Метод наименьших квадратов применяется для обработки результатов. Где применяется метод наименьших квадратов
Матричный способ решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений следующего вида:
$\left\{\begin{array}{c} {a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +...+a_{1n} x_{n} =b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +...+a_{2n} x_{n} =b_{2} } \\ {...} \\ {a_{n1} x_{1} +a_{n2} x_{2} +...+a_{nn} x_{n} =b_{n} } \end{array}\right. .$
Числа $a_{ij} (i=1..n,j=1..n)$ - коэффициенты системы, числа $b_{i} (i=1..n)$ - свободные члены.
Определение 1
В случае, когда все свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае - неоднородной.
Каждой СЛАУ можно поставить в соответствие несколько матриц и записать систему в так называемом матричном виде.
Определение 2
Матрица коэффициентов системы называется матрицей системы и обозначается, как правило, буквой $A$.
Столбец свободных членов образует вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $B$ и называется матрицей свободных членов.
Неизвестные переменные образуют вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $X$ и называется матрицей неизвестных.
Описанные выше матрицы имеют вид:
$A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {...} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {...} & {a_{2n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {...} & {a_{nn} } \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {b_{1} } \\ {b_{2} } \\ {...} \\ {b_{n} } \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {...} \\ {x_{n} } \end{array}\right).$
Используя матрицы, СЛАУ можно переписать в виде $A\cdot X=B$. Такую запись часто называют матричным уравнением.
Вообще говоря, в матричном виде записать можно любую СЛАУ.
Примеры решения системы с помощью обратной матрицы
Пример 1
Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {3x_{1} -2x_{2} +x_{3} -x_{4} =3} \\ {x_{1} -12x_{2} -x_{3} -x_{4} =7} \\ {2x_{1} -3x_{2} +x_{3} -3x_{4} =5} \end{array}\right. $. Записать систему в матричном виде.
Решение:
$A=\left(\begin{array}{cccc} {3} & {-2} & {1} & {-1} \\ {1} & {-12} & {-1} & {-1} \\ {2} & {-3} & {1} & {-3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \\ {5} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right).$
$\left(\begin{array}{cccc} {3} & {-2} & {1} & {-1} \\ {1} & {-12} & {-1} & {-1} \\ {2} & {-3} & {1} & {-3} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \\ {5} \end{array}\right)$
В случае, когда матрица системы является квадратной, СЛАУ можно решить уравнения матричным способом.
Имея матричное уравнение $A\cdot X=B$, можно выразить из него $X$ следующим способом:
$A^{-1} \cdot A\cdot X=A^{-1} \cdot B$
$A^{-1} \cdot A=E$ (свойство произведения матриц)
$E\cdot X=A^{-1} \cdot B$
$E\cdot X=X$ (свойство произведения матриц)
$X=A^{-1} \cdot B$
Алгоритм решения системы алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы:
- записать систему в матричном виде;
- вычислить определитель матрицы системы;
- если определитель матрицы системы отличен от нуля, то находим обратную матрицу;
- решение системы вычисляем по формуле $X=A^{-1} \cdot B$.
Если матрица системы имеет определитель, не равный нулю, то данная система имеет единственное решение, которое можно найти матричным способом.
Если матрица системы имеет определитель, равный нулю, то данную систему нельзя решить матричным способом.
Пример 2
Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {x_{1} +3x_{3} =26} \\ {-x_{1} +2x_{2} +x_{3} =52} \\ {3x_{1} +2x_{2} =52} \end{array}\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.
Решение:
$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right). $
Нахождение определителя матрицы системы:
$\begin{array}{l} {\det A=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0} \end{array}$ Так как определитель не равен нулю, то матрица системы имеет обратную матрицу и, следовательно, система уравнений может быть решена методом обратной матрицы. Полученное решение будет единственным.
Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:
$A_{11} =(-1)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=0-2=-2; A_{12} =(-1)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=-(0-3)=3;$
$A_{13} =(-1)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-2-6=-8; A_{21} =(-1)^{2+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=-(0-6)=6; $
$A_{22} =(-1)^{2+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=0-9=-9; A_{23} =(-1)^{2+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-(2-0)=-2;$
$A_{31} =(-1)^{3+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {1} \end{array}\right|=0-6=-6; A_{32} =(-1)^{3+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-1} & {1} \end{array}\right|=-(1+3)=-4;$
$A_{33} =(-1)^{3+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {-1} & {2} \end{array}\right|=2-0=2$
Искомая обратная матрица:
$A^{-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).$
Найдем решение системы:
$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{13} \cdot 26-\frac{3}{13} \cdot 52+\frac{3}{13} \cdot 52} \\ {-\frac{3}{26} \cdot 26+\frac{9}{26} \cdot 52+\frac{2}{13} \cdot 52} \\ {\frac{4}{13} \cdot 26+\frac{1}{13} \cdot 52-\frac{1}{13} \cdot 52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2-12+12} \\ {-3+18+8} \\ {8+4-4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$
$X=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$ - искомое решение системы уравнений.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , ..., x n :
Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n .
В соответствии с правилом умножения матрицрассмотренная система линейных уравнений может быть записана вматричной форме Ax=b , где
Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы . Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .
Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b , является матричным уравнением .
Если матрица системы невырождена , то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:
x=A -1 b .
Пример
Решить систему
матричным
методом.
Решение найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы
Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:
Поскольку Δ ≠ 0 , то A -1 существует.
Обратная матрица найдена верно.
Найдем
решение системы
Следовательно, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Проверка:
7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных уравнений имеет вид:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
где A = (а i j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы , X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i .
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1 , x 2 ,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такой, что AC B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной );
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной ). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система
имеет единственное решение только в
том случае, когда
r(A) = n. При этом число
уравнений - не меньше числа неизвестных
(mn);
если m>n, то m-n уравнений являются
следствиями остальных. Если 0 Для
решения произвольной системы линейных
уравнений нужно уметь решать системы,
в которых число уравнений равно числу
неизвестных, - так называемые
системы крамеровского типа
: a 11
x 1
+
a 12
x 2
+...
+ a 1n
x n
=
b 1 , a 21
x 1
+ a 22
x 2
+...
+ a 2n
x n
=
b 2 ,
(5.3) ...
... ... ...
... ... a n1
x 1
+ a n1
x 2
+... + a nn
x n
= b n . Системы (5.3) решаются
одним из следующих способов: 1) методом
Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным
методом. Пример
2.12
. Исследовать
систему уравнений и решить ее, если она
совместна: 5x 1
- x 2
+ 2x 3
+ x 4
= 7, 2x 1
+ x 2
+ 4x 3 -
2x 4
= 1, x 1
- 3x 2
- 6x 3
+ 5x 4
= 0. Решение.
Выписываем
расширенную матрицу системы:
Вычислим
ранг основной матрицы системы. Очевидно,
что, например, минор второго порядка в
левом верхнем углу
=
7
0; содержащие его миноры третьего порядка
равны нулю: Следовательно,
ранг основной матрицы системы равен 2,
т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной
матрицы A
рассмотрим окаймляющий минор значит,
ранг расширенной матрицы r(A)
= 3. Поскольку r(A)
r(A),
то система несовместна. Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод
вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить". ×
Очистить все ячейки? Закрыть
Очистить Инструкция ввода данных.
Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д. Рассмотрим следующую систему линейных уравнений: Учитывая определение обратной матрицы, имеем A
−1 A
=E
, где E
- единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так: Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A
матрицу на вектор ограничений b
. Пример 1.
Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом: Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A
запишем единичную матрицу: Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно: Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51: Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17: Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A
: Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b
, где Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A
: где A
ij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A
, находящиеся на пересечении i
-ой строки и j
-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A
. Используя формулу обратной матрицы, получим: Инструкция
. Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B .
Напомним, что решением системы линейных уравнений называется всякая совокупность чисел {x 1 , x 2 , ..., x n } , подстановка которых в эту систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.
Пример №1
. Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде: Пример №2
. Решить СЛАУ методом обратной матрицы.
Запишем матрицу в виде:
Вектор B:
Пример №4
. Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.
Пример №5
. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера ; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.
Пример №7
. Решение матричных уравнений.
X T =(4.05,6.13,7.54) Пример №9
. Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; X - матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: X T =(5.21,4.51,6.15) Пример №10
. Решение матричных уравнений.
Пусть
система линейных алгебраических
уравнений задана в матричной форме
,
где матрицаA
имеет размерностьn
наn
и ее определитель отличен от
нуля. Так
как
,
то матрицаА
– обратима, то есть,
существует обратная матрица.
Если умножить обе части равенстванаслева,
то получим формулу для нахождения
матрицы-столбца неизвестных переменных.
Так мы получили решение системы линейных
алгебраических уравнений матричным
методом. Перепишем
систему уравнений в матричной форме:
Так
как
Построим
обратную матрицу
с
помощью матрицы из алгебраических
дополнений элементов матрицыА
(при
необходимости смотрите статьюметоды
нахождения обратной матрицы): Осталось
вычислить
-
матрицу неизвестных переменных, умножив
обратную матрицу Основная
проблема при нахождении решения систем
линейных алгебраических уравнений
матричным методом заключается в
трудоемкости нахождения обратной
матрицы, особенно для квадратных матриц
порядка выше третьего. Более
подробное описание теории и дополнительные
примеры смотрите в статье матричный
метод решения систем линейных уравнений. К
началу страницы Пусть
нам требуется найти решение системы из
n
линейных уравнений сn
неизвестными
переменными Суть
метода Гаусса
состоит в последовательном
исключении неизвестных переменных:
сначала исключаетсяx
1
из
всех уравнений системы, начиная со
второго, далее исключаетсяx
2
из всех уравнений, начиная с третьего,
и так далее, пока в последнем уравнении
останется только неизвестная переменнаяx
n
. Такой процесс преобразования
уравнений системы для последовательного
исключения неизвестных переменных
называетсяпрямым ходом метода Гаусса
.
После завершения прямого хода метода
Гаусса из последнего уравнения находитсяx
n
, с помощью этого значения
из предпоследнего уравнения вычисляетсяx
n-1
, и так далее, из первого
уравнения находитсяx
1
.
Процесс вычисления неизвестных переменных
при движении от последнего уравнения
системы к первому называетсяобратным
ходом метода Гаусса
. Кратко
опишем алгоритм исключения неизвестных
переменных. Будем
считать, что
,
так как мы всегда можем этого добиться
перестановкой местами уравнений системы.
Исключим неизвестную переменнуюx
1
из всех уравнений системы, начиная со
второго. Для этого ко второму уравнению
системы прибавим первое, умноженное на,
к третьему уравнению прибавим первое,
умноженное на,
и так далее, кn-ому
уравнению прибавим
первое, умноженное на.
Система уравнений после таких
преобразований примет вид К
такому же результату мы бы пришли, если
бы выразили x
1
через другие
неизвестные переменные в первом уравнении
системы и полученное выражение подставили
во все остальные уравнения. Таким
образом, переменнаяx
1
исключена из всех уравнений, начиная
со второго. Далее
действуем аналогично, но лишь с частью
полученной системы, которая отмечена
на рисунке
Для
этого к третьему уравнению системы
прибавим второе, умноженное на
,
к четвертому уравнению прибавим второе,
умноженное на,
и так далее, кn-ому
уравнению прибавим
второе, умноженное на.
Система уравнений после таких
преобразований примет вид Далее
приступаем к исключению неизвестной
x
3
, при этом действуем
аналогично с отмеченной на рисунке
частью системы Так
продолжаем прямой ход метода Гаусса
пока система не примет вид
С
этого момента начинаем обратный ход
метода Гаусса: вычисляем x
n
из последнего уравнения как,
с помощью полученного значенияx
n
находимx
n-1
из предпоследнего
уравнения, и так далее, находимx
1
из первого уравнения. Решите
систему линейных уравнений
Исключим
неизвестную переменную x
1
из второго и третьего уравнения системы.
Для этого к обеим частям второго и
третьего уравнений прибавим соответствующие
части первого уравнения, умноженные наи
насоответственно: Теперь
из третьего уравнения исключим x
2
,
прибавив к его левой и правой частям
левую и правую части второго уравнения,
умноженные на: На
этом прямой ход метода Гаусса закончен,
начинаем обратный ход. Из
последнего уравнения полученной системы
уравнений находим x
3
: Из
второго уравнения получаем
. Из
первого уравнения находим оставшуюся
неизвестную переменную и этим завершаем
обратный ход метода Гаусса
. x
1
= 4, x
2
= 0, x
3
=
-1
. Более
детальную информацию и дополнительные
примеры смотрите в разделе решение
элементарных систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса. К
началу страницы
.
Предупреждение
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом
,
,
,
,
,
Назначение сервиса
. С помощью данного онлайн-калькулятора вычисляются неизвестные {x 1 , x 2 , ..., x n } в системе уравнений. Решение осуществляется методом обратной матрицы
. При этом:
Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word
.
Система линейных алгебраических уравнений обычно записывается как (для 3-х переменных):
См. также Решение матричных уравнений .
Алгоритм решения
Алгебраические дополнения.
A 1,1 = (-1) 1+1
1
2
0
-2
∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2
A 1,2 = (-1) 1+2
3
2
1
-2
∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8
A 1,3 = (-1) 1+3
3
1
1
0
∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1
A 2,1 = (-1) 2+1
-2
1
0
-2
∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4
A 2,2 = (-1) 2+2
2
1
1
-2
∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5
A 2,3 = (-1) 2+3
2
-2
1
0
∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2
A 3,1 = (-1) 3+1
-2
1
1
2
∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5
A 3,2 = (-1) 3+2
2
1
3
2
∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1
·
3
-2
-1
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1
3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2
5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3
4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
B T = (1,2,3,4)
Главный определитель
Минор для (1,1):
= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Минор для (2,1):
= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Минор для (3,1):
= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Минор для (4,1):
= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Определитель минора
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Решение :xls
Методические рекомендации
. После решения методом Крамера, найдите кнопку "Решение методом обратной матрицы для исходных данных". Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется.
Решение
. Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; X - матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B:
-1
3
0
3
-2
1
2
1
-1
B T =(4,-3,-3)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А - невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А -1 . Умножив обе части уравнения на А -1 , получим: А -1 *А*Х = А -1 *B, А -1 *А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений
. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А -1 .
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1A 1,1 =(-1) 1+1
-2
1
1
-1
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3A 1,2 =(-1) 1+2
3
1
0
-1
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3A 1,3 =(-1) 1+3
3
-2
0
1
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5A 2,1 =(-1) 2+1
3
2
1
-1
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1A 2,2 =(-1) 2+2
-1
2
0
-1
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1A 2,3 =(-1) 2+3
-1
3
0
1
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7A 3,1 =(-1) 3+1
3
2
-2
1
·
4
-3
-3
X=1/14
-3))
Главный определитель
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Транспонированная матрица
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6
∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4A 1,2 =(-1) 1+2
1
3
-1
1
∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2A 1,3 =(-1) 1+3
1
0
-1
-2
∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2A 2,1 =(-1) 2+1
2
0
-2
1
∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4A 2,2 =(-1) 2+2
4
0
-1
1
∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6A 2,3 =(-1) 2+3
4
2
-1
-2
∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6A 3,1 =(-1) 3+1
2
0
0
3
∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12A 3,2 =(-1) 3+2
4
0
1
3
A 3,3 =(-1) 3+3
1/16
6
-4
-2
-2
4
6
6
-12
-2
E=A*A -1 = (4 6)+(1 (-2))+(-1 6)
(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))
(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)
(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))
(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)
(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))
(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))
=1/16
16
0
0
0
16
0
0
0
16
A*A -1 =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Обозначим:A =
3
0
5
2
1
4
-1
3
0
Алгебраические дополнения
∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12A 1,1 = (-1) 1+1
1
3
4
0
∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15A 1,2 = (-1) 1+2
0
3
5
0
∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5A 1,3 = (-1) 1+3
0
1
5
4
∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4A 2,1 = (-1) 2+1
2
-1
4
0
∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5A 2,2 = (-1) 2+2
3
-1
5
0
∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2A 2,3 = (-1) 2+3
3
2
5
4
∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7A 3,1 = (-1) 3+1
2
-1
1
3
· 1/-1
-12
15
-5
-4
5
-2
7
-9
3
=
Вектор B:
B T =(31,13,10)
x 1 = 158 / 39 =4.05
x 2 = 239 / 39 =6.13
x 3 = 294 / 39 =7.54
Проверка
.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10
Вектор B:
-2
1
6
1
-1
2
2
4
-3
B T =(31,13,10)
x 1 = 276 / 53 =5.21
x 2 = 239 / 53 =4.51
x 3 = 326 / 53 =6.15
Проверка
.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10
Обозначим:
Алгебраические дополнения
A 11 = (-1) 1+1 ·-3 = -3; A 12 = (-1) 1+2 ·3 = -3; A 21 = (-1) 2+1 ·1 = -1; A 22 = (-1) 2+2 ·2 = 2;
Обратная матрица A -1 .· 1/-9
-3
-3
-1
2
=
1
-2
1
1
Ответ:X =
1
-2
1
1
Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).
матричным
методом.
то
СЛАУ можно решать матричным методом. С
помощью обратной матрицы решение этой
системы может быть найдено как
.
на
матрицу-столбец свободных членов(при
необходимости смотрите статьюоперации
над матрицами):
или
в другой записи x
1
= 4, x
2
= 0, x
3
= -1
.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
определитель
основной матрицы которой отличен от
нуля.
где,
а
.
где,
а
.
Таким образом, переменнаяx
2
исключена из всех уравнений, начиная с
третьего.
методом
Гаусса.
Конспект занятия по произношению
Изучаем буквы в действии!
Развитие детей с овз в доу