Rumus janjang aritmetik cara mencari e. Kerja bebas secara berpasangan

Janjang aritmetik dan geometri

Maklumat teori

Maklumat teori

	Janjang aritmetik	Janjang geometri
Definisi	Janjang aritmetik a n satu urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan ahli sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama d (d- perbezaan perkembangan)	janjang geometri b n urutan nombor bukan sifar dipanggil, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya didarab dengan nombor yang sama q (q- penyebut janjang)
Formula berulang	Untuk mana-mana semula jadi n a n + 1 = a n + d	Untuk mana-mana semula jadi n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
formula penggal ke-n	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
sifat ciri
Jumlah n sebutan pertama

Contoh tugasan dengan ulasan

Latihan 1

Dalam janjang aritmetik ( a n) a 1 = -6, a 2

Mengikut formula sebutan ke-n:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21h

Mengikut syarat:

a 1= -6, jadi a 22= -6 + 21h.

Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Jawapan: a 22 = -48.

Tugasan 2

Cari sebutan kelima janjang geometri: -3; 6;....

Cara pertama (menggunakan formula jangka-n)

Mengikut formula ahli ke-n bagi janjang geometri:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Kerana b 1 = -3,

Cara kedua (menggunakan formula rekursif)

Oleh kerana penyebut janjang itu ialah -2 (q = -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Jawapan: b 5 = -48.

Tugasan 3

Dalam janjang aritmetik ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Cari sebutan ketujuh puluh lima janjang ini.

Untuk janjang aritmetik, sifat ciri mempunyai bentuk .

Oleh itu:

.

Gantikan data dalam formula:

Jawapan: 95.

Tugasan 4

Dalam janjang aritmetik ( a n ) a n= 3n - 4. Cari hasil tambah tujuh belas sebutan pertama.

Untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik, dua formula digunakan:

.

Manakah antara mereka yang lebih mudah untuk digunakan dalam kes ini?

Mengikut syarat, formula ahli ke-n bagi janjang asal diketahui ( a n) a n= 3n - 4. Boleh didapati dengan segera dan a 1, dan a 16 tanpa menemui d. Oleh itu, kami menggunakan formula pertama.

Jawapan: 368.

Tugasan 5

Dalam janjang aritmetik a n) a 1 = -6; a 2= -8. Cari sebutan dua puluh dua janjang itu.

Mengikut formula sebutan ke-n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21h.

Dengan syarat, jika a 1= -6, maka a 22= -6 + 21h. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Jawapan: a 22 = -48.

Tugasan 6

Beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang geometri direkodkan:

Cari sebutan janjang itu, yang dilambangkan dengan huruf x .

Apabila menyelesaikan, kami menggunakan formula untuk sebutan ke-n b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 untuk janjang geometri. Ahli pertama perkembangan. Untuk mencari penyebut janjang q, anda perlu mengambil mana-mana sebutan janjang ini dan bahagikan dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kami, anda boleh mengambil dan membahagi dengan. Kami mendapat q \u003d 3. Daripada n, kami menggantikan 3 dalam formula, kerana perlu mencari sebutan ketiga bagi janjang geometri yang diberikan.

Menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula, kami mendapat:

.

Jawapan : .

Tugasan 7

Daripada janjang aritmetik yang diberikan oleh formula sebutan ke-n, pilih yang mana syaratnya dipenuhi a 27 > 9:

Memandangkan syarat yang dinyatakan mesti dipenuhi untuk sebutan ke-27 janjang, kami menggantikan 27 dan bukannya n dalam setiap empat janjang. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapat:

.

Jawapan: 4.

Tugasan 8

Dalam janjang aritmetik a 1= 3, d = -1.5. Nyatakan nilai terbesar bagi n yang mana ketaksamaan itu dipegang a n > -6.

Sebelum kita mula membuat keputusan masalah janjang aritmetik, pertimbangkan apa itu jujukan nombor, kerana janjang aritmetik ialah kes khas bagi jujukan nombor.

Urutan berangka ialah set berangka, setiap elemen mempunyai nombor sirinya sendiri. Unsur-unsur set ini dipanggil ahli jujukan. Nombor ordinal unsur jujukan ditunjukkan oleh indeks:

Elemen pertama urutan;

Unsur kelima jujukan;

- elemen "nth" bagi jujukan, i.e. elemen "berdiri dalam barisan" pada nombor n.

Terdapat pergantungan antara nilai unsur jujukan dan nombor ordinalnya. Oleh itu, kita boleh menganggap jujukan sebagai fungsi yang hujahnya ialah nombor ordinal bagi unsur jujukan. Dalam erti kata lain, seseorang boleh mengatakan bahawa urutan adalah fungsi hujah semula jadi:

Urutan boleh ditentukan dalam tiga cara:

1 . Urutan boleh ditentukan menggunakan jadual. Dalam kes ini, kami hanya menetapkan nilai setiap ahli jujukan.

Sebagai contoh, Seseorang memutuskan untuk melakukan pengurusan masa peribadi, dan untuk memulakan, untuk mengira berapa banyak masa yang dia habiskan di VKontakte sepanjang minggu. Dengan menulis masa dalam jadual, dia akan mendapat urutan yang terdiri daripada tujuh elemen:

Baris pertama jadual mengandungi bilangan hari dalam seminggu, yang kedua - masa dalam minit. Kami melihat bahawa, iaitu, pada hari Isnin Seseorang menghabiskan 125 minit di VKontakte, iaitu, pada hari Khamis - 248 minit, dan, iaitu, pada hari Jumaat, hanya 15 minit.

2 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula ahli ke-n.

Dalam kes ini, pergantungan nilai unsur jujukan pada nombornya dinyatakan secara langsung sebagai formula.

Contohnya, jika , maka

Untuk mencari nilai unsur jujukan dengan nombor tertentu, kami menggantikan nombor unsur ke dalam formula untuk ahli ke-n.

Kita melakukan perkara yang sama jika kita perlu mencari nilai fungsi jika nilai hujah diketahui. Kami menggantikan nilai hujah sebaliknya dalam persamaan fungsi:

Jika, sebagai contoh, , kemudian

Sekali lagi, saya perhatikan bahawa dalam urutan, berbeza dengan fungsi angka arbitrari, hanya nombor asli boleh menjadi hujah.

3 . Urutan boleh ditentukan menggunakan formula yang menyatakan pergantungan nilai ahli jujukan dengan nombor n pada nilai ahli sebelumnya. Dalam kes ini, tidak cukup untuk kita mengetahui bilangan ahli jujukan sahaja untuk mencari nilainya. Kita perlu menentukan ahli pertama atau beberapa ahli pertama jujukan.

Sebagai contoh, pertimbangkan urutan ,

Kita boleh mencari nilai ahli-ahli jujukan dalam urutan, bermula dari yang ketiga:

Iaitu, setiap kali untuk mencari nilai ahli ke-n jujukan, kita kembali kepada dua sebelumnya. Cara penjujukan ini dipanggil berulang, daripada perkataan Latin berulang- kembali.

Sekarang kita boleh menentukan janjang aritmetik. Janjang aritmetik ialah kes khas yang mudah bagi jujukan berangka.

Janjang aritmetik dipanggil urutan berangka, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama.

Nombor dipanggil perbezaan janjang aritmetik. Perbezaan janjang aritmetik boleh positif, negatif atau sifar.

Jika title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} semakin meningkat.

Sebagai contoh, 2; 5; lapan; sebelas;...

Jika , maka setiap sebutan janjang aritmetik adalah kurang daripada yang sebelumnya, dan janjangnya adalah amaran.

Sebagai contoh, 2; -satu; -empat; -7;...

Jika , maka semua ahli janjang adalah sama dengan nombor yang sama, dan janjangnya ialah pegun.

Contohnya, 2;2;2;2;...

Sifat utama janjang aritmetik:

Jom tengok gambar.

Kita nampak itu

, dan pada masa yang sama

Menambah dua kesamaan ini, kita dapat:

.

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2:

Jadi, setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik dua yang berjiran:

Lebih-lebih lagi, kerana

, dan pada masa yang sama

, kemudian

, dan oleh itu

Setiap ahli janjang aritmetik bermula dengan tajuk="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formula ahli ke.

Kami melihat bahawa untuk ahli janjang aritmetik, hubungan berikut berlaku:

dan akhirnya

Kami mendapat rumus sebutan ke-n.

PENTING! Mana-mana ahli janjang aritmetik boleh dinyatakan dalam sebutan dan . Mengetahui sebutan pertama dan perbezaan janjang aritmetik, anda boleh mencari mana-mana ahlinya.

Jumlah n ahli suatu janjang aritmetik.

Dalam janjang aritmetik arbitrari, jumlah sebutan yang sama jaraknya daripada yang melampau adalah sama antara satu sama lain:

Pertimbangkan janjang aritmetik dengan n ahli. Biarkan jumlah n ahli janjang ini sama dengan .

Susun istilah janjang dahulu dalam tertib nombor menaik, dan kemudian dalam tertib menurun:

Mari pasangkannya:

Jumlah dalam setiap kurungan ialah , bilangan pasangan ialah n.

Kita mendapatkan:

Jadi, jumlah n ahli janjang aritmetik boleh didapati menggunakan formula:

Pertimbangkan menyelesaikan masalah janjang aritmetik.

1 . Urutan diberikan oleh formula sebutan ke-n: . Buktikan bahawa jujukan ini ialah janjang aritmetik.

Mari kita buktikan bahawa beza antara dua ahli urutan yang bersebelahan adalah sama dengan nombor yang sama.

Kami telah memperoleh bahawa perbezaan dua ahli urutan yang bersebelahan tidak bergantung pada nombor mereka dan adalah pemalar. Oleh itu, mengikut definisi, jujukan ini ialah janjang aritmetik.

2 . Diberi janjang aritmetik -31; -27;...

a) Cari 31 sebutan janjang itu.

b) Tentukan sama ada nombor 41 termasuk dalam janjang ini.

a) Kami melihat bahawa;

Mari kita tulis formula untuk penggal ke-n untuk perkembangan kita.

Secara umum

Dalam kes kita , sebab tu

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana setiap nombor lebih besar (atau kurang) daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Topik ini selalunya sukar dan tidak dapat difahami. Indeks huruf, sebutan ke-n janjang, perbezaan janjang - semua ini entah bagaimana mengelirukan, ya ... Mari kita fikirkan maksud janjang aritmetik dan semuanya akan selesai dengan serta-merta.)

Konsep janjang aritmetik.

Janjang aritmetik adalah konsep yang sangat mudah dan jelas. Keraguan? Sia-sia.) Tengok sendiri.

Saya akan menulis siri nombor yang belum selesai:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bolehkah anda memanjangkan talian ini? Apakah nombor yang akan berlaku seterusnya, selepas lima? Semua orang ... eh ..., ringkasnya, semua orang akan mengetahui bahawa nombor 6, 7, 8, 9, dll. akan pergi lebih jauh.

Mari kita rumitkan tugas. Saya memberikan siri nombor yang belum selesai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Anda boleh menangkap corak, melanjutkan siri dan nama ketujuh nombor baris?

Jika anda mengetahui bahawa nombor ini ialah 20 - saya mengucapkan tahniah kepada anda! Anda bukan sahaja merasa perkara penting dalam janjang aritmetik, tetapi juga berjaya menggunakannya dalam perniagaan! Jika anda tidak faham, bacalah.

Sekarang mari menterjemahkan perkara utama daripada sensasi ke dalam matematik.)

Perkara utama pertama.

Janjang aritmetik berkaitan dengan siri nombor. Ini mengelirukan pada mulanya. Kami biasa menyelesaikan persamaan, membina graf dan semua itu ... Dan kemudian melanjutkan siri, cari nombor siri ...

Tidak mengapa. Cuma perkembangan adalah kenalan pertama dengan cabang baru matematik. Bahagian ini dipanggil "Siri" dan berfungsi dengan siri nombor dan ungkapan. Membiasakan diri.)

Perkara utama kedua.

Dalam janjang aritmetik, sebarang nombor berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Dalam contoh pertama, perbezaan ini adalah satu. Walau apa pun nombor yang anda ambil, ia lebih satu daripada yang sebelumnya. Dalam kedua - tiga. Sebarang nombor adalah tiga kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Sebenarnya, detik inilah yang memberi kita peluang untuk menangkap corak dan mengira nombor seterusnya.

Perkara utama ketiga.

Momen ini tidak menarik, ya ... Tetapi sangat, sangat penting. Inilah dia: setiap nombor janjang berada di tempatnya. Ada nombor pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dan seterusnya. Jika anda mengelirukan mereka secara sembarangan, coraknya akan hilang. Janjang aritmetik juga akan hilang. Ia hanya satu siri nombor.

Itulah keseluruhannya.

Sudah tentu, istilah dan notasi baharu muncul dalam topik baharu. Mereka perlu tahu. Jika tidak, anda tidak akan memahami tugas itu. Sebagai contoh, anda perlu memutuskan sesuatu seperti:

Tulis enam sebutan pertama janjang aritmetik (a n) jika a 2 = 5, d = -2.5.

Adakah ia memberi inspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, dengan cara itu, tidak boleh menjadi lebih mudah. Anda hanya perlu memahami maksud istilah dan notasi. Sekarang kita akan menguasai perkara ini dan kembali kepada tugas.

Terma dan sebutan.

Janjang aritmetik ialah satu siri nombor di mana setiap nombor adalah berbeza daripada yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Nilai ini dipanggil . Mari kita berurusan dengan konsep ini dengan lebih terperinci.

Perbezaan janjang aritmetik.

Perbezaan janjang aritmetik ialah amaun yang menggunakan sebarang nombor kemajuan lebih yang sebelumnya.

Satu perkara penting. Sila beri perhatian kepada perkataan itu "lebih". Secara matematik, ini bermakna setiap nombor janjang diperolehi menambah perbezaan janjang aritmetik dengan nombor sebelumnya.

Untuk mengira, katakan kedua nombor baris, adalah perlu untuk pertama nombor Tambah perbezaan janjang aritmetik ini. Untuk pengiraan kelima- perbezaan itu perlu Tambah kepada keempat baik, dll.

Perbezaan janjang aritmetik mungkin positif maka setiap nombor siri itu akan menjadi nyata lebih daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil semakin meningkat. Sebagai contoh:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Di sini setiap nombor adalah menambah nombor positif, +5 kepada yang sebelumnya.

Bezanya boleh jadi negatif maka setiap nombor dalam siri itu akan menjadi kurang daripada yang sebelumnya. Perkembangan ini dipanggil (anda tidak akan percaya!) semakin berkurangan.

Sebagai contoh:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Di sini setiap nombor juga diperolehi menambah kepada nombor sebelumnya, tetapi sudah negatif, -5.

Ngomong-ngomong, apabila bekerja dengan perkembangan, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - sama ada ia meningkat atau menurun. Ia banyak membantu untuk mencari kesan anda dalam keputusan, untuk mengesan kesilapan anda dan membetulkannya sebelum terlambat.

Perbezaan janjang aritmetik biasanya dilambangkan dengan huruf d.

Bagaimana untuk mencari d? Sangat ringkas. Ia adalah perlu untuk menolak daripada sebarang nombor siri sebelumnya nombor. Tolak. Dengan cara ini, hasil penolakan dipanggil "perbezaan".)

Mari kita tentukan, sebagai contoh, d untuk janjang aritmetik yang semakin meningkat:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kami mengambil sebarang nombor baris yang kami mahu, sebagai contoh, 11. Tolak daripadanya nombor sebelumnya mereka. lapan:

Ini adalah jawapan yang betul. Untuk janjang aritmetik ini, perbezaannya ialah tiga.

Anda boleh ambil sahaja sebarang bilangan kemajuan, kerana untuk perkembangan tertentu d-sentiasa sama. Sekurang-kurangnya di suatu tempat di awal baris, sekurang-kurangnya di tengah, sekurang-kurangnya di mana-mana. Anda tidak boleh mengambil nombor pertama sahaja. Hanya kerana nombor pertama tiada sebelumnya.)

By the way, mengetahui itu d=3, mencari nombor ketujuh janjang ini adalah sangat mudah. Kami menambah 3 kepada nombor kelima - kami mendapat yang keenam, ia akan menjadi 17. Kami menambah tiga kepada nombor keenam, kami mendapat nombor ketujuh - dua puluh.

Mari kita tentukan d untuk janjang aritmetik yang menurun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Saya mengingatkan anda bahawa, tanpa mengira tanda-tanda, untuk menentukan d diperlukan daripada sebarang nombor ambil yang sebelumnya. Kami memilih sebarang bilangan janjang, contohnya -7. Nombornya sebelum ini ialah -2. Kemudian:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Perbezaan janjang aritmetik boleh menjadi sebarang nombor: integer, pecahan, tidak rasional, sebarang.

Terma dan sebutan lain.

Setiap nombor dalam siri dipanggil ahli janjang aritmetik.

Setiap ahli perkembangan mempunyai nombornya. Nombornya betul-betul teratur, tanpa sebarang helah. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dsb. Sebagai contoh, dalam janjang 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah ahli pertama, lima adalah kedua, sebelas adalah keempat, baik, anda faham ...) Sila faham dengan jelas - nombor itu sendiri boleh menjadi sebarang, keseluruhan, pecahan, negatif, apa sahaja, tetapi penomboran- betul-betul teratur!

Bagaimana untuk menulis perkembangan dalam bentuk umum? Tiada masalah! Setiap nombor dalam siri ini ditulis sebagai huruf. Untuk menandakan janjang aritmetik, sebagai peraturan, huruf itu digunakan a. Nombor ahli ditunjukkan oleh indeks di bahagian bawah sebelah kanan. Ahli ditulis dipisahkan dengan koma (atau koma bertitik), seperti ini:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 ialah nombor pertama a 3- ketiga, dsb. Tiada apa-apa yang rumit. Anda boleh menulis siri ini secara ringkas seperti ini: (a n).

Terdapat perkembangan terhingga dan tidak terhingga.

muktamad perkembangan mempunyai bilangan ahli yang terhad. Lima, tiga puluh lapan, apa sahaja. Tetapi ia adalah nombor terhingga.

tak berkesudahan perkembangan - mempunyai bilangan ahli yang tidak terhingga, seperti yang anda fikirkan.)

Anda boleh menulis perkembangan terakhir melalui siri seperti ini, semua ahli dan titik di penghujung:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Atau seperti ini, jika terdapat ramai ahli:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Dalam entri pendek, anda juga perlu menunjukkan bilangan ahli. Contohnya (untuk dua puluh ahli), seperti ini:

(a n), n = 20

Perkembangan tak terhingga boleh dikenali dengan elipsis di hujung baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.

Kini anda sudah boleh menyelesaikan tugasan. Tugas-tugasnya mudah, semata-mata untuk memahami maksud janjang aritmetik.

Contoh tugas untuk janjang aritmetik.

Mari kita lihat lebih dekat tugas di atas:

1. Tulis enam ahli pertama janjang aritmetik (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.

Kami menterjemah tugasan ke dalam bahasa yang mudah difahami. Diberi janjang aritmetik tak terhingga. Nombor kedua perkembangan ini diketahui: a 2 = 5. Perbezaan perkembangan yang diketahui: d = -2.5. Kita perlu mencari ahli pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam perkembangan ini.

Untuk kejelasan, saya akan menulis satu siri mengikut keadaan masalah. Enam ahli pertama, di mana ahli kedua ialah lima:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Kami menggantikan dalam ungkapan a 2 = 5 dan d=-2.5. Jangan lupa tolak!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Penggal ketiga kurang daripada penggal kedua. Semuanya logik. Jika bilangannya lebih besar daripada yang sebelumnya negatif nilai, jadi nombor itu sendiri akan menjadi kurang daripada yang sebelumnya. Kemajuan semakin berkurangan. Baiklah, mari kita ambil kira.) Kami menganggap ahli keempat siri kami:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Jadi, terma dari ketiga hingga keenam telah dikira. Ini menghasilkan satu siri:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Ia kekal untuk mencari penggal pertama a 1 mengikut detik yang terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Oleh itu, perbezaan janjang aritmetik d tidak boleh ditambah kepada a 2, a bawa pulang:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Itu sahaja yang ada. Respons tugas:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Secara sepintas lalu, saya perhatikan bahawa kami telah menyelesaikan tugasan ini berulang cara. Perkataan yang mengerikan ini bermaksud, hanya, pencarian untuk ahli perkembangan dengan nombor sebelumnya (bersebelahan). Cara lain untuk bekerja dengan kemajuan akan dibincangkan kemudian.

Satu kesimpulan penting boleh dibuat daripada tugasan mudah ini.

Ingat:

Jika kita mengetahui sekurang-kurangnya satu ahli dan perbezaan janjang aritmetik, kita boleh mencari mana-mana ahli janjang ini.

Ingat? Kesimpulan mudah ini membolehkan kami menyelesaikan kebanyakan masalah kursus sekolah mengenai topik ini. Semua tugas berkisar pada tiga parameter utama: ahli janjang aritmetik, perbezaan janjang, nombor anggota janjang. Semuanya.

Sudah tentu, semua algebra sebelumnya tidak dibatalkan.) Ketaksamaan, persamaan dan perkara lain dilampirkan pada janjang. Tetapi mengikut perkembangan- semuanya berkisar pada tiga parameter.

Sebagai contoh, pertimbangkan beberapa tugas popular mengenai topik ini.

2. Tulis janjang aritmetik akhir sebagai satu siri jika n=5, d=0.4, dan a 1=3.6.

Semuanya mudah di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu ingat bagaimana ahli janjang aritmetik dikira, mengira dan menulis. Adalah dinasihatkan untuk tidak melangkau perkataan dalam keadaan tugas: "akhir" dan " n=5". Agar tidak dikira sehingga anda benar-benar biru di muka.) Terdapat hanya 5 (lima) ahli dalam perkembangan ini:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

Ia kekal untuk menulis jawapan:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Tugas lain:

3. Tentukan sama ada nombor 7 akan menjadi ahli janjang aritmetik (a n) jika a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.

Hmm... Siapa tahu? Bagaimana untuk menentukan sesuatu?

Bagaimana-bagaimana ... Ya, tuliskan perkembangan dalam bentuk siri dan lihat sama ada akan ada tujuh atau tidak! Kami percaya:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Kini jelas kelihatan bahawa kami baru bertujuh tergelincir antara 6.5 dan 7.7! Tujuh tidak masuk ke dalam siri nombor kami, dan, oleh itu, tujuh tidak akan menjadi ahli perkembangan yang diberikan.

Jawapan: tidak.

Dan inilah tugas berdasarkan versi sebenar GIA:

4. Beberapa ahli berturut-turut janjang aritmetik ditulis:

...; lima belas; X; 9; 6; ...

Berikut adalah siri tanpa akhir dan permulaan. Tiada nombor ahli, tiada perbezaan d. Tidak mengapa. Untuk menyelesaikan masalah, cukup memahami maksud janjang aritmetik. Mari lihat dan lihat apa yang kita boleh untuk tahu dari baris ini? Apakah parameter bagi tiga yang utama?

Nombor ahli? Tiada satu nombor pun di sini.

Tetapi terdapat tiga nombor dan - perhatian! - perkataan "berturut-turut" dalam keadaan. Ini bermakna bahawa nombor-nombor itu betul-betul teratur, tanpa jurang. Adakah terdapat dua dalam baris ini? jiran nombor yang diketahui? Ya, memang ada! Ini ialah 9 dan 6. Jadi kita boleh mengira beza janjang aritmetik! Kami menolak daripada enam sebelumnya nombor, i.e. sembilan:

Ada ruang kosong yang tinggal. Apakah nombor yang akan menjadi nombor sebelumnya untuk x? Lima belas. Jadi x boleh didapati dengan mudah dengan penambahan mudah. Kepada 15 tambahkan perbezaan janjang aritmetik:

Itu sahaja. Jawapan: x=12

Kami menyelesaikan sendiri masalah berikut. Nota: teka-teki ini bukan untuk formula. Semata-mata untuk memahami maksud janjang aritmetik.) Kami hanya menulis satu siri nombor-huruf, lihat dan fikir.

5. Cari sebutan positif pertama janjang aritmetik jika a 5 = -3; d = 1.1.

6. Adalah diketahui bahawa nombor 5.5 adalah ahli janjang aritmetik (a n), di mana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan bilangan n ahli ini.

7. Adalah diketahui bahawa dalam janjang aritmetik a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Cari 3 .

8. Beberapa ahli berturut-turut janjang aritmetik ditulis:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Cari sebutan janjang, yang dilambangkan dengan huruf x.

9. Kereta api mula bergerak dari stesen, secara beransur-ansur meningkatkan kelajuannya sebanyak 30 meter seminit. Berapakah kelajuan kereta api dalam masa lima minit? Berikan jawapan anda dalam km/j.

10. Adalah diketahui bahawa dalam janjang aritmetik a 2 = 5; a 6 = -5. Cari 1.

Jawapan (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; empat.

Semuanya berjaya? Hebat! Anda boleh mempelajari janjang aritmetik pada tahap yang lebih tinggi dalam pelajaran berikut.

Tidakkah semuanya berjaya? Tiada masalah. Dalam Bahagian Khas 555, semua teka-teki ini dipecahkan sekeping demi sekeping.) Dan, tentu saja, teknik praktikal yang mudah diterangkan yang segera menyerlahkan penyelesaian tugas tersebut dengan jelas, jelas, seperti di tapak tangan anda!

Ngomong-ngomong, dalam teka-teki tentang kereta api terdapat dua masalah di mana orang sering tersandung. Satu - semata-mata dengan kemajuan, dan yang kedua - biasa untuk sebarang tugas dalam matematik, dan fizik juga. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke satu sama lain. Ia menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.

Dalam pelajaran ini, kita mengkaji makna asas janjang aritmetik dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah mengenai topik ini. Tambah d kepada nombor, tulis satu siri, semuanya akan diputuskan.

Penyelesaian jari berfungsi dengan baik untuk kepingan siri yang sangat pendek, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika sirinya lebih panjang, pengiraan menjadi lebih sukar. Sebagai contoh, jika dalam masalah 9 dalam soalan, gantikan "lima minit" pada "tiga puluh lima minit" masalah akan menjadi lebih teruk.)

Dan terdapat juga tugas yang mudah pada dasarnya, tetapi sama sekali tidak masuk akal dari segi pengiraan, sebagai contoh:

Diberi janjang aritmetik (a n). Cari 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.

Dan apa, kita akan tambah 1/6 banyak, banyak kali?! Adakah mungkin untuk membunuh diri sendiri!?

Anda boleh.) Jika anda tidak tahu formula mudah yang anda boleh menyelesaikan tugasan tersebut dalam satu minit. Formula ini akan ada dalam pelajaran seterusnya. Dan masalah itu diselesaikan di sana. Dalam satu minit.)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Jumlah janjang aritmetik.

Jumlah janjang aritmetik adalah perkara yang mudah. Baik dari segi makna mahupun dalam formula. Tetapi terdapat pelbagai tugas mengenai topik ini. Dari asas hingga agak kukuh.

Pertama, mari kita berurusan dengan maksud dan formula jumlah. Dan kemudian kita akan membuat keputusan. Untuk kesenangan anda sendiri.) Maksud jumlah adalah semudah merendahkan. Untuk mencari jumlah janjang aritmetik, anda hanya perlu menambah semua ahlinya dengan teliti. Jika syarat ini sedikit, anda boleh menambah tanpa sebarang formula. Tetapi jika terdapat banyak, atau banyak ... penambahan adalah menjengkelkan.) Dalam kes ini, formula menjimatkan.

Formula jumlahnya mudah:

Mari kita fikirkan jenis huruf yang termasuk dalam formula. Ini akan menjelaskan banyak perkara.

S n ialah hasil tambah suatu janjang aritmetik. Hasil penambahan semua ahli, dengan pertama pada terakhir. Ia penting. Tambah tepat semua ahli dalam satu baris, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, bermula dari pertama. Dalam masalah seperti mencari jumlah sebutan ketiga dan kelapan, atau jumlah sebutan lima hingga kedua puluh, penggunaan formula secara langsung akan mengecewakan.)

a 1 - yang pertama ahli kemajuan. Semuanya jelas di sini, ia mudah pertama nombor baris.

a n- terakhir ahli kemajuan. Nombor terakhir baris. Bukan nama yang sangat biasa, tetapi, apabila digunakan pada jumlahnya, ia sangat sesuai. Kemudian anda akan melihat sendiri.

n ialah nombor ahli terakhir. Adalah penting untuk memahami bahawa dalam formula nombor ini bertepatan dengan bilangan istilah tambahan.

Mari kita tentukan konsepnya terakhir ahli a n. Pengisian soalan: jenis ahli yang akan terakhir, jika diberi tidak berkesudahan janjang aritmetik?

Untuk jawapan yang yakin, anda perlu memahami maksud asas janjang aritmetik dan ... baca tugasan dengan teliti!)

Dalam tugas mencari jumlah janjang aritmetik, sebutan terakhir sentiasa muncul (secara langsung atau tidak langsung), yang sepatutnya terhad. Jika tidak, jumlah tertentu yang terhad cuma tak wujud. Untuk penyelesaian, tidak kira jenis kemajuan yang diberikan: terhingga atau tidak terhingga. Tidak kira bagaimana ia diberikan: dengan satu siri nombor, atau dengan formula ahli ke-n.

Perkara yang paling penting ialah memahami bahawa formula berfungsi dari sebutan pertama janjang kepada istilah dengan nombor n. Sebenarnya, nama penuh formula kelihatan seperti ini: hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. Bilangan ahli pertama ini, i.e. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua maklumat berharga ini sering disulitkan, ya ... Tetapi tiada apa-apa, dalam contoh di bawah kami akan mendedahkan rahsia ini.)

Contoh tugasan untuk jumlah janjang aritmetik.

Pertama sekali, maklumat berguna:

Kesukaran utama dalam tugasan untuk jumlah janjang aritmetik ialah penentuan yang betul bagi unsur-unsur formula.

Pengarang tugasan menyulitkan unsur-unsur ini dengan imaginasi yang tidak terbatas.) Perkara utama di sini ialah jangan takut. Memahami intipati unsur-unsur, cukup hanya untuk menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara terperinci. Mari kita mulakan dengan tugas berdasarkan GIA sebenar.

1. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a n = 2n-3.5. Cari hasil tambah 10 sebutan pertama.

Syabas. Mudah.) Untuk menentukan jumlah mengikut formula, apa yang kita perlu tahu? Ahli Pertama a 1, terma akhir a n, ya nombor penggal terakhir n.

Mana nak dapat nombor ahli terakhir n? Ya, di tempat yang sama, dalam keadaan! Ia mengatakan cari jumlahnya 10 ahli pertama. Nah, berapa nombornya terakhir, ahli kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nombornya adalah kesepuluh!) Oleh itu, bukannya a n kita akan gantikan ke dalam formula a 10, tetapi sebaliknya n- sepuluh. Sekali lagi, bilangan ahli terakhir adalah sama dengan bilangan ahli.

Ia masih perlu ditentukan a 1 dan a 10. Ini mudah dikira dengan formula sebutan ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana untuk melakukannya? Lawati pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tiada apa-apa.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Kami mendapati maksud semua unsur formula untuk jumlah janjang aritmetik. Ia kekal untuk menggantikannya, dan mengira:

Itu sahaja yang ada. Jawapan: 75.

Satu lagi tugas berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diberi janjang aritmetik (a n), bezanya ialah 3.7; a 1 \u003d 2.3. Cari hasil tambah 15 sebutan pertama.

Kami segera menulis formula jumlah:

Formula ini membolehkan kita mencari nilai mana-mana ahli dengan nombornya. Kami sedang mencari penggantian mudah:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Ia kekal untuk menggantikan semua unsur dalam formula untuk jumlah janjang aritmetik dan mengira jawapannya:

Jawapan: 423.

By the way, jika dalam formula jumlah bukannya a n cuma gantikan formula sebutan ke-n, kita dapat:

Kami memberikan yang serupa, kami mendapat formula baharu untuk jumlah ahli janjang aritmetik:

Seperti yang anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. a n. Dalam sesetengah tugas, formula ini banyak membantu, ya ... Anda boleh ingat formula ini. Dan anda boleh menarik baliknya pada masa yang betul, seperti di sini. Lagipun, formula untuk jumlah dan formula untuk sebutan ke-n mesti diingat dalam semua cara.)

Sekarang tugas dalam bentuk penyulitan pendek):

3. Cari hasil tambah semua nombor dua digit positif yang merupakan gandaan tiga.

Bagaimana! Tiada ahli pertama, tiada terakhir, tiada kemajuan sama sekali... Bagaimana untuk hidup!?

Anda perlu berfikir dengan kepala anda dan menarik keluar dari syarat semua elemen hasil tambah janjang aritmetik. Apakah nombor dua digit - kita tahu. Mereka terdiri daripada dua nombor.) Apakah nombor dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) perkara terakhir nombor dua digit? 99, sudah tentu! Tiga angka akan mengikutinya ...

Gandaan tiga... Hm... Ini adalah nombor yang boleh dibahagi sama rata dengan tiga, di sini! Sepuluh tidak boleh dibahagikan dengan tiga, 11 tidak boleh bahagi... 12... boleh bahagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah boleh menulis satu siri mengikut keadaan masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Adakah siri ini akan menjadi janjang aritmetik? Sudah tentu! Setiap istilah berbeza daripada yang sebelumnya hanya dengan tiga. Jika 2, atau 4, ditambah pada istilah, katakan, hasilnya, i.e. nombor baharu tidak lagi akan dibahagikan dengan 3. Anda boleh segera menentukan perbezaan janjang aritmetik kepada timbunan: d = 3. Berguna!)

Jadi, kita boleh menulis beberapa parameter kemajuan dengan selamat:

Apa yang akan menjadi nombor n ahli terakhir? Sesiapa yang berpendapat bahawa 99 adalah tersilap maut ... Nombor - mereka sentiasa berturut-turut, dan ahli kami melompat ke atas tiga teratas. Mereka tidak sepadan.

Terdapat dua penyelesaian di sini. Salah satu cara adalah untuk yang sangat rajin. Anda boleh melukis janjang, keseluruhan siri nombor dan mengira bilangan sebutan dengan jari anda.) Cara kedua adalah untuk mereka yang bertimbang rasa. Anda perlu ingat formula untuk penggal ke-n. Jika formula digunakan untuk masalah kita, kita mendapat bahawa 99 adalah ahli ketiga puluh perkembangan. Itu. n = 30.

Kami melihat formula untuk jumlah janjang aritmetik:

Kami melihat dan bergembira.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk mengira jumlah dari keadaan masalah:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Yang tinggal ialah aritmetik asas. Gantikan nombor dalam formula dan hitung:

Jawapan: 1665

Satu lagi jenis teka-teki popular:

4. Janjang aritmetik diberikan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Cari hasil tambah sebutan dari kedua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat formula jumlah dan ... kami kecewa.) Formula, biar saya ingatkan anda, mengira jumlahnya dari yang pertama ahli. Dan dalam masalah anda perlu mengira jumlahnya sejak dua puluh... Formula tidak akan berfungsi.

Anda boleh, tentu saja, melukis keseluruhan perkembangan berturut-turut, dan meletakkan ahli dari 20 hingga 34. Tetapi ... entah bagaimana ia ternyata bodoh dan untuk masa yang lama, bukan?)

Terdapat penyelesaian yang lebih elegan. Mari pecahkan siri kami kepada dua bahagian. Bahagian pertama akan dari penggal pertama hingga kesembilan belas. Bahagian kedua - dua puluh hingga tiga puluh empat. Adalah jelas bahawa jika kita mengira jumlah syarat bahagian pertama S 1-19, mari tambahkannya kepada jumlah ahli bahagian kedua S 20-34, kita mendapat jumlah janjang dari penggal pertama hingga ke tiga puluh empat S 1-34. seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahawa untuk mencari jumlah S 20-34 boleh dilakukan dengan penolakan mudah

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua-dua jumlah di sebelah kanan dipertimbangkan dari yang pertama ahli, i.e. formula jumlah standard agak terpakai kepada mereka. Adakah kita bermula?

Kami mengekstrak parameter kemajuan daripada keadaan tugas:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Untuk mengira jumlah bagi 19 dan 34 sebutan pertama, kita memerlukan sebutan ke-19 dan ke-34. Kami mengiranya mengikut formula sebutan ke-n, seperti dalam masalah 2:

a 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

a 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

Tiada apa yang tinggal. Kurangkan jumlah 19 sebutan daripada jumlah 34 sebutan:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Jawapan: 262.5

Satu nota penting! Terdapat ciri yang sangat berguna dalam menyelesaikan masalah ini. Daripada pengiraan langsung apa yang anda perlukan (S 20-34), kami mengira apa, nampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka bertekad S 20-34, membuang yang tidak perlu daripada hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" sedemikian sering menyelamatkan teka-teki jahat.)

Dalam pelajaran ini, kita telah mengkaji masalah yang cukup untuk memahami maksud jumlah janjang aritmetik. Nah, anda perlu tahu beberapa formula.)

Nasihat praktikal:

Apabila menyelesaikan sebarang masalah untuk jumlah janjang aritmetik, saya mengesyorkan segera menulis dua formula utama daripada topik ini.

Formula sebutan ke-n:

Formula ini akan segera memberitahu anda apa yang perlu dicari, ke arah mana untuk difikirkan untuk menyelesaikan masalah. Membantu.

Dan kini tugas untuk penyelesaian bebas.

5. Cari hasil tambah semua nombor dua digit yang tidak boleh dibahagi dengan tiga.

Hebat?) Petunjuk tersembunyi dalam nota kepada masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari hasil tambah bagi 24 sebutan pertama.

Luar biasa?) Ini adalah formula berulang. Anda boleh membaca tentangnya dalam pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan pautan itu, teka-teki seperti itu sering dijumpai di GIA.

7. Vasya menyimpan wang untuk Percutian. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling dikasihi (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menafikan diri sendiri. Luangkan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih pada setiap hari berikutnya daripada pada hari sebelumnya! Sampai duit habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Adakah ia sukar?) Formula tambahan daripada tugasan 2 akan membantu.

Jawapan (bercelaru): 7, 3240, 6.

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Jika setiap nombor asli n sepadan dengan nombor nyata a n , kemudian mereka mengatakan bahawa diberikan urutan nombor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Jadi, urutan berangka ialah fungsi hujah semula jadi.

Nombor a 1 dipanggil ahli pertama urutan , nombor a 2 — ahli kedua bagi urutan itu , nombor a 3 — ketiga dan sebagainya. Nombor a n dipanggil ahli ke-n bagi urutan , dan nombor asli n — nombor dia .

Daripada dua ahli jiran a n dan a n +1 urutan ahli a n +1 dipanggil seterusnya (ke arah a n ), a a n — sebelumnya (ke arah a n +1 ).

Untuk menentukan jujukan, anda mesti menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan sebarang nombor.

Selalunya urutan diberikan dengan formula penggal ke-n , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan dengan nombornya.

Sebagai contoh,

urutan nombor ganjil positif boleh diberikan oleh formula

a n= 2n- 1,

dan urutan berselang-seli 1 dan -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula berulang, iaitu formula yang menyatakan mana-mana ahli jujukan, bermula dengan beberapa, melalui ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

jika a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Sekiranya a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , maka tujuh ahli pertama urutan berangka ditetapkan seperti berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan boleh muktamad dan tidak berkesudahan .

Urutan dipanggil muktamad jika ia mempunyai bilangan ahli yang terhad. Urutan dipanggil tidak berkesudahan jika ia mempunyai ahli yang tidak terhingga.

Sebagai contoh,

urutan nombor asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

muktamad.

Urutan nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Urutan dipanggil semakin meningkat , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

Urutan dipanggil amaran , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ialah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ialah urutan menurun. ◄

Urutan yang unsur-unsurnya tidak berkurangan dengan peningkatan bilangan, atau, sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan yang membosankan .

Jujukan monotonik, khususnya, ialah jujukan meningkat dan jujukan menurun.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik satu urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ialah janjang aritmetik jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

a n +1 = a n + d,

di mana d - beberapa nombor.

Oleh itu, perbezaan antara ahli seterusnya dan sebelumnya bagi janjang aritmetik yang diberikan sentiasa malar:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Untuk menetapkan janjang aritmetik, cukup untuk menentukan sebutan dan perbezaan pertamanya.

Sebagai contoh,

jika a 1 = 3, d = 4 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama a 1 dan perbezaan d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

cari sebutan ketiga puluh suatu janjang aritmetik

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

kemudian jelas

a n=	a n-1 + a n+1
	2

setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang aritmetik jika dan hanya jika salah satu daripadanya adalah sama dengan min aritmetik dua yang lain.

Sebagai contoh,

a n = 2n- 7 , ialah suatu janjang aritmetik.

Mari gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Akibatnya,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Perhatikan bahawa n -ahli ke atas sesuatu janjang aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 , tetapi juga mana-mana sebelumnya a k

a n = a k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

untuk a 5 boleh ditulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

kemudian jelas

a n=	a n-k + a n+k
	2

mana-mana ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh jumlah ahli janjang aritmetik ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang aritmetik, kesamaan adalah benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kerana

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

pertama n ahli janjang aritmetik adalah sama dengan hasil darab separuh daripada jumlah sebutan ekstrem dengan bilangan sebutan:

Daripada ini, khususnya, ia mengikuti bahawa jika perlu untuk menjumlahkan terma

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika suatu janjang aritmetik diberikan, maka kuantitinya a 1 , a n, d, n danS n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Janjang aritmetik ialah jujukan monotonik. Di mana:

• jika d > 0 , maka ia semakin meningkat;
• jika d < 0 , maka ia semakin berkurangan;
• jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Janjang geometri

janjang geometri urutan dipanggil, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ialah janjang geometri jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - beberapa nombor.

Oleh itu, nisbah bagi sebutan seterusnya janjang geometri ini kepada yang sebelumnya ialah nombor tetap:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk menetapkan janjang geometri, cukup untuk menentukan sebutan dan penyebut pertamanya.

Sebagai contoh,

jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima sebutan pertama bagi jujukan didapati seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n -istilah ke- boleh didapati dengan formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Sebagai contoh,

cari sebutan ketujuh suatu janjang geometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

kemudian jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli janjang geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min geometri (berkadar) ahli sebelumnya dan seterusnya.

Oleh kerana sebaliknya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

nombor a, b dan c adalah ahli berturut-turut beberapa janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua salah satu daripadanya adalah sama dengan hasil darab dua yang lain, iaitu, satu daripada nombor ialah min geometri bagi dua yang lain.

Sebagai contoh,

mari kita buktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n= -3 2 n , ialah janjang geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Akibatnya,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan penegasan yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahawa n sebutan ke- janjang geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 , tetapi juga mana-mana istilah sebelumnya b k , yang mana ia sudah memadai untuk menggunakan formula

b n = b k · q n - k.

Sebagai contoh,

untuk b 5 boleh ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

kemudian jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuasa dua mana-mana anggota janjang geometri, bermula dari kedua, adalah sama dengan hasil darab ahli janjang ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang geometri, kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Sebagai contoh,

secara eksponen

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kerana

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n ahli janjang geometri dengan penyebut q ≠ 0 dikira dengan formula:

Dan bila q = 1 - mengikut formula

S n= n.b. 1

Perhatikan bahawa jika kita perlu menjumlahkan terma

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Sebagai contoh,

secara eksponen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu janjang geometri diberi, maka kuantitinya b 1 , b n, q, n dan S n dikaitkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk janjang geometri dengan sebutan pertama b 1 dan penyebut q berikut berlaku sifat monotonisitas :

• perkembangan meningkat jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 dan q> 1;

b 1 < 0 dan 0 < q< 1;

• Kemajuan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 dan q> 1.

Sekiranya q< 0 , maka janjang geometri adalah berselang seli: sebutan bernombor ganjilnya mempunyai tanda yang sama dengan sebutan pertamanya, dan sebutan bernombor genap mempunyai tanda bertentangan. Jelaslah bahawa janjang geometri berselang-seli bukanlah monotonik.

Produk pertama n sebutan bagi janjang geometri boleh dikira dengan formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dipanggil janjang geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang daripada 1 , itu dia

|q| < 1 .

Ambil perhatian bahawa janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga mungkin bukan jujukan menurun. Ini sesuai dengan kes ini

1 < q< 0 .

Dengan penyebut sedemikian, urutannya adalah berselang-seli. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga namakan nombor yang menjumlahkan yang pertama n syarat perkembangan dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan n . Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara janjang aritmetik dan geometri

Janjang aritmetik dan geometri adalah berkait rapat. Mari kita pertimbangkan hanya dua contoh.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , kemudian

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . — janjang aritmetik dengan beza 2 dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ialah janjang geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ialah janjang geometri dengan penyebut q , kemudian

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — janjang aritmetik dengan beza log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . ialah janjang geometri dengan penyebut 6 dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — janjang aritmetik dengan beza lg 6 . ◄