25 bukti teorem Pythagoras. Teorem Pythagoras: latar belakang, bukti, contoh aplikasi praktikal

Pelbagai cara untuk membuktikan teorem Pythagoras

pelajar kelas 9 "A".

MOU sekolah menengah №8

Penasihat saintifik:

guru matematik,

MOU sekolah menengah №8

Seni. Krismas baru

Wilayah Krasnodar.

Seni. Krismas baru

ANOtasi.

Teorem Pythagoras dianggap paling penting dalam perjalanan geometri dan patut diberi perhatian. Ia adalah asas untuk menyelesaikan banyak masalah geometri, asas untuk mengkaji teori dan kursus praktikal geometri pada masa hadapan. Teorem dikelilingi oleh yang terkaya bahan sejarah dikaitkan dengan penampilan dan kaedah pembuktiannya. Kajian sejarah perkembangan geometri menyemai rasa cinta kepada subjek ini, menyumbang kepada pembangunan minat kognitif, budaya umum dan kreativiti, serta membangunkan kemahiran kerja penyelidikan.

Hasil daripada aktiviti pencarian, matlamat kerja itu tercapai, iaitu untuk menambah dan menyamaratakan pengetahuan tentang pembuktian teorem Pythagoras. Berjaya mencari dan menyemak pelbagai cara bukti dan mendalami pengetahuan mengenai topik tersebut, melangkaui halaman buku teks sekolah.

Bahan yang dikumpul lebih meyakinkan lagi bahawa teorem Pythagoras adalah teorem geometri yang hebat dan mempunyai kepentingan teori dan praktikal yang besar.

pengenalan. Rujukan sejarah 5 Badan utama 8

3. Kesimpulan 19

4. Sastera yang digunakan 20
1. PENGENALAN. RUJUKAN SEJARAH.

Intipati kebenaran adalah untuk kita selama-lamanya,

Apabila sekurang-kurangnya sekali dalam pandangannya kita melihat cahaya,

Dan teorem Pythagoras selepas bertahun-tahun

Bagi kami, baginya, ia tidak dapat dipertikaikan, sempurna.

Untuk meraikan, para dewa telah diberi nazar oleh Pythagoras:

Untuk menyentuh kebijaksanaan yang tidak terhingga,

Dia menyembelih seratus lembu jantan, terima kasih kepada yang kekal;

Dia menyampaikan doa dan pujian kepada mangsa selepas itu.

Sejak itu, lembu jantan, apabila mereka berbau, menolak,

Apa yang membawa orang kepada kebenaran baru semula,

Mereka mengaum dengan marah, sehingga tidak ada air kencing untuk didengar,

Pythagoras seperti itu menanamkan ketakutan dalam diri mereka selama-lamanya.

Lembu jantan, tidak berdaya untuk menentang kebenaran baru,

Apa yang tinggal? - Hanya tutup mata anda, mengaum, menggeletar.

Tidak diketahui bagaimana Pythagoras membuktikan teoremnya. Apa yang pasti beliau menemuinya di bawah pengaruh kuat sains Mesir. kes istimewa teorem Pythagoras - sifat segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 - diketahui oleh pembina piramid lama sebelum kelahiran Pythagoras, sementara dia sendiri belajar dengan imam Mesir selama lebih dari 20 tahun. Terdapat legenda yang mengatakan bahawa, setelah membuktikan teoremnya yang terkenal, Pythagoras mengorbankan seekor lembu jantan kepada para dewa, dan menurut sumber lain, bahkan 100 lembu jantan. Ini, bagaimanapun, bercanggah dengan maklumat tentang pandangan moral dan agama Pythagoras. Dalam sumber sastera, seseorang boleh membaca bahawa dia "melarang bahkan membunuh haiwan, dan lebih-lebih lagi memberi makan kepada mereka, kerana haiwan mempunyai jiwa, seperti kita." Pythagoras hanya makan madu, roti, sayur-sayuran, dan kadang-kadang ikan. Sehubungan dengan semua ini, entri berikut boleh dianggap lebih munasabah: "... dan walaupun dia mendapati bahawa dalam segi tiga tepat hipotenus sepadan dengan kaki, dia mengorbankan seekor lembu jantan yang diperbuat daripada doh gandum."

Populariti teorem Pythagoras sangat hebat sehingga buktinya ditemui walaupun dalam fiksyen, sebagai contoh, dalam kisah penulis Inggeris terkenal Huxley "Young Archimedes". Bukti yang sama, tetapi untuk kes tertentu segi tiga sama kaki, diberikan dalam dialog Plato Meno.

Rumah dongeng.

“Jauh, jauh, di mana pesawat tidak terbang, adalah negara Geometri. Di negara yang luar biasa ini terdapat satu bandar yang menakjubkan - bandar Teorem. Suatu hari saya datang ke bandar ini perempuan cantik bernama Hypotenuse. Dia cuba mendapatkan bilik, tetapi di mana sahaja dia memohon, dia ditolak di mana-mana. Akhirnya dia menghampiri rumah reyot itu dan mengetuk. Dia dibuka oleh seorang lelaki yang menggelarkan dirinya sebagai Sudut Tepat, dan dia menjemput Hypotenuse untuk tinggal bersamanya. Hipotenus kekal di rumah di mana Sudut Kanan dan dua anak lelakinya, bernama Katet, tinggal. Sejak itu, kehidupan di Rumah Sudut Tepat telah berubah dengan cara yang baharu. Hipotenus menanam bunga di tingkap, dan menyebarkan mawar merah di taman depan. Rumah itu berbentuk segi tiga tepat. Kedua-dua kakinya sangat menyukai Hypotenuse dan memintanya untuk tinggal selama-lamanya di rumah mereka. Pada sebelah malam, keluarga yang mesra ini berkumpul di meja keluarga. Kadangkala Right Angle bermain sorok-sorok dengan anak-anaknya. Selalunya dia perlu melihat, dan Hypotenuse bersembunyi dengan begitu mahir sehingga sukar untuk mencarinya. Sekali semasa permainan, Sudut Kanan melihat sifat yang menarik: jika dia berjaya mencari kaki, maka mencari Hypotenuse tidak sukar. Jadi Sudut Kanan menggunakan corak ini, saya mesti katakan, sangat berjaya. Atas harta ini segi tiga tepat dan mengasaskan teorem Pythagoras."

(Dari buku oleh A. Okunev "Terima kasih atas pelajaran, anak-anak").

Rumusan teorem yang suka bermain:

Jika kita diberi segitiga

Dan, lebih-lebih lagi, dengan sudut tepat,

Itulah kuasa dua hipotenus

Kami sentiasa boleh mencari dengan mudah:

Kami membina kaki dalam segi empat sama,

Kami mencari jumlah darjah -

Dan dengan cara yang begitu mudah

Kami akan sampai kepada keputusannya.

Mempelajari algebra dan permulaan analisis dan geometri dalam gred ke-10, saya yakin bahawa sebagai tambahan kepada kaedah membuktikan teorem Pythagoras yang dipertimbangkan dalam gred ke-8, terdapat cara lain untuk membuktikannya. Saya mengemukakannya untuk pertimbangan anda.
2. BAHAGIAN UTAMA.

Teorem. Segi empat dalam segi tiga tepat

hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat sama kaki.

1 HALA.

Dengan menggunakan sifat kawasan poligon, kami mewujudkan hubungan yang luar biasa antara hipotenus dan kaki segi tiga tepat.

Bukti.

a, dalam dan hipotenus Dengan(Gamb. 1, a).

Mari kita buktikan c²=a²+b².

Bukti.

Kami melengkapkan segitiga ke segi empat sama dengan sisi a + b seperti yang ditunjukkan dalam rajah. 1b. Luas S petak ini ialah (a + b)². Sebaliknya, segi empat sama ini terdiri daripada empat segi tiga bersudut tegak yang sama, luas setiap satunya ialah ½ aw, dan segi empat sama dengan sisi dengan, jadi S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

Dengan cara ini,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Teorem telah terbukti.
2 HALA.

Selepas mempelajari topik "Segitiga Serupa", saya mendapati bahawa anda boleh menggunakan persamaan segi tiga kepada bukti teorem Pythagoras. Iaitu, saya menggunakan pernyataan bahawa kaki segi tiga tepat adalah berkadar min bagi hipotenus dan segmen hipotenus yang tertutup di antara kaki dan ketinggian yang dilukis dari bucu sudut tepat.

Pertimbangkan segi tiga bersudut tegak dengan sudut tegak C, CD ialah ketinggian (Rajah 2). Mari kita buktikan AC² + SW² = AB² .

Bukti.

Berdasarkan pernyataan tentang kaki segi tiga tegak:

AC = , CB = .

Kami kuasa dua dan menambah kesamaan yang terhasil:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), dengan AD + DB = AB, kemudian

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Buktinya lengkap.
3 HALA.

Takrifan kosinus sudut akut segi tiga tegak boleh digunakan untuk pembuktian teorem Pythagoras. Pertimbangkan Rajah. 3.

Bukti:

Biarkan ABC ialah segi tiga tegak yang diberi dengan sudut tegak C. Lukiskan CD ketinggian dari bucu sudut tegak C.

Mengikut takrifan kosinus sudut:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Oleh itu AB * AD = AC²

Begitu juga,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Oleh itu AB * BD \u003d BC².

Menambah istilah kesamaan yang terhasil mengikut sebutan dan perasan bahawa AD + DВ = AB, kita dapat:

AC² + Matahari² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Buktinya lengkap.
4 HALA.

Setelah mempelajari topik "Nisbah antara sisi dan sudut segi tiga tepat", saya berpendapat bahawa teorem Pythagoras boleh dibuktikan dengan cara lain.

Pertimbangkan segi tiga tepat dengan kaki a, dalam dan hipotenus Dengan. (Gamb. 4).

Mari kita buktikan c²=a²+b².

Bukti.

dosa B= a/c ; cos B= a/s , kemudian, mengkuadratkan kesamaan yang terhasil, kita dapat:

dosa² B= dalam²/s²; cos² AT\u003d a² / s².

Menambahnya, kita dapat:

dosa² AT+ cos² B= v² / s² + a² / s², di mana sin² AT+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², oleh itu,

c² = a² + b².

Buktinya lengkap.

5 HALA.

Bukti ini adalah berdasarkan kepada memotong segi empat sama yang dibina pada kaki (Rajah 5) dan menyusun bahagian yang terhasil pada segi empat sama yang dibina pada hipotenus.

6 CARA.

Untuk bukti pada katete matahari bangunan BCD ABC(Gamb. 6). Kita tahu bahawa kawasan bagi rajah yang serupa adalah berkaitan sebagai kuasa dua dimensi linear yang serupa:

Menolak yang kedua daripada kesamaan pertama, kita dapat

c2 = a2 + b2.

Buktinya lengkap.

7 CARA.

Diberi(Gamb. 7):

ABS,= 90° , matahari= a, AC=b, AB = c.

Buktikan:c2 = a2 +b2.

Bukti.

Biarkan kaki b a. Jom teruskan segmen SW setiap mata AT dan membina segitiga bmd supaya mata M dan TAPI terletak pada satu sisi garis lurus CD dan selain itu, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, maka bmd= ABC pada dua sisi dan sudut di antara mereka. Mata A dan M sambung mengikut segmen pagi. Kami ada MD CD dan AC CD, bermaksud lurus AC selari dengan garis lurus MD. Kerana MD< АС, kemudian lurus CD dan pagi tidak selari. Oleh itu, AMDC- trapezoid segi empat tepat.

Dalam segi tiga tepat ABC dan bmd 1 + 2 = 90° dan 3 + 4 = 90°, tetapi sejak = =, maka 3 + 2 = 90°; kemudian AVM=180° - 90° = 90°. Ia ternyata bahawa trapezoid AMDC dibahagikan kepada tiga segi tiga tegak tidak bertindih, kemudian dengan aksiom luas

(a+b)(a+b)

Membahagikan semua syarat ketaksamaan dengan , kita perolehi

ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Buktinya lengkap.

8 JALAN.

Kaedah ini adalah berdasarkan hipotenus dan kaki segi tiga tegak ABC. Dia membina petak yang sepadan dan membuktikan bahawa petak yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah petak yang dibina pada kaki (Rajah 8).

Bukti.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc, bermakna, FBC= DBA.

Dengan cara ini, FBC=ABD(pada dua sisi dan sudut di antara mereka).

2) , di mana AL ialah DE, kerana BD ialah titik persamaan, DL- ketinggian keseluruhan.

3) , kerana FB adalah pangkalan, AB- jumlah ketinggian.

4)

5) Begitu juga, seseorang boleh membuktikannya

6) Menambah istilah demi istilah, kita dapat:

, BC2 = AB2 + AC2 . Buktinya lengkap.

9 CARA.

Bukti.

1) Biarkan ABDE- segi empat sama (Rajah 9), sisi yang sama dengan hipotenus segi tiga tepat ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) Biarkan DK BC dan DK = matahari, sejak 1 + 2 = 90° (sebagai sudut akut segi tiga tegak), 3 + 2 = 90° (sebagai sudut segi empat sama), AB= BD(sisi petak).

Bermaksud, ABC= BDK(mengikut hipotenus dan sudut akut).

3) Biarkan EL DC, AM EL. Ia boleh dibuktikan dengan mudah bahawa ABC = BDK = DEL = EAM (dengan kaki a dan b). Kemudian KS= CM= ML= LK= a -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Dengan2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Buktinya lengkap.

10 JALAN.

Buktinya boleh dilakukan pada angka, secara berseloroh dipanggil "seluar Pythagoras" (Rajah 10). Ideanya adalah untuk mengubah segi empat sama yang dibina pada kaki menjadi segi tiga sama, yang bersama-sama membentuk segi empat sama hipotenus.

ABC anjakan, seperti yang ditunjukkan oleh anak panah, dan ia mengambil kedudukan KDN. Selebihnya angka itu AKTCB sama dengan luas segi empat sama AKDC- ia adalah segi empat selari AKNB.

Dibuat model selari AKNB. Kami mengalihkan segi empat selari seperti yang dilakarkan dalam kandungan kerja. Untuk menunjukkan transformasi segi empat selari kepada segi tiga sama, di hadapan pelajar, kami memotong segi tiga pada model dan mengalihkannya ke bawah. Jadi luas dataran itu AKDC adalah sama dengan luas segi empat tepat. Begitu juga, kita menukar luas segi empat sama kepada luas segi empat tepat.

Mari kita buat transformasi untuk segi empat sama yang dibina di atas kaki a(Gamb. 11, a):

a) segi empat sama diubah menjadi segi empat selari bersaiz sama (Rajah 11.6):

b) segi empat selari berputar seperempat pusingan (Rajah 12):

c) segi empat selari diubah menjadi segi empat sama bersaiz (Rajah 13): 11 JALAN.

Bukti:

PCL- lurus (Rajah 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Bukti berakhir .

12 JALAN.

nasi. 15 menggambarkan satu lagi bukti asal teorem Pythagoras.

Di sini: segitiga ABC dengan sudut tepat C; segmen garisan bf berserenjang SW dan sama dengannya, segmen JADILAH berserenjang AB dan sama dengannya, segmen AD berserenjang AC dan setaraf dengannya; mata F, C,D tergolong dalam satu garis lurus; segi empat ADFB dan ACBE adalah sama kerana ABF = ECB; segi tiga ADF dan ACE adalah sama; kita tolak daripada kedua-dua segi empat sama segi tiga sepunya untuk mereka abc, kita mendapatkan

, c2 = a2 + b2.

Buktinya lengkap.

13 JALAN.

Luas segi tiga tepat ini, dalam satu tangan, adalah sama dengan , dengan yang lain, ,

3. KESIMPULAN

Hasil daripada aktiviti pencarian, matlamat kerja itu tercapai, iaitu untuk menambah dan menyamaratakan pengetahuan tentang pembuktian teorem Pythagoras. Ia adalah mungkin untuk mencari dan mempertimbangkan pelbagai cara untuk membuktikannya dan mendalami pengetahuan mengenai topik itu dengan menjangkau halaman buku teks sekolah.

Bahan yang saya kumpulkan adalah lebih meyakinkan bahawa teorem Pythagoras adalah teorem geometri yang hebat dan mempunyai kepentingan teori dan praktikal yang besar. Sebagai kesimpulan, saya ingin mengatakan: sebab populariti teorem Pythagoras triune adalah keindahan, kesederhanaan dan kepentingan!

4. LITERATUR YANG DIGUNAKAN.

1. Algebra yang menghiburkan. . Moscow "Nauka", 1978.

2. Tambahan pendidikan dan metodologi mingguan kepada akhbar "Pertama September", 24/2001.

3. Geometri 7-9. dan lain-lain.

4. Geometri 7-9. dan lain-lain.

Bukti animasi teorem Pythagoras adalah salah satu daripada asas teorem geometri Euclidean, mewujudkan hubungan antara sisi segi tiga tepat. Adalah dipercayai bahawa ia telah dibuktikan oleh ahli matematik Yunani Pythagoras, yang selepasnya ia dinamakan (terdapat versi lain, khususnya, pendapat alternatif bahawa teorem ini dalam Pandangan umum telah dirumuskan oleh ahli matematik Pythagoras Hippasus).
Teorem mengatakan:

Dalam segi tiga tepat, luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah luas segi empat yang dibina pada kaki.

Menyatakan panjang hipotenus segi tiga c, dan panjang kaki sebagai a dan b, kita mendapat formula berikut:

Oleh itu, teorem Pythagoras mewujudkan hubungan yang membolehkan anda menentukan sisi segi tiga tepat, mengetahui panjang dua yang lain. Teorem Pythagoras ialah kes khas teorem kosinus, yang menentukan hubungan antara sisi segi tiga sewenang-wenangnya.
Pernyataan sebaliknya juga dibuktikan (juga dipanggil teorem terbalik Pythagoras):

Untuk mana-mana tiga nombor positif a, b dan c supaya a ? +b? = c ?, terdapat segi tiga tegak dengan kaki a dan b serta hipotenus c.

Bukti visual untuk segi tiga (3, 4, 5) dari Chu Pei 500-200 SM. Sejarah teorem boleh dibahagikan kepada empat bahagian: pengetahuan tentang nombor Pythagoras, pengetahuan tentang nisbah sisi dalam segi tiga tepat, pengetahuan tentang nisbah sudut bersebelahan dan bukti teorem.
Struktur megalitik sekitar 2500 SM di Mesir dan Eropah Utara, mengandungi segi tiga bersudut tegak dengan sisi integer. Barthel Leendert van der Waerden menjangkakan bahawa pada zaman itu nombor Pythagoras ditemui secara algebra.
Ditulis antara 2000 dan 1876 SM papirus dari Kerajaan Tengah Mesir Berlin 6619 mengandungi masalah yang penyelesaiannya ialah nombor Pythagoras.
Semasa pemerintahan Hammurabi the Great, sebuah tablet Vibylonian Plimpton 322, ditulis antara 1790 dan 1750 SM mengandungi banyak entri yang berkait rapat dengan nombor Pythagoras.
Dalam sutra Budhayana, yang bertarikh dari versi berbeza abad ke-8 atau ke-2 SM di India, mengandungi nombor Pythagoras yang diterbitkan secara algebra, rumusan teorem Pythagoras, dan bukti geometri untuk segi tiga sama kaki.
Sutra Apastamba (sekitar 600 SM) mengandungi bukti berangka Teorem Pythagoras menggunakan pengiraan luas. Van der Waerden percaya bahawa ia adalah berdasarkan tradisi pendahulunya. Menurut Albert Burko, ini adalah bukti asal teorem dan dia mencadangkan Pythagoras melawat Arakoni dan menyalinnya.
Pythagoras, yang tahun hidupnya biasanya ditunjukkan 569 - 475 SM. kegunaan kaedah algebra pengiraan nombor Pythagoras, menurut komen Proklov pada Euclid. Proclus, bagaimanapun, hidup antara 410 dan 485 AD. Menurut Thomas Giese, tiada petunjuk pengarang teorem selama lima abad selepas Pythagoras. Walau bagaimanapun, apabila pengarang seperti Plutarch atau Cicero mengaitkan teorem itu kepada Pythagoras, mereka berbuat demikian seolah-olah kepengarangannya diketahui secara meluas dan pasti.
Sekitar 400 SM Menurut Proclus, Plato memberikan kaedah untuk mengira nombor Pythagoras, menggabungkan algebra dan geometri. Sekitar 300 SM, dalam Permulaan Euclid, kami mempunyai bukti aksiomatik tertua yang telah bertahan hingga ke hari ini.
Ditulis antara 500 B.C. dan 200 SM, Cina buku matematik"Chu Pei" (? ? ? ?), memberikan bukti visual teorem Pythagoras, yang di China dipanggil teorem gugu (????), untuk segi tiga dengan sisi (3, 4, 5). Semasa pemerintahan Dinasti Han, dari 202 SM. sebelum 220 Masihi Nombor Pythagoras muncul dalam buku "Sembilan Bahagian Seni Matematik" bersama-sama dengan sebutan segi tiga tepat.
Penggunaan teorem pertama kali didokumenkan di China, di mana ia dikenali sebagai teorem gugu (????) dan di India, di mana ia dikenali sebagai teorem Baskar.
Ramai yang berdebat sama ada teorem Pythagoras ditemui sekali atau berulang kali. Boyer (1991) percaya bahawa pengetahuan yang terdapat dalam Shulba Sutra mungkin berasal dari Mesopotamia.
Bukti algebra
Segi empat dibentuk daripada empat segi tiga tepat. Lebih daripada seratus bukti teorem Pythagoras diketahui. Di sini bukti adalah berdasarkan teorem kewujudan untuk luas rajah:

Letakkan empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
Segiempat dengan sisi c ialah segi empat sama kerana hasil tambah dua sudut tajam, Dan sudut yang dibangunkan ialah .
Luas keseluruhan rajah adalah sama, di satu pihak, dengan luas segi empat sama dengan sisi "a + b", dan di sisi lain, dengan jumlah luas empat segi tiga dan segi empat sama dalam. .

Itu yang perlu dibuktikan.
Dengan persamaan segi tiga
Penggunaan segi tiga yang serupa. biarlah ABC ialah segi tiga tegak yang mempunyai sudut C lurus, seperti yang ditunjukkan dalam gambar. Mari kita lukis ketinggian dari satu titik c, dan panggil H titik persilangan dengan sisi AB. Segi tiga terbentuk ACH seperti segi tiga abc, kerana kedua-duanya adalah segi empat tepat (mengikut takrifan ketinggian) dan mereka berkongsi sudut A, jelas sudut ketiga akan sama dalam segi tiga ini juga. Begitu juga mirkuyuyuchy, segi tiga CBH juga serupa dengan segi tiga ABC. Daripada persamaan segi tiga: Jika

Ini boleh ditulis sebagai

Jika kita menambah dua kesamaan ini, kita dapat

HB + c kali AH = c kali (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Dengan kata lain, teorem Pythagoras:

Bukti Euclid
Bukti Euclid dalam "Prinsip" Euclidean, teorem Pythagoras dibuktikan dengan kaedah selari. biarlah A, B, C bucu segi tiga tegak, dengan sudut tegak A. Jatuhkan serenjang dari satu titik A ke sisi bertentangan hipotenus dalam segi empat sama yang dibina di hipotenus. Garisan tersebut membahagikan segi empat sama kepada dua segi empat tepat, setiap satunya mempunyai luas yang sama dengan segi empat sama yang dibina di atas kaki. idea utama buktinya ialah segi empat sama atas ditukar menjadi segi empat selari bagi kawasan yang sama, dan kemudian kembali dan bertukar menjadi segi empat tepat di petak bawah dan sekali lagi dengan kawasan yang sama.

Mari kita lukis segmen CF dan AD, kita mendapat segitiga BCF dan BDA.
sudut TEKSI dan BEG- lurus; mata C, A dan G adalah kolinear. Cara yang sama B, A dan H.
sudut CBD dan FBA- kedua-duanya lurus, kemudian sudut ABD sama dengan sudut fbc, kerana kedua-duanya adalah hasil tambah sudut tegak dan sudut ABC.
Segi tiga ABD dan FBC aras pada dua sisi dan sudut di antara mereka.
Kerana titik-titik A, K dan L– kolinear, luas segi empat tepat BDLK adalah sama dengan dua kawasan segi tiga ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Begitu juga, kita dapat CKLE = ACIH = AC 2
Di satu sisi kawasan CBDE sama dengan jumlah luas segi empat tepat BDLK dan CKLE, sebaliknya, kawasan dataran BC2, atau AB 2 + AC 2 = BC 2.

Menggunakan Pembezaan
Penggunaan pembezaan. Teorem Pythagoras boleh dicapai dengan mengkaji bagaimana kenaikan sisi mempengaruhi panjang hipotenus seperti yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah kanan dan menggunakan sedikit pengiraan.
Akibat pertumbuhan sebelah a, daripada segi tiga yang serupa untuk kenaikan yang tidak terhingga

Mengintegrasikan kita dapat

Sekiranya a= 0 kemudian c = b, jadi "malar" adalah b 2. Kemudian

Seperti yang dapat dilihat, segi empat sama adalah disebabkan oleh perkadaran antara kenaikan dan sisi, manakala jumlahnya adalah hasil sumbangan bebas kenaikan sisi, tidak jelas daripada bukti geometri. Dalam persamaan ini da dan dc adalah, masing-masing, kenaikan tak terhingga bagi sisi a dan c. Tetapi bukannya mereka yang kita gunakan? a dan? c, maka had nisbah jika mereka cenderung kepada sifar ialah da / dc, derivatif, dan juga sama dengan c / a, nisbah panjang sisi segi tiga, hasilnya kita dapat persamaan pembezaan.
Dalam kes sistem vektor ortogon, kesamaan berlaku, yang juga dipanggil teorem Pythagoras:

Jika - Ini adalah unjuran vektor ke paksi koordinat, maka formula ini bertepatan dengan jarak Euclidean dan bermakna panjang vektor adalah sama dengan punca jumlah persegi segi empat sama komponennya.
Analog persamaan ini dalam kes itu sistem yang tidak berkesudahan vektor dipanggil kesamaan Parseval.

Dalam satu perkara, anda boleh yakin seratus peratus bahawa apabila ditanya apakah kuasa dua hipotenus, mana-mana orang dewasa dengan berani akan menjawab: "Jumlah kuasa dua kaki." Teori ini telah ditanam dengan kukuh dalam minda setiap orang. orang yang terpelajar, tetapi cukup sekadar meminta seseorang untuk membuktikannya, dan kemudian kesukaran mungkin timbul. Oleh itu, mari kita ingat dan pertimbangkan cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras.

Gambaran ringkas tentang biografi

Teorem Pythagoras biasa kepada hampir semua orang, tetapi atas sebab tertentu biografi orang yang menghasilkannya tidak begitu popular. Kami akan membetulkannya. Oleh itu, sebelum mengkaji cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras, anda perlu berkenalan secara ringkas dengan keperibadiannya.

Pythagoras - ahli falsafah, ahli matematik, pemikir, berasal dari Hari ini sangat sukar untuk membezakan biografinya dari legenda yang telah berkembang dalam ingatan lelaki hebat ini. Tetapi seperti berikut dari tulisan pengikutnya, Pythagoras of Samos dilahirkan di pulau Samos. Ayahnya seorang pemotong batu biasa, tetapi ibunya berasal dari keluarga bangsawan.

Menurut legenda, kelahiran Pythagoras telah diramalkan oleh seorang wanita bernama Pythia, yang untuk menghormati budak itu dinamakan. Menurut ramalannya, anak lelaki yang dilahirkan membawa banyak manfaat dan kebaikan kepada manusia. Yang sebenarnya dia buat.

Kelahiran teorem

Pada masa mudanya, Pythagoras berpindah ke Mesir untuk bertemu dengan orang bijak Mesir yang terkenal di sana. Selepas bertemu dengan mereka, dia diterima belajar, di mana dia mempelajari semua pencapaian hebat falsafah, matematik dan perubatan Mesir.

Mungkin, di Mesirlah Pythagoras diilhamkan oleh keagungan dan keindahan piramid dan menciptanya sendiri. teori yang hebat. Ini mungkin mengejutkan pembaca, tetapi ahli sejarah moden percaya bahawa Pythagoras tidak membuktikan teorinya. Tetapi dia hanya menyampaikan pengetahuannya kepada pengikutnya, yang kemudiannya menyelesaikan semua pengiraan matematik yang diperlukan.

Walau apa pun, hari ini bukan satu teknik untuk membuktikan teorem ini diketahui, tetapi beberapa sekali gus. Hari ini kita hanya boleh meneka bagaimana tepatnya orang Yunani kuno membuat pengiraan mereka, jadi di sini kita akan mempertimbangkan cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras.

Teorem Pythagoras

Sebelum anda memulakan sebarang pengiraan, anda perlu memikirkan teori mana yang hendak dibuktikan. Teorem Pythagoras berbunyi seperti ini: "Dalam segitiga di mana salah satu sudutnya ialah 90 o, hasil tambah kuasa dua kaki adalah sama dengan kuasa dua hipotenus."

Terdapat 15 cara berbeza untuk membuktikan Teorem Pythagoras secara keseluruhan. Ini adalah jumlah yang agak besar, jadi mari kita perhatikan yang paling popular daripada mereka.

Kaedah satu

Mari kita tentukan dahulu apa yang kita ada. Data ini juga akan digunakan untuk cara lain untuk membuktikan teorem Pythagoras, jadi anda harus segera mengingati semua notasi yang tersedia.

Katakan segi tiga tegak diberi, dengan kaki a, b dan hipotenus sama dengan c. Kaedah pembuktian pertama adalah berdasarkan fakta bahawa segi empat sama mesti dilukis dari segi tiga bersudut tegak.

Untuk melakukan ini, anda perlu melukis segmen ke kaki dengan panjang sama dengan kaki dalam, dan sebaliknya. Jadi sepatutnya dua sisi yang sama segi empat sama. Ia kekal hanya untuk melukis dua garisan selari, dan segi empat sama sudah siap.

Di dalam angka yang terhasil, anda perlu melukis satu lagi segi empat sama dengan sisi sama dengan hipotenus segi tiga asal. Untuk melakukan ini, dari bucu ac dan s, anda perlu melukis dua segmen selari sama dengan. Oleh itu, kita mendapat tiga sisi segi empat sama, salah satunya ialah hipotenus bagi segi tiga bersudut tegak asal. Ia kekal hanya untuk menarik segmen keempat.

Berdasarkan rajah yang terhasil, kita boleh menyimpulkan bahawa luas segi empat sama luar ialah (a + b) 2. Jika anda melihat ke dalam rajah, anda dapat melihat bahawa selain segi empat sama dalam, ia mempunyai empat segi tiga bersudut tepat. Luas setiap satu ialah 0.5 av.

Oleh itu, luasnya ialah: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Oleh itu (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Oleh itu, dengan 2 \u003d a 2 + dalam 2

Teorem telah terbukti.

Kaedah dua: segi tiga serupa

Formula untuk pembuktian teorem Pythagoras ini diperoleh berdasarkan pernyataan daripada bahagian geometri tentang segi tiga yang serupa. Ia mengatakan bahawa kaki segi tiga tepat ialah berkadar min dengan hipotenusnya dan ruas hipotenus yang terpancar daripada bucu sudut 90 o.

Data awal tetap sama, jadi mari kita mulakan segera dengan buktinya. Mari kita lukis CD segmen berserenjang dengan sisi AB. Berdasarkan pernyataan di atas, kaki segi tiga adalah sama:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Untuk menjawab persoalan bagaimana untuk membuktikan teorem Pythagoras, bukti mesti diletakkan dengan mengkuadratkan kedua-dua ketaksamaan.

AC 2 \u003d AB * NERAKA dan SV 2 \u003d AB * DV

Sekarang kita perlu menambah ketidaksamaan yang terhasil.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), dengan AD + DV \u003d AB

Ternyata:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Dan oleh itu:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Bukti teorem Pythagoras dan pelbagai cara untuk menyelesaikannya memerlukan pendekatan serba boleh untuk masalah ini. Walau bagaimanapun, pilihan ini adalah salah satu yang paling mudah.

Kaedah pengiraan lain

Penerangan tentang cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras mungkin tidak mengatakan apa-apa, sehingga anda mula berlatih sendiri. Banyak kaedah melibatkan bukan sahaja pengiraan matematik, tetapi juga pembinaan angka baru dari segi tiga asal.

AT kes ini adalah perlu untuk melengkapkan satu lagi segi tiga bersudut tegak VSD dari kaki pesawat. Oleh itu, kini terdapat dua segi tiga dengan kaki biasa BC.

Mengetahui bahawa luas rajah yang serupa mempunyai nisbah sebagai kuasa dua dimensi linear yang serupa, maka:

S avs * s 2 - S avd * dalam 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (dari 2 hingga 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

dari 2 hingga 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + dalam 2

Oleh kerana pilihan ini hampir tidak sesuai daripada kaedah yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras untuk gred 8, anda boleh menggunakan teknik berikut.

Cara paling mudah untuk membuktikan teorem Pythagoras. Ulasan

Ahli sejarah percaya bahawa kaedah ini pertama kali digunakan untuk membuktikan teorem kembali Yunani purba. Ia adalah yang paling mudah, kerana ia tidak memerlukan sebarang pengiraan sama sekali. Jika anda melukis gambar dengan betul, maka bukti pernyataan bahawa 2 + b 2 \u003d c 2 akan kelihatan dengan jelas.

Syarat untuk kaedah ini akan sedikit berbeza daripada yang sebelumnya. Untuk membuktikan teorem tersebut, andaikan segitiga tegak ABC ialah sama kaki.

Kami mengambil hipotenus AC sebagai sisi segi empat sama dan lukis tiga sisinya. Di samping itu, adalah perlu untuk melukis dua garisan pepenjuru dalam petak yang terhasil. Supaya di dalamnya anda mendapat empat segi tiga sama kaki.

Pada kaki AB dan CB, anda juga perlu melukis segi empat sama dan melukis satu garisan pepenjuru pada setiap satu daripadanya. Kami melukis baris pertama dari puncak A, yang kedua - dari C.

Kini anda perlu berhati-hati melihat lukisan yang dihasilkan. Oleh kerana terdapat empat segi tiga pada hipotenus AC, sama dengan yang asal, dan dua pada kaki, ini menunjukkan kebenaran teorem ini.

Dengan cara ini, terima kasih kepada kaedah ini membuktikan teorem Pythagoras, yang frasa terkenal: "Seluar Pythagoras adalah sama dalam semua arah."

Bukti oleh J. Garfield

James Garfield ialah Presiden ke-20 Amerika Syarikat. Di samping meninggalkan jejak sejarah sebagai pemerintah Amerika Syarikat, beliau juga seorang yang berbakat belajar sendiri.

Pada permulaan kerjayanya, dia adalah seorang guru biasa di sekolah rakyat, tetapi tidak lama kemudian menjadi pengarah salah satu yang lebih tinggi institusi pendidikan. Keinginan untuk pembangunan diri dan membenarkan dia untuk menawarkan teori baru bukti teorem Pythagoras. Teorem dan contoh penyelesaiannya adalah seperti berikut.

Mula-mula anda perlu melukis dua segitiga bersudut tepat pada sekeping kertas supaya kaki salah satu daripadanya adalah kesinambungan yang kedua. Bucu segitiga ini perlu disambungkan untuk berakhir dengan trapezium.

Seperti yang anda ketahui, luas trapezium adalah sama dengan hasil daripada separuh jumlah tapak dan ketinggiannya.

S=a+b/2 * (a+b)

Jika kita menganggap trapezoid yang terhasil sebagai rajah yang terdiri daripada tiga segi tiga, maka luasnya boleh didapati seperti berikut:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Sekarang kita perlu menyamakan dua ungkapan asal

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

c 2 \u003d a 2 + dalam 2

Lebih daripada satu jilid boleh ditulis tentang teorem Pythagoras dan cara membuktikannya panduan belajar. Tetapi adakah masuk akal apabila pengetahuan ini tidak dapat dipraktikkan?

Aplikasi praktikal teorem Pythagoras

Malangnya, kurikulum sekolah moden memperuntukkan penggunaan teorem ini hanya dalam masalah geometri. Graduan tidak lama lagi akan meninggalkan tembok sekolah tanpa mengetahui bagaimana mereka boleh menggunakan pengetahuan dan kemahiran mereka dalam amalan.

Malah, gunakan teorem Pythagoras dalam anda Kehidupan seharian semua orang boleh. Dan bukan sahaja dalam aktiviti profesional tetapi juga dalam kerja rumah biasa. Mari kita pertimbangkan beberapa kes apabila teorem Pythagoras dan kaedah pembuktiannya sangat diperlukan.

Sambungan teorem dan astronomi

Nampaknya bagaimana bintang dan segi tiga boleh disambungkan di atas kertas. Malah, astronomi adalah bidang sains, yang menggunakan teorem Pythagoras secara meluas.

Sebagai contoh, pertimbangkan gerakan pancaran cahaya di angkasa. Kita tahu bahawa cahaya bergerak dalam kedua-dua arah pada kelajuan yang sama. Kami memanggil trajektori AB sepanjang sinar cahaya bergerak l. Dan separuh masa yang diperlukan untuk cahaya pergi dari titik A ke titik B, mari kita hubungi t. Dan kelajuan rasuk - c. Ternyata: c*t=l

Jika anda melihat rasuk yang sama ini dari satah lain, sebagai contoh, dari kapal angkasa yang bergerak pada kelajuan v, maka dengan pemerhatian badan sedemikian, kelajuannya akan berubah. Dalam kes ini, walaupun elemen pegun akan bergerak dengan kelajuan v ke arah yang bertentangan.

Katakan pelayar komik sedang belayar ke kanan. Kemudian titik A dan B, di antaranya sinar bergegas, akan bergerak ke kiri. Lebih-lebih lagi, apabila rasuk bergerak dari titik A ke titik B, titik A mempunyai masa untuk bergerak dan, sewajarnya, cahaya akan tiba di titik baru C. Untuk mencari separuh jarak yang telah digerakkan oleh titik A, anda perlu mendarabkan kelajuan pelapik dengan separuh masa perjalanan rasuk (t ").

Dan untuk mengetahui sejauh mana sinar cahaya boleh bergerak pada masa ini, anda perlu menetapkan separuh laluan bic baru dan dapatkan ungkapan berikut:

Jika kita bayangkan bahawa titik cahaya C dan B, serta pelapik ruang, adalah bucu segi tiga sama kaki, maka segmen dari titik A ke pelapik akan membahagikannya kepada dua segi tiga tepat. Oleh itu, terima kasih kepada teorem Pythagoras, anda boleh mencari jarak yang boleh dilalui oleh sinar cahaya.

Contoh ini, tentu saja, bukanlah yang paling berjaya, kerana hanya segelintir yang bertuah untuk mencubanya secara praktikal. Oleh itu, kami mempertimbangkan lebih banyak aplikasi biasa bagi teorem ini.

Julat penghantaran isyarat mudah alih

Kehidupan moden tidak dapat dibayangkan lagi tanpa kewujudan telefon pintar. Tetapi berapa banyak yang akan mereka gunakan jika mereka tidak dapat menyambungkan pelanggan melalui komunikasi mudah alih?!

Kualiti komunikasi mudah alih secara langsung bergantung pada ketinggian di mana antena pengendali mudah alih berada. Untuk mengira jarak dari menara mudah alih telefon boleh menerima isyarat, anda boleh menggunakan teorem Pythagoras.

Katakan anda perlu mencari ketinggian anggaran menara pegun supaya ia boleh menyebarkan isyarat dalam radius 200 kilometer.

AB (ketinggian menara) = x;

BC (jejari penghantaran isyarat) = 200 km;

OS (radius dunia) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Menggunakan teorem Pythagoras, kita mendapati bahawa ketinggian minimum menara hendaklah 2.3 kilometer.

Teorem Pythagoras dalam kehidupan seharian

Anehnya, teorem Pythagoras boleh berguna walaupun dalam perkara harian, seperti menentukan ketinggian almari, contohnya. Pada pandangan pertama, tidak perlu menggunakan pengiraan yang rumit, kerana anda hanya boleh mengambil ukuran dengan ukuran pita. Tetapi ramai yang terkejut mengapa masalah tertentu timbul semasa proses pemasangan jika semua ukuran diambil dengan lebih tepat.

Hakikatnya ialah almari pakaian dipasang dalam kedudukan mendatar dan hanya kemudian naik dan dipasang pada dinding. Oleh itu, dinding sisi kabinet dalam proses mengangkat struktur mesti bebas melepasi kedua-dua ketinggian dan menyerong bilik.

Katakan terdapat almari pakaian dengan kedalaman 800 mm. Jarak dari lantai ke siling - 2600 mm. Pembuat perabot yang berpengalaman akan mengatakan bahawa ketinggian kabinet hendaklah 126 mm kurang daripada ketinggian bilik. Tetapi mengapa tepat 126 mm? Mari kita lihat satu contoh.

Dengan dimensi kabinet yang ideal, mari kita semak operasi teorem Pythagoras:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - semuanya menumpu.

Katakan ketinggian kabinet bukan 2474 mm, tetapi 2505 mm. Kemudian:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Oleh itu, kabinet ini tidak sesuai untuk dipasang di dalam bilik ini. Oleh kerana apabila mengangkatnya ke kedudukan menegak, kerosakan pada badannya boleh disebabkan.

Mungkin, setelah mempertimbangkan cara yang berbeza untuk membuktikan teorem Pythagoras oleh saintis yang berbeza, kita boleh membuat kesimpulan bahawa ia lebih daripada benar. Kini anda boleh menggunakan maklumat yang diterima dalam kehidupan harian anda dan pastikan sepenuhnya bahawa semua pengiraan bukan sahaja berguna, tetapi juga betul.

Bagi mereka yang berminat dengan sejarah teorem Pythagoras, yang dipelajari dalam kurikulum sekolah, fakta seperti penerbitan pada tahun 1940 sebuah buku dengan tiga ratus tujuh puluh bukti teorem yang kelihatan mudah ini juga akan menarik. Tetapi ia menarik minat ramai ahli matematik dan ahli falsafah dari zaman yang berbeza. Dalam Buku Rekod Guinness, ia direkodkan sebagai teorem dengan bilangan bukti maksimum.

Sejarah teorem Pythagoras

Dikaitkan dengan nama Pythagoras, teorem itu diketahui lama sebelum kelahiran ahli falsafah yang hebat. Jadi, di Mesir, semasa pembinaan struktur, nisbah sisi segi tiga bersudut tegak diambil kira lima ribu tahun yang lalu. Teks Babylon menyebut nisbah yang sama bagi sisi segi tiga tepat 1200 tahun sebelum kelahiran Pythagoras.

Timbul persoalan mengapa kemudian cerita itu berkata - kemunculan teorem Pythagoras adalah miliknya? Hanya ada satu jawapan - dia membuktikan nisbah sisi dalam segi tiga. Dia melakukan apa yang mereka yang hanya menggunakan nisbah aspek dan hipotenus, yang ditubuhkan oleh pengalaman, tidak lakukan berabad-abad yang lalu.

Dari kehidupan Pythagoras

Ahli sains masa depan, ahli matematik, ahli falsafah yang hebat dilahirkan di pulau Samos pada 570 SM. dokumen sejarah maklumat terpelihara tentang bapa Pythagoras, yang merupakan seorang pengukir Batu berharga tetapi tiada maklumat tentang ibu. Mereka berkata tentang anak lelaki yang dilahirkan itu bahawa ini adalah seorang kanak-kanak yang cemerlang yang ditunjukkan dengannya zaman kanak-kanak minat terhadap muzik dan puisi. Ahli sejarah mengaitkan Hermodamant dan Pherekides dari Syros kepada guru Pythagoras muda. Yang pertama memperkenalkan budak lelaki itu ke dunia Muses, dan yang kedua, sebagai ahli falsafah dan pengasas sekolah falsafah Itali, mengarahkan pandangan lelaki muda itu ke logo.

Pada usia 22 tahun (548 SM), Pythagoras pergi ke Naucratis untuk mempelajari bahasa dan agama orang Mesir. Selanjutnya, laluannya terletak di Memphis, di mana, terima kasih kepada para imam, setelah melalui ujian cerdik mereka, dia memahami geometri Mesir, yang, mungkin, mendorong lelaki muda yang ingin tahu itu untuk membuktikan teorem Pythagoras. Sejarah kemudiannya akan mengaitkan nama ini kepada teorem.

Ditawan oleh raja Babylon

Dalam perjalanan pulang ke Hellas, Pythagoras ditangkap oleh raja Babylon. Tetapi berada dalam kurungan memberi manfaat kepada minda ingin tahu ahli matematik baru itu, dia perlu belajar banyak perkara. Sesungguhnya, pada tahun-tahun itu, matematik di Babylon lebih berkembang daripada di Mesir. Dia menghabiskan dua belas tahun belajar matematik, geometri dan sihir. Dan, mungkin, geometri Babylon yang terlibat dalam pembuktian nisbah sisi segi tiga dan sejarah penemuan teorem. Pythagoras mempunyai pengetahuan dan masa yang cukup untuk ini. Tetapi bahawa ini berlaku di Babylon, tidak ada pengesahan atau penolakan dokumentari mengenainya.

Pada tahun 530 SM Pythagoras melarikan diri dari tawanan ke tanah airnya, di mana dia tinggal di mahkamah Polycrates yang zalim dalam status separuh hamba. Kehidupan sedemikian tidak sesuai dengan Pythagoras, dan dia bersara ke gua-gua Samos, dan kemudian pergi ke selatan Itali, di mana pada masa itu tanah jajahan Yunani Croton.

Perintah monastik rahsia

Atas dasar koloni ini, Pythagoras menganjurkan rahsia perintah monastik, yang merupakan kesatuan agama dan masyarakat saintifik serentak. Masyarakat ini mempunyai piagamnya, yang bercakap tentang pematuhan cara hidup yang istimewa.

Pythagoras berhujah bahawa untuk memahami Tuhan, seseorang mesti mengetahui sains seperti algebra dan geometri, mengetahui astronomi dan memahami muzik. Kerja penyelidikan telah dikurangkan kepada pengetahuan tentang sisi mistik nombor dan falsafah. Perlu diingatkan bahawa prinsip-prinsip yang dikhotbahkan pada masa itu oleh Pythagoras masuk akal dalam meniru pada masa sekarang.

Banyak penemuan yang dibuat oleh murid-murid Pythagoras dikaitkan dengannya. Namun begitu, secara ringkasnya, sejarah penciptaan teorem Pythagoras oleh ahli sejarah dan ahli biografi kuno pada masa itu dikaitkan secara langsung dengan nama ahli falsafah, pemikir dan ahli matematik ini.

Ajaran Pythagoras

Mungkin idea sambungan teorem dengan nama Pythagoras didorong oleh kenyataan ahli sejarah Yunani yang hebat bahawa dalam segitiga terkenal dengan kaki dan hipotenusnya semua fenomena kehidupan kita disulitkan. Dan segi tiga ini adalah "kunci" untuk menyelesaikan semua masalah yang timbul. Ahli falsafah yang hebat berkata bahawa seseorang harus melihat segitiga, maka kita boleh menganggap bahawa masalahnya adalah dua pertiga diselesaikan.

Pythagoras memberitahu tentang pengajarannya hanya kepada pelajarnya secara lisan, tanpa membuat sebarang nota, merahsiakannya. Malangnya, mengajar ahli falsafah terhebat tidak bertahan hingga ke hari ini. Sebahagian daripadanya telah bocor, tetapi adalah mustahil untuk mengatakan berapa banyak yang benar dan berapa banyak yang salah dalam perkara yang telah diketahui. Walaupun dengan sejarah teorem Pythagoras, tidak semuanya pasti. Ahli sejarah matematik meragui kepengarangan Pythagoras, pada pendapat mereka, teorem itu digunakan berabad-abad sebelum kelahirannya.

Teorem Pythagoras

Ia mungkin kelihatan pelik, tetapi fakta sejarah tiada bukti teorem oleh Pythagoras sendiri - tidak dalam arkib, mahupun dalam mana-mana sumber lain. Dalam versi moden, dipercayai bahawa ia adalah milik Euclid sendiri.

Terdapat bukti salah seorang ahli sejarah matematik terhebat, Moritz Cantor, yang menemui pada papirus yang disimpan di Muzium Berlin, yang ditulis oleh orang Mesir sekitar 2300 SM. e. kesamaan, yang berbunyi: 3² + 4² = 5².

Secara ringkas dari sejarah teorem Pythagoras

Rumusan teorem daripada "Permulaan" Euclidean dalam terjemahan berbunyi sama seperti dalam tafsiran moden. Tiada apa-apa yang baru dalam bacaannya: segi empat sama sebelah bertentangan sudut tepat, adalah sama dengan jumlah segi empat sama sisi yang bersebelahan dengan sudut tegak. Fakta bahawa tamadun purba India dan China menggunakan teorem itu disahkan oleh risalah Zhou Bi Suan Jin. Ia mengandungi maklumat tentang segi tiga Mesir, yang menerangkan nisbah bidang sebagai 3:4:5.

Tidak kurang menariknya ialah sebuah lagi buku matematik Cina iaitu Chu-Pei yang turut menyebut Segitiga Pythagoras dengan penerangan dan lukisan bertepatan dengan lukisan geometri Hindu Bashara. Mengenai segi tiga itu sendiri, buku itu mengatakan bahawa jika sudut tegak boleh diuraikan menjadi bahagian komponennya, maka garis yang menghubungkan hujung sisi akan sama dengan lima, jika tapaknya tiga, dan tingginya empat.

Risalah India "Sulva Sutra", sejak kira-kira abad ke-7-5 SM. e., menceritakan tentang pembinaan sudut tepat menggunakan segi tiga Mesir.

Bukti teorem

Pada Zaman Pertengahan, pelajar menganggap bukti teorem juga kerja keras. Pelajar yang lemah mempelajari teorem dengan hati, tanpa memahami maksud pembuktiannya. Dalam hal ini, mereka menerima nama panggilan "keldai", kerana teorem Pythagoras adalah halangan yang tidak dapat diatasi untuk mereka, seperti jambatan untuk keldai. Pada Zaman Pertengahan, pelajar menghasilkan ayat yang suka bermain mengenai subjek teorem ini.

Untuk membuktikan teorem Pythagoras dengan paling banyak cara yang mudah, seseorang hanya perlu mengukur sisinya, tanpa menggunakan konsep kawasan dalam bukti. Panjang sisi yang bertentangan dengan sudut kanan ialah c, dan a dan b bersebelahan dengannya, sebagai hasilnya kita mendapat persamaan: a 2 + b 2 \u003d c 2. Pernyataan ini, seperti yang dinyatakan di atas, disahkan dengan mengukur panjang sisi segi tiga tegak.

Jika kita memulakan pembuktian teorem dengan mempertimbangkan luas segi empat tepat yang dibina pada sisi segitiga, kita boleh menentukan luas keseluruhan rajah. Ia akan sama dengan luas segi empat sama dengan sisi (a + b), dan sebaliknya, jumlah kawasan empat segi tiga dan segi empat sama dalam.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , yang perlu dibuktikan.

Nilai praktikal Teorem Pythagoras ialah ia boleh digunakan untuk mencari panjang segmen tanpa mengukurnya. Semasa pembinaan struktur, jarak, penempatan sokongan dan rasuk dikira, pusat graviti ditentukan. Teorem Pythagoras digunakan dan dalam semua teknologi moden. Mereka tidak lupa tentang teorem semasa membuat filem dalam dimensi 3D-6D, di mana, sebagai tambahan kepada 3 nilai biasa: ketinggian, panjang, lebar, masa, bau dan rasa diambil kira. Bagaimanakah rasa dan bau berkaitan dengan teorem, anda bertanya? Segala-galanya sangat mudah - apabila menayangkan filem, anda perlu mengira di mana dan apa bau dan rasa untuk mengarahkan di auditorium.

Ia hanya permulaan. Skop tanpa had untuk menemui dan mencipta teknologi baharu menanti minda yang ingin tahu.

MENGUKUR LUAS RAJAH GEOMETRI.

§ 58. TEOREM PYTHAGOREAN 1 .

__________
1 Pythagoras ialah seorang saintis Yunani yang hidup kira-kira 2500 tahun dahulu (564-473 SM).
_________

Biarkan segi tiga tepat diberi sisi yang mana a, b dan Dengan(dev. 267).

Mari kita bina segi empat sama di sisinya. Luas dataran ini masing-masing a 2 , b 2 dan Dengan 2. Mari kita buktikan Dengan 2 = a 2 +b 2 .

Mari kita bina dua petak MKOR dan M"K"O"R" (Gamb. 268, 269), dengan mengambil untuk sisi setiap daripadanya satu ruas yang sama dengan jumlah kaki segitiga bersudut tegak ABC.

Setelah menyelesaikan pembinaan yang ditunjukkan dalam lukisan 268 dan 269 dalam petak ini, kita akan melihat bahawa petak MKOR dibahagikan kepada dua petak dengan luas a 2 dan b 2 dan empat segi tiga sama tegak, setiap satunya adalah sama dengan segi tiga tegak ABC. Segi empat M"K"O"R" dibahagikan kepada segi empat (ia dilorekkan dalam lukisan 269) dan empat segi tiga bersudut tegak, setiap satunya adalah sama dengan segi tiga ABC. Sisi empat berlorek ialah segi empat sama, kerana sisinya adalah sama (masing-masing adalah sama dengan hipotenus segitiga ABC, i.e. Dengan) dan sudutnya betul / 1 + / 2 = 90°, dari mana / 3 = 90°).

Oleh itu, jumlah kawasan petak yang dibina di atas kaki (dalam lukisan 268 petak ini berlorek) adalah sama dengan luas petak MKOR tanpa jumlah empat segi tiga sama, dan luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus (dalam lukisan 269 segi empat sama ini juga berlorek) adalah sama dengan luas segi empat sama M "K" O "R", sama dengan segi empat sama MKOR, tanpa hasil tambah luas empat segi tiga yang sama. Oleh itu, luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus segi tiga tepat adalah sama dengan jumlah luas segi empat yang dibina pada kaki.

Kami mendapat formula Dengan 2 = a 2 +b 2, di mana Dengan- hipotenus, a dan b- kaki segi tiga tepat.

Teorem Pythagoras boleh diringkaskan seperti berikut:

Kuadrat hipotenus segi tiga tepat adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki.

Daripada formula Dengan 2 = a 2 +b 2 anda boleh mendapatkan formula berikut:

a 2 = Dengan 2 - b 2 ;
b 2 = Dengan 2 - a 2 .

Formula ini boleh digunakan untuk mencari pihak yang tidak dikenali segi tiga tegak diberi dua sisinya.
Sebagai contoh:

a) jika kaki diberi a= 4 cm, b\u003d 3 cm, maka anda boleh mencari hipotenus ( Dengan):
Dengan 2 = a 2 +b 2 , iaitu Dengan 2 = 4 2 + 3 2 ; dengan 2 = 25, dari mana Dengan= √25 =5 (cm);

b) jika hipotenus diberi Dengan= 17 cm dan kaki a= 8 cm, maka anda boleh mencari satu lagi kaki ( b):

b 2 = Dengan 2 - a 2 , iaitu b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, dari mana b= √225 = 15 (cm).

Akibat: Jika dalam dua segi tiga tepat ABC dan A 1 B 1 C 1 hipotenus Dengan dan Dengan 1 adalah sama, dan kaki b segitiga ABC lebih besar daripada kaki b 1 segi tiga A 1 B 1 C 1,
kemudian kaki a segi tiga ABC kurang daripada kaki a 1 segi tiga A 1 B 1 C 1 . (Buat lukisan yang menggambarkan akibat ini.)

Sesungguhnya, berdasarkan teorem Pythagoras, kita dapat:

a 2 = Dengan 2 - b 2 ,
a 1 2 = Dengan 1 2 - b 1 2

Dalam formula bertulis, minuends adalah sama, dan subtrahend dalam formula pertama adalah lebih besar daripada subtrahend dalam formula kedua, oleh itu, perbezaan pertama adalah kurang daripada yang kedua,
i.e. a 2 < a 12 . di mana a< a 1 .

Senaman.

1. Dengan menggunakan lukisan 270, buktikan teorem Pythagoras bagi segi tiga tegak sama kaki.

2. Satu kaki segi tiga tegak ialah 12 cm, satu lagi ialah 5 cm. Hitungkan panjang hipotenus bagi segi tiga ini.

3. Hipotenus bagi segi tiga tegak ialah 10 cm, satu daripada kakinya ialah 8 cm. Hitungkan panjang kaki sebelah lagi segitiga ini.

4. Hipotenus bagi segi tiga tegak ialah 37 cm, satu daripada kakinya ialah 35 cm. Hitungkan panjang kaki sebelah lagi segi tiga ini.

5. Bina segi empat sama dua kali ganda luas yang diberikan.

6. Bina satu segi empat sama, dua kali ganda luas yang diberikan. Arahan. tahan diberi segi empat sama pepenjuru. Petak yang dibina pada separuh pepenjuru ini akan menjadi yang dikehendaki.

7. Kaki-kaki segi tiga tegak masing-masing ialah 12 cm dan 15 cm Hitung panjang hipotenus segi tiga ini dengan ketepatan 0.1 cm.

8. Hiptenus bagi segi tiga tegak ialah 20 cm, satu daripada kakinya ialah 15 cm. Hitung panjang kaki yang satu lagi kepada 0.1 cm yang terdekat.

9. Berapa lama sepatutnya tangga itu supaya ia boleh dilekatkan pada tingkap yang terletak pada ketinggian 6 m, jika hujung bawah tangga hendaklah 2.5 m dari bangunan? (Sial. 271.)