Algoritma untuk mencari pembezaan fungsi. Teorem asas tentang pembezaan

Perbezaan... Bagi sesetengah orang ia adalah perkataan jauh yang indah, tetapi bagi yang lain ia adalah perkataan yang tidak dapat difahami yang dikaitkan dengan matematik. Tetapi jika ini adalah hadiah keras anda, artikel kami akan membantu anda mengetahui cara "menyediakan" pembezaan dengan betul dan dengan apa "menyajikannya".

Dalam matematik, pembezaan difahami sebagai bahagian linear kenaikan fungsi. Konsep pembezaan berkait rapat dengan tatatanda terbitan menurut Leibniz f′(x 0) = df/dx·x 0. Berdasarkan ini, pembezaan tertib pertama untuk fungsi f yang ditakrifkan pada set X mempunyai bentuk berikut: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Seperti yang anda lihat, untuk mendapatkan pembezaan anda perlu bebas mencari derivatif. Oleh itu, adalah berguna untuk mengulangi peraturan untuk mengira derivatif untuk memahami apa yang akan berlaku pada masa hadapan. Jadi, mari kita lihat dengan lebih dekat pembezaan menggunakan contoh. Kita perlu mencari pembezaan fungsi yang diberikan dalam bentuk ini: y = x 3 -x 4. Mula-mula, mari kita cari terbitan bagi fungsi: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3. Nah, kini mendapatkan pembezaan adalah semudah membedil pear: df = (3x 3 -4x 3) dx. Sekarang kami telah menerima pembezaan dalam bentuk formula dalam amalan, kami sering juga berminat dengan nilai digital pembezaan untuk parameter tertentu x dan ∆x. Terdapat kes apabila fungsi dinyatakan secara tersirat dalam sebutan x. Contohnya, y = x²-y x. Terbitan fungsi mempunyai bentuk berikut: 2x-(y x)′. Tetapi bagaimana untuk mendapatkan (y x)′? Fungsi sedemikian dipanggil kompleks dan dibezakan mengikut peraturan yang sepadan: df/dx = df/dy·dy/dx. DALAM dalam kes ini: df/dy = x·y x-1 , dan dy/dx = y′. Sekarang kita kumpulkan semuanya: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Kami mengumpulkan semua permainan dalam satu arah: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, dan hasilnya kami dapat: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/ dx. Berdasarkan ini, dy = 2x dx/(1+x y x-1). Sudah tentu, adalah baik bahawa tugas sedemikian jarang berlaku. Tetapi sekarang anda sudah bersedia untuk mereka juga. )· : df/dy = x·y x-1 , dan dy/dx = y′. Sekarang kita kumpulkan semuanya: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Kami mengumpulkan semua permainan dalam satu arah: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, dan hasilnya kami dapat: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/ dx. Berdasarkan ini, dy = 2x dx/(1+x y x-1). Sudah tentu, adalah baik bahawa tugas sedemikian jarang berlaku. Tetapi sekarang anda sudah bersedia untuk mereka juga. – 2 Sebagai tambahan kepada pembezaan tertib pertama yang dipertimbangkan, terdapat juga pembezaan peringkat tinggi. Mari cuba cari pembezaan bagi fungsi d – /d (x 3 x 6 – x 9 – x 6 , x≠0. Perkhidmatan dalam talian juga boleh membantu anda mencari perbezaan. Sememangnya, anda tidak akan menggunakannya pada ujian atau peperiksaan. Tetapi apabila secara bebas memeriksa ketepatan keputusan, peranannya sukar untuk dinilai terlalu tinggi. Sebagai tambahan kepada keputusan itu sendiri, ia juga menunjukkan penyelesaian perantaraan, graf dan kamiran tak tentu fungsi pembezaan , serta punca-punca persamaan pembezaan. Satu-satunya kelemahan ialah fungsi itu ditulis pada satu baris semasa anda menaip, tetapi dari masa ke masa anda boleh membiasakan diri dengan ini. Sudah tentu, perkhidmatan sedemikian tidak dapat menampung fungsi yang kompleks, tetapi segala-galanya yang lebih mudah terserah kepadanya. Aplikasi Praktikal

Perbezaan ditemui terutamanya dalam fizik dan ekonomi. Oleh itu, dalam fizik, masalah yang berkaitan dengan menentukan halaju dan terbitannya, pecutan, selalunya diselesaikan dengan pembezaan. Dan dalam ekonomi, pembezaan adalah bahagian penting dalam mengira kecekapan perusahaan dan dasar fiskal negara, sebagai contoh, kesan leverage kewangan. Artikel ini membincangkan tugas biasa pembezaan. Nah matematik yang lebih tinggi untuk pelajar universiti, ia sering juga mengandungi tugasan untuk menggunakan pembezaan dalam pengiraan anggaran, serta mencari penyelesaian persamaan pembezaan

. Tetapi perkara utama ialah dengan pemahaman yang jelas tentang asas-asas, anda boleh dengan mudah menangani semua tugas baru.

1. KULIAH 10. FUNGSI BERBEZA. TEOREM FERMA, ROLL, LAGRANGE DAN CAUCHY.

1.1. Pembezaan fungsi

Definisi pembezaan fungsi DENGAN Konsep derivatif berkait rapat dengan konsep asas yang lain analisis matematik

– fungsi pembezaan.

Definisi 1. Fungsi y = f (x), yang ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik x, dipanggil boleh dibezakan pada titik x jika kenaikannya pada titik ini

y = f (x + x) − f (x)

nampak macam

y = A x + α(Δx) x,

di mana A ialah pemalar, dan fungsi α(Δx) → 0 sebagai x → 0.

Biarkan y = f (x) menjadi fungsi boleh dibezakan, maka kita berikan takrifan berikut.		Definisi 2. Linear utama	bahagian A x	kenaikan
fungsi f(x)
dipanggil pembezaan fungsi pada titik x dan dilambangkan dengan dy.
Oleh itu,
y = dy + α(Δx) x.		Catatan 1. Kuantiti dy =	x dipanggil
bahagian linear utama				kenaikan y disebabkan oleh fakta bahawa bahagian lain kenaikan α(Δx)
x pada kecil

x menjadi lebih kecil daripada A

Pernyataan 1. Agar fungsi y = f (x) boleh dibezakan pada titik x, adalah perlu dan memadai bahawa ia mempunyai terbitan pada titik ini.

x + α(Δx) x, pada

x → 0. Kemudian

A + lim α(Δx) = A.

Oleh itu terbitan f ′ (x) wujud dan bersamaan dengan A.

Kecukupan. Biarlah ia wujud

f ′ (x), iaitu terdapat had lim

F ′ (x).

F ' (x) + α(Δx),

y = f ′ (x)Δx + α(Δx) x.

Kesamaan terakhir bermaksud kebolehbezaan fungsi y = f (x).

1.2. Makna geometri pembezaan

Biarkan l adalah tangen kepada graf fungsi y = f (x) pada titik M (x, f (x)) (Rajah 1). Mari kita tunjukkan bahawa dy ialah nilai bagi segmen P Q. Sesungguhnya,

dy = f ′ (x)Δx = tan α x =

" "l

"" " "

" α

Jadi, pembezaan dy bagi fungsi f (x) pada titik x adalah sama dengan kenaikan ordinat bagi tangen l pada titik ini.

1.3. Invarian bentuk pembezaan

Jika x ialah pembolehubah bebas, maka

dy = f ′ (x)dx.

Mari kita andaikan bahawa x = ϕ(t), dengan t ialah pembolehubah bebas, y = f (ϕ(t)). Kemudian

dy = (f (ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).

Jadi bentuk pembezaan tidak berubah, walaupun x bukan pembolehubah bebas. Sifat ini dipanggil invarian bentuk pembezaan.

1.4. Penggunaan pembezaan dalam pengiraan anggaran

Daripada formula y = dy + α(Δx) x, membuang α(Δx) x, adalah jelas bahawa untuk kecil

y ≈ dy = f ′ (x)Δx.

Dari sini kita dapat

f (x + x) − f (x) ≈ f ′ (x)Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f ′ (x)Δx. (1) Formula (1) digunakan dalam pengiraan anggaran.

1.5. Pembezaan pesanan lebih tinggi

Secara takrif, pembezaan kedua bagi fungsi y = f (x) pada titik x ialah pembezaan pembezaan pertama pada titik ini, yang dilambangkan

d2 y = d(dy).

Mari kita hitung pembezaan kedua:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(apabila mengira derivatif (f ′ (x)dx)′ ia diambil kira bahawa nilai dx tidak bergantung pada x dan, oleh itu, adalah malar semasa pembezaan).

Secara amnya, susunan n pembezaan fungsi y = f (x) dipanggil yang pertama

pembezaan

daripada pembezaan

fungsi ini, yang

dilambangkan dengan

dn y = d(dn−1 y)

dn y = f(n) (x)dxn .

Cari beza bagi fungsi y = arctan x.

Penyelesaian. dy = (arctg x)′ dx =

1+x2

Cari pembezaan tertib pertama dan kedua bagi fungsi v = e2t.

Penyelesaian. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2 .

Bandingkan kenaikan dan pembezaan fungsi y = 2x3 + 5x2.

Penyelesaian. Kami dapati

5x2 =

10x)Δx + (6x + 5)Δx

dy = (6x2 + 10x)dx.

Perbezaan antara kenaikan

y dan pembezaan dy ialah infinitesimal tertinggi

tertib magnitud berbanding dengan

x sama dengan (6x + 5)Δx2 + 2Δx3.

Contoh 4. Kirakan nilai anggaran luas bulatan yang jejarinya ialah 3.02 m.

Penyelesaian. Mari kita gunakan formula S = πr2. Dengan mengandaikan r = 3, r = 0.02, kita ada

S ≈ dS = 2πr r = 2π 3 0.02 = 0.12π.

Oleh itu, nilai anggaran luas bulatan ialah 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (m2).

Contoh 5. Kira nilai anggaran arcsin 0.51 dengan ketepatan 0.001. Penyelesaian. Pertimbangkan fungsi y = arcsin x. Andaikan x = 0.5, x = 0.01 dan

menggunakan formula (1)

x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′

(arcsin x)′

≈ arcsin 0.5 +

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

Contoh 6. Kira kira-kira √ 3

dengan ketepatan 0.0001.

Penyelesaian. Pertimbangkan fungsi y = √ 3

dan letakkan x = 8,

x = 0.01 Begitu juga

mengikut formula (1)

(√ 3 x)′ =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)′ x,

3√ 3 64

· 0.01 = 2 + 3 · 4 · 0.01 ≈ 2.0008.

p 8, 01 ≈√ 8 +

2. Teorem Fermat, Rolle, Lagrange dan Cauchy

Definisi 3. Fungsi y = f (x) dikatakan mempunyai (atau mencapai) pada titik α maksimum tempatan(minimum) jika terdapat kejiranan U (α) bagi titik α supaya untuk semua x U (α):

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Maksimum tempatan dan minimum tempatan disatukan dengan nama biasa

ekstrem tempatan.

Fungsi yang grafnya ditunjukkan dalam Rajah. 4, mempunyai maksimum tempatan pada titik β, β1 dan minimum tempatan pada titik α, α1.

Pernyataan 2. (Fermat) Biarkan fungsi y = f (x) boleh dibezakan pada titik α dan mempunyai ekstrem tempatan pada titik ini. Maka f ′ (α) = 0.

Idea untuk membuktikan teorem Fermat adalah seperti berikut. Untuk kepastian, biarkan f (x) mempunyai minimum setempat pada titik α. Mengikut takrifan, f ′ (α) ialah had sebagai x → 0 hubungan

	f (α + x) − f (α)
Tetapi untuk cukup kecil (oleh nilai mutlak)x
	f (α + x) − f (α) ≥ 0.
Oleh itu, dengan sedemikian	x kita dapat
Ia berikutan daripada ini bahawa
	f ′ (α) = lim g(Δx) = 0.
Lakukan sendiri bukti lengkap.
Kenyataan 3. (Rolla)	Jika y = f(x) berterusan pada			Boleh dibezakan oleh
(a, b) dan f (a) = f (b), maka wujud satu titik α (a, b),				bahawa f ′ (α) = 0.

Bukti. Dengan sifat fungsi yang selanjar pada selang, terdapat titik x1, x2 sedemikian rupa

melampau. Dengan andaian teorem, f (x) boleh dibezakan pada titik α. Dengan teorem Fermat, f ′ (α) = 0. Teorem itu terbukti.

Teorem Rolle mempunyai makna geometri yang mudah (Rajah 5): jika ordinat melampau lengkung y = f (x) adalah sama, maka terdapat satu titik pada lengkung y = f (x) di mana tangen kepada lengkung itu. adalah selari dengan paksi Lembu.

Bukti. Ambil perhatian bahawa g(a) =6 g(b). Sesungguhnya, jika tidak semua syarat teorem Rolle akan dipenuhi untuk fungsi g(x). Akibatnya, akan ada titik β (a, b) sehingga g′ (β) = 0. Tetapi ini bercanggah dengan syarat teorem.

Pertimbangkan fungsi pembantu berikut:

F (x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)

Fungsi F (x) adalah berterusan pada ,				boleh dibezakan pada (a, b). Lebih-lebih lagi, ia adalah jelas
apa'	F (a) = F (b) = 0. Oleh itu, dengan teorem Rolle, terdapat titik α (a, b) yang
F (α) = 0, i.e.
	f′(α)								g′ (α) = 0.
			− g(b)
Ia mengikuti
								f′(α)
								g′ (α)

Teorem terbukti.

Pernyataan 5. (Lagrange) Jika y = f (x) selanjar pada dan boleh dibezakan pada (a, b), maka terdapat α (a, b) sedemikian

F ′ (α).

Bukti. Teorem Lagrange mengikuti terus dari teorem Cauchy dengan g(x) =

Secara geometri, teorem Lagrange bermaksud bahawa pada lengkung y = f (x) antara titik

A dan B terdapat titik C, tangen padanya selari dengan kord AB. y

Teorem Rolle pada segmen ini

sedang berjalan. nilai c

tentukan

persamaan

f ′ (x) = 2x − 6 = 0, iaitu c = 3.

cari titik

M, di mana

Contoh 8. Pada lengkok

Lengkung AB y = 2x − x

tangen selari dengan kord

Penyelesaian. Fungsi y = 2x −x

berterusan dan boleh dibezakan untuk semua nilai

x. Menurut teorem Lagrange, antara dua nilai a = 1,

b = 3 terdapat nilai

x = c, memuaskan kesamaan y(b) − y(a) = (b − a) y′ (c), dengan y′ = 2 − 2x. Menggantikan nilai yang sepadan, kita dapat

y(3) − y(1) = (3 − 1) y′ (c),

(2 3 − 32 ) − (2 1 − 12 ) = (3 − 1) (2 − 2c),

maka c = 2, y(2) = 0.

Oleh itu, titik M mempunyai koordinat (2; 0).

Contoh 9. Pada lengkok AB lengkung yang ditakrifkan oleh persamaan parametrik

x = t2 , y = t3 , cari titik itu

M, di mana tangennya selari dengan kord AB, jika

titik A dan B sepadan dengan nilai t = 1 dan t = 3.

Penyelesaian. Faktor cerun kord AB adalah sama

Sebuah cerun

tangen pada titik M (pada

t = c) adalah sama

y'

(c)/x′

x′ = 2t,

y′ = 3t2 . Untuk

mentakrifkan c menggunakan teorem Cauchy kita memperoleh persamaan

yt ′ (c)

xt ′ (c)

iaitu c = 13/6.

Nilai yang ditemui bagi c memenuhi ketaksamaan 1< c < 3. Подставив значение t = c в persamaan parametrik lengkung, kita dapat x = 169/36, y = 2197/216. Jadi titik yang dikehendaki M (169/36; 2197/216).

PEMBEZAAN LOGARITMIK

Pembezaan banyak fungsi dipermudahkan jika ia pra-logaritma. Untuk melakukan ini, teruskan seperti berikut. Jika anda perlu mencari y" daripada persamaan y=f(x), maka anda boleh:

Contoh.

FUNGSI KUASA EKSPONEN DAN PEMBEZAANNYA

eksponen fungsi dipanggil fungsi bentuk y = u v, Di mana u=u(x), v=v(x).

Pembezaan logaritma digunakan untuk mencari terbitan bagi fungsi eksponen.

Contoh.

JADUAL DERIVATIF

Mari kita gabungkan ke dalam satu jadual semua formula asas dan peraturan pembezaan yang diperoleh sebelum ini. Di mana-mana pun kita akan andaikan u=u(x), v=v(x), С=const. Untuk terbitan asas fungsi asas kita akan menggunakan teorem terbitan fungsi kompleks.

Contoh.

KONSEP FUNGSI BERBEZA. HUBUNGAN ANTARA PEMBEZAAN DAN DERIVATIF

Biarkan fungsi y=f(x) boleh dibezakan pada selang [ a; b]. Terbitan fungsi ini pada satu ketika X 0 Î [ a; b] ditakrifkan oleh kesaksamaan

.

Oleh itu, dengan harta had

Mendarab semua sebutan kesamaan yang terhasil dengan Δ x, kita dapat:

Δ y = f"(x 0)·Δ x+a·Δ x.

Jadi, kenaikan tak terhingga Δ y fungsi boleh dibezakan y=f(x) boleh diwakili sebagai jumlah dua sebutan, di mana yang pertama adalah (dengan f"(X 0) ≠ 0) bahagian utama kenaikan, linear berkenaan dengan Δ x, dan yang kedua ialah kuantiti tak terhingga tertib yang lebih tinggi daripada Δ x. Bahagian utama kenaikan fungsi, i.e. f"(X 0)·Δ x dipanggil pembezaan fungsi pada satu titik X 0 dan dilambangkan dengan dy.

Oleh itu, jika fungsi y=f(x) mempunyai derivatif f"(x) pada titik x, maka hasil darab terbitan f"(x) setiap kenaikan Δ x hujah dipanggil fungsi pembezaan dan menandakan:

Mari cari pembezaan fungsi y=x. Dalam kes ini y" = (x)" = 1 dan oleh itu dy=dx=Δ x. Jadi pembezaan dx pembolehubah bebas x bertepatan dengan kenaikannya Δ x. Oleh itu, kita boleh menulis formula (1) seperti berikut:

dy = f "(x)dx

Tetapi dari hubungan ini ia mengikutinya. Oleh itu, terbitan f "(x) boleh dianggap sebagai nisbah pembezaan fungsi kepada pembezaan pembolehubah bebas.

Sebelum ini, kami menunjukkan bahawa kebolehbezaan fungsi pada satu titik membayangkan kewujudan pembezaan pada titik itu.

Kenyataan sebaliknya juga benar.

Jika untuk nilai yang diberikan x kenaikan fungsi Δ y = f(x+Δ x) – f(x) boleh diwakili sebagai Δ y = A·Δ x+ α, dengan α ialah nilai paling kecil yang memenuhi syarat, i.e. jika untuk fungsi y=f(x) terdapat perbezaan dy=A dx pada satu ketika x, maka fungsi ini mempunyai derivatif pada titik x Dan f "(x)=A.

Sesungguhnya, kita ada , dan sejak untuk Δ x→0, kemudian .

Oleh itu, terdapat hubungan yang sangat rapat antara kebolehbezaan fungsi dan kewujudan pembezaan kedua-dua konsep adalah setara.

Contoh. Cari pembezaan fungsi:

MAKSUD GEOMETRI PERBEZAAN

Pertimbangkan fungsinya y=f(x) dan lengkungnya yang sepadan. Mari kita ambil keluk titik sewenang-wenangnya M(x; y), lukis tangen pada lengkung pada titik ini dan nyatakan dengan α sudut yang dibuat tangen dengan arah positif paksi lembu. Mari kita berikan pembolehubah bebas x kenaikan Δ x, maka fungsi akan menerima kenaikan Δ y = N.M. 1. Nilai x+Δ x Dan y+Δ y pada lengkung y = f(x) akan sesuai dengan perkara itu

M 1 (x+Δ x; y+Δ y).

Daripada Δ MNT kita jumpa NT=MN tg α. Kerana tan α = f "(x), A MN = Δ x, Itu NT = f "(x)·Δ x. Tetapi dengan definisi pembezaan dy=f "(x)·Δ x, Itulah sebabnya dy = NT.

Oleh itu, pembezaan fungsi f(x) yang sepadan dengan nilai x dan Δx yang diberikan adalah sama dengan kenaikan ordinat tangen kepada lengkung y=f(x) pada titik x tertentu.

TEOREM INVARIANS BERBEZA

Kami melihat lebih awal bahawa jika u ialah pembolehubah bebas, maka pembezaan fungsi y=f "(u) mempunyai bentuk dy = f "(u)du.

Mari kita tunjukkan bahawa borang ini juga disimpan dalam kes apabila u bukan pembolehubah bebas, tetapi fungsi, i.e. Mari cari ungkapan untuk pembezaan fungsi kompleks. biarlah y=f(u), u=g(x) atau y = f(g(x)). Kemudian, mengikut peraturan pembezaan fungsi kompleks:

.

Oleh itu, mengikut definisi

Tetapi g"(x)dx= du, Itulah sebabnya dy= f"(u)du.

Kami telah membuktikan teorem berikut.

Teorem. Pembezaan fungsi kompleks y=f(u), yang mana u=g(x), mempunyai rupa yang sama dy=f"(u)du, apa yang akan ada jika hujah perantaraan u ialah pembolehubah bebas.

Dalam erti kata lain, bentuk pembezaan tidak bergantung pada sama ada hujah fungsi ialah pembolehubah bebas atau fungsi hujah lain. Sifat pembezaan ini dipanggil invarian bentuk pembezaan.

Contoh.. Cari dy.

Dengan mengambil kira sifat invarian pembezaan, kami dapati

.

MENGGUNAKAN PERBEZAAN KEPADA PENGIRAAN ANGKATAN

Beritahu kami nilai fungsi tersebut y 0 =f(x 0 ) dan terbitannya y 0 " = f "(x 0) pada titik x 0. Mari tunjukkan cara untuk mencari nilai fungsi pada satu titik dekat x.

Seperti yang telah kita ketahui, kenaikan fungsi Δ y boleh diwakili sebagai jumlah Δ y=dy+α·Δ x, iaitu kenaikan fungsi berbeza daripada pembezaan dengan jumlah yang sangat kecil. Oleh itu, mengabaikan pada Δ kecil x sebutan kedua dalam pengiraan anggaran, kadangkala anggaran kesamaan Δ digunakan y≈dy atau Δ y» f"(x 0)·Δ x.

Kerana, mengikut definisi, Δ y = f(x) – f(x 0), Itu f(x) – f(x 0)≈f"(x 0)·Δ x.

Contoh.

DERIVATIF PESANAN TINGGI

Biarkan fungsi y=f(x) boleh dibezakan pada beberapa selang [ a; b]. Nilai terbitan f"(x), secara amnya, bergantung kepada x, iaitu terbitan f"(x) juga merupakan fungsi pembolehubah x. Biarkan fungsi ini juga mempunyai terbitan. Dengan membezakannya, kita memperoleh apa yang dipanggil terbitan kedua bagi fungsi f(x).

Terbitan terbitan pertama dipanggil terbitan tertib kedua atau terbitan kedua daripada fungsi ini y=f(x) dan ditetapkan y"" atau f""(x). Jadi, y"" = (y")".

Sebagai contoh, jika di = X 5 kemudian y"= 5x 4, a y""= 20x 4 .

Begitu juga, derivatif tertib kedua juga boleh dibezakan. Terbitan terbitan kedua dipanggil terbitan urutan ketiga atau terbitan ketiga dan dilambangkan dengan y"""atau f"""( x).

sama sekali, terbitan urutan ke-n daripada fungsi f(x) dipanggil derivatif (pertama) derivatif ( n– tertib ke-1 dan dilambangkan dengan simbol y(n) atau f(n) ( x): y(n) = ( y(n-1))".

Oleh itu, untuk mencari terbitan tertib tinggi bagi fungsi tertentu, semua terbitan tertib rendahnya ditemui berturut-turut.

Berkaitan erat, kedua-duanya telah digunakan secara aktif selama beberapa abad dalam menyelesaikan hampir semua masalah yang timbul dalam proses aktiviti saintifik dan teknikal manusia.

Kemunculan konsep pembezaan

Buat pertama kalinya dia menerangkan apa itu pembezaan, salah seorang pencipta (bersama Isaac Newton) kalkulus pembezaan ahli matematik Jerman terkenal Gottfried Wilhelm Leibniz. Sebelum ini, ahli matematik abad ke-17. idea yang sangat kabur dan samar-samar telah digunakan bagi beberapa bahagian “tidak boleh dibahagikan” yang sangat kecil daripada mana-mana fungsi yang diketahui, yang mewakili nilai malar yang sangat kecil, tetapi tidak sama dengan sifar, kurang daripada nilai fungsi itu tidak boleh. Dari sini, ia hanya satu langkah kepada pengenalan konsep kenaikan tak terhingga bagi argumen fungsi dan kenaikan yang sepadan bagi fungsi itu sendiri, yang dinyatakan melalui derivatif yang terakhir. Dan langkah ini diambil hampir serentak oleh dua saintis hebat yang disebutkan di atas.

Berdasarkan keperluan untuk menyelesaikan masalah praktikal mekanik yang mendesak, yang ditimbulkan kepada sains dengan pesat membangun industri dan teknologi, Newton dan Leibniz mencipta kaedah umum mencari kadar perubahan fungsi (terutamanya berkaitan dengan kelajuan mekanikal pergerakan badan di sepanjang trajektori yang diketahui), yang membawa kepada pengenalan konsep seperti derivatif dan pembezaan fungsi, dan juga menemui algoritma penyelesaian masalah songsang, bagaimana untuk mencari jarak yang dilalui menggunakan kelajuan (pembolehubah) yang diketahui, yang membawa kepada kemunculan konsep kamiran.

Dalam karya Leibniz dan Newton, idea pertama kali muncul bahawa pembezaan adalah bahagian utama kenaikan fungsi Δy berkadar dengan kenaikan argumen Δx, yang boleh berjaya digunakan untuk mengira nilai yang terakhir. Dalam erti kata lain, mereka mendapati bahawa kenaikan fungsi boleh pada mana-mana titik (dalam domain takrifnya) dinyatakan melalui terbitannya sebagai Δу = y"(x) Δх + αΔх, di mana α Δх ialah sebutan selebihnya cenderung kepada sifar sebagai Δх→ 0, jauh lebih cepat daripada Δx itu sendiri.

Menurut pengasas analisis matematik, pembezaan ialah sebutan pertama dalam ungkapan untuk penambahan mana-mana fungsi. Belum mempunyai konsep yang dirumus dengan jelas tentang had jujukan, mereka secara intuitif memahami bahawa nilai pembezaan cenderung kepada terbitan fungsi sebagai Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

Tidak seperti Newton, yang kebanyakannya seorang ahli fizik, dan dipertimbangkan radas matematik sebagai alat penyelidikan tambahan masalah fizikal, Leibniz memberi lebih perhatian kepada kit alat ini sendiri, termasuk sistem tatatanda visual dan boleh difahami kuantiti matematik. Dialah yang mencadangkan tatatanda yang diterima umum untuk pembezaan fungsi dy = y"(x)dx, hujah dx dan terbitan fungsi dalam bentuk nisbahnya y"(x) = dy/dx.

Definisi moden

Apakah perbezaan dari sudut pandangan matematik moden? Ia berkait rapat dengan konsep kenaikan saiz berubah-ubah. Jika pembolehubah y mula-mula mengambil nilai y = y 1 dan kemudian y = y 2, maka perbezaan y 2 ─ y 1 dipanggil kenaikan y.

Kenaikan boleh menjadi positif. negatif dan sama dengan sifar. Perkataan "kenaikan" dilambangkan dengan Δ, tatatanda Δу (baca "delta y") menandakan kenaikan nilai y. jadi Δу = y 2 ─ y 1 .

Jika nilai Δу fungsi sewenang-wenangnya y = f (x) boleh diwakili dalam bentuk Δу = A Δх + α, di mana A tidak mempunyai pergantungan pada Δх, iaitu A = const untuk x tertentu, dan istilah α untuk Δх→0 cenderung lebih cepat, daripada Δx itu sendiri, maka sebutan pertama ("utama"), berkadar dengan Δx, adalah untuk y = f (x) pembezaan, dilambangkan dy atau df(x) (baca "de igrek", "de ef daripada x") . Oleh itu, pembezaan ialah komponen "utama" bagi kenaikan fungsi yang linear berkenaan dengan Δx.

Tafsiran mekanikal

Biarkan s = f (t) ialah jarak kenderaan yang bergerak secara rectilinear dari kedudukan awal (t ialah masa perjalanan). Kenaikan Δs ialah laluan titik semasa selang masa Δt, dan pembezaan ds = f" (t) Δt ialah laluan yang akan diliputi oleh titik dalam masa yang sama Δt jika ia mengekalkan kelajuan f"(t ) dicapai pada masa t . Untuk Δt yang sangat kecil, laluan khayalan ds berbeza daripada Δs sebenar dengan jumlah yang sangat kecil, yang mempunyai perintah yang lebih tinggi relatif kepada Δt. Jika kelajuan pada saat t bukan sifar, maka ds memberikan nilai anggaran sesaran kecil titik itu.

Tafsiran geometri

Biarkan garis L ialah graf bagi y = f(x). Kemudian Δ x = MQ, Δу = QM" (lihat rajah di bawah). MN tangen membahagikan segmen Δy kepada dua bahagian, QN dan NM." Yang pertama adalah berkadar dengan Δх dan sama dengan QN = MQ∙tg (sudut QMN) = Δх f "(x), iaitu QN ialah dy pembezaan.

Bahagian kedua NM" memberikan perbezaan Δу ─ dy, dengan Δх→0 panjang NM" berkurangan lebih cepat daripada kenaikan hujah, iaitu susunan kekecilannya lebih tinggi daripada Δх. Dalam kes yang sedang dipertimbangkan, untuk f "(x) ≠ 0 (tangen tidak selari dengan OX), segmen QM" dan QN adalah setara; dengan kata lain, NM" berkurangan lebih cepat (tertib kekecilannya lebih tinggi) daripada jumlah kenaikan Δу = QM". Ini boleh dilihat dalam rajah (apabila M "mendekati M, segmen NM" membentuk peratusan yang lebih kecil daripada segmen QM").

Jadi, secara grafik perbezaan fungsi arbitrari sama dengan nilai kenaikan ordinat tangennya.

Derivatif dan pembezaan

Pekali A dalam sebutan pertama ungkapan untuk penambahan fungsi adalah sama dengan nilai terbitannya f "(x). Oleh itu, hubungan berikut dipegang - dy = f "(x)Δx, atau df (x) = f "(x)Δx.

Adalah diketahui bahawa kenaikan hujah bebas adalah sama dengan pembezaannya Δх = dx. Sehubungan itu, kita boleh menulis: f "(x) dx = dy.

Penemuan (kadangkala dipanggil "penyelesaian") pembezaan mengikut peraturan yang sama seperti untuk derivatif. Senarai mereka diberikan di bawah.

Apa yang lebih universal: pertambahan hujah atau pembezaannya

Beberapa penjelasan perlu dibuat di sini. Mewakili pembezaan dengan nilai f "(x)Δx adalah mungkin apabila mempertimbangkan x sebagai hujah. Tetapi fungsi itu boleh menjadi kompleks, di mana x boleh menjadi fungsi beberapa hujah t. Kemudian mewakili pembezaan dengan ungkapan f "( x)Δx adalah, sebagai peraturan, mustahil; kecuali dalam kes pergantungan linear x = pada + b.

Bagi formula f "(x)dx = dy, maka kedua-duanya dalam kes hujah bebas x (kemudian dx = Δx) dan dalam kes kebergantungan parametrik x pada t, ia mewakili pembezaan.

Sebagai contoh, ungkapan 2 x Δx mewakili untuk y = x 2 pembezaannya apabila x ialah hujah. Mari kita letakkan x = t 2 dan pertimbangkan t sebagai hujah. Kemudian y = x 2 = t 4.

Ungkapan ini tidak berkadar dengan Δt dan oleh itu sekarang 2xΔx bukan pembezaan. Ia boleh didapati daripada persamaan y = x 2 = t 4. Ia ternyata sama dengan dy=4t 3 Δt.

Jika kita mengambil ungkapan 2xdx, maka ia mewakili pembezaan y = x 2 untuk sebarang hujah t. Sesungguhnya, untuk x = t 2 kita memperoleh dx = 2tΔt.

Ini bermakna 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, iaitu, ungkapan pembezaan yang ditulis dalam sebutan dua pembolehubah berbeza adalah bertepatan.

Menggantikan kenaikan dengan pembezaan

Jika f "(x) ≠ 0, maka Δу dan dy adalah setara (untuk Δх→0); jika f "(x) = 0 (yang bermaksud dy = 0), ia bukan setara.

Contohnya, jika y = x 2, maka Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2, dan dy = 2xΔх. Jika x=3, maka kita mempunyai Δу = 6Δх + Δх 2 dan dy = 6Δх, yang bersamaan disebabkan oleh Δх ​​2 →0 pada x=0 nilai Δу = Δх 2 dan dy=0 tidak bersamaan.

Fakta ini, bersama-sama dengan struktur ringkas pembezaan (iaitu, lineariti berkenaan dengan Δx), sering digunakan dalam pengiraan anggaran, di bawah andaian bahawa Δy ≈ dy untuk Δx kecil. Mencari pembezaan fungsi biasanya lebih mudah daripada mengira nilai tepat kenaikan.

Sebagai contoh, kita mempunyai sebuah kubus logam dengan tepi x = 10.00 cm Apabila dipanaskan, tepinya dipanjangkan sebanyak Δx = 0.001 cm. Berapa banyakkah isipadu V kubus itu? Kami mempunyai V = x 2, jadi dV = 3x 2 Δx = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (cm 3). Peningkatan isipadu ΔV adalah bersamaan dengan dV pembezaan, jadi ΔV = 3 cm 3 . Pengiraan penuh akan memberikan ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001. Tetapi dalam keputusan ini semua angka kecuali yang pertama tidak boleh dipercayai; ini bermakna ia tidak penting, anda perlu membundarkannya kepada 3 cm 3.

Jelas sekali, pendekatan sedemikian berguna hanya jika mungkin untuk menganggarkan magnitud ralat yang diperkenalkan olehnya.

Pembezaan fungsi: contoh

Mari kita cuba cari pembezaan fungsi y = x 3 tanpa mencari terbitan. Mari kita beri pertambahan hujah dan takrifkan Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Di sini pekali A = 3x 2 tidak bergantung pada Δx, jadi sebutan pertama adalah berkadar dengan Δx, manakala sebutan lain 3xΔx 2 + Δx 3 pada Δx→0 berkurangan lebih cepat daripada kenaikan hujah. Oleh itu, sebutan 3x 2 Δx ialah pembezaan y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx atau d(x 3) = 3x 2 dx.

Dalam kes ini, d(x 3) / dx = 3x 2.

Mari kita cari dy bagi fungsi y = 1/x melalui terbitannya. Kemudian d(1/x) / dx = ─1/x 2. Oleh itu dy = ─ Δx/x 2.

Perbezaan fungsi algebra asas diberikan di bawah.

Pengiraan anggaran menggunakan pembezaan

Selalunya tidak sukar untuk mengira fungsi f (x), serta terbitannya f "(x) pada x=a, tetapi melakukan perkara yang sama di sekitar titik x=a adalah tidak mudah. ​​Kemudian ungkapan anggaran datang untuk menyelamatkan

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Ia memberikan nilai anggaran fungsi untuk kenaikan kecil Δх melalui pembezaannya f "(a)Δх.

Oleh itu, formula ini memberikan ungkapan anggaran untuk fungsi pada titik akhir bahagian tertentu dengan panjang Δx dalam bentuk hasil tambah nilainya pada titik permulaan bahagian ini (x=a) dan pembezaan pada titik permulaan yang sama. Kesilapan kaedah penentuan nilai fungsi ini digambarkan dalam rajah di bawah.

Walau bagaimanapun, ungkapan tepat untuk nilai fungsi untuk x=a+Δх juga diketahui, diberikan oleh formula kenaikan terhingga (atau, dengan kata lain, formula Lagrange)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

di mana titik x = a+ ξ terletak pada segmen dari x = a hingga x = a + Δx, walaupun kedudukan tepatnya tidak diketahui. Formula yang tepat membolehkan anda menganggarkan ralat formula anggaran. Jika kita meletakkan ξ = Δx /2 dalam formula Lagrange, maka walaupun ia tidak lagi tepat, ia biasanya memberikan penghampiran yang lebih baik daripada ungkapan asal melalui pembezaan.

Menganggar ralat formula menggunakan pembezaan

Pada dasarnya, mereka tidak tepat dan memperkenalkan ralat yang sepadan ke dalam data pengukuran. Mereka dicirikan oleh ralat maksimum atau, ringkasnya, maksimum - nombor positif, jelas melebihi ralat ini dalam nilai mutlak (atau, dalam kes yang melampau, sama dengannya). Had ialah hasil bagi pembahagiannya dengan nilai mutlak nilai yang diukur.

Biarkan formula tepat y= f (x) digunakan untuk mengira fungsi y, tetapi nilai x adalah hasil pengukuran dan oleh itu memasukkan ralat ke dalam y. Kemudian, untuk mencari had kesilapan mutlak│‌‌Δу│fungsi y, gunakan formula

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

di mana │Δх│ ialah ralat maksimum hujah. Nilai │‌‌Δу│ hendaklah dibundarkan ke atas, kerana Penggantian pengiraan kenaikan dengan pengiraan pembezaan adalah tidak tepat.

Jika fungsi boleh dibezakan pada titik itu , maka kenaikannya boleh diwakili sebagai hasil tambah dua sebutan

. Istilah ini adalah fungsi paling kecil di
.Sebutan pertama adalah linear berkenaan dengan
,yang kedua ialah infinitesimal dengan susunan yang lebih tinggi daripada
.Sungguh,

.

Oleh itu, penggal kedua di
cenderung kepada sifar lebih cepat apabila mencari kenaikan fungsi
penggal pertama memainkan peranan utama
atau (sejak
)
.

Definisi . Bahagian utama kenaikan fungsi
pada titik , linear berkenaan dengan
,dipanggil pembezaan fungsi pada ketika ini dan ditetapkandyataudf(x)

. (2)

Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan: pembezaan pembolehubah bebas bertepatan dengan kenaikannya, iaitu
.

Hubungan (2) kini mengambil bentuk

(3)

Komen . Formula (3) untuk ringkasan selalunya ditulis dalam bentuk

(4)

Makna geometri pembezaan

Pertimbangkan graf bagi fungsi boleh beza
. mata
dan tergolong dalam graf fungsi. Pada titik itu M tangen dilukis KEPADA kepada graf fungsi yang sudutnya dengan arah positif paksi
menandakan dengan
. Mari kita lukis garis lurus MN selari dengan paksi lembu Dan
selari dengan paksi Oy. Kenaikan fungsi adalah sama dengan panjang segmen
. daripada segi tiga tepat
, di mana
, kita dapat

Pertimbangan di atas membolehkan kita membuat kesimpulan:

Pembezaan fungsi
pada titik diwakili oleh kenaikan ordinat tangen kepada graf fungsi ini pada titik sepadannya
.

Hubungan antara pembezaan dan terbitan

Pertimbangkan formula (4)

.

Marilah kita bahagikan kedua-dua belah kesamarataan ini dengan dx, Kemudian

.

Oleh itu, terbitan bagi suatu fungsi adalah sama dengan nisbah pembezaannya dengan pembezaan pembolehubah bebas.

Selalunya sikap ini dianggap hanya sebagai simbol yang menunjukkan terbitan fungsi di dengan hujah X.

Notasi mudah untuk terbitan juga adalah:

,
dan seterusnya.

Entri juga digunakan

,
,

amat sesuai apabila mengambil terbitan ungkapan kompleks.

2. Pembezaan jumlah, hasil darab dan hasil bagi.

Oleh kerana pembezaan diperoleh daripada terbitan dengan mendarabnya dengan pembezaan pembolehubah bebas, maka, mengetahui terbitan fungsi asas asas, serta peraturan untuk mencari derivatif, seseorang boleh datang kepada peraturan yang serupa untuk mencari pembezaan.

1 0 . Perbezaan pemalar ialah sifar

.

2 0 . Pembezaan hasil tambah algebra bagi bilangan terhingga fungsi boleh beza adalah sama dengan jumlah algebra bagi pembezaan fungsi ini

3 0 . Pembezaan hasil darab dua fungsi boleh dibezakan sama dengan jumlah hasil darab fungsi pertama dengan pembezaan kedua dan fungsi kedua dengan pembezaan yang pertama

.

Akibat. Pengganda malar boleh dikeluarkan daripada tanda pembezaan

.

Contoh. Cari pembezaan fungsi tersebut.

Penyelesaian: Mari tulis fungsi ini dalam borang

,

maka kita dapat

.

4. Fungsi ditakrifkan secara parametrik, pembezaan mereka.

Definisi . Fungsi
dikatakan diberi secara parametrik jika kedua-dua pembolehubah X Dan di setiap satu ditakrifkan secara berasingan sebagai fungsi bernilai tunggal bagi pembolehubah tambahan yang sama - parametert:

di manatberbeza-beza dalam
.

Komen . Spesifikasi parametrik fungsi digunakan secara meluas dalam mekanik teori, di mana parameter t menunjukkan masa, dan persamaan
mewakili undang-undang perubahan dalam unjuran titik bergerak
pada paksi
Dan
.

Komen . Mari kita bentangkan persamaan parametrik bulatan dan elips.

a) Bulatan dengan pusat di tempat asal dan jejari r mempunyai persamaan parametrik:

di mana
.

b) Mari kita tulis persamaan parametrik untuk elips:

di mana
.

Dengan mengecualikan parameter t Daripada persamaan parametrik garisan yang sedang dipertimbangkan, seseorang boleh sampai pada persamaan kanoniknya.

Teorem . Jika fungsi y daripada hujah x diberikan secara parametrik oleh persamaan
, Di mana
Dan
boleh dibezakan berkenaan dengantfungsi dan
, Itu

.

Contoh. Cari terbitan bagi suatu fungsi di daripada X, diberikan oleh persamaan parametrik.

Penyelesaian.
.