерін қатайту, дем шығару. 2-3 рет жасаңыз. Көзіңізді мықтап жабыңыз, жұлдыздарға, ашыңыз. Көңіл-күйіңізді белгілеңіз.

III КЕЗЕҢ. ПРАКТИКАЛЫҚ БӨЛІМ. (Жеке тапсырмалар)

Әртүрлі деңгейлерді таңдауға болатын тапсырмалар карталары бар. Оқушылар өз нұсқаларын таңдайды. Нүктелердің бетіндегі проекцияларын табыңыз. Жұмыстар келесі сабаққа тапсырылып, бағаланады. (См. 4-қосымша , 5-қосымша , 6-қосымша ).

IV КЕЗЕҢ. ФИНАЛ

1) Үйге тапсырма. (Нұсқау).Деңгейлер бойынша орындалады:

В – түсіну, «3» бойынша. 1-жаттығу сур. 94а 77 б – оқулықтағы тапсырма бойынша: осы проекциялардағы нүктелердің жетіспейтін проекцияларын аяқтаңыз.

B – өтінім, «4» бойынша. 1-жаттығу 94 а, б-сурет. жетіспейтін проекцияларды аяқтаңыз және 94a және 94b-де визуалды кескіннің шыңдарын белгілеңіз.

А – талдау, «5» бойынша. (Қиындық артады.)Мысалы. 4-сур.97 - нүктелердің жетіспейтін проекцияларын құру және оларды әріптермен белгілеу. Көрнекі сурет жоқ.

2)Рефлексиялық талдау.

1. Сабақтың соңындағы көңіл-күйді анықтау, өзін-өзі бақылау парағына кез келген белгімен белгілеу.
2. Бүгін сабақта қандай жаңа білдің?
3. Сіз үшін қандай жұмыс түрі тиімді: топтық, жеке және келесі сабақта оның қайталанғанын қалайсыз ба?
4. Тексеру парақтарын жинаңыз.

3)«Дұрыс емес мұғалім»

Мұғалім:Сіз барлық құрылыс ережелерін сақтай отырып, объектінің бетіндегі төбелердің, шеттердің, беттердің және нүктелердің проекцияларын салуды үйрендіңіз. Бірақ мұнда сізге қателер бар сызба берілді. Енді өзіңізді мұғалім ретінде көріңіз. Қателерді өзіңіз табыңыз, егер сіз барлық 8–6 қатені тапсаңыз, сәйкесінше ұпай «5» болады; 5–4 қате – «4», 3 қате – «3».

Жауаптары:

Проекциялардың профильдік жазықтығын қарастырайық. Екі перпендикуляр жазықтықтағы проекциялар әдетте фигураның орнын анықтайды және оның нақты өлшемдері мен пішінін білуге ​​мүмкіндік береді. Бірақ екі болжам жеткіліксіз болатын кездер болады. Содан кейін үшінші проекцияның құрылысын қолданыңыз.

Үшінші проекция жазықтығы бір уақытта екі проекциялық жазықтыққа перпендикуляр болатындай етіп орындалады (15-сурет). Үшінші ұшақ деп аталады профиль.

Мұндай конструкцияларда горизонталь және фронтальды жазықтықтардың ортақ сызығы деп аталады ось X , көлденең және профильдік жазықтықтардың ортақ сызығы - ось сағ , және фронтальды және профильдік жазықтықтардың ортақ түзу сызығы - ось z . Нүкте ОБарлық үш жазықтыққа жататын , бастапқы нүкте деп аталады.

15а-суретте нүкте көрсетілген БІРАҚжәне оның үш проекциясы. Профиль жазықтығына проекциялау ( а) деп аталады профиль проекциясыжәне белгілеңіз а.

Үш проекциядан тұратын А нүктесінің диаграммасын алу үшін а, а, у осі бойымен барлық жазықтықтар жасаған үшбұрышты қиып алу керек (15б-сурет) және осы жазықтықтардың барлығын фронталь проекция жазықтығымен біріктіру керек. Көлденең жазықтықты оське айналдыру керек X, ал профиль жазықтығы оське жақын z 15-суреттегі көрсеткімен көрсетілген бағытта.

16-суретте проекциялардың орны көрсетілген а, ажәне аұпай БІРАҚ, барлық үш жазықтықты сызу жазықтығымен біріктіру нәтижесінде алынған.

Кесу нәтижесінде y осі диаграммада екі түрлі жерде орын алады. Көлденең жазықтықта (16-сурет) ол тік позицияны алады (оське перпендикуляр). X), ал профильдік жазықтықта - көлденең (оське перпендикуляр). z).

16-суретте үш проекция көрсетілген а, ажәне аА нүктелері диаграммада қатаң анықталған позицияға ие және бір мәнді шарттарға бағынады:

ажәне аәрқашан осіне перпендикуляр бір тік түзуде орналасуы керек X;

ажәне аәрқашан осіне перпендикуляр бірдей көлденең сызықта орналасуы керек z;

3) горизонталь проекция және көлденең сызық арқылы, бірақ профиль проекциясы арқылы жүргізілгенде а- тік түзу, салынған сызықтар міндетті түрде проекция осьтері арасындағы бұрыштың биссектрисасында қиылысады, өйткені фигура Оасағ а 0 а n – шаршы.

Нүктенің үш проекциясын тұрғызған кезде әрбір нүкте үшін барлық үш шарттың орындалуын тексеру қажет.

Нүкте координаттары

Нүктенің кеңістіктегі орнын оның деп аталатын үш саны арқылы анықтауға болады координаттар. Әрбір координата нүктенің қандай да бір проекция жазықтығынан қашықтығына сәйкес келеді.

Нүктелік қашықтық БІРАҚпрофиль жазықтығына координаталар жатады X, Сонымен бірге X = a˝A(15-сурет), фронтальды жазықтыққа дейінгі қашықтық - у координатасы бойынша, ал у = аа, ал горизонталь жазықтыққа дейінгі қашықтық координата болып табылады z, Сонымен бірге z = aA.

15-суретте А нүктесі тіктөртбұрышты қораптың енін алып жатыр және бұл қораптың өлшемдері осы нүктенің координаталарына сәйкес келеді, яғни координаттардың әрқайсысы 15-суретте төрт рет берілген, яғни:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Диаграммада (16-сурет) x және z координаталары үш рет кездеседі:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Координатаға сәйкес келетін барлық кесінділер X(немесе z) бір-біріне параллель. Координат сағтік осьпен екі рет көрсетілген:

y \u003d Oa y \u003d a x a

және екі рет - көлденең орналасқан:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Бұл айырмашылық y осінің диаграммада екі түрлі позицияда болуына байланысты пайда болды.

Айта кету керек, әрбір проекцияның орны диаграммада тек екі координатпен анықталады, атап айтқанда:

1) көлденең – координаталар Xжәне сағ,

2) фронтальды – координаталар xжәне z,

3) профиль – координаттар сағжәне z.

Координаталарды қолдану x, yжәне z, диаграммада нүктенің проекцияларын салуға болады.

Егер А нүктесі координаталар арқылы берілсе, олардың жазбасы келесідей анықталады: A ( X; y; z).

Нүктелік проекцияларды құру кезінде БІРАҚкелесі шарттарды тексеру қажет:

1) горизонталь және фронталь проекциялар ажәне а X X;

2) фронтальды және профильдік проекциялар ажәне аосіне бірдей перпендикулярда орналасуы керек z, өйткені олардың ортақ координаты бар z;

3) көлденең проекция және сонымен қатар осьтен жойылады X, профиль проекциясы сияқты аосінен алыс z, өйткені a′ және a˝ проекцияларының ортақ координаты бар сағ.

Егер нүкте проекциялық жазықтықтардың кез келгенінде жатса, онда оның координаталарының бірі нөлге тең болады.

Нүкте проекция осінде жатқанда оның екі координатасы нөлге тең болады.

Егер нүкте координатының басында жатса, оның үш координатасы да нөлге тең.

Түзу сызықтың проекциясы

Түзуді анықтау үшін екі нүкте қажет. Нүкте горизонталь және фронталь жазықтықтағы екі проекциямен анықталады, яғни түзу оның екі нүктесінің горизонталь және фронталь жазықтықтардағы проекциялары арқылы анықталады.

17-суретте проекциялар ( ажәне а, бжәне б) екі ұпай БІРАҚжәне B. Олардың көмегімен қандай да бір түзудің орны AB. Осы нүктелердің аттас проекцияларын қосқанда (яғни. ажәне б, ажәне б) проекциялар алуға болады абжәне абтікелей AB.

18-суретте екі нүктенің проекциялары, ал 19-суретте олар арқылы өтетін түзудің проекциялары көрсетілген.

Егер түзудің проекциялары оның екі нүктесінің проекциялары арқылы анықталса, онда олар түзу сызықта алынған нүктелердің проекцияларының белгілеулеріне сәйкес келетін екі көршілес латын әріптерімен белгіленеді: сызықтың фронталь проекциясын көрсететін штрихтармен. түзу немесе штрихсыз – көлденең проекция үшін.

Егер түзудің жеке нүктелерін емес, оның проекцияларын тұтастай қарастырсақ, онда бұл проекциялар сандармен көрсетіледі.

Бір нүкте болса біргетүзу сызықта жатыр AB, оның с және с́ проекциялары бір түзудің проекцияларында абжәне аб. 19-сурет бұл жағдайды көрсетеді.

Тікелей іздер

түзу із- бұл оның қандай да бір жазықтықпен немесе бетпен қиылысу нүктесі (20-сурет).

Тікелей көлденең жолкейбір нүкте деп аталады Хсызықтың көлденең жазықтықпен түйісетін жері, және фронтальды- нүкте В, онда бұл түзу фронтальды жазықтықпен түйіседі (20-сурет).

21а-суретте түзудің көлденең ізі және оның фронтальды ізі 21б-суретте көрсетілген.

Кейде түзу сызықтың профильдік ізі де қарастырылады, В- түзудің профильдік жазықтықпен қиылысу нүктесі.

Көлденең із горизонталь жазықтықта, яғни оның көлденең проекциясы. hосы ізбен сәйкес келеді және фронтальды hх осінде жатыр. Фронтальды із фронтальды жазықтықта жатады, сондықтан оның фронталь проекциясы ν́ онымен сәйкес келеді, ал горизонталь v х осінде жатыр.

Сонымен, Х = h, және В= v. Сондықтан түзу сызықтың іздерін белгілеу үшін әріптерді қолдануға болады hжәне v.

Сызықтың әртүрлі позициялары

түзу сызық деп аталады тікелей жалпы позиция, егер ол проекция жазықтықтарының ешқайсысына параллель де, перпендикуляр да болмаса. Жалпы жағдайдағы түзудің проекциялары да проекция осіне параллель де, перпендикуляр да емес.

Проекциялық жазықтықтардың біріне параллель болатын түзулер (осьтердің біріне перпендикуляр). 22-суретте көлденең жазықтыққа параллель (z осіне перпендикуляр), көлденең түзу болатын түзу көрсетілген; 23-суретте фронтальды жазықтыққа параллель (оське перпендикуляр) түзу көрсетілген сағ), бұл фронтальды түзу; 24-суретте профиль жазықтығына параллель (оське перпендикуляр) түзу көрсетілген X), профильді түзу сызық болып табылады. Бұл түзулердің әрқайсысы осьтердің бірімен тік бұрыш жасайтынына қарамастан, олар оны қимайды, тек онымен қиылысады.

Көлденең сызық (22-сурет) горизонталь жазықтыққа параллель болғандықтан, оның фронтальды және профильдік проекциялары көлденең жазықтықты анықтайтын осьтерге, яғни осьтерге параллель болады. Xжәне сағ. Сондықтан проекциялар аб|| Xжәне a˝b˝|| сағ z. Көлденең ab проекциясы сюжеттегі кез келген орынды қабылдай алады.

Фронталь сызықта (23-сурет) проекция аб|| x және a˝b˝ || z, яғни олар оське перпендикуляр сағ, демек, бұл жағдайда фронталь проекциясы абсызық кез келген позицияны қабылдай алады.

Профиль сызығында (Cурет 24) аб|| ж, аб|| z, және екеуі де x осіне перпендикуляр. Болжам a˝b˝диаграммада кез келген жолмен орналастыруға болады.

Көлденең сызықты фронтальды жазықтыққа проекциялайтын жазықтықты қарастырғанда (22-сурет), оның бұл түзуді профиль жазықтығына да проекциялайтынын көруге болады, яғни бұл түзуді бірден екі проекциялық жазықтыққа проекциялайтын жазықтық - фронталь және профиль. Осы себепті ол аталады қос проекциялық жазықтық. Дәл осылай фронтальды сызық үшін (23-сурет) қосарланған проекциялық жазықтық оны горизонталь және профильдік проекциялар жазықтықтарына проекциялайды, ал профиль үшін (23-сурет) - горизонталь және фронталь проекциялар жазықтықтарына проекциялайды. .

Екі проекция түзу сызықты анықтай алмайды. Екі проекция 1 және бірпрофильді түзу (25-сурет) осы түзудің екі нүктесінің проекцияларын көрсетпей, бұл түзудің кеңістіктегі орнын анықтамайды.

Берілген екі симметрия жазықтығына перпендикуляр болатын жазықтықта диаграммадағы деректер берілген сызықтардың шексіз саны болуы мүмкін. 1 және біролардың болжамдары.

Егер нүкте түзуде болса, онда оның проекциялары барлық жағдайда осы түзудегі аттас проекцияларда жатады. Профиль сызығы үшін қарама-қарсы жағдай әрқашан дұрыс бола бермейді. Оның проекцияларында белгілі бір нүктенің проекцияларын ерікті түрде көрсетуге болады және бұл нүктенің берілген түзуде жатқанына сенімді бола алмайсыз.

Барлық үш ерекше жағдайда (22, 23 және 24-сурет) проекциялар жазықтығына қатысты түзудің орны оның еркін кесіндісі болып табылады. AB, әрбір түзуде алынған проекциялық жазықтықтардың біріне бұрмаланбай проекцияланады, яғни ол параллель болатын жазықтыққа. Сызық сегменті ABкөлденең түзу (Cурет 22) көлденең жазықтыққа шынайы өлшемдегі проекцияны береді ( аб = AB); сызық сегменті ABфронтальды түзу (23-сурет) - фронтальды V жазықтығында толық өлшемде ( аб = AB) және сегмент ABпрофиль түзу сызығы (24-сурет) - профиль жазықтығында толық өлшемде В (a˝b˝\u003d AB), яғни сызбадағы сегменттің нақты өлшемін өлшеуге болады.

Басқаша айтқанда, диаграммалардың көмегімен қарастырылып отырған түзудің проекциялық жазықтықтармен түзетін бұрыштарының табиғи өлшемдерін анықтауға болады.

Түзудің көлденең жазықтықпен жасайтын бұрышы Х, α әрпін, фронтальды жазықтықпен – β әрпін, профильдік жазықтықпен – γ әрпін белгілеу әдетке айналған.

Қарастырылып отырған түзудің кез келгенінің оған параллель жазықтықта ізі болмайды, яғни көлденең түзудің көлденең ізі (22-сурет), фронтальды түзудің фронтальды ізі (23-сурет), ал профильдің ізі жоқ. түзу сызықта профиль ізі жоқ (Cурет 24 ).