ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ស្វែងយល់ថាតើវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ

និយមន័យ។ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ a 1 , ... , a n ដែលមានមេគុណ x 1 , ... , x n ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ

x 1 a 1 + ... + x n a n ។

តូចតាចប្រសិនបើមេគុណទាំងអស់ x 1 , ... , x n គឺស្មើសូន្យ។

និយមន័យ។ បន្សំលីនេអ៊ែរ x 1 a 1 + ... + x n a n ត្រូវបានហៅ មិនតូចតាច, ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ x 1, ... , x n មិនស្មើនឹងសូន្យ។

ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើគ្មានការរួមផ្សំមិនសំខាន់នៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ។

នោះគឺវ៉ិចទ័រ a 1, ... , a n គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើ x 1 = 0, ... , x n = 0 ។

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័រ a 1, ..., a n ត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ​មាន​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​មិន​សំខាន់​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ទាំងនេះ​ស្មើនឹង​វ៉ិចទ័រ​សូន្យ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ៖

សម្រាប់វ៉ិចទ័រវិមាត្រ 2 និង 3 ។

វ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរពីរគឺជាប់គ្នា។ (វ៉ិចទ័រ Collinear គឺអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ។ )

សម្រាប់វ៉ិចទ័រ 3 វិមាត្រ។

វ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរបីគឺ coplanar ។ (វ៉ិចទ័រ coplanar បីគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ )

• សម្រាប់វ៉ិចទ័រ n-វិមាត្រ។

  n + 1 វ៉ិចទ័រគឺតែងតែអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាលើការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ៖

ឧទាហរណ៍ 1. ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រ a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ .

ដំណោះស្រាយ៖

វ៉ិចទ័រនឹងពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ ដោយសារវិមាត្រនៃវ៉ិចទ័រគឺតិចជាងចំនួនវ៉ិចទ័រ។

ឧទាហរណ៍ 2. ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ដំណោះស្រាយ៖

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 − x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

ដកទីពីរចេញពីជួរទីមួយ; បន្ថែមបន្ទាត់ទីពីរទៅជួរទីបី៖

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

ដំណោះស្រាយនេះបង្ហាញថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើន ពោលគឺមានបន្សំមិនសូន្យនៃតម្លៃនៃលេខ x 1, x 2, x 3 ដែលការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ a, b, c គឺស្មើនឹង វ៉ិចទ័រសូន្យឧទាហរណ៍៖

A + b + c = 0

ហើយនេះមានន័យថា វ៉ិចទ័រ a, b, c គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ចម្លើយ៖វ៉ិចទ័រ a, b, c គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ 3. ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ដំណោះស្រាយ៖អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណដែលការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះនឹងស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ។

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

សមីការវ៉ិចទ័រនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 − x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ដកទីមួយចេញពីជួរទីពីរ; ដកទីមួយចេញពីជួរទីបី៖

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

ដកទីពីរចេញពីជួរទីមួយ; បន្ថែមទីពីរទៅជួរទីបី។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងគ្របដណ្តប់:

• តើអ្វីជាវ៉ិចទ័រ collinear;
• តើអ្វីជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ;
• តើមានលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះនៃវ៉ិចទ័រ collinear;
• តើអ្វីជាការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ collinear ។

និយមន័យ ១

វ៉ិចទ័រ Collinear គឺជាវ៉ិចទ័រដែលស្របនឹងបន្ទាត់មួយ ឬស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រពីរគឺជាប់គ្នា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមណាមួយជាការពិត៖

• លក្ខខណ្ឌ ១ . វ៉ិចទ័រ a និង b គឺជាប់គ្នាប្រសិនបើមានលេខ λ នោះ a = λ b;
• លក្ខខណ្ឌ ២ . វ៉ិចទ័រ a និង b គឺជាប់គ្នាជាមួយសមាមាត្រកូអរដោនេស្មើគ្នា៖

a = (a 1; a 2), b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• លក្ខខណ្ឌ ៣ . វ៉ិចទ័រ a និង b គឺជាប់គ្នាដែលផ្តល់ថាផលិតផលឆ្លងកាត់ និងវ៉ិចទ័រសូន្យគឺស្មើគ្នា៖

a ∥ b ⇔ a , b = 0

ចំណាំ ១

លក្ខខណ្ឌ ២ មិនអាចអនុវត្តបានទេ ប្រសិនបើកូអរដោណេវ៉ិចទ័រមួយគឺសូន្យ។

ចំណាំ ២

លក្ខខណ្ឌ ៣ អនុវត្តតែចំពោះវ៉ិចទ័រទាំងនោះដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ក្នុងលំហ។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដើម្បីសិក្សាពីភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

ឧទាហរណ៍ ១

យើងពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រ a = (1; 3) និង b = (2; 1) សម្រាប់ភាពជាប់គ្នា។

តើត្រូវដោះស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច?

ក្នុងករណីនេះ ចាំបាច់ត្រូវប្រើលក្ខខណ្ឌ 2nd collinearity ។ សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យវាមើលទៅដូចនេះ:

សមភាពគឺមិនពិត។ ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាវ៉ិចទ័រ a និង b មិនមែនជាបន្ទាត់ជាប់គ្នា។

ចម្លើយ ៖ ក | | ខ

ឧទាហរណ៍ ២

តើតម្លៃណាដែល m នៃវ៉ិចទ័រ a = (1; 2) និង b = (-1; m) ចាំបាច់សម្រាប់វ៉ិចទ័រជាគូ?

តើត្រូវដោះស្រាយយ៉ាងដូចម្តេច?

ដោយ​ប្រើ​លក្ខខណ្ឌ​រួម​ទីពីរ វ៉ិចទ័រ​នឹង​ត្រូវ​ជាប់​គ្នា ប្រសិនបើ​កូអរដោណេ​របស់​វា​សមាមាត្រ៖

នេះបង្ហាញថា m = −2 ។

ចម្លើយ៖ m = − ២.

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ទ្រឹស្តីបទ

ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រក្នុងចន្លោះវ៉ិចទ័រគឺពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរលុះត្រាតែវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធនេះ។

ភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ e 1 , e 2 , ។ . . , e n គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធនេះស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ៖

a 1 e 1 + a 2 e 2 + ។ . . + a n e n = 0

ដែលយ៉ាងហោចណាស់មេគុណបន្សំមួយមិនស្មើនឹងសូន្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យ k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , ។ . . , ន.

យើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដោយមេគុណមិនសូន្យ៖

a k − 1 (a k − 1 a 1) e 1 + (a k − 1 a k) e k + . . . + (a k − 1 a n) e n = 0

ចូរយើងសម្គាល់៖

A k - 1 a m ដែល m ∈ 1 , 2 , ។ . . , k - 1 , k + 1 , ន

ក្នុងករណីនេះ៖

β 1 អ៊ី 1 + ។ . . + β k − 1 e k − 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ឬ e k = (- β 1) e 1 + ។ . . + (- β k − 1) e k − 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

វាដូចខាងក្រោមថាវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ ដែល​ជា​អ្វី​ដែល​ចាំបាច់​ត្រូវ​បញ្ជាក់ (ល.)។

ភាពគ្រប់គ្រាន់

អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ៖

e k = γ 1 e 1 + ។ . . + γ k − 1 e k − 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

យើងផ្លាស់ទីវ៉ិចទ័រ e k ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនេះ៖

0 = γ 1 អ៊ី 1 + ។ . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + ។ . . + γ n e n

ដោយសារមេគុណនៃវ៉ិចទ័រ e k គឺស្មើនឹង - 1 ≠ 0 យើងទទួលបានតំណាងមិនសំខាន់នៃសូន្យដោយប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ e 1, e 2, ។ . . , e n, ហើយនេះ, នៅក្នុងវេន, មានន័យថាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនេះគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ ដែល​ជា​អ្វី​ដែល​ចាំបាច់​ត្រូវ​បញ្ជាក់ (ល.)។

លទ្ធផល៖

• ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យជាលីនេអ៊ែរ នៅពេលដែលគ្មានវ៉ិចទ័ររបស់វាអាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។
• ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យ ឬវ៉ិចទ័រស្មើគ្នាពីរគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ

1. សម្រាប់វ៉ិចទ័រ 2 និង 3 វិមាត្រ លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖ វ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរពីរគឺជាប់គ្នា។ វ៉ិចទ័រ collinear ពីរគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។
2. សម្រាប់វ៉ិចទ័រ 3 វិមាត្រ លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមគឺពេញចិត្ត៖ វ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរចំនួនបីគឺ coplanar ។ (វ៉ិចទ័រ coplanar 3 គឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ) ។
3. សម្រាប់វ៉ិចទ័រ n-dimensional លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមគឺពេញចិត្ត៖ វ៉ិចទ័រ n + 1 តែងតែពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាពាក់ព័ន្ធនឹងការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ ឬឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ

ឧទាហរណ៍ ៣

សូមពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រ a = 3, 4, 5, b = − 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 សម្រាប់ឯករាជភាពលីនេអ៊ែរ។

ដំណោះស្រាយ។ វ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ដោយសារវិមាត្រនៃវ៉ិចទ័រមានតិចជាងចំនួនវ៉ិចទ័រ។

ឧទាហរណ៍ 4

ចូរយើងពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រ a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, − 1, 1 សម្រាប់ឯករាជភាពលីនេអ៊ែរ។

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណដែលការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនឹងស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ៖

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

យើងសរសេរសមីការវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់លីនេអ៊ែរ៖

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 − x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

ពីជួរទី 2 យើងដកលេខ 1 ពីទី 3 - ទី 1៖

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

ពីជួរទី 1 យើងដកលេខ 2 ទៅទី 3 យើងបន្ថែមលេខ 2៖

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

ពីដំណោះស្រាយវាដូចខាងក្រោមថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើន។ នេះមានន័យថាមានបន្សំមិនមែនសូន្យនៃតម្លៃនៃលេខបែបនេះ x 1, x 2, x 3 ដែលការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃ a, b, c ស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ a, b, c គឺ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ​​​​​​​

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័រ

និយមន័យនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យ

និយមន័យ ២២

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានប្រព័ន្ធ n-vectors និងសំណុំនៃលេខ
, បន្ទាប់មក

(11)

ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងសំណុំមេគុណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ ២៣

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើមានសំណុំមេគុណបែបនេះ
ដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនស្មើនឹងសូន្យ ដែលការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងសំណុំនៃមេគុណនេះគឺស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ
, បន្ទាប់មក

និយមន័យ 24 (តាមរយៈការតំណាងនៃវ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធដែលជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត)

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធនេះ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៣

និយមន័យ 23 និង 24 គឺសមមូល។

និយមន័យ ២៥(តាមរយៈសូន្យ លីនេអ៊ែរ រួមបញ្ចូលគ្នា)

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នាសូន្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធនេះគឺអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា
ស្មើនឹងសូន្យ។

និយមន័យ ២៦(ដោយសារតែភាពមិនអាចទៅរួចនៃការតំណាងឱ្យវ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត)

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើមិនមានវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធនេះមិនអាចតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធនេះទេ។

លក្ខណសម្បត្តិនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យ

ទ្រឹស្តីបទ 2 (សូន្យវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ)

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានវ៉ិចទ័រសូន្យ នោះប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

 អនុញ្ញាតឱ្យ
, បន្ទាប់មក។

យើងទទួលបាន
ដូច្នេះ តាមនិយមន័យនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ តាមរយៈការរួមបញ្ចូលគ្នាសូន្យលីនេអ៊ែរ (12) ប្រព័ន្ធគឺអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ។ 

ទ្រឹស្តីបទ 3 (ប្រព័ន្ធរងអាស្រ័យនៅក្នុងប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ)

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានប្រព័ន្ធរងដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

 អនុញ្ញាតឱ្យ
- ប្រព័ន្ធរងអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ
ដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនស្មើនឹងសូន្យ៖

នេះមានន័យថា តាមនិយមន័យ 23 ប្រព័ន្ធគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ 

ទ្រឹស្តីបទ ៤

ប្រព័ន្ធរងណាមួយនៃប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

 ពីផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងមានប្រព័ន្ធរងដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក យោងតាមទ្រឹស្តីបទទី 3 ប្រព័ន្ធទាំងមូលក៏នឹងអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរផងដែរ។ ភាពផ្ទុយគ្នា។ អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធរងនៃប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ មិនអាចពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរបានទេ។ 

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ទ្រឹស្តីបទ ៥

វ៉ិចទ័រពីរ និង គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ
.

 ភាពចាំបាច់។

និង - អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ
ថាលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត
. បន្ទាប់មក
, i.e.
.

ភាពគ្រប់គ្រាន់។

អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ 

កូរ៉ូឡារី ៥.១

វ៉ិចទ័រសូន្យគឺជាប់នឹងវ៉ិចទ័រណាមួយ។

កូរ៉ូឡារី ៥.២

ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រពីរមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ មិនជាប់គ្នាទេ។ .

ទ្រឹស្តីបទ ៦

ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័របីមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវ៉ិចទ័រទាំងនេះជា coplanar .

 ភាពចាំបាច់។

- គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃពីរផ្សេងទៀត។

, (13)

កន្លែងណា
និង
. យោងទៅតាមច្បាប់ប៉ារ៉ាឡែល មានអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមជាមួយភាគី
ប៉ុន្តែ ប្រលេឡូក្រាម គឺជារូបសំប៉ែត
coplanar
- ក៏ជា coplanar ។

ភាពគ្រប់គ្រាន់.

- coplanar ។ ចូរយើងអនុវត្តវ៉ិចទ័របីទៅចំណុច O៖

គ

ខ`

- អាស្រ័យលីនេអ៊ែរ 

កូរ៉ូឡារី ៦.១

វ៉ិចទ័រសូន្យគឺ coplanar ទៅគូវ៉ិចទ័រណាមួយ។

កូរ៉ូឡារី ៦.២

ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រ
មានភាពឯករាជ្យជាលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាមិនមែនជា coplanar ។

កូរ៉ូឡារី ៦.៣

វ៉ិចទ័រណាមួយនៃយន្តហោះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលមិនជាប់ជួរទាំងពីរនៃយន្តហោះដូចគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ៧

វ៉ិចទ័រទាំងបួននៅក្នុងលំហគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ .

 ចូរយើងពិចារណា ៤ ករណី៖

ចូរយើងគូរប្លង់មួយតាមវ៉ិចទ័រ បន្ទាប់មកប្លង់មួយតាមរយៈវ៉ិចទ័រ និងយន្តហោះតាមរយៈវ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់​មក​យើង​គូរ​ប្លង់​កាត់​តាម​ចំណុច D ស្រប​នឹង​គូ​វ៉ិចទ័រ ; ; រៀងៗខ្លួន។ យើងសាងសង់ parallelepiped តាមបណ្តោយបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ 1 O.B. 1 គ 1 ឃ.

ABDC ; រៀងៗខ្លួន។ យើងសាងសង់ parallelepiped តាមបណ្តោយបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ 1 O.B. 1 គ 1 ចូរយើងពិចារណា
.

- ប៉ារ៉ាឡែល​ដោយ​ការ​សាង​សង់​ដោយ​យោង​តាម​ក្បួន​ប្រលេឡូក្រាម​
ពិចារណា OADD 1 - ប៉ារ៉ាឡែល (ពីទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ parallelepiped)

, បន្ទាប់មក

EMBED សមីការ.៣.
ដោយទ្រឹស្តីបទ ១
បែបនោះ។ បន្ទាប់មក

ហើយតាមនិយមន័យ 24 ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ 

កូរ៉ូឡារី ៧.១

ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar បីនៅក្នុងលំហ គឺជាវ៉ិចទ័រដែលស្របគ្នានឹងអង្កត់ទ្រូងនៃ ប៉ារ៉ាឡែលភីព ដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងបីនេះអនុវត្តចំពោះប្រភពដើមទូទៅ ហើយប្រភពដើមនៃវ៉ិចទ័រផលបូកស្របគ្នានឹងប្រភពដើមទូទៅនៃវ៉ិចទ័រទាំងបីនេះ។

កូរ៉ូឡារី ៧.២

ប្រសិនបើយើងយកវ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ចំនួន 3 នៅក្នុងលំហ នោះវ៉ិចទ័រណាមួយនៃលំហនេះអាចត្រូវបាន decomposed ទៅជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងបីនេះ។. បន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រគឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រ និងមាត្រដ្ឋានទាំងនេះ
:

និយមន័យ ២. ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេ (2.8) បាត់៖

និងក្នុងចំណោមលេខ
មានយ៉ាងហោចណាស់មួយដែលខុសពីសូន្យ។

និយមន័យ ៣. វ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេ (2.8) បាត់តែក្នុងករណីដែលលេខទាំងអស់។

ពីនិយមន័យទាំងនេះ កូរ៉ូឡាខាងក្រោមអាចទទួលបាន។

កូរ៉ូឡារី ១. នៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ យ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។

ភស្តុតាង. អនុញ្ញាតឱ្យ (2.9) ពេញចិត្ត ហើយសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ អនុញ្ញាតឱ្យមេគុណ
. បន្ទាប់មកយើងមាន៖
. ចំណាំថាការសន្ទនាក៏ពិតដែរ។

កូរ៉ូឡារី ២.ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ
មានវ៉ិចទ័រសូន្យ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនេះគឺ (ចាំបាច់) អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ - ភស្តុតាងគឺជាក់ស្តែង។

កូរ៉ូឡារី ៣. ប្រសិនបើក្នុងចំណោម នវ៉ិចទ័រ
ណាមួយ។ k(
) វ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះជាអ្វីទាំងអស់។ នវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ (យើងនឹងលុបចោលភស្តុតាង) ។

2 0 . បន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រពីរ បី និងបួន. ចូរយើងពិចារណាអំពីបញ្ហានៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័រនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ យន្តហោះ និងក្នុងលំហ។ ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ១. ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រពីរមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជាគូលីនេអ៊ែរ។

ភាពចាំបាច់. អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ និង អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ នេះមានន័យថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេ។
=0 និង (សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពច្បាស់លាស់)
. នេះបង្ហាញពីសមភាព
និង (តាមនិយមន័យនៃការគុណវ៉ិចទ័រដោយចំនួនមួយ) វ៉ិចទ័រ និង collinear ។

ភាពគ្រប់គ្រាន់. អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ និង collinear ( ║) (យើងសន្មត់ថាពួកវាខុសពីវ៉ិចទ័រសូន្យ បើមិនដូច្នេះទេ ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែររបស់ពួកវាគឺជាក់ស្តែង)។

ដោយទ្រឹស្តីបទ (2.7) (សូមមើល§2.1 ធាតុ 2 0) បន្ទាប់មក
បែបនោះ។
, ឬ
- បន្សំលីនេអ៊ែរគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយមេគុណនៅ ស្មើនឹង 1 - វ៉ិចទ័រ និង អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្ដី​ខាងក្រោម​នេះ​ធ្វើ​ឡើង​តាម​ទ្រឹស្ដី​នេះ។

ផលវិបាក. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ និង មិន​មែន​ជា​ជួរ​គ្នា​ទេ បន្ទាប់​មក​ពួក​វា​គឺ​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័របីមានភាពអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជា coplanar ។

ភាពចាំបាច់. អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ ,និង អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ចូរយើងបង្ហាញថាពួកគេគឺជា coplanar ។

ពីនិយមន័យនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រវាធ្វើតាមអត្ថិភាពនៃលេខ
និង ដូចជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ
ហើយក្នុងពេលតែមួយ (ដើម្បីឱ្យជាក់លាក់)
. បន្ទាប់មកពីសមភាពនេះយើងអាចបង្ហាញវ៉ិចទ័រ :=
នោះគឺវ៉ិចទ័រ ស្មើនឹងអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានសាងសង់នៅលើវ៉ិចទ័រនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមភាពនេះ (រូបភាព 2.6) ។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រ ,និង ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ។

ភាពគ្រប់គ្រាន់. អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ ,និង coplanar ។ ចូរយើងបង្ហាញថាពួកគេពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

ចូរ​យើង​ដក​ករណី​នៃ​ភាព​ជាប់​គ្នា​នៃ​វ៉ិចទ័រ​គូ​ណា​មួយ (ព្រោះ​ពេល​នោះ​គូ​នេះ​ពឹង​លើ​លីនេអ៊ែរ និង​ដោយ​កូរ៉ូឡារីទី 3 (មើល​កថាខណ្ឌ​ទី 1 0) វ៉ិចទ័រ​ទាំង​បី​អាស្រ័យ​លើ​លីនេអ៊ែរ)។ ចំណាំថាការសន្មត់នេះក៏មិនរាប់បញ្ចូលអត្ថិភាពនៃវ៉ិចទ័រសូន្យក្នុងចំណោមបីនេះដែរ។

ចូរផ្លាស់ទីវ៉ិចទ័រ coplanar បីទៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ ហើយនាំពួកវាទៅប្រភពដើមធម្មតា។ តាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ និង ; យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រ និង (រូបភាព 2.7) - អត្ថិភាពរបស់ពួកវាត្រូវបានធានាដោយការពិតថាវ៉ិចទ័រ និង វ៉ិចទ័រដែលមិនជាប់គ្នាដោយការសន្មត់។ វាធ្វើតាមវ៉ិចទ័រ =+. សរសេរឡើងវិញនូវសមភាពនេះក្នុងទម្រង់ (–១) ++=0 យើងសន្និដ្ឋានថាវ៉ិចទ័រ ,និង អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

កូរ៉ូឡាពីរតាមពីទ្រឹស្តីបទបង្ហាញឱ្យឃើញ។

កូរ៉ូឡារី ១. អនុញ្ញាតឱ្យ និង វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា, វ៉ិចទ័រ - បំពាន, ដេកនៅក្នុងយន្តហោះដែលកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រ និង , វ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់មកមានលេខ និង បែបនោះ។

=+. (2.10)

កូរ៉ូឡារី ២. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ,និង មិនមែនជា coplanar ទេ បន្ទាប់មកពួកវាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣. វ៉ិចទ័រទាំងបួនគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

យើងនឹងលុបចោលភស្តុតាង; ជាមួយនឹងការកែប្រែមួយចំនួន វាចម្លងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 2

ផលវិបាក. សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជា coplanar ,,និងវ៉ិចទ័រណាមួយ។
និង បែបនោះ។

. (2.11)

មតិយោបល់. សម្រាប់វ៉ិចទ័រក្នុងលំហ (បីវិមាត្រ) គោលគំនិតនៃភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យ មានដូចខាងក្រោមពីទ្រឹស្តីបទ 1-3 ខាងលើ ជាអត្ថន័យធរណីមាត្រសាមញ្ញ។

អនុញ្ញាតឱ្យមានវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរពីរ និង . ក្នុងករណីនេះ មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃទីពីរ ពោលគឺវាខុសពីវាដោយកត្តាលេខ (ឧទាហរណ៍
) តាមធរណីមាត្រ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រទាំងពីរស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ធម្មតាមួយ។ ពួកគេអាចមានទិសដៅដូចគ្នា ឬផ្ទុយគ្នា (រូបភាព 2.8 xx)។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រពីរស្ថិតនៅមុំមួយទៅគ្នាទៅវិញទៅមក (រូបភាព 2.9 xx) នោះក្នុងករណីនេះ មួយក្នុងចំនោមពួកគេមិនអាចទទួលបានដោយការគុណមួយទៀតដោយលេខទេ វ៉ិចទ័របែបនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រពីរ និង មានន័យថា វ៉ិចទ័រទាំងនេះមិនអាចដាក់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយបានទេ។

ចូរយើងស្វែងយល់ពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័របី។

អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ ,និង គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ (ជាក់លាក់) វ៉ិចទ័រ គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រ និង នោះគឺស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលមានវ៉ិចទ័រ និង . នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រ ,និង ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ: ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ,និង ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ បន្ទាប់មកពួកវាអាស្រ័យតាមបន្ទាត់។

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ ,និង មានភាពឯករាជ្យជាលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែពួកគេមិនកុហកនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ។

3 0 . គោលគំនិតនៃមូលដ្ឋាន. គោលគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងវ៉ិចទ័រ គឺជាគោលគំនិតនៃមូលដ្ឋាន។ សូមណែនាំនិយមន័យមួយចំនួន។

ប្រសិនបើយើងយកវ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ចំនួន 3 នៅក្នុងលំហ នោះវ៉ិចទ័រណាមួយនៃលំហនេះអាចត្រូវបាន decomposed ទៅជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងបីនេះ។. វ៉ិចទ័រ​មួយ​គូ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​តាម​លំដាប់ ប្រសិន​បើ​វា​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ថា​វ៉ិចទ័រ​មួយ​ណា​នៃ​គូ​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ទីមួយ និង​មួយ​ណា​ទីពីរ។

និយមន័យ ២.គូដែលបានបញ្ជាទិញ ,វ៉ិចទ័រ noncollinear ត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាននៅលើយន្តហោះដែលកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ទ្រឹស្តីបទ ១. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ នៅលើយន្តហោះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ ,:

(2.12)

ហើយតំណាងនេះគឺតែមួយគត់។

ភស្តុតាង. អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ និង បង្កើតជាមូលដ្ឋាន។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រណាមួយ។ អាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់
.

ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​ភាព​ប្លែក​គ្នា សូម​សន្មត​ថា​មាន​ការ​ខូច​ខាត​មួយ​ទៀត។
. បន្ទាប់មកយើងមាន = 0 ហើយយ៉ាងហោចណាស់ភាពខុសគ្នាមួយគឺខុសពីសូន្យ។ ក្រោយមកទៀតមានន័យថាវ៉ិចទ័រ និង អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ពោលគឺ collinear; នេះផ្ទុយនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលពួកគេបង្កើតជាមូលដ្ឋាន។

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកមានតែការរលួយប៉ុណ្ណោះ។

និយមន័យ ៣. វ៉ិចទ័របីដងត្រូវបានគេហៅថាតាមលំដាប់ ប្រសិនបើវាត្រូវបានបញ្ជាក់ថាតើវ៉ិចទ័រមួយណាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវ៉ិចទ័រទីមួយ ដែលជាទីពីរ និងមួយណាជាវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ ៤. វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ចំនួនបីដែលបានបញ្ជាទិញត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននៅក្នុងលំហ។

ទ្រឹស្តីបទ decomposition and uniqueness ក៏មាននៅទីនេះផងដែរ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ អាចត្រូវបានតំណាងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន ,,:

(2.13)

ហើយការតំណាងនេះគឺមានតែមួយគត់ (យើងនឹងលុបចោលភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ)។

នៅក្នុងការពង្រីក (2.12) និង (2.13) បរិមាណ ត្រូវបានគេហៅថាកូអរដោនេវ៉ិចទ័រ នៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតដោយកូអរដោនេ affine) ។

ជាមួយនឹងមូលដ្ឋានថេរ
និង
អ្នកអាចសរសេរបាន។
.

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើមូលដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
ហើយវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនោះ។
នោះមានន័យថាមានតំណាង (ការរលួយ)
.

4 0 . ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ. ការណែនាំនៃមូលដ្ឋានអនុញ្ញាតឱ្យប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រត្រូវបានជំនួសដោយប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរធម្មតាលើលេខ - កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យមានមូលដ្ឋានមួយចំនួន
. ជាក់ស្តែង ការបញ្ជាក់កូអរដោនេវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋាននេះកំណត់វ៉ិចទ័រខ្លួនឯងទាំងស្រុង។ សំណើខាងក្រោមត្រូវបានអនុវត្ត៖

ក) វ៉ិចទ័រពីរ
និង
គឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា៖

ខ) នៅពេលគុណវ៉ិចទ័រ
ក្នុងមួយលេខ កូអរដោណេរបស់វាត្រូវបានគុណនឹងលេខនេះ៖

; (2.15)

គ) នៅពេលបន្ថែមវ៉ិចទ័រ កូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់វាត្រូវបានបន្ថែម៖

យើងនឹងលុបចោលភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិទាំងនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញទ្រព្យសម្បត្តិ ខ) គ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍ប៉ុណ្ណោះ។ យើងមាន

==

មតិយោបល់. នៅក្នុងលំហ (នៅលើយន្តហោះ) អ្នកអាចជ្រើសរើសមូលដ្ឋានជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ចូរផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋានមួយទៅមូលដ្ឋានមួយទៀត ហើយបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងកូអរដោនេវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ១. នៅក្នុងប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាន
វ៉ិចទ័របីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:
,
និង
. នៅក្នុងមូលដ្ឋាន ,,វ៉ិចទ័រ មានការរលួយ។ ស្វែងរកកូអរដោនេវ៉ិចទ័រ នៅក្នុងមូលដ្ឋាន
.

ដំណោះស្រាយ. យើងមានការពង្រីក៖
,
,
; ហេតុនេះ
=
+2
+
= =
នោះគឺ
នៅក្នុងមូលដ្ឋាន
.

ឧទាហរណ៍ ២. អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយចំនួន
វ៉ិចទ័រចំនួនបួនត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេរបស់ពួកគេ៖
,
,
និង
.

រកមើលថាតើវ៉ិចទ័របង្កើត
មូលដ្ឋាន; ប្រសិនបើចម្លើយគឺវិជ្ជមាន ចូរស្វែងរកការរលាយនៃវ៉ិចទ័រ នៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

ដំណោះស្រាយ. 1) វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន ប្រសិនបើពួកវាមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ចូរ​បង្កើត​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​លីនេអ៊ែរ​នៃ​វ៉ិចទ័រ
(
) ហើយស្វែងយល់ពីអ្វី
និង វាទៅសូន្យ៖
=0. យើងមាន៖

=
+
+
=

ដោយកំណត់សមភាពនៃវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមនៃសមីការ (ពិជគណិតលីនេអ៊ែរដូចគ្នា)៖
;
;
ដែលជាកត្តាកំណត់
=1
នោះគឺប្រព័ន្ធមាន (តែ) ដំណោះស្រាយមិនសំខាន់
. នេះមានន័យថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ
ដូច្នេះហើយពួកគេបង្កើតជាមូលដ្ឋាន។

2) ពង្រីកវ៉ិចទ័រ នៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។ យើងមាន៖ =
ឬក្នុងទម្រង់សម្របសម្រួល។

បន្តទៅសមភាពនៃវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ៖
;
;
. ការដោះស្រាយវា (ឧទាហរណ៍ដោយប្រើច្បាប់របស់ Cramer) យើងទទួលបាន៖
,
,
និង (
)
. យើងមានការបំបែកវ៉ិចទ័រ នៅក្នុងមូលដ្ឋាន
:=.

5 0 . ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រលើអ័ក្ស។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការព្យាករណ៍។សូមឱ្យមានអ័ក្សមួយចំនួន លីត្រនោះ​គឺ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​មាន​ទិសដៅ​ដែល​បាន​ជ្រើស​រើស​លើ​វា ហើយ​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​វ៉ិចទ័រ​មួយ​ចំនួន​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់ ចូរយើងកំណត់គំនិតនៃការព្យាករវ៉ិចទ័រ ក្នុងមួយអ័ក្ស លីត្រ.

និយមន័យ. ការព្យាករណ៍វ៉ិចទ័រ ក្នុងមួយអ័ក្ស លីត្រផលិតផលនៃម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រនេះនិងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា លីត្រនិងវ៉ិចទ័រ (រូបភាព 2.10)៖

. (2.17)

corollary នៃនិយមន័យនេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលវ៉ិចទ័រស្មើគ្នាមានការព្យាករស្មើគ្នា (នៅលើអ័ក្សដូចគ្នា) ។

ចូរយើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការព្យាករ។

1) ការព្យាករនៃផលបូកនៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្សមួយចំនួន លីត្រស្មើនឹងផលបូកនៃការព្យាករនៃលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្សដូចគ្នា៖

2) ការព្យាករនៃផលិតផលនៃមាត្រដ្ឋានដោយវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមាត្រដ្ឋាននេះដោយការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្សដូចគ្នា:

=
. (2.19)

ផលវិបាក. ការព្យាករនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទៅអ័ក្សគឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃការព្យាកររបស់ពួកគេ៖

យើងនឹងលុបចោលភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។

6 0 . ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ចតុកោណក្នុងលំហ.ការខូចទ្រង់ទ្រាយវ៉ិចទ័រក្នុងឯកតាវ៉ិចទ័រនៃអ័ក្ស។អនុញ្ញាតឱ្យ​វ៉ិចទ័រ​ឯកតា​កាត់​កាត់​គ្នា​បី​ត្រូវ​បាន​ជ្រើសរើស​ជា​មូលដ្ឋាន; យើងណែនាំសញ្ញាណពិសេសសម្រាប់ពួកគេ។
. ដោយដាក់ការចាប់ផ្តើមរបស់ពួកគេនៅចំណុចមួយ។ អូយើងនឹងដឹកនាំពួកគេ (ស្របតាម orts
) សំរបសំរួលអ័ក្ស គោ,អូនិងអូ z(អ័ក្សដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាន ប្រភពដើម និងឯកតានៃប្រវែងដែលបានជ្រើសរើសនៅលើវាត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សកូអរដោនេ)។

និយមន័យ. ប្រព័ន្ធលំដាប់នៃអ័ក្សកូអរដោនេកាត់កែងគ្នាបីដែលមានប្រភពដើមរួម និងឯកតានៃប្រវែងទូទៅត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian រាងចតុកោណក្នុងលំហ។

អ័ក្ស គោ ហៅថាអ័ក្ស abscissa, អូ- តម្រៀបអ័ក្ស uO z – កម្មវិធីអ័ក្ស។

ចូរ​ដោះស្រាយ​ជាមួយ​នឹង​ការ​ពង្រីក​វ៉ិចទ័រ​បំពាន​ជា​មូលដ្ឋាន
. ពីទ្រឹស្តីបទ (សូមមើល§2.2 កថាខ័ណ្ឌ 3 0 (2.13)) វាដូចខាងក្រោម។
អាចត្រូវបានពង្រីកដោយឡែកលើមូលដ្ឋាន
(នៅទីនេះជំនួសឱ្យការកំណត់កូអរដោនេ
ប្រើ
):

. (2.21)

ខ (2.21)
ស្នូល (Cartesian ចតុកោណកែង) កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ . អត្ថន័យនៃកូអរដោនេ Cartesian ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ. កូអរដោណេចតុកោណកែង Cartesian
វ៉ិចទ័រ គឺជាការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រនេះរៀងៗខ្លួននៅលើអ័ក្ស គោ,អូនិងអូ z.

ភស្តុតាង។តោះដាក់វ៉ិចទ័រ ទៅប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ - ចំណុច អូ. បន្ទាប់មកចុងបញ្ចប់របស់វានឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងចំណុចមួយចំនួន
.

ចូរយើងគូរតាមចំនុច
យន្តហោះ​បី​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ​កូអរដោណេ អយស,អុកហ្សនិង អុកសុី(រូបភាព 2.11 xx) ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

. (2.22)

ក្នុង (2.22) វ៉ិចទ័រ
និង
ត្រូវបានគេហៅថាសមាសធាតុវ៉ិចទ័រ
តាមអ័ក្ស គោ,អូនិងអូ z.

អនុញ្ញាតឱ្យឆ្លងកាត់
និង មុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញរៀងៗខ្លួន ជាមួយ orts
. បន្ទាប់មកសម្រាប់សមាសធាតុយើងទទួលបានរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

ពី (2.21), (2.22) (2.23) យើងរកឃើញ:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- កូអរដោនេ
វ៉ិចទ័រ មានការព្យាករណ៍នៃវ៉ិចទ័រនេះទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ គោ,អូនិងអូ zរៀងៗខ្លួន។

មតិយោបល់. លេខ
ត្រូវបានគេហៅថា កូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ .

ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ (អង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណ parallelepiped) ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

. (2.24)

ពីរូបមន្ត (2.23) និង (2.24) វាដូចខាងក្រោមដែល cosines ទិសដៅអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត:

=
;
=
;
=
. (2.25)

ការបង្កើនភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនីមួយៗក្នុង (2.25) ហើយបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃលទ្ធផលសមភាពតាមពាក្យ យើងមកដល់រូបមន្ត៖

- មិនមែនមុំបីណាមួយបង្កើតទិសដៅជាក់លាក់មួយក្នុងលំហទេ ប៉ុន្តែមានតែអ្នកដែលមានកូស៊ីនុសទាក់ទងគ្នាដោយទំនាក់ទំនង (2.26)។

7 0 . កាំវ៉ិចទ័រ និងកូអរដោនេចំណុច.កំណត់វ៉ិចទ័រដោយការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់របស់វា។. ចូរយើងណែនាំនិយមន័យ។

និយមន័យ. វ៉ិចទ័រកាំ (បញ្ជាក់ ) គឺជាវ៉ិចទ័រតភ្ជាប់ប្រភពដើម អូជាមួយនឹងចំណុចនេះ (រូបភាព 2.12 xx):

. (2.27)

ចំណុចណាមួយក្នុងលំហត្រូវនឹងវ៉ិចទ័រកាំជាក់លាក់មួយ (និងច្រាសមកវិញ)។ ដូច្នេះ ចំណុចក្នុងលំហត្រូវបានតំណាងក្នុងពិជគណិតវ៉ិចទ័រដោយវ៉ិចទ័រកាំរបស់វា។

ជាក់ស្តែងកូអរដោនេ
ពិន្ទុ មគឺជាការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រកាំរបស់វា។
នៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ៖

(2.28’)

ហើយដូច្នេះ

(2.28)

- វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចគឺជាវ៉ិចទ័រដែលការព្យាករលើអ័ក្សកូអរដោនេគឺស្មើនឹងកូអរដោនេនៃចំណុចនេះ។ នេះនាំឱ្យមានធាតុពីរ៖
និង
.

យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាការព្យាករវ៉ិចទ័រ
យោងតាមកូអរដោនេនៃប្រភពដើមរបស់វា - ចំណុច
និងចុងបញ្ចប់ - ចំណុច
.

តោះគូរវ៉ិចទ័រកាំ
និងវ៉ិចទ័រ
(រូបភាព 2.13) ។ យើងទទួលបាននោះ។

=
=(2.29)

- ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទៅលើវ៉ិចទ័រឯកតាកូអរដោណេគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃចុងបញ្ចប់ និងការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ។

8 0 . បញ្ហាមួយចំនួនទាក់ទងនឹងកូអរដោនេ Cartesian.

1) លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ . ពីទ្រឹស្តីបទ (សូមមើល§2.1 កថាខ័ណ្ឌ 2 0 រូបមន្ត (2.7)) វាដូចខាងក្រោមសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ និង វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមដើម្បីរក្សា៖ =. ពីសមភាពវ៉ិចទ័រនេះ យើងទទួលបានសមភាពបីក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ៖ ដែលបង្កប់ន័យលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ៖

(2.30)

- សម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ និង វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេមានលក្ខណៈសមាមាត្រ។

2) ចម្ងាយរវាងចំណុច . ពីតំណាង (2.29) វាធ្វើតាមចម្ងាយនោះ។
រវាងចំណុច
និង
ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

=
=. (2.31)

3) ការបែងចែកផ្នែកក្នុងសមាមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ . សូមឱ្យពិន្ទុត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
និង
និងអាកប្បកិរិយា
. ត្រូវការស្វែងរក
- កូអរដោនេចំណុច ម (រូបភាព 2.14) ។

តាមលក្ខខណ្ឌនៃភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ យើងមាន៖
កន្លែងណា
និង

. (2.32)

ពី (2.32) យើងទទួលបានក្នុងទម្រង់សម្របសម្រួល៖

ពីរូបមន្ត (2.32') យើងអាចទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក
, សន្មត់
:

មតិយោបល់. យើងនឹងរាប់ផ្នែក
និង
វិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន អាស្រ័យលើថាតើទិសដៅរបស់ពួកគេស្របគ្នានឹងទិសដៅពីដំបូង
ផ្នែកដល់ទីបញ្ចប់
, ឬមិនត្រូវគ្នា។ បន្ទាប់មកដោយប្រើរូបមន្ត (2.32) – (2.32”) អ្នកអាចរកឃើញកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបែងចែកផ្នែក
ខាងក្រៅ នោះគឺតាមរបៀបដែលចំណុចបែងចែក មគឺស្ថិតនៅលើការបន្តនៃផ្នែក
ហើយមិនមែននៅខាងក្នុងទេ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ជាការពិតណាស់
.

4) សមីការផ្ទៃស្វ៊ែរ . ចូរបង្កើតសមីការសម្រាប់ផ្ទៃរាងស្វ៊ែរ - ទីតាំងធរណីមាត្រនៃចំណុច
, ស្មើគ្នានៅចម្ងាយ ពីមជ្ឈមណ្ឌលថេរមួយចំនួន - ចំណុចមួយ។
. វាច្បាស់ណាស់ថាក្នុងករណីនេះ
និងពិចារណារូបមន្ត (2.31)

សមីការ (2.33) គឺជាសមីការនៃផ្ទៃស្វ៊ែរដែលចង់បាន។

ការបង្ហាញទម្រង់ ហៅ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ A 1 , A 2 , ... ,A nជាមួយនឹងហាងឆេង λ 1, λ 2,...,λ n.

ការកំណត់ភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... ,A nហៅ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ, ប្រសិនបើមានសំណុំលេខមិនសូន្យ λ 1, λ 2,...,λ n, ដែលក្នុងនោះការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យនោះ​គឺ​ជា​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​: មានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ។
សំណុំនៃលេខ λ 1, λ 2,...,λ n គឺមិនមែនសូន្យទេ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយក្នុងចំណោមលេខ λ 1, λ 2,...,λ n ខុសពីសូន្យ។

ការកំណត់ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... ,A nហៅ ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យសម្រាប់តែសំណុំលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះ។ λ 1, λ 2,...,λ n នោះ​គឺ​ជា​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θមានដំណោះស្រាយសូន្យតែមួយគត់។

ឧទាហរណ៍ 29.1

ពិនិត្យមើលថាតើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរឬអត់

ដំណោះស្រាយ:

1. យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការ:

2. យើងដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss. ការបំប្លែង Jordanano នៃប្រព័ន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង 29.1 ។ នៅពេលគណនា ជ្រុងខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធមិនត្រូវបានសរសេរចុះទេ ព្រោះវាស្មើនឹងសូន្យ និងមិនផ្លាស់ប្តូរកំឡុងពេលបំប្លែងហ្ស៊កដានី។

3. ពីបីជួរចុងក្រោយនៃតារាង សរសេរប្រព័ន្ធដែលបានដោះស្រាយស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើមប្រព័ន្ធ៖

4. យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ:

5. ដោយបានកំណត់តម្លៃនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ x 3 = 1 តាមការសម្រេចចិត្តរបស់អ្នក យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមិនសូន្យជាក់លាក់ X = (-3,2,1) ។

ចម្លើយ៖ ដូច្នេះសម្រាប់សំណុំលេខមិនមែនសូន្យ (-3,2,1) ការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

អចលនទ្រព្យ (1)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ នោះយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានពង្រីកក្នុងន័យផ្សេងទៀត ហើយផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានពង្រីកក្នុងន័យផ្សេងទៀត នោះប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (2)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធរងណាមួយនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (3)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធរងណាមួយរបស់វាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (4)
ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រណាមួយដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (5)
ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ m-dimensional តែងតែពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើចំនួនវ៉ិចទ័រ n ធំជាងវិមាត្ររបស់វា (n>m)

មូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

មូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... , A n ដូចជាប្រព័ន្ធរង B 1 , B 2 ,...,B r ត្រូវបានគេហៅថា(វ៉ិចទ័រនីមួយៗ B 1,B 2,...,B r គឺជាវ៉ិចទ័រមួយ A 1, A 2,..., A n) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖
1. B 1 ,B 2 ,...,B rប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ;
2. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ច ប្រព័ន្ធ A 1 , A 2 , ... , A n ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈវ៉ិចទ័រ B 1 , B 2 , ... , B r

r- ចំនួនវ៉ិចទ័ររួមបញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាន។

ទ្រឹស្តីបទ 29.1 នៅលើមូលដ្ឋានឯកតានៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ m-dimensional មាន m ឯកតាវ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នា E 1 E 2 ,... , E m នោះពួកវាបង្កើតបានជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ដើម្បីស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... , A n វាចាំបាច់:

• បង្កើតប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការដែលត្រូវគ្នានឹងប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θ
• នាំយកប្រព័ន្ធនេះ។