ಮೊತ್ತದ ಘನವನ್ನು ತೆರೆಯಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು. ತರಬೇತಿ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

ಅಥವಾ, ಮೂಲ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಎಷ್ಟು ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ? ನಿನಗೆ ನೆನಪಿದೆಯಾ? . ಗ್ರೇಟ್! ನಾವು ವರ್ಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ವರ್ಗದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ:

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು. ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್.

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಾರಾಂಶ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

ಈಗ ನಾವು ಕೊಳೆತ ನೋಟದಿಂದ ವೀಕ್ಷಣೆಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಜೋಡಣೆ" ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ. ದೊಡ್ಡ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ ನಮಗೆ ನಂತರ ಈ ಕೌಶಲ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ (ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ - ಇದು. ಅಂತೆಯೇ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ

ಎರಡನೆಯ ಪದವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಿಗುಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ:

ನಮ್ಮ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಹೀಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: ಮತ್ತು. ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಯಾವ ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಿ?

ಸರಿ! ನಾವು ರಿಂದ ಸೇರಿಸಿಉತ್ಪನ್ನವು ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಕಲನ ಚಿಹ್ನೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈಗ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ? ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು:

ಗಮನಿಸಿ: ನಿಯಮಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ (ಸಂಕಲನ ಅಥವಾ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ವಿಷಯವಲ್ಲ).

ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರೆದಂತೆ ಇರಬೇಕೆಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡಿ: . ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಸಂಭವಿಸಿದ?

ಅಭ್ಯಾಸ - ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ:

ಉತ್ತರಗಳು:ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ? ವಿಷಯವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ. ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.

- ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

- ಚೌಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಬದಲಿಗೆ ಇದ್ದರೆ ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವು ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವಲ್ಲ!

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಾಗ ನಾವು ಮಾಡಿದಂತೆ ಗುಣಿಸೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: . ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ವರ್ಗ ಮಾಡಬಹುದು, ನಂತರ ವರ್ಗ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿಸುತ್ತದೆ:

ಸಂಭವಿಸಿದ? ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗದಂತೆಯೇ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ), ಚೌಕಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ:

ಏಕೆಂದರೆ, ಚೌಕದಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕೊಳೆಯುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ ಮತ್ತು ಯಾವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ! ವಿಷಯವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ:

ನೀವು ಅದನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೀರಾ? ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಈಗ ನೀವು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗ, ಹಾಗೆಯೇ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ, ಈ ಮೂರು ಸೂತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆ (ಮೊತ್ತ ವರ್ಗ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವರ್ಗ, ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ)

ನಮಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ, ನೀವು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಏನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ? ಅದು ಸರಿ, ಅಂಶವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವಾಗಿದೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಸರಳೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಹೋಗಬೇಕೆಂಬುದರ ಸುಳಿವು ಛೇದದಲ್ಲಿದೆ (ಅಥವಾ ಅಂಶ) ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಛೇದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ, ಅಂಶವು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಾವು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ಅಂಶವು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಸಂಭವಿಸಿದ? ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ!

ಮೊತ್ತದ ಘನ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಘನ

ಮೊತ್ತ ಘನ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಘನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮೊತ್ತದ ಚೌಕಮತ್ತು ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: ಪದಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು.

ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: "ಘನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು?"

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ವಿವರಿಸಿದ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ:

ನೀವು ಯಾವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ?

1. ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಾಗ ಚೌಕನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಚೌಕಮೊದಲ ದಿನ ಮತ್ತು ಚೌಕಎರಡನೇ; ಘನಕ್ಕೆ ಏರಿಸಿದಾಗ - ಹೌದು ಘನಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಘನಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ.

2. ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಾಗ ಚೌಕ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ದುಪ್ಪಟ್ಟಾಯಿತುಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ (ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 1 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಶಕ್ತಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ); ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಘನ - ಮೂರುಪಟ್ಟುಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನ (ಇದು ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಶಕ್ತಿಗಿಂತ 1 ಶಕ್ತಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ).

3. ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಡಬಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ (ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವಾಗ) ತೆರೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ - ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೇರ್ಪಡೆ ಇದ್ದರೆ, ನಾವು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ವ್ಯವಕಲನವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ; ಘನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವಾಗ, ನಿಯಮವು ಹೀಗಿದೆ: ನಾವು ಮೊತ್ತದ ಘನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು “+” ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಘನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ: “” - “” - “” - “ .

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ, ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅಧಿಕಾರಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣವೇ? ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ:

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತ

ಕೊನೆಯ ಜೋಡಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ: ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ.

ನಮಗೆ ನೆನಪಿರುವಂತೆ, ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆವರಣಗಳಿವೆ:

1 ಬ್ರಾಕೆಟ್ - ಮೊದಲ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಅಥವಾ ಮೊತ್ತ) (ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಥವಾ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತೇವೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ);

2 ನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಒಂದು ಅಪೂರ್ಣ ಚೌಕವಾಗಿದೆ (ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ನೋಡಿ: ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದ್ವಿಗುಣ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಸೇರಿಸಿದರೆ), ಒಂದು ಚೌಕ ಇರುತ್ತದೆ), ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ:

ತರಬೇತಿ

ಉತ್ತರಗಳು:

ಸಾರಾಂಶ ಮಾಡೋಣ:

7 ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ:

ಮುಂದುವರಿದ ಹಂತ

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾಗ ನೀವು ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು!

ಮೊತ್ತದ ಚೌಕಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗ:
ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗ:
ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಮೊತ್ತದ ಘನಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಟ್ರಿಪಲ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪ್ಲಸ್ ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘನಕ್ಕೆ ಮೂರು ಪಟ್ಟು:
ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಘನಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗದ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಟ್ರಿಪಲ್ ಮೈನಸ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪ್ಲಸ್ ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದ ವರ್ಗವು ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ:
ಘನಗಳ ಮೊತ್ತಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ:
ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದಿಂದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈಗ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು. ಪುರಾವೆ.

1. .
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸುವುದು:
.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ನೀಡೋಣ:

2. .
ನಾವು ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ:
.

3. .
ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ:
.

4. .
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ವರ್ಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಅಂತೆಯೇ:

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

6. .

.

7. .
ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ:
.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 1:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರದ ಚೌಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: .
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದು ಊಹಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ: .

ಉದಾಹರಣೆ 2:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: .

ಪರಿಹಾರ:

ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ: ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗ:

ವಿಧಾನ II.

ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಮಾತು...

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನನಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಹೇಳಿದೆ.

ಈಗ ಹೇಳಿ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೀರಾ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಏಕೆ ಮಾಡಬಾರದು?

ಈ ಲೇಖನದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯವೇನು?

ಬಹುಶಃ ನಿಮಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆ. ಅಥವಾ ಸಲಹೆಗಳು.

ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಓದುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದೃಷ್ಟ!

ಹಿಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಹಾಕುವುದು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದು. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ - ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಬಲ ವಿಧಾನ: ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ - FSU.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು (ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚೌಕ, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಘನ, ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಅತ್ಯಂತ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಅವರೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ಪ್ರತಿ ಕಾರಣವೂ ಇದೆ. ಅವರು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತಾರೆ, ಅವು ಏಕೆ ಬೇಕು, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.

ನಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆಯೇ?)

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ?

ಸಮಾನತೆಗಳು 6 ಮತ್ತು 7 ಅನ್ನು ಬಹಳ ಪರಿಚಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ. ಇದು ವಿರುದ್ಧ ರೀತಿಯ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿದೆ.) ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆಯು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಎರಡೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ನಮೂದು FSU ಗಳು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಅವುಗಳನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.) ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

ಅಷ್ಟೆ, ಯಾವುದೇ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ತಂತ್ರಗಳಿಲ್ಲ. ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಹೇಗೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆಗುಣಾಕಾರ ಎಂದರೆ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿಯೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾದವುಗಳ ಕಡಿತ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.) ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

FSU ಅನ್ನು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮೊದಲ ಮೂರು ಇಲ್ಲದೆ, ನೀವು ಉಳಿದಿಲ್ಲದೆ ಸಿ ಕನಸು ಕಾಣಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ನೀವು ಬಿ ಅಥವಾ ಎ ಕನಸು ಕಾಣಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನಮಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು?

ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು, ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಎರಡು ಕಾರಣಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ಸಿದ್ಧ ಉತ್ತರವು ದೋಷಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಮುಖ್ಯ ಕಾರಣವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಎರಡನೆಯದು ...

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಘಾತೀಯತೆಯು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ: a1 * a2 * … * an = an.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಘಾತೀಯತೆಯನ್ನು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ನಾಲ್ಕು ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ವಿಭಾಗ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ. ಇದು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಸಂಕಲನದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದಂತೆಯೇ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಕೇತವು n ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ "a" ಅನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ.

ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘಾತೀಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 42. 42 = 4 * 4 = 16. ನಾಲ್ಕು ವರ್ಗ (ಎರಡನೆಯ ಶಕ್ತಿಗೆ) ಹದಿನಾರು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಮಗೆ ಗುಣಾಕಾರ 4 * 4 ಅರ್ಥವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಗುಣಾಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . ಐದು ಘನಗಳು (ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ) ನೂರ ಇಪ್ಪತ್ತೈದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . ಒಂಬತ್ತು ಘನಗಳು ಏಳುನೂರ ಇಪ್ಪತ್ತೊಂಬತ್ತು.

ಘಾತೀಯ ಸೂತ್ರಗಳು

ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, ನೀವು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏಕಪದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು

ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಎಂದರೇನು? ಇದು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಒಂದು ಮೊನೊಮಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನವು ಅಂತಹ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಧಿಕಾರಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಘಾತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಏಕಪದದ ಘಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; ನೀವು ಏಕಪದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಏಕಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗಾಗಲೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಶಕ್ತಿಗಳು ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು

ಋಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೇನು? ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ X ನ ಪರಸ್ಪರ 1/X ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, X-1=1/X. ಇದು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪದವಿಯ ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

ಅದು ಏಕೆ? ಪದವಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ಇರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಛೇದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳ ಅಲ್ಲವೇ?

ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. 43/2. ಪದವಿ 3/2 ಅರ್ಥವೇನು? 3 - ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 4) ಘನಕ್ಕೆ ಏರಿಸುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಛೇದವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಮೂಲದ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 4).

ನಂತರ ನಾವು 43 = 2^3 = 8 ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ತರ: 8.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಂಶಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಛೇದವು 3 ಅಥವಾ 4 ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನಂತದವರೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ವರ್ಗಮೂಲದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು.

ಒಂದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು

ಮೂಲವನ್ನು ಮೂಲದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಏರಿಸಿದರೆ, ಉತ್ತರವು ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (√x)2 = x. ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೇರಿನ ಮಟ್ಟ ಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮಟ್ಟವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ (√x)^4. ನಂತರ (√x)^4=x^2. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲವು ಚೌಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಛೇದವು 2. ಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಿದರೆ, ಆಗ ಅಂಶವು 4. ನಾವು 4/2=2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ತರ: x = 2.

ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸದಿದ್ದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸದಿದ್ದರೆ ಇದು ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೇನು? ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು a + b * i ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ; a, b ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. i ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ವರ್ಗ ಮಾಡಿದಾಗ, ಸಂಖ್ಯೆ -1 ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾಗಿ ಸೇರಿಸುವುದು, ಕಳೆಯುವುದು, ಗುಣಿಸುವುದು, ಭಾಗಿಸುವುದು, ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು "ಮಾನಸಿಕ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸು, ಮಾನಸಿಕ ಅಂಕಗಣಿತವಲ್ಲ" ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಸೈನ್ ಅಪ್ ಮಾಡಿ. 30 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಲಿಯುವಿರಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಾಠವು ಹೊಸ ತಂತ್ರಗಳು, ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಎಕ್ಸ್‌ಪೋನೆನ್ಷಿಯೇಶನ್ ಆನ್‌ಲೈನ್

ನಮ್ಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:

ಎಕ್ಸ್‌ಪೋನೆನ್ಷಿಯೇಶನ್ 7ನೇ ತರಗತಿ

ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಘಾತೀಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿ

ಏಳನೇ ತರಗತಿಯವರಿಗೆ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಏರಿಸುವ ಪ್ರಸ್ತುತಿ. ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಕೆಲವು ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಲೇಖನಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಹುಶಃ ತೆರವುಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್

ಗಣಿತವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಮಂಜುಗಡ್ಡೆಯ ತುದಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ - ನಮ್ಮ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಸೈನ್ ಅಪ್ ಮಾಡಿ: ಮಾನಸಿಕ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸುವುದು - ಮಾನಸಿಕ ಅಂಕಗಣಿತವಲ್ಲ.

ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ನೀವು ಸರಳೀಕೃತ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತ ಗುಣಾಕಾರ, ಸೇರ್ಪಡೆ, ಗುಣಾಕಾರ, ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ಶೇಕಡಾವಾರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವಿರಿ, ಆದರೆ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಆಟಗಳಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ! ಮಾನಸಿಕ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನ ಮತ್ತು ಏಕಾಗ್ರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ತರಬೇತಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೃದಯದಿಂದ ಕಲಿಯಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ, ಇದು ನಮಗೆ ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲು ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಇಡಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳ ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಸೂತ್ರಗಳು ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಘನ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಐದನೆಯದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಗುಣಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಆರನೇ ಮತ್ತು ಏಳನೇ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು b ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದನ್ನು 2 -a b+b 2 ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಎರಡರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದಿಂದ (a 2 + a·b+b 2 ) ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.

ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ಗುರುತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಗುರುತುಗಳು ಎಂದು ಏಕೆ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿದಾಗ, FSU ಅನ್ನು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿನ ಕೊನೆಯ ಮೂರು ಗುರುತುಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. a 2 -b 2 =(a−b)·(a+b) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚೌಕಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 -a·b+b 2) - ಘನಗಳ ಸೂತ್ರದ ಮೊತ್ತ, ಎ a 3 -b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - ಘನಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಹಿಂದಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಮರುಹೊಂದಿಸಿದ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೆಸರಿಸಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂತ್ರಗಳು

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಇದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳ (FSU) ಅನ್ವಯದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳ (ಎಫ್‌ಎಸ್‌ಯು) ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಅವುಗಳ ಹೆಸರಿನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಗುಣಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, FSU ನ ಅನ್ವಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಮುಖ್ಯ ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡೋಣ.

ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರದ ಕೇಂದ್ರ ಅನ್ವಯವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ.

9·y−(1+3·y) 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

ಮೂರು ಅಂಶಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ X.(\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x.) ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು "ಘನ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

x 3 (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x^(3))

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x^(3)=x\cdot x\cdot x) ಘನಘನಾಕೃತಿಗಾಗಿ, ಘನಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹೆಸರು " "ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಘನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿಘನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು , ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಕರ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ), ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನದಿಂದ x (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ x) , ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಕರ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ), ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನದಿಂದ.

ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

ಘನಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಮೊದಲ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ n)

ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \sum _(i=1)^(n)i^(3 )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\ಬಲ) ^(2))

ಘನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿ ಎರಡು 5×5 ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು n × n ಗಾತ್ರದ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಗೆ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಘನಗಳು

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ

×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

ಮೊದಲ ಕೋಷ್ಟಕದ k-th (k=1,2,...) ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k - 1 l = k 2 + 2 k k (k - 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k- 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3))

ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಎರಡನೇ ಕೋಷ್ಟಕದ k-th (k=1,2,...) ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ:

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

ಮೊದಲ ಕೋಷ್ಟಕದ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ಎರಡನೇ ಕೋಷ್ಟಕದ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \sum _(k =1)^(n)k^(3)=\sum _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1) ))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac (n(n+1))(2))\ಬಲ)^(2))

ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಘನವು ಯಾವುದೇ ಅಂಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು (ಚೌಕದಂತೆ)
ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಘನದ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳು 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 ಆಗಿರಬಹುದು. , 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 69 , 71, 72 , 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. ಘನದ ಅಂತಿಮ ಅಂಕಿಯ ಅವಲಂಬನೆ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಆಕೃತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಘನಗಳು

"ಘನ ಸಂಖ್ಯೆ" Q n = n 3 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ Q_(n)=n^(3))ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಅಂಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸತತ ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು T n (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ T_(n)):

Q n = (T n) 2 - (T n - 1) 2 , n ⩾ 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2 ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\ಡಾಟ್ಸ್ +Q_(n)=(T_(n) )^(2))

ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಷಡ್ಭುಜೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು Π n (3) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \Pi _(n)^(3))).