После получения точечной оценки желательно иметь данные о надежности такой оценки. Понятно, что величина является лишь приближенным значением параметра q. Вычисленная точечная оценка может быть близка к оцениваемому параметру, а может и очень сильно отличаться от него. Точечная оценка не несет информации о точности процедуры оценивания. Особенно важно иметь сведения о надежности оценок для небольших выборок. В таких случаях следует пользоваться интервальными оценками.

Задачу интервального оценивания в самом общем виде можно сформулировать следующим образом: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри этого интервала находится оцениваемый параметр. Здесь существует несколько подходов. Наиболее распространенным методом интервального оценивания является метод доверительных интервалов .

Доверительным интервалом для параметра q называется интервал , содержащий неизвестное значение параметра генеральной совокупности с заданной вероятностью g, т.е.

.

Число g называется доверительной вероятностью , а число a=1–g – уровнем надежности . Доверительная вероятность задается априорно и определяется конкретными условиями. Обычно используется g=0,9; 0,95; 0,99 (соответственно, a=0,1; 0,05; 0,01).

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки n и доверительной вероятности g. При увеличении величины n длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением вероятности g к единице – увеличивается.

Часто доверительный интервал строят симметричным относительно точечной оценки, т.е. в виде

, (3.15)

Здесь число D называется предельной (или стандартной ) ошибкой выборки . Однако симметричные интервалы не всегда удается построить, более того, иногда приходится ограничиваться односторонними доверительными интервалами:

или .

Поскольку в эконометрических задачах часто приходится строить доверительные интервалы параметров случайных величин, имеющих нормальное распределение , приведем схемы их нахождения.

3.4.2. Доверительный интервал оценки генеральной
средней при известной генеральной дисперсии

Пусть количественный признак X генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией s 2 и неизвестным математическим ожиданием a . Для оценки параметра a извлечена выборка X 1 , X 2 , …, X n , состоящей из n независимых нормальной распределенных случайных величин с параметрами a и s, причем s известно, а величину a оценивают по выборке:

.

Оценим точность этого приближенного равенства. Для этого зададим вероятность g и попробуем найти такое число D, чтобы выполнялось соотношение

.

Далее воспользуемся свойствами нормального распределения. Известно, что сумма нормально распределенных величин также имеет нормальное распределение. Поэтому средняя величина имеет нормальное распределение, математическое ожидание и дисперсия которой равны

Следовательно,

.

Воспользуемся теперь формулой нахождения вероятностей отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожидания:

,

где F(x ) – функция Лапласа. Заменяя X на и s на , получим

,

где . Из последнее равенства находим, что предельная ошибка выборки будет равна

.

Приняв во внимание, что доверительная вероятность задана и равна g, получим окончательный результат.

Интервальная оценка генеральной средней (математического ожидания) имеет вид

, (3.17)

или более кратко

где число t g определяется из равенства .

Приведем значения t g для широко распространенных значений доверительной вероятности:

, , .

Обсудим, как влияет на точность оценивания параметра a объем выборки n , величина среднего квадратичного отклонения s, а также значение доверительной вероятности g.

а) При увеличении n точность оценки увеличивается. К сожалению, увеличение точности (т.е. уменьшение длины доверительного интервала) пропорционально , а не 1/n , т.е. происходит гораздо медленнее, чем рост числа наблюдений. Например, если мы хотим увеличить точность выводов в 10 раз чисто статистическими средствами, то мы должны увеличить объем выборки в 100 раз.

б) Чем больше s, тем ниже точность. Зависимость точности от этого параметра носит линейный характер.

в) Чем выше доверительная вероятность g, тем больше значение параметра t g , т.е. тем ниже точность. При этом между g и t g существует нелинейная связь. С увеличением g значение t g резко увеличивается ( при ). Поэтому с большой уверенностью (с высокой доверительной вероятностью) мы можем гарантировать лишь относительно невысокую точность. (Доверительный интервал окажется широким.) И наоборот: когда мы указываем для неизвестного параметра a относительно узкие пределы, мы рискуем совершить ошибку – с относительно высокой вероятностью.

Отметим, что величина

называется средней ошибкой выборки . Для бесповторной выборки эта формула примет вид

. (3.20)

Тогда предельная ошибка выборки D будет представлять собой t -кратную среднюю ошибку:

Пример 3.7. На основе продолжительных наблюдений за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что среднее квадратичное отклонение веса пакетов равно s=10 г . Взвешено 25 пакетов, при этом их средний вес составил . В каком интервале с надежностью 95% лежит истинное значение среднего веса пакетов?

.

Для определения 95%-го доверительного интервала вычислим предельную ошибку выборки

Следовательно 95%-й доверительный интервал для истинное значение среднего веса пакетов будет иметь вид

,

На первый взгляд может показаться, что полученный результат представляет только теоретический результат, поскольку среднее квадратичное отклонение s, как правило, тоже неизвестно и вычисляется по выборочным данным. Однако если выборка достаточно большая, то полученный результат вполне приемлем для практического использования, поскольку функция распределения будет мало отличаться от нормальной, а оценка дисперсии s 2 будет достаточно близка к истинному значению s 2 . Более того, полученный результат часто используют и в том случае, когда распределение генеральной совокупности отличается нормального. Это обусловлено тем, что сумма независимых случайных величин, в силу центральной предельной теоремы, при больших выборках имеет распределение, близкое к нормальному. â

Пример 3.8. Предположим, что в результате выборочного обследования жилищных условий жителей города на основе собственно-случайной повторной выборки, получен следующий вариационный ряд:

Таблица 3.5

Построить 95%-доверительный интервал для изучаемого признака.

Решение. Рассчитаем выборочную среднюю величину и дисперсию изучаемого признака.

Таблица 3.6

Общая площадь жилищ, приходящаяся на 1 чел., м 2	Число жителей, n i	Середина интервала, x i
До 5,0		2,5	20,0	50,0
5,0–10,0		7,5	712,5	5343,8
10,0–15,0		12,5	2550,0	31875,0
15,0–20,0		17,5	4725,0	82687,5
20,0–25,0		22,5	4725,0	106312,5
25,0–30,0		27,5	3575,0	98312,5
30,0 и более		32,5	2697,5	87668,8
Итого		–	19005,0	412250,0

; ; .

Средняя ошибка выборки составит

.

Определим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,95 ():

Установим границы генеральной средней

.

Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,95 можно заключить, что средний размер общей площади, приходящейся на 1 чел., в целом по городу лежит в пределах от 18,6 до 19,4 м 2 . â

3.4.3. Доверительный интервал оценки генеральной
средней при неизвестной генеральной дисперсии

Выше была решена задача построения интервальной оценки для математического ожидания нормального распределения, когда его дисперсия известна. Однако на практике дисперсия обычно тоже неизвестна и ее вычисляют по той же самой выборке, что и математическое ожидание. Это приводит к необходимости использования другой формулы при определении доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, имеющей нормальное распределение. Такая постановка задачи особенно актуальна при малых объемах выборки.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности имеет нормальное распределение N (a ,s), причем оба параметра a и s неизвестны. По данным выборки X 1 , X 2 , …, X n , вычислим среднее арифметическое и исправленную дисперсию:

, .

Для нахождения доверительного интервала в этом случае строится статистика

имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы n=n–1 независимо от значений параметров a и s. Выбрав доверительную вероятность g и зная объем выборки n, можно найти такое число t, что будет выполняться равенство

,

.

Отсюда находим

интервальную оценку для генеральной средней (математического ожидания) при неизвестном s:

, (3.22)

или более кратко

Число t (коэффициент Стьюдента ) находится из таблиц для распределения Стьюдента. Отметим, что он является функцией двух аргументов: доверительной вероятности g и числа степеней свободы k =n –1, т.е. t=t (g,n).

Следует быть очень внимательным при использовании таблиц для распределения Стьюдента. Во-первых, обычно в таблицах вместо доверительной вероятности g используют уровень надежности a=1–g. Во-вторых, очень часто в таблицах приводятся значения т.н. одностороннего критерия Стьюдента

Или .

В этом случае в таблицах следует брать значения , если в таблице используется уровень надежности, или , если в таблице используется доверительная вероятность.

Несмотря на кажущееся сходство формул (3.17) и (3.22), между ними имеется существенное различие, заключающееся в том, что коэффициент Стьюдента t зависит не только от доверительной вероятности, но и от объема выборки. Особенно это различие заметно при малых выборках. (Напомним, что при больших выборках различие между распределением Стьюдента и нормальным распределением практически исчезает.) В этом случае использование нормального распределения приводит к неоправданному сужению доверительного интервала, т.е. к неоправданному повышению точности. Например, если n =5 и g=0,99, то, пользуясь распределением Стьюдента, получим t =4,6, а используя нормальное распределение, – t =2,58, т.е. доверительный интервал в последнем случае почти в два раза уже, чем интервал при использовании распределения Стьюдента.

Пример 3.9. Аналитик фондового рынка оценивает среднюю доходность определенных акций. Случайная выборка 15 дней показала, что средняя (годовая) доходность со средним квадратичным отклонением . Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения, постройте 95%-доверительный интервал для средней доходности интересующего аналитика вида акций.

Решение. Поскольку объем выборки n =15, то необходимо применить распределение Стьюдента с степенями свободы. По таблицам для распределения Стьюдента находим

.

Используя это значение, строим 95%-доверительный интервал:

.

Следовательно, аналитик может быть на 95% уверен, что средняя годовая доходность по акциям находится между 8,44% и 12,3%. â

Рассмотрим построение доверительного интервала для оценки математического ожидания.

Пусть - выборка объемаиз генеральной совокупности объема
;- выборочное среднее;- выборочное среднее квадратическое отклонение.

Доверительный интервал уровня надежности для математического ожидания (генеральной средней) имеет вид

,

где -предельная ошибка выборки , которая зависит от объема выборки , доверительной вероятностии равна половине доверительного интервала.

генеральной средней неизвестном служит доверительный интервал:

где - выборочное среднее;-исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; - параметр, который находится по таблице распределения Стьюдента для (
) степеней свободы и доверительной вероятности.

Интервальной оценкой с надежностью генеральной средней в случае нормального распределения генеральной совокупности приизвестном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал:

где - выборочное среднее;
- выборочное среднее квадратическое отклонение;- значение аргумента функции Лапласа
, при котором
;- объем выборки.

Выводы . Доверительный интервал для среднего представляет интервал значений вокруг оценки, где с данным уровнем доверия, находится "истинное" (неизвестное) среднее значение признака.

Хорошо известно, например, что чем «неопределенней» прогноз погоды (т.е. шире доверительный интервал), тем вероятнее он будет верным.

Пример. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если известны ее среднее квадратическое отклонение
, выборочная средняя
и объем выборки
.

Воспользуемся формулой
. Значениенайдем по таблице значений функции Лапласа
, с учетом того, что
, т.е.
. Находим по таблице для значения функции
значение аргумента
. Получим доверительный интервал:

; или
.

Тестовые задания

1. Длина доверительного интервала уменьшается с увеличением:

1) выборочных значений 2) объема выборки

3) доверительной вероятности 4) выборочного среднего

2. Длина доверительного интервала с увеличением объема выборки:

1) уменьшается; 2) увеличивается;

3) не изменяется; 4) колеблется.

3. Длина доверительного интервала с увеличением доверительной вероятности:

1) изменяется, 2) уменьшается,

3) увеличивается, 4) постоянна.

4. Отметьте два правильных ответа. Символы ив формуле доверительного интервала означают:

1) оценка параметра; 2) доверительный интервал;

3) объем выборки; 4) доверительная вероятность.

Ответы. 1. 2). 2. 1 3. 2). 4. 4) и 3).

Контрольные Вопросы

Что понимается под термином «интервальная оценка параметра распределения»?

Дайте определение доверительного интервала.

Что такое точность оценки и надежность оценки?

Что называется доверительной вероятностью? Какие значения она принимает?

Как изменится длина доверительного интервала, если увеличить: 1) объем выборки, 2) доверительную вероятность? Ответ обоснуйте.

Запишите формулу для нахождения доверительного интервала математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если генеральная дисперсия: 1) известна; 2) неизвестна.

Cтраница 2

Качество исходных данных (статистика) о показателях надежности электрооборудования (вместе с показателями ущерба от нарушений электроснабжения и сведениями о режимах работы и ППР) оценивается точностью - шириной доверительного интервала, накрывающего показатель, и достоверностью - вероятностью не совершить ошибку, выбирая этот интервал. Точность математических моделей надежности оценивается их адекватностью реальному объекту, а точность метода расчета надежности - адекватностью полученного решения идеальному.  

Теперь коэффициент вариации дебита, так же как и сам дебит, существенно зависит от &0 / &1 - Так, например, при pi 1 м и ku / k 5 средний дебит уменьшается по сравнению с первоначальным примерно в 2 раза, а ширина доверительного интервала почти в 3 раза. Очевидно, уточнение параметров призабойной зоны в этом случае дает существенную информацию и значительно улучшает качество прогноза.  

Неизменность числа испытаний п на каждой ступени оказывает существенное влияние иа точность результатов. Ширина доверительного интервала уменьшается с увеличением объема выборки.  

Доверительными называют интервалы, в пределах которых находятся с определенными (доверительными) вероятностями истинные значения оцениваемых параметров. Обычно ширину доверительного интервала выражают через СКО результатов отдельных наблюдений ах.  

Ширина доверительного интервала зависит от желаемой статистической надежности е, объема выборки п и от распределения случайных значений, в особенности от разброса. Длина и ширина доверительных интервалов определяется также имеющейся (случайной) выборкой.  

Однако ширина доверительного интервала при этом получается неприемлемо большой. Однако и в этом случае ширина доверительного интервала получается слишком большой.  

Отсюда границы доверительного интервала составляют (23 85 - 2 776 - 0 13; 23 85 2 776Х Х0 13) (23 49; 24 21) МПа. Из результатов видно, что ширина доверительного интервала для той же вероятности должна быть почти в 1 5 раза больше за счет того, что при меньшем числе измерений доверие к ним меньше.  

Из соотношения (2.29) следует, что вероятность того, что доверительный интервал (0 - Д; в Д) со случайными границами накроет известный параметр 0, равна у. Величину Д, равную половине ширины доверительного интервала, называют точностью оценки, а вероятность у - доверительной вероятностью (или надежностью) оценки.  

Интервал (04, 042) называется доверительным, его границы 04 и 0W, являющиеся случайными величинами, соответственно нижним и верхним доверительными пределами. Любая интервальная оценка может быть охарактеризована совокупностью двух чисел: шириной доверительного интервала Н 04 - 0И, являющейся мерой точности оценивания параметра 0, и доверительной вероятностью у, характеризующей степень достоверности (надежности) результатов.  

При этих условиях доверительные границы определяются: для Мэ и а с помощью - распределения, а для Мн - с помощью распределения Стьюдента. Из графиков видно, что при малом числе п наблюдавшихся отказов ширина доверительного интервала, которая характеризует возможное отклонение в оценке параметра распределения, велика. Действительное значение параметра может в несколько раз отличаться от полученного из опыта значения соответствующей статистической оценки. С увеличением п границы доверительного интервала постепенно суживаются. Для получения достаточно точных и достоверных оценок требуется, чтобы при испытании наблюдалось большое число отказов, что, в свою очередь, требует значительного объема испытаний, особенно при высокой надежности объектов.  

Точность оценки, доверительная вероятность (надежность)

Доверительный интервал

При выборке малого объема следует пользоваться интервальными оценками т.к. это позволяет избежать грубых ошибок, в отличие от точечных оценок.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика * служит оценкой неизвестного параметра. Будем считать постоянным числом (может быть и случайной величиной). Ясно, что * тем точнее определяет параметр в, чем меньше абсолютная величина разности | - * |. Другими словами, если >0 и | - * | < , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка * удовлетворяет неравенству | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по * называют вероятность, с которой осуществляется неравенство | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что | - *|<, равна т.е.

Заменив неравенство | - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

Р(*- < <*+)=.

Доверительным называют интервал (*- , *+), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном.

Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней х при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

х - t(/n^?) < a < х + t(/n^?),

где t(/n^?)= - точность оценки, n - объем выборки, t - значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)=/2.

Из равенства t(/n^?)=, можно сделать следующие выводы:

1. при возрастании объема выборки n число убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;

2. увеличение надежности оценки = 2Ф(t) приводит к увеличению t (Ф(t) -- возрастающая функция), следовательно, и к возрастанию; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания a по выборочным средним х, если объем выборки n = 36 и задана надежность оценки = 0,95.

Решение. Найдем t. Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим Ф (t) = 0,475. По таблице находим t=1,96.

Найдем точность оценки:

точность доверительный интервал измерение

T(/n^?)= (1 ,96 . 3)/ /36 = 0,98.

Доверительный интервал таков: (х - 0,98; х + 0,98). Например, если х = 4,1, то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы:

х - 0,98 = 4,1 - 0,98 = 3,12; х + 0,98 = 4,1+ 0,98 = 5,08.

Таким образом, значения неизвестного параметра а, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству 3,12 < а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. Надежность = 0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.

Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном

Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней х при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

х - t()(s/n^?) < a < х + t()(s/n^?),

где s -«исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t() находят по таблице по заданным и n.

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=16 найдены выборочная средняя x = 20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

Решение. Найдем t(). Пользуясь таблицей, по = 0,95 и n=16 находим t()=2,13.

Найдем доверительные границы:

х - t()(s/n^?) = 20,2 - 2,13 *. 0 ,8/16^? = 19,774

х + t()(s/n^?) = 20,2 + 2,13 * 0 ,8/16^? = 20,626

Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале 19,774 < а < 20,626

Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть производится n независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно.

Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины Хl, Х2,…Хn. Эти величины независимы (измерения независимы). Имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии ^2 (измерения равноточные) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом).

Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов, выполняются, и, следовательно, мы вправе использовать формулы. Другими словами, истинное значение измеряемой величины можно оценивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при помощи доверительных интервалов.

Пример. По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметической результатов отдельных измерений х = 42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 5,0. Требуется оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью = 0,95.

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к. оценке математического ожидания (при неизвестном) при помощи доверительного интервала покрывающего а с заданной надежностью = 0,95.

х - t()(s/n^?) < a < х + t()(s/n^?)

Пользуясь таблицей, по у = 0,95 и л = 9 находим

Найдем точность оценки:

t()(s/n^?) = 2 ,31 * 5/9^?=3.85

Найдем доверительные границы:

х - t()(s/n^?) = 42,319 - 3,85 = 38,469;

х + t()(s/n^?) = 42,319 +3,85 = 46,169.

Итак, с надежностью 0,95 истинное значение измеряемой величины заключено в доверительном интервале 38,469 < а < 46,169.

Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s. Для этого воспользуемся интервальной оценкой.

Интервальной оценкой (с надежностью) среднего квадратического отклонения о нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

s (1 -- q) < < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

где q находят по таблице по заданным n н.

Пример 1. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.

Решение. По таблице по данным = 0,95 и n = 25 найдем q = 0,32.

Искомый доверительный интервал s (1 -- q) < < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

Пример 2. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

Решение. По таблице приложения по данным = 0,999 и n=10 найдем 17= 1,80 (q > 1). Искомый доверительный интервал таков:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

Оценка точности измерений

В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения случайных ошибок измерений. Для оценки используют «исправленной» среднее квадратическое отклонение s. Поскольку обычно результаты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений), то теория, изложенная в предыдущем параграфе, применима для оценки точности измерений.

Пример. По 15 равноточным измерениям найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,12. Найти точность измерений с надежностью 0,99.

Решение. Точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок, поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала s (1 -- q) < < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

По таблице приложения по = 0,99 и n=15 найдем q = 0,73.

Искомый доверительный интервал

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте

Интервальной оценкой (с надежностью) неизвестной вероятности p биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал (с приближенными концами p1 и р2)

p1 < p < p2,

где n - общее число испытаний; m - число появлений события; w - относительная частота, равная отношению m/n; t - значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t) = /2.

Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала