ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಒಂದು ಸಮೀಕರಣ ಇರಲಿ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವಾಗಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕವಚನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ನಿಯಮಿತವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿರುವಾಗ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್; ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು: , ಅಲ್ಲಿ.

ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವಿದೆ

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ನೇ ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬಹುಪದವಾಗಿರಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ (8) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪರಿಹಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (8) ಏಕೈಕ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರಿಹಾರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (8) ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯ.

ಗ್ರೀನ್‌ನ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಗಡಿ, ಆರಂಭಿಕ ಅಥವಾ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ (8) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಹೊರತು.

ಪುರಾವೆ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ, . ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಆಸ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ, ರಿಂದ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇನ್, ವೇಳೆ;

ಪ್ರತಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೇಳೆ, ನಂತರ; ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಇತ್ಯಾದಿ;

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ;

ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಲೀಬ್ನಿಜ್‌ನ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ;

ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ;

ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿಯು ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಂತೆ), ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅವಕಾಶ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆವಿಸೈಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಯುನಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನೀವು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಂದರೆ. .

ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ "ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲ" ವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದ ರೂಪವು ಈ "ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್" ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು:

ಅಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ (13) ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸುವುದರಿಂದ, ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳಿಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಶೇಷಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವಿರುವ ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ಮೇಲಿನ "ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್" ನಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷ" ದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವಿದೆ.

.
ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

§ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎನ್- ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೇ ಆದೇಶ ವೈವಾದ Xರೂಪದ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಎಫ್- ಅದರ ವಾದಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯ. ಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವರ್ಗದ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ, "ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್" ಎಂಬ ಪದವು ಅವರು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ.
(ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕಾರ್ಯಗಳು); "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಪದವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯವು ಕೇವಲ ಒಂದು ನೈಜ ವಾದವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಾದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ X, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯ
ಮತ್ತು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಆದರೆ ಅತ್ಯಧಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ
ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎನ್- ನೇ ಆದೇಶ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ

ಎ)
- ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣ;

b)
- ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವಿ)
- ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣ;

ಜಿ)
- ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣ,

ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗದ ನಂತರ ಜನರೇಟರ್ dxಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಮಾನ ರೂಪ:
.

ಕಾರ್ಯ
ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಅದು ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾಗಿದರೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣ

ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
.

ಒಂದು ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಯ್ಕೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಲ್ಲಾಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಗುರುತನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ (1.1), ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎನ್-ನೇ ಕ್ರಮ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಇರಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ವೈ(X) : ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (1.1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ
ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ: , ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು
, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾದ್ದರಿಂದ , 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಹೊಸ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು .

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (1.1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ, ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1.1) ವಿವಿಧ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ (1.2) ನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು

ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (1.2) ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1.1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

§ 2. 1 ನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು - ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು.

1 ನೇ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ( ಎನ್=1) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಅಥವಾ, ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ:
. ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ ವೈ= ವೈ(X,ಇದರೊಂದಿಗೆ)ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ
1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದೇ, ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಇಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.1.ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯ
ಮತ್ತು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ
ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಡಿವಿಮಾನ XOY, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿ ಎರಡನ್ನೂ ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ
.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. XOY, ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ - ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ ಸಿ. ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ XOYಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ. ಕಾಮೆಂಟ್: Eq ಗೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.
ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
.

§ 3. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ
(3.1)

ಅಥವಾ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ (3.2)

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು (3.1), ಅಂದರೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ:

;

ಈಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಜಿ(ವೈ)= 0 . ಅದು ನಿಜವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ವೈ= ಎ, ಅದು ವೈ= ಎಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (3.1).

ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3.2) ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
:

, ಇದು ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (3.2):
. (3.3)

ಸಮಗ್ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು (3.3) ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ
, ಅಂತಹ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: .

ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:

.

ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು
ಮತ್ತು
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ X=1, ವೈ=-1. ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.

§ 4. 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದಾದರೂ ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಅನುಪಾತವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ
, ಶೂನ್ಯ ಆಯಾಮದ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕರೂಪತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸಿ
- ಏಕರೂಪದ ಶೂನ್ಯ ಆಯಾಮ.

ಪರಿಹಾರ.

,

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಮೇಯ.ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯ
- ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು, ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯ
ಶೂನ್ಯ ಆಯಾಮವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ
.

ಪುರಾವೆ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ
. ಎರಡನೇ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಹಾಕೋಣ
, ನಂತರ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ
, ಇದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.ಸಮೀಕರಣ (4.1)

ಯಾವುದರಲ್ಲಿ ಎಂಮತ್ತು ಎನ್- ಅದೇ ಹಂತದ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಆಸ್ತಿ ಇದೆ , ಏಕರೂಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು
(4.2), ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

ಬಯಸಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವೈಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ವೈ= zx, ಎಲ್ಲಿ z(X) - ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯ. ಈ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (4.2) ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಥವಾ
ಅಥವಾ
.

ಏಕೀಕರಣ, ನಾವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ z(X)
, ಇದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಬದಲಿ ನಂತರ
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವೇಳೆ - ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು
, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು
- ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (4.2) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅರೆ-ನೇರವಾಗಿವೆ:
.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೇಲಿನ ಪರ್ಯಾಯದ ಬದಲಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ X= ಝಡ್ ವೈ.

§ 5. ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
. (5.1)

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಇದು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು - ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಮತ್ತು - ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲಾಗಿದೆ

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (5.1) ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

.

ನಂಬಿಕೆ z= ಕೊಡಲಿ+ ಮೂಲಕ, ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿ

ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ: a) (2;2); ಬಿ) (1;-1).

ಪರಿಹಾರ.

ಹಾಕೋಣ ವೈ= zx. ನಂತರ dy= xdz+ zdxಮತ್ತು

ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ dxಮತ್ತು dz:

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ:

.

ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ;

ಅಥವಾ
,
.

ಇಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ zಮೇಲೆ , ನಾವು ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ (5.2) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಥವಾ

.

ಇದು ವಲಯಗಳ ಕುಟುಂಬ
, ಅವರ ಕೇಂದ್ರಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿವೆ ವೈ = Xಮತ್ತು ಯಾವ ಮೂಲವು ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ ವೈ + X = 0. ಈ ಸಾಲುವೈ = - X ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ.

ಈಗ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಮೋಡ್:

ಎ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹಾಕುವುದು X=2, ವೈ=2, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ C=2,ಆದ್ದರಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ
.

ಬಿ) ಯಾವುದೇ ವಲಯಗಳು (5.2) ಪಾಯಿಂಟ್ (1;-1) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದು ಅರೆ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವೈ = - X,
ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: .

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮೀಕರಣವು ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ (5.1).

ನಿರ್ಣಾಯಕ
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ
, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ

ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
. ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ
, ನಾವು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು
, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.

ಹಳೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವುದು Xಮತ್ತು ವೈಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ
, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

§ 6. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಮೀಕರಣ ಎಂ(X, ವೈ) dx+ ಎನ್(X, ವೈ) dy=0 ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಮೀತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ X, ವೈ, dxಮತ್ತು dyಎಂದು ಒದಗಿಸಿದೆ Xಮೊದಲ ಆಯಾಮದ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವೈ – ಕೆನೇ ಅಳತೆಗಳು , dxಮತ್ತು dy – ಕ್ರಮವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು (ಕೆ-1) ನೇ ಅಳತೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ
. (6.1)

ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾಡಲಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ

X, ವೈ, dxಮತ್ತು dyಎಡಭಾಗದ ಸದಸ್ಯರು
ಮತ್ತು dyಕ್ರಮವಾಗಿ -2, 2 ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಕೆಮತ್ತು ಕೆ-1. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಕೆ: -2 = 2ಕೆ=ಕೆ-1. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ= -1 (ಇದರೊಂದಿಗೆ ಕೆಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು -2 ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣ (6.1) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ
, ಎಲ್ಲಿ z- ಹೊಸ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ. ಸೂಚಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (6.1) ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ. ಏಕೆಂದರೆ ಕೆ= -1, ನಂತರ
, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
, ಎಲ್ಲಿ
. ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (6.1).

§ 7. 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಹಾಗೆ ಕಾಣುತ್ತಿದೆ:

, (7.1)

ಎಲ್ಲಿ ಪ(X) ಮತ್ತು ಪ್ರ(X) - ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು (7.1) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
(7.2)

ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ
ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು (7.2) ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ:

(7.3)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (7.3) ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ (7.2). ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (7.1), ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಪ(X) ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ (7.2) ಅದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಬದಲಾವಣೆಯ ವಿಧಾನ ಎಂಬ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ: ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ C=C(X) ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (7.2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (7.1) ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ (7.3) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಕಂಡುಬರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (7.1) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ
.

ಎಲ್ಲಿ
, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (7.1) ಆಗಿರುತ್ತದೆ (7.4)

ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಪದವು ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ (7.2) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (7.3) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಎರಡನೇ ಪದವು (7.4) ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ಪಡೆದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ (7.1) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ( 7.4) ಜೊತೆಗೆ
. ನಾವು ಈ ಪ್ರಮುಖ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ.ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ
, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ
, ಎಲ್ಲಿ
- ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, 1 ನೇ ಕ್ರಮದ (7.1) ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (7.1) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ
. ನಂತರ
. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:
.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ ಯು(X) ಆವರಣದ ಹಿಂದೆ:
(7.5)

ನಾವು ಆವರಣವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಬೇಕು:
.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಸಿಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ:
. ಕಂಡುಬಂದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ v(X) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ (7.5):
.

ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು (7.1) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

§ 8. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ
, ಎಲ್ಲಿ
, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು
, ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(8.1)

ಹೊಸ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ
. ನಂತರ
. ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (8.1) ಗುಣಿಸೋಣ
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ z(X) :
, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ z(X) 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ z(X) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ
, ನಾವು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ವೈ. ನಲ್ಲಿ
ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವೈ(X)=0 . ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡದೆ ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು
, ಮತ್ತು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ § 7. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
(8.2)

ಪರಿಹಾರ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
, ವೈ(X)=0.

§ 9. ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಎಂ(X, ವೈ) dx+ ಎನ್(X, ವೈ) dy=0 (9.1) ಎಡಭಾಗವು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಯು(X, ವೈ) , ನಂತರ ಅದನ್ನು ಒಟ್ಟು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ದು(X, ವೈ)=0 , ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಯು(X, ವೈ)= ಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣ xdy+ ydx=0 ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಡಿ(xy)=0. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಇರುತ್ತದೆ xy= ಸಿ- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ. u ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು (9.3) ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ
§ 10. ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್.

ಸಮೀಕರಣದ ವೇಳೆ ಎಂ(X, ವೈ) dx + ಎನ್(X, ವೈ) dy = 0 ಒಟ್ಟು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ µ = µ(X, ವೈ) , ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

µ(Mdx + Ndy) = 0ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. µ(Mdx + Ndy)ದು, ನಂತರ ಕಾರ್ಯ µ(X, ವೈ) ಸಮೀಕರಣದ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ µ = 1.

ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅಂಶ ಕಂಡುಬಂದರೆ µ , ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೀಕರಣವು ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ µ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಒಂದು ವೇಳೆ µ ನ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ವೈ, ಅದು
.

ಇದು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ µ ಕೆಳಗಿನ 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

(10.1).

ಅದು ಮೊದಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ µ= µ(ω) , ಎಲ್ಲಿ ω - ನಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ವೈ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (10.1) ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ (ಮತ್ತು, ಮೇಲಾಗಿ, ರೇಖೀಯ) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ µ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೇಲೆ ω :

(10.2),

ಎಲ್ಲಿ
, ಅಂದರೆ ಭಾಗವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ω .

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (10.2), ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

, ಜೊತೆಗೆ = 1.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣ ಎಂ(X, ವೈ) dx + ಎನ್(X, ವೈ) dy = 0 ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಏಕೀಕರಣದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ X(ω = X) ಅಥವಾ ಇಂದ ಮಾತ್ರ ವೈ(ω = ವೈ), ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ:

,

,
.

"ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಆರ್ಕೈವ್" ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಫೈಲ್ ಅನ್ನು ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಉಚಿತವಾಗಿ ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ.
ಈ ಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನಿಮ್ಮ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಕ್ಕು ಪಡೆಯದೆ ಇರುವ ಉತ್ತಮ ಪ್ರಬಂಧಗಳು, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಟರ್ಮ್ ಪೇಪರ್‌ಗಳು, ಪ್ರಬಂಧಗಳು, ಲೇಖನಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ದಾಖಲೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ. ಇದು ನಿಮ್ಮ ಕೆಲಸ, ಇದು ಸಮಾಜದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಜನರಿಗೆ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಬೇಕು. ಈ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಜ್ಞಾನದ ನೆಲೆಗೆ ಸಲ್ಲಿಸಿ.
ನಾವು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಪದವಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ತಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನ ಮತ್ತು ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಜ್ಞಾನದ ಮೂಲವನ್ನು ಬಳಸುವ ಯುವ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ನಿಮಗೆ ತುಂಬಾ ಕೃತಜ್ಞರಾಗಿರುತ್ತೇವೆ.

ಡಾಕ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಕೈವ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಲು, ಕೆಳಗಿನ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಐದು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು "ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಆರ್ಕೈವ್" ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ

ಇದೇ ದಾಖಲೆಗಳು

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಗ್ರಾಫ್. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಉಪನ್ಯಾಸ, 08/18/2012 ರಂದು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ


ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಚಿಹ್ನೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿರ್ಮಾಣ. ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳು. ಕೇವಲ X ಮತ್ತು Y ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಗುಣಕ ಪ್ರಕರಣ.

ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸ, 12/24/2014 ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ


ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು. ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದ ಅನನ್ಯತೆಯ ಪುರಾವೆ. ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟಿಂಗ್ ಅಂಶ.

ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸ, 02/11/2014 ರಂದು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ


ರಿಕಾಟಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಕ್ಲೈರಾಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಪರಿಹಾರಗಳು.

ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸ, 01/26/2015 ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ


ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣ. ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಸಮಗ್ರ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿರ್ಣಯ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

ಅಮೂರ್ತ, 08/24/2015 ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ


ನಿರಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸರಳವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವರ್ತನೆ.

ಪ್ರಬಂಧ, 06/10/2010 ರಂದು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ


ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಂಜಸ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಯೂಲರ್‌ನ ಸ್ಥಿತಿ, ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸಮೀಕರಣ.

ಪರೀಕ್ಷೆ, 11/02/2011 ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ

def 1 DU ಪ್ರಕಾರ

ಎಂದು ಕರೆದರು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ(ODU).

ನೇ 1 ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಿ:

1) ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ

ನಂತರ ODE (1) ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೆಲವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಜೊತೆಗೆಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ 1ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ODE (1) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು.

ಹೀಗೆ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ Th1ಮಾಡಬೇಕು ODE (1) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:

1) ಬದಲಿ ಮಾಡಿ:

2) ಹೀಗಾಗಿ, ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು;

3) ಹಳೆಯ gvariables ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ;

4) ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಅವರ ಒಳಗೊಳ್ಳುವಿಕೆಗಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮೂಲ ರಿಮೋಟ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್, ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ

5) ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 DE (4) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: DE (4) ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (1). ನಾವು ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ (3), ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (4) ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತದೆ:

ಸಮೀಕರಣ (5) DE (4) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಪರಿಹಾರಗಳು ಕಳೆದುಹೋಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಇದು DE (4) ಗೆ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ, ಇದು ಸಮಾನತೆ (4) ಗೆ ನೇರ ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಮೂಲ DE ನ.

ಉತ್ತರ:

ಗಮನಿಸಿ 2ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ODE ಗಳನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು Xಮತ್ತು ಯು.ರಿಮೋಟ್ ಕಂಟ್ರೋಲ್‌ನ ಈ ಸಂಕೇತದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬದಲಿ (3) ಅನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಡೆಫ್ 2 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ ಪದವಿಯ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವಿವಿಧ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ರೂಪ (1) ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

1) ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ಡಿಗ್ರಿ ಶೂನ್ಯ, ಅಂದರೆ, ಸಮಾನತೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ: DE (6) ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಫಾರ್ಮ್ (1) ಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಹಾಕಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಬದಲಿ (3) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) (7), ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಕೆ . ಫಾರ್ಮ್ (7) ನ DE ಅನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ (3) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 DE (8) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: DE (8) ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. DE (8) ಗೆ ಇದು ಪರಿಹಾರವಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಿರುವದನ್ನು ಭಾಗಿಸೋಣ.

ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ (3), ಇದು ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (9) ತರುತ್ತದೆ:

ಸಮೀಕರಣ (10) DE (8) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಕಳೆದುಹೋಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು DE (8) ಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಂಖ್ಯೆಯ "ಚಿಹ್ನೆ" ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ X(ಓದುತ್ತದೆ" ಸಿಗ್ನಮ್ x"), ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಗಮನಿಸಿ 3 DE (6) ಅಥವಾ (7) ಅನ್ನು ಫಾರ್ಮ್ (1) ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, DE ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಬದಲಿ ಮಾಡಬಹುದು

3) ಫಾರ್ಮ್ (11) ನ DE ಯನ್ನು ODE ಆಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ , ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(12), ಸಿಸ್ಟಂನ ಪರಿಹಾರ ಎಲ್ಲಿದೆ: (13), ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಬದಲಿ (3) ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಅವು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತವೆ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ.

, ನಂತರ, ಸಮೀಕರಣ (11) ನಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (14).

ಪರಿಹಾರ: DE (14) ಅನ್ನು ಏಕರೂಪದ DE ಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ:

ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ (15) ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ:

(16) - DE (14) ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಾಗ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಪರಿಹಾರಗಳು ಕಳೆದುಹೋಗಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (16) ನಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ

ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (16) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಜೊತೆಗೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉತ್ತರ:

4) ನಾವು ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಹೊಸ, ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಲವು DE ಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ:

ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಮೀಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ DE ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 DE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. (18)

ಪರಿಹಾರ:ಬದಲಿ (17) ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು DE (18) ಅನ್ನು ಏಕರೂಪದ DE ಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು (3) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ:

ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಇದರೊಂದಿಗೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, DE (24) ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸುವುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ವಿಷಯ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ:
, ಅಲ್ಲಿ α ≠ 0 , α ≠ 1 , ಎಫ್ - ಕಾರ್ಯ.

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಟಿ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು:
y → t α · y, x → t · x.
α ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ t ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ಇದು - ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ. ಈ ಬದಲಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ y′ ಬದಲಾವಣೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.

ಉದಾಹರಣೆ

ನೀಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:
.

ನಾವು ಬದಲಿಯಾಗಿ y → t α y, x → t x, y′ → t α- 1 ವರ್ಷ:
;
.
t α+ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ 5 :
;
.
ವೇಳೆ ಸಮೀಕರಣವು t ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ
4 α - 6 = 0, α = 3/2 .
ಯಾವಾಗಿನಿಂದ α = 3/2 , t ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನ

ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
(1) .
ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ:
t = xα.
ನಿಜವಾಗಿಯೂ,
.
ಇಲ್ಲಿಂದ
; .
(1) :
;
.

ಇದು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು:
y = z t,
ಇಲ್ಲಿ z ಎಂಬುದು t ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ತಕ್ಷಣವೇ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸುಲಭ:
y = z x α,
ಇಲ್ಲಿ z ಎಂಬುದು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ
(ಪಿ.1) .

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು (ಪಿ.1)ಬದಲಿ ಮಾಡಿ:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 ವರ್ಷ.
.
t α ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:
.
ನಾವು α = - ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ t ರದ್ದಾಗುತ್ತದೆ 1 . ಇದರರ್ಥ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
y = z x α = z x - 1 ,
ಇಲ್ಲಿ z ಎಂಬುದು x ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
.
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ (ಪಿ.1):
(ಪಿ.1) ;
;
.
x ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ:
;
;
.
ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ - dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು x z ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ 2 . ಯಾವಾಗ z ≠ 0 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.
ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ:
;
;
;
.
ನಾವು ಸಮರ್ಥಿಸೋಣ:
.
ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾದ e C → C ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಸ್ಥಿರ C ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ:
.

y ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಬದಲಿ z = xy:
.
x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:
(P.2) .

ನಾವು z ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 2 , ನಾವು z ≠ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದೇವೆ 0 . ಈಗ z = xy = ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 0 , ಅಥವಾ y = 0 .
ಯಾವಾಗಿನಿಂದ y = 0 , ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎಡಭಾಗ (P.2)ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ನಾವು y = ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ 0 .

;
.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎನ್.ಎಂ. ಗುಂಥರ್, ಆರ್.ಓ. ಕುಜ್ಮಿನ್, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ, "ಲ್ಯಾನ್", 2003.